Libro Mates Arcas 2ccss

MATEMÁTICAS APLICADAS

A LAS

CIENCIAS SOCIALES II

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Matemáticas Aplicadas a las CCSS II 1/12

ÍNDICE 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.2. Sistemas equivalentes 1.3. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss 1.4. Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes indeterminados

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una expresión de la forma: 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = donde 1 2, ... nx x x representan variables, y 1 2, ... ,na a a b son números reales, constituye una ecuación algebraica de primer grado o simplemente una ecuación lineal con n incógnitas.

Las variables 1 2, ... nx x x , se denominan incógnitas; a los números 1 2, ... na a a , se les llama coeficientes; y b recibe el nombre de término independiente. Cuando b = 0, la ecuación se dice que es homogénea.

Así por ejemplo:

1 2 33 5 7 1x x x+ − = constituiría una ecuación lineal con tres incógnitas.

Por otro lado, se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas, y se representaría de la siguiente manera:

donde ija representa el coeficiente de la incógnita ix de la i-ésima ecuación.

Resolver un sistema de ecuaciones es obtener un conjunto de valores para las incógnitas, los cuales satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Ahora bien un sistema que carece de soluciones se dice incompatible, y en caso contrario se dice compatible. En este caso puede suceder que el sistema tenga una única solución o que admita infinitas soluciones, diciéndose entonces que el sistema es compatible determinado, en el primer caso, y compatible indeterminado en el segundo. Esquematizando:

• Sistemas incompatibles: sin solución

• Sistemas compatibles: con solución

o Determinados: con solución única

o Indeterminados: con solución infinita



1.2. SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas 1 2, ... nx x x son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, si toda solución del primero es solución del segundo y recíprocamente. A continuación vamos a ver las transformaciones que se pueden hacer con las ecuaciones de un sistema para obtener otro equivalente:

• Si multiplicamos una ecuación por un número real distinto de cero, entonces obtenemos otro sistema equivalente al dado. Por ejemplo:

3x y 3x yx 5y 3x 15y 30

− −⎧ ⎧⇒⎨ ⎨+ + =⎩ ⎩

2 = 25 2 = 25=10

multiplicando la segunda ecuación por 3.

• Si a una ecuación se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta un sistema equivalente al dado. Por ejemplo:

3x y 3x yx 5y 4x 3y 35

− −⎧ ⎧⇒⎨ ⎨+ + =⎩ ⎩

2 = 25 2 = 25=10

• Si en un sistema una ecuación está expresada en función de otras (mediante combinación lineal), dicha ecuación puede suprimirse y el sistema resultante es equivalente al dado. Por ejemplo:

x yx y

4x 5y 64x 5y 6

5x 7y 9

⎧⎧⎪ + ⇒⎨ ⎨ + =⎩⎪ + =⎩

+ 2 = 3+ 2 = 3

=

1.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS

Este método se basa en las propiedades de los sistemas equivalentes, y también se conoce con el nombre de reducción, de triangulación o de cascada.

La idea es muy simple: se intenta llegar, a partir del sistema de partida, y mediante pasos sucesivos a un sistema equivalente al dado, que recibe el nombre de escalonado, con la condición de que cada ecuación contenga una incógnita menos que la anterior, por lo que tendría la forma:



Se utiliza para sistemas compatibles determinados.

Al finalizar el proceso, podemos llegar a uno de los siguientes casos:

I. 1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = SIST. COMPATIBLE DETERMINADO:

Una sola solución

II. SIST. COMPATIBLE INDETERMINADO: Infinitas soluciones

III

. SIST. INCOMPATIBLE: Sistema sin solución

Ejemplo 1.

Para simplificar, utilizaremos únicamente los coeficientes y los expresaremos de la siguiente forma:

2 3 -7 -1

3 4 -6 5

5 -2 4 -7

a) calculamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita x (es decir la primera columna) y se multiplica por las tres ecuaciones una vez dividida por el coeficiente correspondiente. Resultando:



30 45 -105 -15

30 40 -60 50

30 -12 24 -42

b) se resta la 1ª fila a la 2ª y a la 3ª , quedando un sistema equivalente de la forma:

30 45 -105 -15

5 -45 -65

57 -129 27

El cual simplificado quedaría:

2 3 -7 -1

1 -9 -13

19 -43 9

c) a la 2ª fila multiplicada por 19 se le resta la 3ª , y queda:

2 3 -7 -1

1 -9 -13

128 256

d) dividiendo la última fila por 128 nos queda:

2 3 -7 -1

1 -9 -13

1 2 Por lo que el sistema dado quedaría después de estas transformaciones en el siguiente sistema equivalente:



Por lo que sustituyendo de abajo hacia arriba nos quedaría que:

Ejemplo 2.

Resolver el siguiente sistema compatible determinado:



Ejemplo 3.

Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado:

Ejemplo 4.

Resolver el siguiente sistema incompatible:



Ejemplo 5.

Resolver el siguiente sistema compatible determinado:

Ejemplo 6.

Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado:

1.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS

Son aquellos tipos de sistemas en los que aparece un coeficiente indeterminado, del cual dependerá que el sistema sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.



Ejemplo 7.

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores de k:

Resolviendo el sistema por el método de Gauss, anteriormente visto:

1 1 1 4

2 1 1 5

3 2 2 k

1 1 1 4

0 -1 -1 -3

0 -1 -1 k-12

1 1 1 4

0 -1 -1 -3

0 0 0 k-9

En el caso de que k = 9 , el sistema será compatible indeterminado

En el caso de que k 9≠ , el sistema será incompatible.



EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalonados:

2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales:

3. Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:

4. Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

5. Resuelve por el método de Gauss:



6. Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:

7. Estudia los siguientes sistemas y resuélvelos por el método de Gauss:

8. Estudia y resuelve estos sistemas por el método de Gauss:

9. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:



10. Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

11. Discute y resuelve en función del parámetro:

12. En cierta heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34 € un día. Otro día, por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 € y, un tercer día, te piden 26 € por una horchata y cuatro batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta?

13. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6 384 €. El precio

original era de 12 €, pero también ha vendido copias defectuosas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cuántas copias se le aplicó el 30% de descuento.

14. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de S 2 000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.

15. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros. El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja.

16. Antonio tiene un año más que Juan y Luis uno más que Ángel. Determina la edad de los cuatro sabiendo que la edad de Luis es la suma de la tercera parte más la séptima parte de la edad de Antonio y que la edad de Ángel es la suma de la cuarta parte más la quinta parte de la edad de Juan.

17. Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo BS tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?

II. MATRICES


ÍNDICE 2.1. Definiciones generales y notaciones 2.2. Tipos de matrices 2.3. Operaciones con matrices 2.4. Propiedades de las matrices traspuestas 2.5. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones 2.6. Matriz inversa. Cálculo 2.7. Rango de una matriz. Cálculo 2.8. Aplicaciones de matrices a la discusión de sistemas de ecuaciones

lineales

2.1. DEFINICIONES GENERALES Y NOTACIONES

Definición de matriz: Una matriz A de m filas y n columnas es una serie ordenada de m n× elementos dispuestos en filas y columnas y cuya expresión tiene la siguiente forma:

11 12 1

21 22 2

1 2

....

........ .... .... ....

....

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

donde ija representa el elemento situado en la i fila y en la j columna.

Por tanto cada elemento de una matriz se distingue de otro por su posición, la cual la representan esos dos subíndices.

Dimensión de una matriz es el número total de elementos que tiene la matriz, y se expresa mediante el número de filas por el de columnas, es decir m nM × .

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

2.2. TIPOS DE MATRICES Las matrices se pueden clasificar en función de dos características:

A) Atendiendo a la forma • Matriz fila: es un tipo de matriz de dimensión 1 n× .

Ejemplo:

II. MATRICES


• Matriz columna : es un tipo de matriz de dimensión 1m× .

Ejemplo:

• Matriz cuadrada : es aquel tipo de matriz que tiene igual número de filas que de columnas, es decir de dimensión n n× o m m× . Cuando se habla de matrices cuadradas no se habla de dimensión sino de orden.

Ejemplo:

• Matriz rectangular : aquel tipo de matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, es decir de dimensión m n× .

Ejemplo:

• Matriz traspuesta : dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A y se denota como At , a la obtenida al cambiar filas por columnas. Es decir, si A es de dimensión m n× , entonces la traspuesta será n m× .

Ejemplo:

B) Atendiendo a los elementos • Matriz nula : es aquella en la que todos sus elementos son 0.

II. MATRICES


Ejemplo:

• Matriz opuesta : sea la matriz A, pues se denomina la matriz opuesta de A aquella cuyos elementos son los opuestos de A, es decir cambian de signo pero no de posición.

Ejemplo:

• Matriz diagonal : este tipo de matriz está asociada a una matriz cuadrada, y es aquella en la que salvo los elementos situados en la diagonal principal (es decir empezando por 11a ) todos los elementos son nulos. En el caso de que todos los elementos de la diagonal sean iguales se le llama matriz escalar y en el caso de que sean 1 entonces se le llama matriz unidad.

Ejemplo:

• Matriz triangular : está como en el caso anterior asociada a la matriz cuadrada, y se le denomina aquella en la que todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Sus nombres completos serían triangular superior o triangular inferior en función de lo dicho anteriormente.

Ejemplo:

• Matriz simétrica : Si una matriz A al calcularle la traspuesta no varían sus elementos se dicen que son simétricas.

II. MATRICES


Ejemplo:

• Matriz antisimétrica : si una matriz A al calcularle su traspuesta se obtiene una matriz opuesta de A, entonces se dice que A y At son antisimétricas.

Ejemplo:

2.3. OPERACIONES CON MATRICES

1. Suma y resta de matrices

Esta operación esta definida únicamente entre matrices de la misma dimensión, y se concreta de la siguiente forma:

Sean las matrices:

se llama matriz suma y se representa por A + B a la matriz:

II. MATRICES


se llama matriz resta y se representa por A – B a la matriz:

2. Producto de un número real por una matriz

Esta operación esta definida para matrices de cualquier dimensión. Sea λ un número real cualquiera y sea la matriz:

se llama producto del número λ por la matriz A y se denota Aλ ⋅ a la siguiente matriz:

la división se obtiene sin más que multiplicar la matriz por 1λ

3. Producto de matrices

Esta operación no está definida para todas las matrices, además no cumple la propiedad conmutativa. Para que dos matrices se puedan multiplicar la primera tiene que tener el mismo número de columnas que filas tenga la segunda.

II. MATRICES


Así el producto de una matriz A de dimensión m n× por otra matriz B de dimensión n q× es una matriz de dimensión m q× , tal que cada elemento ( ijc ) se obtiene de multiplicar escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz.

Es decir:

Entonces cada elemento de la matriz A·B vendrá dado por:

Ejemplo 1.

Como hemos dicho al principio el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, pero sin embargo cumple las siguientes:

a) (A·B)·C = A·(B·C)

b) A·(B+C) = A·B+A·C

c) (A+B)·C = A·C+B·C

II. MATRICES


4. Potencia de matrices

Esta operación sólo está definida para matrices cuadradas, ya que si no, no se cumpliría el requisito previo de multiplicación de matrices.

2.4. PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRASPUESTAS

Siempre que las operaciones estén definidas, se verifica que:

) ( ) ) ( ) ) ( · ) · ) ( · ) · ) ( ) ( )

t t

t t t

t t

t t t

n t t n

a A Ab A B A Bc A Ad A B B Ae A A

λ λ

=

+ = +

=

=

=

2.5. EXPRESION MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas:

este sistema se puede expresar mediante el producto de matrices A·X = B, donde

que serían matriz de los coeficientes, matriz de las incógnitas y matriz de los términos independientes respectivamente.

II. MATRICES


2.6. MATRIZ INVERSA. CÁLCULO

Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A posee matriz inversa y se denota como A-1 cuando se cumple:

A· A-1 = A-1 ·A = I donde I representa la matriz unidad.

Para el cálculo de la matriz inversa existe el llamado método de Gauss. Se basa en lo siguiente:

Si una matriz cuadrada A se reduce a la matriz unidad I mediante una sucesión de operaciones entre sus filas, la misma sucesión aplicada a la matriz identidad I dará como resultado la matriz inversa de A.

Ejemplo 2.

Sea la siguiente matriz:

para una mayor comprensión, escribimos en paralelo la matriz A y la matriz I

Los cambios los denotaremos por F que es la fila y el subíndice el número de fila:

II. MATRICES


Por lo tanto:

2.7. RANGO DE UNA MATRIZ. CÁLCULO

El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas que son linealmente independientes, es decir que no se pueden expresar como combinación lineal de las demás.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Por ejemplo, si f1 = 2·f3 - 3·f4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente de f3 y f4.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo: rang(A) o r(A).

El método práctico para calcular el rango de una matriz es el siguiente, se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i = 1, 2, 3, ..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.

• El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.

• En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales (nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él.

II. MATRICES


• Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1).

Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la matriz.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

II. MATRICES


2.8. APLICACIONES DE MATRICES A LA DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Discusión de sistemas por el teorema de Rouché-Frobenius

“La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada (es decir los coeficientes y los términos independientes) sean de igual rango”.

La condición es necesaria, ya que si se supone que el sistema admite solución, entonces la columna formada por los términos independientes es combinación lineal de las restantes, y por consiguiente se puede suprimir para calcular el rango de la matriz ampliada.

La discusión de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede resumir en el siguiente cuadro, donde A es la matriz de los coeficientes y M la matriz ampliada:

( ) ( )

( ) ( )

r A r M sistema incompatibleh n determinado

r A r M h sistema compatibleh n indeterminado

≠⎧⎪ =⎧⎨ = = ⎨⎪ <⎩⎩

2. Discusión de sistemas homogéneos

Se llama sistema de m ecuaciones homogéneas con n incógnitas al sistema que tiene todos sus términos independientes nulos.

Estos sistemas siempre tienen al menos una solución que es la llamada solución trivial que es: 1 2 ... 0nx x x= = = = .

Esto además de evidente implica que el rango de A es igual que el rango de la matriz ampliada, por lo que teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Frobenius, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales homogéneas admita soluciones propias (es decir distinta de la trivial) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas.

