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Leyes de KirchhoffDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de intensidad de corriente y potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.
En circuitos complejos, así como en aproximaciones de circuitos dinámicos, se pueden aplicar utilizando un algoritmo sistemático, sencillamente programable en sistemas de cálculo informatizado mediante matrices.
Tabla de contenidos
[ocultar] 1 Definiciones 2 Enunciado de las Leyes
o 2.1 Ley de los nodos o ley de corrientes de Kirchhoff
o 2.2 Ley de las "mallas" o ley de tensiones de Kirchhoff
[editar] Definiciones
Para su enunciado es necesario previamente definir los conceptos de red plana Lazo malla y de nodo:
Nudo o nodo es el punto donde concurren varias ramas de un circuito. El sentido de las corrientes es arbitrario y debe asignarse previamente al planteo del problema.
Rama es el fragmento de circuito eléctrico comprendido entre dos nodos. Lazo es el circuito que resulta de recorrer el esquema eléctrico en un mismo
sentido regresando al punto de partida, pero sin pasar dos veces por la misma rama.
Red plana es aquella dentro de la cual se puede dibujar una superficie cerrada sin que se corte con ninguna rama.
Malla es un lazo que cumple la condición de red plana, es decir, un lazo que no tiene otros lazos en su interior.
Cuando una de estas mallas cumple con todas las condiciones de la red placas:
Lazos que no tiene otros lazos en su interior pues esta previamente se definiría como malla o nodo alterno o subsisterno, como al parecer con diferentes tipos de definiciones alternando cada tipo de minúscula o corriente transportada o que pasa sobre esta. Las condiciones para ser un nodo necesariamente alterno con conceptivo como dice su enunciado tienen que ser basados en fuentes verificables o con suficiente cantidad de
volumen o voltios para que pueda ser pasada o transportada libremente una de la otra cuando es pasada nombrando los pasos anteriores, esta va a pasar a ser Ley de Política externa en la que los circuitos contrayéndose uno de los otros, van a crear unas series de problemas, en que se crean dos opciones de estas explosiones o sobrecargas externas e internas en las que las subsiternas o las mallas alternas nombras anteriormente, son volcadas y contraídas por el volumen o también se establece que es la sobrecarga de energía, que al ser volcada se contrae con los voltios para crear una batería volcada o explotada.
[editar] Enunciado de las Leyes
[editar] Ley de los nodos o ley de corrientes de Kirchhoff
1a. Ley de circuito de Kirchhoff
(KCL - Kirchhoff's Current Law - en sus siglas en inglés o LCK, ley de corriente de Kichhoff, en español)
En todo nodo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes.
Un enunciado alternativo es:
en todo nodo la suma algebraica de corrientes debe ser 0.
[editar] Ley de las "mallas" o ley de tensiones de Kirchhoff
2a. Ley de circuito de Kirchhoff
(KVL - Kirchhoff's Voltage Law - en sus siglas en inglés. LVK - Ley de voltaje de Kirchhoff en español)
En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices.
Un enunciado alternativo es:
en toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico debe ser cero.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff"
La Ley de Ohm
George Simon Ohm, descubrió en 1827 que la corriente en un circuito de corriente continua varía directamente proporcional con la diferencia de potencial, e inversamente proporcional con la resistencia del circuito. La ley de Ohm, establece que la corriente eléctrica (I) en un conductor o circuito, es igual a la diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito), dividido por la resistencia (R) que opone al paso, él mismo. La ley de Ohm se aplica a la totalidad de un circuito o a una parte o conductor del mismo.
I = V / R ;
V = I x R
En los circuitos de corriente continua, puede resolverse la relación entre la corriente, voltaje, resistencia y potencia con la ayuda de un gráfico de sectores, este diagrama ha sido uno de los más socorridos:
Fig. 01
En este grafico puede apreciarse que hay cuatro cuadrantes que representan: V Voltaje, I Corriente, R Resistencia y W Potencia. De modo que, conociendo la cantidad de dos cualesquiera, nos permite encontrar el otro valor. Por ejemplo, si se tiene una resistencia de 1k y en sus extremos se mide una tensión de 10 Voltios, entonces la corriente que fluye a través de la resistencia será V/R = 0'01A o 10mA.
De forma similar, la potencia absorbida por esta resistencia será el cociente de V2 / R = 0'1W o 100mW, otra forma de hallar la potencia es con el producto de V x I o sea, 10V x 0'01 = 0'1W, con esto se confirma lo dicho.
Polaridad de una tensión
Dependiendo del flujo de la corriente en un circuito, una tensión tendrá una polaridad. Se establece que, el polo positivo en un circuito es el que corresponde al punto del que fluye la corriente del generador. La dirección de la corriente se indica con una flecha, como se muestra a continuación:
Fig. 02
Así, el lado de la resistencia dónde los flujos entran en la resistencia será el polo positivo del voltaje, el polo negativo es donde los flujos salen hacia fuera. Si la resistencia es de 5 y la corriente es de 2 amperios, entonces el voltaje o la diferencia de potencial sería 10 voltios.
En electrónica, es normal hablar sobre la diferencia de potencial (d.d.p.) con referencia a un punto que normalmente es cero. Si este punto no fuera cero, entonces su valor se indicaría claramente, pero por conveniencia, la mayoría de los sistemas tienen una tierra común o masa que normalmente son ceros voltios.
Los circuitos serie
La corriente en un circuito serie es absolutamente la misma en todos sus puntos. Esto es fácil deducirlo al aplicar el principio de que la resistencia total de un circuito es la suma de todas y cada una de las resistencias que lo forman, dicho de otra forma, en el circuito que se muestra a continuación la corriente que lo atraviesa es de 2 mA, para su comprobación partimos de sumar las tres resistencias que lo forman, 2k + 4k + 6k =12k si la tensión que aplicamos es de 24V, al aplicar la formula, encontramos que la intensidad es de 0'002 A o sea, 2mA. Para el cálculo de la resistencia total en un circuito serie se utiliza esta formula general: RT= R1 + R2 + R3 ... .
Fig. 03
En este caso no hemos considerado la resistencia interna R i de la fuente de corriente por ser muy pequeña, así como el decremento de la resistencia en las resistencias con el calor provocado por el paso de la corriente, sin embargo si esta Ri por cualquier circunstancia fuera más considerable, esto podría manifestarse con un bajo rendimiento del circuito. Veremos un caso concreto.
En el caso de una batería la cual presenta 12V al medir sus terminales y en cambio al conectar al circuito la carga de una lámpara de coche (12V 100mA), no funciona y sin embargo no está fundida, al medir la corriente de consumo observamos que es de tan sólo 0'05 A. Qué está ocurriendo. Un técnico sospecharía de la carga de la batería y estando la lámpara conectada pasaría a
medir la tensión de la batería, obteniendo una lectura de 6V con un consumo de 0'05A.
Dado que la lámpara no se enciende su filamento no se calienta y consecuentemente su resistencia no varía (caso ideal), en estas condiciones el cociente de la tensión de 6V por la corriente de 0'05A nos indica que la resistencia de la lámpara es de 120, lo esperado.
Otro ejemplo de ayuda con los cálculos. Dos lámparas que indican, 220V - 60W y 220V - 40W respectivamente se encuentran conectadas en serie a una línea de 220V. Qué potencia se transforma en cada lámpara. Ver figura 04.
Fig. 04
Estos son los cálculos:
Fig. 05
Las pequeñas variaciones son debidas a las fracciones decimales despreciadas.
Circuitos paralelos.
Los circuitos paralelos se caracterizan por estar formados por dispositivos cuyas respectivas resistencias están en paralelo respecto a la tensión de alimentación. La particularidad de un elemento que está en paralelo con otro es que la tensión en ambos es la misma, en cambio la corriente total del circuito es la suma de la corriente que atraviesa cada carga. Para calcular la resistencia total un circuito paralelo, la formula que utilizaremos es la que sigue:
De esta formula como regla general se desprende que, la resistencia total que ofrecen distintas cargas resistivas en un circuito paralelo, es siempre menor que la resistencia de menor valor. La forma del circuito paralelo se aprecia en la figura 06, donde las resistencias pueden representar las cargas de distintos elementos, aplicando la regla general comentada a la figura 06, la resistencia total será: 1'0909 k.
Fig. 06
Un nuevo ejemplo puede aclarar más el tema. Entre los puntos A y B del circuito siguiente se aplica una tensión de 12 V. Qué intensidad circulará por el circuito, cual es la intensidad en cada resistencia y de qué potencia debe ser cada resistencia.
