Lectura 3

Historia de las Matemáticas MCF Germán Martínez Hidalgo

Captura y edición: 15 Edgar Sánchez Linares / Teresa Contreras Riquelme

CAPITULO III.

La Edad de Oro de la Matemática Griega En el siglo III AC las condiciones políticas y culturales del medio mediterráneo habían cambiando radicalmente. En la península itálica, había iniciado una expansión que la convertiría en poco tiempo en un gran imperio, el mayor del mundo antiguo. Las conquistas y la muerte de Alejandro habían codificado radicalmente la filosofía de ese mundo.

Si bien es cierto que el imperio que fundara Alejandro fue incipiente, con su muerte desaparece, pero la idea del imperio universal que el encarnara y que tratara de realizar arraigo en el campo de la cultura se extendió por todo el oriente helenizándolo o dejando focos de cultura griega. Por otra parte las campañas militares de Alejandro extendieron el horizonte geográfico de los griegos y dilataron extraordinariamente sus conocimientos; un fecundo y extraordinario intercambio cultural, económico, técnico, político, etc., se establece entre oriente y occidente. Los centros intelectuales se desplazan, Atenas no solo ha perdido el predominio político, también el cultural escapa de sus manos, y en el mundo nuevo, en el mundo del oriente griego sobresalen centros culturales como Alejandría, el gran centro comercial y cultural en todo el mediterráneo fundado en el año, 132 AC y a finales del siglo III, con un millón de habitantes, es sin duda la metrópolis más grande de la antigüedad. Al universalizarse el idioma griego se contribuyó al intercambio y a la difusión de la cultura sirviendo de vínculo y comunicación a todos los intelectuales del mundo helenizado, favoreciendo el progreso de la ciencia en una etapa de franca especialización y diversificación. Esta etapa cuyos comienzos pueden verse en el siglo V, son impulsados en el siglo IV caracterizando a este periodo helenístico en la cual se multiplican las escuelas de medicina, filosofía, y de diferentes ciencias: matemáticas, astronomía, geografía, mecánica, etc., las que inician sus dependencias junto con otras ciencias. Los príncipes de los estados helenísticos saturados de una recia cultura protegen y amplifican la enseñanza de las artes y de las ciencias. Tal protección fue de tal importancia y muy singularmente para la ciencia, pues permitió no solo ofrecer a los hombres de ciencia las



condiciones de seguridad y de bienestar que facilitaron su dedicación exclusiva a la investigación y a la enseñanza, sino también permitieron la adquisición de materiales e instrumentos necesarios para la teoría científica. Como modelo de estas escenas tenemos el caso de Ptolomeo de Egipto, que convirtió al gran puerto comercial de Alejandría en el centro científico mas importante y también el más duradero del mundo griego. En Alejandría se construye la biblioteca y el museo donde centenarios de sabios y estudiosos, enseñan, trabajan, investigan; se levantan observatorios para el estudios del cosmos, se fundan establecimientos especiales en los que se concentran los enfermos, y se ofrece un vasto campo de observación e investigación para los médicos. Con este formidable ambiente científico existente en alejandrina se producen las tres primeras figuras máximas de la matemática antigua: Euclides, Arquímedes, y Apolonio, y es justificable llamarle a este periodo por su gran brillo en la ciencia matemática como la edad de oro de la matemática griega.

Euclides y los Elementos Poco se sabe de Euclides, solo por noticias de Proclo, según él, Euclides fue un sabio Alejandrino que floreció unos 300 años AC, y que publicó algunas obras científicas, pero la más importante de ellas fue los celebres “Elementos” cuya importancia científica y didáctica se pone en evidencia ante el hecho de que hasta esta época se utilizan como textos escolares, además este tratado fue siempre considerado como sinónimo de geometría, su extraordinaria difusión esta rivalizada con obras de gran calidad de la literatura universal; vgr. La Biblia, con su extraordinario conjunto de libros históricos, proféticos, poéticos, etc., la divina comedia con sus atractivos cantos de simbolismo poético, el Quijote de la Mancha, Hamlet, con el complejo de hombre, el capitán con su profética anunciación del futuro del ser humano, los principios de la relatividad como una nueva forma de aventura del pensamiento en la investigación de la fiesta y del cosmos. El libro “Los Elementos” no contiene toda la geometría. Solo contiene una gran parte de la matemática griega anterior a Euclides y la elaborada por él. Es una selección de acuerdo con un criterio prefijado que convierte a ese conjunto de conocimientos en un sistema. Esta tendencia al sistema es tan vigorosa en Euclides, y tan rígido en el resultado que han servido a la posteridad como un tipo de construcción científica, de método científico, que no solo se usa en la matemática, sino también en otros sectores científicos. “Los Elementos” no solo son fruto de Euclides, gran parte proviene de los pitagóricos y de Eudoxo, y su orientación ha influido especialmente en Platón y Aristóteles; del platonismo tomó la independencia de la ciencia de toda finalidad práctica y por tanto la abstracción y la primicia de conocer sobre el hacer del aristotelismo tomó riguroso método deductivo, la separación entre principios y teorías y la distinción de los principios en definiciones y axiomas. El método Ecluideo, llamado actualmente axiomático, consiste en enunciar previamente los supuestos e hipótesis básicos sobre lo que se contruirá la ciencia y edificar bajo bases científicas. Tal parece que los elementos y el método axiomático no parece revestido de todas la precauciones necesarias ni cumple con las exigencias que impone la lógica, pero no por esto disminuye el método de Euclides.



