Lecciones de Física - uco.es · Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba. Manuel R. Ortega Girón Lecciones de Física Resultados de los Problemas

LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss

PPrroobblleemmaass

MM.. RR.. OOrrtteeggaa GGiirróónn

LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa

MMeeccáánniiccaa 11 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+360 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Introducción. Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cine-mática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de mo-vimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Siste-mas de referencia en rotación. Trabajo y ener-gía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples. MMeeccáánniiccaa 22 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+386 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El pro-blema de dos cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. Ecuaciones de Euler. Diná-mica impulsiva del sólido rígido. MMeeccáánniiccaa 33 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+332 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: La ley de la Gravitación Univer-sal. El campo gravitatorio. Elementos de elas-ticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los flui-dos. Dinámica de los fluidos ideales. Diná-mica de los fluidos reales. Flujo viscoso. MMeeccáánniiccaa 44

Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+238 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices. TTeerrmmoollooggííaa Autores: Manuel R. Ortega Girón.

José A. Ibáñez Mengual Ilustrado, xii+430 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Conceptos previos. Temperatura y dilatación. Gases ideales y reales. Ecuacio-nes térmicas de estado. El calor y su medida. Propagación del calor. Primer principio de la Termodinámica. Segundo Principio de la Termodinámica. Potenciales termodinámicos. Transiciones de fase. Teoría cinética de los gases. Física estadística. Apéndices matemáti-cos. Tablas. PPrrááccttiiccaass ddee FFííssiiccaa ((FFííssiiccaa GGeenneerraall)) Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+328 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 50 prácticas de Mecá-nica, Ondas, Termología, Electricidad y Mag-netismo, Electrónica y Óptica apropiadas para los laboratorios de Física de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas. PPrroobblleemmaass ddee FFííssiiccaa Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+450 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 450 problemas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo apropiados para lo estudiantes de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.

Lecciones de Física ● R de P

● M. R

. Ortega

Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.

MMaannuueell RR.. OOrrtteeggaa GGiirróónn

LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss PPrroobblleemmaass

ii Lecciones de Física

Lecciones de Física Resultados de los Problemas Décima edición: diciembre 2011

© Copyright: Manuel R. Ortega Girón Editor: Manuel R. Ortega Girón CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34 957 280051 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/users/mr.ortega Impresión: Reprografía Don Folio 14.013 Córdoba. España. I.S.B.N. ISBN 84-404-4290-4 Depósito legal: DP

© Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.

Manuel R. Ortega Girón iii

PPrróóllooggoo ddeell aauuttoorr

Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media, lo que será de gran utilidad en los estudios universitarios más avanzados de grado y postgrado.

Desde la más remota antigüedad, la enseñanza se ha enfrentado con dos problemas cardinales: decidir qué conocimientos se deben transmitir (contenidos) y acertar con cómo puede hacerse esa transmisión (forma).

A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos,... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia.

Existen muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos. Muchos de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Otros, han sido preparados, con encomiable ilusión y entrega, por compañeros docentes universitarios, a fin de facilitar al alumno el aprovechamiento de las clases poniendo a su disposición un texto base, aunque ello no

iv Lecciones de Física

implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas.

Fruto de estas convicciones y de mi larga trayectoria docente en el ámbito de la Física Universitaria es el presente libro, en el que pretendemos cubrir los contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas.

No debería considerarse esta obra como un libro más de Física Universitaria o General, en la acepción que tradicionalmente tienen estas denominaciones, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a las asignaturas que se imparten en Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros. Incluso algunos temas de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General Universitaria. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria.

Este libro viene a completar y mejorar mi anterior obra Lecciones de Física, que ha tenido una amplia y buena acogida, durante más de dos décadas, en diversas Universidades Españolas. En ese contexto, debo expresar una vez más mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro colaboraron en los albores de la misma, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), y a cuantos compañeros en las tareas docentes que con la buena acogida que dispensaron a aquellas Lecciones y con sus útiles comentarios y sugerencias han hecho posible que esta obra salga hoy a la luz.

Córdoba, diciembre 2011.

Manuel R. Ortega Girón v

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio

de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía

un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre

ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no

haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia.

RENÉ DESCARTES (1596-1650)

El Discurso del Método.

vi Lecciones de Física

Manuel R. Ortega Girón vii

LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss PPrroobblleemmaass

viii Lecciones de Física

Lecciones de Física Mecánica 1 1. Álgebra vectorial. 2. Vectores deslizantes. 3. Análisis vectorial. 4. Cinemática de la partícula. 5. Cinemática del sólido rígido. 6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. 7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 8. Las fuerzas de la Naturaleza. 9. Sistemas de referencia en rotación. 10. Trabajo y energía. 11. Conservación de la energía. 12. Momento angular. Fuerzas centrales. Mecánica 2 13. Movimiento armónico simple. 14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. 15. Superposición de movimientos armónicos simples. 16. Geometría de masas. 17. Sistemas de partículas. 18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. 19. Colisiones. 20. Estática del sólido rígido. 21. Dinámica del sólido rígido. 22. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. 23. Ecuaciones de Euler. 24. Dinámica impulsiva del sólido rígido. Mecánica 3 25. La ley de la Gravitación Universal. 26. El campo gravitatorio. 27. Elementos de elasticidad. 28. Elastostática. 29. Estática de los fluidos. 30. Tensión superficial. 31. Cinemática de los fluidos. 32. Dinámica de los fluidos ideales. 33. Dinámica de los fluidos reales. 34. Flujo viscoso. Mecánica 4 35. Ondas progresivas. 36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. 37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. 38. Ondas estacionarias. 39. Acústica física. 40. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices. Termología 1. Conceptos previos. Temperatura y dilatación. 2. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. 3. El calor y su medida. 4. Propagación del calor. 5. Primer principio de la Termodinámica. 6. Segundo Principio de la Termodinámica. 7. Aplicación simultánea del Primer y Segundo Principios. 8. Potenciales termodinámicos. 9. Transiciones de fase. 10. Teoría cinética de los gases. 11. Física estadística. Apéndices y Tablas. Problemas de Física

Prácticas de Física

1.- Álgebra vectorial.

1.1. a) B=0 b) A B c) A⊥B d) A⊥B

1.2. s/c 1.3. 33

(i j k)

1.4. OP λ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

AA

BB

1.5. s/c 1.6. s/c

1.7. sen(α β ) senα cosβ cosα senβcos(α β ) cosα cosβ senα senβ

1.8. A = 2u+u+3w

1.9. A = 10e+b con b=-3i+4j+7k

1.10. a) A B=B C=C A=0; A×B=71Cb) eA=(1.39 0.82 -0.51)eB=(0.35 0.37 1.29)eC=(0.90 -1.06 0.06)

1.11. s/c

1.12. a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55°e) 2.92 f) (18 -14 2)g) (0.79 -0.61 0.087)

1.13. 70.53° 1.14. 52, 8, -34

1.15. 3.5u-2.5v-0.5w

1.16. a=(2 2 4); b=(1 -4 1)

1.17. V cualquieraX CA 2

(V×A)

1.18. m cualquieraX C×A

A 2mA

1.19. X cA 2

A 1A 2

(C×A)

1.20. a) prod. esc. diagonales b) prod.vect. diagonales.

1.21. 7.8 unid. de área

1.22. x 21

y 42

z 51

1.23. x 12

y 51

z 33

1.24. 3.7 1.25. a) 147

5 4 2

1.26. 18x+6y-3z+18=0

1.27. x+2y+3z-21=0

Manuel R. Ortega Girón 335

336 Resultados de los problemas

1.28. x 203

y 114

z20

1.29. 6x-11y+3z+7=0

1.30. -6/11 1.31. 25 / 57

1.32. s/c 1.33. 1.34. a) 27 b) -272 3

1.35. s/c 1.36. (0 -3 -18) 1.37. s/c

1.38. s/c 1.39. (2 4 3)

1.40. a) (3.23 1.60 4.00)b) (0.23 3.60 4.00)

1.41.

x′2⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

cos2θA 2

sen2θB 2

y′2⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

sen2θA 2

cos2θB 2

2x′y′ ⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

1A 2

1B 2

senθ cosθ 1

1.42. s/c

2.- Vectores deslizantes.

2.1. a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c

2.2. a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1)c) 15/19 (2 3 -5)

2.3. 4, x 32

5 2y6

z2

2.4. s/c 2.5. s/c

2.6. a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)

2.7. a) 5 66

1 2 1

b) 6 1 2 1

c) 5 66

1 2 1

d) 66

1 22 13

2.8. a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no estádefinido.

2.9. (0 -1 1)

2.10. (-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)

2.11. a) F1=0, F2, F3=F4 b) F1=F3, F2=0,F4=0

2.12. a) (4 -3 2), (3 1 1)

b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)

2.13. (4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0);(0.00 -0.32 -0.95) en(3.16, -8.43 0.00)

2.14. (0 1 0) en (0, 0, 0);(0 0 1) en (1, -1, 0)

2.15. 155x 1425

155y 597

155z 339

2.16. (0 2 0) en (0, 0, -0.50)

2.17. (0 0 1) en (0, 1, 0)

2.18. a) A=8πaλk; M0=6πa2λ(4j+3k)b) x=-3, y=0; {8πaλk;18πa2λk}

2.19. {(1 3 2); 2.5(1 3 2)} en (9, -1, -3)/14

2.20. s/c 2.21. s/c 2.22. s/c

2.23. a) 14; x+3y+2z=14b) (1.07, 3.07, 1.86)

2.24. a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo

2.25. s/c

3.- Análisis vectorial.

3.1. 3.2. s/c2 5 ; 811

33

3.3. s/c 3.4.s/c 3.5. s/c 3.6. s/c

3.7. a) (t2/2+t t3/3 t2)+C b) (4.5 3 3)

3.8. ∂A∂x

2xyi zj 3z 2k

∂2A

∂x 22yi ∂2A

∂x∂y2xi ...

3.9. ; disparo der r0 v0t12

gt 2k

un proyectil

3.10. s/c

3.11. a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)

Resultados de los problemas 337

3.12. paraboloides de revolución de eje z

3.13. a) si b) radiales

3.14. a) s/c b) φ(a) = -a2;

3.15. a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12f) -11/60 g) no

3.16. 12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)

3.18. q/ 0 (ley de Gauss)

3.19. a) 2r b) (y3, z3, x3)c) (2xy/z3, x2/z3, -3x2y/z4)d) [sen(yz)-yzsen(xz),xzsen(yz)+cos(xz),xycos(yz)-xysen(yz)]e) (-xsenx+cosx+yz, xz, yz]

3.20. 4x+4y-z=6

3.21. a) 0 b) 1

142 3 1 ; 2 14

3.22. A 3.23. a) 3r2 b) (12/5)πR5

3.24. a) ∇×A=0 b) φ=(x4+y4+z4)/4+xyz+φ0c) 18.5

3.25. a) 12 b) φ=x+y+z+xyz+φ0 c) 12

3.26. a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)

3.27. a) 4 b) φ=x2+y2+z2+xyz+φ0 c) 4

3.28. A=-er/r2; (-1, 0, 0)

3.29. a) φ=r+cte b) 0

3.30. s/c 3.31. s/c 3.32. s/c

3.33. a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇×A=0e) φ=k/r f) s/c

3.34. 4πkR5

3.35. a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0

4.- Cinemática de la partícula.

4.1. 2.34 m

4.2. a) 2.54 s, 19.18 mb) -4.90 m/s; +4.90 m/s

4.3. amín

(v1 v2)2

2d

4.4. a) x=3+2t+t3 cmb) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s

4.5. a) b)1v

1v0

kt x 1k

ln(1 kv0t)

c) d) s/c e) 1/300 m-1v v0 e kx

4.6. a) x k ln tt0

2.078 ln t0.618

(S.I.)

b) 37.08 min c) 672 m

4.7. x=3.07 sen(3t+1.35);v=9.21 cos(3t+1.35)

4.8. 3.75 10-3 m-1; 267 m

4.9. a) x2+y2=R2; antihorario b) r v=0c) a=-ω2r d) r×v=ωR2k=cte

4.10. a) b) r v≠0 c) a=-ω2rx 2

a 2

y 2

b 21

d)at

ω 2(a 2 b 2) senω t cosω t

a 2sen2ω t b 2cos2ω t

anω 2ab

a 2sen2ω t b 2cos2ω t

e) κ 1ρ

ab(a 2sen2ω t b 2cos2ω t)3/2

4.11. x2

x1x1

h 2 x 21

x2

h 2x 21 (h 2 x 2

1)x1x1

(h 2 x 21)3/2

4.12. a) y 4 sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

π2

x

b)v 4 16π 2cos2π ta 4π 2senπ t

4.13.2v 2

0cos2θ0

g cosα(tgθ0 tgα)

4.14. a) tgθ0=h/D b) v0 < Dgsen 2θ0

4.15. ysomb

v 20

2gg

2v 20

x 2

4.16. D 2 Hs sen θ0


4.17. a) y4=2x3

b)at

96t 3 36t

16t 2 9an

24t 2

16t 2 9

4.18. 54.7°

4.19. s/c 4.20. s/c 4.21. s/c

4.22.

a)r ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

x x 2

2p0 ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

kt k 2

2pt 2 0

v ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

k kp

x 0 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

k k 2

pt 0

a ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0 k 2

p0

b) atk 2x

p 2 x 2

ank 2

p 2 x 2

c) κ 1ρ

p 2

(p 2 x 2)3/2; ρ0 p

4.23. a) s/c b) v ω 2R 2 b 2 a ω 2R

c) at=0, an=ω2R d) ρ R b 2

ω 2R

4.24. a) 15

3senω t 3cosω t 4

b) , κ=3/25; ρ=25/3cosω t senω t 0

c) , τ=4/25; 25/415

4senω t 4cosω t 3

4.25. a) at=(4 4 2)/3; at=2; an=(4 -2 -4)/3;an=2 b) ρ=4.5

4.26. a) κ 2(1 2t 2)2

0.22

b) τ 2(1 2t 2)2

0.22

c) x 11

y 12

z 2/32

x 12

y 11

z 2/32

x 12

y 12

z 2/31

d) 6x 6y 3z 23x 6y 6z 136x 3y 6z 5

4.27. a) v k A 2sen2θ B 2cos2θ1 cosθ

b) x 2

A 2

y 2

B 2

k 2

(1 cosθ)2

4.28. (-11 11 -12); (-6 8 -12)

4.29. 9.59° NO, 592 km/h

4.30. 111 km/h; 627 km/h

4.31. s/c

4.32. a) x(θ) R senθ (l Rθ)cosθy(θ) (l Rθ)senθ Rcosθ

θ l l 2 2RvtR

b) tfl 2

2Rv

c) vt2Rv

2l πRat

8R 2v 2

(2l πR)3

4.33. a) b) nor Rk

senθ

c) k>π+1; ππ 1

Rvf

4.34. a) Hmáx Rv 2

0

2gR 2g2v 2

0

b) senθ Rgv 2

0

5.- Cinemática del sólidorígido.