Fig. 07
El calculo nos indica que la resistencia total es de 56'38 y de este resultado obtendremos la solución del resto. Así que, la intensidad que atraviesa R1 será el cociente de la tensión por la resistencia que será 0'1A, en R2 será de 0'066A y en R3 será de 0'046A, por lo tanto la corriente en el punto A o en el B será la suma de estos, es decir 0'212A o sea 212 mA.
Hallar el consumo total, es fácil aplicando la formula adecuada. Si aplicamos PT
= I2 * R = 2'55W y si aplicamos PT = V * I = 2'54W como vemos en la práctica es el mismo resultado. La potencia de R1 es de 1'2W, la de R2 es de 0'792W y la de R3 es de 0'552W, al sumar estas potencias encontramos la coincidencia con la potencia total de 2'544W.
Circuitos mixtos.
Estos circuitos son combinaciones del tipo serie y paralelo, su resolución resulta ser un poco más laboriosa, sin embargo, el nivel de dificultad sigue siendo el mismo. Para comprender mejor la dinámica a seguir pondremos un ejemplo que nos ayude a comprenderlo mejor.
La propuesta es, con los datos presentados en la figura 08, queremos conocer el valor de R1, la tensión E del Generador, la corriente total IT que suministra al circuito y la PT.
Fig. 08
Cálculos:
Como siempre ayudándonos del gráfico del principio, vamos a dar solución al problema planteado. Primero la tensión entre A-B será el producto entre R3 y la corriente que la atraviesa 2A que, nos da 120V. VA-B = 120V.
La intensidad en R2, ahora es fácil de hallar, es el cociente de la tensión A-B y su resistencia, esto es 1A. En cuanto a la corriente que fluye por R1 es, también el cociente del cuadrado de la tensión A-B y la potencia en R1= 360W, esto nos da para R1 = 40 .
De aquí obtenemos la intensidad que la atraviesa, esto nos indica que la intensidad en R1 es de 3A. Así podemos saber que, la corriente total del circuito es de 6A que atraviesa a R4 y la tensión en sus extremos (B-C) será de 54V. La potencia total se obtiene del producto de: PT =174 * 6 =1044W
La tensión del generador G, sabiendo que su resistencia interna es 1 , la tensión en G es, V= 6 * 1 = 6V, que sumados a los 174 nos da 180V, en el interior de G la tensión es 180 pero G tiene una resistencia interior de 1 así al exterior sólo presenta los 174V.
Resistencia de absorción.
Cuando necesitamos conectar un equipo a un generador o fuente de tensión, cuya tensión es mayor de la que exige el circuito, podemos poner una resistencia en serie que reduzca la tensión de diferencia. Esta resistencia toma el nombre de resistencia de absorción, su cálculo se lleva a cabo con esta formula:
Vd - Vu
Ra = -------------
I
Ra = Resistencia de absorción Vd = Tensión disponibleVu = Tensión útil
I = Corriente necesaria
El shunt.
Es el acoplamiento de una resistencia a un galvanómetro, si llamamos Rs a la resistencia del shunt y Rg a la del galvanómetro, así como Is e Ig a las intensidades del shunt y del galvanómetro respectivamente, entonces evidentemente la intensidad total IT será:
I = Is + Ig ; y también Is * Rs = Ig * Rg
En electricidad y electrónica es bastante corriente utilizar un 'shunt' que consiste en una resistencia derivada que se agrega a un dispositivo de medida para que la intensidad de la corriente que lo atraviesa sea menor que la intensidad de línea. Sea rg la resistencia interna del galvanómetro, en general y rs la del shunt, ver figura 09.
Fig. 09
Por definición se le denomina poder multiplicador m, a la relación entre la intensidad de línea I y la intensidad ig de G y es la constante por la que hay que multiplicar ig para obtener la intensidad de línea I.
I m = ------- ;
ig
[1]
I = ig + ix
que dividiendo por ig;
ix
m = 1+ -------
ig
[2]
y teniendo en cuenta que la caída de tensión en ambas ramas es idéntica; rg
+ ig = rs + ix
que igualando con la expresión [2],
rg ix
----- = ----- = m -1
rs ig
[3]
rg
rs =--------
m - 1
[4]
Esta última es la expresión de la resistencia del shunt en función de la resistencia del galvanómetro y del poder multiplicador.
Así, en muchas ocasiones conviene utilizar un miliamperímetro o un voltímetro para medir magnitudes eléctricas que requieren una escala más alta que la que ofrece el instrumento. Para esto es necesario, como se ha dicho, añadirle una resistencia. Al cociente del valor máximo de la nueva escala dividido por el valor máximo de la escala primaria, es lo que se llama factor de multiplicación como se obtiene en la formula [2].
[2a]
La cual podemos recordar mejor con esta nueva formula [2a].
Resistencia de compensación.
En muchas ocasiones, ocurre que en medidas eléctricas hay que 'shuntar' un miliamperímetro sin que varíe la resistencia intercalada en el circuito, evitando de este modo que se falsee la lectura, para ello, se coloca en serie con el galvanómetro y el shunt una resistencia Rx (resistencia de compensación), tal que el nuevo conjunto presente una resistencia rg idéntica a la que presentaba el galvanómetro sólo.
Fig. 10
rg * rs
--------- + RX = rg
rg + rs
de donde;
[5]
Shunt universal.
El shunt universal tiene la ventaja de presentar varios multiplicadores en el mismo medidor, pudiendo elegir uno u otro según convenga. Su esquema (utilizado en los amperímetros), se muestra a continuación:
Fig. 11
Veamos otro método con una evidente diferencia en la construcción. En esta ocasión según se aprecia en la figura 06, siguiente todas las resistencias se encuentran de algún modo sometidas al paso de la corriente, la cual dispone de dos caminos para su recorrido, pero como siempre una imagen mejor que ...
Fig. 06
La corriente I (en la entrada de 500µA) recorre dos por uno 460µA y 40µA por el otro, como y se hemos comentado. Para obtener más información sobre los cálculos específicos recomendamos visitar la documentación puentes de medida.
Las Leyes de Kirchoff
Las dos primeras leyes establecidas por Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) son indispensables para los cálculos de circuitos, estas leyes son:
1. La suma de las corrientes que entran, en un nudo o punto de unión de un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de ese nudo. Si asignamos el signo más (+) a las corrientes que entran en la unión, y el signo menos (-) a las que salen de ella, entonces la ley establece que la suma algebraica de las corrientes en un punto de unión es cero: (suma algebraica de I) Σ I = 0 (en la unión)
2. Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado, se verifica que la suma de las caídas de tensión en las resistencias que constituyen la malla, es igual a la suma de las f.e.ms. intercaladas. Considerando un aumento de potencial como positivo (+) y una caída de potencial como negativo (-), la suma algebraica de las diferencias de potenciales (tensiones, voltajes) en una malla cerrada es cero: (suma algebraica de E) Σ E - Σ I*R = 0 (suma algebraica de las caídas I*R, en la malla cerrada)
Como consecuencia de esto en la práctica para aplicar esta ley, supondremos una dirección arbitraria para la corriente en cada rama. Así, en principio, el extremo de la resistencia, por donde penetra la corriente, es positivo con respecto al otro extremo. Si la solución para la corriente que se resuelva, hace que queden invertidas las polaridades, es porque la supuesta dirección de la corriente en esa rama, es la opuesta.
Por ejemplo:
Fig. 12
Las flechas representan la dirección del flujo de la corriente en el nudo. I1 entra a la unión, considerando que I2 e I3 salen. Si I1 fuera 20 A e I3 fuera 5 A, I2
tendría 15 A, según la ley de voltaje de I1=I2 + I3. La ley de Kirchoff para los voltajes es, la suma de voltajes alrededor de un circuito cerrado es igual a cero. Esto también puede expresarse como la suma de voltajes de un circuito cerrado es igual a la suma de voltajes de las fuentes de tensión:
Fig. 13
En la figura anterior, la suma de las caídas de voltaje en R1, R2 y R3 deben ser igual a 10V o sea, 10V =V1+ V2+ V3. Aquí un ejemplo:
Fig. 14
Las corrientes de I2 e I3 y la resistencia desconocida R3 centran todos los cálculos, usando la teoría básica de la corriente continua. La dirección del flujo
de la corriente está indicado por las flechas.
El voltaje en el lado izquierdo (la resistencia R1 de 10 Ω), está saliendo del terminal superior de la resistencia.
La d. d. p. en esta resistencia R1 es de I1 * R o sea, 5 voltios. Esto está en oposición de los 15 voltios de la batería.
