129

6.1. Introduccin

La dinmica, es una parte de la mecnica que se encarga del estudio de las

leyes del movimiento de los cuerpos sometidos a la accin de fuerzas. La

cinemtica estudia el movimiento de los cuerpos sin importar el agente que

los origina. La dinmica, en cambio, estudia el movimiento de los cuerpos

considerando las fuerzas.

6.2. Primera Ley de Newton

Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre l acte una

fuerza externa. Un cuerpo en movimiento contina movindose con

velocidad constante a menos que sobre l acte una fuerza externa.

6.3. Segunda Ley de Newton

La segunda ley de Newton establece que, la aceleracin de un objeto es

directamente proporcional a la fuerza neta que acta sobre el e inversamente

proporcional a su masa. Se puede resumir en la siguiente ecuacin:

= =

6.4. Tercera Ley de Newton

Si dos objetos interactan, la fuerza que ejerce el objeto A sobre el objeto

B es igual en magnitud y en direccin opuesta a la fuerza que ejerce el

objeto B sobre el objeto A, es decir:

=

CAPTULO VII:

LEYES DEL

MOVIMIENTO

130

6.5. Fuerzas de friccin

Cuando un objeto est en movimiento ya sea sobre una superficie o en un

medio viscoso como aire o agua, existe resistencia al movimiento porque el

objeto interacta con su entorno. A tal resistencia se le llama fuerza de

friccin.

La magnitud de la fuerza de friccin esttica entre cualesquiera dos

superficies en contacto tiene los valores:

donde la constante adimensional s se llama coeficiente de friccin

esttica y N es la magnitud de la fuerza normal que ejerce una superficie

sobre la otra. La igualdad en la ecuacin se cumple cuando las superficies

estn a punto de deslizarse, esto es, cuando = , = . Esta

situacin se llama movimiento inminente. La desigualdad se cumple cuando

las superficies no estn a punto de deslizarse.

La magnitud de la fuerza de friccin cintica que acta entre dos superficies

es

=

donde k se llama coeficiente de friccin cintica.

.

6.6. Problemas resueltos

1) Sobre el sistema de cuerpos acta una fuerza de 120 N. Calcular la

aceleracin del sistema. Cada bloque tiene una masa de 5 kg. No hay

rozamiento. (g = 10 m/s2)

Solucin:

Por la 2da Ley de Newton:

F = ma

120 = (5 + 5) a

a = 12 m/s2

F = 120 N

131

2) Sobre el sistema mostrado se ejerce una fuerza horizontal de 120 N

contra el bloque A de 50 kg, el cual a su vez empuja al bloque B de 30

kg. Calcular la fuerza de reaccin entre los bloques, si no existe

rozamiento. (g = 10 m/s2)

Solucin:

Por la 2da Ley de Newton: F = m a

120 = (50 + 30) a

a = 1,5 m/s2

Ahora aislamos uno de los bloques y tenemos:

Por la 2da Ley de Newton:

F = m a

120 R = 50 x 1,5

R = 45 N

3) Al iniciar su movimiento, el bloque de masa M = 2 kg recorre 3 m durante

el primer segundo, cul es el valor de la masa m? Considere

insignificante el rozamiento y g = 10 m/s2.

Solucin:

Aplicamos la ecuacin de la cinemtica para el bloque de masa M

x = Vo t + a t2 (la velocidad inicial es cero)

3 = a (1)2 a = 6 m/s2

Luego aplicamos la 2da Ley de Newton para todo el sistema, teniendo

en cuenta que es el peso del bloque de masa m quien origina el

movimiento:

F = 120 N

A B

m

M

F = 120 N

A R

132

F = m a

mg = (M + m) a = Ma + ma

mg ma = Ma m (g a) = Ma

m (10 6) = 2 x 6

m = 3 kg

4) Un cuerpo partiendo del reposo desciende por un plano inclinado

recorriendo con movimiento uniformemente acelerado 12 m en 4 s.

Cul es la fuerza resultante F que acta sobre l durante el descenso

si su masa es de 6 kg?

Solucin:

Clculo de la aceleracin:

e = Vo t + a t2 (la velocidad inicial es cero)

12 = a (4)2 a = 1,5 m/s2

Para el clculo de la fuerza F aplicamos la 2da Ley de Newton

F = ma F = 4 x 1,5

F = 6 N

5) Hallar la aceleracin del sistema mostrado (g = 10 m/s2)

Solucin:

3m

2m

a

12 m

F

133

Por la 2da Ley de Newton

F = m a (3m) g (2m) g = (3m + m) a

mg = 4ma

10 = 4 a a = 2,5 m/s2

6) La figura muestra un bloque de 2 kg de masa sometido a la accin de

las fuerzas F1 = F2 = 10 N. El coeficiente de rozamiento cintico entre el

bloque y la superficie es 0,1. Determinar la aceleracin del bloque en

m/s2. (g = 10 m/s2).