5.1. a) no b) si c) si 5.2. avA/b

5.3. s/c 5.4. s/c 5.5. s/c

5.6. a) (-9 0 0) b) (0 -54 27)

5.7. (7 2 -6)

5.8. a) ω=(0 1 3); vO=(-9 6 -2)

b) x 2 ; y 2.7 z 0.93

;

vmín=0 c) (-10 9 -3)


5.9. a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en(1,0,0) b) x-1 = y = -z

5.10. s/c

5.11. a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2y-z=6d) {(0 1 2);2(0 1 2)}

5.12. a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+z=2d) {(-1 0 1);(0 0 0)}, rodadura

5.13. (0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...

5.14. a) a=1, b=1, c=0 b) {(0 0 1);(0 0 0)}c) x=0, y=1

5.15. a) (-2 2 0); (-2 2 3)b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)

5.16. 16.5° 5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2

5.18. a) s/c

b)v M

v0

2⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 x

l 2 x 2

0

vM

l v0

2 l 2 x 2

c) vB 2 vM sen⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

θ0

2vM

lt

5.19. a) cos3θ0al

b)

ωvA cos2θ0

av B

l vA

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

senθ cos2θ

cos3θ a/l0

c)

a B

l vA

a 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

2 3 cos2θ3 senθ cosθ

0

cos3θ

5.20. 6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s

5.21. a) vC=ωl, aC=ω2l/2

b) v B ω l ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

cos θ2

sen θ2

0

a Cω 2l2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

sen θ2

cos θ2

0

5.22. (ω[R+h] 0 0); (α[R+h] -ω2h 0)

5.23. a) generatriz de contactob) (ωR 0 0); (0 0 0)c) (ωy -ωx 0); (-ω2x -ω2[y-R] 0)d) (0 0 0); (0 ω2R 0)

5.24. a) ω1=20π rad/s; ω2=10π rad/sb) 628 cm/s; 45228 cm/s2

5.25. v

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ω 2R cosφ

ω 1R senφ

ω 1R cosφ

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2ω 1ω 2R senφ α2R cosφ

(ω 21 ω 2

2) R cosφ α1R senφ

ω 21R senφ α1R cosφ

5.26.

a)

v

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0ωr2Ωr

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(ω 2 2Ω2)rαr0

b)

v

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ωr senφωr cosφ

Ωr (1 cosφ )

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

αr senφ (ω 2 2Ω2)r cosφ

αr cosφ ω 2r senφ0

5.27. a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/sb) x=-20/(20π+0.1); y=0;v=82.93 m/s

5.28. a) mov. helicoidal tangenteb) 636.23 m/s; 394 784 m/s2

5.29. a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s;0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s

d)vA ωR senθ ⎛

⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 cosθ

9 sen2θ

Ω ω cosω

9 sen2θ

5.30.

vA ωR senθ ⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 R cosθ

l 2 R 2sen2θ

aA ω 2R⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

cosθ R l 2cos2ω t R 2sen4ω t(l 2 R 2sen2θ)3/2

5.31. 20 cm/s; 30 cm/s2

5.32. 0.16 s; 79.4°


5.33. a) 0 2v0 0 ;⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

4v 20

3r0 0

b) v0 0 0 ;⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

v 30

3rv 2

0

r0

5.34. a) s/c b) vide figura

Prob. 5.34

c) v 2ωR sen ω t2

a ω 2R

5.35. a) at ω 2R cos ω t2

an ω 2R sen ω t2

b) ρ 1κ

4 R sen ω t2

; ρ 4R

5.36. v

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ωyωx0

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ω 2x αy

ω 2(y R) αx0

5.37. a) OP 2r cos(ω t θ2

) e

con e ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

cos(ψ θ2

) sen(ψ θ2

) 0

b) v 2ωr sen(ω t θ2

) e

c) a ω 2 OP

5.38. base: circunferencia, radio h/2 ycentro en C; ruleta: circunferenciaradio h y centro en O′.

5.39. base: coincide con el aro;ruleta: circunferencia, radio 2R, cen-tro en A.

5.40. a) base: y h 1h

x 2

ruleta: h 2x′2 y′2 (y′2 h 2)

b) ω hvh 2 v 2t 2

c)

v B v senθ

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

senθcosθ0 B

a B vω

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

sen2θcos2θ

0 B

v B v senθ

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

01

0 B′

a B vω

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

senθcosθ0 B′

5.41. a) ω2vA

Rsen2 θ

2

b) base: y2=2R(x-R/2);ruleta: y′2=2R(x′+R/2)

5.42. a) 7ω antihorario b) ω/3 antihorarioc) base: x2+y2=(20R/7)2;ruleta: x′2+y′2=(R/7)2 d) vs=20ωR/21

6.- Principios de la MecánicaClásica. La ley de la Inercia.

6.1. 86 164 s

6.2. a) permanece vertical b) hacia atrás:tgθ=a/g c) hacia adelante: tgθ=a/gd) hacia el exterior

6.3. a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s

6.4. a) 37 s b) 333 s c) 83 s

6.5. 3.11 s 6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h

6.7. a) x′=0, y′=-(6t+t2) b) v′=(0 6-2t 0);a′=(0 -2 0)

6.8. verá al otro acercarse en una direc-ción constante.

6.9. s/c

6.10. a) OO′=½a0t2; OO″=v0t+½a0t2

b) x′=x-½a0t2; x″=x-v0t-½a0t2

c) v′=(vx-a0t vy vz); v″=(vx-v0-a0t vy vz)

d) a′=(ax-a0 ay az); a″=(ax-a0 ay az)

e) x=½a0t2; x′=0; x″=-v0t


6.11. a) S: ; S′: igualF e1

4π 0

e 2

h 2k

b) S: ; S′: noF m

µ0

4πe 2vh 2

k

hay

7.- Segunda y tercera leyes deNewton. Conservación de la

cantidad de movimiento.

7.1. x=(3t2-2t3) cm; v=(6t-6t2) cm/s

7.2. r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s

7.3. a) s/c b) F=-mω2r 7.4. s/c

7.5. Ftmg 2 x

v 40 g 2x 2

Fn

mgv 20

v 40 g 2x 2

7.6. a) 9.8 N b) 19.6 N

7.7. a) 55.36 m b) 9800 N

7.8. T 2π lg

7.9. a) v ± 2km

1x

1x0

b) tπx0

2mx0

2k

7.10. vfgL

L 2 b 2

tfLg

ln L L 2 b 2

b

7.11. 0.78 s

7.12. a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero

7.13. a) "caída libre" b) parando motores

7.14. a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m

7.15. 84.6 min 7.16. M = mv2/rg

7.17. a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg

7.18. a) 680.3 m b) 560 kg

7.19. a) 48.19° con la vertical b) 23

gR

c) 0.125 R

7.20. a) (12000 20785 0) kg m/sb) 163.3 kg (centrípeta)

7.21. a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N

7.22. a) s/c b) 3 ms c) 60 cm

7.23. a) -100 000 kg m/s, -50 000 Nb) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) seconserva cant. mov. Tierra-auto.

7.24. F 2ρ2

A

7.25. a) 16 N b) -16 N 7.26. 44.041 g

7.27. 8.08 g 7.28.

7.29. a) 5v0(1/e-1)=-126.4 Nb) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N

7.30. a) pB=kt b) pB=kt-p0 c) FA=-k; FB=k

7.31. a) 11.74 km/h b) 260.870 kN

7.32. a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s

7.33.a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s;b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s;c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s;d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s;e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;

7.34. 8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg

7.35.a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kgc) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kge) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kgg) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kgh) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kgi) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kgj) 2.45 m/s2; 3.75 kg

7.36. a) no hay mov. b) ídem c) 0;4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2

7.37. a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg


8.- Las fuerzas de laNaturaleza.

8.1. k 4π 4

GM

8.2. q 2L sen θ 4π 0mg tgθ

8.3. a) s/c b) xmín1

4π 0

2Qqmv 2

0

8.4. a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg

8.5. 0.466

8.6. a) a16 F

9m1 4m2

a223

a1

b) a1

6F 3(3m1 2m2)9m1 4m2

a223

a1

8.7. a) b) 26.6°F µ mgµ senθ cosθ

8.8. a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2

8.9. a) 69.68° b) 1.01 m/s2

8.10. a) 80 cm b) no

8.11. a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora

8.12. a) 23° b) 5.12 m/s2

8.13.

a) N1 N (senθ µ cosθ)µN1 N (cosθ µ senθ) m1(g a1)

N (senθ µ cosθ) µN2 m2a2

N2 N (cosθ µ senθ) m2ga1 a2 tgθ

b) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268

8.14. a)v mg

k⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

v0mgk

ektm

a ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

g mgk

ektk

x vlímt⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m(vlím v0)k

1 ektm

b) vlímmgk

8.15. a) s/c b) t 2.996α

x 2.046vlím

α

8.16. s/c

8.17. a) v 2gr senθ N 3mg senθ

b) v 2gr N 3mg

8.18. v0 2gy0 N0 (4y0 1)mg

8.19. a) 0 b) -0.412 m/s2 c) 1.412 m/s2

8.20. a) a0=g tgθ b) 2.63 m/s2

8.21. tgθ=g/a0

8.22. a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°

8.23. a) g/µ b) 4.9 m/s2; 2 h/g

8.24. a) b)m2

m1

(M m1 m2) gm2g

2 (m1 m2)

8.25. s/c 8.26. 58.2 kg

8.27. a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kgc) 61 kg; 70.7 kg; 15 kgd) 200 kg; 173.2 kge) 173.2 kg; 200 kgf) 193.2 kg; 273.2 kg

8.28. 17.98°; 10.67° (con la vertical)

8.29. a) b) ½mg cotgθT mg2 senθ

8.30. 68.786°; 0.842mg 8.31. s/c

9.- Sistemas de referencia enrotación.

9.1. s/c

9.2. vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)

9.3. a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no

9.4. x=V0tcosωt; y=-V0tsenωt: x2+y2=(V0t)2

Prob. 9.3


9.5.a) (0 ΩR+2ωr 0); (ω2r-(ΩR+ωr)2/(R-r) 0 0)b) (ωrsenθ ΩR+ωr(1-cosθ) 0);(-ω2rcosθ-(ΩR+ωr)2/(R-r) -ω2rsenθ 0)

9.6.a) (-(Ω+ω)rsenθ ωR0+(Ω+ω)rcosθ 0);(-ω2R0-(Ω+ω)2rcosθ -(Ω+ω)2rsenθ 0)b) ω/Ω=r/(R0-r); (-(R0

2/r-R0+2r)ω2 0 0)

9.7.

v abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ω 2R cosφ

ω 1R senφ

ω 1R cosφ

a abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

α2R cosφ 2ω 1ω 2R senφ

α1R senφ (ω 21 ω 2

2)R cosφ

α1R cosφ ω 21R senφ

9.8. a)

v abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ωr (1 cosθ)v senθ

v cosθ

a abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2ωv senθ

v 2

rcosθ ω 2r(1 cosθ)

v 2

rsenθ

b) (-2ωr 0 v); (0 -v2/r-2ω2r 0)c) (-ωr -v 0); (2ωv -ω2r -v2/r)d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ωr v 0);(-2ωv -ω2r v2/r)

9.9. (-ωR -2v 0); (4ωv-αR -ω2R -v2/r)

9.10. (2v-ΩR 0 0);(0 -3v2/R-Ω2R+4Ωv -v2/r)

9.11.

v abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

v(1 rR

cosθ

ωr senθωr cosθ

a abs

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2ωv rR

senθ

ω 2r cosθ v 2

R(1 r

Rcosθ)

ω 2r senθ

9.12. ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

v2

senθ ωr senθ

v cosθ ωr2

(1 cosθ)

32

v senθ

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

v 2

2rcosθ ω 2r

2(1 cosθ) 2ωv cosθ

v 2

rsenθ ω 2r senθ ωv senθ

32

v 2

rcosθ

9.13.

v

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ω 2r cosθ

v0 cosθ ω 1r senθ

v0 senθ ω 1r cosθ

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

2ω 1ω 2r senθ 2ω 2v0 cosθ

(ω 21 ω 2

2)r cosθ 2ω 1v0 senθ

ω 21r senθ 2ω 1v0 cosθ

9.14. a) v v ωR cosλ 0

a

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

ω 2R senλcosλ2ωv senλ

ω 2R cos2λ

b) F cor 0 2mωv senλ 0

c) v=(-40 355.8 0) m/s;a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2;Fcor=(0 3.75 0) N

9.15. 27° 9.16. 0.33 9.17. 112.6 km/h

9.18. a) 16.7 m b) 16.7°

9.19. z ω 2

2g(x 2 y 2)

9.20. 3’ 21"; plomada

9.21. λ=43° 46’; βmáx=2° 29’

9.22. s/c

9.23. a)

t 1ω

ln l l 2 b 2

b

v ω l 2 b 2


b) Ncor 2mω 2 l 2 b 2

9.24. s/c 9.25. 1.75 cm

9.26. a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h

9.27. a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm

9.28. a) acor=0.0469 cm/s2, Oeste;Fcor=4.69 N, Este b) dcha. meridiano.

9.29. efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.ida-vuelta=484 g

9.30. a) 0.34 b) Fcf=1332 dyn;Fcor=113 dyn

9.31. a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s

10.- Trabajo y energía.

10.1. a)a 1

213

t ;

v 12

t 16

t 2 ; x 14

t 2 118

t 3

b) P 32

t 32

t 2 13

t 3

c) 133.3 J

10.2. a) a 12

13

x ; v 33

3x x 2

b) P 33

(3 2x) 3x x 2

c) 152.5 mJ

10.3. 6.67 kN 10.4. s/c

10.5. a) 19.739 mN b) 592 mJ; no

10.6. a) helicoidal uniforme, R=mv/qB,

paso b) 0; noh 2π mqB 2

(v B)

10.7. a) W=pdV b) nRTln(V2/V1)c) (p1V1-p2V2)/(γ-1)

10.8. a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V.d) 6.7%

10.9. a) 162 km/h b) 65 km/hc) 294 km/h d) no hay límite.

10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W

10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J;1.488 J c) ref. inerciales.

10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 ergc) 130 erg d) no

10.14. a) ∇×F=0 b) Ep=-(x2y+xz3) c) 58 J

10.15. 48π 10.16. a) si b) 4k

10.17. a) F=-k(x y 0) b) F=-kr c) central;ley de Hooke.