Los elementos comprenden 13 libros, de los cuales la mayoría se inicia con definiciones y términos. En el libro 1, se agregan los axiomas que Euclides incluye en dos grupos: postulados y nociones comunes. Por grande que haya sido el aporte de los matemáticos anteriores, queda siempre para Euclides el mérito de haber aplicado por primera vez un método que resultó fecundo para la matemática y la ciencia en general y el método también estructurado sistemáticamente en forma orgánica, ordenando así gran cantidad de conocimientos matemáticos y en especial a la geometría plana. No obstante ser “Los elementos” un conjunto sistemático y sistematizado de conocimientos es claro que no representan el conjunto de todos los conocimientos matemáticos griegos que poseían en la época del esplendor alejandrino, sino que son el contenido de conocimientos compatibles con el método Euclideo, es decir, que podían deducirse de los postulados que implícitamente o explícitamente le servían de fundamento. Los elementos por su índole están relacionados íntimamente con aquellos sectores científicos que los griegos incluían en su matemática como son: la acústica, la astronomía, la óptica y la mecánica. Es sin duda los elementos la obra más grande que los griegos tenían en el sector científico y pude decirse que es la primera aportación más importante sobre un aspecto de la naturaleza que el hombre construye, formula, sintetiza y unifica con gran esencia quedando Euclides como uno de los más grandes matemáticos y hombre de ciencia a través de toda la inquietud del pensamiento humano. Las definiciones de Euclides no han de entenderse en un sentido lógico escrito, son más bien simples lecciones o descripciones sumarias de los objetos de los que luego se ocuparán las ciencias geométricas y algunos solo tienen solo un punto de vista de desarrollo económico. Así como los resultados fijan o pretenden fijar la existencia de las rectas, circunferencias y posibles intersecciones y se refieren por lo tanto a entes exclusivamente geométricos, las nociones comunes definen o pretender definir las operaciones entre las cosas. Los cuatro primeros libros de los elementos comprenden las proporciones más importantes de la geometría plana elemental, referente a triángulos, paralelogramos, etc., y el tomo I se cierra con el teorema de Pitágoras, se habla de circunferencias e inscripción, circunscripción de polígonos regulares, todo esto dentro de los medios admitidos dentro de los postulados. Los libros V y VI tratan de la teoría general de las proporciones atribuidas a Eudoxo y de la aplicación de la teoría de las magnitudes geométricas respectivamente. Los libros VII, VIII y IX se refieren a la aritmética o más bien a la teoría de los números. La aparente vinculación con la geometría es que todos los números se pueden representar por segmentos. La teoría elemental de la visibilidad, la descomposición de factores primos, las proporciones geométricas y las progresiones.



El libro X es el más extenso y el más difícil de todos, trata de los irracionales y con él se clasifican, más no se calculan, una serie de propiedades y combinaciones de los racionales e irracionales. Los libros XI, XII y XIII son estructuralmente inferiores a los anteriores, se estudian algunas propiedades generales del plano y de la recta; también se explican las propiedades geométricas del plano y del espacio y la construcción y comparación de los cinco poliedros regulares inscritos en una esfera. Tal es a grandes rasgos el contenido de la obra más importante de Euclides.

