Lógica y Algoritmos Sistemas de numeración

Lógica y Algoritmos

Sistemas de numeración

Alba Rossi Rocha V Página 1

Tema 1 Sistemas de numeración (Conceptos Básicos)

Tomado de https://pixabay.com/es/vectors/search/software/

El hombre en su diario vivir, almacena información y la maneja con diferentes formas

de representación, cuando comenzaron a contar, la primera herramienta para

realizarlo fueron los dedos, luego las piedras, los bastones e incluso los nudos en una

cuerda para representar cada uno de los valores y representar el conteo. Cuando se

llegaba a un determinado valor se utilizaba una marca distinta, de ahí que de forma

primitiva, se basaban en el 5 el 10 o el 20 por el número de dedos de una mano, las

dos e incluso los pies, pero era una forma muy limitada. Un ejemplo sencillo radica en

que cuando se pasaba de 20 teniendo en cuenta los dedos de pies y manos, entonces

se realizaba un nudo en una cuerda, esto representaba 20 unidades y se arrancaba de

nuevo el conteo.

Entre las primeras culturas que desarrollaron un sistema de numeración tenemos: los

egipcios, los babilónicos, los mayas, los romanos, los hindúes etc., una multiplicidad

de símbolos que permitían realizar el conteo de elementos

Los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas del

mundo; emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en doce meses,

https://pixabay.com/es/vectors/search/software/




correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en doce horas de claridad y

doce de tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para

las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón.

Los babilonios, al igual que los egipcios, desarrollaron su propio sistema de

numeración, ellos escribían sobre tablillas de arcilla, en donde utilizaban la escritura

cuneiforme y no tenían ningún símbolo para representar el cero. Utilizaban un sistema

de numeración de valor posicional a través de dos símbolos básicos en forma de cuña.

Una en forma vertical para las unidades y otra en forma horizontal para las decenas.

Los mayas inventaron un sistema de numeración en donde aparece por primera vez el

cero, además de que su base era el veinte, ya que se cree, que tal vez sea por el

hecho de contemplar los dedos de pies y manos. Esta civilización representó cada

cantidad por medio de símbolos que según la posición que ocupaban adquiría cierto

valor, es decir el sistema maya así como el decimal es un sistema de posiciones. El

símbolo del cero en cualquier posición indica ausencia de cantidad.

Los hindúes representaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del

uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma

actual en el siglo XVI.

Por su parte, los griegos y los hebreos, utilizaron nueve símbolos diferentes para estos

números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos.

El Imperio Romano desarrolló un sistema de numeración que se usó en Europa hasta

el siglo XVII. En la actualidad es muy conocido y se usa para indicar los tomos de una

obra, los capítulos de un libro, el nombre del siglo, el nombre de una época, para las

fechas, para los personajes de mismo nombre y las horas en las carátulas de algunos

relojes.1

1Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Sistemas de numeración Autor: Dr. José Manuel

Becerra Espinosa




¿Qué es un sistema de numeración?

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten

representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas

posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la

posición que ocupa en la cifra.




Clasificación de los sistemas de numeración

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grupos que son:

S. Numeración No-posicionales: son los más primitivos se usaban por ejemplo

los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de

cuántas manos se tenía. En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen

el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan

en el número. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir

de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

Como ejemplo tenemos: el sistema el antiguo Egipto, el sistema de numeración

romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

S. Numeración posicionales: son los actuales, son sistemas de numeración en

los cuales el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada

cantidad, depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha

cifra con respecto a la coma decimal; el valor de cada posición está determinado

por la base del sistema de numeración utilizado. Los dígitos pueden tener dos

valores: un valor absoluto que es el que indica el número de unidades que lo

forman y un valor relativo que es el que adquieren según la posición que ocupan.

Los principales representantes son el sistema de numeración binario, decimal,

octal y hexadecimal.

Concepto de base

La base en un sistema de numeración es el número o cantidad de símbolos diferentes

que se utilizan para representar valores y cantidades, dependiendo de la posición que

ocupe.

