Libro Math II Unidad

7/21/2019 Libro Math II Unidad

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124345667878900455667768077969493249782342375476687231233456768709870978578436723514134

126534547656758686789776898790768498564876324625412343505696785954753462361236123612362

346234834584567575785678989997589435783856435874568567768987568754868456877978989078909

684573452136234745857658789789233445698067807263261761237134745468467096709780568458348

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66709457437862315126354755756

II UNIDAD

FUNCIONESTRASCENDENTALES

UCENM


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MATEMATICAS II UCENM

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2. FUNCIONES EXPONENCIALES

Es conocida formalmente como la funcin real e, donde ees el nmero de

Euler, aproximadamente 2.71828...; esta funcin tiene por dominio de

definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su

derivada es la misma funcin.

2.11APLICACIN DE LAS LEYES DE EXPONENTES PARA TODOS LOS EXPONENTES

REALES

NOTA: Despus de conocer la definicin de un exponente, aplicamos las leyes de exponentespara todos los exponentes median ejemplos.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

A.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 72 76?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos losexponentes, Usted sabe que estosignifica:

(7 7) (7 7 7 7 7 7)

Si elimina los parntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito mssimplemente como:

78

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

72 76= 7(2 + 6) = 78

En general, para todos los nmeros reales a, b, y c,

ab ac= a(b + c)

COPIO Y APRENDO

Los exponentes en matemticas son generalmente nmeros o

variables escritos como superndices al lado de otro nmero o

variable. La exponenciacin es cualqu ier operacin matemtica

que uti l iza a exponentes.

Cada forma de exponente debe seguir reglas nicas para

resolverse; adems, algunas formas exponencial es son

fundamentales para ciertas aplicaciones y reglas de la vida real
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Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayora de lasotras propiedades.

B.

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es1. ("Debe ser 0!") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porqueesto debe ser verdadero.

70 71= 7(0 + 1) = 71

Sabemos que 71 = 7. As, esto nos dice que 70 7 = 7. Qu nmero por 7 es igual a 7? Sidecimos que 0, tenemos 0 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los nmeros reales a, a 0, tenemos:

a0= 1

Dese cuenta que 00no est definido. (Presione aqu para ver porque.)

C. EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta tambin. Suponga quedesea saber cunto es 5-2.

5-2 52= 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 52= 25, y sabemos que 50= 1. As, esto nos dice que 5-2 25 = 1. Que nmero por25 es igual a 1? Ese sera su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los nmeros reales a y b, donde a 0, tenemos:

D.

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Ascuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras,para todos los nmeros reales a, b, y c, donde a 0,
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Lo que realmente est haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y deldenominador. Ejemplo:

E. PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas sehacen un poco de forma distinta.

32 42= (3 3) (4 4)

Debido a las propiedadesconmutativa yasociativa de la multiplicacin, podemos reescribiresto como

32 42= (3 4) (3 4) = 12 2

En general, para todos los nmeros reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c nosean cero):

ac bc= (ab)c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor yluego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

F. PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminacin de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los nmeros reales a, b, y c (siempre que b 0, ya y c ambas no sean 0):
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G. PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un nmeroelevado a una potencia, y multiplica la expresin completa por si misma una y otra vez. Esto eslo mismo que elevar la expresin a una potencia:

(53)4 = (53)(53)(53)(53)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3= 54(3)= 512

As es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los nmeros reales a, b, y c,(ab)c= abc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

H. EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Peroque pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

91/2 91/2= 9(1/2 + 1/2) = 91

Sabemos que 91= 9, as 91/2= . As, el exponente trabaja como una raz cuadrada.

Similarmente, a1/3 es equivalente a .

y en general

y .


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2.12 IDENTIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION EXPONENCIAL

PARA ESTABLECER SU DEFINICION.

Las caractersticas generales de las funciones exponenciales son:

1) El dominio de una funcin exponencial es R.

2) Su recorrido es (0, +).

3) Son funciones continuas.

4) Como a0= 1 , la funcin siempre pasa por el punto (0, 1).

La funcin corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.

5) Como a1= a , la funcin siempre pasa por el punto (1, a).

6) Si a > 1 la funcin es creciente.

Si 0 < a < 1 la funcin es decreciente.

7) Son siempre concavas.

8) El eje X es una asntota horizontal.

Ejemplo de funciones exponenciales: f(x) = 2x g(x) = 2- x= (1/2)x

COPIO Y APRENDO

Se llama funcin exponencial a aquella cuya expresin es:f ( x ) = k . ax + b Esta funcin tiene por dominio de definicin elconjunto de los nmeros reales, y cuenta con una caractersticaparticular, ya que su derivada es la misma funcin.


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1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ) .

Im(f) = Im(g) = (0, + ) .

3) Puntos de corte:

f(0) = 20= 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

g(0) = - 20= 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).

La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La funcin f(x) es creciente ya que a >1 .

La funcin g(x) es decreciente ya que 0 < a


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Entonces:El nmero k es distinto de cero, ya que si no fuera as, quedara una funcin constante: f ( x ) =b , porque se anula el primer trmino.

El nmero a, por su parte, debe ser mayor que cero, ya que si a fuera un nmero negativo, porejemplo -4, no podramos elevarlo 1/2, es decir, sacar su raz cuadrada.

En el grfico, la funcin es creciente, ya que a es mayor que uno, corta al eje de las ordenadasen uno y no tiene races, no corta al eje x.

A medida que los valores de x son menores, y toma valores cada vez ms prximos a cero. En

ese caso, decimos que la funcin tiene una asntota horizontal en y = 0.

El dominio de la funcin son todos los nmeros reales mientras que la imagen son losnmeros reales mayores que cero.

2.13 IDENTIFICACION DE LAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

La funcin exponencial (yexponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes

propiedades generales.