Arquímedes Arquímedes es dentro de la matemática griega el máximo exponente además una de las más altas cumbres de la matemática y las ciencias de todos los tiempos. Arquímedes nació en Siracusa en 287 a. c. y murió en 212 a. c. durante el saqueo y caída de esa ciudad en manos de los romanos. Dedicó toda su vida a la investigación científica, como todas las vidas de los grandes hombres la suya está embellecida por una serie de anécdotas más o menos inverosímiles y exaltadas de elogios sobrenaturales. Se cuenta que murió atravesado por una espada de un cruel y anónimo soldado romano durante una investigación geométrica. La fama de Arquímedes ha sobrevivido no por su vida sino por su obra, obra de caracteres propios y originales que denuncian a todo investigador. Sus escritos son verdaderas memorias científicas, trabajos originales con elementos nuevos, todos son igualmente importantes y son una contribución formidable a la matemática y a la ciencia. Su método es similar al deliberante oculto. La índole de los trabajos de Arquímedes y el hecho de que algunos de ellos se han perdido, hace que se desvanezca el nexo lógico y cronológico. Sin embargo su obra es de gran eficacia en todos los campos de la matemática, como en la astronomía y en ciertos sectores de la Física donde los griegos geometrizaron. La obra fundamental de Arquímedes “De la Esfera y del Cilindro” está vinculada con los elementos de Euclides, por lo que parece ser el complemento de los conocimientos griegos estructurados por Euclides. Entre estos teoremas en los que se expresa la relación entre las áreas y volúmenes de la esfera y del cilindro circunscrito, cuya figura Arquímedes deseó se grabara sobre su tumba. De su obra de los conoides y de los esferoides se estudian las propiedades de algunos cuerpos redondos, incluidos hoy en las cuádricas de revolución. Las demostraciones son de tal grado, así como los recursos que implican conceptos que hoy aparecen en nuestro análisis infinitesimal. De su obra “Las espirales” hoy conocemos la Espiral de Arquímedes, de la obra “La cuadratura de la parábola” y de la obra “De la medida del circulo” se demuestra por primera vez en ella la



equivalencia entre un segmento de parábola y un triángulo, y en el de la “Cuadratura del círculo” se da una importante solución aproximada a este problema. En definitivo podemos decir que Arquímedes lleva a la matemática griega a su nivel máximo. Sin duda que él encontró ya una ciencia a la que agregó nuevos capítulos y en la que mejoró las existentes. Pero en esta obra de complementación y de perfeccionamiento confirió a la ciencia una mayor flexibilidad haciendo más maleable el rígido sistema euclideo y de una mayor riqueza y autonomía, pues Arquímedes en su obra ha hecho desaparecer casi totalmente los lazos que hasta entonces habían mantenido ligada las matemáticas griegas con la filosofía griega. Esta en mayor libertad de autonomía, sin descuidar el rigor, la pureza, la lógica en la elección de los postulados y en igual forma en las aplicaciones y problemas, en las incursiones en el campo de los números y en la matemática aproximada, hacen de Arquímedes un gran matemático que con el sentido actual de la palabra representa el verdadero concepto, desde un punto de vista de rigor científico y es por eso que puede considerarse como un verdadero modelo en el saber, en la investigación en la aplicación y en la abstracción de esta ciencia cuyo desarrollo profundo y extraordinario se le debe a Arquímedes.

Espirales de Arquímedes



Deducciones de dos de los Problemas Clásicos Griegos La Curvatura del Círculo y la Duplicidad del Cubo

2aA = 2

rA π= 3aV = 3

' aV =

22ar =π 3

22 aV = 332ab =

πra = 3

2ab =

...14159265.3=π 2599.123 =

Otros grandes Matemáticos Griegos

Apolonio de Pérgamo. Es el tercer gran matemático del período alejandrino, de su vida se sabe bien poco pues escasas noticias se tienen con él, floreció hacia comienzos del siglo II a.c. Así como cuando en la historia de la matemática se habla de Euclides ligado estrechamente a sus elementos; Apolonio se liga a su obra “Cónicas” (obra incompleta). Apolonio estudia en forma exhaustiva las propiedades de esas curvas a través de una teoría general de las mismas y de algunas de sus propiedades especiales más importantes. Con Euclides, Arquímedes y Apolonio la matemática griega llega a su apogeo.

Breve reseña de sus características La primera nota matemática que aporta el espíritu griego es la demostración. Las propiedades matemáticas dejan de ser hechos para convertirse en conocimientos. La demostración con la que los griegos otorgan a la matemáticas su sello característico y permanente de las críticas eleatas, que forma y se elabora en las discusiones de los sofistas y toma su elemento constructivo en el órgano aristotélico. La segunda nota matemática que aportan los griegos es la abstracción. Pero la abstracción de los griegos en la matemática tiene caracteres específicos, rasgos propios conferidos por los pitagóricos que le vieron nacer. Este tipo especial de abstracción de la matemática griega es

A a

a

A r

a

a

a

b

b

b



semejante a las ciencias naturales actuales. Hace de ella una matemática táctil, apegada a los cuerpos naturales, una matemática de figuras como se comprueba por su concepción corporal y geométrica de los números. Este carácter táctil de la matemática griega explica también su predilección por lo finito y su preocupación por eliminar o por lo menos de reprimir el infinito de sus demostraciones, esa abstracción de la matemática griega, que inicia sus primeros balbuceos, es la que explica también que la matemática no haya logrado grandes generalizaciones entre los griegos. Esta es una matemática que va en pos no de teorías generales sino de problemas singulares, aunque a veces las nociones previas que la solución de estos problemas exige son tantas y tan complejas que de por si pueden considerarse como constituyendo un sistema, tal como ocurre con los elementos. La matemática griega tiene su entusiasmo o carácter estático más que dinámico, de hecho más cinemático que cinético y esto se debe en gran parte a la influencia del platonismo, por lo demás se ha ejercido también en otros aspectos de la ciencia. Entre los griegos tal parece que la Aritmética práctica “Logística de los griegos” se condenara al destierro, pues parece inaplicable para las ciencias naturales, con las escasas excepciones que muestran las consideraciones geométricas de la astronomía, óptica y estática griega que de hecho si las analizamos son ramas de la misma matemática griega pues poseen todas las características que hemos señalado.