Para sistemas de numeración diferentes al sistema de numeración decimal se

recomienda utilizar la notación matemática de la base para distinguir a que sistema de

numeración nos estamos refiriendo y se realiza de la siguiente forma:

Número en base B => número (B)

Sistema de Numeración Decimal

Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan

utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes:

cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y

nueve (9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la

cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que

coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente

igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/sistemas-numeracion/sistemas-numeracion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/grupo/grupo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml




Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen hindú

Un determinado valor o cantidad, que denominaremos número decimal, se puede

expresar de la siguiente forma:

𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 = ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝐵𝑖

𝑖=𝑛

𝑖=−𝑚

Donde:

B = Base i = posición respecto a la coma m = número de dígitos a la derecha de la coma n = número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1 X = cada uno de los elementos que componen el número o cantidad

Lo anterior corresponde al Teorema Fundamental de la Numeración, el cual indica

que una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración se puede expresar o

tiene su equivalente en sistema de numeración decimal.

Ejemplos:

a. 2017(10) = 2 * 103 + 0 * 102 + 1 * 101 + 7 * 100 2017(10) = 2 * 1000 + 0 * 100 + 1 * 10 + 7 * 1

2017(10) = 2000 + 1 + 100 + 7 2017(10) = 2017(10)

b. 3.1416(10) = 3 * 100 + 1 * 10-1 +4 * 10-2 + 1 * 10-3 + 6 * 10-4 3.1416(10) = 3 * 1 + 1 * (1/10) + 4 * (1/100) + 1 * (1/1000) + 6 * (1/10000)

3.1416(10) = 3 + 0.1 +0.04 + 0.001 + 0.0006 3.1416(10) = 3.1416(10)

Los dos ejemplos anteriores los utilizamos para comprobar que al aplicarle el teorema fundamental de la numeración a un número decimal la respuesta es un número

decimal

A continuación aplicaremos el concepto de teorema fundamental de la numeración con

sistemas de numeración diferentes al decimal

c. 201.2(3) = 2 * 32 + 0* 31 + 1 * 30 + 2 * 3-1 201.2(3) = 2 * 9 + 0 * 3 + 1 * 1 + 2 * (1/3) 201.2(3) = 18 + 0 + 1 + 0.66 201.2(3) = 19.66(10)

d. 527(7) = 5 * 72 + 2 * 71 + 7 * 70 527(7) = 5 * 49 + 2 * 7 + 7 * 1




527(7) = 245 + 14 + 7 527(7) = 266(10)

e. 0.111(2) = 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 0.111(2) = 1 * (½) + 1 * (1/22) + 1 * (1/23) 0.111(2) = 0.5 + 0.25 + 0.125 0.111(2) = 0.875(10)

Las operaciones básicas de la aritmética digital. En sistema decimal son obvias porque

es el sistema de numeración utilizado para nuestro aprendizaje

Tema 2 Sistema de Numeración Binario

Es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando

solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues

trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración

natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0); utilizado internamente por los

circuitos digitales que configuran el hardware de las computadoras actuales.

Cada elemento o símbolo de un número que sea representado en sistema binario

recibe el nombre de bit (contracción de binary digit), y es utilizado en la medida de

cantidades de información que se representan en binario.

Suma Binaria:

Es semejante a la suma con decimales, lo que se debe tener en cuenta es el concepto

de base por lo que en este caso solo se manejan dos dígitos el cero (0) y el uno (1), de

tal forma que si el resultado se excede y no se puede representar ese exceso se debe

llevar una base denominada acarreo y adicionar a la suma parcial siguiente hacia la

izquierda tal como se hace en el sistema decimal.

a) Sumar los números binarios 101111 (47) y 1110 (14).

1 1 1

1 0 1 1 1 1

4 7

+ 1 1 1 0

+ 1 4

1 1 1 1 0 1

6 1

http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/sistemanumeracion/sistemanumeracion.shtml




b) Sumar los números binarios 10100101 (165) y 100011111 (287).

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1

1 6 5

+ 1 0 0 0 1 1 1 1 1

+ 2 8 7

1 1 1 0 0 0 1 0 0

4 5 2

c) Sumar los números binarios 10.10 (2.5) y 11.01 (3.25).

1

1 0. 1 0

2. 5

+ 1 1. 0 1

+ 3. 2 5

1 0 1. 1 1

5. 7 5

d) Sumar los números binarios 1101 (13), 1110 (14), 1100 (12) y 1111 (15).