Son las nicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el

caso de que tengan una base distinta a e)
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_exponencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_exponencial


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Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemtica y ciencias radica

principalmente de las propiedades de suderivada.En particular,

Es decir, exes su propiaderivada. Es la nica funcin con esa propiedad (sin tomar en

cuenta la multiplicacin de la funcin exponencial por una constante). Otras formas de

expresar lo anterior:

Lapendiente del grfico en cualquier punto es la altura de la funcin en ese punto.

La razn de aumento de la funcin en x es igual al valor de la funcin en x.

La funcin es solucin de laecuacin diferencial .

Si la base de la funcin exponencial es cualquier nmero real a mayor que 0, entonces su

derivada se puede generalizar as:

donde la funcin ln(a) es ellogaritmo natural de a. En el caso particular

de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

Funcin exponencial compleja

Grfico de la parte real de una funcin exponencial en el campo de los complejos

Como en el caso real, la funcin exponencial puede ser definida como unafuncin

holomorfa en elplano complejode diferentes maneras. Algunas de ellas son simples

extensiones de las frmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los

nmeros reales. Especficamente, la forma ms usual de definirla para el dominio de
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfahttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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losnmeros complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se

sustituye por la variable compleja z:

para valoresimaginarios puros se cumple la identidad

,

en el que un caso particular es laidentidad de Euler,conocida tambin como la frmula

ms importante del mundo.

Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y nmeros reales, se obtiene

una definicin equivalente a la primera,

relacin que demuestra que esta funcin, adems de ser holomorfa, es peridica, con un

periodo para laparte imaginaria de .

2.14 GRAFICACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES

La funcin exponencial es del t ipo:

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le

hace corresponder la potencia a x se llama funcin exponencial de base a

y exponente x.

Ejemplos X y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejoshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginariohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginariohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos


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x y = () x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1

2

3 1/8

2.15 APLICACIN DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES PARA RESOLVER PROBLEMAS CIENTIFICOS

Y TECNOLOGICOS

En la leccin deIntroduccin a Funciones Exponenciales,aprendimos a obtener la frmula defunciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cmoobtener las frmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Ejemplo:

Una poblacin de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 aos.

1.

Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento de la poblacin deaves?

2.

Cuntas aves hay despus de 4 aos?3. Despus de cunto tiempo la poblacin de aves ser de 1000 individuos?

Solucin:

1.

Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento de la poblacin deaves?

Si x representa el nmero de aos transcurridos, segn lo aprendido en la leccindeIntroduccin a Funciones Exponenciales,sabemos que la frmula para la poblacines:

f x = 50 3 x2
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp/fn_exp.htmlhttp://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp/fn_exp.htmlhttp://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp/fn_exp.htmlhttp://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_exp/fn_exp.html


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2.

Cuntas aves hay despus de 4 aos?

Usando la frmula para x = 4, la poblacin ser:

f 4 = 50 3 42 = 50 3 2 = 450

Despus de 4 aos habr 450 aves.

3. Despus de cunto tiempo la poblacin de aves ser de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 50 3 x2 1000 = 50 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4

La poblacin de aves ser de 1000 individuos despus de 5.4 aos.

Ejemplo:

Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramosrestantes en el torrente sanguneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

1. Cul es la frmula de la funcin que representa la cantidad del medicamento restanteen el torrente sanguneo del paciente?

2. Cuntos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguneo del pacientedespus de 3 horas?

3. Despus de cunto tiempo quedar solo 1 miligramo del medicamento del torrentesanguneo del paciente?

Solucin:

1. Cul es la frmula de la funcin que representa la cantidad del medicamento restanteen el torrente sanguneo del paciente?

Si x representa el nmero de horas transcurridas, la frmula para la cantidad demedicamento en el torrente sanguneo del paciente es:

f x = 50 13 x 5

2.

Cuntos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguneo del paciente

despus de 3 horas?

Usando la frmula para x = 3:

f 3 = 50 13 3 5 = 50 13 0.6 25.86

Despus de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento enel torrente sanguneo del paciente.


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3.

Despus de cunto tiempo quedar solo 1 miligramo del medicamento del torrentesanguneo del paciente?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :

f x = 50 13 x 5 1 = 50 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln ( 150 ) = x 5 ln ( 13 )5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x 17.8

Despus de aproximadamente 17.8 horas, solo quedar 1 miligramo del medicamentoen la sangre del paciente.

Encontrar la Funcin a Partir de Valores Dados

Ejemplo:

En una investigacin cientfica, una poblacin de moscas crece exponencialmente. Si despusde 2 das hay 100 moscas y despus de 4 das hay 300 moscas.

1. Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento de la poblacin demoscas?

2. Cuntas moscas hay despus de 5 das?3.

Despus de cunto tiempo la poblacin de moscas ser de 1000 individuos?

Solucin:

1.

Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento de la poblacin demoscas?

Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando una funcin de laforma:

f x = y 0 a x b

Donde x representa el nmero de das transcurridos. Las condiciones del problemanos permiten crear la siguiente tabla:

X 2 4

f(x) 100 300

Los valores de la tabla indican que la poblacin de moscas se triplic en un periodo de2 das, lo que nos permite escribir la frmula as:

f x = y0 3 x2

Sabemos que f(2)=100. Reemplazando en la frmula para hallar y0:

f 2 = y0 3 22 100 = y0 3 1 y0 = 1003


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Finalmente la frmula para el crecimiento de las moscas es:

f x = 1003 3 x2

2. Cuntas moscas hay despus de 5 das?

Usando la frmula para x = 5, la poblacin ser:

f 5 = 1003 3 52 f 5 520

Despus de 5 das habr aproximadamente 520 moscas.

