UNIDAD TEMTICA Cdigo: EDUC-10-011 LENGUAJE ALGEBRAICOINACAP 2011

JUAN ANTONIO BERNA VILCA INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL MAGISTER EN INGENIERIA EN GESTION Y TECNOLOGIA

JULIO 2011www.inacap.cl

LENGUAJE ALGEBRAICO

Objetivo de la unidad temtica: Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y mtodos de calculo, incluyendo una sistematizacin del mtodo ensayo-error; analizar la pertinencia de los datos y soluciones.

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LENGUAJE ALGEBRAICOEl lenguaje que usamos en operaciones aritmticas en las que slo intervienen nmeros se llama lenguaje numrico. En ocasiones empleamos letras para representar cualquier nmero desconocido, realizamos operaciones aritmticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemticas para poder calcular su valor numrico. El lenguaje que utiliza letras en combinacin con nmeros y signos, y, adems, las trata como nmeros en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemticas que estudia la relacin entre nmeros, letras y signos se llama lgebra.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 1.1- CARACTERISTICAS DEL LENGUAJE ALGEBRAICO1.- El lenguaje algebraico es ms preciso que el lenguaje numrico: podemos expresar enunciados de una forma ms breve. El conjunto de los mltiplos de 5 es 5 = {5, 10, 15, ...}. En lenguaje algebraico se expresa 5 n, con n un nmero entero. 2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numricas de carcter general. La propiedad conmutativa del producto se expresa a b = b a, donde a y b son dos nmeros cualesquiera. 3.- Con el lenguaje algebraico expresamos nmeros desconocidos y realizamos operaciones aritmticas con ellos. El doble de un nmero es seis se expresa 2 x = 6.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICASUna expresin algebraica es un conjunto de nmeros y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritmticas. Una expresin algebraica se define como aquella que est constituida por coeficientes, exponentes y bases.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICASCoeficiente numrico: es la cantidad numrica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga. Ejemplos: 7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 3x2 = x2 x2 x2 Exponente numrico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto. Ejemplos: 5x3 = 5 (x) (x) (x) 8( x + 5)2 = 8( x + 5) ( x + 5

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LENGUAJE ALGEBRAICO 1.3 VALOR NUMRICO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICAEl valor numrico de una expresin algebraica, es el nmero que resulta de sustituir las letras por nmeros y realizar a continuacin las operaciones que se indican. Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable. ejemplos: Frase La suma de 2 y un nmero 3 ms que un nmero La diferencia entre un nmero y5 Expresin algebraica 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) x+3 a-5

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.- OPERATORIA ALGEBRAICAObjetivo: Operar algebraicamente y reducir trminos semejantes. SUPRIMIR PARENTESIS. REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.1.- SUPRIMIR USO DE LOS PARNTESISEl uso de parntesis en lgebra, es muy frecuente. Los parntesis se utilizan para separar expresiones, siendo necesario eliminarlos, para poder resolver una expresin algebraica que contenga trminos semejantes. En necesario, entonces, tener en cuenta las siguientes reglas: Si delante de un parntesis hay un signo + (ms) se eliminan los parntesis sin hacer ningn cambio de signo. Si delante de un parntesis hay un signo - (menos) se eliminan los parntesis y se cambian TODOS los signos de los trminos que estaban en su interior. Al hacer esto, el signo - que estaba delante del parntesis, se elimina. Si en una expresin algebraica hay ms de un parntesis, siempre se comienza desde el ms pequeo al ms grande o bien desde el interior hacia el exterior.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.1.- CONVENCIN DE USO DE LOS PARNTESISEjemplo: 3ab { 3a ( 5ab + 8a ) 2a } Se eliminan primero los parntesis interiores. Como delante del parntesis redondo hay un signo , ste se elimina y se cambian los signos de los trminos que estn dentro del parntesis. 3ab { 3a + 5ab 8a 2a } Se suman o restan los trminos semejantes ( aquellos que tienen el mismo factor literal y por consiguiente, el mismo grado). 3ab { 7a + 5ab } Se elimina el parntesis exterior. Como hay un signo menos, se deben cambiar los signos de los trminos que estaban dentro del parntesis. 3ab + 7a 5ab Se reducen los trminos semejantes. 2ab + 7a

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.2.- REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTESEn una expresin algebraica se llaman trminos semejantes a todos aquellos trminos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos trminos que tienen iguales letras (smbolos literales) e iguales exponentes. Por ejemplo: 6 a2b3 es trmino semejante con 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3) 1/3 x5yz es trmino semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz) 0,3 a2c no es trmino semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, estn al revs. Reducir trminos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numricos en una expresin algebraica, que tengan el mismo factor literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numricos y se conserva el factor literal.