10.18. a) b) 2πRf(R)C

F dr≠0

10.19. a) ΔEk12

m (senθ µ cosθ)2 g 2t 2

b) ΔEp12

m (senθ µ cosθ) g 2t 2 senθ

c) no; ΔE=Wf

10.20. W 12

mgL (1 senθ0 2µ cosθ0)

10.21. Ep1

4π 0

qq′r

10.22. a) b)14π 0

q 2

l1

4π 0

2q 2

l

10.23. a) Fr r0

r 2Ep,0 e r/r0

b) vide tabla c) vide figura; no

d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r0

10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura

Prob. 10.23

e) F(r)12Ep,0

r

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r0

r

12 ⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r0

r

6

f) r=r0; r<r0; r>r0 g) s/c


10.25. a)

Tabla Prob. 10.23

r/r0 F(r)/F(r0) Ep(r)/Ep(r)

2 1.38×10-1 1.84×10-1

4 7.78×10-3 1.24×10-2

10 6.79×10-6 1.23×10-5

Prob. 10.24

Ek1

8π 0

e 2

rEp

14π 0

e 2

r

E 18π 0

e 2

r

b) <Ek>12

<Ep>

10.26. <Ek> <Ep>14

mω 2A 2 14

kA 2

10.27. a) b)Ek12

kR 4 Ep14

kR 4

10.28.

a) <Ek>n 1n 3

E <Ep>2

n 3E

b) <Ek>=-E; <Ep>=2E

11.- Conservación de laenergía.

11.1. s/c 11.2. 80.4° 11.3. 2d

11.4. a) Ep=mgRcosθ; Ek=mgR(1-cosθ)b) at=gsenθ; an=2g(1-cosθ)c) 48.2° d) mayor

11.5. inicialmente es v F en sentidosopuestos

11.6. 11.7. a) s/c b) s/cv gl/2

11.8. 2.90 m 11.9. s/c

11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s

11.11. a) hn=fnh0 b) -ΔEn=mg(1-f)fn-1;-ΔEn/En-1=1-f c) 28 botes d) 38.36 s

11.12. a) N=mg(2cosθ-2) b) 38.2°

11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masavariable

11.14. a) b) 30°;vmín 5gR gR/2

11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m

11.16. a) vide figura b) pozo de potencial

Prob. 11.16

c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848d) -2.109; 2.109

11.17. a) x=0, Ep=0, estable; x=1, Ep=3.25,inestable b) vide c) -0.229; 0.455;1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s

11.18. a) -a√2; 0; +a√2

Prob. 11.17

F(x) a 2E016a 4x 4a 2x 3 2x 5

(8a 4 x 4)2


b) c)v0 v 2∞

E0

4mα > 1

14E 2

0

9mv 2∞

d) e) ±a; ±1.87aα >

1E0

4mv 2∞

14E 2

0

9mv 2∞

11.19. a)

Prob. 11.18

Prob. 11.19

Epkx 2

2c

2x 2

b) x 2 Ek

E 2 ckk 2

sen(ω t θ0)

c) ω 2πT

2 km

11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa

11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable;

Prob. 11.21

(-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), sillac) (0,0), inestable; x2+x2=4, establed) (0,0), estable; x2+y2=9, inestable

11.22. a) Ep (ar 2 b) e cr 2 A 2 a bcac

b) c) s/cF 2acr (r 2 A 2) e cr 2

11.23. a) b) s/c c) s/cv v 20

2 U0

m

11.24. s/c 11.25. a) s/c b) s/c 11.26. s/c

11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV

11.28. a) 1.18 pm b) no

11.29. 28.3 MeV/c2


11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV;190 GW h

11.31. 1.022 MeV

12.- Momento angular.Fuerzas centrales.

12.1. a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t2)kg m2/s b) (0 0 -12t) m N; igual

12.2. a) (0 0 t6); (0 0 6t5) b) (0 0 6t5)

12.3. a) (0 0 mabω); (0 0 0) b) fuerzacentral; tray. elíptica.

12.4. a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg;3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s;1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg

12.5. s/c

12.6. a) rmín=k; 2α=4k

b)

Prob. 12.6.....a)

vr v sen θ2

vθ v cos θ2

c) arv 2

2kcos4 θ

2aθ

v 2

2ksen θ

2cos3 θ

2

d) at 0 anv 2

2kcos3 θ

2ρ 2k

cos3 θ2

12.7. a) F L 2

mr3

Kr 3

b) F L 2

mk⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2r 2

kr 3

c) F L 2

m

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2k 2

r 5

1r 3

d) F L 2

m⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6kr 4

1r 3

e) F L 2 (1 α2)mr3

Kr 3

12.8. a) m<Ek>n 1n 3

E <Ep>2

n 3E

óv. limitados

b) <Ek> E <Ep> 2E

12.9. a) b)F L 2

mk 4r v

v0

kr

c) Ep′12

mv 20

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

k 2

r 2

r 2

k 4

12.10. a) L=cte b) c) r=kθ

Prob. 12.9.....c)

Prob. 12.10.....e)

φ (3t/k 2)1/3

d) F⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2mk 2

r 5

mr 3

e) Epm2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

k 2

r 4

1r 2

Ep′mk 2

2r 4

12.11. F Kr 5

12.12. a) b) vide fig.Ep14

Kr 4


c)

Prob. 12.12.....b)

E 34

KR 4 L R 3 mK

12.13.

a)

Prob. 12.13.....a)

Epk

3r 3; r0

mkL 2

;

E0k

6r 30

; L0mkr0

; inestable

b)Ep

kr 2

2; r0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

L 2

mk

1/4

;

E0 kr 20 ; L0 r 2

0 mk ; estable

12.14. a)

Prob. 12.13.....b)

Ep′L 2 mk

2mr2

b) órb. circular: L2=mk, E=0

c) L2>mk: 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]

L2=mk: 1/r = A (θ-θ0) (espiral)

L2<mk: 1/r= Aexp (Ωθ)+A exp(-Ωθ)(espiral)

12.15. a) s/c b) F(r) 4π 2

T 2mr kr

12.16. a) b)v 2 e 2

4π 0rL 2 me 2r

4π 0c)

Epe 2

4π 0r; Ek

e 2

8π 0r;

E e 2

8π 0r; estado ligado

d)rn

0h2

πme 2n 2 5.292×10 11 n 2 m

Enme 4

8 20h 2

1n 2

13.6n 2

eV

e) 52.92 pm; -13.6 eV

12.17. a) T 2 4π 2

GMM1R1 M2R2

M1

R 21

M2

R 22

b) FGMM1M2

M1R1 M2R2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

R2

R 21

R1

R 22

c) 1.55 h; 2.66 mN d) 1.55 h; 95.1 N

12.18. 42 175 km = 6.62RT

12.19. 16 min 26 s

12.20. a) 225 m/s; 9.95×10-5 rad/s; -8.2 min;6.9 GJ; -13.8 GJ; -6.9 GJb) 1.36×107 m N; 125.2 h c) 81

12.21. a) v0=0, rectilínea (vertical);0<v0<16 676 m/s, elipse, salvo parav0=16 676, circular; v0=16 676 m/s,parábola; v0>16 676 m/s, hipérbola;v0=∞, rectilínea (tangencial); nob) si; ±510 m/s

12.22. 7 369 m/s

12.23. v0>3 127 m/s, hipérbola;v0=3 127 m/s, parábola;v0<3 127 m/s, elipse.

12.24. a) elipseb) =0.21; a=2.53R; b=2.48R;rmín=2.00R; rmáx=3.06R; α=2.42R


c) =0.19; a=1.68R; b=1.65R;rmín=1.36R; rmáx=2.00R; α=1.62R

12.25. s/c 12.26. 0.0169 12.27. s/c

Prob. 12.24

12.28. a) 0.1111; 7 426 km; 7 380 mb) 1 h 46 min 6 sc) 6 556 m/s; 8 194 m/s

12.29. a) 0.1109 b) 7 362 km c) 1.75 hd) 6 586 m/s; 8 178 km

12.30. a)a GMR

2GM Rv 20

2 1Rv 2

0 (Rv 20 2GMcos2φ )

G 2M 2

b) rmáx R hmáx a (1 )

c) a=3 211 km; =0.9921; hmáx= 25.95 km

12.31. a) rmín

s 2v 40

GM G 2M 2 s 2v 40

b) c) hipérbola (+); noθ 2 arctg GMsv 2

0

12.32. 330 813MT

12.33. 1.758×1024 kg; 18.31 h

12.34. a) 8 188 m/s b) 5 732 m/s c) aumen-tar velocidad hasta 6 316 m/sd) 1 h 4 min 58 s e) 38.94°

12.35. t Sab

12.36. a) =1.401; α=135.5×106 km b) hi-pérbola (+) c) 56.44×106 km

12.37.

a) tTtierra

6π(1 cosΘ)3/2 ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

3 tg Θ2

tg3 Θ2

b) Θ=90°; 77.51 d

12.38. a) elipse b) =0.181; α=1.637R;

Prob. 12.38

rmín=1.386R; rmáx=2.000R; a=1.693R;b=1.665R; c=0.307R c) no

12.39. a)

Prob. 12.39

Prob. 12.39.....b)

Ep′L 2 mλ

2mr2

kr


b)r Ω

1 cos β (θ θ0)

con

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ω αβ 2 L 2 mλmk

> 0

αA L 2Amk

β 1L

L 2 mλ > 0

12.40. 262 fm

12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = πR2

12.42. a) s/c b) σt = πR2

12.43. a) s/c b) s/c

13.- Movimientoarmónico simple.

13.1. a) si; b) noT 2 2h/g 1/ν

13.2. s/c

13.3. a) 5 cm; 31.4 s; 0.0318 Hz; 30°b) cos(0.2t+0.5236);-0.2sen(0.2t+0.5236) c) 2.5 cm;0.866 cm/s

13.4. a) 3.40sen(πt+2.0586) =3.40cos(πt+0.4878) b) 10.68 cm/s;33.56 cm/s2 c)

0.0, +3.00 cm, -5.00 cm/s2, -29.65 cm/s2;0.5, -1.59 cm, -9.43 cm/s2, +15.73 cm/s2;1.0, -3.00 cm, +5.00 cm/s2, +29.65 cm/s2;1.5, +1.59 cm, +9.43 cm/s2, -15.73 cm/s2;2.0, +3.00 cm, -5.00 cm/s2, -29.65 cm/s2;

13.5. 0.179 Hz; 71.1 cm

13.6. T2π t0

arccos[(a c)/2b]

13.7. 120°

13.8. a) s/cb) eje x: mov. unif.; eje y: m.a.s.c)

v 2 v 20 ω 2y 2

0 sen2ω t

a ω 2y0 cosω t

d) F=(0 -ky 0); k=mω2

13.9. a) A<g/(4π2ν2) b) A<(µg)/(4π2ν2)

13.10. a) 3.83 cm, subiendo b) 4.93 cm

13.11. ν 15.76 a

m(S.I.)

13.12. 13.13.T 2π cg

T 2π L2g

13.14. 0; 0; 0 13.15. a) E/3 b) 2E/3 c) s/c

13.16. 1.76 Hz 13.17. 172.4 g

13.18. x0

mg sen θk

ω km



13.19. a) ω km

; 1k

1k1

1k2

...

b) ω km

; k k1 k2 ...

c) ídem

13.20. a) k2=2k b) k3=3k

c) k1

n 1n

k k2 (n 1) k

13.21. a) b)k3mg

hν 1

2π3gh

13.22. ωk(h l0)

mh

T0

mh

13.23. a) 28.8 Hz b) 30.5 Hz

13.24. 9.814 m/s2 13.25. 1.96 s

13.26. adelanta 2 min 44 s diarios

13.27. 14.8° 13.28. 48.6 m/s

13.29. a) b) en el fondoθ gl

sen θ 0

13.30. a)

b)

Prob. 13.30, 13.30.....a)

T 2bm

Ep,0

c) T⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 2 33

bm

Ep,0

13.31. s/c

13.32. a) 1.10 Hz b) ν a 2

2πb mb

13.33. ω72Ep,0

mr20

13.34. a) s/c b) T 2π bg

13.35. x=a(φ-senφ); y=a(1-cosφ)

13.36. a) b) s/cT 2π 4ag

13.37. s/c

14.- Oscilacionesamortiguadas y forzadas.

14.1. s/c 14.2. s/c

14.3. a) s/c

b)<E> 1

2mω 2

0A20 e 2β t

<P> 2β <E>

14.4. s/c

14.5. a) b) 1.995 cmx 5 e 9t sen 12tc) 0.870 s

14.6. a) 0.28 s; 0.45 J b) 0.018 kg/s

14.7. a) 0.0277 s-1; 0.1109 kg/s; 18.03 sb) 1.59 Hz; 0.628 s c) 1.59 Hz;0.628 s d) 12.5 s e) 83.05 s; 3 cm

14.8. a) 19.6 mJ b) 366.5; 0.196 mJ

14.9. 49.1; 2411

14.10. no influye en el periodo; amortiguala amplitud; T=2.01 s;β=3.59×10-5 s-1; τA=7h 44.5min

14.11. 3.60; 0.87

14.12. a) 0.205 g/s; 5.13×10-3; 612.5b) 1.03%

14.13. s/c

14.14. a) 1.32 s-1; 3.14×10-3; 0.758 s b) 318

14.15. 38

14.16. a) 2393 b) 0.5 s c) las graves

14.17. 333 ms, 7.36 cm

14.18. si; tc=83 ms, vc=-37.4 cm/s;tm=417 ms, xm=-12.46 cm


14.19. 275 ms, 5.07 cm

14.20. a) 9.608×10-7A2 J b) 4.23×107

c) 7.78 ns; 4.67×106 osc.

14.21. a) 24 298 N/m; 5400 kg/s b) si;32.2 cm c) 0.95 s d) 6 cm

14.22. a) 17 775 kg/s b) 83 ms

14.23. a) 5.35 cm; 105.52° b) 4.29 Hz;6.03 cm

14.24. a) 4.6 cm; 2.1 s b) 0.25 J c) 0 Wd) 32.3 cm; 0.39 s; 25 J; 0 W

14.25. 0.1 cm; φ=-90°

14.26. k « mω2/4

14.27. a) 2.03 Hz b) 20 mm c) 42 mW

14.28. a) 1.33 mm b) 0.74 mW

14.29. a) infra b) 132.2 g/s, 72.4°c) 3.0 cm/s d) 0.2 cm, 162.4°

e)

Prob. 13.29, 14.29.....e)

14.30. k=k1+k2; γ=γ1+γ2; β=γ/2m;ω0

2=k/m

14.31. a) 7.52 cm b) 0.17 cm

14.32. a) 7.52 cm b) 0.17 cm

14.33. a) ω ≈ ω 0

13

km

tgϕ γ ωk

b) Ares B 1 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

9mk

γ 2con 9mk

γ 20.25

c) F (k mω 20) B sen ω 0t γ ω 0 B cos ω 0t

Ares [ k cos(ω 0t ϕ ) γ ω 0 sen(ω 0t ϕ ) ]

14.34.

Aγ ω B

(k mω 2)2 γ 2ω 2

tgδ γ ωk mω 2

14.35. a) 2.46×104 N/m b) 274 N

14.36. a) 9.1 Hz b) ∞ c) 6.7% d) 1.6%

14.37. 4 mm; 50.3 mm/s; 632 mm/s2

14.38.

a)A

(k2 mω 2) F0

(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k 22

Bk2 F0

(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k 22

b) k2 mω 2 ;k1

M≈

k2

m

14.39. m=5.06 kg; k2=0.203k1

14.40. 6.37 Hz; 15.7

14.41. 12.5

15.- Superposición de movi-mientos armónicos simples.

