LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Todos las masas en el universo, por el hecho de serlo, se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (medida de centro a centro).

rur

mmGF rr2

´⋅−=

• rur es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las

masas y el sentido desde la masa que crea el campo hacia la otra. • El signo “menos” se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que

tiene la dirección del vector unitario rur−

• G es una constante de proporcionalidad llamada “constante de gravitación universal” (no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, ya que son cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula y su valor es:

2211 /1067,6 KgmNG ⋅⋅= −

Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa tanto sobre una masa como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

2112 FFrr

−=

2112 FF = Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que ello quiera decir que no exista.

Ejemplo: Calcular la fuerza que la tierra ejercerá sobre un cuerpo de 1Kg de masa situado: a) Sobre la superficie terrestre b) a 100Km de la superficie c) Comparar ambos resultados con los que se obtienen aplicando la fórmula P=mg DATOS: Rt=6370Km Mt=5,98.1024Kg G=6,67.10-11Nm2/kg2 Como se sabe, a la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se le llama peso, así que no es más que la fuerza con que se atraen dos masas, pero cuando una de ellas es la tierra, por tanto, aplicaremos la ley de gravitación universal:

2

´r

mmGF ⋅=

a) En el caso de que el cuerpo esté sobre la superficie de la tierra, la distancia que separa ambos cuerpos es igual al radio de la tierra, porque se mide desde el centro de una masa al centro de la otra, así que r=Rt

NewR

mMGF

t

t 83,9000.6370

11098,51067,6 2

2411

2 =⋅⋅

⋅=⋅

= −

b) Cuando la masa está a 100Km de la superficie el problema es exactamente el mismo, solo que ahora la distancia que separa las masas es r=Rt+h

NewhRmM

GFt

t 53,9)1000006370000(

11098,51067,6)( 2

2411

2 =+

⋅⋅⋅=

+⋅

= −

El resultado es perfectamente lógico, ya que como puede verse en la ley de gravitación universal, a medida que aumenta r disminuirá F. c) La fórmula P=mg es exactamente la misma que la de más arriba, ya que la aceleración de la gravedad es:

2rM

Gg t=

Por tanto la misma expresión P=mg vale para ambos casos, simplemente lo que ocurre es que la aceleración de la gravedad no vale igual en cada caso, porque, como puede verse depende de r.

Lo que sucede es que cuando vemos la expresión P=mg inmediatamente pensamos en que g=9,81m/s2 sin pararnos a pensar que la aceleración de la gravedad no es una constante porque depende de la altura, incluso más adelante veremos que también depende de la latitud. (Concretamente los pesos que hemos obtenido estarían calculados para el supuesto de que la masa m estuviera en los polos.) INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE MASAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de gravitación universal nos da la fuerza con que se atraen dos masas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras masas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una masa se encuentra en el campo creado por varias masas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada masa, por separado, ejerza sobre ella.” También podría decirse que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

∑= itotal FFrr

∑= itotal gmF rr es decir que ∑= itotal gg rr

Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada en el cuarto vértice. El campo gravitatorio (g) creado por cada masa por separado en el punto P es:

GGr

mmGF 5

151

221

11 =

⋅=

⋅=

GGr

mmGF 5

)2(52

222

22 =

⋅=

⋅=

GGr

mmGF 15

153

223

33 =

⋅=

⋅=

Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura, la fuerza creada por cada masa sobre la masa de 5Kg sería:

jGFrr

51 = jGseniGFrrr

45545cos52 +−= iGFrr

153 −=

jGiGFrrr

5,85,18 +−= El módulo sería NewGGGF 1022 1036,135,20)5,8()5,18( −⋅==+−=

El ángulo con el eje X sería º67,245,18

5,8−=

−=

GGarctgα

NOCIÓN DE CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL En general, el vector Intensidad de campo, o simplemente campo, en un punto, se definió como la fuerza, en ese punto, por unidad de agente sensible, con objeto tener una magnitud que solamente dependa de la posición del punto en el campo, y no dependa del testigo:

cFIr

r=

Particularizando para el campo gravitatorio, donde el testigo es una masa y a la Intensidad de campo gravitatorio se le da el nombre de gravedad, tendremos que:

rurmG

mFg rr

r2´

−==

Como puede verse el valor de la Intensidad de campo gravitatorio o gravedad solamente depende de la masa m que crea el campo y de r, es decir de la posición del punto.