1

1 1

1 1 1 1

1 1 0 1

1 3

1 1 1 0

1 4

1 1 0 0

1 2

+ 1 1 1 1

+ 1 5

1 1 0 1 1 0

5 4

Resta Binaria:

Es similar al decimal con la diferencia de tener solo 2 dígitos. Al realizar las restas

parciales entre los dígitos, si el sustraendo es mayor que el minuendo, entonces se

sustrae una unidad del siguiente dígito a la izquierda en el minuendo realizando un

préstamo de una base que en este caso sería de dos elementos por ser sistema

binario. En el caso dado que el siguiente número sea un cero se busca sucesivamente

hasta que se encuentra un elemento con valor numérico igual a 1.

a) Restar los número binarios 111100 (60) y 101010 (42).

0 2

1 1 1 1 0 0

6 0

- 1 0 1 0 1 0

- 4 2

0 1 0 0 1 0

1 8




b) Restar los números binarios 11101 (29) y 110 (6).

2

0 0 2

1 1 1 0 1

2 9

- 1 1 0

- 6

1 0 1 1 1

2 3

c) Restar los números binarios 110100111 (423) y 11101010 (234).

2 1 2 1

0 0 2 0 2 2

1 1 0 1 0 0 1 1 1

4 2 3

- 0 1 1 1 0 1 0 1 0

- 2 3 4

0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 8 9

d) Restar los números binarios 11.01 (3.25) y 10.10 (2.5).

0 2

1 1. 0 1

3. 2 5

- 1 0. 1 0

- 2. 5 0

0 0. 1 1

0. 7 5

Multiplicación Binaria:

Como se ha observado con las operaciones anteriores, la multiplicación binaria se

realiza de igual forma con la salvedad que la suma final de los productos se realiza

solo con dos elementos el cero y el uno.

a) Multiplicar los números binarios 101111 (47) por 1110 (14).

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

4 7

* 1 1 1 0

* 1 4

0 0 0 0 0 0

.

1 0 1 1 1 1

.

1 0 1 1 1 1

.

1 0 1 1 1 1

.

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

6 5 8




b) Multiplicar los números binarios 111111 (47) por 101010 (14).

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

6 3

* 1 0 1 0 1 0

* 4 2

0 0 0 0 0 0

.

1 1 1 1 1 1

.

0 0 0 0 0 0

.

1 1 1 1 1 1

.

0 0 0 0 0 0

.

1 1 1 1 1 1

.

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0

2 6 4 6

División Binaria:

De la misma manera que todas las anteriores operaciones, es similar a la división

decimal, teniendo en cuenta que todo el proceso se realiza en binario

a) Dividir los números binarios 100010 (34) y 110 (6).

1

2 2

1 0 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0

Divisor

- 1 1 0

1 0 1

* 1 0 1

Cociente

0 1 0 1

1 1 0

- 0 0 0

0 0 0

1 0 1 0

+ 1 1 0

- 1 1 0

1 1 1 1 0

1 0 0

+ 1 0 0

Residuo

1 0 0 0 1 0

Dividendo




b) Dividir los números binarios 10001000100 (1092) y 101010 (42).

1 1

2 2 2 0 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

Divisor

- 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0

* 1 1 0 1 0

Cociente

0 0 1 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

- 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0

- 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0

+ 1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Dividendo

Tema 3 Sistema de Numeración Octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos

números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración

que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos

diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto

dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene

determinado por las potencias de base 8.

Otro de los sistemas de numeración de los llamados posicionales; las operaciones

básicas se realizan de la misma forma que en sistema de numeración decimal, la

diferencia radica en la base que cambia que para este caso es 8

Suma Octal: Para la suma octal cada vez que la suma de los símbolos supera la base

de 8, se descuenta la base colocamos lo que sobra y acarreamos o llevamos una base

a la siguiente posición.

a) Sumar los números octales 3712 (1994) y 144 (100).

1

3 7 1 2

1 9 9 4

+ 1 4 4

+ 1 0 0

4 0 5 6

2 0 9 4




b) Sumar los números octales 4523 (2387) y 1567 (887).

1 1 1

4 5 2 3

2 3 8 7 + 1 5 6 7

+ 8 8 7

6 3 1 2

3 2 7 4

Resta Octal: En el caso de la resta octal, se debe tener en cuenta nuevamente el

concepto de base, para nuestro caso base 8; al igual que en decimal si el sustraendo

es mayor que el minuendo, se pide prestado a la siguiente posición a la izquierda del

dígito y este presta una base la cual vale 8 y es lo que se debe sumar al minuendo

para realizar la sustracción respectiva. En caso que la siguiente posición tenga un

valor de cero, se realiza esta acción nuevamente y de forma sucesiva hasta encontrar

una posición con un valor mayor que cero

a) Restar los números octales 3712 (1994) y 144 (100).

