Ley de Newton Del Enfriamiento

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ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCIÓN

El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de Ley de Enfriamiento de Newton.

I. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

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En En En


Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T 0 es depositado en un medio

ambiente que se mantiene a una temperatura T a constante, con T a≠T 0, la experiencia

nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser igual a la del medio ambiente. Es decir, si T (t) es la temperatura de cuerpo en el tiempo t , entonces

T (t)→T a cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue:

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la Ley de Newton; ésta afirma que la rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es,

T '=k [T−T a ]

Donde k es la constante de proporcionalidad.Notemos aquí dos situaciones:

1. Cuando T 0>T a y por lo mismo T>T a, en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene

que T 0 decrece y que T−T a>0, es decir, ddtT<0 y T−T a>0, por lo que

ddtT=k [T−T a ]→k<0

2. Cuando T 0<T a y por lo mismo T<T a, en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene

que T 0 crece y que T−T a<0, es decir, ddtT>0 y T−T a<0, por lo que

ddtT=k [T−T a ]→k<0

Conclusión.- Sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferencial:

dd tT=k [T−T a ] tiene sentido siempre y cuando k sea negativa (k<0).

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Tenemos entonces que la temperatura T del cuerpo en el instante t ≥0 está determinada por:

T '=k [T−T a ], con la condición inicial T=T 0.

Resolviendo la ecuación diferencial:

ddtT=k [T−T a ]

→dT

[T−T a ]=kdt

→∫ dT

[T−T a ]=∫ kdt

→ ln|T−T a|=kt+C1

→|T−T a|=ekt+C1

→|T−T a|=ekt×eC1

Podemos reemplazar eC1 por una constante, es decir: eC1=C

→|T−T a|=ekt×C

→T−Ta=Cekt

Para hallar la constante C podemos operar la ecuación para las condiciones iniciales, es decir:

t=0 , T=T o

→T−Ta=Cekt

→To−T a=Cek ×0

→To−T a=C

Reemplazando se tendría la siguiente ecuación:

→T−Ta=(T o−T a )ekt

→T=Ta+(T o−Ta )ekt

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Esta es la fórmula que vamos a usar durante los siguientes ejemplos y ejercicios

a. Ejemplos.-

a.1. Un cuerpo que tiene una temperatura 70o F es depositado en un lugar donde

la temperatura se mantiene a 40oF . Después de 3 minutos, la temperatura del

cuerpo ha disminuido a 60oF.

a.1.1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 minutos?

a.1.2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50o F?

SOLUCIÓN

Primero plantearemos la ecuación con los datos iniciales:

T o=70oF ,T=60oF ,t=3 ' , T a=40

oF

T=T a+(T o−T a )ekt

60=40+(70−40)e3k

23=e3k

a.1.1.

i. Ahora el tiempo será t=5':

T o=70oF ,T=? F , t=5' , T a=40

oF


T=40+(70−40)e3 k( 53 )

T=40+30[ 23 ](53 )

T=55.26285657≈55.26o F

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a.1.2.

i. Ahora nos pide hallar el tiempo, usando los siguientes datos:

T o=70oF ,T=50o , t=? ,T a=40

o F


50=40+(70−40)e3k ( t3 )

13=[ 23 ][

t3 ]

ln [ 13 ]=[ t3 ] ln [ 23 ]t=8.128533874≈ 8' 7 ' '

a.2. Un objeto que tiene una temperatura de 50o F se coloca a las 10 :00 horas en

un horno que se mantiene a 375o F. A las 11:15 horas su temperatura era 125o F.

¿A qué hora estará el objeto a 150o F?

