$Libro.fundament.estad.1

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA

Lic. Adm. Walter Céspedes Ramírez

Lima – Perú

2012

Lic. Walter Céspedes Ramírez

Primera Unidad

INTRODUCCIÓN a la ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Lección 1:

1.1.- CONCEPTOS BÁSICOS.

Se recopilan en esta lección todos aquellos conceptos que el lector debe conocer para entender esta asignatura. En términos generales se reúnen aquí conceptos relacionados con: la Estadística y su división, con los datos u observaciones, además de sus características y limitaciones.

1.1.1.- Glosario Estadístico:

Son los términos propios de la Estadística, por lo que es necesario que todo estudiante de esta disciplina los conozca, para que pueda utilizarlos apropiadamente, además de entender con claridad la Estadística Descriptiva.

1.1.1.1.- Marco Referencial:

Es el alcance de la variable o variables que constituyen problemas que se investigan. Para un investigador es importante saber hasta dónde debe llegar, por ello todo marco referencial es el límite de la investigación. Así por ejemplo, si se investigan problemas relacionados con las universidades, el marco referencial nos dirá si se investiga: una universidad en particular, todas las universidades de Lima, todas las universidades del Perú, etc.

1.1.1.2.- Población:

Es el universo de los datos o unidades de información que se investiga; en cuanto a su alcance, es toda la información que existe respecto a una variable limitada por el marco referencial. En cuanto a su contenido; las poblaciones pueden ser limitadas, cuando se pueden contar todos los datos u observaciones, por ejemplo las matriculas del actual semestre académico; también pueden ser ilimitadas, cuando no se pueden contar todos los

Página 2

Fundamento de Estadística

datos u observaciones, por ejemplo la producción agrícola de maíz en el Perú o la cantidad de vino que produce Europa para el mundo, debido a que se siguen produciendo.

1.1.1.3.- Muestra:

Es parte de una población, mayormente los investigadores prefieren trabajar con muestras, por que utilizan pocos datos ahorrando tiempo y costos principalmente. La muestra es la porción de la población que se selecciona para su análisis, se caracteriza por tener un tamaño conocido, es decir que tiene límites y permite estudiar poblaciones incluyendo las ilimitadas.

1.1.1.4.- Recopilación de Datos:

Cuando se recogen las observaciones o datos, pueden hacerse éstos en forma total o en forma parcial. El proceso de recolección total se llama censo, a través del cual se obtiene la población. El proceso de recolección parcial se llama muestreo, a través del cual se obtiene una muestra que es representativa de la población.

El censo solo es posible con poblaciones limitadas; es decir, con poblaciones que pueden contarse todos sus elementos; en cambio, no es posible hacer un censo en poblaciones de naturaleza ilimitada. El hecho de que no se pueda realizar un censo en poblaciones ilimitadas, no es razón suficiente para dejar de hacer un estudio las observaciones que aún se encuentran en proceso de producción, ya que existe el muestreo.

1.1.1.5.- Estadígrafo:

Es un indicador que se obtiene al procesar cualquier medida estadística de resumen, tanto de posición o localización, como de dispersión o variabilidad. Cuando este indicador se obtiene de una muestra toma el nombre de estimador, y cuando su procedencia es de una población toma el nombre de parámetro.

1.1.1.6.- Tratamiento:

Se refiere al procesamiento de los datos (unidad de información), con el objeto de obtener una medida descriptiva que generalmente es un estimador, para luego hacer una inferencia, que es otro tratamiento pero esta vez del estimador para convertirlo en parámetro.

1.1.2.- Estadística:

Página 3


Etimológicamente el término estadística viene del alemán statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), quién designaba originalmente el análisis de datos del Estado, como la "ciencia del Estado" (también llamada aritmética política de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair.

Por lo general la Estadística se divide en dos partes: una denominada Estadística Descriptiva, basadas en observaciones o en datos, y la otra denominada Estadística Inferencial, basada en el razonamiento sobre las observaciones.

1.1.2.1.- Estadística Descriptiva:

Es la parte de la Estadística que está basada en las observaciones o datos, por lo tanto se ocupa de la recolección y análisis del correspondiente de una muestra o de una población, para obtener conclusiones de los mismos. Esta parte solo se preocupa de: ordenar, tabular, graficar y calcular estadígrafos de los datos que se investigan; por ello se denomina Estadística Descriptiva, porque su acción solo se limita a describirlos. Estadística Descriptiva, puede definirse como aquellos métodos que incluyen la recolección, presentación y caracterización de un conjunto de datos con el fin de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto.

1.1.2.2.- Estadística Inferencial o Analítica:

Es la parte de la Estadística que está basada en el razonamiento sobre las observaciones y se ocupa del estudio de la población a partir de una muestra. Estadística Inferencial, puede definirse como aquellos métodos que hacen posible la estimación de una característica de una población o la toma de una decisión referente a una población basándose sólo en los resultados de una muestra.

Uno de los problemas fundamentales de la Estadística, es el estudio de la relación existente entre una población y sus muestras. Según la dirección que tome tal relación, la Estadística puede ser: Deductiva, cuando a partir del conocimiento de la población se trata de caracterizar cada muestra posible. Inductiva, cuando a partir del conocimiento derivado de una muestra se pretende caracterizar la población.

Lección 2:

Página 4

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Sinclair&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado

http://es.wikipedia.org/wiki/Datos

http://es.wikipedia.org/wiki/1749

http://es.wikipedia.org/wiki/Godofredo_Achenwall


1.2.- VARIABLES.

Se denomina variable a una característica o cualidad básica de la información que se investiga, que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores numéricos o modalidades cualitativas; es decir, es toda característica que varía de un elemento a otro en una población.

La variable es un símbolo, que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado dominio de la variable. Si la variable puede tomar solamente un valor, se llama constante. Todos los elementos de la población poseen los mismos tipos de caracteres, pero como estos en general no suelen representarse con la misma intensidad, es obvio que las variables toman distintos valores. Por lo tanto estos distintos números o medidas que toman los caracteres son los valores de la variable.

Los atributos también llamados caracteres cualitativos, son aquellos que no son susceptibles de medición, es decir que no se pueden expresar mediante un número, son aquellas características que pueden presentarse en individuos que constituyen un conjunto.La forma de expresar los atributos es mediante palabras, por ejemplo; profesión, estado civil, sexo, nacionalidad, etc. Puede notar que los atributos no se presentan en la misma forma en todos los elementos. Estas distintas formas en que se presentan los atributos reciben el nombre de modalidades.

A pesar de que existen diferentes maneras de clasificar una variable, en este texto solo se tratará de la clasificación según su intensidad, por ser la más importante para la Estadística, ya que considera dos aspectos que son: el valor que toma y la modalidad que la variable adquiere.

1.2.1.- Variables Cualitativas:

Son aquellas variables denominadas también de atributo, porque no adquieren valores numéricos. Estas variables se caracterizan por que adquieren distintas modalidades, ya que pueden ser nombradas o descritas, también pueden ser el resultado de una comparación. Estas variables no pueden ser medidas numéricamente, pero si pueden ser medidas según su categoría, las cuales se sub-dividen en:

1.2.1.1.- Variables Nominales:

Son aquellas variables no numéricas que se caracterizan por: nombrar, describir o comparar una modalidad. Ejemplo: la relación de estudiantes de un aula, la relación de países pobres de América, etc. En el primer ejemplo se hace referencia a nombres y el segundo se hace referencia a una descripción.

Página 5

http://www.monografias.com/trabajos32/extranjeria-nacionalidad-ciudadania/extranjeria-nacionalidad-ciudadania.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/sexo-sensualidad/sexo-sensualidad.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtml


1.2.1.2.- Variables Ordinales:

Son aquellas variables no numéricas que se caracterizan por ser el resultado de una comparación. Ejemplo: la selección de estudiantes de un aula para un evento internacional, la relación de países más pobres de América, etc. Ambos ejemplos son por el resultado de comparar los atributos de la variable, porque usted no puede seleccionar sin comparar, tampoco puede saber sin son más o menos pobres sin comparación.

1.2.2.- Variables Cuantitativas:

Son aquellas variables denominadas también cuantificadas, porque tiene valores numéricos. Estas variables se caracterizan por que adquieren distintos valores dentro de su recorrido, dentro de los cuales puede haber solamente números enteros o también números combinados entre enteros y decimales. Estas variables numéricas, se sub-dividen en:

1.2.2.1.- Variables Discretas:

Son aquellas variables numéricas que dentro de su recorrido, solo puede aceptar valores enteros, estas variables por su naturaleza no pueden aceptar fraccionamiento de un valor numérico, por que se obtienen únicamente por conteo; es decir, que una forma de cuantificar una variable es contando las veces que aparece al relacionarla con otra de sus características. Por ejemplo se tiene la variable ASISTENCIA (característica básica) que va a ser asociada a los DIAS (característica complementaria), resulta la asistencia del lunes, la asistencia del martes, etc. cada una de estas asistencias representan solamente un valor numérico entero.

1.2.2.2.- Variables Continuas:

Son aquellas variables numéricas que dentro de su recorrido, puede aceptar valores reales (enteros y/o decimales), estas variables por su naturaleza si pueden aceptar fraccionamiento de un valor numérico, por que se obtienen como resultado de una medición; es decir, que la forma de cuantificar una variable es midiendo el valor que adquiere al relacionarla con otra de sus características. Por ejemplo se tiene la variable EDAD (característica básica) que va a ser asociada con PERSONAS (característica complementaria), resulta la edad de Enrique, la edad de María Paula, etc. cada una de estas edades representan un valor numérico entero y/o decimal.

En los siguientes ejercicios respecto a la sub-división según su intensidad, es posible que haya más de una respuesta en cada ejemplo. En los casos de que usted encuentre una respuesta cualitativa y otra cuantitativa, la respuesta cualitativa prevalece sobre la cuantitativa ya que todas las variables pueden ser cuantificadas.

Ejercicios sobre Variables:

Página 6


Considerando la subdivisión de una variable según intensidad, determine a que sub división se refieren los siguientes ejemplos:

1) Las evaluaciones de un grupo de estudiantes. Respuesta: ( )

2) La cantidad de monedas emitidas por el B. C. R. del Perú. Respuesta: ( )

3) La obras escritas por Cesar Vallejo. Respuesta: ( )

4) Las clases magistrales de un profesor. Respuesta: ( )

5) Las mejores clases magistrales de profesor. Respuesta: ( )

6) Las clases de un profesor de una universidad. Respuesta: ( )

7) Las remuneraciones de los empleados de la categoría “A”. Respuesta: ( )

8) Las auditorías realizadas por la Contraloría. Respuesta: ( )

9) Los convenios firmados entre naciones con el Perú. Respuesta: ( )

10) La relación de asistentes a una conferencia. Respuesta: ( )

11) La calidad del espejo de una vitrina. Respuesta: ( )

12) El carácter de una persona. Respuesta: ( )

13) Las monedas de mayor circulación en el Perú. Respuesta: ( )

14) El hijo mayor de una familia. Respuesta: ( )

15) La lista de personas heridas en un atentado. Respuesta: ( )

16) El número de inscritos en una competencia deportiva. Respuesta: ( )

17) La edad de Pedro. Respuesta: ( )

18) La selección de futbol de Perú. Respuesta: ( )

19) Los sueldos de los magistrados. Respuesta: ( )

20) La capacidad de un estanque. Respuesta: ( )

21) La capacidad de un auditorio. Respuesta: ( )

Respuestas al ejercicio:

Página 7


1) Variable Continua, porque evaluación se refiere a una unidad de medida.

2) Variable Discreta, porque se refiere al número de monedas emitidas.

3) Variable Discreta, porque se refiere al número de obras.

4) Variable Nominal, porque el término magistral se refiere a una descripción de las clases del profesor.

5) Variable ordinal, porque es una comparación entre las clases magistrales del profesor, en este caso el término magistral (nominal) deja de tener importancia como clasificación de la variables y menos aún cuantas son (discreta).

6) Variable Discreta, porque se refiere al número de clase del profesor universitario, la descripción del profesor deja de tener importancia.

7) Variable Continua, porque se refiere al salario del trabajador de categoría “A”, la descripción de la categoría de empleado deja de tener importancia, porque la referencia es a las remuneraciones que se encuentran dentro de una escala según el puesto.

8) Variable Discreta, porque se refiere al número de auditorías.

9) Variable Discreta, porque se refiere al número de convenios firmados.

10) Variable Nominal, porque una relación es una lista de nombres.

11) Variable Nominal, porque es una descripción sobre el espejo

12) Variable Nominal, porque es una característica de una persona

13) Variable ordinal, porque el término mayor circulación solo resulta de una comparación.

14) Variable ordinal, porque el término mayor solo resulta de una comparación.

15) Variable Nominal, porque es una lista de nombres.

16) Variable Discreta, porque se refiere a la cantidad de inscritos en una competencia.

17) Variable Continua, porque se refiere a la edad que solo se mide con relación al tiempo.

18) Variable ordinal, porque una selección solo resulta de una comparación.

19) Variable Continua, porque se refiere a los sueldos que se encuentran dentro de una escala según el puesto de magistrado.