3. Despus de cunto tiempo la poblacin de moscas ser de 1000 individuos?


f x = 1003 3 x2 1000 = 1003 3 x2 30 = 3 x2 ln (30 ) = ln ( 3 x2 ) ln (30 ) = x2 ln (3 )

2 ln (30 )ln (3 ) = x x 6.19

La poblacin de moscas ser de 1000 individuos despus de aproximadamente 6.19das.

Ejemplo:

Se tiene un cultivo de bacterias en un laboratorio y se sabe que su crecimiento es exponencial.El conteo del cultivo de bacterias fue de 800 despus de 1 minutos y 1280 despus de 2minutos.

1. Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento del cultivo debacterias?

2.

Cuntas bacterias hay despus de 5 minutos?3. Despus de cunto tiempo el nmero de bacterias ser de 10000?

Solucin:

1. Cul es la frmula de la funcin que representa el crecimiento de la poblacin demoscas?Como hablamos de un crecimiento exponencial estamos buscando unafuncin de la forma:

f x = y 0 a x b

Donde x representa el nmero de minutos transcurridos. Las condiciones delproblema nos permiten crear la siguiente tabla:

X 1 2

f(x) 800 1280


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El periodo de tiempo entre las dos observaciones es de 1 minuto. Queremos encontrarel factor de crecimiento en el periodo de tiempo. Es decir, queremos encontrar a conlos datos de la tabla:

a 800 = 1280 a = 1.6

Lo que nos indica que hubo un factor de crecimiento del 1.6 despus de 1 minuto.Reemplazando estos valores en la frmula tenemos:

f x = y 0 1.6 x

Sabemos que f(1)=800. Reemplazando en la frmula para hallar y0:

f 1 = y 0 1.6 1 800 = y 0 1.6 y 0 = 800 1.6 y 0 = 500

Finalmente la frmula para el crecimiento de las bacterias es:

f x = 500 1.6 x

2. Cuntas bacterias hay despus de 5 minutos?

Usando la frmula para x = 5, la poblacin de bacterias ser:

f 5 = 500 1.6 5 f 5 5242.88

Despus de 5 das habr aproximadamente 5242.88 bacterias.

3.

Despus de cunto tiempo el nmero de bacterias ser de 10000?


f x = 500 1.6 x 10000 = 500 1.6 x 20 = 1.6 x ln ( 20 ) = ln ( 1.6 x ) ln ( 20 ) = x ln ( 1.6) ln ( 20 ) ln ( 1.6 ) = x x 6.37

La poblacin de bacterias ser de 10000 despus de aproximadamente 6.37 minutos.


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2.2 FUNCIONES LOGARITMICAS

La funcin logartmica es del tipo f ( x ) = logbxdonde b representa a un nmero real distinto de 1 yx es siempre mayor que 0 b ? R; b = 1; x > 0

La grfica de la funcin logartmica f ( x ) = log2 x es:

2.21 REFORMULACION DE LAS LEYES DE EXPONENTES COMO LEYES LOGARITMICAS

Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes

propiedades generales.

Son las nicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en elcaso de que tengan una base distinta a e)

su lmite en - es 0, y en + es +

Propiedad Enunciado Ejemplos

Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero. 40= 1, 100 =1

Un exponente negativo es el recproco de la potencia positiva.

bmbn= bn+mEn el producto con bases iguales se suman los exponentes. 2223= 22 + 3= 25= 32
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17/45


87

(- 5)2(- 5)(- 5)3=(- 5)6 = 16625(bm )n= bn mUna base con doble exponente; se multiplican los exponentes. (33)2= 33 x 2= 36= 729(-33)2= (-3)3 x 2= (-3)6= 729(ab)n= anbnUn producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente. (7x)2= 72x2= 49x2

(-4y2)3= (-43 y2 x 3) = -64y6

En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.

Un cociente elevado a un exponente; cada trmino se eleva a ese

exponente.

Un cociente con exponente negativo es el recproco del cociente

positivo.

Un cociente donde cada trmino tiene exponente negativo es el recproco positivo de cada

trmino.
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Propiedades de los Radicales

Producto de radicalesRadicales del mismo ndice

Radicales de distinto ndice

Primero sereducen a ndice comn y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Radicales de distinto ndice

Primero se reducen a ndice comn y luego se dividen.

Potencia de radicalesPara elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja elmismo ndice.

Raz de un radicalLa raz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo ndice es el producto delos dos ndices.

Racionalizar radicalesConsiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el clculo deoperaciones como la suma de fracciones.Podemos distinguir tres casos.

1Del tipoSe multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo
http://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifhttp://lh3.ggpht.com/-xRa_4fSw8vY/TlSRrwur0uI/AAAAAAAAAcY/9F4EdXfGcs0/s1600-h/clip_image025[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-963P-ByIQCs/TlSRrYE64rI/AAAAAAAAAcQ/7gPPFKsXK-8/s1600-h/clip_image024[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-rDUiINvd2gk/TlSRq6hh_hI/AAAAAAAAAcI/kIrSI_j8uLE/s1600-h/clip_image023[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UtnP9g4rna0/TlSRqd2klmI/AAAAAAAAAcA/DlydamYUGiI/s1600-h/clip_image022[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-86iwPFNzuMU/TlSRpv9zOhI/AAAAAAAAAb4/1KClFRi_BEo/s1600-h/clip_image021[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Ep43A9idSzY/TlSRtWLC10I/AAAAAAAAAcw/jGOrzACuh-U/s1600-h/clip_image028[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-ADHfNhjb9fo/TlSRsw1ohfI/AAAAAAAAAco/6hIcdkScO68/s1600-h/clip_image027[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-2ICODLOmJc8/TlSRsf6DuyI/AAAAAAAAAcg/zRvGp9wUPVM/s1600-h/clip_image026[3].gifht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19/45


89

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con almenos un radical.Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

2.22 IDENTIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES

LOGARITMICAS

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritmticas muy tiles a la hora de realizarclculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo deldenominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base

de la potencia.