15.1. a)x

3c1

2mω 20

cosω 0t

17 c3

34mω 2O

sen (3ω 0t 2.897)

b) c3/c1=12.37

15.2.

a)x

10

10mω 20

[ 4a1 sen ( 12

ω 0t 0.322)

a2 sen(2ω 0t 2.820) ]

b) 0.25 c) 16 d) 1; 0.25

15.3.

a)F(t) 4h

π...

⎞⎟⎠

senω t13

sen3ω t15

sen5ω t ...

b) i) 1.000; 0.704; 0.326; 0.064; ...ii) 0.521; 0.259; 1.000; 0.074; ...

15.4.

a)F(t) 1

π12

senω t2π

...

⎤⎥⎦

13

cos2ω t115

cos4ω t135

cos6ω t ...

b) 1.000; 0.525; 0.398; 0.0265; 0.0063


15.5.

a)F(t) 2

π4

3πcos2ω t ...

⎤⎥⎦

1215

cos4ω t1235

cos6ω t1263

cos8ω t ...

b) i) 1.000; 0.040; 0.0074; 0.0023;...ii) 1.000; 0.318; 0.762; 0.054;...

15.6. a) 6.94; 38.58° b) 5.00; 98.13°c) 7.00; 60.00°

15.7. 7.47; 57.94°

15.8. a) π rad/s; 2 s b) π rad/s; 2 s c) in-conmensurables d) 2π rad/s; 1 s.

15.9. a) 0.5 s; 2 Hz b) 3.5 c) vide Fig.

Prob. 15.9.....c)

15.10. a)

⎧⎨⎩

x 2sen3t 4cos3ty sen5t 2cos5t

⎧⎨⎩

x 6cos3t 12sen3ty 5cos5t 10sen5t

b) Ax=2√5; Ay=√5 si; 2π c) vide Fig.

Prob. 15.10, 15.10.....c)

15.11. a)

Prob. 15.11, 15.11.....d)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x822

sen( 2 2 t 1.083)

y 5 sen( 5t 1.107)

⎧⎪⎨⎪⎩

x 2 41 cos( 2 2 t 1.083)

y 5 5 cos( 5t 1.107)

b) Ax=9.06; Ay=2.24 c) no d) vide Fig.

15.12. s/c 15.13. s/c

15.14. 15.15. s/cy2B

A 2x 2 B

15.16. a) nx:ny:nz, naturalesb) T=nxTx=nyTy=nzTz

16.- Geometría de masas.

16.1. (1.0 1.7 1.7) 16.2. s/c 16.3. s/c

16.4. a) (senα/α)R b) (2√2/π)Rc) (2/π)R

16.5. xcm=(πR2)/(πR+L);ycm=(2R2-L2/2)/(πR+L)

16.6. s/c

16.7. a) x 0 y23

senαα

R

b) x 0 y4 23π

R

c) x 0 y4

3πR

d) x 0 y4R3

sen3α2α sen 2α


e) x 0

y2R3

sen3α sen3β(α β ) sen(α β )cos(α β )

16.8. x 0 y35

H

16.9. x πa y56

a

16.10. x y256 a315 π

16.11. a) desde la basez14

H

b) z(R 4

2 R 41) 4 (R2 R1)R 3

1

4 (R2 R1)(R32 R 3

1)H

16.12. a 3H/4 de cada vértice, siendo H laaltura del tetraedro.

16.13. a) z3R4

sen4α[2 (2 sen2α) cos α]

b) z3R4

sen4α sen4β[(2 sen2α)cosα (2 sen2β )cosβ ]

c) d) e)z3R8

sen2α1 cosα

z38

R z38

R

16.14. 53.13° 16.15. z38

R 42 R 4

1

R 32 R 3

1

16.16. a) zR4

1 cos 2α1 cos α

b) zR4

cos 2α cos 2βcos α cos β

c) xπ4

sen αα

R

16.17. a) z = R/2 b) x=y=z= R/2

16.18. z = -R/14

16.19. 16.20. s/czπ4

a 3(4b 3a)

3b 3 2πa 3

16.21. a) b)14

m(R 21 R 2

2) 14

m(R 21 5R 2

2)

16.22. a) (1/2)mL2; (1/6)mL2 b) (1/18)mL2

c) (1/12)mL2

16.23. a) (2/3)mR2 b) (2/9)mR2 c) (11/9)mR2

d) (4/9)mR2 e) (13/9)mR2

16.24. s/c

16.25. a) (1/12)mL2sen2θ b) (1/3)mL2sen2θ

16.26. a) (27/50)mR2 b) (27/100)mR2

16.27. 1 687.50 g cm2

16.28. a) (1/6)ma2; (1/12)ma2 b) (1/12)ma2;(1/12)(2+√2/2)ma2 c) (1/3)ma2

d) (2/3)ma2 e) (1/9)ma2

16.29.

14

m

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b 2 0 0

0 a 2 0

0 0 a 2 b 2

16.30. a) (1/6)ma2 b) (2/3)ma2 c) (1/6)ma2

16.31. a) 320

mR 2 35

mH2

b) 320

mR 2 110

mH2

16.32. a)

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

14 8 1

8 22/3 2

1 2 20

kg m2

b) 3.56 kg m2

16.33. a)

b)

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

A 0 0

0 B 0

0 0 C

17.- Sistemas de partículas.Leyes de conservación.

17.1. s/c 17.2. s/c

17.3. a) (7.78 5.77 0) cm/sb) (2.22 -5.77 0) cm/s;(-1.78 4.64 0) cm/s c) 24.7 g cm/sd) 560 erg; 137.8 erg

17.4. a) 1.67 2.00 0) cmb) (0 0 15.88) g cm2/s;(0 0 69.4) g cm2/s


17.5. a) Ep=½k(x-l0)2 b) Ek,1/Ek,2=m2/m1

17.6. a) (t2+t+1 t3+t-2 t3-5)b) (12t+6 6t 6t) c) (12 36t 36t);(0 36t 0); (-4 0 36t); (16 0 0); no

17.7. a)

(-24t3+216t2-24 12t4-72t3+48t 36t2 24)

(-72t2+432t 48t3-216t2+48 72t)

17.8. a)

(-24t3+144t2-36 12t4-108t3+108t2+192t+7236t-48t3-28t2-48t-16); (-72t4-72t2+144t

48t3-216t2+144t-48 -8t3-8t+16) b) no

17.9. (72 114 -60); (96 -126 72)

17.10. 264; no 17.11. 36; 300

17.12. a) ΔEk=½mv02cos2θ0 b) 32 107 m

17.13. a) 328.4 m/s; 57.43° b) 90 178×m kg(3m=masa granada) c) 0.00 m;9 470 m; 2 370 m

17.14. 3.33 cm

17.15. a) s2m

M ml

b) VmM

2MglM m

; v2MglM m

17.16. vb=1.5 m/s; t=0.1 s; Vbast=1.0 m/s;t=0.28 s; Vbast=0; despl. basti-dor=18 cm (dcha); CM estacionario

17.17. acm

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m1 m2

m1 m2

2

g

17.18. V2m 2gh cos2θ

(M m) (M m sen2θ)

vabs

2 (M m)gh

M m sen2θ

17.19. a) 1 m/s b) 1.57×105 m/s2;3.13×102 m/s2 c) 3.19 msd) 1.57×103 N

18.- Sistemas de masavariable.

El problema de 2-cuerpos.

18.1. 3.27 km/h

18.2. a) 0.753+1.667t g b) 500.753 g

18.3. 300 disparos/min

18.4. a) 3.44 m/s b) 24 N

18.5. a) αv b) αv2 c) s/c

18.6. a) s/c b) vf 0.598v0 0.296m0g

α

18.7. 0; 0.09 CV

18.8. a)m m 2

0 2km0v0t

xm m0

kv

m0

mv0

b)

ΔEk

12

m0v20

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m0

m1

12

m0v20

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

kxm0 kx

< 0

18.9. xg2

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

12

t 2m0

αt

m 20

α2ln

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 αm0

t

18.10. a) s/c b) s/c

18.11. a) vαwk

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

1⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m0 αt

m0

k/α

b) vf

αwk

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

1⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

mcoh

m0

k/α

18.12. a) 61.25 kg/s b) 245 kg/s

18.13. a) 188 km/h; 1.908 km b) 25.192 km

18.14. a) 1269 km/h b) 2287 km/hc) 1494 km/h

18.15. 18.9 kN; 2835 kW

18.16. a) Papl

MvL

(gx v 2)

b) Pdis

M2L

v 3


18.17. a) xv dv [ v 2 (x L) g ] dx 0

b) vL gL/3

c)W MgL ΔEk

MgL6

ΔEp

MgL2

ΔE2MgL

3; no

18.18. a) 14×106 m/s; 0.24×106 m/sb) 0.7 MeV c) energía de enlacenuclear

18.19. mM m

(a b) 5 cm

18.20. 258.3 d 18.21. 210.9 d 18.22.1.059 Å

18.23. a) ω 3k2m

b)E

12

kD 2 ; E1

23

E ; E2

13

E

c)A1

23

D ; A2

13

D ;

v1,máx

23ωD ; v2,máx

13ωD

18.24. 18.25. s/cm2kR

g

18.26. a) v1

m1 m2

m1 m2

v0 ; v2

2m1

m1 m2

v0

b) vcm

m1

m1 m2

v0 ; ω(m1 m2)k

m1m2

c)

x1 vcmtm2

m1 m2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

l0

v0

ωsen ω t

x2 vcmtm1

m1 m2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

l0

v0

ωsen ω t

18.27. a) El c.m. adquiere velocidad a ex-pensas del impulso proporcionadopor la pared. b) x1=l0; v1

2(0)=kD2/mc) vcm

2=kD2/16m d) ω2=4k/3m

A32

D ; A1

34

A ; A2

14

A

18.28. a) 558 N/mb) Ed=4.52 eV; W=4.35 eV

18.29. a) 1829 N/mb) Ed=11.13 eV; W=14.3 eV

18.30. a) vide Fig.

b) energía disociación c) k=2aD

d) a=3.367×1020 m-2; D=7.163×10-19 J= 4.47 eV

18.31. s/c

Prob. 18.30, 18.30.....a)

19.- Colisiones.

19.1. a) 10.8 N s b) 10.8×103 N; 7347

19.2. a) s/c b) s/c

19.3. a) 0.9 b) 19% c) 22 d) 27.14 s;95.26 m

19.4. a) tramos parabólicos de altura de-creciente b) A2=eA1

c) Atot

v 20 sen 2θ0

(1 e) g

19.5. a) 0.71 b) 50.2 m/s

19.6. h′⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

m1

m1 m2

2

h

19.7. a) h1′=h/9; h2′=4h/9 b) h1″=h; h2″=0(en reposo).

19.8. a) 3 choques; -6v0/27; 7v0/27; 10v0/27b) si.

19.9. γ=0.4142, m1/m2=0.1716;γ=-2.4142, m1/m2=5.8284

19.10. a) 7.106 m b) -7.106


19.11. a) s/c b) s/c c) 0.277m0; 1.883v0;0.984Ek,0 d) 1.566v0; 0.680Ek,0

19.12. s/c

19.13. a) vM m

m2gh 266.5 m/s

b)ΔEk

Ek

MM m

99,7%

19.14. a) 147.89 m/s b) 98.8%

19.15. a) s/c b) ΔEk,2/Ek,1=e

19.16. a) 5.77 m/s, 90°; 5.77 m/s, 30°b) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30°c) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30°

19.17.

⎧⎪⎨⎪⎩

v′1ξ(m1 em2)v1 (1 e)m2v2

m1 m2

cos β

v′1ν v1 sen β⎧⎪⎨⎪⎩

v′2ξ(1 e)m1v1 (m2 em1)v2

m1 m2

cos β

v′2ν v2 sen β

tgθ1

(m1 m2) v1

(m1 em2)v1 (1 e)m2v2

tg β

tgθ2

(m1 m2) v2

(1 e)m1v1 (m2 em1)v2

tg β

θ1=θ*1-β; θ2=β-∂*

2

19.18. 3.27 m/s, 12.83°; 5.86 m/s, 7.12°

19.19. a) 6.506 cm/s, 117.5°; 3.512 cm/s,55.3° b) 5.568 cm/s, 111°;3.000 cm/s, 60° c) 27% d) s/c

19.20. s/c 19.21. a) 28.4% b) 21

19.22. 141°

19.23. 1 m/s; 180°; 3.46 m/s; 30°

19.24. s/c

19.25. a) 1.03 m/s, 46.94° b) no

19.26. a) 14.5° b) 0.03°

19.27. a) 7.49 b) no; 4%; e=0.838

19.28. a) vp

2 mn

mn mp

vn

b) mn

mNvN mpvp

vp vN

1.15 u

19.29. 14.076 u; 4.45%

19.30. 3.864 19.31. s/c

19.32. a) 7.24 g; 28.68°; 26.7 m/sb) θ1,máx=46.37°

19.33. a) m1/m2=4 b) 100 m/s; 61.2 m/sc) 80 m/s d) 20 m/s; 80 m/s; 45°

19.34. a) 14.48°; 104.48° b) 37.76° c) S.L.:77.46 m/s, 126.51 m/s; S.C.M.:20 m/s, 80 m/s d) vide Fig.

Prob. 19.34.....d)

19.35. a) s/c b) 3, 4, 5 y 6

19.36. a) s/c b) s/c 19.37. el cuádruple

19.38. s/c 19.39. 6.72 MeV; 13.44 MeV

19.40. 6.15 eV

19.41. a) 2.354 MeV b) 4.362 MeVc) 3.038 MeV d) 0 (exoenergética)

19.42. a) -4.082 MeV (exoenergética)b) 4.011 MeV; 70 keVc) 173 MeV/c; 173 MeV/c;1.39×107m/s; 2.4×105m/s

20.- Estática del sólido rígido.

20.1. s/c 20.2. s/c

20.3. a) 882 N b) 1.33 m

20.4. deslizamiento

20.5. acelerando: a0=g/2 (vuelco); frenan-do: a0′=g/4 (vuelco), a0″=µg (desliz.)

20.6. a) desliza; 26.6°; 31.0° b) ?; 31.0°;31.0° c) vuelca; 35.0°; 31.0°

20.7. α=90°-2θ; mg cosθ; mg senθ

20.8. 14.6 kg; 10.4 kg


20.9. (-150 0) N; (+180 +52) N;(-30 -52) N

20.10. FA=(240, 297) kg; FB= 379 kg;12 m kg

20.11. a) 30 kg b) 1203 senθ 4 cosθ

kg

c) 36.87°; 24 kg

20.12. a) FA=(+16.2, -19.2) N;FB=(-13.2, 0) N b) 94.5 r.p.m.