8

6 0 8

3 7 1 2

1 9 9 4

- 1 4 4

- 1 0 0

3 5 4 6

1 8 9 4

b) Restar los números octales 4523 (2387) y 1567 (887).

8 8

3 4 1 8

4 5 2 3

2 3 8 7

- 1 5 6 7

- 8 8 7

2 7 3 4

1 5 0 0

Multiplicación Octal: En la multiplicación se utiliza el mismo concepto, se realizan

con las tablas de multiplicar de forma normal pero el resultado lo buscamos con la

base 8, es decir el número de veces que contiene la base en el resultado obtenido,

esos son los acarreos y ese valor se descuenta del número total

Ejemplo multiplicar 6(8) por 7(8) 42, donde la base pasa 5 veces por el valor 42, se

descuentan las bases que pasan cuyo valor es 40 y sobran 2 como llevamos 5 bases

el resultado es 52(8)




5

5

6

4 2

* 7

4 0

5 2

2

a) Multiplicar los números octales 764 (500) y 3 (3).

2 2 1

7 6 4

5 0 0

* 3

* 3

2 7 3 4

1 5 0 0

b) Multiplicar los números octales 1523 (851) y 34 (28).

1

1

2 1 1

1 5 2 3

8 5 1

* 3 4

* 2 8

6 5 1 4

. + 4 7 7 1

.

5 6 4 2 4

2 2 8 2 8

División Octal: Al igual que las demás operaciones se realiza de la misma forma que

en decimal, solo teniendo en cuenta que la base es 8.

a) Dividir los números octales 2734 (1500) y 3 (3).

2 7 3 4 3

2 2 1

- 2 5

7 6 4

7 6 4

Divisor

2 3

* 3

Cociente

- 2 2

2 7 3 4

Dividendo

1 4

- 1 4

0




b) Dividir los números octales 45763 (19443) y 33 (27).

4 5 7 6 3 3 3

1

- 3 3

1 3 2 0

1

1 2 7

1 3 2 0

Divisor

- 1 2 1

* 3 3

Cociente

0 0 6 6

4 1 6 0

- 6 6

4 1 6 0

0 0 3

4 5 7 6 0

0

3

Residuo

3

4 5 7 6 3

Dividendo

Tema 4 Sistema de Numeración Hexadecimal

El sistema hexadecimal, a veces abreviado como HEX, es el sistema de numeración

posicional de base 16 (empleando por tanto 16 símbolos). Su uso actual está muy

vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen

utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria.

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F

representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,

porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de

estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante

potencias de base 16.

Suma Hexadecimal: Para la suma HEX cada vez que la suma de los símbolos supera

la base de 16, se descuenta la base, colocamos lo que sobra y acarreamos o llevamos

una base a la siguiente posición; de la misma forma como se realiza en este tipo de

sistemas posicionales.

a) Sumar los números hexadecimales1F4 (500) y 1F4 (500).

1

1 F 4

5 0 0

+ 1 F 4

+ 5 0 0

3 E 8

1 0 0 0




b) Sumar los números hexadecimales D57 (3415) y 234 (564).

D 5 7

3 4 1 5

+ 2 3 4

+ 5 6 4

F 8 B

3 9 7 9

Resta Hexadecimal: Para la resta hexadecimal, se debe recordar nuevamente el

concepto de base, en esta ocasión base 16; al igual que en decimal si el sustraendo

es mayor que el minuendo, se pide prestado a la siguiente posición a la izquierda del

dígito y este presta una base la cual vale 16 y es lo que se debe sumar al minuendo

para realizar la sustracción respectiva. En caso que la siguiente posición tenga un

valor de cero, se realiza esta acción nuevamente y de forma sucesiva hasta encontrar

una posición con un valor mayor que cero

a) Restar los números hexadecimales 3E8 (1000) y 1F4 (500).

2 16

3 E 8

1 0 0 0

- 1 F 4

- 5 0 0

1 F 4

5 0 0

a) Restar los números hexadecimales 1234 (4660) y D57 (3415).