El vector intensidad de campo gravitatorio en un punto, P, apunta siempre desde el punto hacia la masa que crea el campo, ya que como la masa m´ siempre será positiva tiene la misma dirección y además el mismo sentido de la fuerza en ese punto.

Por otro lado, hemos visto que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

∑= itotal gg rr es decir se cumple el principio de superposición.

Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la intensidad de campo gravitatorio en el cuarto vértice. ¿Qué fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada allí? ¿Y sobre una masa de 6 Kg? El campo gravitatorio (g) creado por cada masa por separado en el punto P es:

GGrmGg === 221

1 11

GGrmGg ===

222

2)2(

2

GGrmGg 3

1322

33 ===

Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura, la intensidad de campo creada por cada masa sería:

jGgrr

=1 jGseniGgrrr 4545cos2 +−=

iGgrr 33 −=

jGiGgrrr 7,17,3 +−=

El módulo sería 21122 /1071,207,4)7,1()7,3( smGGGg −⋅==+−=

El ángulo con el eje X sería º67,247,3

7,1−=

−=

GGarctgα

La fuerza sobre una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expresión F=mg así que:

NewgmF Kg1011

55 1036,11071,25 −− ⋅=⋅⋅==

NewgmF Kg1011

66 1063,11071,26 −− ⋅=⋅⋅== Observación: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto (la gravedad) tiene una ventaja enorme, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplicar por la pasa en el punto P y obtenemos la fuerza que actúa sobre ella. (bueno, lo hemos hecho sobre su módulo, pero exactamente igual sería si hubiéramos

multiplicado su expresión vectorial). Sin embargo, si hubiéramos calculado la fuerza sobre la masa de 5Kg sumando vectorialmente las fuerzas a partir de ese valor no podemos obtener la fuerza sobre otra masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habríamos tenido que repetir el ejercicio y la suma de vectores. Como ya hemos dicho, esa es la razón por la que se define la intensidad de campo, porque su valor no depende de la masa del testigo, sino de los agentes propios que crean el campo, es decir de las masas que lo crean. ENERGIA POTENCIAL EN EL CAMPO GRAVITATORIO Como sabemos, el campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. Se definió diferencia de energía potencial (ddp) de una partícula, entre dos puntos B y A, como el trabajo realizado por nosotros para llevar la partícula del punto A al B.

campoBAABnosotrosBA WEpEpEpW ,, →→ −=∆=−= También vimos que el trabajo realizado por nosotros para llevar una partícula de un punto a otro es igual y de signo contrario al que hace el campo, así que:

BAcampoBA EpEpEpW −=∆−=→ , podríamos decir que el trabajo (o la circulación de la fuerza) que hace el campo para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B es igual a diferencia de energía potencial entre los puntos A y B, y solo depende de la posición de los puntos A y B. Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial gravitatoria, para ello no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo gravitatorio para llevar una partícula desde el punto A al B:

∫∫∫ ⋅⋅

−=•⋅

−=•==− →

B

A

B

Ar

B

AgravcampoBABA dr

rmmGrdu

rmmGrdFWEpEp 22,

´´ rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur y el vector desplazamiento rdr tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1.