Por la ley de kirchoff del voltaje, la d. d. p. por la resistencia R2
de 10 Ω es así 15-5 o sea, 10 voltios. Usando la ley Ohm, la corriente a través de la resistencia R2 10
Ω es entonces (V/R) 1 amperio. Usando la ley de Kirchoff de la corriente y ahora conociendo el
I1 e I3, el I2 se encuentra como I3=I1+I2 por consiguiente el amperaje de I2= 0.5A.
De nuevo, usando la ley de Kirchoff del voltaje, la d. d. p. para R3 puede calcularse como, 20 = I2*R3 +10. El voltaje por R3 (el I2*R3)
es entonces 10 voltios. El valor de R3 es (V/I) o 10/0.5 o 20Ω.
Otro ejemplo:
Supongamos que queremos saber la potencia de cada fuente de tensión y la potencia que disipa cada resistencia en el siguiente circuito:
Para resolver el problema planteado en este circuito, debemos plantear las ecuaciones de cuatro mallas como se muestra en la siguiente figura.
Para simplificar las ecuaciones en principio suprimimos las fuentes de corriente.
Malla1:
V1 + Im1*VR1 + Im1*VR2 + Im1/VR3 - Im2*VR3 = 0 Malla2:
Im2*VR3 - Im1*VR3 + Im2*VR4 = 0 Malla3:
Im3*VR4 - Im2*VR5 - Im4*VR5 + Im3*VR6 - Im4*VR6 = 0 Malla4:
-V2 + Im*VR6 - Im3*VR6 - Im3*VR5 + Im4*VR7 + Im4*VR8 = 0 De donde:
Im1 = A12, Im2 = A1, Im4 = A2
A3 = Im1 - Im2, A4 = Im2 - Im3, A56 = Im3 - Im4
Planteadas las ecuaciones, podremos calcular sus variables y resolveremos como ya es habitual en estos casos.
Los Divisores de corriente
La corriente que entra a un nodo sale dividida en dos partes, la corriente a través de una rama sale como se muestra debajo:
para I1 yFig. 14
para I2
Los Divisores de tensión.
Fig. 15
Puede calcularse el voltaje en R1 usando la ecuación:
Puede calcularse el voltaje en R2 usando la ecuación:
Teoría básica y problemas propuestos
de circuitos eléctricos de corriente continua
1. Introducción 2. Objetivo general 3. Contenidos. Conocimientos previos 4. La corriente eléctrica 5. Resistencia eléctrica 6. Circuitos eléctricos y sus componentes 7. Ley de Ohm 8. Potencia eléctrica 9. Circuito serie-paralelo 10. Regla del divisor de tensión 11. Regla del derivador de corriente 12. Leyes de Kirchhoff 13. Conversión de fuentes de tensión a fuentes de corriente y viceversa 14. Análisis de circuitos por el método de las mallas 15. Análisis de circuitos por el método nodal 16. Redes en punte 17. Teorema de superposición 18. Teorema de Thevenin 19. Teorema de Norton 20. Problemas propuestos con respuestas 21. Preguntas de razonamiento 22. Problemas propuestos sin respuestas 23. Bibliografía recomendada
INTRODUCCIÓN
Si dos cuerpos de carga igual y opuesta se conectan por medio de un conductor metálico, por ejemplo un cable, las cargas se neutralizan mutuamente. Esta neutralización se lleva a cabo mediante un flujo de electrones a través del conductor, desde el cuerpo cargado negativamente al cargado positivamente. En cualquier sistema continuo de conductores, los electrones fluyen desde el punto de menor potencial hasta el punto de mayor potencial. Un sistema de esa clase se denomina circuito eléctrico. La corriente que circula por un circuito se denomina corriente continua (CC) si fluye siempre en el mismo sentido y corriente alterna (CA) si fluye alternativamente en uno u otro sentido. Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto
por conductores y dispositivos conductores, que incluyen una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito.
En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los lineamientos básicos sobre corriente eléctrica. Se resalta el concepto de resistencia eléctrica y su vinculación con el efecto Joule; el cual permitirá explicar la influencia del calor en la resistividad eléctrica de los materiales. La Ley de Ohm es abordada, y a partir de ella se introduce la noción de potencia eléctrica. Las Leyes de Kirchhoff son expuestas y empleadas al enseñar el método de las mallas y el método de los nodos; asimismo, se esbozará la regla del derivador de corriente y la regla del divisor de tensión, ambas usadas en el análisis de circuitos eléctricos serie – paralelo. Muy someramente, se tocará el teorema de Thevenin, el Teorema de Superposición y el Teorema de Norton. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.
OBJETIVO GENERAL
Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de circuitos eléctricos en la resolución de problemas prácticos que involucren redes eléctricas en corriente continua.
CONTENIDOS
Corriente eléctrica.
Resistencia eléctrica.
Conductancia eléctrica.
Efecto Joule.
Potencia eléctrica.
Reducción de circuitos serie – paralelo.
Leyes de Kirchhoff.
Regla del divisor de tensión.
Regla del derivador de corriente.
Análisis de mallas.
Análisis nodal.
Redes en puente (delta – estrella)
Teorema de superposición.
Teorema de Thevenin.
Teorema de Norton.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Resolución de sistemas de ecuaciones: cualquier método. 2. Campo eléctrico. 3. Análisis matricial: teorema de cofactores. 4. Análisis matricial: calculo del determinante de una matriz. 5. Calculo integral: integrales simples definidas.
DESARROLLO TEÓRICO
1.1 La corriente eléctrica.
El flujo de una corriente continua está determinado por tres magnitudes relacionadas entre sí. La primera es la diferencia de potencial en el circuito, que en ocasiones se denomina fuerza electromotriz (fem), tensión o voltaje. La segunda es la intensidad de corriente. Esta magnitud se mide en amperios; 1 amperio corresponde al paso de unos 6.250.000.000.000.000.000 electrones por segundo por una sección determinada del circuito. La tercera magnitud es la resistencia del circuito. Normalmente, todas las sustancias, tanto conductores como aislantes, ofrecen cierta oposición al flujo de una corriente eléctrica, y esta resistencia limita la corriente. La unidad empleada ), que se define como lapara cuantificar la resistencia es el ohmio ( resistencia que limita el flujo de corriente a 1 amperio en un circuito con una fem de 1 voltio.
Cuando una corriente eléctrica fluye por un cable pueden observarse dos efectos importantes: la temperatura del cable aumenta y un imán o brújula colocada cerca del cable se desvía, apuntando en dirección perpendicular al cable. Al circular la corriente, los electrones que la componen colisionan con los átomos del conductor y ceden energía, que aparece en forma de calor.
Hasta aquí, se ha abordado muy someramente lo que es corriente eléctrica, pero, ¿cómo se produce la corriente eléctrica?. Imaginemos el incontable número de electrones concentrados en una terminal del generador (una batería, un generador o cualquier dispositivo que cree una fem). Se repelen o se empujan los unos a los otros, pero sin tener lugar donde desplazarse si no existe un camino o circuito eléctrico. Ahora bien si conectamos un hilo de cobre entre el citado Terminal y el otro del mismo generador (donde hay escasez de electrones) se habrá establecido un circuito eléctrico. Los electrones del terminal negativo empujaran los electrones libres del hilo, siendo alejados del terminal propagándose esta acción casi instantáneamente de un extremo al otro del hilo. Consecuencia de ello es que inmediatamente comenzarán los electrones a desplazarse por el hilo, avanzando hacia el terminal positivo del generador en el cual la presencia de electrones es escasa.
Un electrón considerado en particular no se desplaza necesariamente de uno al otro extremo del circuito eléctrico. Solo puede hacerlo en una pequeña fracción
de centímetro por minuto; pero en cambio su empuje se propaga casi instantáneamente de uno al otro extremo del circuito. Para mejor comprensión sigamos la acción de un solo electrón desde el instante en que se cierra el circuito entre bornes del generador, y supongamos que dicho electrón estaba en el terminal negativo donde están concentrados en gran número.
El electrón ejerce un empuje sobre los que le rodean y, a su vez, es empujado por éstos. Cuando se cierra el circuito, este electrón es expulsado del terminal y penetra en el hilo de cobre que forma el circuito, para ser momentáneamente capturado por un atomo de cobre que acaba de perder su electrón exterior, pero casi instantáneamente se desprende del mismo y es empujado a lo largo del hilo hacia otro, al mismo tiempo que repele los electrones situados delante de él. Estos electrones, a su vez, repelen a los que preceden. Este empuje se hace patente a lo largo de todo el hilo, de forma que, casi instantáneamente los electrones son impulsados hacia el otro extremo del hilo y penetran en el terminal positivo del generador.