20) Variable Continua, porque capacidad se refiere a una unidad de medida de igual nombre.

21) Variable Discreta, porque se refiere al aforo (Cantidad de personas) de un auditorio.

Lección 3:

Página 8


1.3.- FUENTES DE RECOLECCIÓN.

Son llamadas también fuentes de información, porque permiten al investigador obtener datos u observaciones para utilizarlos con fines estadísticos.

Para muchos, una fuente de información es una organización o institución pública o privada que provee de datos a quién lo solicite. Para otros, una fuente de información es: una revista, un periódico, un libro o cualquier tipo de publicación que provee de datos a quién la requiera. También se considera como fuente de información a: archivos, registros y documentos; impresos o virtuales que provee de datos a quienes tengan acceso a ellos.

Como usted puede ver, una fuente de datos no es solo una institución, es también una publicación o simplemente un registro que se encuentra disponible de manera restringida. Por otro lado, algunas veces se recurre a información ya elaborada, por que cubre las necesidades del investigador, otras veces es necesario preparar una serie de preguntas que sirvan para cubrir nuestras necesidades de información.

Por lo expuesto, de deduce que existen dos tipos de fuentes de información, aquella que nos provee datos existentes y aquellas que nos provee datos por la necesidad de recolección de información propia.

1.3.1.- Clasificación de la Fuente:

El concepto de fuentes de información ha evolucionado, ahora se identifican por la manera de como se recolectan los datos, que son: de manera directa con información propia actual o fuente primaria, y de manera indirecta con información pasada elaboradas no necesariamente con fines estadísticos o fuente secundaria.

1.3.1.1.- Fuente Primaria:

Algunos piensan que las fuentes primarias son más confiables, porque son efectuadas por oficinas especializadas encargadas de ese fin. Lo que ocurre es que este tipo de fuente por conseguir información directa de informantes previamente seleccionados, utiliza preguntas ordenadas en una encuesta, para facilitar al investigador de toda la información que necesite; pero la confiabilidad de la información, está en la responsabilidad en que se realice el trabajo.

Toda fuente primaria, conformada únicamente por una encuesta, es fuente directa de información, porque genera información exclusiva acorde con las necesidades del investigador, con la encuesta se puede contar con información propia, elaborada con el único fin de conseguir datos actuales de gran utilidad para alcanzar las metas propuestas. 1.3.1.2.- Fuente Secundaria:

Página 9


La información pasada ya existente y disponible en: una institución, una publicación o en un archivo; constituyen una fuente secundaria de información. La confiabilidad de este tipo de fuente, va a depender solo de la seriedad con que fue elaborada y no del tipo de fuente.

Los archivos que sirven para proveer datos al investigador, estadística les llama Registro Administrativo, ya que no fueron hechos con fines estadísticos, pero pueden servir para tal fin, por ello a esta fuente se le denomina fuente indirecta.

Además de los archivos, existen otras fuentes secundarias de información, como: los informes de organizaciones, publicaciones, documentos de carácter privados, encuestas pasadas, etc.

1.3.2.- Métodos de Recopilación:

Conocida la fuente de información, existen dos maneras prácticas de obtener los datos que el investigador necesita para desarrollar su actividad, estos métodos son: la observación y la encuesta.

1.3.2.1.- Observación:

Consiste en poner los sentidos sobre lo que se quiere conocer, de tal manera que: un escrito o figura se observa con la vista, un sonido se observa con el oído, un aroma se observa con el olfato, un objeto puede ser observado con el tacto y finalmente el sabor es observado con el sentido del gusto. En otras palabras, observar es poner los sentidos sobre lo que se investiga, para tomar nota de lo que se considera importante.

La observación es la forma de investigar una fuente secundaria que es de naturaleza personal, que se encuentra al servicio de una organización.

1.3.2.2.- Encuesta:

Con el objeto de obtener datos actualizados directamente de personas sobre la o las variables en estudio, se utiliza la encuesta, que es un conjunto de preguntas elaboradas especialmente para la investigación.

Como se sabe, la encuesta es un instrumento para conseguir datos actuales de lo que se investiga, pero para ejecutarla y conseguir la información, existen dos métodos que son: el cuestionario y la entrevista.

El cuestionario, es un método de conseguir información con encuestas, en el que participa una persona (informante), quién se encargará de resolver todas las interrogantes, para hacerlas llegar al solicitante de la información a través de algún medio.

Página 10


El informante contesta las preguntas y la consigna en el formato encuesta, por consiguiente todo cuestionario va de persona a documento.

La entrevista, es otro método de conseguir información con encuestas, en el que participan dos personas: el informante quién se encargará de resolver todas las interrogantes, y el entrevistador quien formula e interpreta si es preciso las preguntas, para anotar las respuestas en la propia encuesta.

El informante contesta las preguntas y el entrevistador las recibe para luego consignarlas en el formato encuesta, por consiguiente toda encuesta va de persona a persona.

1.3.3.- Proceso para la Recopilación de Datos:

Recopilar datos de una fuente secundaria, solo requiere determinar qué información rescatar y de donde obtenerla; mientras que sacar información de una fuente primaria, requiere de una serie de pasos, que a continuación se describen:

1º Definir el problema.- Cuando una organización desea: cambiar, mejorar o alcanzar algo de interés, para ella se convierte en una necesidad que se define como un problema de decisión gerencial, en donde se determinará que deberá hacerse para resolverlo. Cuando el problema involucra la opinión de usuarios o consumidores, entonces la gerencia determina que se trata de un problema de investigación de mercado, y para resolverlo, debe contratar los servicios de una empresa especializada en investigación de mercados, si no cuenta con ese servicio.

2º Determinar el Objetivo General.- la empresa investigadora, luego de conversar con el gerente y demás involucrados en el caso, determina ¿cuál? es el objetivo general de la investigación.

3º Definir los Objetivos Específicos.- definido el objetivo general, éste se sub divide en varias partes, que representan los objetivos específicos, los cuales son más precisos.

4º Elaborar el Plan de Investigación.- Establecidos los objetivos específicos, a cada uno de ellos, se le asigna una pregunta de investigación, que como resultado de la misma aparecen las variables a investigar. Posteriormente conocidas las variables, se fija la fuente de investigación y se formula la hipótesis correspondiente; es decir, ¿qué? se espera encontrar al concluir la investigación.

5º Elaborar las preguntas de la Encuesta.- Identificadas cuales son las variables a investigar, se procede a elaborar cada una de las preguntas que se relacionan con ellas, incluyendo solo las variables de fuente primaria, por que las variables de fuente secundaria, se van a conseguir con otro proceso. Las preguntas en la encuesta deben ser ordenadas de acuerdo con una secuencia lógica y no necesariamente deben tener el orden de presentación de los objetivos específicos. En la formulación de las preguntas, se deben

Página 11


utilizar palabras comunes fáciles de entender y todas deben hacerse cerradas en lo posible.

Una encuesta generalmente utiliza diferentes tipos de preguntas, dependiendo de los objetivos que se propone alcanzar, entre las más usadas están:

- Nominal dicotómicas cerradas: Son aquellas que solo responden a: “si” o “no”- Nominal cerradas: Son la mayoría de las preguntas en toda encuesta, en donde se

tiene que escoger una respuesta entre varias.- Nominal de respuesta múltiple: Son las preguntas que tienen varias respuestas a la

vez, pero están ordenadas de acuerdo a la opinión del encuestado.- Escalar unipolar: Se utilizan generalmente en edades y en ingresos, porque estos

asuntos son considerados por los encuestados como personales, a los que no desean precisar con exactitud. En estos casos las respuestas se encuentran dentro de un rango.

- Escalar con intensión de asistencia: Son preguntas que orientan al encuestado, se utilizan cuando se desea conocer la frecuencia o la intensidad del uso o consumo.

- Diferencial semántico: Son preguntas de opinión utilizadas principalmente para evaluación, en donde de precisan los extremos y dentro de ellos se pone una escala de números correlativos a partir de 1, para que el encuestado califique que tan cerca o que tan lejos está su opinión dentro de dichos extremos.

- Tipo Likert: Son preguntas que se formulan en forma positiva o en forma negativa, para conocer la opinión del encuestado, para que responda a una de las 5 opciones siguientes: concuerda fuertemente (CF), concuerda (C), no opina (NO), discrepa (D) y finalmente discrepa fuertemente (DF).

- Tipo Thurstone: También son preguntas de opinión, que se utilizan para comparar: entidades, productos o servicios; entre los nuestros con productos o servicios de los competidores, el encuestado debe elegir entre las dos opciones, cual prefiere.

6º Puesta en prueba la Encuesta.- Después de saludar a la persona que se desea encuestar y se mencione el objeto de la encuesta, cabe la pregunta ¿podría usted participar? Si la respuesta es afirmativa, se procede a probar las preguntas de la encuesta, para saber si están claras todas ellas, esta prueba se realiza con muy pocas personas.

7º Ejecutar la Encuesta.- En esta parte se repite lo mencionado en el paso anterior, con la diferencia de que la participación es masiva con la cantidad de personas que fue establecida en el estudio del caso, concluida la encuesta se agradece la participación del encuestado.

. 8º Tabular los Resultados.- Se hace un resumen numérico de las respuestas obtenidas en

cada variable, con el objeto de conocer la apreciación de los participantes a las interrogantes, que servirán de base para confirmar o no, las hipótesis planteadas.

9º Obtener las Conclusiones.- Son resúmenes de los resultados de la encuesta, los que

generalmente se presentan acompañados de: gráficos, de cuadros de datos más representativos y de algunas medidas estadísticas de importancia.

Página 12


10º Realizar la Recomendaciones necesarias.- Son las observaciones encontradas en la investigación, para que la empresa tome las medidas correctivas necesarias, de tal manera que se resuelva el problema planteado.

Ejercicio sobre la elaboración de una encuesta:

Para elaborar una encuesta, primero se debe contar con un proyecto sobre el cual se precise esta necesidad. En la elaboración de toda encuesta se deben dar los 5 primeros pasos del proceso de recopilación de datos.

A continuación se verá el siguiente caso:Proyecto para alcanzar la excelencia en la calidad del servicio de la Agencia 7 del Banco Machu Picchu del distrito de San Sebastián del Cusco, frente a sus competidores.

1.- Definir el Problema: El Banco Machu Picchu es un banco joven que desea tener mayor cobertura en el Perú, pero un estudio a nivel nacional, está por el momento fuera de su presupuesto, generándose un problema de decisión gerencial; por ello, decide realizar un plan de investigación pequeño en una de sus agencias del Cusco. El gerente tiene la seguridad de que con los resultados de la investigación, le dará una idea sobre la estrategia a utilizar a nivel nacional. La empresa de investigación contratada quiere conocer, cuales son las fortalezas y cuáles son las debilidades de la Agencia 7 de San Sebastián del Cusco, frente a sus competidores, tomando en cuenta los factores que determinan la calidad de un servicio para obtener la calificación de excelente, generándose un problema de investigación de mercado que hay que resolver mediante una encuesta dirigida solamente a las personas que salen de la Agencia 7, después de haber sido atendidas.

2.- Objetivo General: Identificar las fortalezas y las debilidades de la Agencia 7 de San Sebastián del Cusco, frente a sus competidores.

3.- Objetivos Específicos: Con relación al objetivo general, se desprenden los siguientes objetivos específicos:

a) Conocer el criterio que utilizan los clientes para elegir un buen banco.

b) Conocer como evalúan los clientes del Banco Machu Picchu de la Agencia 7 y a los competidores, respecto al criterio de selección de un buen banco.

c) Analizar los servicios de mayor preferencia por los clientes, en que banco o bancos.

d) Conocer la participación en el mercado de Banco Machu Picchu con relación a los servicios que ofrece la Agencia 7.

e) Conocer el perfil demográfico y psicográfico de los clientes de la Agencia 7 del Banco Machu Picchu y establecer diferencias con la de los competidores.

Página 13


f) Conocer la frecuencia de las visitas, el tiempo de demora en la atención al público y los niveles de satisfacción.

4.- Plan de Investigación: Todo plan de trabajo, debe relacionar cada objetivo específico con: preguntas de investigación, las variables, las hipótesis y las fuentes:

ObjetivosEspecíficos

Preguntas de Investigación Variables Hipótesis Fuentes

Como elegir un buen banco.

¿Qué característica busca Usted en un buen banco?

Limpieza, Atención,Rapidez, Apariencia

Tiene la Agencia 7 unaexcelente calidad en el servicio

Primaria

Como evalúa. clientes a la Agencia 7

¿Cómo evalúa al: Personal, Seguridad y Ambiente de la Agencia?

Actitud, SeguridadAmbiente, Presencia

Los servicios de la Agencia 7son mejores que la de susCompetidores.

Primaria

Analizar los servicios de mayor pref.

¿Qué operaciones realiza en la Agencia 7?

Tipo de servicios En la Agencia 7 el servicio de mayor preferencia es la cuenta corriente

Primaria

Participación Secund.Perfil demog de clientes de la Agenc.

¿Cuáles son las características demográficas de los clientes?

Ubicación, Edad, Sexo,Niveles de ingreso

No hay diferencia en el perfil demográfico entre clientes de la agencia y competidores.