CAPÍTULO IV

Epígonos y Comentaristas. Diofanto

En el periodo helenístico además de los tres grandes debemos mencionar a un genio de gran originalidad: Eratóstenes de Cirene, contemporáneo, aunque más joven que Arquímedes, con ocupaciones múltiples: Geógrafo, Astrónomo, Filósofo, Matemático, Filólogo, etc. Su contribución matemática más importante es una solución al problema de Délos, la criba de Eratóstenes, y es también él que mide por primera vez, con un error de poca importancia, la redondez de la tierra.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Cálculo aproximado de la redondez de la tierra de Eratóstenes

También dieron solución a ese problema los matemáticos de ese periodo: Nicomedes y Diócles. Herón de Alejandría, cuya ubicación e identificación han sido difíciles, se ocupó principalmente

Alejandria

Ciene

7º 12’



de cuestiones de Mecánica y Geometría prácticas, y no obstantes tal finalidad, Herón mostró un amplio conocimiento de la Geometría griega como lo demuestran los agregados y perfeccionamientos a los elementos que se le atribuyen. Es una prueba cabal el teorema que expresa la relación entre el triángulo y sus lados. La demostración de esa relación, que hoy expresamos algebraicamente mediante la llamada “Fórmula de Heron“, constituye uno de los mas hermosos teoremas geométricos de los griegos. Al iniciarse la Era Cristiana, la matemática griega entra en un periodo de cristalización y de crisis en la que ya no figuran creadores sino epígonos, gloseadores, comentaristas y críticos, de los cuales citaremos a los más importantes. A fines del siglo I y principios del II tenemos a Nicomaco de Gerasa, autor de una obra aritmética de escaso valor científico, pero importante por haber sido la que sirvió durante toda la Edad Media para la enseñanza de la aritmética; un contemporáneo de él es Menelao de Alejandría, el que llega a la culminación del estudio griego de la Geometría Esférica. Menelao siguió un camino semejante al de Euclides, con esta labor de Menelao se vinculan los trabajos matemáticos de la figura científica más importante de esta época: Claudio Ptolomeo, sistematizador de la astronomía antigua que sentó las bases científicas de una concepción astronómica que es la Geocéntrica la que se mantuvo como concepto oficial durante catorce siglos. Las obras científicas de Ptolomeo están diseminadas en sus escritos astronómicos, en especial en su primer libro “Sintaxis matemática” (más conocida como el almagesto), que reúne todas las cuestiones preliminares necesarias para el estudio racional de los fenómenos celestes. En este sentido, una existencia fundamental requería la determinación de una tabla de cuerdas correspondientes a los distintos arcos o sea, partes alícuotas a la circunferencia (una igual a otra). Esta obra fue iniciada por el gran astrónomo Hiparco de Nicea, que había introducido en la astronomía griega la división sexagesimal de los babilonios, fue continuada y perfeccionada por Ptolomeo, quien utilizó también los resultados de Menelao para el análisis de los triángulos esféricos; de manera que el Almagesto es la primera sistematización de lo que llamamos Trigonometría Plana y Esférica. Después de Ptolomeo cabe citar a otro gran matemático importante vinculado con la escuela de Alejandría: Pappus, cuya colección matemática es un resumen de todos los conocimientos anteriores, con agregados, conexiones, críticas del autor, su obra es de un valor inestimable por las informaciones históricas y bibliográficas que contiene acerca de la matemática griega. También es importante desde el punto de vista histórico por las referencias y noticias de autores anteriores en comentarios a los elementos de Euclides, de Proclo, y Bizancio del siglo V. Tenemos a un representante aislado del conjunto matemático griego nos referimos a Diofanto de Alejandría que vivió en el siglo III de nuestra era y puede considerarse que más que un investigador sobre Aritmética y Geometría, como lo fueron sus antecesores los científicos griegos, debe considerársele como precursor o uno de los precursores del álgebra y en cierto