La corriente eléctrica en un material conductor (por ejemplo, cobre) puede ser calculada con:
(1)
Donde:
Q: carga eléctrica, Coulomb
t: tiempo, segundos
I: corriente eléctrica, Amperios
También puede calcularse:
(2)
Donde:
q: carga eléctrica, Coulomb
n: densidad de portadores de carga, partículas libres / m3
A: área de la sección transversal del conductor, m2
: velocidad de arrastre de los elementos portadores de carga, m/s
I: corriente eléctrica, Amperios
En el caso de los metales los elementos portadores de cargas son los electrones libres, o sea, aquellos que se ubican en las últimas orbitas del átomo, y que por lo tanto se encuentran muy poco influenciado por el núcleo.
Otro concepto de relevancia al momento de estudiar la corriente eléctrica es lo referente a la densidad de corriente, la cual relaciona la intensidad de corriente con el área de la sección transversal del conductor:
(3)
Donde:
J: densidad de corriente, A/m2
A: área de la sección transversal del conductor, m2
I: corriente eléctrica, A
: velocidad de arrastre de los elementos portadores de carga, m/s
n: densidad de portadores de carga, partículas libres / m3
1.2 Resistencia eléctrica.
La resistencia eléctrica, es una propiedad de un objeto o sustancia que hace que se resista u oponga al paso de una corriente eléctrica. La resistencia de un circuito eléctrico determina (según la llamada ley de Ohm) cuánta corriente fluye en el circuito cuando se le aplica un voltaje determinado. La unidad de resistencia es el ohmio, que es la resistencia de un conductor si es recorrido por una corriente de un amperio cuando se le aplica una tensión de 1 voltio. La abreviatura habitual para la resistencia eléctrica . En algunos cálculoses R, y el símbolo del ohmio es la letra griega omega, eléctricos se emplea el inverso de la resistencia, 1/R, que se denomina conductancia y se representa por G. La unidad de conductancia es siemens, cuyo símbolo es S. Aún puede encontrarse en ciertas obras la denominación antigua de esta unidad, mho.
(4)
Donde:
R: resistencia, Ohmios
G: conductancia eléctrica, Siemens
La resistencia de un conductor viene dada por una propiedad de ), por la longitud yla sustancia que lo compone, conocida como conductividad ( la superficie transversal del objeto, así como por la temperatura.
(5)
Donde:
L: longitud del conductor, m
A: área de la sección transversal del conductor, m2
R: resistencia del conductor, Ohmios
: resistividad eléctrica del conductor, Ohmios x metro
La resistividad eléctrica se relaciona con la intensidad del campo eléctrico y la densidad de corriente por medio de:
(6)
Donde:
E: intensidad del campo eléctrico, N/Coul
J: densidad de corriente, A/m2
: resistividad eléctrica del conductor, Ohmios x metro
A una temperatura dada, la resistencia es proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional a su conductividad y a su superficie transversal. Generalmente, la resistencia de un material aumenta cuando crece la temperatura (Tabla 1).
(7)
Donde:
R2: resistencia eléctrica del conductor a la temperatura T2, ohmios
R1: resistencia eléctrica del conductor a la temperatura T1, ohmios
T1: temperatura inicial del conductor, ºC
T2: temperatura final del conductor, ºC
: coeficiente de temperatura de la resistencia, ºC-1
Tabla 1. Coeficiente de temperatura y resistividad eléctrica de diversos materiales a 20 ºC.
MaterialCoeficiente térmico (ºC-1)
.m)Resistividad eléctrica (
Plata 0,0038 1,59 x 10-8
Cobre 0,00393 1,7 x 10-8
Oro 0,0034 2,44 x 10-8
Aluminio 0,00391 2,82 x 10-8
Tungsteno 0,005 5,6 x 10-8
Níquel 0,006 6,8 x 10-8
Hierro 0,0055 10 x 10-8
Constantán 0,000008
Nicromo 0,00044 1,50 x 10-6
Carbono -0,005 3,5 x 10-5
Una amplia variedad de resistores, fijos o variables, son suficientemente grande para que se imprima su valor resistivo en ohms en su encapsulado. No obstante, hay algunos demasiado pequeños para que puedan imprimirse números en ellos. Para los resistores moldeados fijos de composición se imprimen cuatro bandas de color en un extremo del forro exterior (Figura 1). Cada color tiene el valor numérico que se indica en la Tabla 2. Las bandas de color se leen siempre de izquierda a derecha desde el extremo que tiene la banda más cercana a él, como se ve en la Figura 1.
Figura 1. Resistor fijo moldeado de composición donde se detalla su código de colores
Tabla 2. Código de colores para resistores moldeados de composición.
Color de banda
Primer digito
Segundo digito
Factor multiplicador
Tolerancia
Negro 0 0 1
Café 1 1 10
Rojo 2 2 100
Anaranjado 3 3 1000
Amarillo 4 4 10000
Verde 5 5 100000
Azul 6 6 1000000
Violeta 7 7 10000000
Gris 8 8 100000000
Blanco 9 9 1000000000
Dorado 0.1 5 %
Plateado 0.01 10 %
1.3 Circuitos eléctricos y sus componentes.
Un circuito eléctrico es el trayecto o ruta de una corriente eléctrica. El término se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito (Figura 2). Un circuito de este tipo se denomina circuito cerrado, y aquéllos en los que el trayecto no es continuo se denominan abiertos. Un cortocircuito es un circuito en el que se
efectúa una conexión directa, sin resistencia, inductancia ni capacitancia apreciables, entre los terminales de la fuente de fuerza electromotriz.
Figura 2. Símbolos de algunos elementos de un circuito eléctrico.
1.4 Ley de Ohm.
La corriente fluye por un circuito eléctrico siguiendo varias leyes definidas. La ley básica del flujo de la corriente es la ley de Ohm, así llamada en honor a su descubridor, el físico alemán Georg Ohm. Según la ley de Ohm, la cantidad de corriente que fluye por un circuito formado por resistencias puras es directamente proporcional a la fuerza electromotriz aplicada al circuito, e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito. Esta ley suele expresarse mediante la fórmula I = V/R, siendo I la intensidad de corriente en amperios, V la fuerza electromotriz en voltios y R la resistencia en ohmios. La ley de Ohm se aplica a todos los circuitos eléctricos, tanto a los de corriente continua (CC) como a los de corriente alterna (CA), aunque para el análisis de circuitos complejos y circuitos de CA deben emplearse principios adicionales que incluyen inductancias y capacitancias.
V = I x R (8)
Donde:
V: diferencia de potencial o voltaje aplicado a la resistencia, Voltios
I: corriente que atraviesa la resistencia, Amperios
R: resistencia, Ohmios
1.5 Potencia eléctrica.
Al circular la corriente, los electrones que la componen colisionan con los atomos del conductor y ceden energía, que aparece en la forma de calor. La cantidad de energía desprendida en un circuito se mide en julios. La potencia consumida se mide en vatios; 1 vatio equivale a 1 julio por segundo. La
potencia "P" consumida por un circuito determinado puede calcularse a partir de la expresión:
(9)
Donde:
V: diferencia de potencial o voltaje aplicado a la resistencia, Voltios
I: corriente que atraviesa la resistencia, Amperios
R: resistencia, Ohmios
P: potencia eléctrica, Watios
Para cuantificar el calor generado por una resistencia eléctrica al ser atravesada por una corriente eléctrica, se usa el siguiente factor de conversión:
1 Watt = 0,2389 calorías / segundo
1.6 Circuito serie-paralelo.
Un circuito en serie es aquél en que los dispositivos o elementos del circuito están dispuestos de tal manera que la totalidad de la corriente pasa a través de cada elemento sin división ni derivación (Figura 3). Cuando en un circuito hay dos o más resistencias en serie, la resistencia total se calcula sumando los valores de dichas resistencias. Si las resistencias están en serie, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula:
(10)
Donde:
Re: resistencia equivalente de la disposición, ohmios
Ri: resistencia individual i, ohmios
En un circuito en paralelo los dispositivos eléctricos, por ejemplo las lámparas incandescentes o las celdas de una batería, están dispuestos de manera que todos los polos, electrodos y terminales positivos (+) se unen en un único conductor, y todos los negativos (-) en otro, de forma que cada unidad se encuentra, en realidad, en una derivación paralela. El valor de dos resistencias iguales en paralelo es igual a la mitad del valor de las resistencias componentes y, en cada caso, el valor de las resistencias en paralelo es menor que el valor de la más pequeña de cada una de las resistencias implicadas. Si las resistencias están en paralelo, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula:
(11)
Donde:
Re: resistencia equivalente de la disposición, ohmios
Ri: resistencia individual i, ohmios
Figura 3. Disposición de bombillas en un circuito en serie y un circuito en paralelo.
