Ley de Stokes

Fd

Fg

Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuer-zas, la gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas seigualan su aceleración se vuelve nula y su velocidad constante.

La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experi-mentada por objetos esféricos moviéndose en el seno deun fluido viscoso en un régimen laminar de bajos númerosde Reynolds. Fue derivada en 1851 por George GabrielStokes tras resolver un caso particular de las ecuacionesde Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida enel movimiento de partículas esféricas pequeñas movién-dose a velocidades bajas. La ley de Stokes puede escri-birse como:

Fr = 6πRηv

donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y η laviscosidad del fluido.La condición de bajos números de Reynolds implica unflujo laminar lo cual puede traducirse por una velocidadrelativa entre la esfera y el medio inferior a un cierto valorcrítico. En estas condiciones la resistencia que ofrece elmedio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de ro-zamiento que se oponen al deslizamiento de unas capas

de fluido sobre otras a partir de la capa límite adherida alcuerpo. La ley de Stokes se ha comprobado experimen-talmente en multitud de fluidos y condiciones.Si las partículas están cayendo verticalmente en un flui-do viscoso debido a su propio peso puede calcularse suvelocidad de caída o sedimentación igualando la fuerzade fricción con el peso aparente de la partícula en el flui-do.

Vs =29r2g(ρp−ρf )

η

donde:

Vs es la velocidad de caída de las partículas(velocidad límite)g es la aceleración de la gravedad,ρp es la densidad de las partículas yρf es la densidad del fluido.η es la viscosidad del fluido.r es el radio equivalente de la partícula.

1 Aplicaciones

La ley de Stokes es el principio usado en los viscosímetrosde bola en caída libre, en los cuales el fluido está estacio-nario en un tubo vertical de vidrio y una esfera, de tamañoy densidad conocidas, desciende a través del líquido. Sila bola ha sido seleccionada correctamente alcanzará lavelocidad terminal, la cual puede ser medida por el tiem-po que pasa entre dos marcas de un tubo. A veces se usansensores electrónicos para fluidos opacos. Conociendo lasdensidades de la esfera, el líquido y la velocidad de caídase puede calcular la viscosidad a partir de la fórmula de laley de Stokes. Para mejorar la precisión del experimentose utilizan varias bolas. La técnica es usada en la indus-tria para verificar la viscosidad de los productos, en casocomo la glicerina o el sirope.La importancia de la ley de Stokes está ilustrada en el he-cho de que ha jugado un papel crítico en la investigaciónde al menos 3 Premios Nobel.[1]

La ley de Stokes también es importante para la compre-sión del movimiento de microorganismos en un fluido,así como los procesos de sedimentación debido a la gra-vedad de pequeñas partículas y organismos en medios

1

2 3 NOTAS

acuáticos.[2] También es usado para determinar el por-centaje de granulometría muy fina de un suelo medianteel ensayo de sedimentación.En la atmósfera, la misma teoría puede ser usada paraexplicar porque las gotas de agua (o los cristales de hielo)pueden permanecer suspendidos en el aire (como nubes)hasta que consiguen un tamaño crítico para empezar acaer como lluvia (o granizo o nieve). Usos similares de laecuación pueden ser usados para estudiar el principio deasentamiento de partículas finas en agua u otros fluidos.

2 Flujo de Stokes alrededor de unaesfera

2.1 Flujo estacionario de Stokes

En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy ba-jo, la aceleración convectiva se puede considerar nula enlos términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese casolas ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incom-presible y estacionario:[3]

∇p = η∇2u = −η∇× ω,

∇ · u = 0,

donde:

• p es la presión del fluido (en Pa),

• u es la velocidad del flujo (en m/s), y

• ω es la vorticidad (en s−1), definida comoω = ∇×u.

Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, es-tas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de unaecuación de Laplace para la presión y cada uno de loscomponentes del vector vorticidad:[3]

∇2ω = 0 and∇2p = 0.

Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad nohan sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmen-te añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que sepuede aplicar la superposición lineal a las soluciones.

