LIBRO RECOPILACIN PSUEJERCICIOS DEMRE2012CONTENIDOS

EJERCICIOS PSU

RESPUESTASRECOPILACIONESENSAYOSINDICE

ContenidoPgina

1Nmeros Enteros, operatoria, propiedades3

2Nmeros racionales, operatoria, propiedades14

3Potencias, propiedades, aplicaciones30

4Operatoria algebraica38

5Simbologa56

6Razones y proporciones. propiedades61

7Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones71

8Races, propiedades, aplicaciones84

9Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones94

10Desigualdades, intervalos, inecuaciones112

11Ecuacin de segundo grado, propiedades, aplicaciones119

12Logaritmos, propiedades, aplicaciones122

13Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones125

14ngulos y Tringulos, propiedades, Teorema de Pitgoras, teorema de Euclides150

15Congruencia de tringulos, criterios, aplicaciones172

16Semejanza de tringulos, criterios, aplicaciones176

17Cuadrilteros, propiedades, aplicaciones187

18Polgonos, propiedades202

19ngulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones204

20Relaciones mtricas en la circunferencia, crculo, aplicaciones216

21Poliedros, volumen, aplicaciones221

22Divisin interior y exterior230

23Trigonometra, razones, aplicaciones233

24Probabilidad, propiedades, aplicaciones244

25Estadstica, grficos, aplicaciones267

26Transformaciones isomtricas, propiedades, aplicaciones283

27Teorema de Tales, propiedad, aplicacin301

28Evaluacin de suficiencia de datos309

29Respuestas334

30Recopilacin 1340

31Recopilacin 2350

32Recopilacin 3364

33Recopilacin 4377

34Recopilacin 5388

35Recopilacin 6410

36Recopilacin 7436

37Ensayo 1459

38Ensayo 2481

39Ensayo 3505

40Ensayo 4531

41Ensayo 5552

42Ensayo 6577

43Ensayo Admisin 2011 601

44Ensayo 8628

45Ensayo 9653

46Ensayo 10676

RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0)

Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,} se denominan nmeros naturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,} llamado conjunto de los nmeros cardinales.

NMEROS ENTEROS (Z)

Los elementos del conjunto Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2,} se denominan nmeros enteros Algunos subconjuntos de Z son:

Z+ = {1, 2, 3,} enteros positivos Z = {0, 1, 2,} enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3,} enteros negativos Z = {0, -1, -2, -3,} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,

2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343,

MLTIPLO Y DIVISOR

En la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero entero es divisible:

Por Cuando

2 Termina en cifra par.

3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres.

4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o

bien son Ceros.

5 La ltima cifra es cero o cinco.

6 Es divisible por dos y por tres a la vez.

7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que

forman las Cifras restantes es mltiplo de siete.

8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o

bien son Ceros.

9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve.

10 Termina en cero.

11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares

pares y Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.

NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIN EN FACTORES

Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos. Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,

TEOREMA FUNDAMENTAL

Todo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de aquellos nmeros que cumplen con la propiedad de ser factores de nmeros primos

MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.)

Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros.

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)

Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros.

CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORES PRIMOS

Se descomponen los nmeros en factores primos:

1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.

2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN Z

ADICIN

i. Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo comn.

ii. Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIN

i. Si se multiplican dos nmeros de igual signo al resultado es siempre positivo.

ii. Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin.

VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un nmero y el 0

DEFINICIN:

ALGORITMO DE LA DIVISIN

Si D: d = c, entonces D = d c + r r //

D = dividendo

d = divisor

c = cuociente o cociente

r = resto

OBSERVACIONES:

1. 0 r < d

2. La divisin por cero no est definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

1. Resolver los parntesis.

2. Realizar las potencias.

3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.

RELACIN DE ORDEN EN Z

Si a y b son nmeros enteros, entonces diremos que:

i. a > b si y slo si (a - b) es un entero positivo.

ii. a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo.

iii. a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).

iv. a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

EJEMPLO PSU-1: Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta

A) 2

B) 2

C) 4

D) 4

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un nmero de dos dgitos, en que el dgito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1

B) 10m + n + 1

C) 100m + n + 1

D) 100m + 10n + 1

E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, cul es el valor de nm (n + m)?

A) -11

B) -5

C) 5

D) 7

E) -7

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaos hay 237 golosinas para repartir entre 31 nios invitados. Cul es el nmero mnimo de golosinas que se necesita agregar para que cada nio invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11

B) 20

C) 21

D) 0

E) 7

EJEMPLO PSU-5: Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad y horas ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cunto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

A) $ 8p

B) $ 10p

C) $ 12p

D) $ 16p

E) $ 14p

EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el ltimo nmero de cada fila es la suma de los tres nmeros anteriores y el ltimo nmero de cada columna es la suma de los tres nmeros anteriores. Cul es el valor de x?

x420

49

813

241655

A) 5

B) 7

C) 8

D) 9

E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los crculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La dcima figura de la secuencia est formada por 21 crculos

II) De acuerdo a la formacin de la secuencia cualquier figura tendr un nmero impar de crculos

III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de crculos entre dos figuras consecutivas es 2

A) Slo I

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas

II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero

III) En el monedero hay $600

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define y a # b = 2a - 4b, para a y b nmeros enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:

A) 82

B) 66

C) 60

D) 38

E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto trmino de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta

A) 41x - 2

B) 61x + 25

C) 41x - 109

D) 41x + 109

E) 41x - 21EJEMPLO PSU-11: De cuntas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?

A) De 1 forma

B) De 2 formas

C) De 4 formas

D) De 3 formas

E) De 6 formas

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser en 100 das ms, a partir de hoy?

A) Viernes

B) Sbado

C) Lunes

D) Mircoles

E) Jueves

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 ms de los que tengo podra comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, cunto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?

A) $280

B) $200

C) $120

D) $100

E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artculos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar por un artculo M, dos artculos N y tres artculos T?

A) 6n - 14

B) 6n 6

C) 5n 14

D) 3n 14

E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los nmeros n. p, q y r son enteros positivos. Cul de las opciones expresa la afirmacin p es divisible por q?

A) p = nq + r

B) q = np + r

C) q = np

D) p = nq

E)

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

A) 8

B) 6

C) 9

D) 10

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a

A) -12

B) -7

C) -2

D) 4

E) 12EJEMPLO PSU-18: M, N y P son nmeros enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en comn, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, cul es el menor valor posible de P?

