LOS GRÁFICOS

cómo leerlos y construirlos

Elaborado por M. Barneto, 2011

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Cómo leer y construir gráficos

Un gráfico es una ilustración que muestra la relación existente entre dos o

más conjuntos de datos o variables.

La ventaja de los gráficos es que permiten representar gran cantidad de

datos en un pequeño espacio, facilitando su comprensión de forma

visual. Existen una gran variedad de ellos, pero aquí nos vamos a centrar

en los que representan la relación entre dos variables o conjuntos de datos

mediante unas coordenadas.

Las coordenadas cartesianas se componen de dos ejes perpendiculares: el

eje horizontal o de abscisas, y el eje vertical o de ordenadas. La intersección

de ambos se llama origen de las coordenadas y tiene un valor igual a 0. A

partir del origen se miden los datos de cada uno de los ejes de manera

creciente, especificando siempre la unidad de medida que se utiliza (euros,

kilogramos, horas de trabajo, etc.), y manteniendo la proporción justa entre

unidades. Es imprescindible también indicar en cada uno de los ejes la

variable que se está midiendo. A continuación tenemos un ejemplo de

coordenadas para representar la evolución de la tasa de paro durante los

últimos 5 años:

M. Barneto, 2011

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En estas coordenadas se pueden representar dos variables, cada una en un

eje: por ejemplo la tasa de paro y el tiempo. A continuación, con los datos

de cada variable, se marcan los puntos sobre el plano que representan cada

par de valores de las variables. Supongamos que los datos reales son los

que indican la tabla siguiente:

Años 2006 2007 2008 2009 2010

Tasa de Paro (%) 12,5 15 16 18,5 20

El resultado es un gráfico de puntos que nos da una imagen de la relación

entre las dos variables que se comparan. De un solo vistazo se obseva que

la tasa de paro crece año tras año. Uniendo los puntos anteriores, se obtiene

un gráfico lineal que facilita aún más la interpretación de los datos, como en

la siguiente imagen:

M. Barneto, 2011

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El gráfico de una función lineal

Una función matemática establece una relación concreta entre dos o más

variables. Las más sencillas se limitan a dos, que suelen denominarse x e y.

Por ejemplo, la ecuación de una recta, que se escribe:

a) y(x) = 5 + x , cuando la pendiente es positiva, o

b) y(x) = 5 - x , si la pendiente es negativa.

La notación y(x) expresa que la variable y depende de la variable x

(por ejemplo, podemos establecer que la demanda de un bien depende de la

renta del consumidor). Así, se dice que y es la variable dependiente y se

representa en el eje de ordenadas o vertical, mientras que x es la variable

independiente, representándose en el eje de abscisas u horizontal.

El gráfico de la primera recta, con pendiente positiva, es el siguiente:

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Para dibujar la recta basta con dar dos valores a la variable independiente x,

el 0 y otro valor superior, por ejemplo 10 o 14. Con estos valores

obtenemos los correspondientes a la variable dependiente y:

si x = 0 ⇒ y = 5 punto de la coordenada: (0,5)

si x = 10 ⇒ y = 15 punto de la coordenada: (10,15)

A continuación señalamos en las coordenadas los dos puntos anteriores:

(0,5) y (10,15). Pues bien, como sabemos, la recta es la línea que une los

dos puntos, en color rojo en el gráfico.

La recta tiene pendiente positiva, pero ¿qué es la pendiente?.

La pendiente de una línea es un número que representa la variación que

experimenta una de las variables cuando varía la otra, en concreto mide lo

que varía la variable dependiente y (en el eje vertical) cuando la variable

independiente x (en el eje vertical) varía en una unidad. Si representamos la

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variación de las variables por la letra griega ∆ podemos escribir: Pendiente

= ∆y / ∆x.