II. MATRICES


EJERCICIOS DE MATRICES

1.

2. :

3.

4.

5.

6.

7.

II. MATRICES


8.

9.

10.

11.

12.

III. PROGRAMACIÓN LINEAL


ÍNDICE 3.1. ¿Qué es la Programación Lineal? 3.2. Resolución de problemas

3.1. ¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN LINEAL?

En general podemos decir que es un conjunto de técnicas matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos, bélicos, etc. cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado. Así, resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función sujeta a restricciones, entendiendo por optimizar hallar el máximo o mínimo según los casos. Pero ese punto óptimo está sujeto a limitaciones, ya que las variables que intervienen en la función a optimizar se encuentran relacionadas por medio de desigualdades. Por lo tanto, hay que resolver un sistema de desigualdades y una vez resuelta ver en que punto o puntos del conjunto de soluciones la función a optimizar alcanza su valor máximo o mínimo. Planteado el asunto desde una perspectiva económica parece claro que hemos de hablar de máximos cuando se hable de beneficios y mínimos cuando se hable de costes De todos modos en infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. se presentan situaciones es las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

3.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para hacernos una idea más clara de estos supuestos veamos un ejemplo: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100 kg. de almendra y 85 kg. de fruta. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A de calidad extra que contiene 3 kg. de chocolate, 1 kg. de almendra y 1 kg. de frutas y la caja de tipo B de calidad suprema que tiene 2 kg. de chocolate, 1'5 kg. de almendras y 1 kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A son de 1.300 pts y las de tipo B 1.350 pts. ¿ Cuántas cajas de cada tipo debe de fabricar para maximizar la venta ? En primer lugar simplificaremos el problema mediante la construcción de la siguiente tabla:



Caja tipo A Caja tipo B Disponibles

Chocolate

3 kg.

2 kg.

500 kg.

Almendras

1 kg.

1'5 kg.

100 kg.

Frutas

1 kg.

1 kg.

85 kg.

Precio

1.300 pts

1.350 pts

Ahora designaremos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita Designaremos por x el número de cajas de tipo A y por y el número da cajas de tipo B que se han de fabricar. Sea V la función de ventas a maximizar

V = 1.300x + 1.350y

Las restricciones al problema viene dadas por las siguientes inecuaciones

3x + 2y ≤ 500 ( chocolate ) x + 1'5y ≤ 100 ( almendra )

x + y ≤ 85 ( frutas )

Por otra parte x e y han de ser no negativas, luego

x ≥ 0 y ≥ 0

Existe una terminología peculiar para la programación lineal. Recordemos que un problema de programación lineal con dos variables implica la existencia de una función a optimizar, en nuestro caso la función V. Esta función es la llamada función objetivo que es de la forma F = ax + by, donde a, b son números reales y donde x e y son las variables. Asimismo, hay un conjunto de restricciones asociado al problema que es el sistema de desigualdades que se deriva del enunciado del problema. Al resolver ese sistema de inecuaciones, en el supuesto de que tenga solución, obtenemos una región del plano. Ésta, acotada o no es la región factible. En consecuencia, para resolver un problema de programación lineal con dos variables hay que hacerlo del siguiente modo:

1. Formular la función objetivo. 2. Formular el conjunto de restricciones. 3. Resolver el conjunto de inecuaciones para obtener la región factible.



4. "Barrer" la región factible con las líneas de nivel de la función objetivo que tengan puntos en ella.

5. De todas ellas buscar la que corresponde al valor óptimo de la función objetivo.

En un problema de programación lineal con dos variables si la región factible existe y es acotada el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en uno de los vértices del polígono que limita la región o a lo largo de uno de sus lados. Si la región factible no es acotada, la función objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región. Así en nuestro ejemplo anterior teníamos

Función objetivo: V = 1.300x + 1.350y Restricciones: 3x + 2y ≤ 500 x + 1'5y ≤ 100

x + y ≤ 85 x ≥ 0 y ≥ 0

Se puede ver que cada una de las restricciones genera una región del plano:



La superposición de las cinco regiones dará lugar a la región factible de nuestro problema. Dicha región factible será:

Se puede observar que la función objetivo de ventas V = 1.300x + 1.350y alcanza un máximo en un punto de la región factible puesto que ésta es acotada. Además dicho máximo se alcanzaría en uno de los vértices de dicha región, veámoslo:

V ( A ) = 1.300 x 0 + 1350 x 0 = 0 V ( B ) = 1.300 x 85 +1.350 x 0 = 110.500

V ( C ) = 1.300 x 55 + 1.350 x 30 = 112.000 V ( D ) = 1.300 x 0 + 1.350 x 100/1'5 = 90.000

Por lo tanto la función ventas alcanza el máximo y por lo tanto el valor óptimo en el punto ( 55, 30 ). Luego el fabricante debe de producir 55 cajas de tipo A y 30 de tipo B. Luego el calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible, si esta es acotada, nos dará el punto óptimo. Si la región factible no es acotada habrá que ver, en primer lugar si el óptimo corresponde a la zona donde hay vértices. En este supuesto se procede como si la región fuese acotada. En el caso contrario el problema carece de solución concreta.















EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 € y a no fumadores

al precio de 60 €. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3 000 kg, ¿cuál debería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio?

2. Una persona quiere invertir 100 000 € en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo 60 000 € en la compra de acciones A y, por lo menos, 20 000 € en la compra de acciones B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100 000 € para que el beneficio anual sea máximo?

3. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le ofrecen dos tipos

de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a 0,8 € el kg. Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A a 0,58 € y el de tipo B a 0,9 €. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo?

4. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje de caballero

requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio.

5. Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 mg de la C y 2 mg de la D. Para ello, se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kilo es, para ambos, de 0,3 € y cuyo contenido vitamínico en miligramos por kilo es el siguiente:

¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo?

6. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes, A, B y C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras que para hacer una tarta T2 necesita 5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C. a) Si se venden las tartas T1 a 10 €, y las tartas T2 a 23 €, ¿qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b) Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 15 €, ¿cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

IV. LÍMITES Y CONTINUIDAD


ÍNDICE 4.1. Límite de una función en un punto

4.1.1. Idea intuitiva de límite de una función en un punto 4.1.2. Límites laterales 4.1.3. Relación entre el límite y los límites laterales de una función 4.1.4. Propiedades de los límites de funciones

4.2. Cálculo de límites de funciones 4.3. Definición de continuidad

4.3.1. Continuidad de funciones elementales 4.3.2. Tipos de continuidad

4.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 4.1.1 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a L si a medida que x se acerca a x0, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe:

0x xlim f (x) L→

=

Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y:

x → 2- 1'8 1'9 1'99 1'999 y → 3'24 3'61 3'9601 3'996001

x →2+ 2'2 2'1 2'01 2'001 y → 4'84 4'41 4'0401 4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2, tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4. Esta idea se suele expresar así:

4xlim 2

2x=

−→ (límite lateral por la izquierda)

4xlim 2

2x=

+→ (límite lateral por la derecha)

4.1.2 LIMITES LATERALES

Decimos que el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a x0 es L, si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a x0, pero mayores que x0, entonces f(x) se aproxima a L. Simbólicamente

0x xlim f (x) L

+→=



Decimos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a x0 es M, si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a x0, pero menores que x0, entonces f(x) se aproxima a M. Simbólicamente

0x xlim f (x) M

−→=

4.1.3 RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LIMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN El límite de una función f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites laterales y coinciden.

0 0 0x x x x x xlim f (x) L lim f (x) lim f (x) L

− +→ → →= ⇔ = =

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto.

Ejemplo 1.

Considere una función definida "por partes" como sigue:

El significado de esto es el siguiente: si queremos calcular la imagen de algún número menor que 1 usamos la primera fórmula. Por ejemplo,

f(0,5) = 4+0,5 = 4,5

f(0) = 4+0 = 4

f(-3) = 4 + (-3) = 1

Mientras que si queremos determinar la imagen de 1 o de valores mayores que 1 entonces usamos la segunda fórmula; así, por ejemplo:

f(1) = 12 + 1 = 2

f(1,5) = (1,5)2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25

f(2) = 22 + 1 = 5



Queremos ver qué pasa cerca de 1.

Si tomamos valores de x por la izquierda de 1 usamos para las imágenes la forma x + 4 y, entonces, el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a 1 es:

x 1 x 1lim f (x) lim(x 4) 5

− −→ →= + =

Mientras tanto, si tomamos valores de x por la derecha de 1 usamos la forma x2 + 1. Por lo tanto

2

x 1 x 1lim f (x) lim(x 1) 2

+ +→ →= + =

Observa en este ejemplo anterior que el límite de f(x) cuando x 1→ no existe En funciones definidas "por partes", como la anterior, si se quiere verificar la existencia del límite en el punto o puntos donde se parte, deben calcularse separadamente los dos límites laterales y corroborarse si son iguales o no.

Ejemplo 2.

Considere la función:

Determinar si existe el

x 2lim f (x)→

.

Solución: Tenemos 2

x 2 x 2lim f (x) lim (4x 2) 10

+ +→ →= + =

x 2 x 2lim f (x) lim (3x 2) 4

− −→ →= − =

Concluimos que x 1lim f (x)

+→ no existe.



Ejemplo 3.

Dada la función:

Determinar si existe el

x 2lim g(x)→−

.

Solución: Tenemos

x 2 x 2

2lim g(x) lim(x 3) 7+ +→− →−

= + =

x 2 x 2lim g(x) lim( x 5) 7

− −→− →−= − + =

Concluimos que

→−=

x 2lim g( x ) 7

4.1.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. El límite de una función en un punto si existe, es único y es igual a los límites

laterales. 2. lim [f(x)+g(x)] = lim f(x) + lim g(x): El límite de una suma de funciones es igual a

la sum de los límites de las funciones (cuando éstos existen) 3. lim [f(x)-g(x)] = lim f(x) - lim g(x): El límite de una resta de funciones es igual a la

resta de los límites de las funciones (cuando éstos existen) 4. lim [f(x)·g(x)] = lim f(x) · lim g(x): El límite de un producto de funciones es el

producto de los límites de esas funciones (cuando éstos existen) 5. lim k·f(x) = k · lim f(x) donde k es un nº real: El límite del producto de una

constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función (cuando éste existe)

6. limf(x)/g(x) = lim f (x)/ lim g(x) siempre que lim g(x) ≠ 0: El límite de un cociente

de funciones es el cociente de los límites de esas funciones (cuando éstos existen y el límite en el denominador es diferente de 0)



4.2. CÁLCULO DE LÍMITES Al aplicar las propiedades de los límites podemos encontrar una de las siguientes indeterminaciones : 0/0 , ∞ /∞ , ∞ -∞ , 0·∞ , 00

, ∞ 0 , ∞1 . Vamos a ver los siguientes casos:

1. 0xx

lim→

P(x) = P(x0) es decir en los polinómios se sustituye el punto.

2.

0xxlim→

P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0) si Q(x0) ≠ 0

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Cuando Q(x0) = 0 se puede distinguir dos casos: Que P(x0) ≠ 0. Tendremos que calcular los límites laterales, si existen y son

iguales la función tendrá límite que será ∞−∞+ ó . En caso contrario no existirá límite.

Que P(x0) = 0 por lo que tendremos una indeterminación del tipo 0/0 que se

resuelve factorizando numerador y denominador y simplificando la función racional. En el caso de que haya raíces debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado.



Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

Ejemplo 9.



Ejemplo 10.

Ejemplo 11.

Ejemplo 12.



3. xlim→∞

P(x)/Q(x) = ∞ /∞ (indeterminación del tipo ∞ /∞ ) entonces se divide por la máxima potencia , tanto si las expresiones son racionales como si son radicales.

En el caso más simple que es el de las funciones racionales podemos obtener los siguientes casos: grado P(x)>gradoQ(x) lim = +/-∞

grado P(x)=gradoQ(x) lim = an/bn

grado P(x)<gradoQ(x) lim = 0

4. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo ∞ -

∞ para eliminarla tendremos que distinguir dos casos:

Si f es la diferencia de dos funciones racionales se efectúa dicha operación para conseguir estar en uno de los dos casos anteriores.

Si f es la diferencia de dos funciones con raíces cuadradas multiplicaremos y

dividiremos por el conjugado.

4.3. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Se dice que una función es continua en un punto x0 si:

a) Existe f(x0) b) Existe

0→x xlim f ( x )

c) Son iguales Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.

4.3.1. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES Función constante La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.

Función identidad La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.



Función potencial La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x = 0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.

Función polinómica La función 2

0 1 2( ) ...= + + + + nnf x a a x a x a x es una función continua en todos los puntos

puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

Función racional

La función ( )( )( )

=P xf xQ x

, donce P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es continua en

todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.

Ejemplo 13. Continuidad de una función racional

Determinar en qué conjunto es continua la siguiente función:

Solución: El dominio de esta función es R-{3} y la función es continua en todo su dominio.

Ejemplo 14. Continuidad de una función con una raíz en el denominador

Determinar dónde es continua la función:

Solución: Esta es una función continua en todo su dominio, es decir en (-1,1).



Ejemplo 15. Continuidad de una función definida por partes

Determinar dónde es continua la función:

Solución: Aquí tenemos una función definida por partes. Dentro de cada parte la función es continua, pero podría haber problemas con los límites en los puntos de división 0 y 2. Tenemos

y además

h(0)=02+1=1, por lo tanto la función es continua en 0. Por otro lado,

Esto dice que

no existe y por lo tanto h no es continua en 2. Resumiendo la información decimos que h es continua en R-{2}.

Ejemplo 16. Buscar la continuidad si hay un parámetro

Encontrar un valor de d para el cual la siguiente función sea continua en todo R.

Solución: Dentro de cada parte la función es continua. Para que además sea continua en 2, debemos tener que

Es decir,

4d-3 = 2d+2



Resolviendo esta ecuación resulta 4d-2d = 2+3

2d = 5 d = 5/2

Entonces si d = 5/2 se tiene que f es continua en todo R.

4.3.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD a) Discontinuidad evitable : Existe

0

lim ( )→x x

f x pero:

No existe f(x0) Existe f(x0) pero f(x0) ≠

0

lim ( )→x x

f x

b) Discontinuidad inevitable : No existe

0

lim ( )→x x

f x :

los límites laterales existen pero no son iguales : (1ª especie)

o salto finito

o salto infinito

alguno de los límites laterales no existe (2ª especie)



EJERCICIOS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

1.