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.2.1- RECORDANDO COMO SE SUMAN LOS N ENTEROSLas reglas de suma se aplican nicamente a dos casos: nmeros de igual signo y nmeros con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Nmeros de igual signo: Cuando dos nmeros tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ej : 3 + 8 = 11 ( sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo) Ej : 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los nmeros son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 b) Nmeros con distinto signo: Cuando dos nmeros tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto 5 + 51 = 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) 14 + 34 = 20

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.2.2- RECORDANDO COMO SE RESTAN LOS N ENTEROSPara restar dos nmeros o ms, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse: a) Cambiar el signo de la resta en suma b) Cambiar el signo del nmero que est a la derecha del signo de operacin por su signo contrario Ej: 3 10 = conserva el signo) 19 16 = 3 + 10 = 16 = 13 ( signos iguales se suma y 19 16 = 3

19 +

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.2.2- RECORDANDO COMO SE RESTAN LOS N ENTEROSEjemplo 1: xy3 3 x2y + 5 xy3 12 x2y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2y Hay tambin una constante numrica: 6 Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numricos de xy3 con 5xy3 y 3 x2y con 12 x2y. Hay que tener presente que cuando una expresin no tiene un coeficiente, es decir, un nmero significa que es 1 (x3y = 1 xy3). xy3 3 x2y + 5 xy3 12 x2y + 6 = 6 xy3 + 15 x2y + 6 1+5=6 3 12 = 15

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LENGUAJE ALGEBRAICO 2.2.2- RECORDANDO COMO SE RESTAN LOS N ENTEROSEjemplo 2: 3ab 5abc + 8ab + 6abc 10 + 14ab 20 = 25ab + 1abc 30 Operaciones: 3 + 8 +14 = 25 ab 5 + 6 = + 1 abc 10 20 = 30

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LENGUAJE ALGEBRAICO 3- SINTAXIS DEL LENGUAJE ALGEBRAICOLa sintaxis de la operatoria aritmtica no siempre coincide con la del lgebra. Ejemplo: El numero 37 tiene dos cifras en que 3 es la cifra de las decenas y 7 la de las unidades; ab en lgebra representa el producto de 'a por b' y 10a + b puede corresponder a un nmero de dos cifras en el que a es la cifra de las decenas y b la de las unidades. En relacin con la adicin o sustraccin tambin se suponen analogas que llevan a errores de sintaxis; en la adicin aritmtica, el resultado es un nmero; el resultado de una adicin algebraica puede incluir signos + o -, lo que genera confusin durante la operacin y se buscan maneras de expresar resultados. Ejemplo: la formas 5a + b errneamente la trasforman en un monomio como 5ab. Finalmente la interpretacin de la expresin 'sea a un nmero' no solo se interpreta como un nmero entero positivo y -a como un entero negativo. Sino tambin pueden ser fracciones y decimales.www.inacap.cl

LENGUAJE ALGEBRAICO 3- SINTAXIS DEL LENGUAJE ALGEBRAICOMs, suma, adicin, agregar, aadir, aumentar -----> + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -----> Multiplicacin, de, del, veces, producto, por, factor -----> Divisin, cuociente, razn, es a -----> : Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a -----> = Un nmero cualquiera -----> x Antecesor de un nmero cualquiera -----> x 1 Sucesor de un nmero cualquiera -----> x + 1 Cuadrado de un nmero cualquiera -----> x2 Cubo de un nmero cualquiera -----> x3 Doble de un nmero, duplo, dos veces, nmero par, mltiplo de 2 ----> 2x

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LENGUAJE ALGEBRAICO 3.1- PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA SUMA Y PRODUCTOPara todo x, y, z de R se satisface: 1. Ley conmutativa: x + y = y + x , x y = y x. 2. Ley asociativa: x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x ( y z ) = ( x y ) z. 3. Ley distributiva: x ( y + z ) = x y + x z. 4. Existencia del elemento neutro: x + 0 = x , x 1 = x. 5. Existencia del elemento simtrico: x + ( -x ) = 0 (-x es el opuesto de x) Si x # 0 : x ( 1 / x ) = 1 ( 1 / x = x - 1 es el inverso de x )

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LENGUAJE AGEBRAICO 3.2.- PLANTEO Y RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADO

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incgnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

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LENGUAJE AGEBRAICO 3.2.- PLANTEO Y RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADO

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

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LENGUAJE AGEBRAICO 3.2.- PLANTEO Y RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADOEjemplo: Resolver la ecuacin 2x 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56

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LENGUAJE ALGEBRAICO 3.2.- PLANTEO Y RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADO

Ahora tenemos el nmero 2 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ) a ambos lados de la ecuacin: 2x = 56 Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incgnita o variable "x" es 28.

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