El logaritmo de una raz es igual al producto entre la inversa del ndice y el logaritmo delradicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin ms que hacer:

2.23 GRAFICACION DE FUNCIONES LOGARITMICAS

En primer lugar, comenzar con las propiedades de la grfica de la funcin logartmica de basede una base,

f (x) = log a(x), a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la funcin f es el intervalo (0, + inf). El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).
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tp://lh4.ggpht.com/-a94VtoEIjYA/TlSRvqKxLVI/AAAAAAAAAdI/o1KkMR7G-fs/s1600-h/clip_image031[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-WZgkGkXyv7I/TlSRuckIEBI/AAAAAAAAAdA/A7cfHsj3NKs/s1600-h/clip_image030[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-qSMyr8NBtto/TlSRt8FQOGI/AAAAAAAAAc4/xf9XJTxIfZ0/s1600-h/clip_image029[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-yf2nk1bWJ2s/TlSRzdF6iAI/AAAAAAAAAd4/rInW4ENVXJs/s1600-h/clip_image037[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Fe5OeeRJZlg/TlSRzEVH32I/AAAAAAAAAdw/x1cXL6G7M84/s1600-h/clip_image036[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-9vQOf6Ce6BY/TlSRyeeA1II/AAAAAAAAAdo/XFpfNKWGooY/s1600-h/clip_image035[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Xa-jgtgkVCM/TlSRxuNlCQI/AAAAAAAAAdg/o50cSZ0FcV4/s1600-h/clip_image034[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-Pa1JKroqPj0/TlSRw7bBV8I/AAAAAAAAAdY/bxoTqdScbyc/s1600-h/clip_image033[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UvnS-SJTjV4/TlSRwMNh1vI/AAAAAAAAAdQ/AtxjIIUb-6s/s1600-h/clip_image032[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-a94VtoEIjYA/TlSRvqKxLVI/AAAAAAAAAdI/o1KkMR7G-fs/s1600-h/clip_image031[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-WZgkGkXyv7I/TlSRuckIEBI/AAAAAAAAAdA/A7cfHsj3NKs/s1600-h/clip_image030[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-qSMyr8NBtto/TlSRt8FQOGI/AAAAAAAAAc4/xf9XJTxIfZ0/s1600-h/clip_image029[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-yf2nk1bWJ2s/TlSRzdF6iAI/AAAAAAAAAd4/rInW4ENVXJs/s1600-h/clip_image037[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Fe5OeeRJZlg/TlSRzEVH32I/AAAAAAAAAdw/x1cXL6G7M84/s1600-h/clip_image036[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-9vQOf6Ce6BY/TlSRyeeA1II/AAAAAAAAAdo/XFpfNKWGooY/s1600-h/clip_image035[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Xa-jgtgkVCM/TlSRxuNlCQI/AAAAAAAAAdg/o50cSZ0FcV4/s1600-h/clip_image034[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-Pa1JKroqPj0/TlSRw7bBV8I/AAAAAAAAAdY/bxoTqdScbyc/s1600-h/clip_image033[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UvnS-SJTjV4/TlSRwMNh1vI/AAAAAAAAAdQ/AtxjIIUb-6s/s1600-h/clip_image032[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-a94VtoEIjYA/TlSRvqKxLVI/AAAAAAAAAdI/o1KkMR7G-fs/s1600-h/clip_image031[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-WZgkGkXyv7I/TlSRuckIEBI/AAAAAAAAAdA/A7cfHsj3NKs/s1600-h/clip_image030[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-qSMyr8NBtto/TlSRt8FQOGI/AAAAAAAAAc4/xf9XJTxIfZ0/s1600-h/clip_image029[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-yf2nk1bWJ2s/TlSRzdF6iAI/AAAAAAAAAd4/rInW4ENVXJs/s1600-h/clip_image037[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Fe5OeeRJZlg/TlSRzEVH32I/AAAAAAAAAdw/x1cXL6G7M84/s1600-h/clip_image036[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-9vQOf6Ce6BY/TlSRyeeA1II/AAAAAAAAAdo/XFpfNKWGooY/s1600-h/clip_image035[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-Xa-jgtgkVCM/TlSRxuNlCQI/AAAAAAAAAdg/o50cSZ0FcV4/s1600-h/clip_image034[3].gifhttp://lh5.ggpht.com/-Pa1JKroqPj0/TlSRw7bBV8I/AAAAAAAAAdY/bxoTqdScbyc/s1600-h/clip_image033[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-UvnS-SJTjV4/TlSRwMNh1vI/AAAAAAAAAdQ/AtxjIIUb-6s/s1600-h/clip_image032[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-a94VtoEIjYA/TlSRvqKxLVI/AAAAAAAAAdI/o1KkMR7G-fs/s1600-h/clip_image031[3].gifhttp://lh6.ggpht.com/-WZgkGkXyv7I/TlSRuckIEBI/AAAAAAAAAdA/A7cfHsj3NKs/s1600-h/clip_image030[3].gifhttp://lh4.ggpht.com/-qSMyr8NBtto/TlSRt8FQOGI/AAAAAAAAAc4/xf9XJTxIfZ0/s1600-h/clip_image029[3].gif


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El smbolo inf significa infinito.

La funcin f tiene una asntota vertical dada por x = 0. Esta funcin tiene una x en lainterseccin (1, 0). f aumenta a medida que aumenta x.

Es posible que desee revisar todas las propiedades anteriormente mencionadas de la funcin

logartmicade forma interactiva.