A) 7

B) 5

C) 4

D) 3

E) 1EJEMPLO PSU-19: En un tringulo equiltero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo tringulo equiltero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del tringulo que se obtiene es:

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres nmeros impares consecutivos es siempre:

I) divisible por 3

II) divisible por 6

III) divisible por 9

Es(son) verdadera(s):

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-21: La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos nmeros, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20 bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, cuntas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?

A) 1

B) 8

C) 16

D) 26

E) 80

EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en el cuadrante slo pueden colocarse los nmeros 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir slo una vez cada nmero

A) 8

B) 7

C) 6

D) 5

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numrica entre a y b es c. esto se expresa como:

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartn de una caja en que aparece una operacin, en el cual tienen que reemplazar la letra X por el nmero que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartn con el menor resultado gana. Si se sacan los siguientes cartones: P Q R S T

Quin gana cuando dictan 3?

A) Q

B) P

C) R

D) S

E) T

EJEMPLO PSU-26. Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un nmero entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dgitos es divisible por 3.

B) Si la suma de dos nmeros es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.

C) La suma de todo nmero divisible por 3 con todo nmero divisible por 6, es divisible por 3.

D) El cuadrado de todo nmero divisible por 3 es divisible por 6.

E) El producto de todo nmero divisible por 4 con todo nmero divisible por 6, es divisible por 12.

II. NMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la forma con a y b nmeros enteros y b distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES

Si (Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de es -, el cual se puede escribir tambin como

2. El nmero mixto A se transforma a fraccin con la siguiente frmula:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALESSi (Q, entonces:

MULTIPLICACIN DIVISIN OBSERVACIN

El inverso multiplicativo (o recproco) de es

RELACIN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES

1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientes procedimientos:

a. igualar numeradores.

b. igualar denominadores.

c. convertir a nmero decimal.

2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.

NMEROS DECIMALES

Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico.

a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.

Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales

b. Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados por la parte entera y el perodo.

Ejemplo: 0,444.... = 0,

c. Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formados por la parte entera, un anteperodo y el perodo.

Ejemplo: 24,42323... = 24,4

OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES

1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmeros decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoria respectiva.

As por ejemplo: 0,19

3,81

+ 22,2

26,20

2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmeros decimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los nmeros en conjunto.

As por ejemplo: 3,21 2,3

963

642

7,383

3. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potencia en base 10.

As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100

224: 120 y se dividen como nmeros enteros

TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN

1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho nmero.

Por ejemplo: 3,24 =

2. Decimal infinito peridico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero decimal completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.

Por ejemplo: 2,=

3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.

Por ejemplo: 5,3 =

APROXIMACIONES

Frecuentemente conviene redondear o truncar un nmero, dejando una aproximacin con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEO

Para redondear un nmero decimal finito o infinito se agrega 1 al ltimo dgito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dgitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el ltimo dgito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centsima los nmeros 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTO

Para truncar un nmero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela ltima cifra a considerar.

De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centsimas el nmero 2,5698 resulta 2,56.

ESTIMACIONES

Realizar un clculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dgitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).EJEMPLO PSU-1: 5

A) 0,5

B) 0,05

C) 0,005

D) 50

E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los nmeros a =, b = y c = de menor a mayor es

A) a < b < c

B) b < c < a

C) b < a < c

D) c < a < b

E) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ( 2,5 + 10 =

A) 0

B) -20

C) 60

D) 75

E) 250

EJEMPLO PSU-4:

A) 0,15

B) 0,5

C) 0,52

D) 0,525

E) 2

EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta:

EJEMPLO PSU-6:

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces =

A) 80,89

B) 80,9

C) 88,9

D) 89

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-8: En la igualdad , si P y R se reducen a la mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

A) duplicar.

B) reducir a la mitad.

C) mantener igual.

D) cuadruplicar.

E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretencin. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Juan puede jugar a lo ms 3 horas de pool

II) Juan puede conectarse a lo ms 5 horas en Internet

III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10:

EJEMPLO PSU-11: Si , entonces H-1 es igual a:

EJEMPLO PSU-12:

EJEMPLO PSU-13:

EJEMPLO PSU-14:

EJEMPLO PSU-15:

A) 10

B) 1

C) 0,1

D) 0,25

E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilmetros y ha caminado 7.850 metros. Cunto le falta por recorrer?

A) 4,45 km

B) 4,55 km

C) 5,55 km

D) 5,45 km

E) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un nmero natural mayor que 1, cul es la relacin correcta entre las fracciones:

A) p 0 y t > 0. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fraccin aumenta en 2.

II) Si el numerador de la fraccin se duplica y su denominador se divide por 2, entonces la fraccin queda igual.

III) Si el denominador de la fraccin se divide por 3, entonces la fraccin se triplica.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37. Se define la operacin en los nmeros reales. En cul(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8?

I) 4 # 2

II) 16 #

III) 8 # 0

A) Solo en III

B) Solo en I y en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III

E) En I, en II y en III

III. POTENCIAS EN Z

DEFINICIN PROPIEDADES

1. = 0, si n (Z+ 2. = 1

3. Si n es par, = 1

4. Si n es impar, = -1

Signos de una potencia: =

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POTENCIAS

Sean a y b ( Z, m y n ( Z+

1.- Multiplicacin de potencias de igual base 2.- Divisin de potencias de igual base 3.- Multiplicacin de potencias de distinta base e igual exponente 4.- Divisin de potencias de distinta base e igual exponente DEFINICIN OBSERVACIN:

no est definido

POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO POTENCIAS DE BASE 10

= 1 ==0,1

= 10 ==0,01

= 100 ==0,001

= 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un nmero de las siguientes formas:

1. Un nmero est escrito en notacin cientfica si se escribe de la forma k , en que 1 k < 10 y n ( Z.

2. Un nmero est escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en que p es el menor entero y n ( Z.3. Un nmero est inscrito en notacin ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dgito de dicho nmero por la potencia de diez correspondiente a su posicin (... centena, decena, unidad, dcima, centsima...) abcde = a + b + c 100 + d + e

EJEMPLO PSU-1:

EJEMPLO PSU-2:

A) 10-15B) 10-12C) 10-7D) 10-6E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-3: El orden de los nmeros: M = 4,51(; N = 45,1( y P = 451(, de menor a mayor, es

A) M, N, P

B) P, M, N

C) N, M, P

D) P, N, M

E) M, P, N

EJEMPLO PSU-4:

EJEMPLO PSU-5: Si = 8, cuntas veces x es igual a 9?