1 2 3 4

4 6 6 0

- D 5 7

- 3 4 1 5

F 2 3

3 9 7 9

Multiplicación Hexadecimal: En la multiplicación se recurre al concepto general; se

utilizan las tablas de multiplicar de forma normal pero el resultado se busca con la

base 16, es decir el número de veces que contiene la base en el resultado obtenido,

esos son los acarreos y ese valor se descuenta del número total




Ejemplo multiplicar 6(16) por 7(16) 42, donde la base pasa 2 veces por el valor 42, se

descuentan las bases que pasan cuyo valor es 32 y sobran 10 pero en hexadecimal 10

es representado por la letra A; entonces como llevamos 2 bases el resultado es 2A(16)

2

2

6

4 2

* 7

3 2

2 A

1 0 = A

a) Multiplicar los números Hexadecimales 28 (40) y 19 (25).

1 4

2 8

4 0

* 1 9

* 2 5

1 6 8

.

+ 2 8

.

3 E 8

1 0 0 0

a) Multiplicar los números Hexadecimales 45AB (17835) y 17 (23).

1 2 4 4

4 5 A B

1 7 8 3 5

* 1 7

* 2 3

1 E 7 A D

.

+ 4 5 A B

.

6 4 2 5 D

4 1 0 2 0 5

División Hexadecimal: Igual que sus predecesores esta operación se realiza de la

misma forma que en decimal, binario y octal solo teniendo en cuenta que la base es

16.




a) Dividir los números hexadecimales 3E8 (1000) y 19 (25).

3 E 8 1 9

1 4

- 3 2

2 8

2 8

Divisor

0 C 8

* 1 9

Cociente

- C 8

1 6 8

0

+ 2 8

3 E 8

Dividendo

a) Dividir los números hexadecimales 2234 (8756) y A (10).

2 2 3 4 A

2 4 6

- 1 E

3 6 B

3 6 B

Divisor

0 4 3

* A

Cociente

- 3 C

2 2 2 E

0 7 4

+ 6

- 6 E

2 2 3 4

Dividendo

0 6

Tema 5 Conversiones Numéricas

Una conversión es la transformación de una cantidad expresada en un determinado

sistema de numeración a su equivalente en otro sistema de numeración.

En otras palabras lo que se busca es que si tenemos un número en sistema decimal

poder obtener su equivalente en binario, octal o hexadecimal, que son los sistemas de

numeración objeto de estudio.

Para estos casos en especial vamos a utilizar ciertos métodos de conversión sencillos

y muy utilizados, aunque pueden haber otros que no utilicemos pero que son igual de

valederos y que simplemente no los vamos a estudiar.

A continuación se muestra de forma gráfica las conversiones que se pueden realizar

entre sistemas de numeración




Inicialmente nos vamos a enfocar al desarrollo de conversiones de números decimales

a números en cualquier otro sistema de numeración como lo muestra la gráfica

Los valores que se representan con los sistemas de numeración pueden ser enteros o

con fracciones decimales, por lo cual la conversión se puede realizar de números tipo

entero o tipo real aplicados a la informática.

Para realizar la conversión de números con fracciones decimales se utilizan dos

métodos a saber, uno para la parte entera y otro para la fracción decimal. Para la parte

entera utilizamos el método de divisiones sucesivas por la base, en este caso las

bases serían la 2, 8, 16. Y para el caso de las fracciones decimales el método se llama

multiplicaciones sucesivas por la base.




Divisiones sucesivas por la base

Este método es utilizado para convertir números enteros decimales a enteros de un

sistema de numeración diferente (Binario, Octal, Hexadecimal). De lo que se trata es

de dividir repetidamente el número decimal y los sucesivos cocientes en la base del

sistema de numeración, hasta que el cociente en una de las divisiones tome el valor 0

(es decir no se pueda dividir más por la base de referencia). Luego se unen los restos

obtenidos, escritos en orden inverso, para obtener el número en el sistema de

numeración de referencia (Binario, Octal, Hexadecimal).

Como ejemplo vamos a convertir el número 358.273(10) en binario, octal y hexadecimal

respectivamente.