1.7 Regla del divisor de tensión.
La evaluación de la tensión que pasa por cualquier resistor o cualquier combinación de resistores en un circuito en serie se puede reducir a un solo elemento utilizando la regla del divisor de tensión. La prueba, que es muy corta y directa, se desarrollará con el circuito de la Figura 4.
Figura 4. Circuito en serie donde la corriente I atraviesa todos los resistores sin sufrir derivación alguna
a) Resistencia total: Rt = R1 + R2 + R3 +…RN (12)
b) Corriente: I = V/RT (13)
C) Tensión a través del resistor RX (donde x puede ser cualquier número de 1 a N): Vx = I.Rx
D) La tensión a través de dos o más resistencias en serie que tienen una resistencia total igual a:
R’T: V’T = I.RT (14)
E) Se sustituye I del inciso (B) en las ecuaciones de los incisos (C) y (D):
Regla del divisor de tensión:
(15)
(16)
En palabras, la regla indica que, para un circuito en serie, la tensión que existe en cualquier resistor (o alguna combinación de resistores en serie) es igual al valor de ese resistor (o a la suma de dos o más resistores en serie) multiplicado por la diferencia de potencial de todo el circuito en serie y dividido entre la resistencia total del circuito. Obsérvese que no es necesario que V sea una fuente de fuerza electromotriz.
1.8 Regla del derivador de corriente.
Para dos derivaciones paralelas, la corriente que pasa por cualquier derivación es igual al producto del otro resistor en paralelo y la corriente de entrada dividido entre la suma de los dos resistores en paralelo (Figura 5).
(17)
(18)
Figura 5. Circuito en paralelo donde la corriente IT atraviesa todos los resistores pero sufriendo una derivación.
1.9 Leyes de Kirchhoff.
Si un circuito tiene un número de derivaciones interconectadas, es necesario aplicar otras dos leyes para obtener el flujo de corriente que recorre las distintas derivaciones. Estas leyes, descubiertas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff, son conocidas como las leyes de Kirchhoff. La primera, la ley de los nudos, enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante, la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo. La segunda ley, la ley de las mallas afirma que, comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial, la suma neta de las fuerzas electromotrices halladas será igual a la suma neta de los productos de las resistencias halladas y de las intensidades que fluyen a través de ellas. Esta segunda ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm.
Reglas de los nodos
En todo nodo se cumple:
(19)
"Las corrientes que entran a un nodo son iguales a las corrientes que salen"
Regla de las mallas
En toda malla se cumple:
(20)
"La sumatoria de las fuerzas electromotrices en una malla menos la sumatoria de las caídas de potencial en los resistores presentes es igual a cero"
Regla de signos:
A. Al pasar a través de una pila del terminal positivo al negativo se considera positivo la f.e.m
B. Al pasar a través de una pila del terminal negativo al positivo se considera negativa la f.e.m
C. Al pasar a través de un resistor de mayor a menor potencial se considerará la existencia de una caída
D. Al pasar a través de un resistor de menor a mayor potencial se considerará la existencia de una ganancia
1.10 Conversión de fuentes de tensión a fuentes de corriente y viceversa.
La fuente de corriente es el dual de la fuente de tensión. El término dual indica que lo que sea característico de la tensión o la corriente de una batería lo será también para la corriente o la tensión, según el caso, de una fuente de corriente. La fuente de corriente proporciona una corriente fija a la derivación en que está situada, mientras que su tensión final puede variar como lo determine la red a la que se aplica.
Durante la conversión, el valor de la resistencia que se encuentre en paralelo con la fuente de tensión tendrá el mismo valor que la resistencia ubicada en paralelo con la fuente de corriente, no obstante, la corriente proporcionada por la fuente de corriente se relaciona con la fuente tensión a través de:
(21)
Por último, la dirección de la corriente quedará establecida en función de la polaridad de la fuente de tensión, pues siempre saldrá de la terminal positiva (Figura 6).
Figura 6. Una fuente de tensión es convertida en una fuente de corriente. La resistencia que se encuentra en serie con la fuente de tensión (RTh) conserva su valor, pero aparece en paralelo con la fuente de corriente, mientras que la
corriente IN resulta de dividir ETh con RTh. Su sentido siempre será ubicado a la salida de la terminal positiva (el bigote más grande de la fuente).
1.11 Análisis de circuitos por el método de las mallas.
El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis de mallas.
1. Asignar una corriente de malla a cada trayectoria cerrada independiente en el sentido de las manecillas del reloj (Figura 7).
2. El número de ecuaciones necesarias es igual al número de trayectorias cerradas independientes escogidas. La columna 1 de cada ecuación se forma sumando los valores de resistencia de los resistores por los que pasa la corriente de malla que interesa y multiplicando el resultado por esa corriente de malla.
3. Debemos considerar los términos mutuos, se restan siempre de la primera columna. Es posible tener más de un término mutuo si la corriente de malla que interesa tiene un elemento en común con más de otra corriente de malla. Cada término es el producto del resistor mutuo y la otra corriente de malla que pasa por el mismo elemento.
4. La columna situada a la derecha del signo igual es la suma algebraica de las fuentes de tensión por las que pasa la corriente de malla que interesa. Se asignan signos positivos a las fuentes de fuerza electromotriz que tienen una polaridad tal que la corriente de malla pase de la terminal negativa a la positiva. Se atribuye un signo negativo a los potenciales para los que la polaridad es inversa.
5. Se resuelven las ecuaciones simultáneas resultantes para las corrientes de malla deseadas.
Figura 6. Una red eléctrica donde claramente se distinguen dos mallas. Nótese como las corrientes de malla se dibujan en el sentido de las agujas del reloj.
1.12 Análisis de circuitos por el método nodal.
El siguiente método de formato es usado para abordar el análisis nodal
1. Escoger un nodo de referencia y asignar un rótulo de voltaje con subíndice a los (n — 1) nodos restantes de la red (Figura 8).
2. El número de ecuaciones necesarias para una solución completa es igual al número de tensiones con subíndice (N - 1). La columna 1 de cada ecuación se forma sumando las conductancias ligadas al nodo de interés y multiplicando el resultado por esa tensión nodal con subíndices.
3. A continuación, se deben considerar los términos mutuos, se restan siempre de la primera columna. Es posible tener más de un término mutuo si la tensión nodal de la corriente de interés tiene un elemento en común con más de otra tensión nodal. Cada término mutuo es el producto de la conductancia mutua y la otra tensión nodal enlazada a esa conductancia.
4. La columna a la derecha del signo de igualdad es la suma algebraica de las fuentes de corriente ligadas al nodo de interés. A una fuente de corriente se le asigna un signo positivo si proporciona corriente a un nodo, y un signo negativo si toma corriente del nodo.
Figura 8. Una red eléctrica donde claramente se distinguen cuatro nodos. Nótese como uno de los nodos se tomó como referencia, o sea, su potencial es cero.
5. Resolver las ecuaciones simultáneas resultantes para las tensiones nodales deseadas.
–; 1.13 Redes en punte (Conversión Y – Y).
Con frecuencia se encuentran configuraciones de circuitos en que los resistores no parecen estar en serie o en paralelo. Es esas condiciones, puede ser necesario convertir el circuito de una forma a otra para resolver variable eléctrica desconocida. Dos configuraciones de circuitos que suelen ), que sesimplificar esa dificultad son las transformaciones ye (Y) y delta ( muestra en la Figura 9.
Figura 9. A la izquierda de la imagen se observa una configuración de resistencias en delta, a la derecha se presenta una configuración en ye.
Las relaciones entre ambas configuraciones son:
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
1.14 Teorema de superposición.
El teorema establece que:
"La corriente o la tensión que existe en cualquier elemento de una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o las tensiones producidas independientemente por cada fuente"
Considerar los efectos de cada fuente de manera independiente requiere que las fuentes se retiren y reemplacen sin afectar al resultado final. Para retirar una fuente de tensión al aplicar este teorema, la diferencia de potencia entre los contactos de la fuente de tensión se debe ajustar a cero (en corto); el retiro de una fuente de corriente requiere que sus contactos estén abiertos (circuito abierto). Cualquier conductancia o resistencia interna asociada a las fuentes desplazadas no se elimina, sino que todavía deberá considerarse.
La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente; o sea, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente sigue una dirección, mientras que la producida por la otra va en sentido opuesto a través del mismo resistor, la corriente resultante será la diferencia entre las dos y tendrá la dirección de la mayor. Si las corrientes individuales tienen el mismo sentido, la corriente resultante será la suma de dos en la dirección de cualquiera de las corrientes. Esta regla es cierta para la tensión a través de una porción de la red, determinada por las polaridades y se puede extender a redes con cualquier número de fuentes.