A) 6

B)

C) 3

D)

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-6:

EJEMPLO PSU-7: =

A) 72a2B) 72a5C) 6a5D) 36a6E) 36a5EJEMPLO PSU-8: Cul es la mitad de ?

A) 25B) 23C) 16

D)

E)

EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

A) Solo I

B) Slo II

C) Solo IIID) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-10: Cules de las siguientes operaciones dan como resultado 41?

A) Solo I y IIB) Solo I y III

C) Solo II y III

D) I, II, III

E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresin es

A)

B) 4(

C) 2

D) 6

E) 36

EJEMPLO PSU-12:

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad , el valor de n es:

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) 2 =

A) 5

B) 10

C) 25

D)

E) 5

EJEMPLO PSU-15:

EJEMPLO PSU-16: Si . Entonces x=

A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 27

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el nmero de bacterias que hay al trmino de 3 horas es:

A) 5.000 ( 33 bacterias

B) 5.000 ( 34 bacterias

C) 5.000 ( 39 bacterias

D) 5.000 ( 360 bacterias

E) 5.000 ( 3180 bacterias

EJEMPLO PSU-18: Cul de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

A) Slo III

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: Si y q = , cul(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-20: Si , entonces es igual a:

A) P2B) P2 + 2

C) P2 2

D) P2 1

E) 3P

EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los nmeros:

A) Q, R, P

B) Q, P, R

C) P, R, Q

D) R, P, Q

E) P, Q, R

EJEMPLO PSU-22. Cul es el valor de la expresin

A) 5

B) 6

C) 10

D) 12

E) 16

EJEMPLO PSU-23. =

EJEMPLO PSU-24. Por qu factor hay que multiplicar para obtener ?

EJEMPLO PSU-25. Qu valor tiene x en la ecuacin

IV. ALGEBRA y FUNCIONESEVALUACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Evaluar una expresin algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitucin va siempre entre parntesis.

TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen idntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, slo pueden diferir en el coeficiente numrico.

REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Para reducir trminos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numricos y mantener su factor literal.

USO DE PARNTESIS

En lgebra los parntesis se usan para agrupar trminos y separar operaciones. Los parntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un parntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los trminos que estn dentro del parntesis.

Si un parntesis es precedido por un signo , este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los trminos que estn al interior del parntesis.

Si una expresin algebraica tiene trminos agrupados entre parntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros parntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los parntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reduccin de trminos semejantes y uso de parntesis.

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numricos entre s y los factores literales entre s, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica slo por uno de ellos. Es decir,

a ( (b ( c) = (a ( b) ( c

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio.

Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + adPOLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio y se reducen los trminos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2 Suma por su diferencia:(a + b) (a b) = a2 b2

Producto de binomios:(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 Cuadrado de trinomio:(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(a b c) 2 = a2 + b2 + c2 2ab 2bc - 2ac

Suma de cubos:

(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3

Diferencia de cubos: (a b) (a2 + ab + b2) = a3 b3

EJEMPLO PSU-1: La expresin se puede escribir como

A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a b)2, entonces a b =

EJEMPLO PSU-3: La expresin es igual a:

EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?

A) Slo I

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: El doble de

A) 2a + 2b

B) a - b + 2

C) a + b + 2

D) a + b

E) -2a - 2b

EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectngulo mide 3x + 2y. Si su permetro mide 10x + 6y, cunto mide el ancho del rectngulo?

A) 2x + y

B) 4x + 2y

C) 7x + 4y

D) x + 2y

E) x + 2y

EJEMPLO PSU-7: El rea de un rectngulo es + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide

A) (x + 8)

B) 2(x + 8)

C) 2(x - 4)

D) 2(x - 3)

E) 2(x + 4)

EJEMPLO PSU-8: Si

A) -9

B) 6

C) 4

D) 3

E) 1

EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresin algebraica 6x 20 ?

I) 2

II) (x 5)

III) (x + 2)

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo I y II

D) Slo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un tringulo mide z y su altura mide , entonces cunto mide el lado de un cuadrado que tiene igual rea que el tringulo?

A)

B)

C) z

D)

E)

EJEMPLO PSU-11: Si x = 3, entonces (x 2)( 3) =

A) 45

B) 75

C) 15

D) 75

E) 105

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son nmeros enteros diferentes de 0, entonces

EJEMPLO PSU-13:

A) 12w - 14

B) 12w + 22

C) 12w -5

D) 12w + 13

E) 12w + 14

EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9

B) 16

C) 18

D)

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-15: Cul de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k 6?

A) k + 1

B) k + 2

C) k 6

D) k 3

E) k 2

EJEMPLO PSU-16: En la figura, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El rea de ABCD es a2 + 2ab + b2 II) El rea de la regin achurada es (a + b)2 III) El rea de AEFD es b2 + ab

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-17: Si x es un nmero entero mayor que 1 y el rea de un rectngulo se expresa como (x2 + 5x 6), cul de las siguientes opciones puede representar a sus lados?

A) (x 1) y (x 5)

B) (x + 2) y (x 3)

C) (x 1) y (x + 6)

D) (x + 1) y (x 6)

E) (x 2) y (x 3)

EJEMPLO PSU-18: Dada la expresin , cul(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?

I) xy + 1

II) x + 1

III) y + 1

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y III

E) Slo II y III

EJEMPLO PSU-19: Si n es un nmero natural, una expresin equivalente a es:

EJEMPLO PSU-20:

A) a2B) a

C) a

D) 2a

E) a - 2

EJEMPLO PSU-21:

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 mp2 = 1 y x p = m, entonces (x + p)2=

EJEMPLO PSU-23: a a(1 a)

A) 1 - a

B) a

C) 0

D) a2E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si , entonces el valor de (a b)2 es:

A) 9

B) 19

C) 29

D) 49

E) No se puede determinar el valor

EJEMPLO PSU-25: Cul de las siguientes expresiones es equivalente a 4mn?

A) (m n)2B) m2 2 + n2C) m2 4mn + n2D) 2m 4mn + 2n

E) 2m 2mn + 2n

EJEMPLO PSU-26: Sea m ( 0, al simplificar la expresin resulta:

EJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces cul es el valor de de m?

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2 (30 + 5)(30 5) =

A) 0

B) 50

C) 300

D) 350

E) 450

EJEMPLO PSU-29: Jorge compr tres artculos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a y el segundo $(2a b). Cunto le cost el tercero?