Solucin:

Clculo de la normal y la fuerza de rozamiento:

N = mg + F2 + F1 Sen 37 N = 10 + 2x10 + 10 x 0,6 = 36 N

fs = N = 0,1 x 36 = 3,6 N

Clculo de la aceleracin:

Por la 2da Ley de Newton:

F = ma F1 Cos 37 Fs = ma

10 x 0,8 3,6 = 2 x a a = 2,2 m/s2

7) Un bloque cuya masa es de 25 kg se deja en libertad, iniciando su

movimiento hacia abajo. Si k = 0,5. Cul es la aceleracin del bloque?

(g = 10 m/s2).

Solucin:

Clculo de la normal y la fuerza de rozamiento:

37 a

F2 F1

53

37

F2 F1

fs mg

N

134

El peso del bloque acta en forma vertical

Se descompone el peso en sus componentes

Perpendicular y tangencial a la superficie de contacto

N = mg Cos53 = 25 x 10 x 0,6 = 150 N

fs = k N = 0,5 x 150 = 75 N

Por 2da Ley de Newton:

F = ma mg Sen 53 - fs = m a 25x10 x 0,8 75 = 25 a

a = 5 m/s2

8) Si F = 150 N y k = 0,2. Calcular la aceleracin y la tensin en la cuerda

que une ambos bloques.

Solucin:

El D.C.L. se muestra a la derecha

Para todo el sistema:

Por 2da Ley de Newton:

F = ma

F fs1 fs2 = (m1 + m2) a

F - k N1 - k N2 = (m1 + m2) a

F - k m1 g - k m2 g = (m1 + m2) a

150 0,2 x 10 (20 + 30) = (20 + 30) a

a = 1 m/s2

Solo para el bloque de 20 kg:

Por 2da Ley de Newton:

F = 150 N 30 kg 20 kg T

53

mg

mgSen53 mgCos53

fs

N

F = 150 N 30 kg 20 kg fs1

fs2 20g 30g N1 N2

20 kg fs1

20g N1

T

135

F = ma

T fs1 = m1 a

T - k N1 = m1 a

T - k m1 g = m1 a

T 0,2 x 20 x 10 = 20 x 1

T = 60 N

9) Una fuerza aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleracin

de 3 m/s2. La misma fuerza aplicada a un segundo objeto de masa m2

produce una aceleracin de 1 m/s2. a) Cul es el valor de la relacin

m1/m2? b) Si m1 y m2 se combinan en un objeto, cul es su aceleracin

bajo la accin de la fuerza ?

Solucin:

De la segunda ley de Newton: F = m a

Para la masa m1: F = m1 x 3 = 3 m1 (1)

Para la masa m2: F = m2 x 1 = m2 .. (2)

a) Dividiendo las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

12

= 1

3

b) F = (m1 + m2) a

3 m1 = (m1 + 3 m1) a = 4 m1 a

a = 0,75 m/s2

10) Un bloque de 3 kg parte del reposo en lo alto de un plano inclinado 30

y se desliza una distancia de 2 m hacia abajo por el plano en 1,5 s.

Encuentre a) la magnitud de la aceleracin del bloque, b) el coeficiente

de friccin cintica entre el bloque y el plano, c) la fuerza de friccin que

acta sobre el bloque y d) la rapidez del bloque despus de deslizar 2

m.

Solucin:

136

a) De la ecuacin

= 1

2 2

2 = 1

2 1,52 = 1,77

2

b) N = mg Cos 30 = 3 x 10 x 0,866

N = 25,98 N

f = N = 25,98

De la segunda ley de Newton: F = m a mg Sen30 - f = m a

3 x 10 x 0,5 25,98 = 3 x 1,77 = 0,37

c) f = 25,98 = 25,98 x 0,37 f = 9,69 N

d) De la ecuacin:

2 = 2 = 2 1,77 2 = 7,08

v = 2,66 m/s

11) Un objeto suspendido de 9 kg se conecta,

mediante una cuerda ligera inextensible sobre

una polea ligera sin friccin, a un bloque de 5 kg

que se desliza sobre una mesa plana. Si toma el

coeficiente de friccin cintica como 0,2; Dibuje

diagramas de cuerpo libre de ambos objetos. Encuentre la aceleracin

de los dos objetos y la tensin en la cuerda.

