Lectura_1

Módulo 1

Unidad 1

Los números y sus operaciones

Materia: Curso de nivelación en Matemática

Profesor: Lic. María A. Valenzuela

Curso de nivelación de Matemática - Prof. Lic. María Alejandra Valenzuela| 2

1.1- Introducción

En nuestra vida cotidiana estamos rodeados por números. Tenemos números de celulares, teléfonos, PIN, CUIT, CUIL, DNI, código postal, precios, índice de inflación, número de calzado, número de vuelo, patente, sueldo, alquiler, piso de un edificio, año de nacimiento, página, velocidad máxima, horario de atención, número de tarjeta de crédito, distancia al sol, diámetro de un quiste, número de canal, entre otros. Evidentemente la mayoría de nosotros hacemos un exhaustivo manejo de los números, pero ¿qué es un número?

Antes de enunciar todas las clases de números y estudiar sus propiedades tratemos de resolver los siguientes problemas sin utilizar nada más que nuestro sentido común, nuestra intuición y, por supuesto, el poco o mucho bagaje de conocimientos que hemos acumulado en nuestra educación formal.

Luego de realizar o analizar los desafíos encuadraremos a cada uno de ellos dentro del marco teórico correspondiente.

Primer desafío: Este desafío nos introducirá al concepto de número.

¿Cuál es la cifra más grande? ¿Cuál es el número más grande?

3 8 1

Segundo desafío: Este desafío nos introducirá al primer conjunto de números que vamos a definir

Toma una hoja de papel, recorta de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado. Dobla el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marca muy bien cada pliegue, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección.

Numera cada cuadrado utilizando los números de 1 a 16 como se muestra en la figura:


1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Dobla el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadraditos. El modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puedes incluso meter pliegues dentro de pliegues. Corta los cuatro bordes del paquete final para que te queden 16 cuadraditos separados. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámalos sobre la mesa. Suma todos los números que hayan quedado boca arriba. El número que has obtenido… ¿será el 68? ¿Verdad?

Desafío 3: Este desafío muestra una forma en que otra ciencia utiliza los números negativos. Para la Historia una marca para contar es el nacimiento de Cristo pero para la Matemática ¿Qué tipos de números usará?

El tornillo de Arquímedes es una máquina que sirve para elevar, por ejemplo, granos o agua. Arquímedes, que fue además de un matemático, un gran inventor, lo creó en algún año antes que ocurriera el nacimiento de Jesucristo. Después de 2146 años se inventó la computadora, en 1946. ¿En qué año inventó Arquímedes su tornillo?

Desafío 4: Por último, como introducción a las fracciones, pensemos en este desafío; a lo mejor con la calculadora en mano nos resulte más fácil de resolver, pero prestemos atención si respondemos a lo que se nos pregunta.

1- Los científicos dicen que nos pasamos las tres octavas parte del día durmiendo. ¿Cuántas horas al día se supone que nos encontramos despiertos?

2- También dicen que en promedio vemos televisión 1/6 parte del día. ¿Qué parte representa de nuestras horas de despiertos?


1.2- Los números.

El concepto de número es un concepto abstracto el cual, a medida que lo introducimos, representan distintas ideas. La cifra es el signo o caracter que representa a un número, es decir que es una representación del concepto abstracto “número”, por ende nuestra respuesta al desafío 1 debería ser 3 es la cifra más grande pero el número más grande es el 8. Este desafío junto al desafío 2 ha utilizado el primer conjunto de números a presentar.

1.2.1 Los números naturales

Los números naturales son los números que sirven para contar y los denotamos con la letra N:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6………}

1.2.3 Los números enteros

En el caso del desafío 3, si restamos 2146 a 1946 nos da por resultado un número negativo, que en el lenguaje de la línea histórica significa que se trata en un tiempo antes del nacimiento de Cristo.

La historia resuelve la situación utilizando el concepto “antes del nacimiento de Cristo”, “Después del nacimiento de Cristo”, pero las matemáticas utilizan un nuevo conjunto de números: los números enteros. Los denotamos con la letra Z

Z={…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}

1.2.4 Los números racionales.

A partir de la idea de partes o “fracciones” necesitamos el manejo de un nuevo conjunto de números. Aquí debemos observar que por un lado la

fracción4

2 representa la situación de tomar 2 de las 4 partes en que se

divide la unidad, pero es obvio que esa fracción también está

representada por 2

1, es decir, si tomamos 1 de las 2 partes iguales en

que puede dividir una unidad.

