LÓGICAS NO-CLASICAS - webs.ucm.eswebs.ucm.es/info/pslogica/noclasica.pdf · LOGICA TEMPORAL MODAL - La Lógica clásica de Primer Orden no permite expresar que un enunciado es verdadero

Lógica y Computación Lógicas No-Clásicas

Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 77

LÓGICAS NO-CLASICAS



Motivación de las Lógicas No-Clásicas

- La Lógica (Clásica) de Primer Orden sólo es unmodelo adecuado para el razonamiento matemático

- Es necesario ajustar ese modelo a nuestrasintuiciones acerca del razonamiento “natural”

- Objetivos:

- Resolución de las “paradojas de la implicación”- Ampliación de la potencia expresiva del lenguajelógico:

- Razonamiento hipotético- Razonamiento temporal- Razonamiento epistémico- Razonamiento no-monótono

- Superación de la semántica bivalente:

- Razonamiento impreciso- Razonamiento sometido a incertidumbre

- Las lógicas no-clásicas tienen más relevanciapara la modelización cognitiva que la clásica

- La Lógica Clásica se toma siempre como referencia



CLASIFICACIÓN DE LAS LÓGICAS NO-CLÁSICAS

- Extensiones de la Lógica Clásica:

- Lógica Modal- Interpretaciones de la Lógica Modal:

- Lógica Temporal Modal- Lógica Epistémica- Lógica Deóntica

- Alternativas a la Lógica Clásica

- Lógicas Trivalentes- Lógica Intuicionista- Lógicas Multivalentes- Lógicas de la Probabilidad- Lógicas Borrosas.- Lógicas Nomonotónicas

Lógica no-Clásica

• No Bivalentes

• Más RecursosExpresivos

• Lógica Trivalente• Lógicas Polivalentes• Lógicas Probabilísticas• Lógicas Difusas

• Lógica Modal• Lógica Temporal• Lógica Epistémica• Lógica Deóntica• Lógica Nomonotónica



- La Lógica trivalente: contempla tres valores de verdad,lo verdadero, lo falso y lo que no es verdadero ni falso,por desconocido o incierto.

- Las lógicas multivalentes son fundamentalmentelógicas probabilísticas en las que los valores de verdadse corresponden con el intervalo [0,1].

- La lógica modal incorpora como operadores losmodificadores lo necesario y lo posible.

- La Lógica temporal incorpora parámetros temporales.Para muchas oraciones su verdad depende del momentoen que se produce.

- La lógica epistémica es una lógica intensional quepretende formalizar enunciados de creencia, opinión, etc.

- La Lógica Deóntica investiga la obligación y el debermoral.

- La Lógica intuicionista: Parte de presupuestosconstructivistas no admitiendo ninguna entidad de la queno se aporte un método para su construcción. Elprograma intuicionista pretende investigar lasconstrucciones mentales matemáticas como tales y notanto la naturaleza de los objetos construidos.

- La lógica nomonotónica pretende formalizarsituaciones reales en las que decidimos sin una totalinformación y que posteriormente admite, conforme seprueben o refuten creencias, revisar el sistema total decreencia.



LOGICA MODAL

LAS “PARADOJAS DEL CONDICIONAL”

- En la definición “clásica” del condicional hay tesislógicas que no responden en absoluto a nuestraintuición natural acerca del funcionamiento de laconectiva “si..., entonces...”

- Anormalidad de la definición semántica básica delcondicional (implicación “material”):

(A→→→→B)σσσσ = = = = ΤΤΤΤ sii Aσ σ σ σ = ⊥⊥⊥⊥ o Bσσσσ = T.En otro caso, (A→→→→B)σσσσ = ⊥⊥⊥⊥

- Tesis “aberrantes”:

A→→→→(B→→→→A) ¬A→→→→(A→→→→B)(A→→→→B) ∨∨∨∨ (B→→→→A)

...



POSIBLES REMEDIOS

1. Exigir una conexión significativa entre antecedente yconsecuente

- Que el significado del antecedente sea“relevante” para la obtención del consecuente

- Relación - intensional- de “entrañamiento”(entailment)

- Lógica de la relevancia o del entrañamiento(Anderson, Belnap)

2. Redefinición del “si..., entonces...” como unaimplicación “estricta” o “condicional formal”

- Esta nueva definición requiere la introducción denuevos operadores

- En la teoría resultante seguirán siendo válidostodos los teoremas de la Lógica Clásica

- Sistemas:

- Lógica de la implicación estricta (Lewis)- Lógicas Modales



OPERADORES MODALES

- Reformulación de la implicación estricta:- A ⇒⇒⇒⇒B ↔↔↔↔ “No es posible que A y ¬B”- A ⇒⇒⇒⇒ B ↔↔↔↔ “ Es necesario que ¬(A ∧∧∧∧ ¬ B)”