20.13. µ=0.34; para θ: (pie) vert. 8.38 kg,horz. 2.81 kg; (rodillo) 3.25 kg

20.14. cos3θ=2a/l; RA=Ptgθ; RB=P/cosθ

20.15. a) 6.46 m b) 76.18°

20.16. a) vert. (30±12h) kg, horz.(12±4.8h) kg; b) 2.50 m

20.17. a) s/c

b) l2

( 1 12

13

...) ; diverge

20.18. 15.82° 20.19. h=R√3

20.20. 20.21. 1.242mF7mg9π

tg θ

20.22. a) NA=0; NC=mg b) tgθ=2m/M

20.23. a) θmáx=8.13° b) µ>0.143

20.24. a) 23.1 kg b) 34.6 kg; 11.6 kg

20.25. A (0, 2.707)λlg; B (2.707, 2.707)λlg;C (2.707, 2)λlg

20.26. a) 42.88° b) N1=12.4 kg; N2=8.8 kg;N12=8.5 kg

20.27. M≥2m/3

20.28. θ1=67.79°; T1=2.65 kg;θ2=10.67°; T2=13.23 kg

20.29. 0.268

20.30. θ=13.3°; β=24.2°; 9.92 kg a 42.7°

20.31. a) 67.4 kg; 151.2 kg a 69.5°b) 2763 kg; 4382 kg a 60.3°

20.32. m1=2m2 20.33. 6.3°

20.34. tgθ=P/2F 20.35. tgθ=P/2F

20.36. senθ=mg/kR

20.37. a) b) √3mg; 2mg;h 1.072 mM

r

mg tg60°cos θ

; tgθ M m

3 m

20.38. a) θ1=0; senθ2=(h-l)/lb) 3mg/2; mg/2; mg/2

20.39. a) 73.90° b) 52 g; 30 g

20.40. 11.3°; 18.4°; 45°

20.41. a) s/c b) tg θ0

FMg

20.42. 30° estable; 57.7° inestable

20.43. 21.03° inestable; 50.5° estable

20.44. ka b

b 2mg

20.45. a) 3tgθ1=tgθ2; senθ1+senθ2=D/lb) 36.17°; 65.49°

20.46. ; 63.74°sen2θ tg θ2

2rl

20.47. a) 30.6°; 49.8°; 116 kg; 59 kg

20.48.senθ eq

θ eq

2kr 2

mgl

20.49. cosα+cosθ=1; tgα=2tgθ;α=68.1°; β=51.2°

20.50.F

l2h

mg sen2θ cosθ

RB

l2h

mg senθ cosθ

RA

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

l2h

senθ cos2θ 1 mg

20.51. a) 2 m; 4 m; 8 m b) TAA′=30 000 kg;TAB=31 623 kg; TBC=36 056 kg;TC=42 426 kg

21.- Dinámica del sólidorígido.

21.1. I1=60ma2; I2=50.25ma2; I3=9.75ma2;e1=(1 0 0); e2=(0 0.283 0.959);e3=(0 -0.959 0.283)


21.2. a) ; noL 112

ml 2ω 0 senθ 0

b) ; noL 13

ml 2ω 0 senθ 0

21.3. a) II 112

ml 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

1 0 0

0 1 0

0 0 2

b) J1=1; J2=1; J3=2 c) e1=(m n 0);e2=(-n m 0); e3=(0 0 1); con m2+n2=1

21.4.

I1

112

m [2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2 ]

I2

112

m [2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2 ]

I3

13

m (a 2 b 2)

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2

3ab1 0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2

3ab1 0

0 0 1

21.5. a) II 112

ma 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

1 1 0

1 2 0

0 0 4

b)I1

112

ma 2 e1

1

21 1 0

I2

14

ma 2 e2

1

21 1 0

I3

13

ma 2 e3 0 0 1

21.6. a) II 112

ma 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

8 3 3

3 8 3

3 3 8

b) L 112

ma 2ω 3 3 8

c)I1

16

ma 2 e1

1

31 1 1

I2

1112

ma 2 e2

1

21 1 0

I3

1112

ma 2 e3

1

61 1 2

21.7. a) 65.33 rad/s2 b) 39.2 rad/s2;3.92 m/s2; 29.4 N c) inercia de lapesa.

21.8. a) 4.2 m/s2; 42 rad/s2; 56 Nb) 3.92 m/s2; 39.2 rad/s2; 58.8 N;54.9 N

21.9. a) mB desciende b) 4.69 rad/s2;0.234 m/s2; 0.375 m/s2 c) 301.0 N;188.5 N

21.10. 0.67 m/s2; 73.03 N; 72.69 N

21.11. ω 2mM 2m

vR

θ 2π 2mM 2m

21.12. a) ν 12π

g2R

λ 2R

b) igual

21.13. a) b)2π 3R2g

2π 5R4g

21.14. a) b)2π 5 3 a12g

2π 2D3g

21.15. a) 2π 2R 2 5L 2

5Lg

b) c) 0.022⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

TT0

2

1 25⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

RL

2

21.16. a) b) x=2L/32π 23g

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

L 2 3x 2

L 2x

c) 2π 0.527Lg

; x 0.264L

21.17.

λ1 2 cos2 θ

2

3 cos θ2

R ;

si θ 120° →λ R


21.18. a) b)α 3pb2m

ω 3pbm

c) tπ2

4m3pb

21.19. a) b)1K

2a0bπK

2a0b

21.20.

trasl.: ycm Kycm 0 m.a.s. ω K

rot.: θ K2

sen 2θ 0 osc.

si sen2θ≈2θ :

θ Kθ 0 m.a.s. ω K

21.21. a) ω ω 0

2M

2M 5m sen2φb) s/c

21.22. mL2ω 2 sen2θ24h

21.23. a) L 112

mabω

a 2 b 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b

a

0

b) no; si c) Fmab (a 2 b 2) ω 2

12L (a 2 b 2)

21.24. 2979 rpm 21.25. 29.79 rpm

21.26. a) 2.5 kg b) 4.77 kg; 0.23 kgc) (2.83 kg) d) 6.62 rpm

21.27. 245.4 m N 21.28. s/c

21.29. 2.02 × 1022 m N

21.30. 1.94 rps 21.31. 974.42 cm/s2

21.32. a) (2/3)gsenθ b) (1/3)mgsenθc) µ0=(1/3)tgθ d) µ=0, desliza; µ<µ0,rueda y desli.; µ=µ0, rodadura crítica;µ>µ0, rodadura e) solo si µ≥µ0

21.33. a) (5/7)gsenθ b) (2/7)mgsenθc) µ0=(2/7)tgθ d) µ=0, desliza; µ<µ0,rueda y desli.; µ=µ0, rodadura crítica;µ>µ0, rodadura e) solo si µ≥µ0

21.34. a) v0/ω0=2R/3; x=v02/2µg

b) v0/ω0=R/3; x=v02/2µg

21.35. a) α 5g14r

b) c) µs≥0.16N32

mg ; f17

mg

21.36. a) 1.37 rad/s; 27.4 cm/sb) ω2=1.87+8.57senθc) θmáx=192.65°

21.37. acm

hFmr

µ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 hr

Fmg

21.38. a) 7.35 m/s2 b) 20.6 N

21.39. a) a0

7 F7M 2m

acm

27

a0

b) α 57

a0

r

21.40. a) mov. unif. acelerado; inercia

b) a ± 2r 2

R 2 2r 2g T

R 2

R 2 2r 2Mg

21.41. avanza; se enrrolla el hilo

acm

23

Fm

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 rR

>0 αacm

R

21.42.

a)T

MmM 3m

g ab

MM 3m

g

acm

M 2mM 3m

g α 2mM 3m

gR

b) m→0; T→0; ab→g; acm→g; α→0

c) m→∞; T→Mg/3; ab→0; acm→2g/3;α→(2/3)(g/R)

21.43. a) 3.27 m/s2; 130.67 rad/s; 3.27 Nb) 0.78 s

21.44. T15

mg α 25

gR

acm

45

g

22.- Trabajo y energía en elmovimiento general del sólido

rígido.

22.1. a)ω 2 6(2r l)

2R 2 5r 2g

vA ωr vB ωR


b) vA vB (R 3r) g

22.2. ω 3g(1 cosθ)L

v 3gL

22.3. a) θ 3g2l

sen θ

b) θ2 3gl

(cos θ0 cos θ )

c) cos θ 23

cos θ0

22.4. 10.63 rad/s

22.5. a) ω 6g senθ(1 3cos2θ) l

Ω ω

b) vB=2lωcosθ

22.6. a) 3112

mr2

b) ω 24( 2 1)g31 r

1.77

r

22.7. a) 20.94 N; 60 vueltas b) s/c

22.8. 20 rad/s; 2 kJ

22.9. a) ω ML 2 6md 2

ML 2 6mL2ω 0 <ω 0

b)Ek,0

Ek,f

ω 0

ω> 1

22.10. a) 23.76 rad/s b) 92.16 rad/sc) 363 N d) 7.2 J

22.11. a) esfera, cilindro y aro b) no c) lainercia de rotación

22.12. plano inclinado; baja antes la maciza.

22.13. 22.14.ω 2kM 2m

ω 8k3m

22.15. T 2π m6k

22.16. ω 3g2l

6kh 2

ml 2

22.17.

a) b)sen θ0

mg (4kl mg)2kl

; con 2kl>mg

ω 3km

sen θ0

22.18.ω′ ω 2

0 β 2

β b 2γ2m(L a)2

ω 0

aL a

gl

2a 2

km

22.19. a) 32

Mx γ x kx F0 sen ω t

b) s/c

22.20. a) 2 rad/s; 2 cm; 1.87 rad/s; 2.1 cmb) 60 mW; 56 mW

22.21. a) b)ω 2l

3gR ω 6(2R h)g

l 2 4h 2

22.22. 53.97°; v0

10(R r)g17

22.23. 50.6 cm

22.24.

a)θ 5g

7(R r)senθ 0

si senθ ≈θ ⇒ θ 5g7(R r)

θ 0

b) T 2π 7(R r)5g

λ 7(R r)5

22.25. a) b) 31.63°;vm

27(R r)g7

v (R r) g sen 31.63°

22.26. a) ω 3( 2 1)g2l

b) ω 12( 2 1)g5l

22.27. 55.2°; θ0 4g/7r

22.28. a) 85.20 cm/s; 42.60 rad/sb) 198.80 cm/s; 19.88 rad/s c) -77 J


22.29. a)a0

2mg senθ cosθ3(M m) 2m cos2θ

ax

2Mg senθ cosθ3(M m) 2m cos2θ

ay

2(M m)g sen2θ3(M m) 2m cos2θ

b) vf a0 th con th

2hay

22.30.ω 2 8 M 2

6M 2 5Mm m 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R r

r 2g

Ω2 2 m 2

6M 2 5Mm m 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

R r

R 2g

vc2 8 M 2 8Mm 2m 2

6M 2 5Mm m 2R r g

23.- Ecuaciones de Euler.

23.1. Meje=Iejeω 23.2. T 2πI0

mgl

23.3. a) ml2ω2sen2φ b) (ml2ω2sen2φ)/D

23.4. a) L 112

mabω

a 2 b 2

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

b

a

0

b) no; si c) M mab (a 2 b 2) ω 2

12 (a 2 b 2)e3

23.5. (mR2ω2sen2φ)/8 23.6. s/c

23.7. ω 3g tgθ3b 2l sen θ

23.8. L (ω×e3)=0 23.9. s/c

23.10. a) 3.295 Hz b) 4.297 Hz

23.11. N mgΩ 2

RI

23.12. a) s/c b) 12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

± a 2

3bΩω g m senθ

c) ωosc=Ω

23.13. F 0 mΩ2R mg

M ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12

mlRΩ2 0 0

23.14. a) s/c b) equilibrio estáticoc) 63.4°<β<67.5°

23.15. s/c 23.16. s/c

23.17.

a) ω1=ωsenβ cosΩt=86.6cos50t rad/s;ω1=ωsenβ senΩt=86.6sen50t rad/s;ω1=ωcosβ=50 rad/s b) Ω=ωcosβ=50 rad/sc) A=ωsenβ=86.6 rad/s d) s/c;1.06×106 g cm2/s; 5.00×107 erg e) s/c;α=19.1° f) s/c; γ=40.9°

24.- Dinámica impulsiva delsólido rígido.

24.1. 4.5×10-3 kg m2 24.2. 4mh2

24.3. a) 0.60 cm debajo del c.m.

b) vide Fig.

24.4. a) cant. mov., momento ang. y energ.

Prob. 24.3, 24.3.....b)

cinética b) mML 2

L 2 12h 2

c) vcm

L 2

L 2 12h 2v0 ω 12h

L 2 12h 2v0

d) e) conjugadosh′ L 2

12h

24.5.

a) ω 6ml

3ml 2 ML 2v0 v

3ml 2 ML 2

3ml 2 ML 2v0

b) Πeje

ML (3l 2L)

3ml 2 ML 2mv0 l

23

L

24.6.


a) ω 3 (1 e) ml

3ml 2 ML 2v0 v

3ml 2 eML 2

3ml 2 ML 2v0

b) Πeje

1

2(1 e)ML (3l 2L)

3ml 2 ML 2mv0 ; l

23

L

24.7. a)ω

12mcosθ0

(4M 3m)

vo

L

v v0 148Mm cos2θ0

(4M 3m)2

sen θsen θ0

148Mm cos2θ0

(4M 3m)2

24.8.

a) ω6m cos θ0

4M 3m

v0

Lv

3m cos θ0

4M 3mv0

b) Πx

Mm4M 3m

v0cosθ0 Πy mv0 sen θ0

24.9.ω 0 vcm

2mv0cosθ0

M m

v v0 14Mmcos2θ0

(M m)2

sen θsenθ0

14Mmcos2θ0

(M m)2

24.10.

a) v′ 17

( v 2lω ) ω′ 17

( ω 24vl

)

b) Π 17

( 8mv 2mlω )

24.11. x33

l

24.12. v34

2gh ω 32l

2gh

Π 14

m 2gh

24.13. v′cm=vcm=ωl/2; ω′=ω

24.14. a) b)ω 0

3v4l

v 2mín

83

( 2 1) gl

24.15.

a)xcm

v3

(1 2cosφ ) θ v3r

(1 2cosφ )

Πx

13

mv (1 cosφ ) Πy mvsenφ

b) ghv 2

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 2rr h

2

24.16. a) s/c b) s/c c) s/c d) s/c

24.17. ; no hay efecto de reboteh75

R

24.18. a) ω 0

5v0

3r

b) v521

v0 ω 521

v0

r

24.19. a) s/c b) tg φ 2

21

Ωω

24.20. s/c

24.21. v′0 0 vcm

v0

2ω

v0

2a

24.22. a) vA=-v0/3; vB=vC=2v0/3

b) c) noΠcomp

2 23

mv0 ; Πreac

23

mv0

24.23. 82.8°; no

24.24. ω′1ω 1 µρω 2

1 µω′2

ω′1ρ

24.25. vf

57

v0 ω 57

v0

R

24.26. a) ω 12

3gl

v12

3gl

b) Πeje

m4

3gl

24.27.

a) ω 1 3e4

3gl

v1 e

43gl

b) Πeje

(1 e)m8

3gl

24.28.

a) ω A

ω 0

3ω B

ω 0

3ω 0

3gl


b) ΠA

1118

mlω 0 ΠB

109

mlω 0

24.29. a) v0

Πm

ω 0

rIΠ

b) v ω R ω R r

I mR 2Π

24.30.ω 5

7

v0

Rvcm

57

v03

ΠB

2M 7m7

v0 Πesf

27

Mv0

24.31. a) vcm

Π2M m

ω 6 Πml

b) Πeje

2M2M m

Π


25.- La ley de la GravitaciónUniversal.