sentido más estrechamente identificado con los matemáticos de los pueblos orientales que con los griegos. La obra más importante de Diofanto es su Aritmética por su novedad y originalidad única en toda la literatura matemática griega, pues en lugar de enunciar teoremas y proposiciones presenta problemas importantes. Entre sus numerosos problemas figuran las resoluciones de algunos muy difíciles que pertenecen al hoy llamado Análisis Indeterminado. Diofanto aplicó cierto simbolismo semejante al actual de los polinomios con una letra y utiliza métodos diferentes para cada caso particular, sus métodos son al igual que los recursos auxiliares tan ingeniosos y fecundos que conviene a toda la obra una particular fisonomía algebraica que le caracteriza y distingue de los demás escritos matemáticos griegos, hay que hacer notar que la habilidad, profundidad e ingeniosidad de Diofanto están fundadas sobre el conocimiento de una gran cantidad de propiedades matemáticas que revelan a un cabal e innato matemático. Diofanto viene a ser un matemático de gran altura que no parece un pensador griego, puesto que tiene una madura observación al estilo oriental de los hechos matemáticos que dan a sus concepciones una técnica muy diferente del pensamiento matemático occidental representado por los griegos. Con Diofanto termina la pléyade de los grandes matemáticos y se inicia una gran revolución social que inaugura el cristianismo como la Edad Media o Edad del Feudalismo, donde una nueva actitud de la vida sustituye el pensamiento pagano griego y oriental, pero con las divergencias naturales de que el pensamiento científico se dogmatiza y pierde su libertad. Debemos hacer notar que la edad media no es la oscura acción amurallada que nos han pintado algunos historiadores de la sociedad y de la ciencia sino que tuvo grandes aciertos y grandes acumulaciones del saber que se integran durante el Renacimiento de los siglos XIV y XV



CAPÍTULO V

Matemática en el occidente hasta fines de la Alta Edad Media En el mundo romano la matemática no tuvo cabida, desde el punto de vista del pensamiento matemática griego; los romanos no aportaron nada ni en la Aritmética ni en la Geometría, pues la numeración-romana es una copia da la griega:

Números Griegos

Los conocimientos matemáticos romanos solo comprendían principios de Aritmética elemental que les servían para la vida cotidiana y en sus transacciones comerciales, los conocimientos geométricos sólo a la agrimensura de los sembradíos, todo esto bajo ciertas fórmulas empíricas o aproximadas para determinar cálculos y áreas de figuras planas. Debido a la decadencia y división del vasto Imperio Romano en el siglo IV de la era Cristiana y con la liquidación total del imperio romano de occidente en el siglo V de la misma era, los pensamientos filosóficos y científicos romanos se inclinan con cierta reacción favorable a los textos de los griegos. En la Geometría sólo se dan definiciones de los elementos, en la Aritmética unas cuantas nociones de carácter neo-pitagórico. Entre los enciclopedistas posteriores a Marciano Capella debemos recordar a Severino Boecio, que entre sus numerosas obras antiguas que se deduce hobo copilado, aparece una de carácter aritmético, que no es otra cosa que una versión clara y uniforme muy pedagógica de la aritmética de Nicomaco que tuvo gran difusión en la época medieval, otro matemático Casiodoro en cuya enciclopedia resume la aritmética de Boecio y los Elementos de Euclides, el famoso Isidoro de Sevilla que en su obra de finalidad etimológica considera todas las disciplinas de su época y clasificación de los términos técnicos. En esta época los conocimientos pasan de la cuenca del Mediterráneo el Mar del Norte con el inglés Beda el Venerable del Siglo VII en la época del Rey Arturo, quien además de historiador eclesiástico, escribió algo sobre Elementos de Cálculo numérico y después aparece, influido por Beda, Alcuino de York del siglo VIII que desempeñó un importante papel en el llamado Renacimiento Carolingio, pues fue uno de los pocos maestros a los que acudió Carlomagno para mejorar el estado general de ignorancia de su reino.



Se debe a Alcuino un escrito “Para desarrollar el ingenio de los jóvenes”, mezcla de problemas aritméticos y geométricos en general muy simples con cuestiones místicas y recreativas que bien pocos tienen que ver con la matemática. Si el escaso valor científico de esos problemas se agrega el hecho de que Alcuino fue considerado como uno de los hombres más sabios de su época, es fácil advertir el bajo nivel en que había descendido la matemática en occidente. Sin embargo, en los siglos siguientes descendió aún más cuando a raíz de la muerte de Carlomagno desaparece con él, el Renacimiento Carolingio. Pero pronto asomará un nuevo despertar favorecido por los vientos que venían de oriente.

El aporte de Oriente a la Matemática

El aporte oriental a la matemática durante el primer milenio de nuestra Era proviene de tres centros culturales distintos: Chino, Hindú y Árabe; su valor y su influencia son distintos también. La matemática China tuvo poca influencia debido a la escasa documentación, puesto que el aporte es muy similar a la de los pueblos orientales en lo que se refiere al nivel de conocimiento como son: un sistema de numeración que es el siguiente:

El empleo del ábaco de uso inmemorial en China, el conocimiento del Teorema de Pitágoras en el caso clásico de 3, 4 y 5, fórmulas empíricas y aproximadas para las áreas y volúmenes de figuras simples y colección de problemas muy dispar de Aritmética y Geometría, como único dato interesante mencionaremos la presencia de cuadros mágicos que parecen ser de origen muy antiguo entre los chinos, donde se aplica el Teorema de Pitágoras y que se sospecha que por lo menos mil años antes de Cristo era de uso común. El Teorema de Pitágoras según los Chinos.