Fracciones equivalentes:

Son fracciones que representan el mismo valor, la misma parte de un total.


Así tenemos por ejemplo:

2

1=

4

2=

6

3 =

8

4 son fracciones equivalentes

La fracción 2

1 es una fracción irreducible.

Pero no sólo hablamos de partes de total, también podemos hablar de fracciones negativas que no representan a una “parte” de un “total”.

Definimos a los números racionales como el conjunto de números que se

representan en la forma b

a siendo a y b números enteros, b distinto de cero,

b

a es una fracción irreducible. Denotamos al conjunto con la letra Q, que

viene de la palabra “quotients” (división en inglés).

Q= { b

airreducible, ,0b ba, enteros}

a se llama numerador y b denominador

Ejemplo

5

2,10

11, -

8

1 son números racionales.

El signo de la fracción puede estar tanto en el numerador como en el denominador o delante de la fracción.

Notemos que a cualquier número entero se lo puede representar como una fracción con denominador 1, por ejemplo:

3=1

3 -2=

1

2 0=

1

0

1.2.5 Números Irracionales

Números decimales

Dijimos que un número racional es un número que se puede representar como una fracción entre dos enteros, pero fracción significa razón, proporción, es decir, estamos ante la división del numerador entre el denominador, así

1

4= 0.25


7

4= 1.75

2

5=-0.4

2

3= 0.66666666……

De aquí concluimos que todo número racional tiene su representación como número decimal, que se encuentra simplemente realizando la división entre numerador y denominador.

Ahora analicemos la situación inversa. Si tenemos un número decimal, ¿representa una fracción?

Transformar números decimales a fracción.

Para transformar el número decimal a fracción decimal con una cantidad finita de decimales se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

2.34 =234

100 =

117

50

0.34=34

100=

17

50

3.4=34

10=

17

5

Números decimales con infinitas cifras periódicas

Número decimal periódico es el número decimal que tiene una o varias cifras que se repiten indefinidamente a partir de un cierto lugar. ¿Se puede transformar los números periódicos a fracción?

Veamos un vídeo donde explica como representar al número 0.99999999999 como fracción.

http://youtu.be/KqWlGNgmqCs

¿Cuál es la fracción que representa al 0.99999………?

http://youtu.be/KqWlGNgmqCs


Tratemos de aplicar el razonamiento del video a estos números decimales con infinitas cifras periódicas.

Completar las siguientes tablas:

x = 0,2222…..

10x = 2,222….

10x -x = 2

x =

9

2

x = 0,12333333….

100x = 12,333…

1000x = 123,333….

1000x-100x = 123,3…-12,3….

900x = 111

x = 900

111

x = 2,555….

10x = 25,555…

10x-x = 23

x = 9

23


x = 1,765656565..

10x = 17,65656565..

1000x = 1765,656565…

1000x-10x = 1748

x =

990

1748

Podemos resumir estas tablas en el siguiente mecanismo:

1. Se anota el número que se obtiene de la cifras significativas sin la coma decimal hasta la cifra que se repite y se le resta él o los números que están antes del período.

2. El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo (los números que están antes de las cifras periódicas y después de la coma).

Ejemplo:

57, 23=57,232323….=5723 57

99=

5666

99

2,45 = 2,4555….=245 24

90=

221

90

Números decimales con infinitas cifras no periódicas

Un número decimal conocido que tiene infinitas cifras pero no periódicas es el número raíz cuadrada de dos.

Haciendo uso de la calculadora de tu computadora se puede ver que

2 = 1,4142135623730950488016887242097. La duda es ¿será que tendrá una tanda grande de números que se repiten y será entonces un número decimal con infinitas cifras periódicas?

La respuesta es NO.


Los números irracionales son los números que no pueden representarse como un racional y en su representación decimal son números con infinitas cifras no periódicas. Los vamos a denotar con la letra I

I= { los números que no pueden representarse como fracción}

Veamos el siguiente video para profundizar esta importante definición:

http://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944.

En vista de este video, es obvia la respuesta a cada pregunta.