- Operadores modales:- posibilidad: “◊◊◊◊“- necesidad: “□“

- Operadores derivados:- “es imposible que” : ¬ ◊◊◊◊- “es contingente que”: ¬ □

- Formato general de las expresiones modales:Operador modal (modo) + Aserción (dictum)

Equivalencias modales básicas

- Demostrables como teoremas

- □A ↔↔↔↔ ¬ ◊◊◊◊ ¬ A- ◊◊◊◊ A ↔↔↔↔ ¬ □ ¬ A- ¬□ A ↔↔↔↔ ◊◊◊◊ ¬ A- ¬ ◊◊◊◊ A ↔↔↔↔ □ ¬ A

- Se comportarán recíprocamente igual que elparticularizador y el generalizador

El lenguaje modal (LEM)

- Añadimos al lenguaje clásico de enunciados los dosoperadores modales- Estos operadores forman fórmulas igual que eloperador monádico de negación



SEMANTICA PARA LME

- El universo de discurso está formado por un conjuntoM, no vacío, de mundos posibles m1, ..., mn (Leibniz,Kripke)

- Estos mundos mi, mj están unidos entre sí por unarelación de accesibilidad Rmimj, que puede tenerdiversas características formales (reflexividad,transitividad, ...)

- σσσσ: Función de valoración que asigna a cada fórmulauno de los dos valores de verdad T o ⊥⊥⊥⊥ en un mundodeterminado mi (Aσσσσ,mi)

- Se llama marco a la estructura <M,R, σσσσ>

- Definiciones semánticas de los operadores modales:

- (□A)σσσσ = T en mi sii Aσσσσ = T en todo mundo mj

accesible desde mi. En otro caso, Aσσσσ = ⊥⊥⊥⊥.

- (◊◊◊◊A)σσσσ = T en mi sii Aσσσσ = T en al menos un mundomj accesible desde mi . En otro caso, Aσσσσ = ⊥⊥⊥⊥.

- Las definiciones correspondientes para las fórmulasasertivas son iguales que las clásicas, salvo la mencióndel mundo del que se habla



Definiciones adicionales

- A es modalmente satisfacible en un marco dado siexiste al menos un mundo mi de ese marco en el que Aes satisfacible. En otro caso, es modalmenteinsatisfacible.

- A es modalmente válida si A es válida para todos losmundos de un marco modal

Sistemas modales

- Existe una multiplicidad de sistemas modales, que sediferencian entre sí :

- Por el tipo de relación de accesibilidad en su marco modal- Por las fórmulas que son válidas en cada uno de ellos- Por sus propiedades específicas

- Los principales sistemas son:

- K- T (Gödel/Feys, von Wright)- S4 (KT4)- B (Sistema de Brouwer)- S5- ...



LOGICA CUANTIFICACIONAL MODAL

- El uso de los operadores modales en el contextocuantificacional suscita algunos problemas semánticos

- Fórmulas de Barcan:

a) □∀∀∀∀xPx ↔↔↔↔∀∀∀∀x □Px

Parece ser cierto, al menos en la medida en que todoslos mundos accesibles desde el actual contienenexactamente el mismo conjunto de individuos

b) ∃∃∃∃x □Px ↔↔↔↔ □ ∃∃∃∃x Px

Sólo es verdadero si los términos son designadoresrígidos, es decir, si, en cualquier mundo, un objetodado tiene siempre el mismo nombre.



LOGICA TEMPORAL MODAL

- La Lógica clásica de Primer Orden no permiteexpresar que un enunciado es verdadero en unmomento determinado y falso en otro, ni por tantorazonar sobre ello

- Una adecuada interpretación de la Lógica Modal nospermite utilizarla como lenguaje de modelización delrazonamiento acerca del tiempo

- Prior (1956), Rescher y Urquart (1971), McArthur(1976)

- En vez de considerar m0, m1, m2, ...,mn mundosposibles, consideraremos t0, t1, t2, ...,tn instantes detiempo

- Suponemos inicialmente un tiempo discreto

- Sustituímos la relación de accesibilidad Amimj por larelación de sucesión temporal Stitj

- Stitj afirma que a ti le sucede tj. En el razonamientotemporal esta relación también se expresa en términosde su relación inversa: ti precede a tj (Ptjti = S-1titj)



Operadores Temporales Modales

- Bajo esta interpretación, los operadores modales seconvierten en operadores temporales

- Si consideramos la relación de sucesión temporal(razonamiento hacia el futuro):

- □ →→→→ A : A será verdadero a partir de ahora- ◊◊◊◊→→→→ A : A será verdadero en algún instante futuro

- Si consideramos la relación de precedencia temporal(razonamiento hacia el pasado):

- □ ←←←← A: A ha sido verdadero hasta ahora.- ◊◊◊◊←←←←A: A ha sido verdadero en algún instante

pasado.