25.1. s/c 25.2. si 25.3. Hooke

25.4. 12.37 lunas/año; 1 luna cada 29.53 d

25.5. a) M = 4π2R3/GT2 b) 6.03×1024 kg

25.6. 1.99×1030 kg

25.7. ecuatorial; 42 178 km

25.8. G=2π2ld2θ/MT2;9.674×10-11 N m2/kg2

25.9. ; 1.28 g/cm3ρ 3πGT 2

tg 3 θ2

25.10. s/c 25.11. 35 a; 0.966

25.12. a) Una misma trayectoria circular;

; E=-3Gm2/2av Gm/a

25.13. a) v12 2G(m1 m2)/r12

b) v1 m2 2G/(m1 m2)r12

v2 m1 2G/(m1 m2)r12

25.14. a) v 212 2G(m1 m2)

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1r12

1r0

b) t π2

r 30

2G(m1 m2)35.12 d

25.15. s/c 25.16. 5 ×10-11 m

25.17. 0.85″ 25.18. a) 3 r.p.m. b) s/c

25.19. a) s/c b) s/c c) 4.8085×10-7 rad/rev.=41.2″/siglo

25.20. a) s/c b) ζ=2π(1-β-1) c) s/c d) s/ce) 1.000 000 08

26.- El campo gravitatorio.

26.1. GMr

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 18(1 R/2r)

g GMr 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 1

8(1 R/2r)2



26.2. a) GM2a

ln y 2 a 2 a

y 2 a 2 a

g GM

y y 2 a 2

b) s/c

c) yG y y y 2 a 2

26.3. a)(x>a) GM

2aln x a

x a

g(x>a) GMx 2 a 2

(0<x<a) GM2a

ln (a 2 x 2)

g(0<x<a) GMa

xa 2 x 2

b) s/c c) xG x x 2 a 2 (x >a)

26.4.

a) GM

R 2 x 2

g GM x(R 2 x 2)3/2

b) x ± R 2

c) v 2 2GMR

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 1

1 (h/R)2

d) si; no e) si h«R; ν 12π

GMR 3

26.5. a)2GMR 2

z 2 R 2 z

g 2GMR 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 z

z 2 R 2

b) s/c

c) zG z R

2 1 z / R 2 z 2

26.6.

a) v 2 4 (2 2 ) GMR

2.343 GMR

b) z=-R; mov. periódico

c) ; noF( z R)≈ 2GMmR 2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 zR 2

26.7. =2πGσ r ; g=-2πGσ

26.8. a) g=0; =4πGσ r

b) g=-4πGσ; =4πGσ r

26.9. ext.: =-GM/r; g=-GM/r2

int.: =-GM/R; g=0

26.10. ext.: GMr

; g GMr 2

int.: GM2R 3

r 2 32

GMR

; g GMR 3

r

26.11. puntos exteriores: i.e., z>R, primersigno; z<0, segundo signo

GMz

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1 3z2R

z 3

R 3±⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 z 2

R 2

3/2

g GMz 2

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1 2z 3

R 3±⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 z 2

R 2

3/2

3z 2

R 2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 z 2

R 2

1/2

26.12. a) ; b) ;g0

3GM2R 2 0

3GM2R

c) zG R 23

26.13. Δg=Gπ(ρt-ρa)a=0.003 m/s2

26.14. a) b) c) Tierra: 11.2 km/s;2gRLuna: 2.4 km/s

26.15. 62.8 MJ; 11.2 km/s

26.16. a) rmáx=16R/7 b) rmáx=9R/7

26.17. a) s/c b) r 2R sen2φ1 cosθ

Prob. 26.17


26.18. a) 0.90 R = 346 000 kmb) 11 078 m/s; 2 274 m/s

26.19. a) -3GM2/5R=-2.28×1041Jb) 2.05×1042J

26.20. a) 1.8×107 años b) energía nuclear

26.21. a) m1/m2=r1/r2 b) m1 c) radial, haciael punto más próximo d) iguales;cero

26.22. s/c

26.23. 14.78 km; 7.36×1017 kg/m

26.24. Ω=2π(1-cosα)

26.25. a) Ω=±2π(1-cosα) b) s/c

26.26. g= -2Gλ/r; = 2Gλ lnr

26.27. a) h′=R-R3/(R+h)2 b) 20 km

26.28. ±3900 km

26.29. a) F= -(GMm/R3) r = -kr

b) T 2π Rg

84.6 min

c) vmáx gR 7 920 m/s

26.30. a) no; si b) v0

gR (R 3h)R h

26.31. a) F= -(GMm/R3) x = -kx

b) T 2π Rg

c) vmáx

g (R 2 a 2)R

26.32. =1 h 24 min 24 sT 2π R /g

26.33. 0.995 93

26.34. a) s/c b) g=g0(1-h/R) c) s/c

26.35. 5.52 g/cm3 26.36. Δg/g=4.5×10-5

26.37. a) g=-GM/r2; =-GM/r

b) g GMR 5

r 3 ; GM4R

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

5 r 4

R 4

26.38. a) m=Kr2/(r2+a2); m(r→∞)=Kb) g=-GM/(r2+a2);

=(GM)/a arctg(r/a)

c) v0

GMma

26.39. a) ρ=(b/πG)r b) M=bR4/Gc) g(r>R)=-bR4/r2

d) =(r<R)=b(r3-4R3)/3;(r>R)=-bR4/r

26.40. s/c

26.41.

a) ρ(r>a) 0 ; ρ(r<a) ρ0 (1 ra

)

b) si; M 13πρ0a

3

c)g(r>a) GM

r 2e r

g(r<a) 3GM (4ar 3r 2)

a 4e r

27.- Elementos de elasticidad.

27.1. a) 12.5×107 N/m2 b) 1.87 mmc) 0.18 µm d) 92 mJ

27.2. a) 26×107 N/m2 b) 750 kg c) 5.55µm

27.3. a) 28.9 kg b) 2.5 mm; 1.24 mm3;0.35 J c) 57.7 kg

27.4. a) 3.1 cm; 39.2×107 N/m2 b) 0.38 J

27.5. a) 9.6° b) 125 J

27.6. 7 m/s2

27.7. a) 6.1 kg b) 1.4 mm; 0.6 mmc) 42 mJ; 18 mJ d) 14.95×1010 N/m2

27.8. a) 2.50×107 N/m2; 0.25 mmb) 69.9 µm; 105 µm

27.9. a) 66.7 cm b) 56.1 cm

27.10. a) acero: 2.91 kg; 0.91×107 N/m2;cobre: 4.19 kg; 0.58×107 N/m2

b) 4.53×10-5

27.11. a) -43.1×10-6; +21.6×10-6; +18.5×10-6;-360×10-6 cm3 b) 70.9 J/m3

27.12. 9 628 r.p.m.

27.13. a) 1.93 mm b) no c) ≈6.5 km


27.14. 9.91 mJ

27.15. a) σ(x) 12ρω2 (L 2 x 2)

b) σmáx

12ρω2L 2 8.53×107 N

m 2

c) 80 µm d) 512 r.p.m.

27.16. s/c 27.17. s/c 27.18. 125 µm

27.19. a) 14.994×9.996×4.998 cm3

ΔV=-0.82 cm3 b) 22×103 J/m3;373×103 J/m3

27.20. acero: 1510 atm; latón: 1283 atm;mercurio: 286 atm; agua: 21.7 atm;éter etílico: 5.9 atm

27.21. a) 2.17 atm; 11 J b) 28.6 atm; 145 Jc) 0.56 atm; 3 J

27.22. a) 0.662×10-6 atm-1; 3.49×10-6 atm-1

b) mercurio

27.23. s/c 27.24. 1042 kg/m3

27.25. a) s/c b) s/c c) 1042 kg/m3; 380 atm

27.26. s/c

27.27. a) 3.7×10-6 rad = 2×10-4 gradosb) 181 µm

27.28. 2939 kg 27.29. 13.5×103 kg

27.30. a) 199 m N/rad b) 62.42°

27.31. a) 3.03° b) 2.32 J

27.32. 0.23° + 0.18° = 0.41°

27.33. a) 1.306 b) 0.324

27.34. a la vez 27.35. s/c

27.36. τ 16.96 × 1010 R 4

l(S.I.)

27.37. τ 16

9π3MgR G 32

9π4

lr 4

MgR

27.38. a) 1.6×107 N/m2; nob) 9.2×10-3 m N/radc) 7.49×1010 N/m2

27.39. a) 38.7 µm b) 1.834×10-8 m N/rad;15.46 min c) 23.28 cm

27.40. (Δφ)A=(Δφ)B

28.- Elastostática.

28.1. ρ=-4R

28.2. a) 1/2a b) b2/a; a2/b c) b2/a

28.3. en y=0: κ=0; R=∞ ...en y=±A: κ= A; R= 1/A

28.4. s/c

28.5. ; el radio de curvaturaR r 1 a 2

es proporcional al radio vector.

28.6. a) R (θ) (4 3 cos2 2θ)3/2

8 3 cos2 2θa

b) R(0)=a/5 c) R(45°)=a

28.7. F (kg) M (m kg)

a) 0<x<2 900 1800-900x2<x<3 0 0

b) 0<x<2 300 -300x2<x<3 -600 -1800+600x

c) 0<x<1.5 -900 900x1.5<x<3 900 2700-900x

d) 0<x<1.5 900 2025-900x1.5<x<3 1800-600x 2700-1800x+300x2

e) 0<x<3 900-600x+100x2 900-900x+300x2-33.3x3

f) 0<x<1.5 675-600x -675+300x2

1.5<x<3 -225 -675+225x


28.8. F (kg) M (m kg)

a) 0<x<2 1020-40x 1980-1020x+20x2

2<x<3 120-40x 180-120x+20x2

b) 0<x<2 360-40x -360+20x2

2<x<3 -540-40x -1800+540x+20x2

c) 0<x<1.5 -900-40x 900x+20x2

1.5<x<3 1020-40x 2880-1020x+20x2

d) 0<x<1.5 1020-40x 2205-1020x+20x2

1.5<x<3 1920-640x 2880-1920x+320x2

e) 0<x<3 1020-640x+100x2 1080-1020x+320x2-33.3x3

f) 0<x<1.5 735-640x -735x+320x2

1.5<x<3 -165-40x -675+165x+20x2

28.9. a) πR4/4 b) π(R24-R1

4)/4

28.10. It/Ib = 2(R2/R)2-1 > 1

28.11. a) 24a4 b) 16a4 c) la viga en doble-T

28.12. πa3b/4

28.13. a) 54.25 N; 41.30 m N b) 17 cmc) no

28.14. ; 21.3×1010 N/m2E π2mL 2

a 3bT 2

28.15. 1/EI = 11.76 × 10-6 kg-1m-2

a) 0<x<2 y 1EI

( 990x 2 170x 3 53

x 4)

2<x<3 y 1EI

(1200 1800x 90x 2 20x 3 53

x 4)

s 4605EI

0.0542 m 54.2 mm en x 3 m

b) 0<x<2 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

445x 60x 3 53

x 4

2<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1200 2245x 900x 2 90x 3 53

x 4

s 477.29EI

0.00561 m 5.61 mm en x 1.6218 m

c) 0<x<1.5 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

343.125x 150x 3 53

x 4

1.5<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1080 2503.125x 1440x 2 170x 3 53

x 4

s 198.7907EI

0.00234 m 2.34 mm en x 0.8677 m

s 2075.625EI

0.0244 m 24.4 mm en x 3 m

d) 0<x<1.5 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1102.5x 2 170x 3 53

x 4


1.5<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

722.8125 337.5x 1440x 2 320x 3 803

x 4

s 6190.3125EI

0.073 m 73 mm en x 3 m

e) 0<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

540x 2 170x 3 803

x 4 53

x 5

s 2025EI

0.0238 m 23.8 mm en x 3 m

f) 0<x<1.5 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

424.6875x 122.5x 3 803

x 4

1.5<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

126.5625 762.1875x 337.5x 2 27.5x 3 53

x 4

s 360.8755EI

0.00424 m 4.24 mm en x 1.3927 m

28.16. F (kg) M (m kg)

a) 0<x<1.5 -50-8x 50x+4x2

1.5<x<3 74-8x 186-74x+4x2

b) 0<x<1.5 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

61.3125 60.75x 253

x 3 13

x 4

1.5<x<3 y 1EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

131.0625 200.25x 93x 2 373

x 3 13

x 4

c) s 61.3125EI

0.0307 m 30.7 mm

d) R EI84

23.81 m

28.17. a) 0<x<3 W2

WL

x W12

L W2

x W2L

x 2

b) y W24 EI

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Lx 2 2x 3 1L

x 4

c) s ρg L 4

96E (R 2 r 2)

28.18. 1.99 kg

29.- Estática de los fluidos

29.1. a) b)∇×f 0 p x 2 y 2 xyz 2 p0

29.2. s/c

29.3. a) 0.735 cm b) 0.833 cm3

29.4. 14.16 cm

29.5. 0.99 mm = 100 div. en 101 mm

29.6. 225.3 Torr

29.7. 370.7 Torr = 5041 mmH2O

29.8. 1.52 Torr

29.9. a) pA-pB=[ρ1h1+(ρ2-ρ1)h2]g

b) h1=ah2/A c) h2

pA pB

(ρ2 ρ1) g

29.10. a) 13.2 Torr b) 336.9 Torr


29.11. p p0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1 BA

zA

8010 B

29.12. 125 t; horizontal, a una altura de1.67 m sobre el fondo.