1) ¿Todos los números decimales son racionales? NO

2) ¿Existe algún número que sea racional e irracional a la vez? NO

3) ¿Podemos decir que el número tiene una cantidad finita de

decimales? NO

1.2.6 Los números reales

Si unimos todos los números racionales Q con todos los números irracionales I obtenemos el conjunto de los números reales. Los números reales se denotan con la letra R.

Esquemáticamente tenemos:


La recta real

Representamos a los números reales en una recta, donde cada punto de la misma representa un único número y cada número tiene asignado un único punto. Para ello es necesario indicar el 0 (origen) y una escala (unidad)

A partir de esta representación podemos ubicar cualquier número sobre ella. Por ejemplo, el número 3 será el punto que está 3 medidas

de unidad a la derecha del origen, el -2

1 estará representado por el

punto que está a la izquierda del origen a una distancia igual a la mitad de la unidad. Si tomo el punto que está a 5 unidades a la derecha del origen representará al número 5.

Distancia entre dos puntos

Si queremos calcular la distancia entre dos puntos de la recta real, por ejemplo, a y b, debemos hallar la diferencia entre el que represente el mayor número y el que representa el número menor.

Por ejemplo, en el caso del desafío 3

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es igual a la distancia del punto de la recta real que representa al número al cero. Denotamos al valor absoluto de un número cualquiera x de la siguiente manera: |x|

Ejemplos.

|4|=4

|1946|=1946


|-200|=200

|0|=0

En general definimos para cualquier x real

|x|=

0

0

xsix

xsix

Observación: -x indica el opuesto de x. Es muy común confundirse al ver esta expresión y decir que –x es un número negativo cuando en realidad va a ser negativo sólo si x es positivo. En el caso que x sea negativo, -x va a representar un número positivo ya que el opuesto de un negativo es un positivo.

Ejemplos

-(3)=-3 El opuesto de un positivo es un negativo

-(-3)= 3 El opuesto de un negativo es un positivo

1.2.7 Las operaciones en R

Las operaciones que podemos realizar con los números reales son:

Suma o Adición: a+b, en este caso a y b se llaman sumandos

Resta o Substracción: a-b, en este caso a es llamado minuendo y b sustraendo

También a “a” y “b” se los llama “términos”

Producto: a.b, en este caso a y b se llaman factores

División: a:b,a

b ó a b, en este caso a se llama dividendo y b divisor.

Potencia: an, en este caso a es llamada base y n es llamado exponente

Radicación:n a

, en este caso a es llamado radicando y n índice.


Propiedades de la suma y el producto

Si representamos con a, b y c números reales cualesquiera, se tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

a+b=b+a

Conmutativa

a.b=b.a

Asociativa

a+(b+c)=(a+b)+c

Asociativa

a.(b.c)= (a.b).c

El 0 es el elemento neutro de la suma

a+0 = a

El 1 es el elemento neutro del producto

a.1= a

Cada real tiene su opuesto

a+(-a)=0

Cada real no nulo tiene su inverso

a .1

a=1 1a =

1

a

Propiedad distributiva de la suma con respecto al producto

a.(b+c)= ab+ ac

Propiedades de la potenciación y de la radicación

Distributiva respecto a la multiplicación

(a.b)n= an. bn

Distributiva respecto a la multiplicación

nnn naba ..

Distributiva respecto a la división

n

b

a

=n

n

b

a

Distributiva respecto a la división

n

b

a

Potencia de otra potencia

mnmn aa .

Raíz de otra raíz

mnm n aa .


Ejemplos

Veamos una aplicación interesante de la propiedad distributiva en el siguiente video. http://youtu.be/5JtliQVoOZo

Suma de fracciones

Igual denominador

Para sumar fracciones con igual denominador, sólo se suman los numeradores

5

6

5

693

5

6

5

9

5

3

Distintos denominadores

Para sumar fracciones con distintos denominadores debemos transformar dichas fracciones en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador común. Por ejemplo

2

1

5

3

En este caso si buscamos el mínimo común múltiplo entre 5 y 2 podemos transformar ambas fracciones en fracciones equivalentes con denominador 10.

3

5.2

2+

1

2.5

5=

6

10+

5

10=

11

10

Producto y División

Para el producto y cociente tendremos en cuenta la siguiente regla de los signos:

El producto o cociente entre dos números positivos o dos negativos es un número positivo. Ejemplos: 3.2= 6 y (-2).(-4)= 8.