2.2 Flujo alrededor de una esfera

Para el caso de una esfera en un campo de velocidades,es ventajoso usar el sistema de coordenadas cilíndrico (r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la esfera y estáalineado con la dirección del flujo, mientras que r es elradio medido perpendicular al eje z. El origen es el centroes de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respectoal eje z, éste es independiente del azimut φ.

En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incom-presible puede ser descrito por la función del flujo de Sto-kes ψ, la cual está en función de r y z:[4][5]

v = −1r∂ψ∂z , w = 1

r∂ψ∂r ,

con v y w como componentes del flujo de velocidad enla dirección r y z, respectivamente. La componente de lavelocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el casosimétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limi-tada por una superficie de valor constanteψ, es igual a 2πψ y es constante.[4]

Para el caso de un flujo simétrico por los ejes, el únicocomponente no nulo del vector vorticidadω es el azimutalφ, el componente ωφ.[6][7]

ωφ = ∂v∂z − ∂w

∂r = − ∂∂r

(1r∂ψ∂r

)− 1

r∂2ψ∂z2 .

El operador de Laplace, aplicado a la vorticidadωφ, apli-cado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:[7]

∇2ωφ = 1r∂∂r

(r∂ωφ

∂r

)+∂2ωφ

∂z2 − ωφ

r2 = 0.

De las dos ecuaciones anteriores, y con las apropiadascondiciones de contornos, para un campo de velocidaduniforme y paralela V en la dirección z y en una esferade radio R, la solución resulta ser[8]

ψ = −12 V r

2

[1− 3

2R√r2+z2

+ 12

(R√r2+z2

)3].

La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flu-jo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobretoda la esfera. Más exactamente, tiene el mismo valor encualquier punto de la esfera:

σ = 3 η V2R ez

con ez el vector unitario en la dirección z–direction. Paraotras formas que no sean la esférica, σ no es constante alo largo de la superficie del cuerpo. Integrando la fuer-za viscosa por unidad de área σ sobre la esfera resulta lafuerza de fricción Fd de acuerdo con la ley de Stokes.

3 Notas[1] Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale, p.49.

Harvard University Press, Cambridge, Mass. ISBN 978-0-674-03116-6.

[2] Dusenbery, David B. (2009). Living at Micro Scale. Har-vard University Press, Cambridge, Mass. ISBN 978-0-674-03116-6.

[3] Batchelor (1967), section 4.9, p. 229.

3

[4] Batchelor (1967), section 2.2, p. 78.

[5] Lamb (1994), §94, p. 126.

[6] Batchelor (1967), section 4.9, p. 230

[7] Batchelor (1967), appendix 2, p. 602.

[8] Lamb (1994), §337, p. 598.

4 Referencias• Batchelor, G.K. (1967).An Introduction to Fluid Dy-namics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.

• Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th edition edi-ción). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. Originally published in 1879, the 6th ex-tended edition appeared first in 1932.

5 Véase también• Coeficiente de resistencia aerodinámica

4 6 TEXTO E IMÁGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

6 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias

6.1 Texto• Ley de Stokes Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stokes?oldid=78496077 Colaboradores: Bermiego, Dodo, Wricardoh, Rem-biapo pohyiete (bot), Orgullobot~eswiki, YurikBot, CEM-bot, Pello~eswiki, Alexav8, Davius, Thijs!bot, RoyFocker, Botones, TXiKiBoT,Rei-bot, Nioger, Urdangaray, Queninosta, Matdrodes, PixelBot, MastiBot, Diegusjaimes, Luckas-bot, Amirobot, NACLE, ArthurBot, Ti-riBOT, DixonDBot, Alph Bot, EmausBot, Grillitus, Vagobot, MetroBot, Addbot y Anónimos: 22

6.2 Imágenes• Archivo:Stokes_sphere.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ae/Stokes_sphere.svg Licencia: CC BY-SA 3.0Colaboradores: self-madeBased on: G.K. Batchelor (1967)An introduction to fluid dynamics, CambridgeUniversity Press. Pages 230–235.Artista original:Kraaiennest

6.3 Licencia de contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0