2.

:

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

V. DERIVADAS


ÍNDICE 5.1. Introducción 5.2. Tasa de variación media de una función 5.3. Concepto de derivada de una función en un punto 5.4. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto 5.5. La función derivada 5.6. Continuidad y derivabilidad 5.7. Cálculo de derivadas 5.8. Recta tangente a una curva en uno de sus puntos 5.9. Aplicación de la derivada el estudio cualitativo de una función 5.10. Representación gráfica de una función 5.11. Optimización de funciones

5.1. INTRODUCCIÓN El concepto de derivada es la piedra angular del cálculo diferencial, el cual es una poderosa herramienta de cálculo para cualquier rama de la ciencia.

Siempre que halla que cuantificar la variación relativa de una magnitud (ya sea física, económica, demográfica, química, etc.) ligada funcionalmente con otra, llegaremos al concepto de derivada.

Ejemplos: Velocidad de un móvil, Tasa de variación de una población, aceleración, cambios de volúmenes, etc. Resumiendo, diremos que el concepto de derivada mide el ritmo de cambio de una magnitud.

5.2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UN FUNCIÓN

Dada una función y = f(x), que está definida y es continua en un intervalo ( 0 1,x x ), llamamos tasa de variación media de la función en ese intervalo al cociente:

1 0

1 0

( ) ( )−−

f x f xx x

Es decir la tasa de variación media de una función es: el cociente entre la variación de la función en dos puntos y la variación de la variable en ese intervalo.

Otra forma más genérica de expresar la tasa de variación media es:

V. DERIVADAS


ya que:

5.3. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una vez conocido el concepto de tasa de variación media de una función en un intervalo de amplitud h, conviene pensar, ¿qué ocurriría si esa amplitud h la hiciésemos tan pequeña como quisiéramos?

La respuesta a esta pregunta es el concepto de derivada de la función en un punto.

Matemáticamente, la respuesta se expresaría así:

A esta expresión se le conoce como derivada de la función f(x) en el punto x0. Otra forma de expresar la definición sería:

Pues bien, si este límite existe, se dice que la función es derivable en x = x0. La forma de expresar la derivada adquiere varios modelos como son:

¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto? Se hace de la siguiente forma, (comúnmente se le denomina la regla de los cinco pasos):

• Se halla el valor de f(x0)

• Se halla el valor de f(x0 + ∆x) donde ∆x es un incremento genérico.

• Se restan ambos valores, es decir se calcula ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0).

• Se divide por ∆x.

• Se calcula el límite cuando ∆x tiende a 0.

Ejemplo 1.

Vamos a calcular la derivada en el punto x0 = 2 de la función:

• Se halla el valor de f(x0) = f(2) = 4

V. DERIVADAS


• Se halla el valor de f(x0 + ∆x) = f(2 + ∆x) = 4 + (∆x)2 + 4∆x.

• Se calcula ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0) = 4 + (∆x)2 + 4∆x - 4 = (∆x)2 + 4∆x.

• Se divide por ∆x. Es decir:

• Se calcula el límite cuando ∆x tiende a 0, es decir:

Por tanto:

f´(2) = 4 Nota: la derivada de una función en un punto es la tasa de variación instantánea de dicha función en un punto.

5.4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Al introducir la definición de la tasa de variación media hemos visto que era:

Este valor numérico es el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos a y b de la función f(x).

Ahora bien, si hacemos tender el punto b hacia a, veremos que la recta que en principio cortaba a 2 puntos de la función, llegará un momento que sólo cortará a la función en un punto en: a = x0, con lo que la recta que era secante se convertirá en tangente,

V. DERIVADAS


convirtiéndose en la pendiente de esta recta tangente:

Por tanto: “La derivada de una función en un punto, mide la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto”.

5.5. LA FUNCIÓN DERIVADA La derivada de una función en un punto es única, por lo que si a una función f(x) se le calcula la derivada en cada uno de sus puntos, se obtiene una nueva función, llamada función derivada f´(x).

Por tanto si en el concepto de derivada en un punto x0, prescindimos de dicho punto concreto y generalizamos a x, será:

El proceso para obtener la función derivada es igual que para un punto, es decir la regla de los cinco pasos.

Ejemplo 2.

Se halla el valor de f(x) = x2

Se halla el valor de f(x + ∆x) = x2 + 2x∆x + (∆x)2 .

Se calcula ∆y = f(x + ∆x) - f(x) = x2 + 2x∆x + (∆x)2 – x2 = 2x∆x + (∆x)2 .

Se divide por ∆x. Es decir:

V. DERIVADAS


Se calcula el límite cuando Dx tiende a 0, es decir:

Por tanto: f´(x) = 2x

5.6. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Existe una relación muy estrecha entre continuidad de una función en un punto y derivabilidad en dicho punto, expresada en el siguiente teorema:

“Una función que sea derivable en un punto es continúa en dicho punto”.

En efecto, para que una función sea derivable en el punto x0, ha de existir el límite:

Ahora bien, para la existencia de dicho límite, los límites laterales han de existir y ser iguales, es decir:

y por tanto, garantiza la continuidad de la función en el punto x0.

El caso contrario no siempre es cierto, ya que la continuidad de una función en un punto, no garantiza la derivabilidad de la función en dicho punto.

Ejemplo 3.

Así, f(x) es continúa en x0 = -1, pero f´( x0 ) = f´(-1) no es único ya que:

V. DERIVADAS


5.7. CÁLCULO DE DERIVADAS 1. Derivada de la función potencial

Comenzamos por el caso particular de:

siendo n un número real.

Por tanto:

2 Derivada de una suma o diferencia de funciones

Sea i(x) = (f +g)(x), entonces:

La resta es igual, es decir:

3 Derivada del producto de dos funciones

Sea i(x) = (f · g)(x), entonces:

“La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar”.

4 Derivada del cociente de dos funciones

“La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, partido por el denominador al cuadrado”.

5 Derivada de un número real por una función

Para saber cual es la derivada del producto de una función por un número real, primero vamos a ver cual es la derivada de una constante:

V. DERIVADAS


6 Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena)

Sea la función:

Entonces:

7 Derivada de la función logarítmica

Sea la función:

En el caso de que la función sea una función compuesta, es decir:

f(x) = log u, donde u sea una función cualquiera entonces:

En el caso particular de que f(x) = ln u, entonces:

8 Derivada de una función exponencial

Sea la función:

( ) ( ) ln′= ⇒ =x xf x a f x a a

En el caso particular en que:

( ) ( )′= ⇒ =x xf x e f x e

Cuando la función sea compuesta:

( ) ( ) ln′ ′= ⇒ =u uf x a f x a u a

V. DERIVADAS


9 Derivada de las funciones trigonométricas

9.1 Derivada de la función seno

Sea la función:

Por tanto:

f´(x) = cos x

Si la función es compuesta, es decir f(x) = sin u (donde u es una función cualquiera), entonces f´(x) = u´· cos u

9.2 Dderivada de la función coseno

Sea f(x) = cos x,

f´(x) = -sin x

Si la función es compuesta, es decir f(x) = cos u (donde u es una función cualquiera), entonces f´(x) = -u´· sin u

9.3 Derivada de la función tangente Sea la función f(x) = tan x, esto es lo mismo que decir:

Entonces:

Si la función es compuesta, es decir f(x) = tan u (donde u es una función cualquiera), entonces

9.4 Derivada de la función arcoseno

Sea la función f(x) = arcsin x, o lo que es lo mismo y = arcsin x La función inversa sería: siny =x, si derivamos esta expresión obtendremos:

V. DERIVADAS


Por tanto:

Si la función es compuesta, es decir f(x) = arcsin u (donde u es una función cualquiera), entonces

9.5 Derivada de la función arcocoseno

Sea la función f(x) = arccos x, o lo que es lo mismo y = arccos x

La función inversa sería: cosy = x, si derivamos esta expresión obtendremos:

Por tanto:

Si la función es compuesta, es decir f(x) = arccos u (donde u es una función cualquiera), entonces

9.6 Derivada de la función arcotangente

Sea la función f(x) = arctan x, o lo que es lo mismo y = arctan x

La función inversa sería: tany = x, si derivamos esta expresión obtendremos:

Por tanto:

V. DERIVADAS


Si la función es compuesta, es decir f(x) = arctan u (donde u es una función cualquiera), entonces

5.8. RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS La obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la aplicación más inmediata de las derivadas, pues, como sabemos, f´(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abscisa x0. Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x0 es:

0 0 0( ) ( )( )′= + −y f x f x x x

Ejemplo 4.

Hallar la ecuación de la recta tangente, en x0 = 3, a:

2 23

−=

+x xy

x

Cálculo de la ordenada: 2

03 2 3 1( ) (3)

3 3 2−

= = =+if x f

La curva pasa por (3, 1/2)

Pendiente: 2

2

(2 2)( 3) ( 2 )( )( 3)

− + − −′ =+

x x x xf xx

; 2

(4)(6) (3) 7(3)(6) 12

−′ = =f

Luego la ecuación de la recta tangente en ese punto es:

1 7 ( 3)2 12

= + −y x

5.9. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL ESTUDIO CUALITATIVO DE UNA FUNCIÓN

Teniendo en cuenta que la derivada implica el concepto de “medida del cambio de ritmo de dos variables relacionadas por una función”, su aplicabilidad al estudio de las funciones es clara.

V. DERIVADAS


a) Crecimiento y decrecimiento Una función se sabe que es creciente en un intervalo, cuando para dos puntos cualesquiera de éste, por ejemplo x y x + h, se verifica que:

Esta definición también se puede expresar en función de la tasa de variación media de esta forma:

Del mismo modo, se sabe que una función es decreciente en un intervalo, cuando para dos puntos cualesquiera de éste, por ejemplo x y x + h, se verifica que:

Esta definición también se puede expresar en función de la tasa de variación media de esta forma:

La mayoría de las funciones, no son ni crecientes ni decrecientes en todo su dominio, sino que son monótonas en intervalos. Pues bien, teniendo en cuenta las definiciones anteriores y sabiendo que:

Entonces se puede afirmar que:

Si f´(x)>0 en un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo

Si f´(x)<0 en un intervalo, entonces la función es decreciente en ese intervalo.

b) Máximos y mínimos

El máximo es el punto donde una función pasa de creciente a decreciente, mientras que un mínimo es aquel punto donde la función pasa de decreciente a creciente.

De forma más exacta, la función f tiene un máximo relativo (un mínimo relativo) en el punto x = a si existe un entorno de a tal que para todo del entorno se verifica que:

; .

Si una función tiene máximos y mínimos y es derivable, entonces su derivada ha de ser nula en esos puntos, como se deduce por los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Este podría ser considerado un primer criterio para la obtención de los máximos y mínimos de una función.

Un segundo criterio, llamado el de la segunda derivada dice así:

V. DERIVADAS


Suponiendo que existe derivada segunda en un entorno de x = a:

Si f´´(a) > 0 entonces la función alcanza un mínimo relativo en x = a

Si f´´(a) < 0 entonces la función alcanza un máximo relativo en x = a

c) Concavidad y convexidad

La convexidad o la concavidad de una función se define atendiendo a la región superior o inferior que determina la gráfica.

Al igual que el crecimiento y el decrecimiento, la concavidad y convexidad de una función se estudia en intervalos, por tanto se dice que:

Una función es convexa en un intervalo [a,b], si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada uno de los puntos de dicho intervalo. Análogamente: Una función es cóncava en un intervalo [a,b], si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos de dicho intervalo.

El criterio utilizado comúnmente para la determinación de estos intervalos es el siguiente:

Sea f una función definida en un intervalo I, se tiene que cuando:

, donde , la función es convexa

, donde , la función es cóncava

d) Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión son aquellos puntos pertenecientes a la función donde ésta pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Los posibles puntos de inflexión de una función son aquellos que anulan la derivada segunda, es decir: f´´(a) = 0 . La demostración es directa teniendo en cuenta los criterios para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función.

5.10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Para representar la gráfica de una función seguiremos de forma general, los siguientes puntos.

Como ejemplo para la mayor comprensión utilizaremos la función

V. DERIVADAS


a) Cálculo del dominio de definición de la función

El dominio de definición son todos los valores reales que puede tomar la variable independiente x, que hagan real la variable y.

En el ejemplo :

b) Puntos de corte con los ejes de coordenadas

Los puntos de corte con el eje de abscisas (x) se calculan haciendo 0 la ordenada.

Los puntos de corte con el eje de ordenadas (y) se calculan haciendo 0 la abscisa.

En el ejemplo :

Puntos de corte con el eje x:

esta ecuación no tiene solución real, por lo que la función no tiene puntos de corte con el eje x.

Puntos de corte con el eje y:

esta expresión no es un número real, por tanto tampoco tiene puntos de corte con el eje y.

c) Regiones de existencia de la función

Son las regiones donde la función es positiva o negativa. El número de regiones dependerá del número de puntos de no existencia y de los puntos de corte con el eje x.

En cada región:

Si f(x)>0 la región será positiva (y por tanto no existe gráfica en la parte negativa)

Si f(x)<0 la región será negativa (y por tanto no existe gráfica en la parte positiva)

En el ejemplo:

Región negativa

Región positiva

V. DERIVADAS


d) Simetrías

Una función será par (simétrica respecto al eje y) si se cumple que: y será impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) si cumple:

En el ejemplo:

por tanto no es par

por tanto tampoco es impar

e) Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales se aproximan algunas funciones cuando x tiende hacia un valor a, hacia , o hacia . Podemos distinguir tres tipos:

• Asíntotas verticales:

Son del tipo x = a y existen cuando existe alguno de los límites:

o .

Como ayuda, las asíntotas verticales, en las funciones que no son a trozos, coinciden con los puntos de discontinuidad.

