Escuela de Ingeniería Civil-UTPL TOPOGRAFÍA ELEMENTAL

Autora: Nadia Chacón Mejía

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UNIDAD 1: Principios de Topografía

LECTURA COMPLEMENTARIA 1

TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS

TRIGONOMETRÍA:

Relaciones entre grados y radianes:

Relaciones entre las funciones trigonométricas:

Formulas trigonométricas para la resolución de triángulos rectángulos:

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Formulas trigonométricas para la resolución de triángulos escalenos:

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GEOMETRÍA:

Con el uso de las coordenadas se pueden resolver algunos problemas que muchas veces se

presentan en la topografía, por ejemplo:

Cálculo de la longitud y el azimut de una línea a partir de sus puntos extremos.

Cálculo de áreas.

Determinación del punto de intersección de dos líneas rectas, una línea recta y una

circunferencia y dos circunferencias.

Estos problemas se encuentran frecuentemente en levantamientos de caminos y en trabajos de

linderos donde es necesario calcular la intersección de tangentes con curvas circulares o líneas

rectas y arcos circulares.

Mediante la geometría se puede dar solución a estos problemas, utilizando las ecuaciones de la

recta y de la circunferencia.

A continuación se presentan las ecuaciones necesarias para realizar los cálculos:

Ecuación de la línea recta

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 756.

La ecuación general de una línea recta es la siguiente:

Donde:

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La pendiente es constante en cualquier punto de la recta:

La longitud de la recta AB es igual:

Y su azimut:

Intersección de dos rectas:

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 757.

Como la pendiente es constante en cualquier punto de la recta se puede establecer la siguiente

ecuación:

Con esta ecuación se puede resolver fácilmente la intersección entre dos rectas, reemplazando los

valores se forma una ecuación para cada recta y luego se resuelven para encontrar las

coordenadas del punto de intersección.

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Ecuación de la circunferencia:

La ecuación general de una circunferencia es la siguiente:

Donde:

Intersección de una recta y una circunferencia:

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 759.

A partir de la ecuación de la circunferencia se obtiene una ecuación cuadrática de la siguiente

forma:

Para encontrar la coordenada YP del punto de intersección se resuelve la ecuación cuadrática:

Luego se reemplaza este valor en la ecuación de la circunferencia o en la ecuación que se utiliza

para determinar la intersección de dos rectas para obtener XP.

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Intersección de dos circunferencias:

Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 761.

Una forma para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos circunferencias es

determinar la longitud o el azimut de la recta O1O2. Calculando los ángulos β1 y β2 por la ley de

los cosenos se puede determinar los azimut de las líneas O1P y O2P, y con el radio de la

circunferencia ya se puede determinar las coordenadas desde cualquiera de los dos puntos que se

conocen.

Fuente: RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición y Espinosa de los Monteros Julián, Diccionario de Matemáticas, edición 2000.