LEY DE HOKKEProcedimiento Experimental de la ecuación diferencial

ECUACIONES DIFERENCIALES

Jenny Marcela Rincón Clavijo 0180976David Julio Martínez 1120506

Adrian Alfonso Omaña Bohórquez 1120340

Profesora:

Mawency Vergel Ortega

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDERSAN JOSÉ DE CÚCUTA

NORTE DE SANTANDER17 DE JULIO DEL 2012

LEY DE HOKKEProcedimiento experimental de la Ecuación diferencial

1. LEY DE HOOKE

1.1 Reseña Histórica sobre Hooke1.2 Ley de Hooke1.3 Ley de Hooke para Resortes

2. PLANTEAMIENTO EXPERIMENTAL

2.1 Objetivo general2.2 Objetivos específicos2.3 Planteamiento

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL

3.1 Comportamiento de los cuerpos3.2 Resultados3.3 Probar fórmula

4. ANALISIS Y CONCLUSIONES

4.1 Conclusiones4.2 Plantear Fórmula de Ecuación Diferencial4.3 Resolver Ecuación Diferencial

1. LEY DE HOOKE

1.1 Reseña Histórica Sobre Hooke

Robert Hooke

Científico Ingles nacido en una localidad y parroquia civil situada en el extremo occidental de la Isla de Wight, Inglaterra el 28 de Julio de 1635 y fallece el 14 de Marzo de 1703 En Londres a la edad de 68 años. Su padre, John Hooke, fue ministro de la parroquia, fue un niño enfermizo que fue atacado por la viruela en una edad temprana, no se esperaba que sobreviviera más de unos pocos años. Su mala salud persistente lo obligó a permanecer en el interior de su casa, donde encontró la diversión en desmontar y volver a montar aparatos. Para su décimo cumpleaños se había convertido en experto en la construcción de complejos juguetes mecánicos, incluidos barcos y relojes.

Después de la muerte de su padre en 1648, Hooke fue enviado a Londres para asistir internado, donde el director reconoció su potencial y lo puso en un plan especial de estudios que incluía latín, griego y matemáticas. Hooke estudió en Oxford en 1653.

Aunque nunca completó su licenciatura, fue en Oxford que Hooke se reunió con algunos de los más grandes científicos de Gran Bretaña, alrededor de los cuales la Real Sociedad Británica se formaría más adelante. Entre ellos se encontraba el físico Robert Boyle, para quien Hooke sirvió como asistente de laboratorio. Bajo la tutela de Boyle, Hooke construyó el precursor de la bomba de aire moderna, el primero de una larga serie de ingeniosos instrumentos científicos que inventaría. 

Es considerado uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la ciencia, polemista incansable con un genio creativo de primer orden. Sus intereses abarcaron campos tan dispares como la biología, la medicina, la horología (cronometría), la física planetaria, la mecánica de sólidos deformables, la microscopía, la náutica y la arquitectura.

Participó en la creación de la primera sociedad científica de la historia, la Royal

Society de Londres. Sus polémicas con Newton acerca de la paternidad de

la ley de la gravitación universal han pasado a formar parte de la historia de la

ciencia: parece ser que Hooke era muy prolífico en ideas originales que luego

rara vez desarrollaba.

Asumió en 1662 el cargo de director de experimentación en la Sociedad Real

de Londres1 , de la cual llegó a ser también secretario en 1677. Pese al

prestigio que alcanzó en el ámbito de la ciencia, sus restos yacen en una

tumba desconocida, en algún punto del norte de Londres.

En los últimos años, algunos historiadores y científicos han puesto gran

empeño en reivindicar a este “genio olvidado”, por usar las palabras de uno de

sus biógrafos, Stephen Inwood. En el año 2003, al cumplirse el tercer

centenario de la muerte de Hooke, el Real Observatorio de Greenwich (situado

en Londres) exhibió algunos de sus extraordinarios inventos y hallazgos.

En 1660, mientras trabajaba como ayudante de Robert Boyle, formuló lo que

hoy se denomina Ley de Hooke, que describe cómo un cuerpo elástico se

estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él, lo que dio lugar

a la invención del resorte helicoidal o muelle.

En 1665 publicó el libro Micrographía, el relato de 50 observaciones

microscópicas y telescópicas con detallados dibujos. Este libro contiene por

primera vez la palabra célula y en él se apunta una explicación plausible acerca

de los fósiles.

Hooke fue, sin duda, un erudito y un inventor, pues entre sus múltiples

creaciones figuran la junta o articulación universal, usada en

muchos vehículos de motor; el diafragma iris, que regula la apertura de las

cámaras fotográficas, y el volante con resorte espiral de los relojes. Además,

formuló la ley de la elasticidad, o ley de Hooke, ecuación con la que hasta

nuestros días se calcula la elasticidad de los muelles, y que se extiende al

estudio de la elasticidad de los sólidos deformables. También construyó una

bomba neumática para el eminente físico Robert Boyle.