LOGICA EPISTÉMICA

- Afirmar que “A es verdadero” es distinto que afirmarque “yo sé que A es verdadero”

- Mientras que lo primero es un enunciado, lo segundoes una creencia.

- En general, los enunciados en los que intervienenexpresiones epistémicas tales como:

- “yo sé que ...”- “x sabe que ...”- “a cree que ...”

son enunciados epistémicos, que expresanconocimientos o creencias.

- Las expresiones epistémicas están formadas por:- una constante o variable que refiere al agente queconoce (“yo”, “x”, “a”)- un operador epistémico: “saber”, “creer”

- El comportamiento de cualquier sistema, natural oartificial, está determinado por el conjunto de lascreencias que dicho sistema asume como verdaderas

- acerca de sí mismo- acerca de su entorno

- Cualquier modelización del comportamiento de unsistema debe representar sus creencias

- Una característica fundamental de la manipulacióncognitiva de un conjunto de creencias es lano-monotonicidad



Lógica Epistémica (2)

- Si interpretamos el operador modal de necesidadcomo “se sabe que”, la lógica modal se convierte enuna “lógica epistémica” o lógica de las creencias

- Existen muchas lógicas epistémicas:

- von Wright (1951)- Hintikka (1962)- Moore (1983, 1984)- Konolige (1986)

- Halpern, Moses (1985): “A guide to modal logics ofknowledge and belief”, Procs IJCAI, 480-490.

- Lógica autoepistémica (Moore, Konolige): creenciasde un agente idealmente racional que reflexiona sobresus propias creencias

- Sea S nuestro operador epistémico- Leeremos SA como “yo se que A” o “se sabe que A”- El comportamiento formal de SA es idéntico al de □A

- El operador de posibilidad se traduceepistémicamente por “se cree que” o “es consistentecreer que”, de forma que:

“saber que A” equivale a “no se cree que no A”

- Si deseamos utilizar explícitamente el operadorepistémico de posibilidad, utilizaremos C



Lógica Autoepistémica

- Intuitivamente, en la manipulación de un conjunto decreencias ΓΓΓΓ parece que deberían ser válidas lossiguientes condiciones:

1. Si se sabe que A→→→→B, y también sabe que A,entonces también debería saber que B

S (A →→→→B) →→→→(S A →→→→ S B) (K)

2. Sólo se sabe lo que es verdaderoS A →→→→ A (T)

3. Todo el que sabe algo, sabe que lo sabeS A →→→→ S S A (S4)

4. Todos saben los tres enunciados anteriores.(Consecuencia de la regla de necesariedad).

- S4 es un buen candidato como sistema paramodelizar conjuntos de creencias, y su manipulacióncognitiva



No-monotonicidad de la Lógica Autoepistémica

- Si además se cumple:

5. Si A no pertenece al conjunto de creencias ΓΓΓΓ,entonces ¬S A pertenece a ΓΓΓΓ, entonces diremosque ese conjunto de creencias es un conjunto decreencias estable (Stalnaker, 1980)

- Una extensión estable de un conjunto de creencias esel conjunto de las consecuencias de ese conjunto decreencias.

- Cuando se produce el fenómeno de la no-monotonicidad, se sustituye una extensión estable deun conjunto de creencias por otra.

- Ejemplo:

1. Creencia inicial: todos los pájaros vuelan2. Información inicial: Truz es un pájaro3. Podemos deducir que: Truz vuela4. Información adicional: Truz es un avestruz5. Creencia previa: Ningún avestruz vuela6. Nueva deducción: “Truz vuela” era falso

Observaciones:

- La creencia inicial era inexacta, pero útil en lasmayoría de los casos, los casos “normales”- La primera deducción era una deducción “pordefecto”, en ausencia de informacióncomplementaria



No-Monotonicidad de la Lógica Autoepistémica (2)

- La Lógica Autoepistémica permite la modelización delrazonamiento no-monótono:

- Esquema de razonamiento:

Si no sé que A, entonces sé que no sé que ASi A, entonces sabría que APero no sé que ALuego no A

- Ejemplo:

Sé que el Papa vive todavía.No tengo ninguna prueba reciente de ello.Pero sé que si el Papa hubiese muerto, yo losabría.Pero no sé que (no tengo ninguna información deque) el Papa haya muertoLuego sé que el Papa está vivo

- Formalización:

1. A →→→→ S A2. ¬ S A3. ¬ A (Mtollens, 1,2)

- Si sustituímos ¬ S A por A, eliminamos la posibilidadde derivar ¬ A, manteniendo consistente el conjunto decreencias

- El razonamiento autoepistémico es no-monótonoporque las reglas modales admiten el “supuesto delmundo cerrado”: lo que no está afirmadoexplícitamente en el conjunto de creencias es falso.

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