SOLUCIÓN

Plantearemos la ecuación con los datos iniciales:

T o=50oF ,T=125oF ,t=75' , Ta=375

o F


125=375+(50−375)e75 k

1013

=e75k

i. Teniendo en cuenta el anterior resultado, tendremos:

T o=50oF ,T=150oF ,t=? ,T a=375

oF


150=375−(50−375)e75k [ t75 ]

[ 225325 ]=[ 1013 ][t75 ]

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Ln[ 225325 ]=[ t75 ] ln [ 1013 ]t=105.1185784≈105.12 '

b. Ejercicios.-

b.1. Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea. Un cuerpo originalmente a 120o F se enfría hasta 100o F en 10 minutos en aire a

60oF . Encontrar una expresión para la temperatura del cuerpo en un instante

cualquiera t .

SOLUCIÓN

i. Nuestros datos son:

T o=120oF ,T=100oF ,t=10' ,T a=60

oF


→100=60+(120−60)e10 k

→23=e10 k

ii. Ahora reemplazando en la ecuación:T=T a+(T o−T a )ekt

T=60+60 e10 k( t10 )

T=60+60 [ 23 ](t10 )

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b.2. Un químico desea enfriar desde 80oC hasta 60oC una sustancia contenido en un matraz. Se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15oC . Se observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a

70oC . Estimar el tiempo total de enfriamiento.

SOLUCIÓN

i. Como primero datos tenemos:

T o=80oF ,T=70oF ,t=2' , Ta=15

o F

T=T a+(T o−T a )e−kt

70=15+(80−15)e−2k

1113

=e−2k

ii. Ahora utilizamos los siguientes datos:

T o=70oF ,T=60oF ,t=? ,T a=15

oF


60=15+(70−15)e−kt

4555

=e−2k ( t2 )

911

=[ 1113 ](t2 )

ln ( 911 )= t2ln [ 1113 ]

t=2.402463799 '=2.4 '

Entonces el tiempo total que demora este proceso será:

tT=t+2'=4.4 minutos.

b.3. Un termómetro que marca 75o F se lleva fuera donde la temperatura es de

20o F . Cuatro minutos después el termómetro marca 30o F. Encontrar:

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b.3.1. La lectura del termómetro siete minutos después de que este haya sido llevado al exterior.

b.3.2. El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75o F hasta más o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire.

SOLUCIÓN

b.3.1.

i. Tenemos:

T o=75oF ,T=30oF ,t=4' ,T a=20

o F


30=20+(75−20)e4k

211

=e4k

i. Para la primera pregunta tendremos:

T o=75oF ,T=? ,t=7 ' , T a=20

o F


T=20+(75−20 ) e4k (74 )

T=20+(75−20 ) e4k (74 )

T=20+55 [ 211 ](74 )

T=22.78o F≈23oF ,

b.4. Dentro de cuánto tiempo la temperatura de un cuerpo calentado hasta 100oC

descenderá hasta 30oC . Si la temperatura del local es de 20oC y durante los

primeros 20 minutos el cuerpo en cuestión se enfría hasta 60oC .

SOLUCIÓN

i. Para el caso de los primeros 20 minutos, tenemos:

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T o=100oF ,T=60oF ,t=20 ' , T a=20

o F


60=20+(100−20)e−kt

12=e−20 t

ii. Hallaremos el tiempo requerido para que se enfríe hasta los 30oC:

T o=100oF ,T=30oF ,t=? ,T a=20

oF


30=20+(100−20 ) e−20 ( t20)

18=[ 12 ](

t20 )

[ 12 ]3

=[ 12 ](t20 )

3= t20

t=60 minutos.

b.5. El Presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y al mismo tiempo. El Presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema fría; pero no se toma café hasta 10 minutos después. El primer Ministro espera 10 minutos y, luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café. ¿Quién tomará el café más caliente?