El principio de la superposición no es aplicable a los efectos de la potencia, puesto que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la corriente o de la tensión. Por esta razón, la potencia en un elemento no se puede determinar sino hasta haber establecido la corriente total (o la tensión) a través del elemento mediante la superposición.
1.15 Teorema de Thevenin.
Las etapas a seguir que conducen al valor apropiado de RTH y ETH son:
1. Retirar la porción de la red a través de la cual se debe encontrar el circuito equivalente de Thevenin.
2. Marcar las terminales de la red restante de dos terminales (la importancia de esta etapa será evidente conforme examinemos algunas redes complejas).
3. Calcular RTH ajustando primero todas las fuentes a cero (las fuentes de tensión se reemplazan con circuitos en corto y las de corriente con circuitos abiertos) y luego determinar la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. (Si la resistencia interna de las fuentes de tensión y/o de corriente se incluye en la red original, deberá permanecer cuando las fuentes se ajusten a cero.)
4. Calcular ETH reemplazando primero las fuentes de corriente y de tensión, y determinando luego la tensión del circuito abierto entre las terminales marcadas. (Esta etapa será siempre la que conducirá a más confusiones y errores. En todos los casos debe recordarse que es el potencial de circuito abierto entre las dos terminales marcadas en la segunda etapa.)
5. Trazar el circuito equivalente de Thevenin reemplazando la porción del circuito que se retiró previamente, entre las terminales del circuito equivalente. Esta etapa se indica mediante la colocación del resistor R entre las terminales del circuito equivalente de Thevenin.
1.16 Teorema de Norton.
El Teorema de Norton al igual que el Teorema de Thevenin es un método empleado para evaluar el efecto de un red sobre una resistencia de carga. Esta técnica es aplicable a redes electrizas que poseen fuentes de corriente no variable. El teorema establece:
"Cualquier red lineal bilateral de c.d de dos terminales se puede reemplazar con un circuito equivalente que consiste en una fuente de corriente y un resistor en paralelo"
El análisis del teorema de Thevenin con respecto al circuito equivalente se puede aplicar también al circuito equivalente de Norton.
Las etapas que conducen a los valores apropiados de IN Y RN son:
1. Retirar la porción de la red en que se encuentra el circuito equivalente de Norton.
2. Marcar las terminales de la red restante de dos terminales.
3. Calcular RN ajustando primero todas las fuentes a cero (las fuentes de tensión se reemplazan con circuitos en corto y las de corriente con circuitos abiertos) y luego determinando la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. (Si se incluye en la red original la resistencia interna de las fuentes de tensión y/o corriente, ésta deberá permanecer cuando las fuentes se ajusten a cero.)
4. Calcular IN reemplazando primero las fuentes de tensión y de corriente, y encontrando la corriente a circuito en corto entre las terminales marcadas.
5. Trazar el circuito equivalente de Norton con la porción previamente retirada del circuito y reemplazada entre las terminales del circuito equivalente.
Divisores de tensión
Las resistencias en serie se usan mucho en los circuitos eléctricos para proporcionar potenciales variables que son función de la tensión de entrada. A los dispositivos de este tipo se les denomina divisores de tensión.
Tal como se muestra en la Figura 2-2a, uno de estos divisores de tensión proporciona las tensiones en forma de incrementos discretos; el segundo tipo (Fig. 2-2b), denominado potenciómetro2, proporciona una tensión variable en forma continua.
En la mayoría de potenciómetros como el de la Figura 2-2b, la resistencia es lineal, esto es, la resistencia entre un extremo A y cualquier punto C es directamente proporcional a la longitud AC de esta porción de resistencia. Entonces RAC = kAC donde AC viene expresada en las unidades de longitud adecuadas y k es una constante de proporcionalidad. De forma similar, RAB = kAB. Combinando estas dos relaciones con la Ecuación 2-8 se obtiene
En los potenciómetros comerciales, RAB suele ser un hilo resistivo enrollado en forma helicoidal. Un contacto móvil, denominado cursor, que puede moverse de un extremo a otro del helicoide, permite que VAC pueda variar de forma continua desde cero hasta VAB.
Circuitos en paralelo
La Figura 2-3 muestra un circuito de corriente continua en paralelo. Si se aplica la ley de Kirchhoff de intensidades al punto A de esta figura, se obtiene
I1+ I2 + I3 – It = 0
o
It = I1 + I2 + I3 (2-10)
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones a este circuito resultan tres ecuaciones independientes.
Así, para la malla que contiene la batería y R1, se puede escribir
V – I1R1 = 0
V = I1R1
Para la malla que contiene V y R2
V = I2R2
Para la malla que contiene V y R3,
V = I3R3
Se podrían escribir también ecuaciones similares para la malla que contiene R1 y R2, así como para la que contiene R2 y R3. Sin embargo, estas ecuaciones no serían independientes de las tres anteriores. Introduciendo las tres ecuaciones independientes en la Ecuación 2-10 resulta
Dividiendo esta ecuación por V, se obtiene
Como la conductancia de una resistencia R viene dada por G = 1 /R, se puede escribir
GP = G1 + G2 + G3 (2-12)
La Ecuación 2-12 muestra que, al revés que en un circuito en serie, en un circuito en paralelo las conductancias G son aditivas en lugar de las resistencias.
Divisores de intensidad en circuitos en paralelo
Así como las resistencias en serie forman divisores de tensión, las resistencias en paralelo crean divisores de intensidad. La fracción de la intensidad total que pasa por R1 en la Figura 2-3 es
o
(2-13)
Un caso especialmente interesante sucede cuando dos resistencias, R1 y R2, forman un circuito en paralelo. La fracción de la corriente por R, viene dada por:
De forma similar se demuestra que
En resumen, para dos resistencias en paralelo, la fracción de la corriente a través de una resistencia es el cociente entre la segunda resistencia y la suma de la dos resistencias. Esta ecuación se denomina a menudo ecuación de un divisor de intensidad.
EJEMPLO 2-1
Para el siguiente circuito, calcular (a) la resistencia total, (b) la intensidad por la batería, (c) la intensidad por cada una de las resistencias y (d) la diferencia de potencial en bornes de cada una de las resistencias.
R2 y R3 son resistencias en paralelo. La resistencia R2,3 entre los puntos
A y B vendrá dada por la Ecuación 2-11. Esto es,
El circuito original puede reducirse ahora al circuito equivalente siguiente.
En este caso se tiene una resistencia equivalente a las dos resistencias en serie, y
A partir de la ley de Ohm, la intensidad I viene dada por
Utilizando la Ecuación 2-8 la tensión V1 en bornes de R1 es
De forma similar, la tensión en bornes de las resistencias R2 y R3 es
Obsérvese que la suma de las dos tensiones es de 15 V, tal como indica la ley de Kirchhoff de tensiones.
La intensidad que pasa por R1 viene dada por
I1 = I = 0,67 A
Las intensidades a través de R2 y R3 se obtienen a partir de la ley de Ohm. Así,
Obsérvese que las dos intensidades se suman para dar la intensidad total, tal como indica la ley de Kirchhoff.
2A-3. Medidas de resistencia, tensión
e intensidad en corriente continua
En este apartado se considera cómo se miden la corriente, el potencial y la resistencia de los circuitos de corriente continua y las incertidumbres asociadas con dichas medidas.
Voltímetros digitales
Hasta hace unos treinta años las medidas eléctricas de corriente continua se hacían con el medidor de D'Arsonval de cuadro móvil, que se inventó hace más de un siglo. En la actualidad, estos equipos han quedado obsoletos, y se han reemplazado por los omnipresentes voltímetros digitales y multímetros digitales (DVM y DMM).
Un voltímetro digital generalmente consta de un circuito integrado sencillo, de una fuente de alimentación que, con frecuencia, es una batería y de una pantalla digital de cristal líquido. La parte más importante del circuito integrado es el convertidor analógico-digital, que transforma la señal de entrada analógica en un número que es proporcional a la magnitud de la tensión de entrada3. En el Apartado 4C-7 se da una explicación de cómo son los convertidores analógico-digitales. Los modernos voltímetros digitales comerciales pueden ser pequeños, suelen ser baratos (por debajo de los 100 $) y, por lo general, tienen resistencias de entrada elevadas de 10'° a 1012 -.