Primaria

Frecuencias de visitas.

¿Con que frecuencia asiste? ¿Qué tiempo espera?

Frecuencia de usoDemora.

Existe satisfacción entre los cliente de la Agencia

Primaria

El cuarto objetivo específico, por utilizar fuente secundaria, solo se menciona en el plan, porque tiene otro proceso de investigación.

5.- Elaboración de la Encuesta: Tomando como base el plan de investigación, se procede a elaborar una pregunta por cada variable, de la siguiente manera:

Buenos días (buenas tardes), estamos realizando una encuesta para conocer como el cliente percibe la calidad del servicio de esta agencia, ¿podría participar?

ENCUESTA

1) ¿Es usted cliente o usuario de esta agencia bancaria?

1 – Cliente 2 – Usuario

2) ¿Qué características busca usted en un buen banco? 1 2 3

1 – Limpieza

2 – Orden

3 – Buena infraestructura

4 – Atención amable

5 – Servicio rápido

Página 14


3) ¿Con que frecuencia asiste a esta agencia bancaria?

1 – Diariamente 3 – Mensualmente

2 – Semanalmente 4 – Cuando lo necesito

4) En esta agencia usted fue atendido:

1 – Por un ejecutivo

2 – En ventanilla

3 – En plataforma

5) ¿Qué operación u operaciones realizó usted en la agencia? 1 2 3

1 – Cuenta corriente

2 – Ahorros

3 – Préstamos

4 – Servicios varios

6) ¿Entre que intervalos de tiempo estuvo en cola de espera?

1 – Menos de 10 minutos 3 – Entre 20 y 30 minutos

2 – Entre 10 y 20 minutos 4 – Más de 30 minutos

7) ¿Cómo evaluaría usted a la persona que le atendió? 1 2 3 4 5

1 – Atención amable No amable

2 – Buena apariencia Sin apariencia

3 – Atención al saludo No saluda

4 – Despedida atenta Sin Despedida

5 – Servicio rápido Sin rapidez.

8) ¿Cómo evaluaría usted a esta agencia? 1 2 3 4 5

1 – Bastante ordenada Desordenada

2 – Percibe limpieza No hay limpieza

3 – Ambiente moderno Ambiente antiguo

4 – Comodidad al esperar Incomodidad

5 – Folletos disponibles No hay folletos

9) ¿Cómo percibe la seguridad en esta agencia bancaria?

1 – Optima 3 – Regular

2 – Buena 4 – Deficiente

Página 15


10) ¿Recuerda donde se ubicaba el vigilante de la agencia bancaria?

1 – En la puerta de ingreso 3 – En el exterior

2 – En recepción al público 4 – En el interior

11) ¿Recuerda donde se ubicaba el policía (PNP) en la agencia?

1 – En la puerta de ingreso 3 – En el exterior

2 – En recepción al público 4 – En el interior

12) ¿Cómo evaluaría usted a las siguientes personas de la agencia? CF C NO D DF

1 – ¿Los vigilantes son muy amables?

2 – ¿Los policías son poco amables?

13) ¿El personal de la agencia usa fotocheck?

1 – Si 2 – No

14) Si tuviera que escoger necesariamente un banco entre cada opción ¿cuál escogería?

1 – Crédito Machu Picchu

2 – Machu Picchu Interbank

3 – Scotia Bank Machu Picchu

4 – Machu Picchu Continental

5 – Continental Crédito

6 – Interbank Scotia Bank

15) ¿Es cliente a de alguno de los bancos mencionados en la pregunta anterior?

1 – Si 2 – No

16) ¿En cuál o cuáles de ellos según prioridad? 1 2 3

1 – Machu Picchu

2 – Crédito

3 – Continental

4 – Scotia Bank

5 – Interbank

17) ¿Reside usted en el distrito de San Sebastián?

1 – Si 2 – No

Página 16


18) ¿Dentro de que intervalos ubica su edad?

1 – menores de 18 años 4 – Entre 35 y 45 años

2 – Entre 18 y 25 años 5 – Entre 45 y 55 años

3 – Entre 25 y 35 años 6 – Más de 55 años

19) ¿Dentro de que intervalos ubica su ingreso?

1 – menores de 600 soles 4 – Entre 2000 y 3000 soles

2 – Entre 600 y 1000 soles 5 – Entre 3000 y 4000 soles

3 – Entre 1000 y 2000 soles 6 – Más de 4000 soles

20) ¿Sexo?

1 – Masculino 2 – Femenino

Muchas gracias.

Entrevistador (a) Fecha Hora

Página 17


Lección 4:

1.4.- APLICACIONES MATEMÁTICAS.

La información estadística de carácter numérico, utiliza las matemáticas cuando le desea dar a las observaciones un tratamiento en conjunto tanto muestral como poblacional, la gran mayoría de medidas estadísticas son obtenidas a través de las matemáticas.

Algunas veces las cifras numéricas son muy grandes, de tal manera que para simplificarlas se utiliza la notación científica, quedando las mismas en miles o millones. Otra necesidad matemática es el redondeo de datos que se da generalmente a la parte decimal de toda cifra numérica, también la estadística utiliza las sumatorias en la mayoría de las medidas de resumen.

1.4.1.- Notación Científica:

Matemáticamente la notación científica, es la representación de un número en un potencial que puede utilizar cualquier número como base, pero para la estadística se utiliza el potencial con base diez.

Ejercicios Resueltos:

1) Expresar científicamente con 2 cifras enteras, la siguiente cantidad: 23 475 684 543,129

Solución:

Se corre la cifra decimal de la posición actual a la nueva posición dejando 2 cifras enteras

23,475684543129 x109

El potencial positivo es la cantidad de cifras que ha recorrido la coma hacia la izquierda.

2) Expresar científicamente con 2 cifras enteras, la siguiente cantidad: 0,000000012952

Solución:

Se corre la cifra decimal de la posición actual a la nueva posición dejando 2 cifras enteras

12,952 x10 – 9

El potencial negativo es la cantidad de cifras que ha recorrido la coma hacia la derecha.

3) Expresar científicamente con 1 cifra entera, la siguiente cantidad: 2 928 452,1857

Página 18


Solución:

Se corre la cifra decimal de la posición actual a la nueva posición dejando 1 cifra entera

2,9284521857x106

El potencial positivo es la cantidad de cifras que ha recorrido la coma hacia la izquierda.

4) Expresar científicamente con 1 cifra entera, la siguiente cantidad: 0,0000004571652

Solución:

Se corre la cifra decimal de la posición actual a la nueva posición dejando 1 cifra entera

4,571652 x10 – 7

El potencial negativo es la cantidad de cifras que ha recorrido la coma hacia la derecha.

5) Expresar científicamente con 3 cifras enteras, la siguiente cantidad: 221,457878

Solución:

221,457878 x100

El potencial es cero por que la coma ha permanecido en el mismo lugar.

6) ¿A qué número real le corresponde: 12,4589235 x 104

Solución:

124589,235

Cuando el exponente es positivo, la coma regresa a la derecha 4 posiciones

7) ¿A qué número real le corresponde: 12,4589235 x 10 – 4

Solución:

0,00124589235

Cuando el exponente es negativo, la coma regresa a la izquierda 4 posiciones

8) ¿A qué número real le corresponde: 4 457 258,45 x 10 – 5

Solución:

44,5725845

Cuando el exponente es negativo, la coma regresa a la izquierda 5 posiciones.

Página 19


Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Notación Científica:

1) Representar científicamente con una sola cifra entera las siguientes cantidades:

a) 125,568912 Resp: 1,25568912 x 10 2

b) 0,002385789 Resp: 2,385789 x 10 – 3

c) 145 256 357 235,9 Resp: 1,452563572359 x 10 11

d) 0,125569 Resp: 1,25569 x 10 – 1

e) 0,00000000369 Resp: 3,69 x 10 – 9

f) 4,59823 Resp: 4,59823 x 10 0

2) Resolver las siguientes expresiones científicas:

a) 125568,912 x 10 – 4 Resp: 12,5568912

b) 25,289435 x 10 – 6 Resp: 0,000025289435

c) 8,912 x 10 5 Resp: 891 200

d) 68,14452 x 10 – 7 Resp: 0,000006814452

e) 2 912 x 10 6 Resp: 2 912 000 000

f) 0,94132 x 10 – 4 Resp: 0,000094132

1.4.2.- Redondeo de Datos:

Consiste en suprimir cifras que generalmente son decimales, algunas veces se suprimen todos los decimales que dando solo enteros, otras veces se dejan una o dos cifras decimales sin suprimir, de acuerdo al criterio o por necesidad de quien realiza el redondeo.

Al redondeo también se le conoce como aproximación de cifras decimales, para lo cual existen tres reglas, que son:

1º Cuando la cifra posterior a la cifra a aproximar es mayor de 5, la cifra de aproximación aumenta en 1.

2º Cuando la cifra posterior a la cifra a aproximar es menor de 5, la cifra de aproximación queda igual.

3º Cuando la cifra posterior a la cifra a aproximar es igual a 5, la cifra de aproximación aumenta en 1 siempre y cuando sea cifra impar, en caso contrario no aumenta.

Página 20



1) Redondear a décimas las siguientes cantidades: 34,5723; 1,334529; 356,15; 26,05 y 26,0500001

Solución:

a) 34,6

b) 1,3

c) 356,2

d) 26,0

e) 26,1

En el caso “e”, a pesar de que la cifra de aproximación es par (0) y la posterior es 5, el 0 se ha convertido en 1, por que el otro uno que está al final de todo el número, hace que las centésimas sean mayor de 5.

2) Las ventas de 5 años del 2006 al 2010 de una empresa, fueron las siguientes;

2006 56 458 279,202007 58 125 458,60 2008 65 945 258,502009 72 815 856,302010 81 125 456,90

Convertir científicamente las ventas en millones y redondearlas a enteros:

Solución:

Años Venta Años Venta en millones20062007200820092010

56,45827920 x 106

58,12545860 x 106

65,94525850 x 106

72,81585630 x 106

81,12545690 x 106

20062007200820092010

56 58 66 73 81

Total 334,47030950 x 106 Total 334

Puede observar que las ventas en millones, expresan lo mismo que la información original, con la diferencia de que las cifras redondeadas y en millones, facilitan el tratamiento estadístico porque son cifras más pequeñas.

1.4.3.- Sumatoria (Σ):

Página 21


Es la representación ordenada de un conjunto finito de datos, que habrán de ser sumados, toda sumatoria se representa por la letra griega mayúscula, sigma. En estadística se estila que los límites de una sumatoria, sean a partir de 1 hasta el dato “n” inclusive, y pueden suprimirse del símbolo de sumatoria, cuando tales límites son conocidos.

Como cualquier valor numérico puede ser sumado, existen valores: variables, constantes y correlativos o índices de la sumatoria; por consiguiente, se puede decir que existe un tipo de sumatoria para cada caso.

1.4.3.1.- Sumatoria de una Variable:

Se trata de valores que tienen diferentes cambios de magnitud, inclusive pueden hasta cambiar de signos. La sumatoria de una variable se define de la siguiente manera:

∑i=1

n

X i=X1+ X2+ X3+. ..+ Xn

Donde:X i = Variable. i = Índice.


1) Dado:

Xi

2 –3

4 1

–2

6

Yi

1 5 2 –4

–3

1

Hallar las siguientes sumatorias:

a) Σ Xi b) Σ Yi c) Σ (Xi + Yi) d) Σ (2Xi – 3Yi) e) Σ Xi2 f) Σ (Xi – Yi)2 g) Σ 9 Xi

Solución:

a) Σ Xi = 2 – 3 + 4 + 1 – 2 + 6 = 8

b) Σ Yi = 1 + 5 + 2 – 4 – 3 + 1 = 2

c) Σ (Xi + Yi) = (2 + 1) + (–3 + 5) + (4 + 2) + (1 – 4) + (– 2 – 3) + (6 + 1) = = 3 + 2 + 6 – 3 – 5 + 7 = 10

d) Σ (2Xi – 3Yi) = [2(2) – 3(1)] + [2(–3) – 3(5)] + [2(4) – 3(2)] + [2(1) – 3(–4)] + [2(– 2) – 3(–3)] + [2(6) – 3(1)] = 1 – 21 + 2 + 14 + 5 + 9 = 10

Página 22


e) Σ Xi2 = 22 – 32 + 42 + 12 – 22 + 62 = 4 + 9 + 16 + 1 + 4 + 36 = 70

f) Σ (Xi + Yi) 2 = (2 + 1) 2 + (–3 + 5) 2 + (4 + 2) 2 + (1 – 4) 2 + (– 2 – 3) 2 + (6 + 1) 2 = = 32 + 22 + 62 – 32 – 52 + 72 = 9 + 4 + 36 + 9 + 25 + 49 = 132

g) Σ 9 Xi = 9(2) + 9(– 3) + 9(4) + 9(1) + 9(– 2) + 9(6) = 18 – 27 + 36 + 9 – 18 + 54 = 72

En este grupo de ejercicios no se han puesto los límites, porque se entiende que Xi e Yi, adquieren los 6 valores, tal como se observa en la tabla que contiene a ambas variables.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Sumatorias de una Variable:

1) Dado, Xi: 4, –3, 7, –8, 6, 3, 8, 1, –5 y 2. Hallar:

a) Σ Xi Resp: 15 b) Σ Xi2 Resp: 277

c) Σ 4 Xi Resp: 60 d) Σ (Xi – 1) Resp: 5

e) Σ (Xi – 2)2 Resp: 257

f) Σ 6 Xi2 Resp: 1 662

g) Σ (5Xi2 – 5Xi) Resp: 1 310

h) Σ 4(Xi2 – 10Xi) Resp: 508

i) Σ (4 – Xi) Resp: 25

j) Σ (1 + Xi) Resp: 25

1.4.3.2.- Sumatoria de una Constante:

Se trata de valores que tienen la misma magnitud, no presentan cambios. La sumatoria de una constante se define de la siguiente manera:

∑i=1

n

K=K+K+K+. . .=n K

Donde: K = Constante.