29.13. a) 6188 kg b) 5062 m kgc) y = 0.82 m d) 3375 kg

29.14. 2.11 m

29.15. hcp=0.589R; 2ρgR3/3; πρgR4/8

29.16. F 22ρ g a H 2; hcp

23

H

29.17. 281.2 kg

29.18. 5πρgR4/2

29.19. Fx=1134 kg; Fy=-857 kg; F=1421 kg;θ=37°; radial (xcp,ycp)=(51.1,-38.6)

29.20. a) 2.54ρgR2L; 38.15° b) πρgR2L

29.21. Fx=36 0000 kg; Fy=-19 600 kg;F=41 000 kg; θ=28.6°;(xcp,ycp)=0.92, 2.0)

29.22. a) b)h ≥ 163

R⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

0.9871 ρρ0

≥ 2R

s/c

29.23. 70 kg

29.24. P=πρgR3/3 = Plíq/2

29.25. a) s/c b) 2629 kg c) si

29.26. 4.10 m2 29.27. a) 14% b) no

29.28. senθ hl

ρ0

ρ0 ρ

29.29. s/c

29.30. a) 15 cm2 b) 30 g c) 10 cm

29.31. a) 2.73 g/cm3 b) 95 g

29.32. s/c

29.33. a) ;2 θ sen 2θ 2π ρρ0

θ=48.26°; h/R=33.42%

b) ;cos3θ 3 cos θ 4 ρρ0

θ=54°; h/R=41.22%

29.34. H R 2

29.35. a) 31 cm; 9 cm b) 35.95 cm;4.05 cm c) 11.08 cm d) 1.08 s

29.36. a) 1.63 m b) si c) 74 500 m kg

29.37. a) s/c b) s/c

c) ρm/ρ<0.2133 y ρm/ρ>0.7887

29.38. 5.17 m

29.39. ; 2.25 cmH 56a

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

1⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

ρm

ρ

23

1

29.40. a) 30° b) 30° 29.41. a = gh/L

29.42. a) 21 g b) 32 g c) nula d) 23.5 g;26.57° hacia adelante

29.43. 300 Torr; 1588 Torr; 1288 Torr

29.44. a) 14.8 cm; 99 Torr; 136 Torrb) 75.7 r.p.m. c) 130.4 l

29.45. a) 104.8 cm; 77 Torr; 160 Torrb) 189 r.p.m.; 368 Torr

29.46. a) p p0

12ρω2r 2 ρg (H z)

b) πR 2 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

14ρω2R 2 ρgH

c) d) poner g=0πR 2 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

14ρω2R 2

29.47. a) s/c b) s/c c) s/c d) H-h≈ 11 km

30.- Tensión superficial.

30.1. a) 1.40 g 30.2. 63.4 dyn/cm

30.3. s/c 30.4. 0.433 J 30.5. 4%

30.6. 29.5 dyn/cm; 0.72 g 30.7. 2 cm

30.8. a) 53.86 mg b) 280 mg

30.9. 2.47 mm

30.10. 24.3 atm; 3.3 atm; 944 Torr;785 Torr; 769 Torr

30.11. 32 dyn/cm

30.12. 24

pi ; r 2


30.13. 33.1 dyn/cm 30.14. 29.7 cm

30.15. a) σr (ρmhm ρ h) g

2b) 30.4 dyn/cm

30.16. 6.91 cm; 14.57 cm 30.17. s/c

30.18. 3.85 mm; 1.58 mm

30.19. x y σ cos α

ρ g sen θ2

cte.

30.20. r2/r1 = 0.183

30.21. sumar 1.8 mmHg a la lectura

30.22. 7.1 mm

30.23. a) 735.0 mmHg b) 732.4 mmHgc) 21.5 mm

30.24. a) 49.54 cm b) no

30.25. no trabajará

30.26. a) b) σ senαh 2 σ cosαρgd

30.27. 5.94 mm 30.28. 13.1 Torr

30.29. a) 163.4 Torr b) 71.2 cm

30.30. 2.97 cm

31.- Cinemática de losfluidos.

31.1. a) xy=C b) v = Axi - Ayj c) a = A2xi+ A2yj

31.2. a) at A 2 x 2 y 2

x 2 y 2an

2A 2 xy

x 2 y 2

31.3. v=(4, 6, 20) cm/s; a=(16, 36,5) cm/s2

31.4. a) v=(6, 5, 125) cm/s

b) a=(0, 1, 30) + (201, 30, 1875) =(201, 31, 1905) cm/s2

31.5. a = 0, 112, 475) cm/s2

31.6. a) 0.40 m/s; 0.107 m/s2 b) 0.58 m/s;0.265 m/s2 c) 0.64 m/s; 0.809 m/s2

d) 1.60 m/s; 3.408 m/s2

31.7. a) 0.142 m/s2 b) 0.316 m/s2

c) 0.888 m/s2 d) 3.549 m/s2

31.8. a) 15.9 l/s b) 22.5 l/s c) 50.625 l/s

31.9. s/c

31.10. a) v = (2t-6x, 6y, 12t2) b) ∇ v=0; si

31.11. a) ∇ v=0; si b) ∇×v=(0, 0, A+B); noc) Bx2+Ay2=C; elipsesd) ω=(A+B)/2 k e) a=-ABr f) Γ=ΩS

31.12. a) ω = (y/2)i; ω=3i b) y=0

31.13. s/c

31.14. a) ∇ v=0; si b) ∇×v=0; si

c) ϒ r 2 a 2

rv∞ cosθ

31.15. a) ∇×v 20 2r(5 r)2

k

b) ; 0.4 rad/sω 10 r(5 r)2

k

c) s/c d) s/c e) Γ 4πr 2

(5 r)f) ∇ v=0; no hay puntos singulares

31.16. a) si; ∇ v=0 b) ∇×v 8B3

r cos θ k

c) en los planos radiales θ=±π/2d) Γ=0

31.17. s/c

32.- Dinámica de los fluidosideales.

32.1. a) xy=C; hipérbola equilátera b) s/c

c) p p0 ρgz 12ρA 2(x 2 y 2)

32.2. a) Bx2 + Ay2 = C; elipses b) s/c

c) p p0 ρgz 12ρAB(x 2 y 2)

32.3. a) velocidad de corriente libre


b) p p∞

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2a 2cos2θr 2

a 4

r 4

ρ v 2∞

2

c) p p0 (2 cos 2θ 1)ρ v 2

∞

2d) cero

32.4.

p p0

ρ(g 24t) z (12t 2)x 18(x 2 y 2)

32.5. r r0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 2gh

v 20

14

32.6. 2.12 atm (manométrica)

32.7. 2.80 m/s

32.8. S 2ρm ρρ

gh

32.9. a) 28 m/s = 100.8 km/h b) 13.6 atm(manométrica)

32.10. a) 25.2 km/h b) 147 l/s

32.11. a) 2.80 m/s b) 3.5 m/s; 22.5 cm

32.12. 57.3 cm 32.13. s/c

32.14. a) 221 Torr; 72.6 Torr b) 98.7 cmc) 244 l/s; se supone pA-patm =221 Torr

32.15. 39.7 l/min 32.16. 38 m/s

32.17. 159 km/h

32.18. a) b) si; h′=H-hx 2 h (H h)c) h=H/2; xmáx=H

32.19. 8.27 m

32.20. S2 ≥ S1

ρghpatm ρgh

32.21. h2=3h1

32.22. a) ;t0

2 (S 21 S 2

2 ) H

g S 22

;si S1 S2 ; t0

S1

S2

2Hg

b) t0=26.07 min

32.23. z = Cr4 (parabolóide)

32.24. a) ; h=nivel de la super-v 2ghficie libre sobre D b) patm ρg (CD)c) 10.16 m

32.25. 33.5 l/s

32.26. a) 2g (L H)b) 1.96Lmáx+0.96H≤10.16;si H=0.5 m; L≤4.94 m

32.27. s/c

32.28. a) 21.64 m/s = 77.9 km/hb) 2.31 atm

32.29. a) 25.25 m/s b) 63.74 N

32.30. a) 14.24 m/s b) 1019 N

32.31. =v 2gh tgh⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2gh2L

t

9.90 tgh(0.0495t) m/s

32.32.3 ρ v 2

0 R 2

8 b 2

32.33. a) 158 l/s b) 20.37 kW

32.34. 2.2 MW

32.35. a) 177.3 W b) 2.16 atm

32.36. 2.17 kW = 2.95 C.V.

33.- Dinámica de los fluidosreales.

33.1. F = ηAV/h 33.2. 2.31 cm/s

33.3. 613.7 N

33.4. a) A=1.994×10-4 P; B=819.6 K;b) η20=0.327 cP

33.5. a) A=1.24×10-6 P; B=3942 K;b) η30=55 cP

33.6. no cumple la relación de Andrade

33.7. a) s/c b) s/c c) no se cumplen

33.8. a) 12.77 P; 1274 b) 0.226

33.9. a) 1968 N/m2 b) 0.57 m N c) 215-W

33.10. 146 µP 33.11. 0.535 cm dyn


33.12. 3008; turbulento

33.13. x=y=z=1 33.14. 180 cm3/s

33.15. a) fvisc 2η 15 r(5 r)3

eθ

b) σrθ10 η

(5 r )2

33.16. a) ∇ v=0; sib) ∇×v=(32xy,-16y2,-6y); no

c) σxx=12ηx, σyy=-12ηx, σzz=0, σxy=--6ηx, σyz=32ηxy, σzx=16ηy2 d) fvisc=η(-6i+32xk)

33.17. f

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

6η 8ρ x 3

18ρ x 2y

ρg 32η x 144ρ x 2y 2

33.18. a) 2ηAr b) 4ηA k c) s/c

34.- Flujo viscoso.

34.1. 34.2. 7.48 cm3/min2η V∞D L

a

34.3. a)v U

hy V ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

yh

1

h 2

2η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yh

2 yh

b) σ U Vh

h2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

c)l

h2

(U V) h 3

12η⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

34.4. a) v ρgδ 2

η

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yδ

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yδ

2

b)l

ρg δ3

3η

34.5. a) b)v ρgδ2

η

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yδ

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yδ

2

sen θ

lρgδ3

3ηsen θ

34.6. a) 0.047 cm3/(s cm) b) 4.7 mm/sc) 3.1 mm/s

34.7. a)v 14η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

r 2 A ln r B

Ar 2

2 r 21

ln (r2/r1)B

r 22 ln r1 r 2

1 ln r2

ln (r2/r1)

b) π8η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂p∂x

(r 42 r 4

1 A )

ΔpL

8ηπ (r 4

2 r 41 A)

34.8. a) laminar b) 4.8 Torr

34.9. πρgD 4

128 η

34.10. 0.590 cP 34.11. 1.9 Pa

34.12. 65.4 cm3/s; 4.7 34.13. 0.83 C.V.

34.14. a) turbulento b) 457 Torr

34.15. a) 2.94 dyn/cm2 b) 28.3 kgc) 19.8 l/s

34.16. a) U ρgδ2

2η

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

2yδ

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

yδ

2

sen θ

b) δ 2ηUρg sen θ

c)l

Uδ ρgδ3

3 η

d) 1.73 mm; 43.2 cm3/s

34.17. v 14 η

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂∂l

(p ρgz) ⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

r 2 D 2

4

34.18. a) de 2 hacia 1 b) 4.4 l/s; 1360

34.19. a) de 1 hacia 2 b) 2.46 l/s; 759

34.20. 44 l/min 34.21. 53.9 l/min

34.22. 51.6 l/min

34.23. a) 21.9 l/s b) 7.65 C.V.

34.24. a) 0.39 J/kg; 13.34 J/kg; 13.73 J/kgb) 4 cm; 136 cm; 142 cmc) 0.004 kg/cm2; 0.136 kg/cm2;0.142 kg/cm2

34.25. a) 6.14 J/kg; 1361.76 J/kg;1367.90 J/kg b) 62.6 cm; 138.9 cm;172.1 cm c) 0.063 kg/cm2;13.89 kg/cm2; 17.81 kg/cm2


34.26. a) 2.54 m/s b) 3.2 l/s c) 567 Torr

34.27. 16 l/s;29.30 m; 29.82 m20.02 m; 20.54 m14.80 m; 15.32 m8.61 m; 9.13 m0.00 m; 8.35 m

34.28. a) 57 cm b) 3.27 l/min c) 0.0444;80 µm

34.29. 28.5 cm 34.30. 0.0035 °C/m

34.31. a) 39.9 J/kg b) 0.35 kg/cm2

c) 2.8 C.V.

34.32. 6.82 kg/cm2; 50.2 km

34.33. 59 m 34.34. 3.25 C.V.

34.35. a) s/c b) ΔpL

∝ 1

D 5/4

34.36. 0.0379 0.03820.0196 0.01970.0120 0.0120excelente

34.37. 0.43 kg/cm2 34.38. 2075 kg

34.39. 26.4 mW 34.40. 1.96 m N

34.41. a) 0.966 cm/s b) 0.016<1 (crítico)c) 7.88 mm

34.42. a) 0.363 cm/s b) 0.074<1 (crítico)c) 4.76 mm

34.43. a) 58.4 µm b) 19.7 d

34.44. a) 10 g b) 8.8 km/h c) 6.7 km/h

34.45. 6.83 m 34.46. 4.75 kg

34.47. 81.2 m/s

34.48. a) 4° b) 52 kg; 27 C.V.

34.49. 311 kg; 279 C.V.


35.- Ondas progresivas.

35.1. c = -b/a (dir. negativa eje x)

35.2. a) 17 kHz b) 1.7 kHz c) 170 kHz

35.3. a) 20 cm/s; 4π rad/s; π/5 cm-1

b) 0.5 sen 2π(2t-0.1x)

35.4. a) 0.2 cm; 3.59 cm; 100 Hz;359 cm/s b) s/c c) 0.258 N

35.5. a) 5 Hz b) 40 cm; 200 cm/sc) 0.3 sen(31.416t-0.1571x)

35.6. a) 0.032 cos(120πt-3.75πx); 0.53 mb) 0.56 cm; -11.88 m/s; -795.4 m/s2

35.7. a) 600 cm/sb) 0.5 sen[50πt-(π/12)x] (c.g.s.)c) 0.5 sen[50πt-5π/6] (c.g.s.)

35.8. s/c

35.9. i) ninguna de ellas es periódica.ii) ramas infinitas o asintóticas.

35.10. v(x,0) 2ABc x e Bx 2

Prob. 35.10

35.11. a)

Prob. 35.11

b) c=C/B; positiva eje x.

c) v(x,t) 2A 3C(Bx Ct)

[A 2 (Bx Ct)2]2

35.12. s/c

35.13. a) lineal en fase b) circular negativac) elíptica positiva (cuadratura) d) e-líptica (+105°) e) elíptica cambiantea lo largo del eje x.



35.14. a) Ψy=sen(ωt-kx);Ψz=1.73sen(ωt-kx)b) Ψy=sen(ωt-kx); Ψz=-sen(ωt-kx)c) Ψy=cos(ωt-kx); Ψz=sen(ωt-kx)d) Ψy=3sen(ωt-kx); Ψz=cos(ωt-kx)

35.15. a) ωR b) deberá propagarse en direc-ción contraria a la de rotación de lacuerda.

35.16. a) b)c(x) g(L x) t 2 L/g

c)λ(x) (1/ν) g (L x)

35.17. s/c

35.18. 0.837 s

35.19. 3148 m/s; 5041 m/s

35.20. 20×1010 N/m2; no

35.21. s/c 35.22. s/c

35.23. 70 m/s

35.24. 0.587 m/s K

35.25. 2.21×109 N/m2; 2.20×109 N/m2

35.26. s/c 35.27. s/c

35.28. a) 46 m b) 30 km

35.29. a) s/c b) 2μcv2τ c) 2μcv2τ

35.30. a) 31.3 m/s b) 28.46 cmc) 1.20 cos2(691.15t) W; 0.6 W

35.31. s/c 35.32. s/c

35.33. 5.3×10-17 J/m3

35.34. a) s/c b) FA2/l2 c) 2FA2/l=cte

d) e) 2FA2/l(A 2/l 2) F 3/μ

35.35. a) 113 µW b) 113 mJ

35.36. 262 km/h

35.37. a) 8π 2ν2A 2 μF cos2 2πνt

b) 4π 2ν2A 2 μF

35.38. I∝1/r ; A∝1/ r

35.39. a) x½=0.693/β b) 3x½ c) 3.32x½

d) 9.97x½

35.40. s/c

35.41. a) 19.8 nW/m2 b) 125 µW/m2

c) 158.3 µW d) 25 nW/m2; 1 nW/m2;125.7 µW

36.- Fenómenos ondulatoriosen medios ilimitados.