El producto o cociente entre un número positivo y uno negativo es un número negativo. Ejemplo: (-2). 4= -8.

El producto entre fracciones es una fracción que se obtiene multiplicando sus numeradores y denominadores respectivamente.

Ejemplo:

)5

1(

3

2=-

53

12=-

15

2

http://youtu.be/5JtliQVoOZo


El cociente entre fracciones podemos expresarlo como un producto donde se invierte el divisor.

Ejemplo:

2 7 2 5 10: .

3 5 3 7 21 .

También se puede expresar así:

Producto de los extremos por el producto de los medios.

-21

10

73

52

Potenciación

0

1

1

. .....

1 1

n

nveces

n

n

n

x

x x

x x x x

xx x

Exponentes negativos y racionales

Recordemos algunas reglas de la potenciación con exponentes negativos o racionales.

a 0 = 1 ; a -1=a

1 ; a -2=

2

1

a ;

5

73

2

Numerador

Denominador


1

2a = a ; a n/m=

nmm n aa

Ejemplos

3

2

2

31

; 9

4

3

2

2

322

;

2

38 =4 ; 1

29 =1

3

Uso de paréntesis, corchetes y llaves.

1. Identifica el valor de:

-3-{2+[5-(3-1)]-1}+4=

Primero se resuelve el paréntesis: -3-{2+[5-(2)]-1}+4

Luego se resuelve el corchete: -3-{2+[3]-1}+4

Ahora se resuelve las llaves: -3-{4}+4

-4 y +4 se cancelan por ser opuestos

El resultado es -3

2. Simplifica a la mínima expresión

-3-{a+[5-(3-a)]-2a}+4

Primeros suprimimos el paréntesis:-3-{a+[5-3+a]-2a}+4

Luego suprimimos el corchete:-3-{a+5-3+a-2a}+4

Por último suprimimos las llaves:-3-a-5+3-a+2a + 4

Ahora sumamos términos “semejantes” (los números con los números y las “a” con las “a”):-3-5+4-a-a+2a=-8+4-2a+2a

El resultado es -4


1.3- Casos de factoreo.

Factorear una expresión matemática significa transformarla en un producto de factores. De la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o resta se deducen varios casos de factoreo cuyas aplicaciones son recurrentes en el uso cotidiano de las matemáticas y juegan un papel importante en los procedimientos algebraicos.

1.3.1 El factor común y el factor común por grupos

Si en la propiedad distributiva

a.(b+c)= a.b +a.c,

podemos afirmar que:

a.b + a.c = a. (b+c),

de esta forma hemos extraído el factor común a.

En la expresión a.b+a.c+d.b+d.c podemos agruparla haciendo uso de la propiedad asociativa,

a.b+a.c+d.b+d.c= (a.b+a.c) +(d.b+d.c)= a. (b+c) + d. (b+c).

los factores a y d son comunes de los dos primeros términos y de los dos últimos términos respectivamente. Aplicando para cada grupo de términos la extracción del factor común, hemos aplicado factor común por grupos pero no hemos factoreado la expresión original porque no la hemos transformado en el producto de factores.

Para concluir, observemos que el factor (b+c) es común en ambos términos. Aplicando la extracción de dicho factor, el segundo miembro de la igualdad se reduce a:

(b+c). (a+d)

1.3.2 El cuadrado de un binomio y el trinomio cuadrado perfecto

La propiedad distributiva se aplica también para desarrollar potencias del tipo (a+b)2.

(a+b)2 = (a+b) . (a+b)

(a+b)2 = a.a +a.b +b.a+ b.b


(a+b)2= a2+2a.b+b2. El lado izquierdo de la igualdad es el cuadrado de un binomio y el lado derecho de la igualdad se lo conoce como el trinomio cuadrado perfecto.

Tenemos entonces que:

a2+2a.b+b2= (a+b)2 es el factoreo del trinomio cuadrado perfecto.