A) $ a

B) $ 7a

C) $ (3a b)

D) $ (3a + 2b)

E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-30: El promedio de un nmero entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese nmero entero es:

A) 6

B) 7

C) 8

D) 14

E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectngulo es y el largo es el doble del ancho. Cunto mide su permetro?

EJEMPLO PSU-32: Si , entonces la expresin x (a + b + c) equivale a:

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea achurada.

II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado de lado a y el lado de b.

III. a(a + b) > a2 + b2

A) Slo I

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cul es el rea sombreada?

A) 8 x

B) 64 4x2C) 64 x2D) 8 x2E) 64 x4EJEMPLO PSU-35: Si , a cunto equivale la expresin ?

A) -2m2 + 8p2B) -2m2 + 6mp + 8p2C) 8m2 + 6mp 2p2D) -2m2 + 3mp + 8p2E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a:A) -10

B) 10

C) 13

D) -25

E) 25EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces

I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales.

II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.

III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.

Es (son) verdadera(s)

A) slo I.

B) slo II.

C) slo III.

D) slo I y II.

E) slo I y IIIEJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces es igual a:

A) 6

B) 9

C) 14

D) 17

E) 18

EJEMPLO PSU-39:

E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectngulo, entonces el rea de la regin achurada se expresa como:

EJEMPLO PSU-41: para que la expresin sea positiva, se debe cumplir necesariamente que:

A) xy < 0

B) x < 0

C) xy > 0

D) y < 0

E) x > y

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, cul es el valor de la expresin ?

A) -9

B) -3

C) -1

D) 1

E) 3

EJEMPLO PSU-43: Cul es el valor de x2 2xy, si x = 2 e y = 1?

A) 8

B) 6

C) 4

D) 2

E) 0EJEMPLO PSU-44: a [a (a + b c)] =

A) a + b c

B) a + b c

C) a b + c

D) a b c

E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m 5p)2 =

A) 6m2 10p2 B) 9m2 25p2 C) 9m2 15mp + 25p2 D) 9m2 30mp 25p2 E) 9m2 30mp + 25p2 EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces

A) 13

B) 25

C) 1

D) 5

E) -5

EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces

EJEMPLO PSU-48. En cul de las siguientes alternativas, - 24 mn es un trmino al desarrollar el cuadrado de un binomio?

EJEMPLO PSU-49. En el rectngulo de la figura , y . Adems . Cul(es) de las siguientes expresiones equivale(n) al rea del rectngulo ABCD?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-50.

EJEMPLO PSU-51. Si k es un nmero entero positivo, entonces k + 1 es factor de:

EJEMPLO PSU-52.

EJEMPLO PSU-53. Cul de las siguientes expresiones es igual a :

EJEMPLO PSU-54. Si , entonces la expresines igual a

EJEMPLO PSU-55. Si en un rectngulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el rea del nuevo rectngulo, con respecto al original, aumenta

A) 8 veces.

B) 6 veces.

C) en 16 unidades.

D) en 8 unidades.

E) 16 veces.V. SIMBOLOGA:

Nmeros natural cualquiera = n El antecesor de un nmero = n 1 El sucesor de un nmero = n + 1 Nmero natural par = 2n Nmero natural impar = 2n 1

El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1) 2 El sucesor del cuadrado de un nmero = n2 + 1 El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2 Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1 El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n

El inverso multiplicativo o recproco de un nmero =

El triple de un nmero = 3n Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u La razn o cociente entre p y q =

El valor absoluto de un nmero = | n | p es directamente proporcional a q =

p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por:

A) [2(x-3)]2B) 2(x2 32)

C) (2x 6)2D) 2(x 3)2E) (x2 32)2EJEMPLO PSU-2: Cul de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 ms que a ti, me quedo con 4?

A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe

EJEMPLO PSU-4: Un nmero real n, distinto de cero, sumado con su recproco, y todo al cuadrado, se expresa como

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un crculo aumenta en unidades, entonces el rea del nuevo crculo se expresa, en unidades cuadradas, como

EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe

EJEMPLO PSU-7: Mara (M) tiene dos aos menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos aos Juan tena 10 aos, en cul de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de Mara y Juan?

EJEMPLO PSU-8: hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos. Cul ser la suma de sus edades en a aos ms?

A) (11 + 3a) aos

B) (11 + 2a) aos

C) (11 + a) aos

D) (8 + 3a) aos

E) (5 + 3a) aos

EJEMPLO PSU-9: La expresin: El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 b) se representa como:

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectngulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectngulo es x metros, la expresin algebraica que representa su permetro es:

A) (4x + 16) metros

B) (2x + 8) metros

C) (2x + 16) metros

D) (4x + 8) metros

E) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. Cul de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema?

A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291

B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291

C) (x 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291

D) (x 1)2 x2 (x + 1)2 = 291

E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresin: para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18

B) 2(a + c) 4 = 18

C) 2(a + c) + 4 = 18

D) 4 2(a + c) = 18

E) 2a + c 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compr x kg de caf en $ 36.000 y compr 40 kg ms de t que de caf en $ 48.000. Cmo se expresa el valor de 1 kg de caf ms 1 kg de t, en funcin de x?

A)

B)

C) D)

E)

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b.Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIN es la igualdad de dos razones. Se escribe x: a = y: bY se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL

En toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

(x : a = y : b) (x b = y a)OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES:

En una proporcin directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo nmero de veces.

El grfico de una proporcionalidad directa corresponde a una lnea recta que pasa por el origen

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante

x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante

OBSERVACIONES:

En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo nmero de veces.

El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equilteraA101520

B3x1,5

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.

II. El valor de x es 2.

III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Slo I

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando 8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Slo I

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la quinta?

A) 54

B) 77

C) 84

D) 126

E) 210

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cunto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?

A) 180 mm 120 mm 90 mm

B) 420 mm 180 mm 120 mm

C) 320 mm 240 mm 160 mm

D) 510 mm 120 mm 90 mm

E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al nmero y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en l corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es

A) 50 km

B) 65 km

C) 67,5 km

D) 62,5 km

E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

A) aumenta al doble.

B) disminuye a la mitad.

C) aumenta en dos unidades.

D) disminuye en dos unidades.

E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a , segn los datos registrados, el valor de , es:zy

82

a4

116

b

A) 256

B) 16

C)

D) 64

E)

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, cul es la distancia real entre ellas?