Página 23


1) Con los límites del 1 al 8, resolver las siguientes sumatorias:

a) Σ 2 b) Σ 9 c) Σ – 6 d) Σ 17 e) Σ 22

Solución:

a) Σ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16

b) Σ 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 72

c) Σ – 6 = – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = – 48

d) Σ 17 = 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 +17 + 17 = 136

e) Σ 22 = 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 22 = 176

2) Con los límites del 15 al 21, resolver la sumatoria de la constante 28.

Solución:

Σ 28 = 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 = 196

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Sumatorias de una Constante:

1) Con los límites del 1 al 6, resolver la sumatoria de la constante 25. Resp: 150 2) Con los límites del 1 al 9, resolver la sumatoria de la constante 19. Resp: 171

3) Con los límites del 1 al 5, resolver la sumatoria de la constante 13. Resp: 65



1.4.3.3.- Sumatoria de un Índice:

Se trata de valores que tienen cambios de magnitud de manera correlativa, obedeciendo a un mismo patrón. La sumatoria de un índice se define de la siguiente manera:

∑i=1

n

i=1+2+3+. ..+n

Donde: i = Índice.


Página 24


7

1) Resolver: Σ i I = 1

Solución:

Σ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

17

2) Resolver: Σ 2i I = 10

Solución:

Σ 2i = 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 = 216

13

3) Resolver: Σ (2i – 1) I = 5

Solución:

Σ (2i – 1) = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 153

7

4) Resolver: Σ i2 I = 1

Solución:

Σ i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140

9

5) Resolver: Σ i3 I = 1

Solución:

Σ i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2 025

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Sumatorias de un Índice:

1) Si los límites van del 1 al 15, resolver:

a) Σ i Resp: 120

b) Σ 2i Resp: 240

c) Σ (2i – 1) Resp: 2251.4.3.4.- Propiedades de Sumatorias:

Página 25


Dependiendo del tipo de sumatoria, las propiedades de éstas son las siguientes:

1º La sumatoria de una constante es igual n veces la constante.

∑i=1

n

K=n K

2º La sumatoria de la suma y o diferencia entre constantes y/o variables, es igual a la suma y/o diferencia de las sumatorias de cada una de ellas.

∑i=1

n

(X i−K+Y i¿)=∑i=1

n

X i−∑i=1

n

K+∑i=1

n

Y i ¿

3º La sumatoria de del producto de una constante por una variable, es igual a la constante por la sumatoria de la variable.

∑i=1

n

K X i=K∑i=1

n

X i

4º La sumatoria los primeros números naturales consecutivos, es igual a la mitad de (n) por (n + 1).

∑i=1

n

i=n (n+1)

2

5º La sumatoria los primeros números naturales pares consecutivos, es igual a (n) por (n + 1).

∑i=1

n

2 i=n (n+1)

6º La sumatoria los primeros números naturales impares consecutivos, es igual a n2.

∑i=1

n

(2 i−1)=n2

7º La sumatoria de los cuadrados de los primeros números naturales consecutivos, es igual a [n (n + 1) (2n + 1)] / 6.

∑i=1

n

i2=n (n+1 )(2n+1)

68º La sumatoria de los cubos de los primeros números naturales consecutivos, es igual a

[n (n + 1)] 2 / 22.

∑i=1

n

i3=[ n (n+1 )2 ]

2

Página 26



1) Dado:

Xi 2 –3 4 1

8 –2

6 7 9 5

Yi 1 5 2 –4

7 –3

–1 3 4 6

Hallar las siguientes sumatorias:

a) (Xi + Yi) b) Σ (2Xi – 3Yi) c) Σ (Xi – Yi)2

Solución:

a) Σ Xi = 2 – 3 + 4 + 1 + 8 – 2 + 6 + 7 + 9 + 5 = 37

Σ Yi = 1 + 5 + 2 – 4 + 7 – 3 – 1 + 3 + 4 + 6 = 20

Σ (Xi + Yi) = Σ Xi + Σ Yi = 37 + 20 = 57

b) Σ (2Xi – 3Yi) = 2 Σ Xi – 3 Σ Yi = 2(37) – 3(20) = 14

c) Σ Xi2 = 22 – 32 + 42 + 12 + 82 – 22 + 62 + 72 + 92 + 52 = 289

Σ Yi2 = 12 + 52 + 22 – 42 + 72 – 32 – 12 + 32 + 42 + 62 = 166 Σ Xi Yi = (2 x 1) + (–3 x 5) + (4 x 2) + (1 x –4) + (8 x 7) + (–2 x –3) + (6 x –1) + (7 x 3) + (9 x 4) + (5 x 6) = 2 – 15 + 8 – 4 + 56 + 6 – 6 + 21 + 36 + 30 = 134

Σ (Xi – Yi) 2 = Σ Xi2 – 2 Σ Xi Yi + Σ Yi2 = 289 – 2(134) + 166 = 187

42

2) Resolver: Σ i I = 1

Solución:

Fórmula: n (n +1) / 2 n = 42 Σ i = 42 (43) / 2 = 903

70

3) Resolver: Σ 2i I = 10

Solución:

Página 27


Fórmula: n (n +1) n = 70 – n = 9 Σ 2i = 70 (71) – 9 (10) = 4880

Recuerde que se están sumando 70 (n) términos o números pares consecutivos del 1 al 70, pero como la sumatoria no incluye del 1 al 9, es necesario restar los términos que no se incluyen.

130

4) Resolver: Σ (2i – 1) I = 105

Solución:

Fórmula: n2 n = 130 – n = 104 Σ (2i – 1) = 1302 – 1042 = 6 084

5) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 1 + 2 + 3 +……. + 156

Solución:

Fórmula: n (n +1) / 2 n = 156 Σ i = 156 (157) / 2 = 12 246


Solución:

Fórmula: n (n +1) n = 280 / 2 = 140 – n = 74 / 2 = 37 Σ 2i = 140 (141) – 37 (38) = 18 334


Solución:

Fórmula: n2 n = (29 + 1) / 2 = 15 – n = (5 + 1) / 2 = 3 Σ (2i – 1) = 152 – 32 = 216

En los ejercicios 6 y 7, el valor de n se halla de manera inversa a la sumatoria de cada caso. 8) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 520 + 540 + 560 +……. + 2080

Solución:

Para darle solución a este ejercicio, primero se debe convertir a uno de los casos dados.

Página 28


(52 + 54 + 56 +……+ 208) x 10

Fórmula: n (n +1) n = 208 / 2 = 104 – n = 50 / 2 = 25 Σ 2i = 104 (105) – 25 (26) = (10 270) x 10 = 102 700

9) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 0,051 + 0,053 + 0,055 +……. + 0,157

Solución:

Para darle solución a este ejercicio, primero se debe convertir a uno de los casos dados.

(51 + 53 + 55 +……+ 157) x 10–3

Fórmula: n2 n = (157 + 1) / 2 = 79 – n = (49 + 1) / 2 = 25 Σ (2i – 1) = 792 – 252 = (5 616) x 10–3 = 5,616

10) Si la suma de los primeros números naturales consecutivos, es 144 453, ¿cuál es el valor de n?

Solución:

Fórmula: n (n +1) / 2 n = ? Σ i = 144 453 n (n +1) / 2 = 144 453; n2 + n = 288 906; n2 + n – 288 906 = 0

La fórmula de una ecuación de segundo grado es:

−b±√b2−4 ac2a

,al reemplazar los valores , se tiene :−1±√12−4(1)(−288 906)

2(1)

n=−1±√12+1155 6242

=−1±√1 155 6252

=−1+1 0752

=537

Un método práctico para resolver este tipo de ecuaciones es sacando raíz cuadrada del valor conocido, tomando solo la parte entera.

n=√288 906=537,4997674=537

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando las Propiedades de Sumatorias:

1) Hallar las siguientes sumatorias, utilizando los datos de la tabla adjunta: Y 5 4 2 3 8 6 9

Página 29


iZi 6 1 2 5 –

17 4

a) (Yi + Zi) Resp: 61

b) Σ (4Yi – 4Zi) Resp: 52

c) Σ (Yi – Zi)2 Resp: 121

125

2) Resolver: Σ i Resp: 7 770 I = 15

51

3) Resolver: Σ 2i Resp: 1 596 I = 33

56

4) Resolver: Σ (2i – 1) Resp: 2 940 I = 15

5) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 19 + 20 + 21 + 22 +……. + 135 Resp: 9 009

6) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 706 + 708 + 710 +……. + 720 Resp: 5 704

7) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 37 + 39 + 41 + 43 +……. + 63 Resp: 700

8) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 3,21 + 3,23 + 3,25 +……. + 4,11 Resp: 168,36

9) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 0,001 + 0,002 + 0,003 +…….+ 0,17 Resp: 14,535

10) Si la suma de los primeros números naturales consecutivos, es 7 875, ¿cuál es el valor de n? Resp: 125

11) Si la suma de los primeros números naturales impares consecutivos, es 70 756, ¿cuál es el

valor de n? Resp: 266

12) Si: Σ Xi = 32 y Σ Xi2 = 321. Hallar Σ [Xi (Xi – 4)] Resp: 193

13) Si: Σ Zi = 16 y Σ Zi2 = 201. Hallar Σ (Zi – 4)2 ; con los límites del 1 al 8 Resp: 201

PRUEBA AUTOEVALUATIVA DE LA PRIMERA UNIDAD

1) ¿Cuál de los siguientes conceptos se refiere al marco referencial?

Página 30


A) Procedimientos y metas del Investigador. B) Límites de la investigación. C) Obtener datos más importantes.D) Dar solución a un problema muestral.E) Obtener una muestra de una población.

2) Una población es el . . . . . . . . . . . de los datos, de la cual se ………….. una muestra.

A) Marco / Investiga. C) Universo / obtiene E) Estadígrafo / obtieneB) Estadígrafo/ procesa. D) Censo / muestrea

3) Los investigadores prefieren trabajar con muestras, para:

A) Una investigación con variables. B) Ahorrar tiempo y costo. C) Procesar datos. D) Calcular medidas. E) Hacer un muestreo.

4) Un estadígrafo se obtiene al:

A) Procesar una medida estadística de resumen.B) Desarrollar un proceso de investigación.C) Determinar los límites de una investigación.D) Clasificar los tipos de datos.E) Todas las respuestas anteriores son correctas.

5) Determine a cuál de los tipos de variables pertenece: “las monedas de menor circulación”.

A) Ordinal B) Nominal C) Discreta D) Continua E) Cuantitativa.

6) Determine a cuál de los tipos de variables pertenece: “la lista de postulantes a una beca”.

A) Ordinal B) Nominal C) Discreta D) Continua E) Cuantitativa.

7) Determine a cuál de los tipos de variables pertenece: “la capacidad de la biblioteca de la Facultad”.

A) Ordinal B) Nominal C) Discreta D) Continua E) Cualitativa.

8) El tipo de pregunta utilizado en una encuesta que define los extremos y deja al encuestado determinar la intensidad de su respuesta, dentro de una escala, se llama:

Página 31


A) Likert. C) Dicotómica cerrada. E) Diferencial semántico. B) Thurstone. D) Escalar unipolar.

9) Si estuviera que escribir científicamente con tres cifras enteras el siguiente número: 1,25966. ¿Cuál sería el exponente de base 10?

A) 3 B) – 3 C) 2 D) 1 E) –2

10) ¿Qué numero es el que se ha escrito científicamente como 2,3958 x 10 – 4?

A) 0,0023958 B) 0,23958 C) 2395,8 D) 0,00023958 E) 0,000023958

11) Redondee a décimas, las siguientes cantidades: 34,71234; 0,45; 22,85000002

A) 34,7; 0,5; 22,8. C) 34,7; 0,5; 22,9. E) 34,8; 0,5; 22,8. B) 34,7; 0,4; 22,8. D) 34,7; 0,4; 22,9.