Tomamos la primera parte del número es decir la parte a la izquierda de la coma o

punto decimal que sería la parte entera y le aplicamos el método de divisiones

sucesivas por la base

3 5 8 2

3 5 8 8

3 5 8 1 6

0 1 7 9 2

6 4 4 8

6 2 2 1 6

1 8 9 2

4

5

6

1

1 4 4 2

0 2 2 2

0 1 1 2

5 4 6

1 6 6

1 5

2

1

2

2

1 0 1 1 0 0 1 1 0

0

1

358(10) = 101100110(2)

358(10) = 546(8)

358(10) = 166(16)

Multiplicaciones sucesivas por la base

Luego de convertir la parte entera de un número por el método de divisiones

sucesivas, necesitamos convertir la parte de fracción decimal a su equivalente en los

otros sistemas de numeración.

Consiste en multiplicar dicha fracción por el valor de la base, obteniendo en la parte

entera de esta multiplicación el primero de los dígitos del sistema a convertir que

buscamos. De la misma manera repetimos el mismo procedimiento con la parte

fraccionaria obtenida en esa multiplicación y obtenemos en la parte entera de ese

número un nuevo dígito. Realizamos este proceso sucesivamente hasta que

desaparezca la parte fraccionaria o tengamos los dígitos suficientes del número en

conversión, que nos den un valor exacto o la mayor aproximación posible.

De acuerdo a lo anterior tomamos la parte fraccionaria del número decimal propuesto

0.273(10)




Inicialmente realizamos la operación para el sistema de numeración binario

0,273(10) = 0,010001(2)

Observamos para este ejemplo, que la mayor aproximación se registra en el sexto

dígito, si seguimos realizando la operación la aproximación será mayor.

Para el sistema Octal sería de la siguiente manera:

0,273 (10) = 0,2136(8)

Se utilizan 4 dígitos para ofrecer una mayor aproximación al valor en decimal.

Luego se realiza el mismo proceso para obtener la fracción en sistema hexadecimal:

0,273(10) = 0,454(16)

Como es una base más grande se utilizan menos dígitos para determinar el valor en

HEX.

Al final después de aplicar ambos métodos, se unen los resultados para obtener la

conversión de sistema decimal a binario, octal, hexadecimal de la siguiente manera:




358,273(10) = 101100110,010001(2)

358,273(10) = 546,2136(8)

358,273(10) = 166,454(16)

Las conversiones de forma inversa es decir de diferentes sistemas de numeración al

sistema decimal se realizan utilizando el teorema fundamental de la numeración

(TFN); el cual precisa que cualquier número o valor de un sistema de numeración tiene

su equivalente en sistema de numeración decimal, como se observó en un apartado

anterior. Cabe aclara que no es el único método pero a mi parecer es el más sencillo

pues la aplicación de una fórmula. La mayoría de métodos utilizan el TFN pero de

forma más abreviada, pero esto se logra con mucha práctica.

Seguidamente se comprueba que los resultados obtenidos en el apartado anterior son

verdaderos, para lo cual el TFN revierte el resultado de la siguiente forma:

101100110,010001(2) = 1*28 + 0*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 +0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 + 0*2-1

+ 1*2-2 + 0*2-3 + 0*2-4 + 0*2-5 + 1*2-6

101100110,010001(2) = 1*256 + 0*128 + 1*64 + 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 0*1 +

0*(1/21) + 1*(1/22) + 0*(1/23) + 0*(1/24) + 0*(1/25) + 1*(1/26)

101100110,010001(2) = 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 0 +4 + 2 + 0 + 0*(0,5) + 1*(0,250) +

0*(0,125) + 0*(0,0625) + 0*(0,0312) + 1*(0,0156)

101100110,010001(2) = 358 + 0,250 + 0,0156 = 358 + 0.265

101100110,010001(2) = 358,265(10)




Cabe aclarar que para obtener una mayor aproximación se debe continuar realizando la operación, con los dígitos obtenidos se llega a esta aproximación.

546,2136(8) = 5*82 + 4*81 + 6*80 + 2*8-1 + 1*8-2 + 3*8-3+ 6*8-4

546,2136(8) = 5*64 + 4*8+ 6*1 + 2*(1/81) + 1*(1/82)+ 3*(1/83)+ 6*(1/84)

546,2136(8) = 320 + 32 + 6 + 2*(0,125) + 1*(0,01565) + 3*(0,00195) + 6*(0,000244)

546,2136(8) = 358 + 0,250 + 0,01595 + 0,00585 + 0,001464 = 358 + 0,273

546,2136(8) = 358, 273(10)

El resultado obtenido es exacto al valor del número decimal por cuanto se utilizan 4 dígitos decimales