( )( ) ( )2bababaA +=++=

( ) 222

2 bababa ++=+ (1)

222

24 cabcab

A +=+= (2)

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c



Igualando (1) y (2) puesto que si los primeros miembros son iguales, los segundos también lo serán y resulta: 222

*22 cabbaba =++ 222

cba =+

De los libros matemáticos chinos posteriores al siglo X, es difícil deslindar lo que pertenece a los chinos y de lo que pudo ser importado de otras culturas: la hindú y la árabe. La matemática hindú brindó aportes originales importantes, su notable influencia sobre la matemática árabe y por intermedio de ésta sobre la matemática occidental. La ausencia de indicaciones de fechas de casi toda la literatura hindú y el hecho de estar escrita en verso y redactada en un lenguaje místico, confuso y vinculada con cuestiones astronómicas y religiosas sin demostraciones sólo ejemplos numéricos hacen difícil su seguimiento y análisis. La matemática hindú es tendenciosa en gran forma hacia los números y no a las figuras, de aquí que sus aportaciones más importantes son en la Aritmética, Álgebra y la Trigonometría y éstas están relacionadas con los himnos sagrados. Tuvieron algunas contribuciones a la Astronomía y a la Matemática entre los siglos IV y XII de nuestra Era. Las obras más antiguas de este periodo son de carácter astronómico y de evidente influencia griega; además de su influencia en el mundo islámico existen por primera vez los escritos de las llamadas funciones circulares de tanta aplicación en la Trigonometría y en toda la matemática. Entre los matemáticos hindúes posteriores a este periodo están los tres más renombrados: ARYABHATA, BRAHMAGUPTA y BHASKARA. Además de las funciones circulares, Aryabhata nacido en 475 de nuestra era, se ocupó de cuestiones aritméticas y sobre el Análisis Indeterminado que es el más próximo al actual, igualmente Brahmagupta del siglo VII y Bhaskara del siglo XII, siendo este último el de más trascendencia por su aportación. Además de los aportes individuales, se le debe a la matemática hindú dos aportes colectivos de trascendencia: el simbolismo algebraico y el sistema de numeración posicional de base 10. El álgebra hindú es en general retórica, sin símbolos ni sílabas y no es sino tiempo después que aparece el simbolismo en donde se usan sílabas diferentes para indicar incógnitas distintas, cosas que no ocurría con Diofanto, o distinción entre números positivos y negativos y el uso del cero, no como cifra sino como símbolo operatorio. El sistema de numeración de base 10 de los hindúes en sus cálculos aritméticos y astronómicos que constituye nuestra numeración actual ha suscitado controversias serias sobre su origen; sin embargo el llamarle cifras arábigas es una usual locución, puesto que los árabes han sido los transmisores, más no los creadores y además el sistema posicional como hemos visto lo usaron los Sumerios y los Mayas y aún se discute el origen del sistema de base 10, sin embargo, en algunos fundados testimonios e interpretaciones de los textos religiosos anteriores a la Era



Cristiana, se supone que el sistema pueda ser griego, nacido en el seno de los neo-platónicos desterrados en Persia y de ahí difundido hacia el Este – Oeste. Luego, la matemática hindú es penetrante, obtuvieron un gran aprovechamiento de su fuerza, gran gusto por las transformaciones y combinaciones, la formidable introducción de las funciones circulares, la introducción del cero y Métodos de Análisis Indeterminado. La matemática es sin duda de las más importantes, discriminada y desdeñada por los historiadores no matemáticos, pero conocida en Occidente por esa forma tan especial de considerar al occidental como el poseedor de una mente científico-matemática, práctico y original, aspecto falso y de poca dignidad científica.