12) Con: Σ Yi2 = 261, Σ Yi Zi = 45, Σ Zi2 = 246. Hallar: Σ (5Yi – 5Zi)2

A) 507 B) 15 C) 4 785 D) 375 E) 10 425

41

13) Resolver: Σ (2i – 1) I = 37

A) 358 B) 1 299 C) 1 681 D) 385 E) 2 977 14) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 1 852, 1 854, 1 856,……., 2010

A) 308 960 B) 154 480 C) 1 011 030 D) 614 058 E) 617 760

15) Hallar la sumatoria de los siguientes números: 0,091 + 0,092 + 0,093 +…….+ 0,21

A) 18,06 B) 18 060 C) 1,806 D) 180,6 E) 1 806

Clave de respuestas de la prueba auto evaluativa de la primera unidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14

15

B C B A A B C E E D D E D B A

GLOSARIO

Página 32


Caracterizar la muestra: Es cuando una muestra adquiere las mismas características de una población (Deducción).

Caracterizar la población: Es cuando se asume que una población tiene las mismas características de una muestra (Inducción).

Competidor: Es una empresa u organización que actúa en el mismo mercado que otras empresas, generando competencia entre ellas.

Conjunto finito: Es un grupo limitado de datos u observaciones; es decir, que un conjunto finito permite contar todos sus elementos.

Experimentación: Significa probar diferentes acciones, con el propósito de comparar los resultados obtenidos para elegir el más apropiado.

Medidas de Resumen: Son todas aquellas medidas estadísticas tanto de posición o centralización como las de variación o dispersión que resumen de alguna manera las características de una muestra o población. Ejemplo: Media Aritmética, Mediana, Varianza, Coeficiente de Variación, etc.

Pregunta cerrada: Es un tipo de pregunta utilizada en las encuestas, que se caracteriza por no dejar libertad al informante a contestar de manera abierta, solo debe contestar las posibles respuestas contempladas dentro de ella.

EXPLORACIÓN VIRTUAL

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_estad%C3%ADstica

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/iniciacion_estadististica_fjgarcia/01VariablesEstadisticas.htm

http://www.unavarra.es/estadistica/I.T.A./Curso%202005-06/APUNTES/temas%201%20y% 202.pdf

http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/estadistica/estadistica2/estadisticadescriptiva.html

http://ag-exactas.wikidot.com/sumatorias

Página 33


Segunda Unidad

USOS de los DATOS ESTADÍSTICOS

Lección 1:

2.1.- ESTADÍSTICAS PARA INFORMACIÓN.

Existen instituciones públicas y/o privadas que encargan de recolectar información, con el objeto de ordenarlas para publicarlas manteniendo informado a un determinado público. Por esta razón, existen revistas periódicas de diferentes especialidades, que se encargan de publicar: el movimiento bursátil de una ciudad, el movimiento migratorio del campo a la ciudad o de la ciudad al exterior, la producción minera o industrial, el PBI, etc.

Este tipo de publicación se dice que posee información estadística por el volumen de cifras numéricas que incluye, además es conocida como información estadística de uso público, por que el lector no necesita conocer de Estadística, para comprender sobre lo que se está informando, es decir, que la información se prepara de tal manera que cualquiera pueda entenderla con facilidad.

La Estadística de uso público tiene diferentes presentaciones, que se incluyen en una misma publicación, con el propósito de que sea más comprensible y tenga vistosidad combinando colores con figuras elaboradas con esmero. Entre las principales forma de presentación de la estadística para informar al público, se tiene:

2.1.1.- Textos:

Una de las formas de presentación de información es mediante textos, que consisten en informes o artículos sobre datos numéricos, resaltando o comentando todo aquello que se considere relevante; otra de la formas de utilizar los textos es para explicar las variaciones de las cifras en el tiempo, o para explicar el comportamiento de una determinada variable; también se utiliza para resumir toda la información e incluye comparaciones con otras cifras ya sea del mismo sector u otras cifras de periodos precedentes.

Ejemplos sobre texto.

Página 34


Ejemplo 1:

El Producto Bruto Interno (PBI) de la región Cusco fue de 2 983 millones de nuevos soles, ligeramente mayor que el del año anterior. Representa el 2,45% del PBI nacional, cifra que debe ser comparada con la del porcentaje de la población que alberga en la región que es del 4,52%.

Ejemplo 2:

Los empresarios encuestados a la pregunta ¿Cree Usted que el Tratado de libre comercio con China tendrá un efecto positivo en las ofertas de los productos de las pymes de Gamarra? De los 193 que participaron de la encuesta, solo 10 (5,19%), manifestaron algún tipo de concordancia, mientras que 178 (92,22%), dijeron que discrepaban del efecto positivo en el volumen de productos ofertados y 5 empresarios (2,59%) están indecisos.

La discrepancia elevada del 92,22% sobre el efecto positivo del TLC con China, demuestra claramente de que las ofertas de productos de las pymes, tendrán un efecto más bien negativo. La gran mayoría está segura que los productos ofertados en Gamarra, se verá afectado fuertemente de manera negativa, por esta razón el hecho de no haberlos convocados a conversar sobre la implicancia del tratado tal como ellos lo perciben, para darle algún tipo de solución a este problema, demuestra claramente que el gobierno actual no respeta la posición de estos empresarios.

2.1.2.- Tabulados o Cuadros:

Otra de las formas de presentación de información es mediante tabulados o cuadros, que pueden albergar gran cantidad de información numérica.

Con relación a como se elabora un cuadro, no existe una norma universal aunque han existido intentos de universalizar la forma de cómo se debe elaborar un tabulado de cifras, encontrándose las siguientes consideraciones:

1º Se debe usar el sentido común.2º Considerar el punto de vista del usuario, comprenda que no es estadístico por ello debe ser

de fácil entendimiento del tema que se publica.

Por lo general, los tabulados deben tener las siguientes partes:

a) Número: Es un valor correlativo que se emplea en toda publicación que cuenta con más de un tabulado, este número va a facilitar su ubicación en la publicación.

b) Título: Debe indicar las características del tabulado, la forma como se presenta la información (por…… según……), el lugar donde se observó el fenómeno o dato y la fecha o periodo de referencia.

Página 35


c) Encabezamiento: Expresa todo aquello señalado en el título como “por” y muestra la información indicada en las columnas.

d) Columna Matriz: Expresa todo aquello señalado en el título como “según” y muestra la información indicada en las filas.

e) Cuerpo: Está compuesto por celdas imaginarias por el cruce de filas con columnas, donde van las cifras que se publican, cuidando que ninguna celda quede vacía.

Algunas apreciaciones en el cuerpo del tabulado:

- No hay información (- - -)- Información no disponible (n. d.) o también (. . .)- Información muy pequeña (0) ó (0,0) ó (0,00) según hayan decimales.- Información Preliminar o Provisional (P) es información sujeta a ser cambiada- Información Revisada (R) es información definitiva.

f) Pié: Es la parte final del tabulado donde se señala la fuente, las llamadas (a/, */, etc.) y alguna nota explicadora en caso de ser necesario.

Dependiendo del contenido del tabulado, puede presentarse una o más variables.

2.1.2.1.- Tabulados unidimensionales:

Son tabulados o cuadros que contienen una sola variable, por lo consiguiente no tienen encabezamiento y en el título solo lleva el término “según” que expresa lo señalado en la matriz por filas.

Ejemplos sobre tabulados unidimensionales:

Ejemplo 1:

Volumen de importaciones de trigo según países de origenEn toneladas métricas – Perú 2011

Países de Origen T. M. %

Total 1 625 736 100,00

Canadá 784 145 48,23Estados Unidos 625 095 38,45 Argentina 118 353 7,28México 98 143 6,04

Fuente: Ministerio de Agricultura

Página 36


Ejemplo 2:Volumen de Exportaciones de Cobre según países de destino

En millones de US dólares – Perú 2011

Países de Destino Dólares %

Total 1 486,8 100,00

Estados Unidos 1 109,5 74,62Italia 104,3 7,02Reino Unido 92,5 6,22Brasil 59,4 4,00Taiwán 30,7 2,06Otros 90,4 6,08

Fuente: Ministerio de Agricultura.

2.1.2.2.- Tabulados bidimensionales:

Son tabulados o cuadros de dos variables, una variable queda representada en el encabezamiento y la otra variable se expresa en la matriz. Las cifras representadas en las celdillas representan las dos variables a la vez, excepto los totales por cada variable.

Ejemplos sobre tabulados bidimensionales:

Ejemplo 1:Ahorro en el Sistema Financiero por Modalidad de Depósito según Años

Perú, 2000 – 2010, en millones de nuevos soles.

Modalidad de Depósito Años

Total Ahorros A Plazos A. F. P. M. Extranjera Otros

2000 48 443 2 766 2 103 9 599 32 900 1 075 2001 51 750 2 985 2 482 12 350 32 555 1 378 2002 57 365 3 090 3 016 15 754 34 273 1 232 2003 64 330 3 615 3 116 21 844 34 751 1 004 2004 70 411 4 201 4 575 25 651 34 784 1 200 2005 86 336 5 767 6 630 32 223 39 809 1 907 2006 104 410 6 658 7 318 45 547 42 485 2 402 2007 133 242 8 543 10 972 60 406 48 590 4 731 2008 135 094 11 667 15 506 49 380 54 930 3 611 2009 162 966 13 824 17 666 68 595 57 108 5 773 2010 179 223 15 207 27 559 79 128 55 315 2 014

Fuente: Banco Central de Reserva del Perú

Página 37


Ejemplo 2:

Ingreso de Visitantes Extranjeros por Años según Zona Geográfica Perú, 2005 – 2010 (P).

AñosZona Geográfica

Total 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Total 13 903 936 1 872 055 2 110 611 2 329 524 2 518 711 2 523 008 2 550 027

Norte América 2 384 985 379 488 360 467 390 954 429 125 409 713 415 238

Centro América 458 449 44 679 55 114 70 895 86 105 100 398 101 258

Sud América 9 838 112 1 270 906 1 503 710 1 678 982 1 787 812 1 791 575 1 805 127

Europa 1 180 902 168 929 178 379 180 072 209 757 218 181 225 584

Asia 8 155 2 378 1 557 1 644 1 028 523 1 025

África 770 463 144 82 19 27 35

Oceanía 1 733 404 337 456 167 154 215

Sin especificar 30 830 4 808 10 903 6 439 4 698 2 437 1 545

Fuente: Ministerio del Interior – Dirección General de Migraciones y Naturalización

2.1.2.3.- Tabulados tridimensionales:

Son tabulados o cuadros que contienen tres variables a la vez, dos variables pueden representarse en el encabezamiento y la otra variable en la columna matriz o viceversa. Las cifras en cada celdilla representan a las tres variables a la vez, excepto las de los totales.

Dentro de estos tabulados hay totales que expresen dos variable, también hay totales que expresan solo una, dependiendo a qué nivel lleve el cruce de columna (por) con la fila (según).

En lo posible hacer que los tabulados no muestren más de tres variables a la vez, porque en la práctica lejos de ser útil, tienden a crear confusión en el lector.

Página 38


Ejemplos sobre tabulados tridimensionales:

Ejemplo 1:

Población Económicamente Activa (PEA) por Años y Sexo según Países América Latina, 2010 – 2020, en miles de personas (P).

Años y Sexo

Países 2010 2015 2020

Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer

Total 276 551 163 287 113 264 303 916 176 409 127 507 330 486 188 721 141 765

Argentina 19 006 10 954 8 052 20 627 11 707 8 920 22 149 12 386 9 763Bolivia 4 820 2 694 2 126 5 540 3 070 2 470 6 313 3 467 2 846Brasil 102 888 58 646 44 242 110 921 62 403 48 518 118 784 65 983 52 801Chile 7 739 4 808 2 931 8 471 5 147 3 324 9 049 5 383 3 666Colombia 24 103 13 753 10 350 26 536 14 957 11 579 28 765 16 019 12 746Costa Rica 2 168 1 406 762 2 430 1 539 891 2 660 1 646 1 014Cuba 4 913 3 065 1 848 5 092 3 119 1 973 5 185 3 129 2 056Ecuador 6 613 4 094 2 519 7 443 4 508 2 935 8 304 4 923 3 381El Salvador 3 297 1 993 1 304 3 738 2 216 1 522 4 208 2 450 1 758Guatemala 5 276 3 280 1 996 6 353 3 824 2 529 7 614 4 459 3 155Haití 4 246 2 234 2 012 4 879 2 553 2 326 5 545 2 887 2 658Honduras 3 001 1 992 1 009 3 549 2 280 1 269 4 125 2 570 1 555México 48 790 30 677 18 113 54 160 33 194 20 966 59 239 35 455 23 784Nicaragua 2 544 1 588 956 2 875 1 745 1 130 3 193 1 892 1 301Panamá 1 591 994 597 1 766 1 079 687 1 941 1 162 779Paraguay 2 885 1 776 1 109 3 308 1 991 1 317 3 748 2 208 1 540Perú 14 458 8 179 6 279 15 924 8 904 7 020 17 300 9 566 7 734R. Dominicana 4 626 2 765 1 861 5 118 3 005 2 113 5 622 3 244 2 378Uruguay 1 653 929 724 1 719 956 763 1 782 982 800Venezuela 11 934 7 460 4 474 13 467 8 212 5 255 14 960 8 910 6 050

Nota: Incluye a la población de 15 años a más.Fuente: Comisión Económica para América Latina

Página 39

Ejemplo 2:

Matrículas en la Facultad de Ciencias Administrativas y Ciencias Económicas por Categoría y Sexo según Edad Lima, Semestre Académico 2010 – III.