SOLUCIÓN

i. Para el caso del Presidente y del primer Ministro tendremos lo siguiente:

Presidente Primer MinistroPara t=0 Para t=0

T o=temperatura inicialT a=temperaturadel ambiente

T o=temperatura inicialT a=temperaturadel ambiente

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T P=temperaturadel cuerpoT C=temper atura de la crema

TM=temperaturadel cuerpoT C=temperaturade la crema

Para t=10 ' la ecuación será la siguiente:T P−TC=Ta+(T o−T a)e

10 k

Aquí la temperatura final será:T P−TC=T f P

=T a+(T o−Ta)e10 k

Para t=10 ' la ecuación será la siguiente:TM=T a+(T o−T a)e

10 k

Aquí la temperatura final será:TM=T f M

=T a+ (To−T a )e10 k−T C

Ahora:T a+(T o−T a )=C

T f P=C

Ahora:T a+(T o−T a )=CT f M

=C−T C

Notamos lo siguiente:T f P

>T f M

∴ El que tomará el café más caliente será el Presidente.

b.6. Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó crema fría suficiente como para bajar la temperatura de su café

1o F. Después de 5 minutos, Luis agregó suficiente crema a su café como para

disminuir su temperatura en 1o F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío?

SOLUCIÓN

Consideremos: T C=temperaturade la crema

i. Para el caso de Blanca:

T o=T o ,T=T o−1 ,t=5 , T a=T a

La ecuación será:

T B=Ta+(T o−Ta )e5k

T B=To−1=T a+(T o−T a )e5 k

ii. Para el caso de Luis:

T o=T o ,T=T L , t=5 ,T a=T a

La ecuación será:

T L=T a+ (T o−T a )e5k

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CuartoCongelador


Pero cuando los dos empiezan a beber después de estos cinco minutos:

- Blanca empezará a tomar el café con la siguiente temperatura:

T B=Ta+(T o−Ta )e5k

- Y Luis empezará a tomar el café con la siguiente temperatura:

T L=T a+ (T o−T a )e5k−TC

Le hemos restado T C debido a que Luis recién le agrega la crema con una cierta

temperatura T C.

Luego podemos hacer que: T a+(T o−T a )e5 k=α . Ya que es una cantidad constante,

entonces las temperaturas respectivas de Blanca y Luis serán:

T B=Ta+(T o−Ta )e5k=α

T L=T a+ (T o−T a )e5k−TC=α−TC

Luego notamos que:

T B>T L

Por tanto decimos que Luis tenía el café más frío.

b.7. A las 13 :00 horas un termómetro que indica 10o F se retira de un congelador

y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66oF . A las 13 :05 horas, el

termómetro indica 25o F . Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el

congelador. A las 13 :30 horas el termómetro da una lectura de 32o F. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?; ¿Cuál era la lectura del termómetro en ese momento?

SOLUCIÓN

En este problema tenemos dos tipos de contenedores que también funcionan como ambientes con temperaturas constantes.

i. Para el caso en el termómetro es llevado desde el congelador al cuarto, la temperatura del medio o ambiente será la misma del cuarto:

T o=10oF ,T=25oF ,t=5 ' , T a=66

oF

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25=66−(10−66)e5k

4156

=e5k

ii. Ahora plantearemos la ecuación para un tiempo t , antes de que el termómetro sea llevado recién del cuarto al congelador:

T o=10oF ,T=? ,t=? ,T a=66

o F


T=66+(10−66)e5k ( t5 )

T=66−56[ 4156 ](t5 )

ii. Después del tiempo t transcurrido, el termómetro es llevado recién del cuarto al congelador, en este caso la temperatura del ambiente será la misma de la del congelador:

T o=T ,T=32o F ,t=t ¿ , Ta=10o F


32=10+{[66−56 [ 4156 ](t5 )]−10 }e5k( t

¿

5 )

Pero sabemos que: t+ t¿=30→t¿=30−t

22={56−[56 [ 4156 ](t5 )]}×[ 4156 ](

30−t5 )

22={[56−56 [ 4156 ](t5 )]}×[ 4156 ]

(6 )

×[ 4156 ](−t5 )

22=56 [ 4156 ](6)

×[ 4156 ](−t5 )

−56[ 4156 ]6

13


30.62507748=56[ 4156 ](6 )

×[ 4156 ](−t5 )