En el ejemplo:

por tanto x = 0

• Asíntotas horizontales:

Son del tipo y = b y existen cuando existe alguno de los límites:

En el ejemplo:

por tanto no hay asíntotas horizontales

V. DERIVADAS


• Asíntotas oblicuas:

La recta y = mx + n es una asíntota oblicua si existe alguno de estos límites:

y

En el ejemplo:

por tanto la asíntota oblicua es:

f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para buscar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se buscan los valores que hacer cero la primera derivada, ya que dichos valores marcan los extremos de los intervalos, y dentro de cada intervalo se comprueba que:

Creciente

Decreciente

En el ejemplo:

por lo que:

; creciente

; decreciente

; decreciente

; decreciente

V. DERIVADAS


g) Máximos y mínimos

Siguiendo los criterios vistos en el epígrafe 8 del tema, habrá un máximo o mínimo relativo donde la función cambie de creciente a decreciente o de decreciente a creciente, siempre que este punto exista en la función.

En el ejemplo:

Habrá un máximo relativo en: y el punto será una vez sustituido en f(x):

Y un mínimo relativo en y el punto una vez sustituido en f(x):

h) Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Siguiendo el criterio de la segunda derivada visto en el epígrafe 8 del tema, tenemos que:

, la función es convexa

, la función es cóncava

En el ejemplo:

No hay puntos de inflexión, pero dado que existe un punto de discontinuidad en la función hay dos intervalos, en los cuales hay que comprobar la concavidad y convexidad de la función:

; la función es cóncava

; la función es convexa

i) Representación

Teniendo en cuenta todos los puntos anteriores se traza la curva de la función, marcando previamente todas las características que han surgido.

En el ejemplo:

V. DERIVADAS


5.11. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, geométricos, económicos, biológicos…, en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área…).

La dificultad de estos problemas, normalmente, no estriba en optimizar una función conocida, sino en encontrar la expresión analítica de la función que hemos de optimizar.

Vamos a ver unos ejemplos:

Ejemplo 5.

Se desea construir una piscina de fondo cuadrado, con 32 m3 de capacidad, de manera que la superficie total (de las paredes más el fondo) sea mínima. ¿Qué dimensiones debe tener la piscina? Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura. El volumen es:

232 32m 32

xyyxV =→==

La superficie total (paredes más fondo) es:

( ) ( )0 ,1283244 22

22 >=+=⋅+=+= xxfx

xx

xxxyxS

V. DERIVADAS


Buscamos x > 0 para que la superficie sea mínima:

( ) 2

1282'x

xxf −=

( ) →=→=−→=−

=−→= 64012820128212820' 332

3

2 xxx

xx

xxf

244643 =→=→==→ yxx

Veamos que corresponde al mínimo:

( ) ( ) mínimo. unhay 4 En04'';2562'' 3 =→>+= xfx

xf

Por tanto, la piscina debe tener 4 m de lado de la base y 2 m de altura

Ejemplo 6. La cantidad de agua recogida en un determinado año (en millones de litros) en cierto pantano, como función del instante de tiempo (en meses), viene dada a través de la expresión:

( ) 120

1610

2 ≤≤+−

= tt

tf ,)(

a) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? b) ¿Cuál fue esa cantidad máxima? Solución:

( ) 2222 ]1)6[()6(20

]1)6[()6(2·10a)

+−−−

=+−−−

=t

tt

ttf'

f '(t) = 0 → t - 6 = 0 → t = 6

Signo de f '(t):

Como f '(t) > 0 para t ∈ (0, 6) y f '(t) < 0 para t ∈ (6, 12), en t = 6 hay un máximo.

f (0) = 0,27 ; f (6) = 10 ; f (12) = 0,27 Por tanto, la máxima cantidad de agua se obtuvo en el 6º mes, es decir, en junio.

b) f (6) = 10 → 10 millones de litros

V. DERIVADAS


EJERCICIOS DE DERIVADAS

1.

2.

3.

4.

5.

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7.

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V. DERIVADAS


9.

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V. DERIVADAS


18.

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21.

22.

23.

V. DERIVADAS


REPRESENTAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES

1. = − +3y x 3x 1

2. = −3 2y x x

3. =+1y

x 1

V. DERIVADAS


4. =− 21y

4 x

5. +=

2x 1yx

6. =−2

1yx 1

V. DERIVADAS


7. =−2

xyx 1

8. =+ 2xy

1 x

9. 4

33x 1y

x+

=

V. DERIVADAS


10. 2

2x 1yx 1

−=

+

11. 2

2x 1yx 1

+=

−

12. x 3yx 5−

=+

VI. INTEGRALES


ÍNDICE 6.1. Introducción histórica del cálculo integral 6.2. Concepto de primitiva de una función. Integral indefinida 6.3. Propiedades lineales de la integración 6.4. Integrales inmediatas 6.5. Métodos de integración 6.6. Concepto de integral definida 6.7. Propiedades de la integral definida 6.8. Regla de Barrow 6.9. Aplicaciones del cálculo integral: cálculo de áreas

6.1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DEL CÁLCULO INTEGRAL

La historia del cálculo integral está íntimamente entrelazada con la historia del cálculo diferencial, hasta el punto de fundirse en una disciplina que conocemos con el nombre de análisis infinitesimal.

El cálculo integral surgió como resultado del estudio de los problemas de deducción de áreas y volúmenes, así como cuestiones relativas a la rectificación de curvas.

Los griegos, entre ellos cabe destacar a Arquímedes, consiguieron resultados interesantes en algunos casos concretos, como por ejemplo el obtener el valor del área encerrada bajo un segmento parabólico, pero siempre utilizando métodos demasiado geométricos.

Pero no fue hasta el siglo XVII, cuando la disciplina del análisis integral adquirió el método que hoy se utiliza. Fue gracias, como no, a Isaac Newton por un lado y a Leibniz por otro, con la aportación de otros grandes matemáticos, como Barrow o Fermat. Ellos fueron los que suministraron un método directo, deducido principalmente del cálculo diferencial, para encontrar áreas limitadas por curvas muy diversas, y en definitiva todo tipo de sumas infinitesimales.

6.2. CONCEPTO DE PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA

Atendiendo al concepto de derivada de una función, se puede obtener la función derivada, si existe, de una función. Ahora bien, nos podemos preguntar: dada una función f(x), ¿puede existir otra función, que llamamos F(x), tal que F´(x) = f(x)? En el caso de que esa función exista, se le denomina primitiva de f(x).

Por tanto: F(x) es primitiva de f(x) si y solo si F´(x) = f(x).

Así pues, el proceso de obtener una primitiva a partir de una función f(x), se llama integración, y si esta función F(x) existe, se dice que f(x) es integrable.

VI. INTEGRALES


De modo que, la integración se puede considerar como el proceso inverso de la derivación.

Conviene señalar que existen funciones cuyas primitivas no son expresables por medio de funciones elementales. En este sentido se dice que no son integrables, aunque esto no quiere decir que no posean primitivas.

Una característica importante es que la primitiva de una función no es única, es decir que una función puede tener varias primitivas.

Así por ejemplo:

21( ) 1F x x= + 2

2 ( ) 2F x x= + 23 ( ) 3F x x= + ..............

tienen todas como función derivada: ( ) 2nF x x′ = ,

por tanto una primitiva de ( ) 2f x x= podría ser: 2( ) 5F x x= + y en general: 2( )F x x C= + .

Puesto que no existe “la” primitiva de f(x), sino “las” primitivas de f(x), entonces habrá que hablar del conjunto de primitivas de una función f(x). A este conjunto se le llama integral indefinida.

Se representa por:

( )f x dx∫ , siendo dx la diferencial de x. Por tanto, ( ) ( )f x dx F x C= +∫ .

El signo ∫ es la letra griega “summa”, y fue introducido por Leibniz.

6.3. PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN

Las siguientes propiedades de la integral indefinida son consecuencia directa de la derivación:

a) Integral de la suma:

b) Integral del producto de un número real por una función:

Esta propiedad permite que una constante pueda “salir” del signo de integración.

VI. INTEGRALES


6.4. INTEGRALES INMEDIATAS La integración, como hemos dicho anteriormente, es el proceso inverso al de la derivación, por eso la lectura de la tabla de derivadas en sentido inverso, nos proporciona las primitivas de las funciones elementales. Estas primitivas que se obtienen directamente de la tabla de derivadas se suelen llamar inmediatas, y el conjunto de ellas, integrales inmediatas.

Utilizando la tabla que se expone a continuación, y teniendo en cuenta las dos propiedades lineales vistas en el epígrafe anterior, se pueden calcular gran cantidad de primitivas.

Tabla de integrales inmediatas:

1. Tipo potencial 1

1

nn xx dx C

n

+

= ++∫

2. Tipo logarítmico 1 dx lnx Cx

= +∫

1 log loga ae dx x Cx

= +∫

3. Tipo exponencial x xa lna dx a C= +∫

x xe dx e C= +∫

4. Tipo seno cos senx dx x C= +∫

5. Tipo coseno sen cosx dx x C= − +∫

6. Tipo tangente 2

1 tgcos

dx x Cx

= +∫

2(1 ) tgtg x dx x C+ = +∫

7. Tipo cotangente 2

1 cotsen

dx gx Cx

−= +∫

2(1 )cotg x dx cotgx C+ = − +∫

8. Tipo arco seno 2

1 arcsen1

dx x Cx

= +−

∫

VI. INTEGRALES


9. Tipo arco coseno 2

1 arccos1

dx x Cx

−= +

−∫

10. Tipo arco tangente 2

1 arctg1

dx x Cx

= ++∫

6.5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Todas las técnicas de integración consisten, en esencia, en transformar el integrando hasta obtener una función que reconozcamos como inmediata. Existen multitud de métodos, aunque nosotros en este tema veremos los más usados y los más recomendados al nivel en el que nos movemos. 1. Método de descomposición

Consiste en descomponer el integrando, si es posible, como suma de otras funciones cuyas integrales son inmediatas o pueden transformarse en otras más sencillas siguiendo las propiedades lineales de las integrales.

Podemos decir que es un método un tanto intuitivo, ya que hay que “adivinar” en el integrando una función cuya integral sea inmediata o sencilla de calcular. Por tanto cada caso requerirá su propio tratamiento. A continuación se señalan un par de ejemplos, uno sencillo de efectuar y otro más “complicado” de desarrollar:

Ejemplo 1.

2. Método de sustitución o cambio de variable

Consiste en encontrar una función ( )x g t= , la cual al sustituirla por x bajo el signo integral, convierta a la integral en otra más sencilla (con la nueva variable t).

Esta nueva función debe cumplir con los siguientes puntos.

- Ha de ser derivable y además derivada no nula

- Debe admitir función inversa.

VI. INTEGRALES


Este método es uno de los más utilizados por la gran variedad de sustituciones que se pueden dar, unas simples y otras más complicadas. La sustitución deber ser la adecuada para el tipo concreto, dado que el error al utilizar una sustitución inadecuada conducirá frecuentemente a integrales de mayor dificultad que la propuesta.

Ejemplo 2.

1º Se busca la sustitución, en este caso: 2º Se calcula dx:

3º Se sustituye el integrando por la nueva función: 4º Se simplifica:

5º Se resuelve:

6º Se deshace la sustitución:

3. Método de integración por partes Este método se deduce de la derivada de un producto de funciones. Así si tomamos dos funciones u y v. La derivada de su producto sería:

( · ) · ·u v u v u v′ ′ ′= +

Si integramos ambos miembros quedaría: ( · ) · ·u v u v u v′ ′ ′= +∫ ∫ ∫ , por lo que:

· ( · ) · ·u v d u v u dv v du= = +∫ ∫ ∫ tomando u’ = du y v’ = dv Despejando ·u dv∫ nos queda que:

· · ·u dv u v v du= −∫ ∫

que es la fórmula correspondiente al método de integración por partes.

VI. INTEGRALES


A la hora de aplicar la fórmula, en el integrando hay que elegir u y dv, lo que exige un poco de intuición y otro tanto de práctica. Por regla general, este método se utilizará, cuando se aprecie que el integrando es producto de dos funciones, y una de ellas sea la derivada de otra fácil de obtener. Suele ser efectivo este método cuando uno de los dos factores es de tipo exponencial, logarítmico o trigonométrico.

Ejemplo 3.

Haciendo y

Para calcular v se integra dv, es decir: Aplicando la fórmula anteriormente señalada:

6.6. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integral definida, está ligado al cálculo de áreas de regiones planas limitadas por funciones.

La idea de integral definida es una generalización del cálculo de dichas áreas por medio de regiones poligonales inscritas o circunscritas (dependiendo que fuese por defecto o por exceso) a las mismas, tales que al aumentar los lados, el área de de estos polígonos tiende a aproximarse al área exacta.

Para ello vamos a describir cómo se puede calcular por aproximación el área de una región plana limitada por una función f(x).

Sea una función f(x) continua y positiva en el intervalo (a,b). Se trata de calcular el área determinada por la gráfica de la función f(x) y por las rectas x = a, y = b e y = 0.

Es decir el área sombreada de la figura adjunta

VI. INTEGRALES


Para ello haremos una partición del segmento (a,b) en n partes iguales, y por tanto tendremos n rectángulos de base 1( )n nx x −− . Cada altura del rectángulo será o bien el mínimo de la función en cada intervalo 1( )n nx x −− (en este caso serán rectángulos inscritos en el área), o bien el máximo en dicho intervalo (y en este caso serán rectángulos circunscritos al área).

Si sumamos las áreas de los rectángulos de altura mínima, tendremos una aproximación del cálculo del área por defecto, (suma inferior I); si sumamos las áreas de los rectángulos de altura máxima, tendremos una aproximación del cálculo del área por exceso, (suma superior S).

Naturalmente la aproximación será tanto mayor, cuanto mayor sea el número de particiones que hagamos del segmento (a,b).