Ejemplo: f es una funcin dada por

f (x) = log 2(x + 2)

a. Determine el dominio de f y el rango de f.b. Encuentra la asntota vertical de la grfica de f.c.

Encuentra la X y la intercepta y de la grfica de f si los hay.d. Dibuje la grfica de f.

Respuesta a la Ejemplo

a - El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que

x + 2 > 0

x > -2

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b - La asntota vertical se obtiene mediante la solucin de

x + 2 = 0

lo que da

x = -2

Cuando x tiende a -2 de la derecha (x> -2), f (x) decrece sin lmite. Cmo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (-1) = log 2(-1 + 2) = log 2(1) = 0

f (-1,5) = log 2(-1,5 + 2) = log 2(1 / 2) = -1

f (-1,99) = log 2(-1,99 + 2) = log 2(0.01), que es aproximadamente igual a -6,64

f (-1.999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0.000001), que es aproximadamente igual a -19,93.
http://www.analyzemath.com/logfunction/logfunction.htmlhttp://www.analyzemath.com/logfunction/logfunction.html


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c - Para encontrar la interseccin x tenemos que resolver la ecuacin f (x) = 0

log2(x + 2) = 0

Usar las propiedades de las funciones logartmicas y exponenciales para escribir la ecuacinanterior como

x + 2 = 2^0

x = -1

La interseccin x es (-1, 0).

La interseccin est dada por (0, f (0)) = (0, log 2(0 + 2)) = (0, 1).

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asntota vertical. Necesitamosms puntos.Vamos a considerar un punto en x = -3 / 2 (a medio camino entre la X y lainterseccin de la asntota vertical) y otro punto en x = 2.

f (-3 / 2) = log 2(-3 / 2 + 2) = log 2(1 / 2) = log 2(2 -1) = -1.

f (2) = log 2(2 + 2) = log 2(2 2) = 2.

Ahora tenemos ms informacin sobre la forma de grfico de f. El grfico aumenta a medidaque aumenta x.Cerca de la asntota vertical x = -2, la grfica de f disminuye sin lmite cuando xtiende a -2 de la derecha. La grfica no corta la asntota vertical. Nos unen ahora a losdiferentes puntos de una curva suave.


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Igualados Problema Ejemplo: f es una funcin dada por


f (x) = -3ln (x - 4)

a. Determine el dominio de f y el rango de f.b. Encuentra la asntota vertical de la grfica de f.c.

Encuentra la X y la intercepta y de la grfica de f si los hay.d. Dibuje la grfica de f.

Respuesta al Ejemplo


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x - 4 > 0

x> 4



x - 4 = 0

x = 4

Cuando x tiende a 4 de la derecha (x> 4), f (x) crece sin lmite. Cmo sabemos esto?


f (5) = ln (5-4) =-3ln (1) = 0

f (4,001) =-3ln (0,001), que es aproximadamente igual a 20,72.

f (4.000001) =-3ln (0,000001), que es aproximadamente igual a 41,45.

c - Para encontrar la interseccin x tenemos que resolver la ecuacin f (x) = 0

-3ln(x - 4) = 0

Divide ambos lados por -3 a obtener

ln (x - 4) = 0

Usar las propiedades de las funciones logartmicas y exponenciales para escribir la ecuacinanterior como

e ln (x - 4)= e 0

Luego de simplificar

x - 4 = 1

x = 5

La x es interceptar en (5, 0).


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La interseccin est dada por (0, f (0)). f (0) no est definido ya que x = 0 no es un valor en eldominio de f. No hay ninguna interseccin.

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x interceptar y la asntota vertical. Necesitamospuntos extra para poder grfico de f.

f (4,5) =-3ln (4,5 - 4) aproximadamente igual a 2,08

F (8) =-3ln (8 - 4) aproximadamente igual a - 4,16

f (14) =-3ln (14 - 4) aproximadamente igual a - 6,91

Veamos ahora esbozar todos los puntos y la asntota vertical. nete a los puntos por una curvasuave y F aumenta a medida que x se aproxima a 4 de la derecha.


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Igualados Problema Ejemplo: f es una funcin dada por


f (x) = 2ln (| X |)

1. Determine el dominio de f y el rango de f.2.

Encuentra la asntota vertical de la grfica de f.3. Encuentra la X y la intercepta y de la grfica de f si los hay.4. Dibuje la grfica de f.

Respuesta a la Ejemplo


|x| > 0

El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales excepto 0.



|x| = 0

lo que da

x = 0

Cuando x tiende a 0 por la derecha (x> 0), f (x) decrece sin lmite. Cmo sabemos esto?


f (1) = 2 ln (| 1 |) = 0

f (0,1) = 2ln (0,1), que es aproximadamente igual a -4,61.

f (0,0001) = 2ln (0,0001), que es aproximadamente igual a -18,42.

f (0.0000001) = 2ln (0,0000001), que es aproximadamente igual a -32,24.


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Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda (x


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f (-x) = 2 ln (| x |) = f (x), esto demuestra que f es una funcin par.

Vamos a encontrar puntos extra.

f (4) = 2ln (| 4 |) aproximadamente igual a 2,77.

f (0,5) = 2ln (| 0.5 |) aproximadamente igual a - 1,39.

Como f es an f (-4) = f (4) y f (-0,5) = f (0,5).

Veamos ahora esbozar todos los puntos, la asntota vertical y Una los puntos por una curvasuave.

2.24 IDENTIFICACION DE LOS LOGARITMOS COMUNES Y NATURALES

Introduccin a los logaritmos naturales y comunes

En las funciones exponenciales y logartmicas, cualquier nmero puede ser la base. Sinembargo, hay dos bases que se usan tan frecuentemente en las matemticas que tienennombres especiales para sus logaritmos, y las calculadoras cientficas tienen teclas especialespara ellos! Estos son los logaritmos comunes y los logaritmos naturales.