166,454(16) = 1*162 + 6*161 + 6*160 + 4*16-1 + 5*16-2 + 4*16-3

166,454(16) = 1*256 + 6*16 + 6*1 + 4*(1/161) + 5*(1/162)+ 4*(1/163)

166,454(16) = 1*256 + 6*16 + 6*1 + 4*(1/161) + 5*(1/162)+ 4*(1/163)

166,454(16) = 256 + 96 + 6 +4*(0,0625) + 5*(0,0039) + 4*(0,000244)

166,454(16) = 358 + 0,250 + 0,0195 + 0,000976 = 358 + 0,270

166,454(16) = 358, 270(10)

Obsérvese que da una mayor precisión que cambiarlo del sistema binario, aunque eso

depende del número de dígitos utilizados para realizar la operación.

Para el paso de Binario a Octal o a Hexadecimal se debe comprender lo siguiente:

Para convertir un Binario a Octal o a Hexadecimal se utiliza el método de

agrupamiento de los dígitos binarios, para el caso de octales se utilizan 3 dígitos

binarios y para el caso de hexadecimales 4 dígitos binarios, en ambos casos tomados

desde el punto o coma decimal hacia la izquierda para la parte entera y del mismo

modo hacia la parte derecha para las fracciones decimales si las hubiere. Luego de

tener listos los grupos de tres y cuatro dígitos respectivamente se procede a calcular el

valor de cada agrupación binaria.




Como ejemplo, convertir el número binario 1100101001000.1011011(2)

A octal:

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0 0

1

4

5

1

0

, 5

5

4

1100101001000.1011011(2) = 14510.554(8)

A Hexadecimal:

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0

1

9

4

8

, B

6

1100101001000.1011011(2) = 1948.B6(16)

Al realizar las agrupaciones se encuentra que para conformar los tríos o los cuartetos

hacen falta dígitos ya sea a la izquierda o a la derecha, para completar estos grupos

se utilizan ceros que en este caso están con color rojo para denotar las posiciones en

las cuales hacía falta llenar los lugares

Para mayor ilustración se referencia la tabla de equivalencia entre los diferentes

sistemas de numeración

DEC BIN OCT HEX

0 000 0 0

1 001 1 1

2 010 2 2

3 011 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F




Es un elemento complementario que ayuda de forma gráfica observar las diferentes

equivalencias entre los sistemas de numeración

Para la conversión inversa es decir de HEX y OCT a BIN, se realiza el método de

desagrupamiento, que consiste en sustituir cada uno de los dígitos ya sean octales o

hexadecimales por sus correspondientes dígitos binarios, de acuerdo a la tabla de

equivalencias presentada

Convertir el número Octal 14510.554 a binario

1

4

5

1

0

, 5

5

4

=

=

=

=

=

=

=

=

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0 0

Convertir el número Hexadecimal 1648.B6 a binario

1

9

4

8

, B

6

= = = = = =

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0

Para terminar, la conversión de Octal Hexadecimal y viceversa se aplica utilizando los

métodos anteriores como pasos intermedios para realizar la conversión.




Para pasar de OCT a HEX se realiza desagrupamiento de OCT a BIN y luego se

agrupan en grupos de 4 dígitos binarios para obtener el número HEX como lo muestra

el siguiente ejercicio:

14510.554(8)se convierte a BIN 1100101001000.1011011(2)

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0 0

Se agrupa en tríos el valor binario agregando los ceros faltantes para completarlos

Luego se reagrupa nuevamente pero utilizando cuartetos de dígitos binarios para

establecer el valor en Hexadecimal

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 0 1 1 0 1 1 0

1948.B6(16)

Y si lo que se es un número OCT partiendo de un HEX se aplica el mismo principio, pero esta vez convirtiendo en BIN el número HEX, que es el paso intermedio para realizar el agrupamiento de en tríos y conseguir el OCT.




Bibliografía

Alcalde, E., & García, M. (1994). Informática básica.

Webgrafía

https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

http://www.escolares.net/matematicas/sistemas-de-numeracion/

http://www.monografias.com/trabajos83/sistemas-de-numeracion/sistemas-de-

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http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html

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https://sites.google.com/site/matematicasdiscretasevz/1-2-conversiones-entre-

sistemas-numericos

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Lógica y Algoritmos Sistemas de numeración