Ahora bien, si tomamos la base de cada rectángulo por dx y la altura por f(x), el área de cada rectángulo será A = f(x)·dx, y teniendo en cuenta el concepto de límite podemos afirmar que:

lim lim Area del recinton n

I S→∞ →∞

= =

Este número real recibe el nombre de integral definida de la función f(x) en [a,b] y se designa por

( )b

af x dx∫

VI. INTEGRALES


6.7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Si c es un punto interior de [a,b] , la integral definida se descompone como suma de dos integrales definidas de intervalos [a,c] y [c,b], es decir:

( ) ( ) ( )b c c

a a af x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

La demostración es clara teniendo en cuenta el concepto de integral definida como partición de un área.

b) Nulidad

Si a = b, entonces:

( ) 0a

af x dx =∫

Podría entenderse como que el área de un rectángulo de base nula es 0.

c) Anticonmutatividad

Si permutamos los límites del intervalo, la integral cambia de signo, es decir:

( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

d) Suma y diferencia

La integral definida de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales definidas, es decir:

Esta propiedad también se puede intuir por la adición de áreas.

e) Producto de un número real

La integral definida del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, es decir:

· ( ) ( )b b

a ak f x dx k f x dx=∫ ∫

6.8. REGLA DE BARROW Si f(x) es una función continua en [a,b] y F(x) es una primitiva de f(x), distinta de la función integral F(x), entonces:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

VI. INTEGRALES


En efecto:

Si ( ) ( )x

aG x f x dx= ∫

es la función integral de f(x), entonces por ser también F(x) una

primitiva de f(x), tenemos que:

G(x) = F(x) + C

C puede calcularse fácilmente puesto que para x = a, G(a) = F(a) + C, como G(a) = 0, queda que C = - F(a) y sustituyendo:

G(x) = F(x) - F(a), por lo que:

( ) ( ) ( ) ( )b

af x dx G b F b F a= = −∫

Esta regla nos permite un cálculo rápido y sencillo de áreas limitadas por funciones que sean integrables.

6.9. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. CÁLCULO DE ÁREAS

Vamos a distinguir dos tipos:

Áreas de recintos limitados por una función

Áreas de recintos limitados por dos funciones

o Áreas de recintos limitados por una función

El teorema de Barrow nos da una herramienta para el cálculo de áreas. Ahora bien, la superficie de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula.

Por tanto, en la aplicación de la integral definida al cálculo de áreas debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por la función y el eje OX y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma en tal caso es el área busca. Esto quiere decir que cuando la gráfica de la función entre dos puntos a y b esté por encima del eje OX (es decir en la Y positiva), entonces el área será:

( )b

af x dx∫

Ahora bien, si la gráfica de la función entre a y b está toda por debajo del eje OX, entonces el área será:

( )b

af x dx∫

ya que el valor de la integral será negativo.

VI. INTEGRALES


Si por último, la gráfica de la función entre a y b, está parte por encima y parte por debajo del eje OX, habrá que buscar el punto o los puntos, donde la función pase de positiva a negativa o viceversa (es decir serán los puntos de corte de la función con el eje OX). En este caso, y suponiendo que el punto de corte sea c, tendremos que:

( ) ( )c b

a cA f x dx f x dx= +∫ ∫

Ejemplo 4.

Calcular el área limitada por la curva 2 4 2y x x= − + − y el eje de abscisas, en el intervalo [0,2]

En primer lugar hay que comprobar si en el intervalo la función está por encima y/o por debajo del eje OX. Para ello se buscan los puntos de corte con el eje x:

Esto quiere decir que la función en el intervalo está por debajo del eje OX entre los puntos 0 y 0.58, y por encima entre 0.58 y 2.

Así que el área hay que calcularla en dos trozos:

calculando ambas integrales sale:

A = 2.43u2

VI. INTEGRALES


o Áreas del recinto limitado por dos funciones

En este caso los intervalos de integración vendrán delimitados por sus puntos de corte, para lo cual, se hace f(x) = g(x) y se calculan dichos puntos.

En el caso de que g(x) > f(x) en [a,b] resultará que el área buscada será:

( ) ( )b b

a aA g x dx f x dx= −∫ ∫

que por la propiedad de la diferencia de la integral definida quedaría como:

[ ]( ) ( )b

aA g x f x dx= −∫

En el caso de que existan partes negativas y positivas, habrá que efectuar los cambios introducidos en el epígrafe anterior.

Ejemplo 5.

Calcular el área limitada por las gráficas 2( )f x x= y ( )g x x=

En este ejemplo hay que calcular el intervalo que coincide con los puntos de corte de la parábola y la recta, por lo que:

por lo que el intervalo es (0,1)

por otro lado como g(x)>f(x), en este intervalo entonces:

por lo que el área pedida es:

A = 1/6 u2

VI. INTEGRALES


EJERCICIOS DE INTEGRALES

1.

2.

:

3.

4.

VI. INTEGRALES


5.

6.

7.

VI. INTEGRALES


8.

9.

10.

VII. PROBABILIDAD


ÍNDICE 7.1. Introducción 7.2. Experimentos aleatorios 7.3. Lenguaje del cálculo de probabilidades 7.4. Sistema completo de sucesos 7.5. Experimentos compuestos 7.6. Probabilidad 7.7. Probabilidad condicionada 7.8. Sucesos dependientes e independientes 7.9. Probabilidad total 7.10. Teorema de Bayes

7.1. INTRODUCCIÓN

La teoría de probabilidad tiene su origen en los juegos de azar.

Su finalidad, podríamos decir, que es la de “cuantificar la previsibilidad a priori” en algo totalmente imprevisible en principio, como son los fenómenos aleatorios.

Poincaré (matemático francés) afirmaba, que: “el azar no es más que la medida de nuestra ignorancia. Los fenómenos fortuitos son, por definición, aquellos cuyas leyes ignoramos”.

Con el estudio de las leyes de la probabilidad, no se intenta hacer del azar algo determinista, sino saber qué “peso” tiene dicho azar en determinados fenómenos. Como se verá más adelante, la probabilidad de un fenómeno (que llamaremos suceso) consiste en asignar un número real a tal suceso. Este número nos permite obrar en consecuencia acerca de la posibilidad más o menos remota de que dicho suceso ocurra.

7.2. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Por definición, un experimento aleatorio es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener. En caso contrario se llama experimento determinista. Ejemplos de estos experimentos pueden ser:

• extraer dos bolas de un saco con 20 bolas distintas

• lanzar un dado y ver que número aparece en la cara superior

• extraer una carta de una baraja

• el juego de la lotería primitiva

• etc.

VII. PROBABILIDAD


7.3. LENGUAJE DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Como toda especialidad o disciplina del conocimiento, el cálculo de probabilidades tiene su propio lenguaje. A continuación definiremos los conceptos más utilizados dentro del mundo de las probabilidades. 1 Espacio muestral E: (de un experimento aleatorio) es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

Ejemplo 1.

1.- El espacio muestral asociado al experimento lanzar una moneda es:

E={C,X} 2.- El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es:

E={ CC,CX,XC,XX}

C

X

C

XC

X

CC

CXXC

XX 3.-Espacio muestral asociado al experimento lanzar un dado:

E={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 4.- Espacio muestral asociado al experimento lanzar dos dados: E={ (1,1,),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

2 Suceso de un experimento aleatorio: es un subconjunto del espacio muestral.

VII. PROBABILIDAD


Ejemplo 2.

Al lanzar un dado con sus caras numeradas y anotar el resultado de la cara superior su espacio muestral sería:

E={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

pues bien, si consideramos los siguientes casos:

• salir par: A={ 2 , 4 , 6 }

• salir impar: B={ 1 , 3 , 5 }

• salir número primo: C={ 2 , 3 , 5 }

• salir múltiplo de 3: D={ 3 , 6 }

Todos son subconjuntos de E, y por tanto a cada uno de ellos se les denomina suceso.

Al conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos, y se designa por S, que no es lo mismo que E. 3 Tipos de sucesos: Puede haber los siguientes tipos:

• suceso elemental, es cada uno de los elementos del espacio muestral • suceso compuesto (de varios sucesos elementales) • suceso seguro, es el que siempre se realiza. Es evidente que tendrá que estar

formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E

• suceso imposible, es el suceso que no se realiza nunca. Lo designaremos por Φ .

4 Suceso contrario, del suceso A, es un suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se representa por A o Ac . Así, en el ejemplo del lanzamiento del dado, los sucesos:

- Salir par: {2, 4, 6}

- Salir impar: {1, 3, 5}

son sucesos contrarios. 5 Operaciones con sucesos: • Unión de sucesos: la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando

se realiza A ó B, por tanto A ∪ A = E

VII. PROBABILIDAD


Ejemplo 3. "Lanzar un dado" E={1,2,3,4,5,6}

A="Salir un número par"={2,4,6,} ; B="Salir un número primo={1,2,3,5}

A ∪B ={1,2,3,4,5,6}

• Intersección de sucesos: la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando

se realizan simultáneamente los sucesos A y B. Cuando es imposible que los sucesos se realicen simultáneamente se dice que son incompatibles. Si A B∩ =Φ entonces son incompatibles. En caso contrario se dice que son compatibles. En el ejemplo anterior: A ∩B ={ 2 }.

Propiedades :

Unión Intersección Asociativa (A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)

Conmutativa A∪B=B∪A A∩B=B∩A Idempotente A∪A=A A∩A=A

Simplificativa A∪ (B∩A)=A A∩ (B∪A)=A

Distributiva A∪ (B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪C) A(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩C)

Suceso contrario A∪ A = E A∩ Φ=A

7.4. SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS Se dice que un conjunto de sucesos A1, A2 ....... constituyen un sistema completo cuando se verifica:

- A1∪A2∪ ........ = E - A1 , A2 , ......son incompatibles 2 a 2 .

A1 A2 ............. An Así por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, su espacio muestral es: .

Los siguientes sucesos constituyen un sistema completo de sucesos:

Los siguientes sucesos constituyen otro:

VII. PROBABILIDAD


7.5. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

Los experimentos formados por varios experimentos simples, se les llaman experimentos compuestos.

Ejemplo 4.

Lanzamiento de un dado y una moneda.

Al espacio muestral generado a partir de un experimento compuesto se le denomina espacio compuesto.

En el ejemplo anterior, el espacio compuesto sería:

7.6. PROBABILIDAD

1 Idea intuitiva de probabilidad

Supongamos que lanzamos una moneda y anotamos las veces que sale cara. Después de 10, 20, 30, ......, 200 lanzamientos obtenemos los resultados:

N de lanz. 10 20 30 40 50 60 70 80 ................. 200 N de caras 6 11 16 20 27 31 37 43 ................ 101 fre.relativa 0´6 0´55 0´53 0´5 0´54 0´51 0´52 0´53 ............ 0´50

Si repitiéramos el experimento obtendríamos resultados muy parecidos.

Podemos sacar en conclusión que las frecuencias relativas del suceso cara tienden a estabilizarse hacia el valor 0´5. Este número al que la frecuencia relativa se acerca más cuanto mayor es el numero de pruebas realizadas, lo llamaremos probabilidad del suceso. La probabilidad de un suceso A, se representará p(A). 2 Definición clásica de probabilidad: (regla de Laplace)

posiblescasosdeºnfavorablescasosdeºn)A(p =

VII. PROBABILIDAD


(para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables)

Ejemplo 5. "Lanzar un dado"

a) A="número par"={2,4,6} p(A)=3/6=1/2 b) B="Obtener primo" ={2,3,5} p(B)=3/6=1/2 c) C="obtener multiplos de 3"={3,6} p(C)=2/6=1/3 d) D=Obtener múltiplo de 5"={5} p(D)=1/6

Ejemplo 6. "Lanzar dos monedas" E={CC,CX,XC,XX}

a) A= Öbtener dos caras¨ p(A)=1/4 b) B= " " cruces¨ p(B)=1/4 c) C= " una cara y una cruz¨ p(C)=2/4 d) D= " al menos una cruz¨ p(D)=3/4

Ejemplo 7. "Extracción de una carta de una baraja española"

a) A = Öbtener un oro¨ p(A)=10/40=1/4 b) B = Öbtener un as¨ p(B)=4/40=1/10 c) C = Öbtener una sota de espadas¨ p(C)=1/40 d) D = Öbtener un as o una sota¨ p(D)=8/40=1/5 e) E = Öbtener bastos o espadas¨ p(E)=20/40=1/2 f) F = Öbtener una figura¨ p(F)=12/40=3/10

3 Definición axiomática de probabilidad: Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas:

1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A) ≥ 0

2. La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, p(E) = 1 3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de

probabilidades de cada uno de ellos, o sea , p(A∪B) = p(A) + p(B) 4 Consecuencias de los axiomas:

- p( A ) = 1 - P(A) - p(Φ ) = 0 - 1)A(p0 ≤≤

VII. PROBABILIDAD


- Si A )B(p)A(pB ≤⊂ - Si los suceso son compatibles: p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)

Para el caso de tres sucesos compatibles sería: p(A∪B∪C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(A∩B) - p(A∩C) - p(B∩C) + p(A∩B∩C)

Ejemplo 8. "Extraer una carta de una baraja"

Sucesos: A="Obtener un oro" , B="Obtener un rey" C="Obtener un as de espadas" , D="Obtener figuras" i) A y B son compatibles, pues A ∩B ="Obtener rey de oros"

p A∪B( )=p A( )+ p B( )−p A∩B( )=1040

+4

40−

1

40=

13

40 ii) A y C son incompatibles, pues no se puede obtener un oro y el as de espadas a

la vez.

p A∪ C( ) = p A( )+ p C( ) = 10

40+

140

=1140

iii) B ⊂ A ⇒ P(B)=4/40=1/10<p(A)=12/40=3/10 iv) A ∩D ="obtener figura de oros"

p A∪D( )=p A( )+ p D( )−p A∩D( )=1040

+12

40−

3

40=

19

40

7.7. PROBABILIDAD CONDICIONADA Vamos a estudiar como queda modificada la probabilidad de un suceso cuando disponemos de información adicional de que se ha presentado otro.

Por ejemplo: "Lanzar dos monedas", cuyo espacio muestral es E={CC,XX,CX,XC}la probabilidad de {CC} es 1/4.

Supongamos que salió una cara en la primera tirada, entonces la p(CC) = 1/2 puesto que el nuevo espacio muestral queda reducido a E´={CC,CX}. Se llama probabilidad del suceso A condicionado por B, p(A/B), a la probabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B.

p(A/B) = )B(p

)BA(p ∩

VII. PROBABILIDAD


A B a b c

p(A∩B) = cba

b++

p(B) = cba

cb++

+ p(A/B) = cb

b+

Otra forma de ver la fórmula es: p(A∩B) = p(B) · p(A/B) = p(A) · p(B/A) = p(B∩A) Generalizando: p(A∩B∩C) = p(A) · p(B/A) · p(C/A∩B)

Ejemplo 9.