Solucin:

Diagramas de cuerpo libre:

En el eje vertical hay equilibrio, entonces N = 5g = 50 N

De la segunda ley de Newton aplicado a ambos bloques:

9g T = 9 a T = 90 9a

T f = 5 a (90 9a) - N = 5 a

30

2 m 3 kg v = 0

f

N mg

9g

T

a

5g

T

N

f

a

137

90 9a 0,2 x 50 = 5 a 80 = 14 a a = 5,7 m/s2

12) Tres bloques estn en contacto mutuo

sobre una superficie horizontal sin

friccin, como se muestra en la figura. A

m1 se le aplica una fuerza horizontal .

Tome m1 = 2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 4 kg y F = 18 N. Dibuje un diagrama de

cuerpo libre por separado para cada bloque y encuentre a) la aceleracin

de los bloques, b) la fuerza resultante sobre cada bloque y c) las

magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques.

Solucin:

Diagramas de cuerpo libre:

a) Por la segunda ley de Newton: F = m a

18 = (2 + 3 + 4) a a = 2 m/s2

b) Bloque 1: F = m1 a F = 2 x 2 = 4 N

Bloque 2: F = m2 a F = 3 x 2 = 6 N

Bloque 3: F = m2 a F = 8 x 2 = 8 N

c) Bloque 1: F = m1 a 18 Fc1 = 4 Fc1 = 14 N

Bloque 2: F = m2 a 14 - Fc2 = 6 Fc2 = 8 N

13) Un bloque de masa m = 2 kg se

libera desde el reposo en h = 0,5 m

sobre la superficie de una mesa, en

lo alto de un plano inclinado de =

30, como se muestra en la figura.

El plano sin friccin esta fijo sobre

una mesa de altura H = 2 m. a) Determine la aceleracin del bloque

m1g N1

a

F Fc1 Fc1

a

m2g N2

Fc2

a

Fc2

m3g N3

138

mientras se desliza por el plano. b) Cul es la velocidad del bloque

cuando deja el plano? c) A qu distancia de la mesa el bloque golpeara

el suelo? d) Que intervalo de tiempo transcurre entre la liberacin del

bloque y su golpe en el suelo? e) La masa del bloque afecta alguno de

los clculos anteriores?

Solucin:

El problema dice se libera, por lo que su velocidad inicial es cero.

Figura para el movimiento en el plano Figura para el movimiento parablico

a) De la segunda ley de Newton: F = m a

mg Sen30 = m a

2 x 10 x 0,5 = 2 a a = 5 m/s2

b) De la ecuacin: 2 = 2 = 251 v = 3,16 m/s

c) R = ?

De la ecuacin: = 30 + 1

2 2

2 = 3,16 0,5 + 5 2 52 + 1,58 2 = 0

t = 0,5 s

De la ecuacin: = 30 = 3,16 0,866 0,5

R = 1,54 m

d) El tiempo ya se calcul en el tem (c): t = 0,5 s

e) La masa no influye, se emple en el tem (a) pero a cualquier valor

de la masa el resultado de la aceleracin ser el mismo.

6.7. Problemas propuestos

1) Un objeto de 3 kg se somete a una aceleracin conocida por = (2 +

5) m/s2. Encuentre la fuerza resultante que acta sobre l y la magnitud

de la fuerza resultante.

30

1 2 kg v = 0

N mg

2 m

3,16 m/s 30

R

139

2) Un electrn de 9,11 x 10-31 kg de masa tiene una rapidez inicial de 3 x

105 m/s. Viaja en lnea recta y su rapidez aumenta a 7 x 105 m/s en una

distancia de 5 cm. Si supone que su aceleracin es constante, a)

determine la fuerza que se ejerce sobre el electrn y b) compare esta

fuerza con el peso del electrn, que se ignor.

3) Dos fuerzas 1 y 2 actan sobre un objeto de 5 kg. Si toma F1 = 20 N y

F2 = 15 N, encuentre las aceleraciones en a) y b) de la figura.

4) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de un bloque que se desliza hacia

abajo por un plano sin friccin que tiene una inclinacin de 15. El bloque

parte del reposo en lo alto, y la longitud del plano es 2 m. Encuentre a) la

aceleracin del bloque y b) su rapidez cuando llega al fondo del plano

inclinado.

5) Un objeto de 5 kg colocado sobre una mesa horizontal sin friccin se

conecta a una cuerda que pasa sobre una polea y despus se une a un

objeto colgante de 9 kg, como se muestra en la figura. Dibuje diagramas

de cuerpo libre de ambos objetos. Encuentre la aceleracin de los dos

objetos y la tensin en la cuerda.