La Figura 2-4 muestra cómo se puede usar un voltímetro digital, señalado como DVM, para medir resistencias, intensidades y potenciales en corriente continua. En cada uno de los esquemas, la lectura del voltímetro digital es Vm y la resistencia interna del DVM es RM. La configuración que se muestra en la Figura 2-4a se utiliza para determinar el potencial desconocido V, de una fuente de potencial que tiene una resistencia interna Rs. El potencial visualizado en el medidor Vm puede ser algo distinto del verdadero potencial de la fuente debido al error de carga, que se estudia en el próximo apartado. Los voltímetros digitales suelen incorporar un divisor de tensión como el de la Figura 2-2a, que les permite operar en diversos intervalos de trabajo.
Los voltímetros digitales también son capaces de medir varios intervalos de corriente. La corriente a medir pasa a través de una de las pequeñas resistencias estándar situadas en el medidor. Se mide la diferencia de potencial en bornes de esta resistencia, siendo ésta proporcional a la corriente. La Figura 2-4b muestra cómo se mide la intensidad desconocida Ix
de un circuito que consta de una fuente de corriente continua y una resistencia RL. Las resistencias de precisión Rstd del medidor suelen variar entre unos 0,1 - o menos y varios cientos de ohmios, dando lugar, de esta forma, a varios intervalos de corriente. Si, por ejemplo, Rsld = 1,000 y - la lectura del DVM es de 1,456 V, la corriente medida es 1,456 A. Escogiendo las resistencias estándar en potencias de diez y preparando los circuitos para mover el punto de los decimales de la pantalla, el DVM es capaz de leer la corriente directamente.
La Figura 2-4c muestra cómo se determina una resistencia desconocida
Rx con un voltímetro digital moderno. Para este caso, el medidor va equipado con una fuente de corriente continua que produce una intensidad constante Istd que pasa a través de la resistencia. Por ejemplo, si la intensidad estándar es 0,0100 A, entonces una lectura en un DVM de 0,945 V supone una resistencia medida de 0,945 V/ 0,0100 A = 94,5 W. Solamente hay que mover la coma de los decimales para obtener la lectura directa de la resistencia.
Se denomina normalmente multimetro digital (DMM) a un instrumento que dispone de circuitos para medida de tensiones, intensidades y resistencias.
Error de carga en las medidas de potencial
Cuando se utiliza un medidor para medir potenciales, la presencia de este medidor tiende a perturbar el circuito, de forma que se introduce un error
de carga. Esta situación no es particular de las medidas de tensión. De hecho, es un ejemplo de una limitación fundamental aplicable a cualquier medida física.
Esto es, el proceso de medida altera inevitablemente al sistema en estudio, de manera que la cantidad que se mide en realidad difiere de su valor antes de efectuar la medida. Este tipo de error no se puede eliminar por completo; sin embargo, se puede reducir, a menudo, a proporciones insignificantes.
La magnitud del error de carga de las medidas de potencial depende del cociente entre la resistencia interna del medidor y la resistencia del circuito estudiado. El error de carga relativo en porcentaje Er asociado con el potencial medido VM de la Figura 2-4a viene dado por
en la que Vx es la verdadera tensión de la fuente de alimentación. Aplicando la ecuación de un divisor de tensión (Ecuación 2-9), se puede escribir
Sustituyendo esta ecuación en la anterior resulta, después de reordenar,
(2-14)
Esta ecuación muestra que el error de carga relativo es cada vez menor cuanto mayor es la resistencia del medidor RM respecto a la resistencia de la fuente RS. La Tabla 2-1 ilustra este efecto. Los voltímetros digitales presentan la gran ventaja de tener resistencias internas enormes de
1011 hasta 1012 W eliminándose así los errores de carga excepto en las medidas de circuitos que tengan resistencias mayores de 109W. Un ejemplo importante de error de carga puede darse en la medida del potencial de los electrodos de vidrio para la medida del pH, que tienen resistencias de 106 a 109W o mayores. Los instrumentos como los medidores de pH y los medidores de pIon tienen entradas con resistencias muy altas para evitar errores de carga de este tipo.
(2-22)
2B-2. Reactancias en circuitos eléctricos
Siempre que aumenta o disminuye la corriente de un circuito eléctrico se necesita energía suficiente para cambiar los campos eléctricos y magnéticos asociados al movimiento de las cargas. Por ejemplo, si el circuito dispone de una bobina de cobre, o inductor, la bobina se opone al cambio en la corriente al almacenarse energía en el campo magnético del inductor. Al invertirse la intensidad, la energía vuelve a la fuente de corriente alterna y cuando se completa la segunda parte del ciclo, la energía se almacena de nuevo en el campo magnético de sentido contrario. De forma similar, un condensador en un circuito de corriente alterna se opone al cambio de tensión. La oposición de los inductores al cambio de intensidad y la oposición de los condensadores al cambio de tensión sé denomina reactancia. Como veremos, las reactancias en los circuitos de corriente alterna introducen desfases en las señales de corriente alterna. Los dos tipos de reactancia que caracterizan a los condensadores o a los inductores son la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva, respectivamente.
Ambas reactancias, capacitiva e inductiva, dependen cuantitativamente de la frecuencia. A baja frecuencia, cuando la velocidad de cambio de la corriente es baja, los efectos de la reactancia de la mayoría de los componentes de un circuito son lo suficientemente pequeños como para no tenerlos en cuenta. Por otra parte, cuando las variaciones son rápidas, los diversos elementos del circuito, tales como conmutadores, uniones y resistencias, pueden presentar cierta reactancia. Este tipo de reactancias suelen producir efectos no deseados y hay que hacer todos los esfuerzos posibles para disminuir su magnitud.
A menudo se introducen en un circuito, de forma deliberada, capacitancias e inductancias en forma de condensadores e inductores. Estos dispositivos juegan un papel importante en diversas funciones útiles tales como convertir una corriente alterna en continua o viceversa, discriminar entre señales de distinta frecuencia, separar señales de corriente alterna de señales de corriente continua, diferenciar señales o integrar señales.
En los siguientes apartados, se considerarán sólo las propiedades de los condensadores, ya que la mayoría de los circuitos electrónicos modernos disponen de estos dispositivos más que de inductores.
2B-3. Condensadores y capacitancia: circuitos RC en serie
Un condensador típico consiste en un par de conductores separados por una delgada capa de material dieléctrico, esto es, un aislante eléctrico que carece esencialmente de especies cargadas móviles capaces de transportar la corriente. El condensador más sencillo consta de dos láminas metálicas separadas por una delgada capa de un dieléctrico como aire, aceite, plástico, mica, papel, cerámica o un óxido metálico. Excepto en el caso de los condensadores de aire y de mica, las dos láminas junto con el aislante se suelen plegar o enrollar en una estructura compacta que se sella para prevenir el deterioro por la acción atmosférica.
Para describir las propiedades de un condensador, considérese el circuito RC en serie de la Figura 2-8a, que consta de una batería V1, de una resistencia R, y de un condensador C en serie. Los condensadores se simbolizan por un par de líneas paralelas de igual longitud.
Cuando el conmutador S se mueve desde la posición 2 hasta la 1, los electrones fluyen desde la terminal negativa de la batería a través de la resistencia R hacia el conductor o placa inferior del condensador. Al mismo tiempo, la placa superior repele a los electrones y los dirige hacia la terminal positiva de la batería. Este movimiento constituye una corriente transitoria, que disminuye rápidamente hasta cero cuando se establece una diferencia de potencial entre las
dos placas del condensador que alcanza finalmente el valor del potencial de la batería Vi. Cuando cesa la corriente, se dice que el condensador está cargado.
Si se cambia el conmutador de la posición 1 a la posición 2, los electrones fluyen desde la placa inferior del condensador cargada negativamente hasta la placa superior cargada positivamente, a través de la resistencia R. De nuevo, este movimiento constituye una corriente que disminuye hasta cero al ir desapareciendo la diferencia de potencial entre las dos placas; se dice, en este caso, que el condensador está descargado.
Una propiedad útil de los condensadores es su capacidad de almacenar una carga eléctrica durante un cierto período de tiempo, y cederla cuando sea necesario. Así pues, si, en la Figura 2-8a, primero se mantiene S en la posición 1 hasta que C se ha cargado, y a continuación se coloca en una posición intermedia entre 1 y 2, el condensador permanecerá cargado durante un amplio período de tiempo. Cuando se coloca S en la posición 2, la descarga se produce de la misma forma que si el cambio de 1 a 2 hubiera sido rápido.