Teniendo en cuenta además, que r

drr

112 −=∫

nos quedaría que:

BABA

B

AcampoBA EpEp

rrmmG

rmmGW −=

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=→

11´1´,

−⋅⋅−=−

BABA rr

mmGEpEp 11´

Energía potencial gravitatoria en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la masa m´ desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial en un punto, entonces podremos habar de energía potencial absoluta en un punto. Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una masa m´ en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la masa m´ desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una masa m´ en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la masa desde el infinito hasta ese punto)

∞

−⋅⋅−=− ∞11´

AA r

mmGEpEp

como 01 =∞

AA r

mmGEp ´⋅⋅−=

donde rA es la distancia que separa las dos masas. Como puedes ver la energía potencial en un punto siempre es negativa y tiene su “máximo valor negativo” en la superficie terrestre y va aumentando al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. Significado del signo menos: Como sabemos, la energía potencial del sistema es igual a la que tiene acumulada como consecuencia de la posición de la masa. También sabemos, que la diferencia de energía potencial entre dos puntos B y A es igual al trabajo que nosotros hacemos para llevar la masa m´ desde el punto A hasta el B. Para llevar a la masa m no hacemos ningún trabajo, porque aun no hay campo. Para llevar a la masa m´ desde el infinito hasta el punto P, ya si hacemos trabajo porque hay el campo creado por m, auque en realidad nosotros no hacemos nada porque la masa iría sola hasta P, siendo el campo quien realmente hace trabajo, y es por esto por lo que aparece el menos.

El signo menos indica que al traer la masa m´ desde el ∞ hasta P nosotros no hacemos trabajo, sino que lo hace el campo gravitatorio creado por la masa m.

PPPnosotrosP r

mmGEpEpEpW ´,

⋅⋅−==−= ∞→∞

Particularización de la energía potencial para puntos próximos a la superficie terrestre: En los puntos próximos a la superficie es razonable utilizar la conocida expresión:

mghEpEpEp AB =−=∆ Vamos a ver como se deduce esta expresión particular a partir de la general que hemos obtenido:

Como puede verse en la figura rA = Rtierra rB - rA = h (Altura sobre la superficie terrestre)

Si llamamos M a la masa de la tierra y m a la masa del cuerpo, según hemos visto antes:

BA

AB

BABA rr

rrmMGrr

mMGEpEp⋅−

⋅⋅−=

−⋅⋅−=−

11

Teniendo en cuenta que:

• rB - rA = h • al tratarse de puntos próximos a la superficie terrestre, prácticamente rB ≅ rA con

lo que podemos poner que 22tABA Rrrr =≅⋅ .

• y recordando que el módulo de la Intensidad de campo, o gravedad viene dada

por 2tR

MGg =

al final nos quedaría que: mghEpEp BA −=−

y cambiando el signo a la ecuación anterior tendremos que el incremento de energía potencial es igual a mgh:

mghEpEpEp AB =∆=−

Energía potencial “de una masa” debida al campo creado por una asociación de masas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la debida al campo que independientemente cada masa crea sobre ella, así que:

∑ =−=⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅

−=i

ini

n

n

rmGm

rmmG

rmmG

rmmGEp 1

2

2

1

1

Energía potencial de una asociación de masas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de masas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

++−=

23

32

13

31

12

21

rmm

rmm

rmmGEp

∑−=ij

ji

rmm

GEp

Ejemplo: Imagina que hay dos masas m1=10Kg y m2=20Kg como se indica en la figura. Calcular el trabajo que hemos de hacer para llevar una masa m de 5Kg desde la posición A(4,0) hasta la B(8,0)

Como sabemos el trabajo que hacemos nosotros es igual al incremento de energía potencial, así que solamente tenemos que calcular la Ep que la masa m tiene al final y al principio y restarlas.

campoBAABnosotrosBA WEpEpEpW ,, →→ −=∆=−=

La Ep que la masa m tiene en el punto A es debida a la que tiene como consecuencia del campo que crea m1 mas la debida al campo que crea la masa m2, es decir:

GGmr

mmGr

mmGEpAA

A 5,325

104

10

2

2

1

1 −=

+−=

⋅−

⋅−=

De igual forma, la Ep cuando está en el punto B será:

GGmr

mmGr

mmGEpBB

B 96,1754,8

108

10

2

2

1

1 −=

+−=⋅

−⋅

−=

Por tanto:

GGGEpEpW ABnosotrosBA 54,15)96,17(5,32, +=−−−=−=→ Como sabemos por propia experiencia, era de esperar que el resultado fuese un trabajo positivo, ya que para separar las masas nosotros tenemos que hacer realmente un trabajo, ya que la masas m no se mueve sola desde el punto A al B, hay que llevarla haciendo un trabajo de 15,54G julios. POTENCIAL GRAVITATORIO Ya hemos visto que la circulación de la fuerza del campo (trabajo) para llevar una partícula desde un punto A hasta el B solamente depende de la posición de los puntos, siendo igual a Ep∆−

campoBA

B

campoAcampoBA WrdFEpEp ,

,→=•=− ∫

rr (*)

si tenemos en cuenta que IcFrr

= , podríamos decir que la circulación del vector Intensidad de campo, igualmente, solo depende de la posición de los puntos A y B. De esta forma podemos definir una función análoga a la Ep, pero que además no dependiera del testigo y a la que llamaremos Potencial (V)

∫ •=−B

campoABA rdIVV

,

rr

cEpEpVV BA

BA−

=−

Como puede verse la diferencia de Potencial entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad. Para el caso concreto del campo gravitatorio, donde la Intensidad de campo es la gravedad y el testigo es la masa m´ podemos obtener la expresión específica de la ddp

entre los puntos A y B utilizando cualquiera de las dos expresiones, es decir, integrando al vector gr o bien dividiendo la expresión de la diferencia de energía potencial por la masa m´.

∫∫∫ ⋅−=•−=•=−B

campoA

B

campoAr

B

campoABA dr

rmGrdu

rmGrdgVV

,2

,2

,

rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario

rur y el vector desplazamiento rdr tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1.

Teniendo en cuenta además, que r

drr

112 −=∫

nos quedaría que:

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=−

BA

B

ABA rr

mGr

mGVV 111

−⋅⋅−=−

BABA rr

mGVV 11

Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo m´ ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

−⋅⋅−=

−=−

BA

BABA rr

mGm

EpEpVV 11´

Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el primer caso hemos calculado la circulación de gr y en el segundo hemos dividido la circulación de F

r por m´ (acuérdate que la circulación de F

r es BA EpEp − . Mira más

arriba (*) Potencial gravitatorio en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de gr entre esos dos puntos), pero si, por acuerdo, asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que c

WVV campoBA

BA,→=− podemos decir que:

El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una masa de 1Kg desde el infinito hasta ese punto).

∞

−⋅⋅−=− ∞11

AA r

mGVV

como 01 =∞

AA r

mGV ⋅−=

donde rA es la distancia que separa la masa que crea el campo del punto A. Ejemplo: Calcular el potencial gravitatorio creado por una esfera de 100Kg de masa y dos metros de diámetro en un punto situado a 9m de su superficie. ¿Cuál será la energía potencial de una masa de 1Kg situada en dicho punto?

Suponiendo que la esfera es homogénea podemos considerarla como una masa puntual concentrada en su centro.

a) Como hemos visto la ddp entre el punto A y el infinito será igual al potencial en el punto A, que vale:

KgJr

mGVA

A /1067,610

1001067,6 1011

−−

⋅−=⋅⋅

−=⋅

−=

b) De acuerdo con su definición, la energía potencial de una masa unidad en un punto y el potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que JuliosEpA

101067,6 −⋅−= Para otro valor cualquiera de m´ la relación entre ambas magnitudes sería:

AA VmEp ⋅= ´

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL Si te das cuenta el campo ( gr ) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Teniendo en cuenta la definición de ddp, y si nos limitamos a unos puntos en los que la gravedad puede considerarse constante, entonces:

( ) dgrrgrdgVV AB

B

campoABA ⋅=−=•=− ∫

,

rr

Dice que la ddp entre dos puntos es igual al valor del campo, supuesto constante, por la distancia entre esos puntos. La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de gr y la del potencial V en un punto: (observa como en el módulo que g hemos suprimido el signo menos de la expresión vectorial. El signo solo tiene sentido cuando la expresión se escribe vectorialmente e indica que gr tiene sentido contrario al vector unitario rur que va siempre de la masa que crea el campo al punto)

2A

A rmGg ⋅

=

AAA rgV .−=

AA r

mGV ⋅−=

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la masa que crea el campo se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( gr o )Er

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m´ o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que gmF rr

= o bien EqF

rr= )

• Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

Ejemplo:

Imagina tres puntos 1, 2 y 3 en los que el potencial gravitatorio va disminuyendo, es decir que V1>V2>V3. ¿ Hacia donde se movería una masa m´ si la colocamos en el punto 2 y la dejamos libre?

La masa m´ se mueve sola hacia el punto en el que disminuya su energía potencial, es decir si Ep∆ es negativo.

−=−=−=∆ )´( inicialfinalinicialfnal VVmEpEpEp ⇒ Se mueve sola En el caso de que la masa fuera del punto 2 hacia el 1, tendremos que:

+=−=−=∆ )´( 2121 VVmEpEpEp Si la masa fuera del punto 2 hacia el 3, tendremos que:

−=−=−=∆ )´( 2323 VVmEpEpEp Ahora que sabemos hacia donde se moverá la masa podremos dibujar el vector campo gr pero no si solamente conociéramos el potencial en un punto. FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de una superficie cerrada de forma cualquiera. Según vimos el flujo elemental del campo viene dado por el producto escalar del vector Intensidad de campo por el vector superficie:

SdIdrr

•=φ donde Sd

res un vector perpendicular a la superficie y módulo igual al área de la

superficie (o del elemento de superficie en este caso)

Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una masa m. El flujo a través de la superficie sería:

Sdgdrr

•=φ Según la definición de producto escalar, y teniendo en cuenta que α=180º

dSgdSgd ⋅−=⋅⋅= αφ cos

El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:

GmrrmGdS

rmGdS

rmGdSg

SSS

ππφ 44 2222 −=⋅−=−=−=⋅−= ∫∫∫

donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2. En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias masas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, es decir que:

∑−= imGπφ 4 Es muy importante tener en cuenta que:

• Solamente contribuyen al flujo las masas (o cargas en el caso del eléctrico) estés encerradas en el interior de la superficie.

• El flujo independiente de la posición de las masas en el interior de la superficie, ya que su expresión no depende de r.

• Como puede verse, el flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada debido a las masas que encierra en su interior siempre es negativo.

Ejemplo: Dentro de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuera de ella hay otra bola también de masa m. a) Cual será el flujo del campo gravitatorio a través de la caja? b) Como se calcularía el campo en un punto P fuera de la caja? Como hemos dicho, solamente contribuyen al flujo las masas encerradas en el interior de la superficie cerrada, y además como puede verse en la expresión del flujo, éste es independiente de la posición de las masas en el interior de la superficie:

)(4 mmG +−= πφ

Para calcular el campo en un punto sí que habría que tener en cuenta a todas las masas, estén donde estén, además por supuesto influye las posiciones relativas de cada:

Aplicando el principio de superposición, no hay más que calcular el valor del campo en el punto P, teniendo en cuenta que 2r

mGg = y sumarlos vectorialmente.

Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo gravitatorio creado por una masa m a una distancia r. Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la masa una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la masa será r. Según la ley de Gauss:

Gmπφ 4−= es decir que:

GmSdgS

π4−=•∫rr

Como:

• El vector gr y el vector Sdr

forman ángulo de 180º • El módulo de g es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie

esférica en todos sus puntos dista igual a la masa m.

GmdSgS

π4−=− ∫ ⇒ Gmrg ππ 44 2 −==⋅−

y despejando:

2rmGg =