6) Dos objetos se conectan mediante una cuerda ligera que pasa sobre una

polea sin friccin, como se muestra en la figura. Dibuje diagramas de

cuerpo libre de ambos objetos. Si supone que el plano no tiene friccin,

m1 = 2 kg, m2 = 6 kg y = 55, encuentre a) las aceleraciones de los

140

objetos, b) la tensin en la cuerda y c) la rapidez de cada objeto 2 s

despus de que se liberan desde el reposo.

7) A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/s hacia arriba de un

plano inclinado de 20 sin friccin. Hasta dnde se desliza el bloque

hacia arriba del plano antes de llegar al reposo?

8) Una mujer en un aeropuerto jala su maleta de 20 kg con rapidez

constante al jalar de una correa en un ngulo sobre la horizontal

(figura). Ella jala de la correa con una fuerza de 35 N. La fuerza de

friccin sobre la maleta es 20 N. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de

la maleta. a) Que ngulo forma la correa con la horizontal? b) Que

fuerza normal ejerce el suelo sobre la maleta?

9) En la mquina de Atwood que se muestra en la figura, m1 = 2 kg y m2 =

7 kg. Las masas de la polea y la cuerda son despreciables si se les

compara. La polea gira sin friccin y la cuerda no se estira. El objeto ms

ligero se libera con un empujn rpido que lo pone en movimiento a vi =

2,4 m/s hacia abajo. a) Que distancia descender m1 abajo de su nivel

inicial?

b) Encuentre la velocidad de m1 despus de 1,8 segundos.

141

10) Un automvil viaja a 50 mi/h en una autopista. a) Si el coeficiente de

friccin esttica entre camino y llantas en un da lluvioso es 0,1; cul es

la distancia mnima en la que el automvil se detendr? b) Cul es la

distancia de frenado cuando la superficie esta seca y s = 0,6?

11) Un bloque de 25 kg al inicio est en reposo sobre una superficie

horizontal. Se requiere una fuerza horizontal de 75 N para poner al bloque

en movimiento, despus de la cual se requiere una fuerza horizontal de

60 N para mantener al bloque en movimiento con rapidez constante.

Hallar los coeficientes de friccin esttica y cintica a partir de esta

informacin.

12) Tres objetos se conectan sobre una mesa como se muestra en la figura.

La mesa rugosa tiene un coeficiente de friccin cintica de 0,35. Los

objetos tienen masas de 4 kg, 1 kg y 2 kg, como se muestra, y las poleas

no tienen friccin. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada objeto.

a) Determine la aceleracin de cada objeto y sus direcciones. b)

Determine las tensiones en las dos cuerdas.

13) Dos bloques unidos mediante una cuerda de masa despreciable se

arrastran mediante una fuerza horizontal (figura). Suponga que F = 68

142

N, m1 = 12 kg, m2 = 18 kg y el coeficiente de friccin cintica entre cada

bloque y la superficie es 0,1. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para

cada bloque. b) Determine la tensin T y la magnitud de la aceleracin

del sistema.

14) Un bloque de 3 kg de masa es empujado contra una pared mediante una

fuerza que forma un ngulo = 50 con la horizontal, como se muestra

en la figura. El coeficiente de friccin esttica entre el bloque y la pared

es 0,25. a) Determine los valores posibles para la magnitud de que

permiten al bloque permanecer fijo. b) Describa que sucede si P tiene un

valor mayor y qu ocurre si es ms pequeo. c) Repita los incisos a) y b)

suponiendo que la fuerza forma un ngulo = 13 con la horizontal.

15) Un bloque de 420 kg esta en reposo sobre una superficie horizontal. El

coeficiente de friccin esttica entre el bloque y la superficie es 0,72; y el

coeficiente de friccin cintica es 0,34. Una fuerza de magnitud P empuja

el bloque hacia adelante y abajo como se muestra en la figura. Suponga

que la fuerza se aplica a un ngulo de 37 bajo la horizontal. a) Encuentre

la aceleracin del bloque como funcin de P. b) Si P = 5 N, encuentre la

aceleracin y la fuerza de friccin que se ejerce sobre el bloque. c) Si P

= 10 N, encuentre la aceleracin y la fuerza de friccin que se ejerce

sobre el bloque. d) De palabra describa como depende la aceleracin

relacionada con P. Existe una aceleracin mnima definida para el

bloque? Si es as, cul es? Existe un mximo definido?

143

16) Un bloque de aluminio de 2 kg y un bloque de cobre de 6 kg se conectan

mediante una cuerda ligera sobre una polea sin friccin. Se asientan

sobre una superficie de acero, como se muestra en la figura, donde =

30. Cuando se liberan desde el reposo, comenzaran a moverse? Si es

as, determine a) su aceleracin y b) la tensin en la cuerda. Si no,

determine la suma de las magnitudes de las fuerzas de friccin que

actan sobre los bloques.