En el ejemplo anterior, el valor de la pendiente de la recta es 1, debido a

que si aumenta el valor de x en una unidad, el valor de y también aumenta

en una unidad (se puede comprobar fácilmente haciendo las sustituciones

oportunas en la ecuación). El cociente de estos incrementos o pendiente de

la recta es también 1. Además se trata de una pendiente positiva porque

las dos variables, x e y, varían en la misma dirección: si aumenta una lo

hace la otra, y si disminuye una también disminuye la otra.

Gráficamente el cálculo de la pendiente se obtiene como se muestra a

continuación:

Para calcular la pendiente de la recta que une los puntos A y B, imaginemos

que el movimiento se produce en dos fases: primero, un movimiento

horizontal de A a C, que indica el aumento del valor de x en una unidad (de

5 a 6) sin que varíe y; segundo, un movimiento vertical de C a B, que señala

el aumento del valor de y. Precisamente este incremento en el valor de y al

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aumentar x en una unidad, es la pendiente, que en esta recta vuelve a ser

1, ya que y aumenta de 3 a 4, es decir, una unidad.

Pendiente = CB / AC = 1 / 1 = 1

Una característica de las líneas rectas es que su pendiente es siempre la

misma, es constante a lo largo de toda la recta.

¿Sabrías escribir la ecuación de la recta representada en este último gráfico?

Veamos ahora el caso de una recta con pendiente negativa, por ejemplo la

ecuación de la demanda de un bien de un consumidor en relación a su

precio:

q(P) = 10 - P/2

que podemos expresar también como la función inversa de demanda, es

decir, el precio (P), en función de la cantidad demandada (q):

P(q) = 20 - 2q

donde P representa el precio del bien, medido en euros, y q representa la

cantidad de bien demandada en un período, medida en unidades de bien,

por ejemplo número de videojuegos demandados en un año.

Procediendo igual que en el caso anterior, dando dos valores a q y

calculando los correspondientes a P, podemos dibujar la recta de la función

de demanda en las coordenadas a partir de esos dos puntos.

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La pendiente de esta recta es igual a -2 (pendiente negativa o recta

decreciente), que significa que cuando la cantidad comprada de videojuegos

disminuye en una unidad, el precio aumenta en 2€: las dos variables se

mueven en sentido contrario, si una aumenta la otra disminuye, y

viceversa.

Una mirada más detenida sobre el gráfico nos aporta más información: a un

precio de 20€ el consumidor no está dispuesto a comprar ningún

videojuego; y si éstos fueran gratis (P=0) la cantidad máxima que

consumiría sería de 10 videojuegos.

Hemos analizado la pendiente de una función lineal, de una recta. Pero si se

tratara de una curva, ¿sería la pendiente constante a lo largo de toda la

función?

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Observa en el gráfico siguiente que, a diferencia de las rectas, las curvas

tienen diferente pendiente en cada uno de sus puntos. En este ejemplo, la

tangente a la curva, que mide la pendiente, va disminuyendo en valor

absoluto a medida que aumenta el valor de x, definiendo la curva convexa.

Los gráficos circulares

Este tipo de gráficos facilitan la comprensión de la distribución porcentual de

una variable en un momento del tiempo: visualmente se asemejan a una

tarta, con el tamaño de las porciones proporcional al valor del porcentaje.

Se utilizan con frecuencia en la presentación de datos como cuotas de

mercado de empresas, estructura sectorial del PIB, o cualquier otra variable

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de la que se analiza su distribución. Para elaborarlos se suele usar una

aplicación del tipo hoja de cálculo (Excel, OpenOffice, SPSS, etc.)

En este ejemplo se representan las cuotas de mercado de las empresas

operadoras de móviles en España, en el año 2010:

Los gráficos de barras

Este tipo de gráfico es útil en la presentación de información relativa a dos

variables.

Se utiliza con frecuencia con distintos fines:

● Evolución temporal de una variable (alternativa al gráfico lineal).

● Comparación de una variable en distintos países o regiones.

● Presentación de porcentajes sobre el total de una magnitud

(alternativa al gráfico circular).

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Igual que los gráficos circulares, son fáciles de construir con hojas de

cálculo.