36.1. 64.4 km/h; 208.4 Hz

36.2. 39.5 km/h

36.3. 396 < ν < 495 Hz

36.4. 1283 Msol

36.5. a) 25.9 Hz b) 26.7 Hz c) 408 km/h

36.6. a) 241.3 Hz; 1.41 m b) 252 Hz;1.41 m c) 263.6 Hz; 1.29 md) 286.8 Hz; 1.29 m

36.7. 8100 km/h

36.8. 15.19×106 m/s; 5.06×1024 m

36.9. 649 °C

36.10. a) 36° b) 7.13 s

36.11. 2.605×108 m/s

36.12. a) s/c b) los desplazamientos se res-tan pero las velocidades se suman; laenergía total es puramente cinética.c) la distribución de velocidades enla cuerda.

36.13. s/c

36.14. a) 7 sen(ωt-kx)b) 5 sen(ωt-kx+0.9273)c) 6.08 sen(ωt-kx+0.2810)

36.15. a)

A0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

sen 32ϕ

sen 12ϕ

sen (ω t kx ϕ )

b) 120° c) 240° d) I0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

sen 32ϕ

sen 12ϕ

2

36.16. a)

A0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

sen( 12Nϕ )

sen( 12ϕ )

sen[ω t kx12

(N 1)ϕ ]

b) ϕ=2π(n/N), con n=1,2,...N-1


c)

I0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

sen( 12Nϕ )

sen( 12ϕ )

2

36.17. a) 33.3 Hz; 99.9 Hz; 166.6 Hz; ...b) 66.6 Hz; 133.3 Hz; 199.9 Hz; ...

36.18. a) 0.06 sen(9.5t-4.5x)cos(0.5t-0.5x)b) 1 m/s c) 6.28 m

36.19. a) rectilínea (+26.6°) b) elíptica(+90°) c) rectilínea (+135°)

36.20. s/c

36.21.

a)f(x)

∞

n 1

bnsen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπxl

bn

2l ⌡⌠l

0

f(x) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxl

dx

b)f(x)

a0

2

∞

n 1

bncos⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπxl

an

2l ⌡⌠l

0

f(x) cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxl

dx

36.22. a)

8H

π 2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

sen kx 19

sen 3kx 125

sen 5kx ...

con k π /l ⇒ λ 2π /k 2l

36.23.

Ψ(x,t) 4Aπ

⎡⎢⎣1 1

3cos 2(ω t kx)

⎤⎥⎦

115

cos 4(ω t kx) 135

cos 6(ω t kx) ...

36.24. An

12

(an

i bn)

36.25. s/c

36.26. a)

Ψ(t)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

sen Δω t2

Δω t2

cosω 1 ω 2

2t

b)

Prob. 36.2636.27. a)

A(ω )A0

π β 2 ω 2

a(ω )A0

πβ

β 2 ω 2b(ω )

A0

πω

β 2 ω 2

b)

Prob. 36.27

36.28. A(k) a(k)A0

a πexp

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

k 2

4a 2

36.29. a) ω 0

πΔt

a(ω )A0

π2ω 0

ω 20 ω 2

sen(ω t0) sen(π ωω 0

)

b(ω )A0

π2ω 0

ω 20 ω 2

cos(ω t0) sen(π ωω 0

)

A(ω )A0

π2ω 0

ω 20 ω 2

sen(π ωω 0

)

b)

Prob. 36.29

36.30. a) b) cg=1.5cf c) lasω σ k 3 / ρcrestas se forman en cabeza del gru-po, lo recorren hacia atrás y desapa-recen en la cola. d) 40.5 cm


36.31. a) ω gk (σ /ρ) k 3

b) cg

cf

22πσρλcf

c) 1.71 cm; 23.1 cm/s d) 31.5 cm, 44.8 cm/s;56.06 cm, 28.44 cm/s

36.32. a) cg 3cf 2 E / ρ

36.33. s/c

36.34. a) no b) si c) no

36.35. a) 27.6 µW/m2; 39.8 µW/m2

b) 67.4 µW/m2 c) 133.7 µW/m2

d) 1.1 µW/m2

36.36. a) 127 µW/m2 b) 255 µW/m2;462 µW/m2; 46 µW/m2

36.37. a) 0°, 0.0378°, 0.0756°, 0.1134°,0.1513° b) 1.98 mm

36.38. i) La intensidad resultante es igual ala suma de las intensidades indivi-duales, sin fluctuaciones. ii) La inten-sidad media resultante es la mismaen todos los puntos, no observándosepatrón de interferencia.

36.39. I 4I0 cos2( πλa cos θ )

37.- Fenómenos ondulatoriosen medios limitados.

37.1. a) 5.2 m b) 9.2 m

37.2. <P> 12μcω 2A 2 ...

37.3. a) 0.0327; 1.0327b) 0.01 sen10π(t-x/119.7);0.000 327 sen10π(t+x/119.7);0.010 327 sen10π(t-x/127.8);-0.0327; 0.9673;0.01 sen10π(t+x/127.8);-0.000 327 sen10π(t-x/127.8);0.009 673 sen10π(t+x/119.7)c) 52 514 ≈ 56 + 52 461 W/m2;49 192 ≈ 53 + 49 135 W/m2

37.4. a) 0.176; 1.176 b) -0.176; 0.823

37.5. s/c

37.6. a) 2% con salto de faseb) 2% sin salto de fase

37.7. b) Δ a (sen θ i cos θ i tg θ )

Δ ≈ (a sen θ i) (1n1

n2

)

37.8. μ1 F1 μ2 F2

37.9. a) F⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂y∂x

x0

γ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂y∂t

x0

0

yr(x,t)μF γ

μF γyi(x,t)

b) γ μF ⇒ yr(x,t) ≈ yi(x,t)

γ μF ⇒ yr(x,t) ≈ yi(x,t)

c) no hay reflexión si γ μF

37.10. a) Ar

μF (γ i mω )

μF (γ i mω )Ai

b)m→0 ⇒ Ar

μF γ

μF γAi

m→∞ ⇒ Ar Ai

c) inercia, desfase

37.11. s/c

37.12. a)

KS⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂ξ∂x

x0

γ ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂ξ∂t

x0

m⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

∂2ξ∂t 2

x0

ξ r(x,t)ρcS (γ i mω )ρcS (γ i mω )

ξ i(x,t)

b) terminación no-reflectora:

m 0 γ ρcS

37.13. CR

13

CT2 CT3

23

Ψi Ai sen (ω t kx)

Ψr

13Ai sen (ω t kx)

Ψt

23Ai sen (ω t kx′)


38.- Ondas estacionarias.

38.1. a) 0.15 cm, 100/π Hz; 200π cm;200 m/s b) 0.15 sen(200t-0.01x+3π/4

0.15 sen(200t+0.01x+π/4)c) π m d) 3π m

38.2. s/c

38.3. a) 1.4142ν1 b) 0.7071ν1 c) 0.5ν1

d) 0.5ν1

38.4. a) 199.1 Hz, 200 cm; 398.2 Hz,100 cm; 597.3 Hz, 66.67 cmc) A1 sen(πx) sen(398.2πt);A2 sen(2πx) sen(796.4πt);A3 sen(3πx) sen(1194.6πt)

38.5. a) 132.8 Hz b) 5.625 kg

38.6. a) 6.6 Hz b) 13.2 Hz

38.7.L1

L2

n1

n2

μ2

μ1

38.8. a) λ2/λ1=2 b) 70 Hz, 140 Hz, 210 Hz

38.9. a) 523 Hz (Do4), 20.5 cm b) 79.2 cm

38.10. los armónicos impares.

38.11. a) cerrado b) 19.32 m

38.12.

ξ(x,t) 2A0 sen(ω t 12kL) cos(kx 1

2kL)

ξ( L2

,t) 2A0 sen(ω t 12kL)

38.13. a) 353 m/s, 1.112 kg/m3

b) 5 333 m/s

38.14. a) 5 128 m/s b) 19 230 Hz,32 050 Hz...

38.15. a)

cf

F

μ

αk 2

2 F/μcg

F

μ

3αk 2

2 F/μ

b) son algo más agudos que losverdaderos armónicos o sobretonos.

38.16.Y(x,t)

∞

n 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2L⌡⌠L

0

f(x) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

dx

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

38.17.Y(x,t)

∞

n 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2nπc ⌡

⌠L

0

v(x) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

dx

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

38.18.Y(x,t)

∞

n 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2L⌡⌠L

0

f(x) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

dx

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

∞

n 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2nπc⌡

⌠L

0

v(x) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

dx

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

38.19. a)

Y(x,t)8mmvmL

π 2cμ ΔL

∞

n 1

⎧⎪⎨⎪⎩

1

n 2sen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπaL

⎫⎬⎭

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπ ΔL2L

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

b)Y(x,t)

4mmvm

πcμ

∞

n 1

...

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1n

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπaL

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

c)a

17L, 2

5L, 3

7L, ...

38.20.

Y(x,t)∞

n 1⎧⎪⎨⎪⎩

⎫⎪⎬⎪⎭

2L ⌡

⌠L

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

f(x) g

2c 2(x 2 Lx) sen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπxL

dx

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

cos⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

g

2c 2(x 2 Lx)

38.21.Y(x,t)

∞

n 1,3,5,..

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

4gL 2

n 3π 3c 2sen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπxL

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

g

2c 2(x 2 Lx)


38.22. b)Ek

μπ 2c 2

4L...

∞

n 1n 2 ⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

ansen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπctL

bncos⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπctL

2

Ep

Fπ 2

4L...

∞

n 1n 2 ⎡

⎢⎣

⎤⎥⎦

ancos⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπctL

bnsen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπctL

2

Eπ 2F

4L

∞

n 1n 2(a 2

n b2n)

38.23. <μE> μω 2

n A20,n

38.24. a) 12.6 mJ b) 7.09 mJ

38.25. E2FH 2

L

38.26. b) ωn

n 2π 2c 2

L 2β 2

c)Y(x,t) e β t

∞

n 1

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

ancosω

nt b

nsenω

nt

38.27. b) ωn

nπcL

(n 1,2,3, )

Y(x,t) Amáx sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπxL

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπctL

c) ωn

nπc2L

(n 1,3,5,..)

Y(x,t) A sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπx2L

sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπct2L

38.28. a) 0.395 J b) 132 mW c) 47512

38.29. b) ωn

nπc2L

(n 1,3,5,...)

Y(x,t) sen⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

nπx2L

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

ancos⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπct2L

bnsen⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

nπct2L

38.30.Y(x,t) 8H

π 2

⎧⎨⎩sen πx

2Lcos πct

2L...

⎫⎬⎭

19

sen 3πx2L

cos 3πct2L

125

sen 5πx2L

cos 5πct2L

...

38.31. a) (knL) tg (k

nL) M

m

b)m→0 ω

n

nπc2L

(n 1,3,5,...)

m→∞ ωn

nπcL

(n 1,2,3,...)

38.32. b) (knL) tg (k

nL) M

m

c)m→0 (m M) ω

n

nπc2L

(n 1,3,5,...)

m→∞(m M) ωn

nπcL

(n 1,2,3,...)

38.33. s/c

38.34. a) 31.6 Hz, 40 Hz, 50.99 Hzb) 14.14 m/s

38.35. a)πa 2ν2

c 2

b)4πa 3ν3

3c 3(long.) 8πa 3ν3

3c 3(transv.)

39.- Acústica física.

39.1. a) 354.90 ms b) 326.88 m/sc) 1307.5 m/s

39.2. 40.7 m

39.3. 1500 m

39.4. 128.35 m

39.5. reforzadas: 1214, 3643, 6071, 8500,10929, 13357, 15789 y 18214 Hz.eliminadas: 2429, 4857, 7286, 9714,12143, 14571, 17000 y 19429 Hz

39.6. 12.58 m

39.7. a) 3148 Hz b) 3000-4000 Hz

39.8. a) 0.017 b) 60.43 c) 273×10-6

39.9. a) 6.02 dB b) 1.122; 12.2%

39.10. a) 83.0 dB b) 105 bebés

39.11. 14.5

39.12. a) 1 km b) 100 km

39.13. a) 69.4 dB b) 892 m

39.14. s/c


39.15. a) 88 dB, 82 dB, 76 dB b) 95 km

39.16. a) 136 dB b) 50 kW, 10053 Jc) 9.06 Pa, 1.10 µJ, 51 mg

39.17. a) 0.783 nm, 0.924 mPab) 0.392 nm, 0.462 mPa

39.18. a) 1:4, 6.02 dB b) 15 fon

39.19. a) 249 nW/m2, 54 dB b) 497 nW/m2,57 dB

39.20. a) 109 km b) β=76.4 dB;S=56.4 dB; si c) β=17.3 dB;S=-2.66 dB; no

40.- Acústica musical yarquitectónica.

40.1. a) 1 coma mayor = 1.0 1321 coma =81÷80 = 1.0 125

b) 1 coma menor = 1.0 118semitono cromático = 1.0 603semitono diatónico = 1.0 479

40.2. 3÷2 = 1.500; 5ª justa; 32÷27 = 1.19;≈3ª menor

40.3. a) relativamente consonante b) me-nos consonante c) bastante disonante

40.4. 3ª mayor; 3ª mayor; 4ª justa; 5ª justa;5ª dism.; 4ª aum.; 3ª dism.; 2ª menorfísica (2ª mayor); 2ª menor (semitonomenor); ídem; coma menor; 2ª me-nor.

40.5. do1, 8ª justa; do2, 5ª justa; sol2,4ª justa; do3, 3ª mayor; mi3, 3ª me-nor; sol3, (3ª menor); (si 7), (2ª ma-yor); ...

40.6. a) sol, la , si, do, re, mi, fa , sol.b) la, si, do , re , mi, fa , sol ,la. c) fa, sol, la, si , do, re , mi,fa.

40.7. a) la-do -mi b) mi-sol -si c) la-do--mi d) mi-sol-si

40.8. a) 0; 204 km/h; 408 km/h b) 0;816 km/h; 408 km/h

40.9. a) 18.0 s; no; no b) 1.30 s; no; si

40.10. a) 0.49 s b) 0.62 s

40.11. 781 ms, 174 ms, 142 ms

40.12. τ 0.16 V4Vβ αS

(α 1)


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Lecciones de Física - uco.es · Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba. Manuel R. Ortega Girón Lecciones de Física Resultados de los Problemas