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Los logaritmos comunes y de base e

Unlogaritmo comn es cualquier logaritmo con base 10. Recuerda que nuestro sistemanumrico es base 10; hay diez dgitos del 0-9 y el valor de posicin se determina en grupos dediez. Puedes recordar un logaritmo comn, entonces, como un logaritmo cuya base es

nuestra base comn, 10.

Loslogaritmos naturales son distintos a los algoritmos comunes. Mientras que la base de loslogaritmos comunes es 10, la base de un logaritmo natural es el nmero especiale. Si bienesto parece una variable, representa un nmero irracional aproximadamente igual a2.718281828459. (Como pi, contina sin un patrn repetido en sus dgitos.) e tambin sellama nmero de Euler o constante de Napier y se escogi la letra e en honor del matemticoLeonhard Euler (pronunciado oiler).

ees un nmero complicado pero interesante. Vemoslos ms de cerca a travs del lente deuna frmula que ya has visto antes: inters compuesto.

La frmula del inters compuesto es , donde A es la cantidad de dinerodespus de t aos, P es el principal o inversin inicial, r es la tasa de inters anual (expresadacomo decimal, no como porcentaje), m es el nmero de periodos compuestos en un ao y t esel nmero de aos.

Imagina qu pasa cuando el compuesto sucede frecuentemente. Si el inters es compuestoanualmente, entonces m = 1. Si el compuesto es mensual, entonces m = 12. El compuestodiario se representara por m = 365; por cada hora sera m = 8,760. Puedes ver que alaumentar la frecuencia de los periodos compuestos, el valor dem aumenta rpidamente.Imagina el valor de m si el inters fuera compuesto cada minuto o cada segundo!

Incluso puedes ir ms all de un segundo y eventualmente obtener uncompuesto continuamente. Observa los valores en esta tabla, que se parece mucho a laexpresin multiplicada por P en la frmula anterior. Conforme x aumenta, la expresin separece cada vez ms a un compuesto continuo.

x

1 2

10 2.59374

100 2.70481

1000 2.71692

10,000 2.71814

100,000 2.71826

1,000,000 2.71828
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/


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Observa que si bien x aumenta mucho (multiplicndose por 10 cada vez), el valor

de no aumenta tan rpido. De hecho, se acerca cada vez ms y msa2.718281828459o el valor que ahora llamamose.

La funcin f(x) = extiene muchas aplicaciones en economa, negocios y biologa. e es unnmero importante por esta razn.

Trabajando con bases ey base 10

Las calculadores cientficas y las graficadoras tienen teclas que te ayudan a trabajar con e.Busca en tu calculadora y encuentra la tecla etiquetada como eo exp. (Algunascalculadoras graficadoras podran requerir que uses el men para encontrar e. Si no puedesver la tecla, consulta tu manual o pregunta a tu instructor.)

La manera de evaluar expresiones exponenciales usando e (como e3

) depende de tucalculadora. En algunas calculadoras presionas la tecla [ex] y luego el exponente y presionas latecla enter. En otras primero escribes el exponente y luego presionas la tecla [ex]. Esimportante que sepas cmo funciona tu calculadora. Con tu calculadora trata de encontrar e3.El resultado debe ser 20.0855369 (la cantidad de dgitos desplegados tambin depende detu calculadora).

EjemploProblema Encontrar e1.5 usando una calculadora. Redondear la respuesta a

centsimas.Teclea en tu calculadora. Si tienes

problemas obteniendo la respuestacorrecta, consulta tu manual o alinstructor.

4.4816890 Resultado de la calculadora. Ahoraredondea la respuesta a centsimas.

Respuesta 4.48 Para ver si esto funcion con tucalculadora, ve los EjemplosResueltos en este tema.

Puedes encontrar potencias de 10 (la base comn) de la misma manera. Algunas calculadorastienen la tecla [10^] o [10x] que puedes usar para las potencias de 10. Otra manera de

encontrar potencias de 10 es usar la tecla [xy] o [yx] que sirve para cualquier base (aunque siusas este mtodo, tienes que introducir dos nmeros, la base, 10 y el exponente al que laquieres elevar).


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EjemploProblema Encontrar 101.5, usando una calculadora. Redondear la respuesta a

centsimas.Teclea en tu calculadora. Si tienesproblemas obteniendo la respuestacorrecta, consulta tu manual o al

instructor.31.6227766 Resultado de la calculadora. Ahora

redondea la respuesta a centsimas.Respuesta 31.62 Para ver si esto funcion con tu

calculadora, ve los EjemplosResueltos en este tema.

Los logaritmos naturales (usando e como base) y los logaritmos comunes (usando 10 comobase) tambin estn disponibles en las calculadoras cientficas y graficadoras. Cuando unlogaritmo se escribe sin base, debes asumir que es base 10. Por ejemplo:

log 100 = log10100 = 2

Los logaritmos naturales tambin tienen su propio smbolo: ln.

ln 100 = loge100 = 4.60517

Las teclas de los logaritmos normalmente son ms fciles de encontrar, pero podranfuncionar de manera distinta en una calculadora que en otra. La mayora de las calculadorascientficas requieren que teclees primero la entrada y luego presiones la tecla [log] (comn) o[ln] (natural). Otras calculadoras funcionan al revs; presiona la tecla [log] o [ln] y luego tecleala entrada y presiona [Enter] o [=].

En tu calculadora, encuentra la tecla del logaritmo comn ([log] o [log10]) y la tecla dellogaritmo natural ([ln]) y verifica que ln 100 = loge100 = 4.60517.

Ejemplo

Problema Encontrar ln 3, usando una calculadora. Redondear la respuesta acentsimas.