1.2 Ley de Hooke

Cuando un objeto se somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño od e

forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su

enlace en el material.

Cuando un peso jala y estira a otro cuando se le quita este peso y regresa a su

tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.

Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de

deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando

cesa la deformación.

Los materiales no deformables se les llama inelásticos (arcilla, plastilina y masa

de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad

de manera permanente.

Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su

estado original, y permanece deformado a esto se le llama límite de elástico.

La ley de Hooke fue originalmente formulada para casos de estiramiento

longitudinal y establece que el alargamiento unitario que experimenta un

material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada. De lo que

se obtiene la siguiente fórmula matemática:

є=❑L

= FAE

: El alargamiento 

: La longitud original

: Módulo de Young: El módulo de Young o módulo de elasticidad

longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de

un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza.

Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico

inglés Thomas Young. 

: La sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a

materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo

de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su

descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un

famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más

tarde.

1.3 Ley de Hooke para Resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es

mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza   

ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento   producido:

Donde   se llama constante elástica del resorte y   es su elongación o

variación que experimenta su longitud.

2. Planteamiento experimental

2.1 Objetivo general

“Plantear, resolver y demostrar experimentalmente una ecuación diferencial”

2.2 Objetivos específicos

“Entender de forma clara y concisa la ley de Hooke”

“Demostrar experimentalmente la Ley de Hooke”

“Plantear y desarrollar una ecuación diferencial que sustente la ley de Hooke”

2.3 Planteamiento

(A) Se ha escogido aleatoriamente un resorte de 19 cm de longitud, se le ha

puesto un peso de 0.5 Kg. ¿Qué sucede con el resorte?

(B) Posteriormente se ha retirado el peso de 0.5 Kg y se le ha puesto uno de

1Kg. ¿Qué sucede con el resorte?

(C) Hallar la magnitud de la constante K, probar que la teoría de Hooke es

cierta y plantear y resolver una ecuación diferencial que la sustente.

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL

3.1 Comportamiento de los cuerpos

(A) Con un peso de 0.5 Kg el resorte (inicialmente de 19cm) se ha estirado

hasta poseer 33cm de longitud.

.

(B) Con un peso de 1 Kg el resorte (inicialmente de 19cm) se ha estirado hasta

poseer 48cm de longitud.

3.2 Según la ley de Hooke:

F= -kX

Como F= mg

Entonces:

mg = -Kx

donde:

-k= mgx

(B) –K= (1 )(9.81)290∗10−3 = 34

3.3 Si reemplazamos –K en el inciso A, los resultados deben ser los mismos. Usando la fórmula:

X= mg−K

Reemplazamos los datos obtenidos y hallamos lo siguiente:

XB= mg−K =

(0.5 )(9.81)34

= 0.14m = 14cm

Los resultados son los mismos, ya que:

XA= Xf - Xo = 33cm – 19cm = 14cm

4. ANALISIS Y CONCLUSIONES

4.1 CONCLUSIONES

- Los resultados nos mostraron que la fuerza ejercida sobre un cuerpo elástico es directamente proporcional a la constante –K.

- La fuerza ejercida sobre un cuerpo elástico es directamente proporcional al estiramiento que posee dicho cuerpo.

- La ley de Hooke ha sido probada de manera exitosa

4.2 Plantear fórmula de la ecuación diferencial

F= -KX

mg = --KX

g = -KX/m

X`` = -68X

X`` + 68X = 0

4.3 Resolver Ecuación Diferencial

X`` + 68X = 0

m 2 + 68 = 0

(m – 8.24 i ) ( m – 8.24 i )

X (t) = C1 Cos (8.24t) + C2 Sen (8.24t)

Para Velocidad

V(t) = X`(t) = -8.24C1 Sen (8.24t) + 8.24C2 Cos (8.24t)

Según las condiciones iniciales:

X (0) = 0.19 ; X`(0) = 0.33

Obtenemos:

0.33= -8.24 C1 Sen (8.24 * 0) + 8.24 C2 Cos (8.24 * 0)

0.33= 0 + 8.24 C2 (1)

0.33 = 8.24 C2

C2 = 0.33 / 8.24

C2 = 0.04

Ahora hallamos C1;

0.19= C1 Cos (8.24 * 0) + C2 Sen (8.24 * 0)

0.19= C1 + 0

C1 = 0.19

Reemplazamos C1 Y C2 Y obtenemos:

X (t) = 0.19 Cos ( 8.24t) + 0.04 Sen (8.24 t)

Y esta es la Solución de la Ecuación Diferencial planteada, la cual nos da como resultado, la ecuación de la posición de 0.5Kg de masa en función del tiempo.

Webgrafia

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young

http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke

http://shibiz.tripod.com/id8.html