La Matemáticas Árabes El movimiento histórico que conocemos como islamismo, se inició con la Hégira de Mahoma en el año 622 durante el primer milenio de la Era Cristiana. Cuando a la mitad del siglo VIII los árabes, que por entonces dominaban la mayor parte del mundo civilizado desde Pamir hasta los Pirineos, detienen sus conquistas bélicas y su expansión política y modifican la fisonomía de su mundo islámico, debido al contacto y relaciones con otros pueblos y otras culturas y sobre todo por un factor aportado por ellos: la tolerancia que demostraron a los habitantes de las regiones sometidas, en especial a los cristianos y los judíos, creando una atmósfera de libre discusión y libertad de opinión nacida sin duda de las polémicas religiosas y controversias teológicas surgidas en el seno del Islam. En la corte del mundo islámico existía una fuerte corriente para el desarrollo y protección de todas las ciencias, ya que en el siglo VIII el mundo islámico se encontraba en posición de poder desarrollar una gran cultura científica con todos estos elementos a su favor, la ciencia y la cultura tuvieron entre los siglos X y XI su máximo esplendor, lo que hizo posible un renacimiento en oriente por lo cual el renacimiento en Europa Occidental tuvo éxito, pues se recordará que históricamente todas las fuentes de la nueva Era de la cultura en Europa se debieron en gran parte al legado guardado cuidadosamente por el imperio islámico de toda la herencia del mundo antiguo a la vez que el aporte nuevo de todos los cultivadores de talento, de los pensadores, artistas y científicos árabes, veremos algunas reseñas sobre el aspecto matemático. La primera manifestación cultural de la actividad científica de los árabes es la traducción al árabe de obras hindúes y griegas. Las primeras obras vinculadas con la matemática que se tradujeron al árabe fueron hindúes y por ahí se sospecha que se entró en contacto con las cifras. En el siglo IX se empezaron a difundir grandemente obras griegas en árabe, y comentarios, entre ellas tenemos la de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Herón, Ptolomeo, Pappus, Diofanto, Eratóstenes, etc., con estas traducciones a la lengua árabe, el Islam fue poseedor de buena parte de matemática griega, hindú y que dio grandes frutos a partir del siglo IX. De entre todas, una de las grandes figuras de la matemática árabe y uno de los grandes sabios del Islam es Al-khu-wuarizmi, geógrafo, astrónomo y matemático; se sabe poco de su vida, trabajaba en la biblioteca de Califa, su obra matemática revela influencia griega e hindú,



mucho de Euclides y de Diofanto, su obra no sólo influyó notablemente en el Islam sino también en la ciencia occidental cristiana posterior. Se le debe una aritmética conocida en versión latina difundida grandemente en el mundo árabe, con las cifras hindúes y el cero (Alziro 0), que contiene además las reglas de las cuatro operaciones con enteros y fracciones y un gran número de problemas. Pero sin duda el libro de mayor importancia e influencia de Al-khu-wuarizmi, es lo que podíamos considerar literalmente el primer tratado algebraico, cuyo título aproximado es “SOBRE EL CÁLCULO MEDIANTE LA RESTRUCTURACIÓN Y LA REDUCCIÓN” y que contiene el término de Al-gabar (transposición o cambio) que dio nacimiento a nuestro vocablo álgebra; del nombre del autor surgieron dos tecnicismos matemáticos: guarismos y algoritmos. En esa álgebra que es retórica (narrativa) y en la que incógnita se designa con la palabra cosa, nombre con que más tarde paso a Occidente, aparecen transformaciones de tipo algebraico para la resolución de ecuaciones, tratándose ésta siempre con casos particulares y concretos de coeficientes enteros y positivos. Contemporáneo de Al-khu-wuarizmi fue Thabit-ibn-Qurra, traductor e investigador, el que encontró un método para hallar los números amigos (números amigos son aquellos que en cada uno de los cuales es suma de los divisores del otro, por ejemplo: una pareja de números amigos son 220 y 284). Posteriormente aparece Abu-Kamil, por el año 900 de nuestra era, algebrista que perfeccionó la obra de Al-khu-wuarizmi y es uno de los primeros que trata algebraicamente problemas geométricos. Se puede decir que los que contribuyeron grandemente al progreso de la matemática en el Islam fueron los astrónomos, entre los árabes no hay matemáticos puros, pues ante todo son astrónomos. Desde la primera época de expansión árabe, las prescripciones religiosas plantearon a los astrónomos una serie de problemas de orientación y determinación de fechas y horas, que exigieron la instalación de observatorios y el perfeccionamiento de las tablas e instrumentos utilizados, así como el estudio e investigación de las cuestiones astronómicas y la unificación de un simbolismo matemático que tuviera carácter universal para toda el área de influencia árabe, los números o símbolos evolucionaron hasta la época actual. Entre los astrónomos árabes que influyeron en el proceso de la matemática, citaremos a Al-Mahani muerto en 874, traductor de Euclides y Arquímedes, de dividir una esfera en dos segmentos esféricos de razón dada, las funciones circulares deben mucho a un grupo de astrónomos: Al-Habash, Al-Battani conocido como Al-Batecnicus, de los latinos de fines del siglo IX y a Abu-Al-Wafa de la segunda mitad del siglos, a él se deben las seis funciones circulares actualmente en uso: Sen, Cos, Tan, Cotan, Sec y Csc. Debemos agregar sin embargo que la Trigonometría siguió desarrollándose entre los astrónomos y matemáticos árabes, pero fue hasta el siglo XV cuando encontraron eco entre los matemáticos árabes y cristianos.