1.3.3 La diferencia de cuadrados

Aplicamos la propiedad distributiva al producto entre (a+b) y (a-b):

(a+b).(a-b)= a.a –a.b+b.a-b.b

(a+b).(a-b)= a2 - b2

Esta expresión generalmente trabajada en sentido contrario a2 - b2= (a+b).(a-b) se llama diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

a) x2+8x+16= (x+4)2. Es un trinomio cuadrado perfecto

b) 3y3-6y2+3y= 3y(y2-2y+1)= 3y(y-1)2. Obtuvimos un factor común

c) x4 – 1= (x2-1)(x2+1)= (x-1)(x+1) (x2+1)= Aplicamos dos veces diferencias de cuadrados.

d) ax2-ay2+bx2-by2= a(x2-y2) +b(x2-y2) =(x2-y2) (a+b)=

(x-y)(x+y)(a+b). Aplicamos factor común por grupos y luego diferencias de cuadrados

1.4- Asignación de

porcentajes

El porcentaje es una de las expresiones matemáticas más utilizada en la vida diaria. Desde las tasas de interés bancario hasta en la información de los noticieros se maneja el término porcentaje. Nos sirve para manejar datos estadísticos, para relacionar un parte del total y para medir variaciones relativas de una cantidad. Por ello, antes de introducir su concepto, realicemos el siguiente desafío a nuestra manera.


Desafío 6

1. El arroz ha sufrido un incremento menor al 4% con respecto al año pasado. El precio del arroz del año pasado era aproximadamente $7 el kilo.

2. El descenso de turistas en una localidad turística ha sido del 12% con respecto al año anterior. El año pasado se manejó un volumen aproximado de1.200.00 turistas.

¿Cuál es el intervalo de valores que hay entre el año anterior y este año para cada uno de los ítems? Representa cada intervalo gráficamente en la recta real.

1.4.1 Porcentajes

El porcentaje es una magnitud que mide partes de un total. En este ejemplo, cada cuarto representa el 25% y suman el 100% del rectángulo:

Es útil recordar que la palabra “por ciento” significa “cada cien”.

1.4.2 Cálculo de porcentajes

Un porcentaje también se puede expresar como un número decimal o fracción.

“50% de…”

La mitad de…

0.5 de…

2

1de…

¼ ¼ ¼ ¼

25% 25% 25% 25%


De esta forma se asigna para cada porcentaje % la fracción que le corresponde. Una regla práctica para asignar el porcentaje de una fracción es calcular la expresión decimal de dicha fracción y multiplicar por 100.

Ejemplo

Fracción Expresión decimal Porcentaje

3/4 3:4= 0,75 0,75.100=75

5/4 4:5=1,25 1,25.100=125

La regla práctica que podemos utilizar para calcular el porcentaje de un número es multiplicar a dicho número por el porcentaje y luego dividir por 100.

Ejemplo

Calcula el 60% de 5

Es decir, (60 .5):100= 3.

Esto es lo mismo que multiplicar la expresión decimal del porcentaje por el número:

0,6. 5 = 3

Resolvamos nuestro desafío 6

Arroz

Para calcular el 4% de 7 debemos multiplicar su expresión decimal por 7.

0,04.7=0,28

incremento: $7 +0,04.7= 1,04.$7=$7,28

La representación de la situación en la recta real es el intervalo

[7, 7,28)

Significa que el valor actual del arroz está entre $7 y $7,28 sin llegar a este último valor.

Turistas

Como conocemos el valor del año pasado, calculemos el 12% de ese valor:


0,12. 1200000=14400

decremento: 1200000-0,12.1200000=0,88.1200000=1056000

Como se habla de valores aproximados, los extremos del intervalo son 1056000 y 1200000, pero el número real puede ser cualquier número comprendido entre ellos dos, inclusive ellos mismos.


Bibliografía Lectura 1

Apostol, Tom M.,(1982) “Calculus”, Argentina, Editorial Reverté S. A.

Cugno, Haydeé, (2009)” Curso de Nivelación en Matemática”. Universidad Empresarial Siglo 21.

Haeussler Ernest F, Jr, Paul Richard S., Wood, Richard J.,(2008),”Matemáticas para administración y Economía”, México, Pearson, Prentice Hall.

Lopez, Antonio Roberto, (1984) “Matemática Moderna 1, 2, 3 y 4”, Buenos Aires, Editorial Stella.

Tarzia D. A, (2000) “Curso de nivelación de Matemática", Santiago de Chile, McGraw-Hill Interamericana.

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http://www.mathsisfun.com/percentage.html http://platea.pntic.mec.es/jescuder/numeros.htm

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