Categoría y Sexo

Edad Total A B C D

Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer Total Hombre Mujer

Total 7 157 2 893 4 264 1 168 486 682 1 532 640 892 3 181 1 302 1 879 1 276 465 811

De 16 a 18 años 1 074 434 640 175 73 102 230 96 134 477 195 282 192 70 122De 19 a 21 años 1 288 520 768 210 87 123 276 115 161 572 234 338 230 84 146 De 22 a 24 años 2 863 1 158 1 705 467 194 273 613 255 358 1 271 521 750 512 188 324De 25 a 27 años 1 041 421 620 170 71 99 223 93 130 462 189 273 186 68 118De 28 a 30 años 358 144 214 58 24 34 77 32 45 159 65 94 64 23 41 De 31 a 33 años 250 101 149 41 17 24 53 22 31 112 46 66 44 16 28De 34 a 36 años 72 29 43 12 5 7 15 6 9 32 13 19 13 5 8De 37 a 39 años 64 26 38 10 4 6 14 6 8 29 12 17 11 4 7De 40 a 42 años 49 19 30 8 3 5 10 4 6 22 9 13 9 3 6De 42 a 44 años 35 14 21 6 2 4 7 3 4 16 7 9 6 2 4De 45 a 47 años 29 12 17 5 2 3 5 2 3 14 6 8 5 2 3De 48 a 51 años 22 9 13 5 3 2 5 2 3 10 4 6 2 - - - 2 De 52 a 54 años 7 4 3 1 1 - - - 2 2 - - - 3 1 2 1 - - - 1De 55 a más 5 2 3 - - - - - - - - - 2 2 - - - 2 - - - 2 1 - - - 1

Fuente: Servicios Académicos

2.1.3.- Gráficos:

Son esquemas que generalmente se grafican sobre el primer cuadrante de los ejes cartesianos, con excepción de las gráficas circulares o gráficas de pastel, que representan las proporciones con ángulos.

Los gráficos se deben hacer con especial cuidado y tener una representación con estética y de fácil interpretación, porque toda publicación además de ser clara debe agradar al lector, precisamente un gráfico con colores alegres, es una de las formas de atraer la atención para hacer que la publicación sea interesante.

Un gráfico puede representar una o más variables, además de los diagramas circulares, éstos puede ser: lineales, por barras o pictogramas.

2.1.3.1.- Gráficos Lineales:

Son puntos o pares ordenados que se obtienen al cruzar valores definidos de la abscisa con la ordenada, tales puntos son unidos con un segmento en forma consecutiva, del primero al último. En el gráfico cada grupo de segmentos unidos, representa una variable.

Ejemplos sobre Gráficos Lineales:

Ejemplo 1:

2006 2007 2008 2009 20100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Arroz

Arroz


Ejemplo 2:

2006 2007 2008 2009 20100

10

20

30

40

50

60

70

PescaMineríaManufacturaTransporte

2.1.3.2.- Gráficos por Barras:

Son barras graficadas tomando como base el eje de la abscisa a la altura de la ordenada según el dato a graficar. Este tipo de gráfico puede representar una o más variables, las cuales para ser diferenciadas, utilizan diferentes colores.

Ejemplos sobre Gráficos por Barras:

Ejemplo 1:

2006 2007 2008 2009 20100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Comercio

Comercio

Página 42


Grafico por barras simplesEjemplo2:

2006 2007 2008 2009 20100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Export.Import.

Gráfico por barras componentes o adyacentes

Ejemplo 3:

2006 2007 2008 2009 20100

20

40

60

80

100

120

22.4

15.812.7

16.3

22.1

AfricaAsiaEuropaAmérica

Gráfico por barras superpuestas nominales

Página 43


Ejemplo 4:

2006 2007 2008 2009 20100%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

ChileVenezuelaPerú

Gráfico por barras superpuestas porcentuales

2.1.3.3.- Gráficos Circulares:

Son gráficos que representan las proporciones de una variable con ángulos. Se conocen como gráficos de pastel por tienen una forma similar al pastel.

Ejemplo sobre Gráfico Circular:

Ventas

1er trim.2º trim.3er trim.4º trim.

Página 44


2.1.3.4.- Pictogramas:

Son gráficos que representan figuras relacionadas con los datos.

Ejemplos sobre Pictogramas:

Ejemplo1:

Hombres Mujeres0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

P: E. A.

P: E. A.

Ejemplo2:

2006 6007 2008 2009 20100

1

2

3

4

5

6

7

8

AhorrosPlazo FijoA. F. P.

Página 45


Lección 2:

2.2.- ESTADÍSTICAS PARA INVESTIGACIÓN.

En esta lección se van a considerar solamente las estadísticas unidimensionales, por que los datos que se compilan además de ser ordenados para ver su composición, son preparados para continuar con su tratamiento de investigación. Como su nombre lo indica, el objetivo de esta lección, es la de dejar toda la información preparada, de tal manera que se pueda realizar un análisis de los datos que se investigan para tomar decisiones.

Para analizar la información recogida de las fuentes, en primera instancia la Estadística utiliza dos herramientas de bastante utilidad; una es representar los datos en cuadros con características especiales, que se denominan Tablas de Distribución de Frecuencias; la otra herramienta es representar los datos en gráficos que permiten visualizar la forma y la composición de las observaciones.

Para entender la presentación de esta forma de ordenamiento de los datos, es necesario tener los conocimientos básicos de Estadística, porque no fueron preparados para ser publicados o tengan uso público, sino más bien para uso o tratamiento estadístico.

2.2.1.- Tablas de Distribución de Frecuencias:

Las tablas estadísticas representan el número de observaciones según el recorrido de la variable estadística; estas tablas, son utilizadas para analizar el comportamiento de la variable, además de la simple inspección que representa el presentarla de manera ordenada.

El contenido de todas las tablas de distribución de frecuencias es el mismo, independientemente del tipo de variable y cómo está organizada. Las tablas pueden ser confeccionadas u organizadas: por lista o por intervalos de clases.

Todas las tablas de distribución de frecuencias, se estructuran de la siguiente manera:

1º Columna principal o matriz: Contiene la variable estructurada por lista o por clase, dependiendo de la variable.

2º Tabulación: Está constituida por: tarjas, Check, palitos, etc. por cada vez que se repite o presente el dato, las repeticiones o presentaciones son conocidas en las tablas como frecuencias. Cada tarja o palito representa un dato y a esta columna se trasladan todos los datos, uno por uno hasta el último.

3º Frecuencia Absoluta (fi): Es la expresión numérica de la tabulación, la frecuencia absoluta es la expresión del número de repeticiones o simplemente frecuencias, que

Página 46


tiene un dato o una clase. Es también el número de veces que aparece el dato señalado en la columna matriz, que corresponde a una muestra o población.

4º Frecuencia Relativa Absoluta (hi): Es la proporción de observaciones que corresponden a un dato o a una clase, es la probabilidad de que el valor o magnitud de referencia ocurra. La frecuencia relativa absoluta, se obtiene al dividir la frecuencia absoluta entre la suma de todas las frecuencias o número total de datos (hi = fi / N).

Los valores absolutos representan las frecuencias y las proporciones de un solo dato o una sola clase.

5º Frecuencia Acumulada (Fi): Es la acumulación directa de las frecuencias absolutas hacia abajo, conforme se cambie de dato o de clase.

6º Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): Es la proporción de observaciones absolutas que se van agregando dato por dato o clase por clase. La frecuencia relativa acumulada hacia abajo también se puede obtener al dividir la frecuencia acumulada entre la suma de todas las frecuencias o número total de datos. (Hi = Fi / N).

Si la variable de los valores acumulados hacia abajo es numérica, la frecuencia acumulada absoluta y relativa son denominadas valores “menos” o “menores de”. En cambio si es variable cualitativa o no numérica, la frecuencia acumulada absoluta y relativa son denominadas valores “antes de”.

7º Frecuencia Acumulada Inversa (Fi ): Es la acumulación de las frecuencias absolutas de abajo hacia arriba, conforme de cambie de dato o de clase.

8º Frecuencia Relativa Acumulada Inversa (Hi ) : Es la proporción de observaciones absolutas que se van agregando dato por dato o clase por clase de abajo hacia arriba. La frecuencia relativa acumulada inversa también se puede obtener al dividir la frecuencia acumulada inversa entre la suma de todas las frecuencias o número total de datos. (Hi = Fi / N).

Si la variable es numérica los valores acumulados hacia arriba son denominados valores: “más” o “mayores de” y si la variable es cualitativa son denominados “después de”.

9º Marca de Clase (Xi): Se calcula solo en las tablas organizadas por clases, porque en las tablas organizadas por lista la marca de clase se encuentra en la columna matriz o principal. La marca de clase es el valor que representa a toda la clase y se obtiene al dividir entre 2 la suma de sus límites (Xi = [Li + Ls] / 2).

Todas las frecuencias relativas se expresan en la tabla en tanto por uno, pero si usted desea, puede multiplicar este valor por cien y lo tiene en tanto por ciento, de esta manera podrá entender mejor los valores relativos.

Página 47


2.2.1.1.- Distribución de Frecuencias de Variables Cualitativas:

En las tablas de distribución de frecuencias, este tipo de variable solo se organiza por lista, en los casos de que la lista sea muy amplia, se agrupan estas variables según: categorías, tipos, géneros, etc. de tal manera que la lista se hace más pequeña. No es recomendable trabajar con una lista muy pequeña ni mucho menos con una amplia, en lo posible la distribución de frecuencias debe hacerse entre 5 y 12 nombres o categorías.


1) Una encuesta dirigida a 50 alumnos, para conocer cuál es su deporte de preferencia, los resultados fueron los siguientes:

Futbol, vóley, gimnasia, futbol, natación, vóley, básquet, box, futbol, futbol, vóley, básquet, futbol, vóley, futbol, natación, básquet, futbol, vóley, futbol, básquet, natación, vóley, futbol, vóley, gimnasia, futbol, futbol, vóley, básquet, futbol, vóley, futbol, básquet, futbol, básquet, box, futbol, básquet, futbol, tenis, futbol, natación, básquet, futbol, vóley, gimnasia, vóley, básquet, vóley.

Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántos alumnos prefieren gimnasia?c) ¿Qué porcentaje de alumnos prefieren vóley?d) Según el ordenamiento ¿cuántos alumnos prefieren los deportes que se encuentran

antes de la natación?e) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de alumnos prefieren los deportes que se

encuentran antes del futbol?f) Según el ordenamiento ¿cuántos alumnos prefieren los deportes que se encuentran

después del box?g) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de alumnos prefieren los deportes que se

encuentran después del básquet?

Solución:

La variable es cualitativa, por lo tanto la tabla será construida por lista, en orden alfabético que es lo usual.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable cualitativaDeportes de Preferencia Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi Básquet lllll lllll 10 0,20 10 0,20 50 1,00Box ll 2 0,04 12 0,24 40 0,80Futbol lllll lllll lllll lll 18 0,36 30 0,60 38 0,76Gimnasia lll 3 0,06 33 0,66 20 0,40Natación llll 4 0,08 37 0,74 17 0,34tenis l 1 0,02 38 0,76 13 0,26Vóley lllll lllll ll 12 0,24 50 1,00 12 0,24

N 50 1,00 Antes de Después de

Página 48


b) ¿Cuántos alumnos prefieren gimnasia? 3 alumnos

c) ¿Qué porcentaje de alumnos prefieren vóley? 24%

d) Según el ordenamiento ¿cuántos alumnos prefieren los deportes que se encuentran antes de la natación? 33 alumnos

e) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de alumnos prefieren los deportes que se encuentran antes del futbol? 24%

f) Según el ordenamiento ¿cuántos alumnos prefieren los deportes que se encuentran después del box? 38 alumnos

g) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de alumnos prefieren los deportes que se encuentran después del básquet? 80%.

2) Una encuesta dirigida a 140 clientes de una organización, se les consultó que escogieran entre las siguientes opciones, ¿cuál de ellas en el servicio al cliente consideraban como más importante?

1.- Ambiente limpio.2.- Atención agradable.3.- Atención ordenada.4.- Comodidad en la espera.5.- Equipos modernos.6.- Servicio rápido.

Las respuestas fueron las siguientes:

6 3 1 3 6 2 3 4 3 1 3 2 4 3 5 1 2 5 2 61 5 3 4 3 2 1 3 4 2 5 3 6 1 2 4 3 2 3 13 5 2 4 3 1 3 2 4 5 3 1 3 2 1 4 3 5 1 21 3 6 2 5 3 4 1 5 4 6 3 2 4 3 2 3 5 2 32 3 6 4 5 1 4 2 5 6 3 1 3 2 3 2 4 1 3 21 2 6 3 4 5 3 2 5 4 3 3 4 1 5 1 2 3 2 63 2 4 3 5 1 4 5 1 6 3 2 3 1 5 3 6 2 3 4.

Con los datos:

a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántos clientes prefieren equipos modernos?c) ¿Qué porcentaje de clientes prefieren ambiente limpio?d) Según el ordenamiento ¿cuántos clientes prefieren los tres primeros?e) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de clientes prefieren los cuatro primeros?f) Según el ordenamiento ¿cuántos clientes prefieren los tres últimos?g) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de clientes prefieren los dos últimos?h) ¿Qué opción tiene la mayor preferencia?i) ¿Qué opción tiene la menor preferencia?