Hombres Mujeres Fuman 70 40 110

No Fuman 20 30 50 90 70 160

p(H) = 90/160 p(M) = 70/160 p(F) = 110/160 p(NF) = 50/160

p(H/NF) = 20/50 p(H/F) = 70/110 p(M/NF) = 30/50 p(M/F) = 40/110

p(H∩ F) = 70/160 = p(F) · p(H/F) = (110/160) · (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos (marrones y azules) y color de pelo (rubio y castaño).

Ejemplo 10. "Lanzar un dado al aire". Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3, sabiendo que ha salido puntuación par.

Sea A="Salir n° par"={2,4,6} p(A)=3/6=1/2 B="Salir múltiplo de 3"={3,6} p(B)=2/6=1/3

p B /A( )=p B∩A( )

p A( ) =1/61/2

=26

=13

Pues A ∩B ="Salir un n° par múltiplo de 3"={6}

VII. PROBABILIDAD


7.8. SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Dos sucesos A y B se dice que son independientes si p(A) = p(A/B). En caso contrario, p(A)≠ p(A/B), se dice que son dependientes. Esto implica que cuando dos sucesos son independientes la realización de un suceso no implica la realización del segundo, y en caso contrario si. Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta:

- Si los sucesos son dependientes p(A∩B) = p(A) · p(B/A) = p(B) · p(A/B) - Si los sucesos son independientes p(A∩B) = p(A) · p(B)

Ejemplo 11. Si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesos independientes, p(A∩B) = p(A) · p(B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(A∩ B) = p(A) · p(B/A).

7.9. PROBABILIDAD TOTAL Sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas, entonces:

p(B) = p(B∩A1) + p(B∩A2) + .........=∑ ∩ )AB(p i

A1 A2 A3 A4 B

7.10. TEOREMA DE BAYES Sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas, entonces:

∑=

)A/B(p)·A(p)A/B(p)·A(p)B/A(pii

iii

B

VII. PROBABILIDAD


Ejemplo 12. Importante: Se va ha realizar el siguiente experimento: se tira una moneda, si sale cara se saca una bola de una urna en la que hay 4 bolas negras, 3 turquesa y 3 amarillas, si sale cruz se saca una bola de otra urna en la que hay 5 bolas negras, 2 turquesa y 3 amarillas. Cara ---------------------- Cruz ---------------------- N 4/10 p(Cara∩N) = 1/2 · 4/10 = 4/20 Cara 1/2 T 3/10 p(Cara∩T) = 1/2 · 3/10 = 3/20 A 3/10 p(Cara∩A) = 1/2 · 3/10 = 3/20 N 5/10 p(Cruz∩N) = 1/2 · 5/10 = 5/20 Cruz 1/2 T 2/10 p(Cruz∩T) = 1/2 · 2/10 = 2/20 A 3/10 p(Cruz∩A) = 1/2 · 3/10 = 3/20 Tª de la probabilidad total: p(N) = p(Cara∩N) + p(Cruz∩N) = 4/20 + 5/20 = 9/20

Tª de Bayes: p(Cara/N) = )NCruz(p)NCara(p

)NCara(p∩+∩

∩ que no es ni más ni menos que

casos favorables entre casos posibles.

NNNN TTT AAA

NNNNN TT AAA

VII. PROBABILIDAD


EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son (1,C), (1,+), (2,C)… Describe el espacio

muestral con los doce elementos de los que consta. a) Sean los sucesos:

A = “Sacar uno o dos en el dado” B = “sacar + en la moneda” D = {(1,C), (2,+), (3,C), (3,+), (6,+)}

b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos. c) Halla A UB, A ∩B, A UD'

2. Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B: P[A] = 1/4, P[B] = 1/2, P[A UB] = 2/3 3. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuaciones sea un 1, un 2, un 3, un

4, un 5, un 6. 4. Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad de los

alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser: a) Alumna o que aprueba las matemáticas. b) Alumno que suspenda las matemáticas. c) Sabiendo que es alumno, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas? d) ¿Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA MATEMÁTICAS?

5. En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y las otras tres con números

negativos. Se extrae una bola y después otra, sin remplazamiento. a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo. b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo.

6. En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y

el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

7. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del programa y desarrollar uno de

ellos. a) Un alumno sabe 6 temas. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar el examen? b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los temas elegidos y el otro no?

8. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son las pruebas sucesos independientes? d) Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera.

9. Una urna A tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna B tiene 9 bolas blancas y 1 negra. Escogemos una de las urnas al azar y de ella extraemos una bola. Calcula: a) P[ BLANCA/A ] b) P[ BLANCA/B ] c) P[ A y BLANCA ] d) P[ B y BLANCA ]

VII. PROBABILIDAD


e) P[ BLANCA ] f) Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de haber escogido la urna B ?

10. Tenemos las mismas urnas del ejercicio anterior. Sacamos una bola de A y la echamos en B y, a

continuación, sacamos una bola de B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra? b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cuál es la probabilidad de que también la primera fuese negra?

11. Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se extraen tres bolas con reemplazamiento,

¿cuál es la probabilidad de obtener 2 blancas y una roja? 12. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una

urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser blancas. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A.

13. Se dispone de tres urnas: la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blancas y

tres rojas; y la C con una blanca y cinco rojas. a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

14. Sean A y B dos montones de cartas. En A hay 8 oros y 5 espadas y, en B 4 oros y 7 espadas. Sacamos

dos cartas del mismo montón y resulta que ambas son de espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacado del montón B.

15. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcas, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin

marcar y 175 bolas negras marcadas. a) Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca. b) Se extrae una bola y está marcada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? c) Se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? d) ¿Son independientes los sucesos “sacar bola blanca” y “sacar bola marcada?

16. En un centro escolar hay tres grupos de Bachillerato. El primero está compuesto por 10 alumnos de

los que 7 prefieren la música moderna, 2 prefieren la clásica y 1 que no le gusta la música. En el segundo, compuesto por 12 alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7 y 0 respectivamente; y en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es de 6,6 y 2 respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan 2 entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a) Halla la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música clásica. b) Si los dos alumnos agraciados son, efectivamente, aficionados a la música clásica, ¿cuál es la probabilidad de que sean del primer grupo?.

17. De una baraja se extraen simultáneamente tres cartas al azar. Encuentra la probabilidad de que:

a) Las tres cartas sean de bastos. b) Alguna de las cartas sea un oro.

18. Una urna A contiene 2 bolas blancas y una negra, y otra urna B contiene 2 bolas negras y una blanca.

Se extraen dos bolas de la urna A y, sin mirar el color, se introducen en la B. A continuación se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea negra?

19. Los alumnos de Bachillerato de un IES proceden de 3 localidades, A, B y C, siendo un 20% de A, un

30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. El 50%

VII. PROBABILIDAD


de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto, 2º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese IES, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º? b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese IES y este es un alumno de 2º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B.

20. Según una estadística de resultados en las Pruebas de Acceso a la Universidad, el número de alumnas presentadas es 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el número de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un75% de estos. a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) Sabiendo que una persona ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón?

VIII. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MUESTREO


ÍNDICE 8.1. Introducción 8.2. Población y muestra 8.3. El muestreo. Tipos de muestreo 8.4. Distribución Normal 8.5. Distribución de probabilidad de la media muestral 8.6. Intervalos de confianza 8.7. Error admitido y tamaño de la muestra

8.1. INTRODUCCIÓN

La Estadística es la ciencia que estudia los fenómenos de masas para hallar en ellos las regularidades del comportamiento colectivo, regularidades que sirven para describir el fenómeno y para efectuar predicciones.

Cuando se observan exhaustivamente todos los elementos de la población, se dispone de todos los datos posibles para el estudio de un fenómeno dado, y por tanto es posible describir de forma exacta las regularidades, el comportamiento o las características de dicha población. Esto es a lo que se dedica la llamada Estadística descriptiva.

Ahora bien, si esa observación no es exhaustiva, sino que se parte de una muestra, a partir de la cual se intenta conocer las características de una población, entonces estamos ante un proceso de inducción. Por tanto la Estadística Inductiva o la Inferencia Estadística tiene como función generalizar los resultados de la muestra para estimar las características de la población, lo cual no quiere decir que los métodos utilizados en la Estadística descriptiva sean distintos a los utilizados en el estudio de una muestra.

Es importante reseñar que los conceptos de población y muestra deben de estar subordinados al uso que se le va a dar al conjunto de observaciones de que se dispone.

8.2. POBLACIÓN Y MUESTRA

Entendemos por población un conjunto de elementos que poseen una característica o propiedad común, y que constituyen la totalidad de los individuos de interés para nuestro estudio. Los valores que se refieren a la totalidad de la población se les denomina parámetros poblacionales y en su notación es común utilizar el alfabeto griego: µ , σ , 2σ , etc. Una muestra es cualquier subconjunto de la población sobre el que se realizan estudios para obtener conclusiones acerca de las características de la población. Cualquier valor obtenido a partir de los datos de la muestra se denomina estadístico muestral. Ejemplos de estadísticos muestrales son: la media, la varianza, la desviación típica o cualquier otra medida de posición, dispersión o forma, así como cualquier valor construido a partir de ellas. La fase de descripción es común a cualquier conjunto de observaciones, mientras que la de inferencia solo tiene efectividad cuando se trabaja con una muestra.



El problema de la Inferencia Estadística está en saber si la muestra elegida de una población dada es representativa o no de ésta. Normalmente se suele enfocar desde dos puntos de vista:

a) Se utiliza la muestra para estimar las características de una población, se realiza mediante la denominada teoría de estimación.

b) Se emite una hipótesis sobre las características basándose en la experiencia. Este enfoque se suele realizar con la llamada teoría de la verificación o contraste de hipótesis.

8.3. EL MUESTREO. TIPOS DE MUESTREO

La operación de tomar una muestra de una población se llama muestreo.

Existen diversos criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos: Muestreo no probabilístico: no se usa el azar, sino el criterio del investigador, suele

presentar grandes sesgos y es poco fiable. Muestreo probabilístico: se utilizan las leyes del azar. Puede ser:

1. Muestreo aleatorio simple (es el más importante): cada elemento de la

población tiene la misma probabilidad de ser elegido, las observaciones se realizan con reemplazamiento, de manera que la población es idéntica en todas las extracciones, o sea, que la selección de un individuo no debe afectar a la probabilidad de que sea seleccionado otro cualquiera aunque ello comporte que algún individuo pueda ser elegido más de una vez. ("se hacen tantas papeletas numeradas como individuos hay, se coge una y se devuelve, se vuelve a coger otra y se devuelve , etc")

2. Muestreo sistemático: es cuando los elementos de la población están ordenados

por listas. Se elige un individuo al azar y a continuación a intervalos constantes se eligen todos los demás hasta completar la muestra. Si el orden de los elementos es tal que los individuos próximos tienden a ser más semejantes que los alejados, el muestreo sistemático tiende a ser más preciso que el aleatorio simple, al cubrir más homogéneamente toda la población.

3. Muestreo estratificado: es cuando nos interesa que la muestra tenga la misma

composición a la de la población la cual se divide en clases o estratos. Si por ejemplo en la población el 20% son mujeres y el 80% hombres, se mantendrá la misma proporción en la muestra.



8.4. DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. Introducción.

La distribución normal es el tipo de distribución de probabilidad continua más común. Al igual que la distribución binomial se presenta en muchos fenómenos de la vida real.

La distribución normal recibe también el nombre de "distribución de Gauss", y la gráfica que representa dicha distribución, se suele denominar comúnmente "curva de Gauss", cuya forma recuerda a una campana (de ahí también el sobrenombre de "campana de Gauss"). En teoría son curvas asintóticas, como después veremos, es decir, se extienden indefinidamente en ambos sentidos del eje horizontal.

En una distribución normal, media, moda y mediana coinciden en el máximo de la curva.

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal

• Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ej. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

• Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

• Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

• Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

• Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

2. Variable aleatoria de la distribución normal.

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ , y se designa por ( , )N µ σ , si se cumplen las siguientes condiciones:

1ª . La variable recorre toda la recta real, es decir ( , )−∞ ∞ .

2ª . La función de densidad, expresada en términos de ecuación matemática, es: 21

21( )2

x

f x eµ

σ

σ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=



A los valores µ y σ se les denominan parámetros de la distribución normal.

Evidentemente, este es el caso de la distribución normal teórica.

3. Función de densidad

La función de densidad de una distribución normal acabamos de ver que es: 21

21( )2

x

f x eµ

σ

σ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=

La representación de esta curva es la llamada “curva de Gauss” o “campana de Gauss”, cuya gráfica es:

Las características son:

1ª. La curva tiene forma campaniforme, y es simétrica respecto a x µ= .

2ª. La ordenada máxima se obtiene precisamente para el valor x µ= .

3ª. El área del recinto encerrado bajo la campana y el eje x es igual a la unidad, por tratarse de una función de densidad.

4ª. A ambos lados del valor x µ= las ordenadas de la curva decrecen, primero lentamente y después con mayor rapidez.

5ª. Los puntos de inflexión de la curva corresponden a x µ σ= − y x µ σ= + .

4. Función de distribución.

Dada una variable aleatoria continua X, que sigue una distribución normal, la función de distribución que representaremos por F(x) viene dada por: ( , )N µ σ

2121( ) ( )

2

xt

F x p X t e dxµ

σ

σ π

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞= ≤ = ∫



Gráficamente F(x) representa el área encerrada bajo la curva f(x) desde −∞ hasta x t= .

5. Distribución normal estándar.

A la vista de la representación de la función de densidad de una variable aleatoria ( , )N µ σ , es evidente que para cada valor de la media y de la desviación típica, tendremos una función de densidad distinta.

Por tanto, podemos deducir que la expresión ( , )N µ σ , representa una familia de distribuciones normales.

De las infinitas distribuciones que existen, tiene especial interés la distribución N(0,1). Esta distribución es llamada ley normal estándar, o bien distribución normal reducida.

En este caso, la función de densidad será: 2

21( )2

x

f x eπ

−=

La función de distribución de la ley normal estándar, que será el trozo de área X<x, por tanto menor que 1, dependerá del valor que tome la variable x.