La cantidad de electricidad, Q, necesaria para cargar un condensador por completo, depende del área de las placas, de su forma, del espacio entre ellas y de la constante dieléctrica del material que las separa. Además, la carga Q es directamente proporcional a la tensión aplicada. Es decir,
Q = CV (2-23)
Cuando V es el potencial aplicado en voltios y Q la cantidad de carga en culombios, la constante de proporcionalidad C es la capacitancia del condensador en faradios F. Por consiguiente, un condensador de un faradio almacena una carga de un culombio por cada voltio aplicado. La mayoría de los condensadores utilizados en los circuitos electrónicos tienen capacitancias del orden de los microfaradios (10-6 F) hasta los picofaradios (10-12 F).
La capacitancia es importante en los circuitos de corriente alterna, debido a que una tensión que varía con el tiempo da lugar a una carga variable con el tiempo, esto es, una corriente. Este razonamiento puede verse derivando la Ecuación 2-23, obteniéndose
(2-24)
Por definición, la intensidad de corriente i es la velocidad de variación de la carga; esto es, dqldt = i. Así
(2-25)
Es importante destacar que la intensidad de un condensador es cero cuando la tensión es independiente del tiempo, es decir, cuando la tensión en bornes del condensador es constante. Además, hay que tener en cuenta que para conseguir un cambio rápido en la tensión en bornes del condensador es necesaria una intensidad elevada. Esto supone una limitación significativa en algunos métodos electroanalíticos de análisis, como se verá en el Capítulo 25.
LECCION 5 CIRCUITOS RC, RL Y RLC
INTRODUCCIÓN
Una herramienta importante de trabajo en electrónica es el Análisis de Circuitos, que consiste básicamente en tener información sobre cuantas fuentes de energía y de que clase, cuantos elementos de circuito y como están conectados en un circuito partícular, se aplican las leyes de Kirchhoff, la ley de Ohm, las relaciones voltaje corriente del condensador y la bobina y los ciruitos equivalentes para encontrar las magnitudes de los voltajes y corrientes dentro del circuito y saber como varían en el tiempo.
En el caso de CIRCUITOS RESISTIVOS (circuitos con fuentes y solo resistencias) aparecen ecuaciones de tipo algebraico, en el caso de CIRCUITOS RC (fuentes, resistencias y condensadores), CIRCUITOS RL (fuentes, resistencias y bobinas) y CIRCUITOS RLC (fuentes, resistencias, bobinas y condensadores) aparecen ecuaciones diferenciales; en ambos casos se aplican herramientas matemáticas para solucionar las ecuaciones y resolver las incognitas.
Para circuitos complejos se han desarrollado métodos que buscan obtener respuestas más rápidamente, que por el momento no se tendran en el material de este curso pero se pueden consultar en libros de Análisis de Circuitos. Esos métodos son: análisis de mallas, análisis de nodos, equivalente Thevenin, equivalente Nortón, superposición.
CIRCUITOS RESISTIVOS
Se muestran unos ejemplos de solución de circuitos resistivos para demostrar la aplicación de las leyes y conceptos mencionados.
EJEMPLO 1
Encontrar la corriente que entrega la fuente a las resistencias
Este es un caso de circuitos equivalentes, si se encuentra una reistencia equivalente de las tres la corriente que consume la resistencia equivalente es la misma que consumen las tres resistencias.
Equivalente de R2 y R3:
La resistencia equivalente RP está en serie con R1 entonces: Req = R1 + RP = 1K + 1.2K = 2.2K
El ciruito resultante es:
donde aplicando la ley de Ohm, nos da: I = 10V / 2.2K = 4.54 mA.
EJEMPLO 2
Encontrar los voltajes en las dos resistencias del circuito mostrado.
Este es un caso de aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff
+ V1 - Vr1 - V2 - Vr2 = 0
Como todos los elementos están en serie la corrientes I es la misma en todos los elementos, aplicamos la Ley de Ohm para las dos resistencias, entonces:
Vr1 = R1 * I Vr2 = R2 * I
remplazando estas dos expresiones en la ecuación inicial, se tiene:
+ V1 - (R1 * I) - V2 - (R2 * I) = 0
donde hay una incognita que es I, resolviendo la ecuación:
I = (V1 - V2) / ( R1 + R2 ) = ( 10V - 4V ) / ( 2K + 10K ) = 0.5 mA.
Se tienen los datos necesarios para hallar los voltajes:
Vr1 = R1 * I = 2K * 0.5 mA = 1V Vr2 = R2 * I = 12K * 0.5 mA = 5V
EJEMPLO 3
Encontrar las corrientes en las resistencias y el voltaje en el circuito.
Este caso permite aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff, por ejemplo en el nodo superior:
I = I1 + I2 = 1 mA
Como los tres elementos están en paralelo el voltaje en el circuito es el mismo para todos: V
Vr1 = Vr2 R1 * I1 = R2 * I2
de donde: I2 = (I1 * R1) / R2
reemplazando en la primera expresión: I1 + [(I1 * R1) / R2] = I
donde hay una incognita, despejando: I1 = I / (1+ (R1/R2)) = 1 mA / (1+ (220K / 100K)) = 0.3125 mA
con esas información se calculan los otros datos:
I2 = I - I1 = 1 mA - 0.3125 mA = 0,6875 mA
V = R1 * I1 = 220 K * 0.3125 mA = 68.75 V
DIVISOR DE VOLTAJE
La aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff y la Ley de Ohm a un circuito de resistencias en serie, permite obtener una nueva herramienta de análisis llamada el DIVISOR DE VOLTAJE, que nos indica que el voltaje total VT aplicado a la serie de resistencias es dividido en voltajes parciales, uno por cada resistencia, y el voltaje en cada resistencia VI es proporcional a la magnitud de la resistencia correspondiente RI.
EJEMPLO 4
Calcular el voltaje V3
DIVISOR DE CORRIENTE
Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o más resistencias en paralelo, la corriente total IT que llega al circuito se divide en tantas corrientes como resistencias o circuitos hay en paralelo. En este caso la corriente que pasa por cada resistencia es inversamente proporcional a la resistencia de esa rama, es decir, a más resistencia en la rama menor corriente y lo contrario.
la corriente en la resistencia i es:
Donde G1 = 1/R1; G2 = 1/ R2; .... Gi = 1/ Ri(En general G = 1/R se llama la conductancia del elemento y se mide en Siemens)Para el caso de dos resistencias se puede usar las siguientes expresiones:
EJEMPLO 5
Hallar las corrientes I1 e I2 en el circuito
El resultado muestra que a mayor resistencia menos corriente.
CIRCUITO RC
Los anteriores ejemplos muestran que para circuitos resistivos las soluciones son ecuaciones algebraicas, en los circuitos RC, RL y RLC la aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff generan ecuaciones diferenciales, la solución de un circuito de estos tipos es entonces un proceso de solución de ecuaciones diferenciales, donde cada caso particular está determinado por las condiciones iniciales.
EJEMPLO 6
Encontrar la función de voltaje en el condensador como función del tiempo para el circuito:
u(t) es la función escalón cuyo valor es:
0 si t<0 1 si t>=0
Aplicando la ley de Voltajes de Kirchhoff se tiene: 5·u(t) - VR - VC = 0
Aplicando ley de Ohm: 5·u(t) - IR·R - VC = 0
Como los elementos están en serie la corriente IR de la resistencia es la misma del condensador IC, entonces:
5·u(t) - IC·R - VC = 0
Aplicando la relación voltaje corriente en el condensador, queda:
Que es una ecuación lineal diferencial de primer orden para el voltaje en el condensador, la herramienta de solución más usada es por Transformada de Laplace, permite trabajar con casos sencillos y complejos, también cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales.Este ejemplo es a manera de información por lo que no haremos el detalle de la solución, la respuesta es:
donde se llama la constante de tiempo del circuito y corresponde al producto = R · C
Este ejemplo muestra el procedimiento general que se debe aplicar para resolver los tipos de circuitos mencionados. Para algunos casos específicos de circuitos se pueden aplicar soluciones prácticas que permiten obtener una respuesta más rápida, a continuación damos un método para resolver circuitos RC y RL.
MÉTODO PRÁCTICO PARA LA SOLUCIÓN DE CIRUITOS RC Y RL SENCILLOS
En general los circuitos RC y RL responden a un comportamiento exponencial creciente o decrecciente similar al que se indicó como solución de la ecuación diferencial. Toda variable v(t) que cambie exponencialmente en el tiempo tiene la siguiente ecuación:
donde vi es el valor inicial de v(t) en t = 0, vf es el valor "final", que se considera el valor de v(t) cuando ha transcurrido un tiempo relativamente largo que en la práctica es un tiempo t mayor que 5 veces .Se aclara que en la expresión v significa variable y no se esta restringiendo solo a voltajes, puede ser voltaje, corriente, potencia, fuerza, etc.