Recuerda que ln significalogaritmo natural, o loge. Teclea lonecesario en tu calculadora. Si

tienes problemas obteniendo larespuesta correcta, consulta tumanual o al instructor.




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Ejemplo

Problema Encontrar log 34, usando una calculadora. Redondear la respuestaa centsimas.

Recuerda, cuando no se especificala base, este es el logaritmo comn

(base 10). Teclea lo necesario en tucalculadora. Si tienes problemasobteniendo la respuesta correcta,consulta tu manual o al instructor.



Graficando funciones exponenciales y logartmicas de base e

Graficar funciones con la base e no es diferente de graficar cualquier otra funcin exponencialo logartmica: Crea una tabla de valores, grafica los puntos y conctalos con una curva suave.Puedes usar una calculadora cuando crees la tabla.

Ejemplo

Problema Graficar f(x) = ex.x f(x)2 0.13531 0.3678

0 11 2.71822 7.3890

Empieza con unatabla de valores. Noolvides escoger

valores negativos ypositivos para x.

Usa una calculadorapara encontrar losvalores de f(x).

(x, y) pares(2, 0.1353)(1, 0.3678)(0, 1)(1, 2.7182)(2, 7.3890)

Si piensas en f(x)como y, cada filaforma un parordenado que puedesgraficar en el planode coordenadas.


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Grafica los puntos.

Respuesta Conecta los puntos lomejor que puedas,usando una curvasuave (no una seriede lneas rectas). Usala forma de unagrfica exponencialpara ayudarte: lagrfica se acercamucho al eje x en laizquierda y es ms

empinada a laderecha.

El mismo proceso funciona para las funciones logartmicas. Escoge valores de x y usa unacalculadora para encontrar los valores de y.

Ejemplo

Problema Graficar f(x) = ln x.x f(x)0.1 2.300.5 0.691 0e 15 1.6010 2.30

Empieza con unatabla de valores. Siescoges valores dex,recuerda que debenser mayores que 0.Escoge valoresmayores y menoresque la base. La base y


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1 tambin son buenasopciones para valoresde x.

(x, y) pares(0.1, 2.30)(0.5, 0.69)(1, 0)(e, 1)(5, 1.60)(10, 2.30)

Si piensas en f(x)como y, cada filaforma un par

ordenado que puedesgraficar en el plano decoordenadas.

Grafica los puntos.

Respuesta Conecta los puntos lo

mejor que puedas,usando una curvasuave (no una serie delneas rectas). Usa laforma de una grficalogartmica paraayudarte: la grfica seacerca aleje y por x cerca de 0.

Algunas veces las entradas del logaritmo o el exponente en la base, sern ms complicadasque slo una variable. En esos casos, asegrate de usar la entrada correcta en la calculadora.


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Nota: Si tu calculadora usa el mtodo entrada al final para los logaritmos, debes calcular laentrada separadamente y escribirla o usar parntesis para asegurarte de que has tecleadocorrectamente. Por ejemplo, cuando calculas el log(3x) con x = 4, la respuesta correcta es1.079. Si no usas los parntesis, la calculadora encontrara log 3 y multiplicar por 4 paraobtener 1.908.

EjemploProblema Graficar f(x) = ln 4x.

x 4x f(x)0.1 0.4 0.910.5 2 0.691 4 1.383 12 2.4810 40 3.68

Crea una tabla devalores. Aunque conuna calculadora sepuede hacer todo,vamos a incluir unacolumna para lasentradas delogaritmo. Esto nosayuda a no cometererrores en lacalculadora.Usa los pares de latabla para graficar lospuntos. Puedesescoger valoresadicionales para teneruna mejor ida de todala grfica.


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Respuesta Conecta los puntos lomejor que puedas,usando una curvasuave.

Encontrando logaritmos de otras bases

Ahora sabes cmo encontrar logaritmos de base 10 y base e de cualquier nmero. Qu siquisieras calcular log736? Convirtiendo a una ecuacin exponencial, tienes 7x = 36. Sabes que71es 7 y 72es 49, por lo que puedes deducir que x debe estar entre 1 y 2, probablemente muycerca de 2. Pero cul escoger? No tienes una tecla para la base 7, por lo que debes usar lafrmula de cambio de base para cambiar de una funcin log a otra base.

Frmula de cambio de base

Observa que a aparece como la base en ambos logaritmos en el lado derecho de la frmula.

Por ejemplo,, usando una nueva base de 10. Podras decir tambin o

incluso . Por supuesto, la ltima no es ms fcil de calcular que laexpresin original, pero usando la teclas [log] o [ln] en la calculadora, puedes

usar o para encontrar log7 36.


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Ejemplo

Problema Encontrar log7 36.Usa la frmula decambio de base.Puedes usarlogaritmos comunes o

logaritmos naturales.En este ejemplo,usaremos logaritmosnaturales.Usa la calculadora paraevaluar el cociente.

Respuesta 1.84156

Si hubieras usado logaritmos naturales, habras obtenido el mismo resultado:

Ejemplo

Problema Encontrar log3 25.9.Usa la frmula decambio de base. Estavez, usaremos loslogaritmos naturales.Evala el cociente.