Página 49


Solución:

En la construcción de la tabla de variable cualitativa, la lista tendrá el orden tal como fueron codificadas las opciones.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable cualitativaServicio Cliente Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi1. Ambiente limp. lllll lllll lllll lllll ll 22 0,1571 22 0,1571 14

01,0000

2. Atención agra. lllll lllll lllll lllll lllll lll 28 0,2000 50 0,3571 118

0,8429

3. Atención orde. lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll 40 0,2857 90 0,6428 90

0,6429

4. Comodidad en. lllll lllll lllll lllll 20 0,1429 110 0,7857 50

0,3572

5. Equipos mod. lllll lllll lllll lll 18 0,1286 128 0,9143 30

0,2143

6. Servicio rápid. lllll lllll ll 12 0,0857 140 1,0000 12

0,0857

N 140 1,0000 Primeros Últimos

b) ¿Cuántos clientes prefieren equipos modernos? 18 clientes.

c) ¿Qué porcentaje de clientes prefieren ambiente limpio? 15,71%.

d) Según el ordenamiento ¿cuántos clientes prefieren los tres primeros? 90 clientes.

e) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de clientes prefieren los cuatro primeros?78,57%.

f) Según el ordenamiento ¿cuántos clientes prefieren los tres últimos? 50 clientes.

g) Según el ordenamiento ¿qué porcentaje de clientes prefieren los dos últimos?21,43%.

h) ¿Qué opción tiene la mayor preferencia? Atención ordenada.

i) ¿Qué opción tiene la menor preferencia? Servicio rápido.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Distribución de Frecuencias de Variable Cualitativa:

1) En una encuesta a 80 vecinos de una localidad, se les consultó que en la próxima elección vecinal, ¿qué exigiría usted como prioritario a los candidatos? Las respuestas fueron: 1.- Sin corrupción, 2.- Más educación, 3.- Seguridad ciudadana, 4.- Manejo presupuestal, 5.- Más empleo, 6.- Más obras, 7.- Servicios asistenciales, 8.- Más hospitales.

Página 50


Con las siguientes respuestas, construya una tabla de distribución de frecuencia y determine el porcentaje de la opción de mayor prioridad: 2 5 2 6 4 2 5 3 8 1 4 5 2 3 6 7 1 4 7 5 8 6 5 2 3 1 4 1 2 5 4 1 5 8 5 3 2 5 4 1 2 5 7 4 6 2 1 5 6 3 8 4 5 2 8 7 4 5 2 3 6 5 8 4 1 2 3 5 1 4 7 8 5 2 1 4 5 6 6 5

Resp: Más empleo (5) = 22,50%2) En una encuesta a 50 consumidores de una localidad, se les consultó, ¿qué era lo que más

le gustaba de un producto alimenticio? Las respuestas fueron: 1.- Sea económico, 2.- Color, 3.- Sabor, 4.- Presentación, 5.- Tamaño, 6.- Calidad.

Con las siguientes respuestas, construya una tabla de distribución de frecuencia y determine cuál es la característica que menos gusta de un producto alimenticio:

1 5 6 3 2 4 1 5 6 3 6 5 3 5 1 4 2 6 3 5 1 2 4 5 1 1 4 5 1 1 5 6 3 6 5 1 3 6 2 4 1 4 4 5 1 2 6 3 5 1

Resp: Color (2) = 10%.

3) En una encuesta a 60 vecinos de una manzana, se les consultó, ¿cuál era el medio más efectivo para evitar robos en los hogares? Las respuestas fueron: 1.- Rejas, 2.- Policías, 3.- Vigilantes, 4.- Serenazgo, 5.- Rondas vecinales.

Con las siguientes respuestas, construya una tabla de distribución de frecuencia y determine cuál es el medio más efectivo para evitar robos en los hogares:

1 2 4 5 3 3 1 2 5 2 1 2 1 2 5 4 1 2 3 2 3 2 5 1 4 1 2 5 1 23 1 5 2 4 1 2 3 5 2 1 5 1 4 2 1 5 3 2 3 1 4 1 2 5 1 3 5 1 4

Resp: El medio más efectivo está entre: Rejas (28,33%) y Policías (26,67%)

4) En una encuesta a 120 escolares, se les consultó, ¿qué esperaban de sus profesores? Las respuestas fueron: 1.- Mayor explicación a los temas, 2.- Menos tareas, 3.- Trato amble, 4.- Señalar los temas de evaluación, 5.- Puntualidad, 6.- Trabajos grupales.

Con las siguientes respuestas, construya una tabla de distribución de frecuencia y determine la frecuencia de la opción de lo que menos esperan de los profesores:

2 6 2 5 4 6 3 3 6 5 2 1 2 3 6 5 4 2 3 6 5 1 2 3 2 1 2 5 6 4 3 6 5 2 1 4 5 2 3 6 2 1 5 2 2 4 1 5 1 5 3 6 2 5 4 1 2 3 6 5 2 6 6 1 2 5 6 1 4 4 2 3 6 5 2 1 4 5 2 6 3 2 2 5 2 1 4 6 3 6 5 1 4 3 6 2 5 1 3 5 1 1 4 2 6 3 2 5 1 3 2 5 6 1 2 3 5 1 2 4

Resp: Señalar los temas de evaluación = 13

5) Ante la consulta a 200 alumnos ¿qué taller le gustaría aprender?, si tuviera que escoger entre los siguientes tipos de taller artístico que ofrece el colegio: 1.- Pintura, 2.- Baile, 3.- Teatro, 4.- Música, 5.- Manualidades, 6.- Dibujo, 7.- Letras.

Con las siguientes respuestas, construya una tabla de distribución de frecuencia y determine las proporciones de alumnos de los dos talleres más solicitados:

2 5 1 2 4 7 2 5 6 3 2 3 6 5 7 4 1 2 5 3 6 2 5 1 4 5 3 2 6 7 1 2 4 5 2 3 2 2 5 2

Página 51


3 2 6 5 1 4 2 5 7 4 1 2 5 3 6 5 4 7 1 2 5 2 3 6 5 2 4 1 2 5 4 1 2 3 6 2 1 4 5 2 7 4 5 6 2 3 6 2 1 2 5 2 1 4 5 3 2 6 5 4 7 1 2 4 5 7 5 6 3 2 5 4 1 3 2 5 4 7 2 1 3 6 5 2 3 6 2 1 4 2 5 7 4 1 2 5 6 3 2 6 2 1 4 5 6 2 6 2 5 4 7 1 7 5 2 6 2 3 5 2

1 4 2 5 6 2 3 2 5 7 2 5 6 2 3 6 2 3 2 5 4 7 1 2 1 2 6 2 3 5 2 6 2 1 4 4 2 5 1 2

Resp: Baile (2) = 28% y Manualidades (5) = 18,5%2.2.1.2.- Distribución de Frecuencias de Variables Discretas:

Las variables discretas tienen la particularidad de organizarse en tablas de distribución de frecuencias, tanto por lista como por intervalos de clases; cuando la lista es muy amplia, se agrupan los datos en intervalos para hacerla más pequeña la tabla, porque como ya se ha manifestado, no es recomendable trabajar con una lista muy pequeña ni mucho menos con una amplia, en lo posible la distribución de frecuencias debe hacerse con una tabla que contenga como mínimo 5 líneas y como máximo 12.

Cuando se confecciona una tabla por lista, la columna principal lleva los valores de la lista de datos de la variable discreta, luego se continúa con el tabulado y lo demás. En cambio cuando se organiza una tabla con variable discreta por clase, para construir la columna principal, se deben dar los siguientes pasos:

1º Recorrido de la Variable (L): Se debe conocer que amplitud de datos de van a dividir en partes o clases, con la siguiente fórmula:

L = Dato máximo – Dato mínimo + 1

2º Número de Intervalos de clase (k): Representa la cantidad de clases, en que se va a distribuir la tabla. Generalmente el número de clases se determina según la regla de Sturges redondeada al número entero más próximo. El número de clase se define de la siguiente manera:

k = 1 + 3,322 log N.

3º Tamaño de clase (e): Es la misma amplitud que van a tener cada una de las clases, la que se define de la siguiente manera:

e = L / k

4º Rango de trabajo (L1): Es el recorrido de la variable que va a tener la tabla de distribución de frecuencias, que se obtiene de la siguiente manera:

L1 = e (k)

5 º Exceso: L1 debe ser igual o mayor que L, en caso de ser menor se agrega 1 a la amplitud de clase (e), con ello L1 es mayor que L.

Exceso = L1 – L

Página 52


En la elaboración de la columna principal de la tabla, si el exceso es 0, L1 es igual a L, por lo tanto se respetan los datos mínimo y máximo, trabajando la tabla a partir de ellos.

En caso de haber exceso, si éste es par, se calcula el nuevo dato mínimo restándole la mitad del exceso y el nuevo dato máximo sumándole la mitad del exceso. Si el exceso es impar, se resta uno para volverlo par con el objeto de repetir el proceso de repartir el exceso por parte iguales, y el uno restado al impar se le suma al nuevo dato máximo.Ejercicios Resueltos:

1) En una encuesta dirigida 80 obreros de Construcción Civil, se encontró que el número de hermanos vivos que conocían era el siguiente:

5 6 2 3 1 0 8 4 5 2 1 0 3 9 5 6 3 2 5 7 4 5 1 2 0 3 6 9 5 2 1 0 0 2 3 1 4 5 8 6 6 9 6 9 5 4 2 9 5 8 7 7 4 1 2 5 1 0 3 6 5 2 5 8 9 6 3 5 8 7 4 1 2 5 1 6 3 8 9 7

Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántos obreros tienen 5 hermanos vivos?c) ¿Qué porcentaje de obreros tienen 8 hermanos vivos?d) ¿Qué porcentaje de obreros tiene más de 3 hermanos vivos?e) ¿Qué porcentaje de obreros tiene menos de 5 hermanos vivos?

Solución:

Como las variaciones de datos a distribuir son pequeñas, la tabla va a quedar organizada por la lista o por la relación de valores número de hermanos vivos.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable discreta

Número de Hnos. Vivos Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi0 lllll l 6 0,0750 6 0,0750 80 1,00001 lllll llll 9 0,1125 15 0,1875 74 0,92502 lllll lllll 10 0,1250 25 0,3125 65 0,81253 lllll lll 8 0,1000 33 0,4125 55 0,68754 lllll l 6 0,0750 39 0,4875 47 0,58755 lllll lllll llll 14 0,1750 53 0,6625 41 0,51256 lllll llll 9 0,1125 62 0,7750 27 0,33757 lllll 5 0,0625 67 0,8375 18 0,22508 lllll l 6 0,0750 73 0,9125 13 0,16259 lllll ll 7 0,0875 80 1,0000 7 0,0875

N 80 1,0000 Menos de Más de

b) ¿Cuántos obreros tienen 5 hermanos vivos? 14 obreros.

c) ¿Qué porcentaje de obreros tienen 8 hermanos vivos? 7,5%

d) ¿Qué porcentaje de obreros tiene más de 3 hermanos vivos? 58,75%

Página 53


e) ¿Qué porcentaje de obreros tiene menos de 5 hermanos vivos? 48,75%

2) Durante 60 días se observó el número de visitas diarias de la página Web de una pequeña empresa, que fueron las siguientes:

95 54 46 75 96 62 52 43 81 70 53 71 90 82 81 43 61 75 81 62 43 42 44 95 75 45 67 59 50 60 82 45 75 90 98 87 75 48 86 59 92 54 45 58 65 48 57 95 50 60 40 82 67 58 58 42 54 48 58 67

Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántas visitas fueron en número de 60 en promedio?c) ¿Qué porcentaje de visitas fueron en número de 69 en promedio?d) ¿Qué porcentaje de visitas fueron mayores de 55?e) ¿Qué porcentaje de visitas fueron menores de 83?

Solución:

Como las variaciones de las visitas a la página web es amplia, se hace necesario construir la tabla por intervalos, para ello hay que realizar los siguientes pasos.

1º Recorrido de la Variable (L): L = Dato máximo – Dato mínimo + 1L = 98 – 40 + 1 = 59.

2º Número de Intervalos de clase (k): k = 1 + 3,322 log N.k = 1 + 3,322 log 60 = 1 + 3,322(1,77815125) = 6,607 = 7 clases.

3º Tamaño de clase (e): e = L / ke = 59 / 7 = 8,42857 = 9 (Si se redondea a 8, L1 es menor que L).

4º Rango de trabajo (L1): L1 = e (k)L1 = 9 (7) = 63.

5 º Exceso = L1 – L = 63 – 59 = 4 por que L1 > L Nuevo Dato mínimo = 40 – (4 / 2) = 38 Nuevo Dato máximo = 98 + (4 / 2) = 100

En la construcción de la tabla, el límite inferior de cada clase se obtiene a partir del nuevo dato mínimo (38), y los siguientes resultarán de agregar sucesivamente la amplitud o tamaño de clase. El límite superior se obtiene de manera inversa, colocando en la última clase el nuevo dato máximo (100), luego se va restando sucesivamente el tamaño de clase, para ir obteniendo los otros límites superiores, estos límites se escriben al final de la clase a que corresponde.