A 1,75 km

B 17,5 km

C 175 km

D 1.750 km

E 17.500 km

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =

A) 4: 7

B) 4: 3

C) 7: 4

D) 3: 7

E) 3: 4EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es = constante, donde P es la presin del gas, V su volumen y T su temperatura absoluta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A volumen constante la presin es directamente proporcional a la temperatura

II) A temperatura constante la presin es inversamente proporcional al volumen

III) A presin constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total?

A 6 litros

B 10 litros

C 12 litros

D 14 litros

E 16 litrosEJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razn entre mujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa el nmero de mujeres?

EJEMPLO PSU-15: El grfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La constante de proporcionalidad es 36

II) El valor de t1 es 9

III) El valor de m1 es 36

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si haba 4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento?

A) 8

B) 21

C) 24

D) 28

E) 32

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en un da, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuntas personas hay en febrero?

A) 416

B) 4.000

C) 12.500

D) 15.000

E) 17.500

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cules de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho?

A) y w v = 8

B) x u = 2 y w + v = 8

C) x u = 2 y

D) x + u = 2 y w v = 8

E) x + w = 10EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t das en hacer un jardn, otro trabajador Y se demora t + 15 das en hacer el mismo jardn, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 das. Cuntos das se demorar Y trabajando solo?

A) 30

B) 28

C) 25

D) 20

E) 15EJEMPLO PSU-21: Si el ndice de crecimiento C de una poblacin es inversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices se cumple:

A) D = 0,5C

B) D = C2C) D =

D) D = 0,125C

E) D =

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratar un cierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das, trabajando 8 horas diarias

II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables directamente proporcionales

III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 das, mientras que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 das. Cul de los siguientes grficos representa mejor la relacin trabajadores - das

EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cul de las siguientes tablas representa dicha relacin?

EJEMPLO PSU-25. Segn el grafico obreros versus el tiempo que demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:

A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un ao

B) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco meses

C) b trabajadores construyen ms casas del tipo M que c trabajadores en un ao

D) (c b) trabajadores construyen una casa del tipo M en ocho meses

E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un ao

EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, est dividida en dos partes que estn en la razn 1: 4. La parte menor ser utilizada para cultivo, cuntos metros cuadrados sern usados para este fin?

A) 625

B) 2.000

C) 400

D) 1.250

E) 1.000

EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un nmero de rifa que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, Qu cantidad de dinero le correspondera a Rosa?

A) $ 30.000

B) $ 18.000

C) $ 24.000

D) $ 20.000

E) $ 40.000

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los trminos de la proporcin es 100:

P: Es el tanto por ciento

C: Es la cantidad de referencia

Q: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es

P% de C =

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

i) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C ( b% de C = (a ( b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos

El a% del b% de C =

INTERS SIMPLE

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF despus de cumplido el periodo n est dada por la frmula:OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.INTERS COMPUESTO

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.

La frmula para calcular la cantidad final CF despus de cumplido el periodo n es:

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuesto cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y se aaden al capital para producir nuevos intereses.EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total de trabajadores?

A) 108

B) 72

C) 180

D) 90

E) 54EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana $157,5. Calcular el inters simple anual.

A) 5%

B) 5,25%

C) 5,5%

D) 5,75%

E) 15,75%EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos ms dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o ms pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000

B) $ 50.000

C) $ 57.150

D) $ 72.000

E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625

B) $ 532.000

C) $ 1.275.000

D) $ 1.812.500

E) $ 3.962.500

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran

10 vasos para llenar el jarro.

II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitaran 4 vasos para llenar el jarro.

III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Slo III

B) Slo I y II

C) Slo I y III

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultneos; l A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena slo el 50%. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El estadio A registr mayor asistencia de pblico que el B.

II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habra quedado en ste, menos del 50% de sus asientos vacos.

III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y II

E) Slo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar

A) 4 litros.

B) 24 litros.

C) 40 litros.

D) 60 litros.

E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qu nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?

A) 5,0

B) 5,1

C) 5,2

D) 6,0

E) 6,3

EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo issceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera para el rea del tringulo rectngulo resultante, respecto del rea original?

A) Se mantiene igual.

B) Aumenta en un 4%.

C) Disminuye en un 4%.

D) Aumenta al doble.

E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: Cul(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artculo?

I) del precio del artculo

II) El precio del artculo multiplicado por 12,5

III) El precio del artculo dividido por 100 y multiplicado por 12,5

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si el metro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total es de:

A) $ 145(PB) $ 170(PC) $ 175(PD) $ 245(PE) $ 195(PEJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de es:

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramtica: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. Cul de las siguientes es la mejor estimacin del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.

B) Entre el 91% y el 93%.

C) Entre el 93% y el 95%.

D) Entre el 95% y el 97%.

E) Ms del 97%.

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% ms cara, cul de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras?

A) C = 1,6 p 100 + p 100

B) C = 0,6 p 100 + p 100

C) C = 0,6 p 60 + p 40

D) C = p 60 + 0,6 p 40

E) C = 1,6 p 60 + p40

EJEMPLO PSU-15: El da lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Falt la cuarta parte del curso

II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes

III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: Un nio aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 pginas. De ellas el 20% es geometra, el 10% es lgebra y el resto astronoma. Luego las pginas dedicadas a la astronoma son:

A) 4

B) 8

C) 10

D) 12

E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadera. Si la mercadera tiene un precio marcado de $ 600, cunto me descuentan?

A) $ 555

B) $ 510

C) $ 255

D) $ 45

E) $ 90

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: Antes $ 400, ahora $ 300. Con respecto al precio original, cul es el porcentaje de rebaja?

A) %

B) 10%

C) 25%

D) 33,%

E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relacin entre los que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. Qu porcentaje practica teatro en relacin al total del curso?

A) 20%

B) 80%

C) 16,6..%

D) 83,3..%

E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 ms un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ 12.000.000 y slo el 30% corresponde a ganancias, cunto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?

M P

A) $ 288.000 $ 72.000

B) $ 288.000 $ 172.000

C) $ 388.000 $ 172.000

D) $ 960.000 $ 240.000

E) $ 960.000 $ 340.000EJEMPLO PSU-22: Un banco paga inters con una tasa anual del 100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo ao habr en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 (

B) 1.000 + 1.000

C) 2.000

D) 1.000

E) 1.000

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son

II) El 20% de las gallinas son blancas

III) El nmero total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el nmero de gallinas que son blancas

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. Por cul nmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?