Respuesta 2.9621

2.25UTILIZACION DE LA CALCULADORA PARA ENCONTRAR LOGARITMOS COMUNES Y

NATURALES

La calculadora solo resuelve logaritmos decimales (log) que es de base 10 o el logaritmonatural o neperiano (ln) que es de base e=2.718. Para resolver logaritmos en otro base sedebe aplicar la regla de conversion:

log a x = log x / log a

(a es la base que pasa a ser base 10 tanto en el numerador como en el numerador)

Ejemplo: log6 8= log 8 / log 6

(cuando solo se pone log sin indicar la base, se sobreentiende que es base 10 )Logaritmos y calculadora.4 eso


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Para calcular log 3.6, se teclea:Y sale en pantalla el valor buscado: log 3.6 = 0.5563025

Si sabemos que:Log x = 0.5563025 por definicin de logaritmo despejamos x:x = 100.5563025, por lo que tecleamos:Y obtenemos x = 3.6

Para calcular ln 0.32 se teclea:Y aparece en pantalla el valor buscado: ln 0.32 = - 1.1394343

Si sabemos que:Ln x = - 1.1394343 por definicin de logaritmo despejamos x:x = e- 1.1394343por lo que tecleamos: Y obtenemos x = 0.32

Clculo de logaritmos en bases distintas de 10 y de e.Se utiliza la expresin que ya conocemos:

Para calcular log5

Utilizando la frmula sera:5log2.31log2.31log5 tecleamos:Y obtenemos log531.2 = 2.137652Si sabemos que log5x = 2.137652 despejamos la x:x = 52.137652Tecleamos: 3.6loglog0.5inv. lnln-. invlog1.log=6x

2.3FUNCIONES SENO Y COSENO

2.31IDENTIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCION SENO PARA ESTABLECER SU

DEFINICION

En trigonometra el seno de un ngulo en un tringulo rectngulo se define como la

razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa: O tambin como la ordenada

correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el

origen: En matemticas el seno es la funcin

continua

FUNCION SENO

Entrigonometra el seno deunngulo en untringulorectngulo se define como la razn entreelcateto opuesto y lahipotenusa:

O tambin como la ordenada correspondiente a un puntoque pertenece a unacircunferencia unitaria centrada enel origen (c=1):
http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


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Enmatemticas el seno es lafuncin continua yperidica obtenida al hacer variar la razn

mencionada, siendo una de lasfunciones trascendentes. La abreviatura proviene dellatn snus.

Un Poco de Historia

El astrnomo y matemtico hindAria Bhatta (476550 d. C.)estudi el concepto de senocon el nombre de ardh-jya,siendo ardh: mitad, medio, yjya: cuerda). Cuando losescritores rabes tradujeron estas obras cientficas alrabe, se referan a este trminosnscrito como jiba . Sin embargo, en el rabe escrito se omiten las vocales, por lo que eltrmino qued abreviado jb. Escritores posteriores que no saban el origen extranjero de lapalabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir baha).

A finales delsiglo XII,el traductor italianoGherardo de Cremona (1114-1187)tradujo estosescritos del rabe allatn reemplaz el insensato jiab por su contraparte latina sinus (hueco,cavidad, baha). Luego, esesinus se convirti en el espaol seno.

Relaciones trigonomtricas

El seno puede relacionarse con otrasfunciones trigonomtricas mediante el usodeidentidades trigonomtricas.

Relacin entre el seno y el cosenoLa curva delcoseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo quepuede deducirse el coseno con la siguiente expresin:

Seno de la suma de dos ngulos

Esta identidad trigonomtrica se define a partir delcoseno de la diferencia de dos ngulos

Se sabe que las funciones trigonomtricas de un ngulo son iguales a las co-

funciones del ngulo complementario, es decir
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Aryabhatahttp://es.wikipedia.org/wiki/476http://es.wikipedia.org/wiki/550http://es.wikipedia.org/wiki/550http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabehttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gherardo_de_Cremonahttp://es.wikipedia.org/wiki/1114http://es.wikipedia.org/wiki/1187http://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Lat%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/1187http://es.wikipedia.org/wiki/1114http://es.wikipedia.org/wiki/Gherardo_de_Cremonahttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabehttp://es.wikipedia.org/wiki/550http://es.wikipedia.org/wiki/476http://es.wikipedia.org/wiki/Aryabhatahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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El lado derecho de esta ecuacin se distribuye de manera distinta:

Se aplica la identidad trigonomtrica del coseno de la diferencia de dos ngulos,entonces

Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonomtricas del ngulo

complementario, queda

Seno de la diferencia de dos ngulos

obtenemos la resta. Como el coseno espar,el signo no importa y como el seno esimpar,el

signo sale.

Forma resumida

Seno de un ngulo doble

Tenemos que:

Hagamos entonces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par


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2.32 GRAFICACION DE LA FUNCION SENO

La funcin seno asocia a cada nmero real, x, el valor del seno

del ngulo cuya medida en radianes es x.

f(x) = sen x

2.33IDENTIFICACION DE LAS CARCTERISTICAS DE LA FUNCION COSENO PARAESTABLECER SU DEFINICION

Entrigonometra el coseno (abreviado cos) deunngulo agudo en untringulo rectngulo se definecomo la razn entre elcatetoadyacente a dicho ngulo ylahipotenusa:

En virtud delTeorema de Tales, este nmero nodepende del tringulo rectngulo escogido y, por lotanto, est bien construido y define unafuncin delngulo

Otro modo de obtener el coseno de un ngulo consiste en representar ste sobrelacircunferencia goniomtrica, es decir, lacircunferencia unitaria centrada en elorigen. Eneste caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de interseccin del ngulo conlacircunferencia.Esta construccin es la que permite obtener el valor del coseno para ngulos

no agudos.Enanlisis matemtico el coseno es lafuncin que asocia unnmero real con el valor delcoseno del ngulo de amplitud, expresada enradianes . Es unafuncintrascendente yanaltica,cuya expresin enserie de potenciases
http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Adyacentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radianeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigono_b00.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascendentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Radianeshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttp://es.wikipedia.org/wiki/Adyacentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa


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Laserie de potencias anterior proporciona a su vez la extensin de la funcin coseno al plano

complejo del siguiente modo:

Donde i es la unidadimaginaria.

Representacin grfica en la recta
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Libro Math II Unidad