Otro conspicuo grupo de científicos árabes de este primer periodo de la ciencia del Islam son: Al-Biruni, Ibn-Sina (Abisena en latín) y también Ibn-Al-Haytan, todos ellos contemporáneos. La contribución matemática más importante de Al-Biruni del siglo XV es la contribución de polígonos regulares y su tratamiento algebraico de Ibn-Sina son contribuciones aritméticas importantes y de Ibn-Al-Haytan (Alhasen)de los occidentales, distintas cuestiones aritméticas y geométricas conectadas con la Óptica, se conoce un problema llamado “Problema de Alhasen” que algebraicamente conduce a la ecuación de cuarto grado que Alhasen resolvió mediante la intersección de una circunferencia con una hipérbola. Entre los matemáticos del Oriente islámico en el siglo XI, citaremos a Al-Karnki y al celebre Omar-Al-Kaylan, este ultimo celebre algebrista matemático, astrónomo brillante, médico de renombre, poeta extraordinario, autor del Rubayard, político audaz; desde el punto de vista matemático se considera que él sentó las bases de las ecuaciones de 1º, 2º y 3º grado, por decirlo así del 40% del álgebra, como astrónomo se le conoce como el autor de una reforma del calendario más exacto que el gregoriano y dentro de la poesía universal como prototipo del poeta islámico de todos los tiempos, como filósofo parece en ocasiones un existencialista de nuestra época. Durante el siglo XII, la ciencia comienza a entrar en decadencia en el Oriente islámico, pero en la península Iberica culmina y que por razones políticas el movimiento cultural se había iniciado mas tarde que en Oriente. No abundan matemáticos en la península, tenemos al astrónomo Habir Ibn-Aflah su contribución mas importante es en Trigonometría esférica donde existe un teorema llamado “Teorema de Guever” pues a nuestro autor se le confundió con el inexistente químico Guever de los latinos. Los siglos posteriores fueron incipientes en la ciencia, así durante la época del dominio mongol encontramos al sabio enciclopédico Nasir-Al-Din del siglo XIII, autor de numerosas obras, traducciones de autores matemáticos griegos y la elaboración de un demostración del postulado de Euclides que fue el primer intento desde el punto de vista cronológico y que lo realizaron posteriormente los hombres del Renacimiento y la Edad Moderna. Pero en la época de Nasir-Al-Din, la ciencia árabe había ya dejado de desempeñar su papel en el desarrollo de la ciencia mundial. Son todo la cultura árabe tan unificada por la fe y por el idioma y tan diversificada por los aportes que le dieron vida y la heterogeneidad de los pueblos que puso en contacto, fue el único movimiento cultural creador y de gran envergadura de fines del primer milenio y comienzos del actual. En aspecto matemático crearon por decirlo así el álgebra y sistematizaron la Trigonometría y fueron además los conservadores y transmisores del saber matemático antiguo que el mundo griego había logrado a Occidente en el Renacimiento cultural.

La Época de Transición

Cuando en el siglo XV la cultura árabe muestra signos de decadencia, en el mundo cristiano asoma un despertar cultural tanto en oriente como en occidente, en Oriente el renacimiento bizantino que no mostró mayor originalidad y en especial tratándose de la matemática, en occidente ese despertar lento y con alternativas en su comienzo, adquirió luego mayores



impulsos para empalmar con el renacimiento de los siglos XV y XVI y sentar las bases al gran movimiento cultural de la edad moderna. Los puntos de transmisión fundamentales fueron las costa de España de cortes musulmanes, la isla de Sicilia como centro de un mundo de comercio marítimo del que participaba el Islam, el concepto comercial con todo ese mundo de la costa Mediterránea dónde el mar nostrum de los latinos pasó a propiedad de los árabes sobre todo al choque gigantesco entre los dos mundos: el cristiano y el sarraceno en sus múltiples cruzadas enfrentaron a dos culturas originalmente distante pero que se dieron a conocer mutuamente por lo que respecta a la interpretación del mundo, del universo, de la naturaleza y del hombre. Los cristianos aunque perdedores de las cruzadas ganaron toda la herencia cultural que los árabes conservaban como tesoro, los árabes que triunfaron en las cruzadas perdieron su hegemonía e inauguraron su decadencia. Aunque discutible, debido a la influencia de los árabes en la península ibérica, tenemos a Gerberto de Aurillac de la mitad del siglo X más tarde el Papa Silvestre II en cuyos escritos matemáticos de escaso valor aparecen las cifras hispano-arábigas (sin el cero). La influencia entre musulmanes y cristianos a través de las cruzadas ya en Sicilia o en España permitieron al mundo cristiano advertir el valor del saber propio y ajeno acumulado por los árabes, iniciándose entonces una Era de transmisión de ese saber de traducciones del árabe al latín, del hebreo al latín, del árabe al hebreo y en menor medida del griego al latín, puede decirse que quienes costearon todo la cultura del mundo Islámico fueron los judíos poseedores entonces de incalculables riquezas y de una gran capacidad de organización. El siglo XII marca la decadencia de la cultura del Islam, pero en este siglo cuando la ciencia árabe culmina grandemente en la península Ibérica.

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