A) Por 15%

B) Por 0,15

C) Por 1,5

D) Por 1,15

E) depende del precio de cada artculo

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t aos est dada por: .Al invertir $50.000 al 6% anual de inters compuesto trimestralmente, al trmino de 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de:

EJEMPLO PSU-26: En una liquidacin de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cunto costaba el abrigo antes de la liquidacin?

A) $ 21.450

B) $ 23.571

C) $ 28.050

D) $ 55.000

E) $ 115.500

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artculo en $ 19.800, a cunto asciende el valor de las estampillas de descuento?

A) $ 600

B) $ 750

C) $ 792

D) $ 800

E) $ 19.200

EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razn entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. Qu porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso?

A) 83,%

B) 80%

C) 20%

D) 16,%

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-29: A qu inters simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres aos, para obtener una ganancia de $ 157,5?

A) 5,0%

B) 5,5%

C) 5,27%

D) 5,25%

E) 5,05%

EJEMPLO PSU-30. Si un nmero n se divide por 6 resulta 2, cul es el 50% de n?

A) 18

B) 12

C) 6

D) 4

E) 2EJEMPLO PSU-31. Qu capital hay que invertir al inters compuesto del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 ao $ 1.300.000?

EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un ro es de P metros cbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% cul es su nuevo caudal en metros cbicos por segundo? y aumenta en 15% su nuevo caudal ser.

EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:

EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2% de inters compuesto mensual. Cul es el valor ms cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depsitos en ese perodo?

EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee Alicia, despus de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. Cul grfico representa mejor esta situacin?

Semana012345

Ahorro en $20.00018.00016.00014.00012.00010.000

VII. RACES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces es el nico real b, no negativo, tal que = a

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces es el nico real b, tal que =a

OBSERVACIONES

1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces NO ES REAL2. La expresin , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario

3. para todo nmero real

PROPIEDADES

Si estn definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIN DE RACES DE IGUAL NDICE

DIVISIN DE RACES DE IGUAL NDICE

POTENCIA DE UNA RAZ

RAZ DE UNA RAZ

AMPLIFICACIN y SIMPLIFICACIN DEL ORDEN DE UNA RAZ

PRODUCTO DE RACES DE DISTINTO NDICE

FACTOR DE UNA RAZ COMO FACTOR SUBRADICAL

RACIONALIZACIN

Racionalizar el denominador de una fraccin consiste en transformarla en una fraccin equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raz

Fracciones de la forma

Fracciones de la forma

EJEMPLO PSU-1:

EJEMPLO PSU-2:

EJEMPLO PSU-3:

EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, 1?

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y III

E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: es un nmero:

A) Racional positivo

B) Racional negativo

C) Irracional positivo

D) Irracional negativo

E) No real

EJEMPLO PSU-6: =

EJEMPLO PSU-7: Si , entonces cul(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalentes a

I) 2bc

II)

III)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresin resulta

EJEMPLO PSU-9:

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-10:

EJEMPLO PSU-11:

EJEMPLO PSU-12: Si , entonces el valor de t2 2 es:

EJEMPLO PSU-13:

EJEMPLO PSU-14: Cul(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solucin(es) de

I) (2,5)

II) (2,-5)

III) (2,-1)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I, II y III

E) Ninguno de ellos

EJEMPLO PSU-15: Cul(es) de los siguientes nmeros es(son) irracional(es)?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-16:

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. Cul de las siguientes opciones es verdadera?

EJEMPLO PSU-18:

EJEMPLO PSU-19: Dados los nmeros reales ,,,,, al ordenarlos de menor a mayor, el trmino que queda en el centro es:

EJEMPLO PSU-20:

EJEMPLO PSU-21: El nmero es igual a:

E) Ninguno de los nmeros anteriores

EJEMPLO PSU-22. Si Cul es el valor de

EJEMPLO PSU-23. Si y , entonces =

EJEMPLO PSU-24. =

EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresin es igual a

EJEMPLO PSU-26. Si , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)

II)

III)

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

VIII. ECUACIONES:

a. Una ecuacin es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incgnita.

b. Cuando una ecuacin contiene fracciones, puede escribirse en una forma ms sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mnimo comn mltiplo de todos los denominadores de la ecuacin. De esta forma se obtiene una ecuacin que no contenga fracciones.

c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Leer con atencin el problema.

Paso 2: Anotar los datos del problema.

Paso 3: Distinguir cul es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra).

Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuacin.

Paso 5: Resolver la ecuacin.

Paso 6: Comprobar si el resultado est de acuerdo con los datos.

PROBLEMAS CON FRACCIONES

Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fraccin de un nmero. La fraccin de un nmero x se calcula multiplicando por x.

PROBLEMAS DE DGITOS

Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un nmero de la forma x y z queda representado por x 102 + 101 + z 100PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una lnea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, segn corresponda:Edad pasada

(hace b aos)Edad ActualEdad futura

(dentro de c aos)

x - bxx + c

y - byy + c

B. ECUACIONES LINEALES:

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresin:

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonomtrica del ngulo de inclinacin (ngulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIN ENTRE EL NGULO DE INCLINACIN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea ( el ngulo de inclinacin y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

(( = 0) si y slo si (m = 0) (0 0) L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