Para ello se hace uso de una tabla donde vienen tabulados los valores de F(x) para distintos valores de x.

6. Tipificación de la variable.

La distribución N(0,1) se encuentra tabulada. Pero no todas las distribuciones son N(0,1) (en realidad ninguna).

Por otro lado, es imposible tabular todas las distribuciones ( , )N µ σ .

Lo más aconsejable sería poder transformar la variable X que sigue una distribución ( , )N µ σ , en otra variable Z que siga una distribución N(0,1). Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable.

Para llevar a cabo esta transformación hay que realizar dos pasos:

1º. Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer 0µ = .

2º. Reducir la desviación típica a 1 ( 1σ = ). Esto equivale a dilatar o a contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar.

Estos dos pasos se consiguen simultáneamente, sin más que hacer el siguiente cambio:

XZ µσ−

=



TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Segundo decimal de Z

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879

0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389

1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319

1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9762 .9767

2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936

2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986

3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 3.6 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.8 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 1.000 1.000 1.000 4.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

La tabla da áreas 1 − α y valores α−= 1Zc , donde, α−=≤ 1][ cZP ,

y donde Z tiene distribución normal N(0,1).



7. Manejo de la tabla.



Ejemplo 1. Calcula las siguientes probabilidades utilizando las tablas:

p(z < 1'45) = 0'9265 p(z < -1'45) = 0'0735 p(1'25 < z < 2'57) = 0'1005 p(-2'57 < z < -1'25) = 0'1005 p(-0'53 < z < 2'46) = 0'695

8.5. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL

Aunque al tomar una muestra no podemos estar seguros de que los parámetros obtenidos sean buenos estimadores de los parámetros poblacionales si se puede afirmar que: 1. La media de las medias muestrales es igual a la media real de la población es decir:

1 2 .........º

nx x xXn de muestras posibles

µ+ + += =

2. La desviación típica de las medias muestrales vale:

nxσ

=σ

Esto significa que la distribución de medias muestrales de tamaño n extraídas de una

población (normal o no normal) se distribuye según una N(n

, σµ )



Ejemplo 2. El peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de media µ = 3100 gr y de desviación típica σ = 150 gr ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos se superior a 3130 gr? La distribución muestral sigue una N(3100,15) por lo que:

( )3130p x > = ( )3130 3100 215

p Z p Z−⎛ ⎞> = >⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 - 0'9772 = 0'0228

por lo tanto solo un 2'28% de las muestras tendrá una media por encima de los 3130 gr

8.6. INTERVALOS DE CONFIANZA

1. Intervalos de probabilidad En una variable normal cualquiera ( , )N µ σ , se verifica que:

1. En el intervalo ( , )µ σ µ σ− + está el 68'26 % de la población. 2. En el intervalo ( 2 , 2 )µ σ µ σ− + está el 95'44 % de la población. 3. En el intervalo ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + está el 99'74 % de la población.

Porcentajes de población en los diferentes intervalos simétricos de una normal ( , )N µ σ

Es evidente que a medida que el intervalo se amplía, hay mayor porcentaje de la población en él. En general, dado un porcentaje del N%, siempre es posible encontrar un intervalo simétrico respecto de la media de forma que dicho intervalo contenga a dicho porcentaje de población. Mas explícitamente, se denomina intervalo de probabilidad a aquel intervalo para el cual se sabe que hay una seguridad del N% de que los parámetros muestrales ( )X se encuentren en dicho intervalo. La seguridad N viene fijada previamente. Si queremos que el N% de la población esté en el intervalo, denominaremos nivel de confianza al número:



1100Nα− =

y unido a este, se encuentra el llamado nivel de significación, que viene dado por α . Este nivel en general vendrá explicitado en las condiciones del problema, si bien los valores mas comunes suelen ser del 90%, 95% y 99%.

Ejemplo 3. Si queremos que el 88% de la población esté en el intervalo, el nivel de confianza será

881 0 '88%100

α− = = , mientras que el nivel de significación será 1 0 '88 0 '12α = − = .

2. Intervalo de probabilidad para la media muestral x Si la población sigue una distribución de parámetros µ y σ , y las muestras son de tamaño 30n ≥ (o bien la población ya es normal y las muestras son de cualquier tamaño), sabemos que la media muestral x sigue una distribución:

,x Nnσµ⎛ ⎞→ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se trata de encontrar el valor de k como en la figura:

Buscamos el valor de k que deje en el intervalo ( , )k kµ µ− + al (1 ) 100%α− ⋅ de la población.

Razonemos ahora sobre la normal ( )0,1Z N→ que es la que se encuentra tabulada. Si queremos que el intervalo buscado contenga a la media muestral con una confianza de 1 α− , entonces fuera del intervalo el área tiene que ser de α , y como la curva es simétrica, en cada una de las ramas fuera de la región rayada, tenemos un área de / 2α . Llamaremos / 2zα al punto situado en el eje x que separa la región rayada de la otra.



Buscamos el valor de / 2zα que deje en el intervalo / 2, / 2( )z zα α− de la población en la N(0,1)

Es evidente que se cumple: / 2( )2

p Z zα α≥ = o dicho de otro modo: / 2( ) 1

2p Z zα α

≤ = −

probabilidad que se busca dentro de la tabla como hemos visto. Ahora bien, este valor sólo sirve para la normal estándar N(0,1). Nosotros manejamos la

normal ,Nnσµ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

y para pasar a la normal estándar deberemos tipificar:

/ 2/

k zn

αµ

σ−

=

de donde despejando, encontramos k, el valor buscado:

/ 2k zn

ασµ= +

Así, dado el nivel de significación α o el de confianza 1 α− , podemos determinar el intervalo de probabilidad para la media muestral, que será:

/ 2 / 2,z zn nα ασ σµ µ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo 4. Determinar, en la distribución N(0,1), el valor que concentra el 75% de la población en un intervalo simétrico respecto a la media.

Ahora 1 0 '75α− = , es decir 0 '25α = y por tanto 0 '1252α= , es decir, buscamos el

valor 0'125z , de modo que, como en la figura, dejemos el 75% de la población en el centro.



Se cumple que ( )0'125 0 '125p Z z≥ = , es decir ( )0'125 0 '875p Z z≤ = ,y si buscamos en la tabla, resulta que el valor es:

0'125 1'15z =

En general el 100·(1-α )% de las muestras de tamaño n tendrán una media comprendida

entre : / 2 / 2,z zn nα ασ σµ µ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ siendo 2/α el valor de la probabilidad que queda a

cada lado del intervalo. O lo que es lo mismo:

/ 2 / 2, 1p z zn nα ασ σµ µ α⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (nivel de confianza)

Así por ejemplo si 0 '05α = entonces el 95% de las muestras tendrán una media

comprendida entre 0'025 0'025,z zn nσ σµ µ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠= 1'96 , 1'96

n nσ σµ µ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sin embargo lo normal será que se desconozca la media y la desviación típica de la población y que mediante técnicas de muestreo se busque estimarlas con la fiabilidad necesaria. 3. Intervalo de confianza para la media poblacional Si nos hacen la pregunta de otra forma “¿cuál es la probabilidad de que la media poblacional se encuentre entre ...?” podremos transformar la desigualdad obteniendo:

/ 2 / 2x z x zn nα ασ σµ⎛ ⎞− ≤ ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

/ 2 / 2 1p x z x zn nα ασ σµ α⎛ ⎞− ≤ ≤ + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (nivel de confianza)

• A este intervalo se le llama intervalo de confianza para la media poblacional. • A lo que está fuera del intervalo se le llama región crítica. • Al valor α−1 se le llama nivel de confianza. • Al valor α se le llama nivel de significación.



8.7. ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA

Cuando decimos que / 2 / 2x z x zn nα ασ σµ⎛ ⎞− ≤ ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ estamos admitiendo un error

máximo de n

z 2/σ

α esto es: la diferencia máxima entre la media poblacional y la

media muestral debe ser menor que este valor. Como se puede observar de este valor se puede controlar dos parámetros, n y z . El tamaño mínimo de una encuesta depende de la confianza que se desee para los resultados y del error máximo que se esté dispuesto a asumir:

E = n

z 2/σ

α despejando 2

2/ Ezn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

= α

Ejemplo 5. Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gr, con una confianza del 95% . Si por estudios se sabe que la desviación típica es de 400 gr ¿Qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación?

El tamaño mínimo de la muestra debe ser 24001'96 245'86 246

50n ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠



EJERCICIOS DE INFERENCIA 1. Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1):

a) P(z > 2,8) b) P(z ≤ –1,8) c) P(z > –1,8) d) P(1,62 ≤ z < 2,3) e) P(1 ≤ z ≤2) f) P(–0,61 ≤ z ≤1,4) g) P(–1 ≤ z ≤2) h) P(–2,3 < z < –1,7) i) P(–2 ≤ z ≤–1)

2. Calcula el valor de k (exacta o aproximadamente) en cada uno de los siguientes casos: a) P(z ≤ k) = 0,5 b) P(z ≤ k) = 0,8729 c) P(z ≤ k) = 0,9 d) P(z ≤ k) = 0,33 e) P(z ≤ k) = 0,2 f) P(z > k) = 0,12 g) P(z ≥ k) = 0,9971 h) P(z ≥ k) = 0,6

3. En una distribución N(18, 4), halla las siguientes probabilidades: a) P(x ≤ 20) b) P(x ≥ 16,5) c) P(x ≤ 11) d) P(19 ≤ x ≤ 23) e) P(11 ≤ x < 25)

4. En una distribución N(6, 0,9), calcula k para que se den las siguientes igualdades:

a) P(x ≤ k) = 0,9772 b) P(x ≤ k) = 0,8 c) P(x ≤ k) = 0,3 d) P(x ≥ k) = 0,6331

5. En una distribución N(173, 6) halla los intervalos característicos para el 90%, el 95% y el

99%. 6. En una distribución N(18, 4) halla los intervalos característicos para el 95% y el 99,8%.

7. En una distribución N(20, 6), tomamos muestras de tamaño 64.

a) ¿Cuál es la distribución de las medias de las muestras? b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una muestra cuya media esté comprendida entre 19 y 21?

8. Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729. a) Halla la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109. b) Halla la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109.

9. Las notas en un cierto examen se distribuyen normal con media µ = 5,3 y desviación típica σ = 2,4. Halla la probabilidad de que un estudiante tomado al azar tenga una nota: a) Superior a 7. b) Inferior a 5. c) Comprendida ente 5 y 7.

Si tomamos al azar 16 estudiantes, halla la probabilidad de que la media de las notas de estos 16 estudiantes: d) Sea superior a 7.



e) Sea inferior a 5. f) Esté comprendida entre 5 y 7. g) Halla k para que el intervalo (5,3 – k; 5,3 + k) contenga al 95% de las notas. h) Halla b para que el intervalo (5,3 – b; 5,3 + b) contenga al 95% de las notas medias de las muestras de 16 individuos.

10. El tiempo de espera, en minutos, de los pacientes en un servicio de urgencias, es N(14, 4).

a) ¿Cómo se distribuye el tiempo medio de espera de 16 pacientes? b) En una media jornada se ha atendido a 16 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de su espera esté comprendido entre 10 y 15 minutos?

11. Una variable aleatoria se distribuye N(µ, σ). Si se extraen muestras de tamaño n: a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral, X ? b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria x con distribución N(165, 12), calcula P( X > 173,7).

12. La estatura de los jóvenes de una ciudad sigue una distribución N(µ, σ). Si el 90% de las medias de las muestras de 81 jóvenes están en (173,4; 175,8), halla µ y σ.

13. En una muestra de 50 jóvenes encontramos que la dedicación media diaria de ocio es de 400 minutos y su desviación típica de 63 minutos. Calcula el intervalo de confianza de la media de la población al 95% de nivel de confianza.

14. La desviación típica de una variable estadística es σ = 5. Para estimar la media de dicha variable, extraemos una muestra aleatoria de tamaño n = 100 y obtenemos X = 28. Obtén un intervalo de confianza del 95% para estimar la media de la población, µ.

15. Los estudiantes de Bachillerato de una cierta comunidad autónoma duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley normal de media µ desconocida y de desviación típica 3. A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a 7 horas. Halla un intervalo de confianza al 96% para la media de horas de sueño, µ.

16. Se desea estudiar el gasto semanal de fotocopias, en céntimos de euro, de los estudiantes de bachillerato de cierta comunidad. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos:

100; 150; 90; 70; 75; 105; 200; 120; 80

Se supone que la variable objeto del estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 12. Determina un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

17. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cm3. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cm3. a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la población.



b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?

18. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2. a) Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la población. b) ¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la media muestral, con una confianza del 90%?

19. Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas, hechos por una determinada máquina dieron una media de 2 cm y una desviación típica de 0,1 cm. Halla los intervalos de confianza del:

a) 68,26% b) 95,44% c) 99,73%

para el diámetro medio de todos los cojinetes.

20. La duración de las bombillas fabricadas por una empresa sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 50 horas. Para estimar la duración se experimenta con una muestra de tamaño n. Calcular el valor de n para que, con un nivel de confianza del 95%, se consiga un error en la estimación inferior a 5 horas.

21. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0,5 segundos. ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para que sea del 95% la confianza de que el error de su estimación no excederá de 0,05 segundos?

22. Al medir el diámetro de los cojinetes producidos por una empresa, se estima que la

desviación típica de dicho diámetro es de 0,05 cm. Se han hecho 121 mediciones. ¿Se puede afirmar, con el 99% de confianza, que el error en la estimación de la media no excederá a 0,01 cm?

23. Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos se distribuyen según una ley

normal, con desviación típica 900 €. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €. a) ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses? b) ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

IX. CONTRASTE DE HIPÓTESIS


ÍNDICE 9.1. Introducción 9.2. Hipótesis estadísticas 9.3. Errores 9.4. Regiones de aceptación y rechazo 9.5. Contraste unilateral y bilateral 9.6. Contraste de hipótesis para la media de una población normal

9.1. INTRODUCCIÓN

En este tema trataremos el importante aspecto de la toma de decisiones, referida a decidir si un valor obtenido a partir de la muestra es probable que pertenezca a la población. En general, la media en una muestra suele ser distinta a la media de la población, de la cuál se extrae la muestra. Lo normal suele ser que tal diferencia entre la media muestral y poblacional sea pequeña y debida al azar, pero podría suceder que dicha diferencia no esté justificada por el azar y se deba a un cambio en la población, y debamos modificar los datos que conocemos previamente.