3.550701723=[ 4156 ](−t5 )

ln (3.550701723)=[−t5 ] ln [ 4156 ]4.064233692=−t

5

→t=20.32116846

→t=20' 19' '

Por tanto el termómetro se regreso del cuarto al congelador a las 13 :20 :19 horas.

ii. Ahora para hallar la lectura del termómetro en el instante 13 :20 :19 horas, simplemente reemplazamos:

T=66−56[ 4156 ](t5 )

T=66−56[ 4156 ](20.32116846

5 )

T=66−56[ 4156 ]4.064233692

T=66−56[ 4156 ]4.064233692

T=50.22846965o F≈50.22o F

b.8. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750oC , para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que

requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200oC. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará la cerámica es de 5oC y que, después de 15 minutos, la temperatura del material es

de 600oC . ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

SOLUCIÓN

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i. Para las primeras condiciones:

T o=750oF ,T=600oF ,t=15 ' , T a=5

o F


600=5+(750−5)e−15 k

119149

=e−15 k

ii. Ahora calcularemos el tiempo para la temperatura requerida:

T o=750oF ,T=200oF ,t=15 ' , T a=5

o F


200=5+(750−5)e−15 k ( t15 )

39149

=[ 119149 ](t15 )

ln [ 39149 ]=[ t15 ] ln [ 119149 ]t=89.42940284 minutos.

Por tanto el tiempo calculado será:1h29' 25' '

b.9. Un termómetro en el que lee 80oF se lleva al exterior. Cinco minutos más

tarde el termómetro indica 60oF. Después de otros cinco minutos el termómetro

señala 50o F. ¿Cuál es la temperatura del exterior?

SOLUCIÓN

i. Primer caso:

T o=80oF ,T=60oF , t=5' , T a=?


60=T a+(80−T a )e5k

ii. Segundo caso:

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T o=60oF ,T=50oF ,t=5 ' , T a=?


50=Ta+(60−T a )e5k

iii. Resolviendo las dos ecuaciones:

60=T a+(80−T a )e5k

50=T a+(60−T a )e5k

10=20 e5k

→e5k=12

Reemplazando:

50=Ta+(60−T a )e5k

50=Ta+(60−T a )( 12 )→Ta=40

oF

b.10. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de

70o F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10o F. Después de medio

minuto el termómetro indica 50o F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t=1

minuto?¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15o F

SOLUCION

i. Se tiene los primeros datos:

T o=70oF ,T=50oF ,t=30' ' ,T a=10

oF


50=10+(70−10 )e30 k

23=e30k

ii. Para t=1, tenemos:

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T o=70oF ,T=? F , t=60' ' , Ta=10

o F


T=10+(70−10)e30k (60

30)

T=10+60 [ 23 ][2 ]

T=36.67oF

b.11. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70o F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura

del corazón del cadáver se determinó 85oF . Una hora después una segunda

medición mostró que la temperatura del corazón era de 80oF . Suponga que el

tiempo de la muerte corresponde a t=0 y que la temperatura del corazón en ese

momento era de 98.6oF . Determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver?

SOLUCION

i. Primero analizamos durante el tiempo de descubrimiento:

T o=85oF ,T=80oF , t=1hora ,T a=70

oF


80=70+(85−70)ek

23=ek

ii. Ahora nos remontamos a la hora del deceso, entonces:

T o=98.6oF ,T=85o F , t=? ,T a=70

o F


85=70+(98.6−70)ekt

1528..6

=[ 23 ]t

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ln [ 1528. .6 ]=tLn [ 23 ]t=1.5991645012t=1.6horas .

II. BIBLIOGRAFÍA

Análisis Matemático IV por: EDUARDO ESPINOZA RAMOS. Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera por: DENNIS

G. ZILL – MICHAEL R. CULLEN Ampliación de Matemáticas por: ANTONIO BAEZA SALAS Ecuaciones Diferenciales Aplicadas por: MURRAY R. SPIEGEL Ecuaciones Diferenciales por: DENNIS G. ZILL

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