(( = 90), si y slo si (m no est definida) (90b, a < b, a ( b a ( b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo nmero, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son nmeros reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo nmero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son nmeros reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo nmero negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son nmeros reales tales que a bcINTERVALOSIntervalo abierto: Se denomina as al conjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b. se simboliza por Intervalo cerrado: es el conjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] Intervalo semiabierto por derecha: Se llama as al conjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza por: Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina as al conjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por: En el grfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervaloEn el grfico, los puntos extremos se indican con crculos para sealar, en este caso, que dichos puntos pertenecen al intervaloEste intervalo tambin se denomina semicerrado por izquierdaEste intervalo tambin se denomina semicerrado por derechaINECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITASon desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ( 0, ax + b ( 0, ax + b > 0 ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incgnita x, el cual se llama conjunto solucin de la inecuacin. Este conjunto se puede representar mediante la notacin de conjunto, intervalo o grficaSISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITAEs un sistema formado por dos o ms inecuaciones de primer grado con una incgnita. El conjunto solucin del sistema es la interseccin de los conjuntos de cada inecuacin. Si S1, S2,.,Sn son los conjuntos solucin de cada inecuacin y S es el conjunto solucin del sistema, entonces: PROBLEMAS DE INECUACIONESEn estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los smbolos , ( (, tales como: a lo menos ((), cuando mucho ((), como mnimo ((), como mximo ((), sobrepasa (>), no alcanza ( 0. 2 races reales y distintas = 0. 2 races reales e iguales < 0. No tiene races reales Interseccin en el eje x: > 0. 2 intersecciones en el eje x = 0. 1 interseccin en el eje x < 0. No hay interseccin el eje x Propiedades de las races:EJEMPLO PSU-1: Segn la ecuacin y = x2 2x + a, es correcto afirmar que:I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.II. Si a = 1, existe solo una interseccin con el eje X.III. Si a < 1, no hay interseccin con el eje X.A) Slo IB) I y IIC) II y IIID) Slo IIE) Slo I y III EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros ms de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, cul de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio? A) x(x + 2) 24 = 0 B) x(x 2) 24 = 0 C) x(x 2) + 24 = 0 D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0EJEMPLO PSU-3: Las races (o soluciones) de la ecuacin x(x 1) = 20 sonA) 1 y 20B) 2 y 20C) 4 y 5D) 4 y 5E) 4 y 5EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solucin (raz) de la ecuacin x2 + 5x + c = 0, entonces cul es el valor de c?A) - 24B) -8C) -2D) 2E) EJEMPLO PSU-5: Cul es el menor valor para la expresin cuando x satisface la igualdad ?A) 4B) 3C) 1D) 0E) -1EJEMPLO PSU-6: El conjunto solucin (o races) de la ecuacin x2 + 1 = x + 1 es:A) {0}B) {1}C) {0,1}D) {0,-1}E) Ninguno de los conjuntos anterioresIX. LOGARITMOS: Cambio de base: EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 log (a + b) = A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b)EJEMPLO PSU-2: Si entonces x vale:EJEMPLO PSU-3: Cul de las siguientes opciones es igual a log 12?EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresin EJEMPLO PSU-5: log32 = a resultaA) a3 = 2B) a2 = 3C) 23 = aD) 32 = aE) 3a = 2EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces =A) 0B) 1C) 2D) aE) a2EJEMPLO PSU-7: Cul de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-8: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =A) 4 log 1.000B) 6 + 2 log 2C) 2(6 + log 2)D) 2(log 2)(log 1.000)E) 3 + 2 log 2EJEMPLO PSU-10. Cul es el valor de la expresin A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8EJEMPLO PSU-11. Sean x e y nmeros positivos, la expresin es siempre igual aX. FUNCIONES:DEFINICIN: funcinSean A y B conjuntos no vacos. Una funcin de A en B es una relacin que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y slo un elemento y del conjunto B.Se expresa como: f: A B x f(x) = ySe dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales est definida la funcin y se denota Dom f. Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se denota Rec f. Funcin Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, tambin aumenta la variable dependiente. Funcin Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Funcin Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un nico valor.EVALUACIN DE UNA FUNCINPara encontrar los valores de las imgenes de una funcin definida, se reemplazar la variable independiente por el nmero o expresin que corresponda.Ejemplo: Si f(x) = 3x 1, la imagen de -1 sera f(-1) = 3 (-1) 1 = - 4.Si la imagen es 29 y la funcin es f(x) = 2x + 1, la pre-imagen se obtendr igualando2x + 1 = 29 de aqu x = 14 pre-imagen. Funcin continua: Es aquella en la que su grfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensin (figura 1). Funcin discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separacionesy/o saltos en su grfica (figura 2 y 3). Funcin peridica: Es aquella en la que parte de su grfica se repite cada cierto intervalo, llamado perodo (figura 4).A. FUNCION DE PRIMER GRADO: f(x) = ax + bB. FUNCION LINEAL: Funcin de primer grado f (x) = ax + b, con b ( 0: y a 0 es denominada funcin Afn. (a, b ( R) Si b = 0, La recta pasa por el origen y es llamada funcin linealC. FUNCION IDENTIDAD:Funcin lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x La recta pasa por el origen. Existe una proporcionalidad directa entre x e y.TRASLACIN DE FUNCIONESSea y = f(x) una funcin.La funcin y = f(x) + k es la funcin f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2).La funcin y = f(x h) es la funcin f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo (figura 3 y 4).La funcin y = f(x h) + k es la funcin f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x.Si f(x) = ax entonces:f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x h), h < 0 f(x) = a(x h), h > 0D. FUNCIN VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un nmero real x, denotado por , es siempre un nmero real no negativo. f(x) = Representaciones grficasa indica el punto de traslacin en el eje b indica el punto de traslacin en el eje de las ordenadas de las abscisas.E. FUNCION CONSTANTE: Funcin de grado cero. Su grfico es una recta horizontal.F. FUNCION CUADRATICA: Funcin de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c Se grafica una curva llamada parbola. A la funcin de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a 0 se le denomina funcin cuadrtica. La representacin grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, simtrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetra. Concavidad: Es la abertura que tiene la parbola Si a > 0, la concavidad de la parbola est Si a < 0, la concavidad de la parbola Orientada hacia arriba est orientada hacia abajoINTERSECCIN CON EL EJE YLa parbola asociada a la funcin y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.CEROS DE LA FUNCINLos ceros (o races) de la funcin cuadrtica son los valores x1 y x2 para los que y = 0DISCRIMINANTELa expresin b2 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las races de la ecuacin cuadrtica asociada a la funcin y = ax2 + bx + cEJE DE SIMETRAEl eje de simetra de una parbola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes.VRTICE DE LA PARBOLAEl vrtice de la parbola es el punto de interseccin de sta con su eje de simetra.G. FUNCION RAIZ CUADRADA:Si x es un nmero real no negativo, se define la funcin raz cuadrada de x por OBSERVACIONES:i. La funcin es creciente.ii. La funcin raz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento. Su dominio son los IR+ U {0}.H. FUNCION EXPONENCIAL:La funcin f definida por se denomina funcin exponencial.GRFICAS DE LA FUNCIN EXPONENCIALEn las grficas se puede observar que: La grfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, entonces f(x) = es creciente. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = es decreciente. La grfica no corta al eje de las abscisas.I. FUNCION LOGARITMICA:Una funcin f definida por se denomina funcin logartmicaEn los grficos se puede observar que: La grfica intersecta al eje x en el punto (1,0) Si a > 1, entonces es creciente Si 0 < a < 1, entonces es decreciente La curva no intersecta al eje yJ. FUNCIN PARTE ENTERADado un nmero real x, la funcin parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x.Dado que todo nmero real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el nmero 6,215, esta funcin persigue que al nmero real 6,215 se le asocie el nmero real 6.Su representacin grfica es OBSERVACIN: A la grfica de esta funcin se le llama funcin escalonada.APLICACIONES LINEALESEn el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende, es necesario saber expresar una situacin prctica en trminos de una relacin funcional. La funcin que se obtiene produce un modelo matemtico de la situacin.EJEMPLO PSU-1: Si , entonces f(7) es igual a:EJEMPLO PSU-2: En el grfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 das: el primer da 152 minutos, el segundo da 180 minutos, el tercer da 90 minutos y el cuarto da 210 minutos. Cunto cancel en total por los das que estacion?A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores.EJEMPLO PSU-3: En cul de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1? EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil est dada por la ecuacin y(t) = 100t 5t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces en cul(es) de los siguientes valores de t estar el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundosA) Slo en IB) Slo en IIC) Slo en IIID) Slo en I y en IIE) Slo en I y en IIIEJEMPLO PSU-5: Considere la parbola Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parbola se abre hacia arriba II) Su vrtice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetra es x = 1A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: Cul es el dominio de la funcin en los nmeros reales?EJEMPLO PSU-7: Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del grfico de la funcin f(x), en la figura? I) f( 2) > f(4) II) f( 1) + f(3) = f( 3) III) f( 6) f(8) = 2A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y II E) Slo II y IIIEJEMPLO PSU-8: Cul es la ecuacin de la parbola de la figura?A) y = ( x + 1)(x 2)B) y = (x + 1)(x 2)C) y = ( x + 1)(x + 2)D) y = ( x 1)(x 2)E) y = (x + 1)( x 2)EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una funcin tal que: f(x 1) = x2 (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) esA) 1B) 1 aC) 2 aD) 1 + aE) 3 2aEJEMPLO PSU-10: Sea f una funcin en los nmeros reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 Cul es el valor de t?A) -3B) -2C) 3D) 2E) EJEMPLO PSU-11: Del grfico de la funcin real , se puede afirmar que: I) tiene su vrtice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1Es(son) verdadera(s):A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 ( f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2D) 25x2E) ninguna de las expresiones anteriores.EJEMPLO PSU-13: Considere la funcin f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los nmeros reales. El menor valor que alcanza la funcin es A) 5 B) 3 C) 2 D) 0 E) 1EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) ( g(x), para todo nmero real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algn nmero real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo nmero real x distinto de cero. A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo II y IIIEJEMPLO PSU-15: Si f(x) = + 1 y f(2) = 9, entonces a =A) 9B) 4C) 3D) 2E) EJEMPLO PSU-16: Sea f una funcin cuyo dominio es R {-1} definida por , entonces f(-2)A) 1B) -1C) 3D) -3E) -EJEMPLO PSU-17: Cul de los siguientes grficos representa a la funcin real y = [x +1] EJEMPLO PSU-18: Cul de los siguientes grficos representa mejor a la funcin real f(x) = -(x + 1)2 + 1? EJEMPLO PSU-19: Considere la funcin f(x) = x2 8x + 15, cul(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El grfico de la funcin intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mnimo es -1 III) f(-3) > 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. Cul de las siguientes funciones representa la situacin descrita relacionando el nivel de agua y con el nmero de semana x?A) y = -12 + 0,5xB) y = - 0,5 + 12xC) y = 12 + 0,5xD) y = 12 3,5xE) y = 12 0,5xEJEMPLO PSU-21: De acuerdo al grfico de la figura, cul(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3(f(-2) f(0) = 2(f(2) III) f(-2) f(1) = f(2) -1A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-22: Sea la funcin de nmeros reales f(x) = x2 3, cul es el conjunto de los nmeros reales t que satisfacen f(t) = 1?A) {-2}B) {-2,2}C) {2}D) {4}E) No tiene solucin en el conjunto de los nmeros realesEJEMPLO PSU-23: Cul de los siguientes grficos representa a la funcin f(x) = x2 5x + 6? EJEMPLO PSU-24: La lnea quebrada de la figura es el grfico de la funcin f(x) =EJEMPLO PSU-25: Cul de los siguientes grficos representa mejor al grfico de la funcin f(x) = x2 1? EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas segn tramo de consumo:Consumo en m3Precio0 - 9$3.00010 19$ 8.00020 o ms$11.000Adems, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un nmero entero, ste se aproxima al entero superior. Cul de los siguientes grficos interpreta el sistema de cobros de la empresa? EJEMPLO PSU-27: En la figura Cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuacin de la recta es y = 5x - 10A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: Cul es la ecuacin que mejor representa al grfico de la figura? A) y = x2B) y = x3C) y = 4x4D) y = 4xE) y = 4x2EJEMPLO PSU-29: La relacin entre el radio y el rea de una circunferencia es: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I. es variable. II. r es variable y A slo toma valores positivos. III. A es funcin de r. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo II D) Slo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-30: Dada la funcin , entonces f(-4)= EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, adems, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la funcin que relaciona el valor (y) y los kilmetros recorridos (x) es:EJEMPLO PSU-32: Dada la funcin , se puede afirmar que: I) La funcin est definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la funcinA) Slo IIB) Slo IIIC) Slo I y IID) Slo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, qu valores deben tener m y n, respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?A) y 5B) - 1 y C) 2 y 2D) y E) 2 y 10EJEMPLO PSU-34: Una compaa telefnica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes:Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, ms $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o ms minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-35: Una fbrica de lmparas tiene un costo fijo de produccin de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lmpara de $ 5.000. Si x representa el nmero de lmparas producidas en un mes, cul de las siguientes expresiones representa la funcin costo C(x)?A) C(x) = x + 1.005.000B) C(x) = 1.000.000x + 5.000C) C(x) = 1.005.000xD) C(x) = 5.000x + 1.000.000E) C(x) = (x 5.000) + 1.000.000EJEMPLO PSU-36: Dada la funcin f(x)= , cul(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) f(8) es:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 7EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x 4, entonces f(x + 1) es igual a:A) x2 + 3x - 2B) x2 + 5x 3C) x2 + 5x 2D) x2 + 5xE) x2 + 3xEJEMPLO PSU-39: dada la parbola de ecuacin y = x2 2x + a, cul(es) de las siguientes afirmaciones