Ejemplo 1.

1. Hace algunos años, la media de estatura de los españoles adultos varones era de 170 cm y su desviación típica 9 cm. Pasado el tiempo, un muestreo realizado a 36 adultos da una medida de 172 cm. ¿Puede afirmarse que esa diferencia de 2 cm es debida al azar o realmente la estatura media ha aumentado?

2. Supongamos que, respecto a una determinada ley, el 52% de los ciudadanos está en contra. Pasado el tiempo, una encuesta realizada a 400 personas indica que los ciudadanos en contra han descendido hasta el 49 %. ¿Ha cambiado realmente la opinión pública o tal resultado es debido al azar?

3. El porcentaje de aprobados en las PAU en un determinado distrito universitario ha sido del 82%. En una ciudad de ese distrito, el porcentaje de aprobados fue del 86%. ¿Puede afirmarse con un nivel de confianza del 90% que los resultados en esa ciudad son superiores a la media?

Los métodos de decisión estadística están ligados a los de estimación de parámetros mediante los intervalos de confianza, aunque también aparecerán otros nuevos conceptos.



9.2. HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS

Trataremos de utilizar los datos obtenidos en una muestra para tomar decisiones sobre la población. Para ello, debemos realizar ciertos supuestos o conjeturas sobre las poblaciones. Estos supuestos, que pueden ser o no ciertos, se llaman hipótesis estadísticas. Podemos, entonces, definir el test de hipótesis o contraste de hipótesis como el procedimiento estadístico mediante el cuál se investiga la verdad o falsedad de una hipótesis acerca de una población o poblaciones. Dicha hipótesis se formulará sobre la media poblacional µ . Llamaremos hipótesis nula, y se representa por H0, a la hipótesis que se formula y por tanto se quiere contrastar o rechazar, e hipótesis alternativa, y se representa por H1, a cualquier otra hipótesis que sea diferente de la formulada, y que sea contraria a H0, es decir, de forma que la aceptación de la hipótesis nula H0 implica el rechazo de la alternativa H1 y viceversa, el rechazo de H0 implica la aceptación de H1. En un problema de contraste de hipótesis, pues, siempre tiene que formularse una hipótesis nula H0, y ha de ir acompañada de una alternativa, H1 que es la que aspira a desplazar a la nula.

Ejemplo 2. Un investigador afirma que la temperatura del cuerpo humano en un adulto sano se distribuye según una normal de media µ = 37o C y desviación típica σ = 0’9o C. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. A la vista de los datos, el investigador afirma que la temperatura media del cuerpo humano es 37o, es decir la hipótesis o conjetura que formula es:

0 37oH = (hipótesis nula)

Como hipótesis alternativa, hemos de tomar aquella contraria a esta, que la media sea distinta de 37o C, es decir:

1 37oH ≠ (hipótesis alternativa) Si la hipótesis nula fuese del tipo kµ ≥ la hipótesis alternativas sería kµ < .



9.3. ERRORES

Hay ocasiones en que la hipótesis nula, H0, es cierta, pero a la vista de la muestra tengamos que rechazarla. En tal caso, estamos cometiendo un error. El error que consiste en rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera, se denomina error de tipo I. Otro tipo de error puede ocurrir cuando, siendo H0 falsa, las evidencias de la muestra, sin embargo, nos lleven a aceptarla. Este error, cometido al aceptar cuando ésta es falsa, se denomina error de tipo II. Resumiendo:

Situación real: H0 es cierta H0 es falsa

ACEPTAR H0 CORRECTO

Probabilidad 1 α−ERROR II

Probabilidad β Decisión:

RECHAZAR H0 ERROR I

Probabilidad α CORRECTO

Probabilidad 1 β−

Situaciones posibles en un contraste de hipótesis.

donde α es el nivel de significación y 1 α− es el nivel de confianza. Con esta notación y utilizando probabilidades condicionadas:

0 0( / ) ( )p Rechazar H H es cierta p Error de tipo Iα = = y

0 01 ( / )p Aceptar H H es ciertaα− =

Por otra parte:

0 0( / ) ( )p Aceptar H H es falsa p Error de tipo IIβ = = y

0 01 ( / )p Rechazar H H es falsaβ− =

A la probabilidad 1 β− se le denomina potencia del contraste.

9.4. REGIONES DE ACEPTACIÓN Y DE RECHAZO Sabemos ya formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Lo que necesitamos ahora es un criterio para saber si debemos aceptar una u otra, es decir, ¿con cuál de las dos hipótesis nos quedamos?



Al tener ya formulada la hipótesis nula, es necesario que las evidencias sean muy fuertes para rechazarla; es decir, puede que haya cambios debidos al azar, en cuyo caso el cambio no es significativo, y no cambiamos, pero puede que los cambios sean debidos a otras causas. En este último caso es cuando el cambio es significativo y rechazaremos. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es fijar un cierto intervalo dentro del cuál es normal que haya cambios, es decir, una región tal que si el parámetro se mantiene en dicho intervalo, nos seguimos quedando con H0, pues esas pequeñas variaciones son debidas al azar. Ese intervalo o región se denomina región de aceptación, y será mayor o menor dependiendo del nivel de confianza que precisemos, 1 α− . La región que quede fuera de la región de aceptación indica que en este caso los cambios no se pueden atribuir al azar, y por tanto hemos de rechazar H0 y aceptar H1. Tal región se llama región crítica o de rechazo.

9.5. CONTRASTE UNILATERAL Y BILATERAL

Según la forma de la región de rechazo, un contraste de hipótesis se denomina: 1 Contraste bilateral (o de dos colas): En este caso la región de rechazo o región crítica está formada por dos conjuntos de puntos disjuntos. Dicho caso se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H0: kµ = y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: kµ ≠ . La región crítica para un cierto nivel α sería, en la N(0,1):

El intervalo / 2, / 2( )z zα α− es la región de aceptación

La región no sombreada es la región crítica, formada por dos partes o colas Fijémonos en que el nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas respecto de la media. La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente intervalo de probabilidad para µ , es decir:

/ 2 / 2,z zn nα ασ σµ µ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠



Las correspondientes regiones críticas serán:

/ 2 / 2, ,z zn nα ασ σµ µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − ∪ + ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 Contraste unilateral (o de una cola): En este caso la región crítica está formada por un sólo conjunto de puntos. Como se observa en las figuras, el nivel de significación α se concentra sólo en una parte o cola. Este caso se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H0: kµ ≥ y la hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: kµ < (También si aparece kµ ≤ ). A nivel de confianza 1 α− , las regiones serían, en la N(0,1): a) Unilateral por la derecha:

El intervalo , / 2( )zα−∞ es la región de aceptación.

La región no sombreada es la Región crítica, formada por una parte o cola La región de aceptación en este caso será:

/ 2, znασµ⎛ ⎞−∞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

La correspondiente región crítica será:

/ 2 ,znασµ⎛ ⎞+ ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) Unilateral por la izquierda:

El intervalo / 2,( )zα− ∞ es la región de aceptación.

La región no sombreada es la Región crítica, formada por una parte o cola



La región de aceptación en este caso será:

/ 2 ,znασµ⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

La correspondiente región crítica será:

/ 2, znασµ⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

En todos los casos, conociendo el nivel de confianza 1 α− , tendremos que determinar el valor / 2zα (para contrastes bilaterales) o bien zα (para contrastes unilaterales), que separa las regiones de rechazo y aceptación. Algunos de estos valores más comunes se dan en la tabla adjunta, que en los bilaterales son los mismos que para intervalos de confianza o probabilidad, ya vistos con anterioridad:

Valores más comunes para contrastes bilaterales y unilaterales derechos.

Los correspondientes para los unilaterales izquierdos son negativos.

9.6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL

Los procedimientos seguidos en las pruebas de hipótesis correspondientes a las situaciones de decisión estadística se encuentran totalmente prefijados y se llevan a cabo en una serie de etapas que facilitan su comprensión, y que son: 1 Enunciado: Se enuncia la hipótesis nula H0. Consiste en atribuirle un valor a un parámetro de cierta población. 2 Deducción de conclusiones: Si la hipótesis nula fuera cierta, tal parámetro de la muestra se distribuiría de forma conocida. En consecuencia:



• Se elige un nivel de significación. Son los más comunes 0,10α = ; 0,05α = ; 0,01α = .

• Se construye la zona de aceptación. Es el intervalo fuera del cuál solo se

encuentran el 100%α ⋅ de los “casos más raros”. 3 Verificación: Se extrae una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso anterior y de ella se obtiene el correspondiente parámetro. 4 Decisión: Si el valor del parámetro muestral cae dentro de la zona de aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α . Si no, se rechaza.

Ejemplo 3. Se cree que el cociente intelectual medio de los estudiantes de una universidad es 113, con una desviación típica de 7. Para contrastar la hipótesis, se extrae una muestra de 180 estudiantes y se obtiene en ellos un cociente intelectual medio de 115. ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5 %? 1 Enunciado: 0 : 113H µ = , 1 : 113H µ ≠ . 2 Deducción de conclusiones: Puesto que el tamaño de la muestra, 180n = , es mayor que 30, las medias maestrales se distribuirían (si la hipótesis fuera cierta):

7113, (113;0,52)180

N N⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Construimos el intervalo de aceptación:

/ 20,05 1,96zαα = → = . Intervalo: 113 1,96 0,52 (111,98;114,02)± ⋅ = 3 Verificación: En una experiencia real, sería ahora cuando se extrajera la muestra y se obtendría en ella el valor de la media 115x = . 4 Decisión: Puesto que 115 no pertenece a la zona de aceptación, rechazamos la hipótesis. Es decir, no podemos dar por bueno que el C.I. medio de los estudiantes de esa universidad sea 113.

Ejemplo 4. El peso de los pollos de una granja es normal con media 2,6 kg y desviación típica 0,5. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 50 crías. Cuando se hacen adultos,



se les pesa y se obtiene una media de 2,78 kg. Vamos a contrastar la hipótesis de que el peso medio de la población no aumenta, con un nivel de significación del 1%. 1 Enunciado: 0 : 2,6H µ ≤ , 1 : 2,6H µ > . 2 Deducción de conclusiones: Construimos el intervalo de aceptación:

0,5;2,6 2,33 ( ;2,76)50

⎛ ⎞−∞ + ⋅ = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 Verificación: El valor obtenido mediante la muestra, 2,78 kg, queda fuera de la zona de aceptación. 4 Decisión: Por tanto, se rechaza 0H y se acepta 1H (la población aumentará de peso con el nuevo tipo de alimentación) con un nivel de significación de 0,01.



EJERCICIOS DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se

considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2 400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra da una duración media de 2 320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?

2. Un laboratorio afirma que un calmante quita la jaqueca en 14 minutos en los casos

corrientes. Con el fin de comprobar esta información, se eligen al azar 30 pacientes con jaqueca y se toma como variable en el experimento el tiempo que transcurre entre la administración del calmante y el momento en que desaparece la jaqueca. Los resultados obtenidos en esta muestra fueron media 17 minutos y desviación típica 7 minutos. ¿Podemos admitir como cierta la afirmación del laboratorio a un nivel de confianza del 95%?

3. Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 2 400 €. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 16 000 €. Contrasta, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es 14 500 €. Para ello, responde: a) ¿Cuáles son la hipótesis nula y la alternativa del contraste? b) Determina la forma de la región crítica. c) ¿Se acepta la hipótesis nula, con el nivel de confianza indicado?

4. Sabemos que la vida media de las lavadoras de una determinada marca sigue una

distribución normal con una desviación típica de 0,7 años. Un fabricante de dicha marca afirma que sus lavadoras tienen una vida media de 10 años. Para comprobar dicha afirmación se obtuvo una muestra de 50 lavadoras, cuya duración media fue de x– = 9,2 años. a) Formula la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste. b) Determina la zona de aceptación y realiza el contraste (con un nivel de confianza del 95%). c) Explica, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores del tipo I y II.

5. Se ha comprobado que el tiempo de espera (en minutos) hasta ser atendido, en cierto servicio de urgencias, sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 100 personas que fueron atendidas en dicho servicio, se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviación típica de 2,5 minutos. a) ¿Podríamos afirmar, con un nivel de significación del 5% (α = 0,05), que el tiempo medio de espera, en ese servicio de urgencias, no es de 15 minutos? b) ¿Qué podríamos concluir si el nivel de significación hubiese sido del 0,1% (α = 0,001)? c) ¿Existe contradicción en ambas situaciones?



6. La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

7. Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años, con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6? Justifica adecuadamente la respuesta.

8. En función de la información disponible, la dirección de un centro de secundaria ha establecido que la media de horas semanales dedicadas por el alumnado de ese centro al estudio es superior a 15, con una desviación típica igual a 1 hora. Durante el presente curso, el Departamento de Matemáticas quiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello, elige una muestra aleatoria de 150 alumnos, obteniendo una media muestral de 12,7 horas. a) ¿Puede afirmarse, con un nivel de confianza del 90%, que ha disminuido el tiempo medio dedicado al estudio por los alumnos y alumnas del centro? b) Responde a la pregunta a) con un nivel de significación del 1%.

9. Según la normativa sobre contaminación atmosférica, los motores de los automóviles no deben emitir más de 5 ppm (partes por millón) de CO2. Dentro de sus procesos de control de calidad, un fabricante ha medido la emisión de CO2 en una muestra de 36 motores, obteniendo una media de 5,5 ppm y una desviación típica de 0,6 ppm. Contrasta, con un nivel de significación igual a 0,05, la hipótesis de que los motores de este fabricante cumplen en media la normativa sobre contaminación.

10. La Concejalía de Juventud de un Ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable normal con media 29 años y desviación típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayuntamiento. Así, de un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28,1 años de edad. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a que sí lo ha hecho como parecen indicar los datos? Plantea el contraste o test de hipótesis y resuélvelo. b) Explica, en el contexto del problema, en qué consisten cada uno de los errores del tipo I y II.

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