Número de visitas38 .47 .56 .65 7374 82

Página 54


. 91 . 100

Una vez concluida la columna principal, se continúa con el desarrollo de la tabla como cualquier tabla de distribución de frecuencias. Recuerde que en la tabulación se pasan los datos uno por uno, hasta el último.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable discreta.

Número de visitas Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi Xi38 46 lllll lllll l 11 0,1833 11 0,1833 60 1,0000 4247 55 lllll lllll 10 0,1667 21 0,3500 49 0,8167 5156 64 lllll lllll ll 12 0,2000 33 0,5500 39 0,6500 6065 73 lllll l 6 0,1000 39 0,6500 27 0,4500 6974 82 lllll lllll l 11 0,1833 50 0,8333 21 0,3500 7883 91 llll 4 0,0667 54 0,9000 10 0,1667 8792 100 lllll l 6 0,1000 60 1,0000 6 0,1000 96


b) ¿Cuántas visitas fueron en número de 60 en promedio? 12 visitas.

c) ¿Qué porcentaje de visitas fueron en número de 69 en promedio? 10,00%

d) ¿Qué porcentaje de visitas fueron mayores de 55? 65,00%

e) ¿Qué porcentaje de visitas fueron menores de 83? 83,33%

Observe que en la tabla hay una nueva columna Xi (Marca de clase), esta columna solo existe en las tablas con distribuciones de frecuencias por intervalos, que representa el promedio de la clase.

3) Una gran empresa con 5 plantas de producción, encontró el siguiente número de tardanzas durante 125 días de trabajo:

29 25 34 39 53 59 61 24 36 31 50 54 43 42 41 51 60 25 19 22 28 45 63 52 34 13 18 21 26 34 28 53 61 24 21 10 16 52 27 37 21 26 32 35 26 18 24 19 32 4719 27 17 18 22 54 49 24 46 33 25 60 53 41 18 17 19 61 54 35 21 18 24 45 5211 25 13 30 43 34 31 20 34 12 17 40 31 49 26 39 42 35 38 40 27 38 31 32 4127 23 41 34 29 15 21 25 31 39 34 19 34 38 29 45 48 40 39 48 33 14 42 46 38 Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántas tardanzas fueron en número de 33 en promedio?c) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron en número de 47 en promedio?d) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron mayores de 29?e) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron menores de 23?

Página 55


Solución:Se debe construir la tabla por intervalos con los siguientes pasos:

1º Recorrido de la Variable (L): L = Dato máximo – Dato mínimo + 1L = 63 – 10 + 1 = 54.


3º Tamaño de clase (e): e = L / ke = 54 / 8 = 6,75 = 7


5 º Exceso = L1 – L = 56 – 54 = 2 por que L1 > LNuevo Dato mínimo = 10 – (2 / 2) = 9 Nuevo Dato máximo = 63 + (2 / 2) = 64

En la construcción de la tabla, el límite inferior de cada clase se obtiene a partir del nuevo dato mínimo (9), y los siguientes resultarán de agregar sucesivamente la amplitud o tamaño de clase. El límite superior se obtiene de manera inversa, colocando en la última clase el nuevo dato máximo (64), luego se va restando sucesivamente el tamaño de clase,

Número de Tardanzas 9 .16 .23 . . . . 50 . 57 . 64

Una vez concluida la columna principal, se continúa con el desarrollo de la tabla como cualquier tabla de distribución de frecuencias. Nuevamente recuerde que en la tabulación se pasan los datos uno por uno, hasta el último.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable discreta.

Tardanzas Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi Xi 9 15 lllll ll 7 0,056 7 0,056 125 1,000 1216 22 lllll lllll lllll lllll ll 22 0,176 29 0,232 118 0,944 1923 29 lllll lllll lllll lllll llll 24 0,192 53 0,424 96 0,768 2630 36 lllll lllll lllll lllll lll 23 0,184 76 0,608 72 0,576 3337 43 lllll lllll lllll lllll l 21 0,168 97 0,776 49 0,392 4044 50 lllll lllll l 11 0,088 108 0,864 28 0,224 4751 57 lllll lllll 10 0,080 118 0,944 17 0,136 5458 64 lllll ll 7 0,056 125 1,000 7 0,056 61

Página 56



b) ¿Cuántas tardanzas fueron en número de 33 en promedio? 23 tardanzas.

c) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron en número de 47 en promedio? 8,8%

d) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron mayores de 29? 57,6%

e) ¿Qué porcentaje de tardanzas fueron menores de 23? 23,2%Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Distribución de Frecuencias de Variable Discreta:

1) A 80 promotores de la educación se le consultó sobre el número apropiado de alumnos por aula, para una enseñanza eficiente. Con los datos construya la tabla con 6 clases y determine la proporción de promotores que prefieren menos de 27 alumnos.

25 32 40 45 48 30 20 40 50 20 22 28 34 38 40 45 47 21 48 36 24 26 25 15 2218 16 21 23 18 16 45 48 36 45 18 20 36 34 20 24 22 34 18 22 30 36 20 16 2522 28 34 38 40 18 20 36 34 20 24 26 25 15 22 26 45 40 18 30 25 28 33 25 2824 26 25 15 22. Resp: 55%

2) Construir una tabla de distribución de frecuencias con el siguiente número de hijos encontrado en 120 hogares y determine ¿cuál es el número de hijos (Xi) se presenta con menor frecuencia?

2 5 3 2 4 0 4 5 4 8 3 0 2 0 4 0 5 0 2 0 2 2 2 8 3 4 3 8 4 0 4 5 4 7 2 1 4 8 3 6 2 4 2 6 2 5 1 5 2 2 2 5 2 8 3 3 2 5 2 8 1 8 1 6 2 1 2 3 1 8 1 6 4 5 4 8 3 6 4 5 2 2 2 8 3 4 3 8 4 0 1 8 2 0 3 6 3 4 2 0 2 4 2 6 2 5 1 5 2 2 2 6 4 5 4 0 1 8 3 0

Resp: 7 hijos

3) Durante 90 días se controló la asistencia de niños al museo de Lima, con los datos construir una tabla de distribución de frecuencias y determine ¿cuál fue el número promedio de asistencias de niños (Xi) resultó con la frecuencia más alta?

25 36 95 25 45 65 36 96 85 25 14 14 75 76 58 45 36 29 98 23 65 58 75 47 7317 46 82 68 91 55 58 34 37 26 15 57 78 97 18 22 30 45 57 21 54 25 20 28 4065 48 57 75 78 92 15 10 16 14 80 25 27 23 85 78 84 87 28 61 48 75 92 94 7626 58 94 84 77 73 80 24 28 67 28 75 81 78 16 Resp: 80 niños

4) Con el número de accidente de tránsito en la ciudad de Lima, construir la tabla de distribución de frecuencias y determine ¿Cuál fue el número promedio de accidentes (Xi) que más veces se presentó?

15 25 45 25 12 13 31 44 41 32 26 02 25 18 17 16 40 30 20 10 15 16 12 17 0505 12 34 15 11 08 19 24 28 39 12 16 37 29 14 15 11 06 07 14 21 06 18 27 1916 08 11 04 27 19 24 31 08 10 37 17 25 22 20 41 38 29 16 11 16 27 22 40 37

Resp: 17 accidentes

Página 57


5) Con el número de clientes que compran diariamente en un minimarket, construir una tabla de distribución de frecuencias y determine ¿qué número promedio de compras (Xi) resultó con la frecuencia más baja?

56 68 48 45 47 84 95 86 65 82 93 41 47 44 68 59 41 43 57 85 88 65 75 73 50 61 48 52 47 58 41 49 57 63 68 75 52 48 67 79 69 78 81 73 88 57 70 73 57 5545 85 65 67 70 51 48 44 43 57 78 81 96 96 92 58 54 47 46 69 68 52 48 47 5447 65 85 68 59 53 65 47 42 80 87 54 42 68 81 55 63 68 81 75 59 52 48 67 72

Resp: 93 compras2.2.1.3.- Distribución de Frecuencias de Variables Continuas:

Las variables continuas solo pueden organizarse en tablas de distribución de frecuencias por intervalos de clases, que debe contener 5 clases como mínimo y 12 como máximo. En la confección de la tabla de variable continua, se dan los mismos pasos, que en la confección de la tabla de variable discreta por clase, con la única diferencia que al recorrido de la variable (L) no se le suma 1:

1º Recorrido de la Variable (L): L = Dato máximo – Dato mínimo.

2º Número de Intervalos de clase (k): k = 1 + 3,322 log N.

3º Tamaño de clase (e): e = L / k

4º Rango de trabajo (L1): L1 = e (k)

5 º Exceso: (Si L1 < L, se agrega 1 “e”) Exceso = L1 – L

En la elaboración de la columna principal de la tabla, si el exceso es 0, L1 es igual a L, por lo tanto se respetan los datos mínimo y máximo, trabajando la tabla a partir de ellos.

En caso de haber exceso, si éste es par, se calcula el nuevo dato mínimo restándole la mitad del exceso y el nuevo dato máximo sumándole la mitad del exceso. Si el exceso es impar, se resta uno para volverlo par con el objeto de repetir el proceso de repartir el exceso por parte iguales, y el uno restado al impar se le suma al nuevo dato máximo.

Construida la columna principal de la variable continua, a diferencia de la variable discreta, el límite superior (Ls) de una clase es el límite inferior (Li) de la clase siguiente, por ser datos continuos; al repetirse este valor en dos clases consecutivas, se crea un problema porque el dato con el mismo valor repetido no puede registrarse en ambas clases, teniéndose que elegir una de ellas. Si se registra donde está el límite superior, se estará utilizando el criterio “hasta”, o “cerrado a la derecha”; en caso contrario, se estará utilizando el criterio “a partir de” o “cerrado a la izquierda”. En este texto se utilizará solo el criterio “a partir de”, [… >, ya que al escogerse un criterio, todas las distribuciones de frecuencias, deben tener el mismo criterio; no se recomienda usar ambos criterios, para evitar crear confusión.


Página 58


1) Una empresa con 100 trabajadores, paga las siguientes remuneraciones en soles: 805 2061 2358 1548 987 1522 3965 945 1045 1806 2708 2215 1200 960

857 1879 1245 2000 845 3015 2894 1245 956 1068 1249 2018 1039 16482061 986 1250 2489 3015 2985 1678 1534 1025 987 1156 2145 1368 3505 894 1259 1638 1846 1682 2015 2715 1044 1245 1369 2049 2684 1894 1023 986 1874 965 1258 3015 2745 1457 1896 2956 2024 978 997 1570 18401056 1548 1362 1029 2715 1836 2495 1723 2044 1788 1156 2780 1587 26743507 1578 1745 1692 1023 3054 3485 2691 3478 3410 1578 2069 3415 34842067 1055Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántos ganan 1 792,50 soles en promedio?c) ¿Qué porcentaje ganan en promedio 3 372,50 soles?d) ¿Qué porcentaje ganan más de 2 780 soles?e) ¿Qué porcentaje ganan menos de 1 595 soles?f) ¿Qué porcentaje ganan entre 1 990 y 2 385 soles?

Solución:

Hay que realizar los siguientes pasos.

1º Recorrido de la Variable (L): L = Dato máximo – Dato mínimoL = 3 965 – 805 = 3 160.

2º Número de Intervalos de clase (k): k = 1 + 3,322 log N.k = 1 + 3,322 log 100 = 1 + 3,322(2) = 7,644 = 8 clases.

3º Tamaño de clase (e): e = L / ke = 3 160 / 8 = 395

4º Rango de trabajo (L1): L1 = e (k)L1 = 395 (8) = 3 160.

5º Exceso = L1 – L = 3 160 – 3 160 = 0

Como no hay exceso (0), el dato mínimo y el dato máximo, permanecen iguales, no hay necesidad de corregirlos.

En la construcción de la tabla, los límites inferiores de cada clase se obtienen a partir

del dato mínimo (805), resultando los otros de agregar sucesivamente el tamaño de clase. Los límites superiores se obtienen de manera inversa, colocando al final de la última clase el nuevo dato máximo (3 965), resultando los otros de ir restando sucesivamente el mismo tamaño de clase. Los límites inferiores se escriben al principio y los superiores al final.

Remuneraciones 805 .

Página 59


1 200 .1 595 .1 990 2 3852 385 2 780 . 3 175 . 3 570 . 3 965

Una vez concluida la columna matriz o principal, se continúa con el desarrollo de la tabla como cualquier tabla de distribución de frecuencias. Recuerde que en la tabulación se pasan los datos uno por uno, hasta el último.a) Tabla de distribución de frecuencias de variable continua.

Remuneraciones Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi Xi[ 805 1 200> lllll lllll lllll lllll lllll l 26 0,26 26 026, 100 1,00 1 002,5[1 200 1 595> lllll lllll lllll lllll 20 0,20 46 0,46 74 0,74 1 397,5[1 595 1 990> lllll lllll lllll l 16 0,16 62 0,62 54 0,54 1 792,5[1 990 2 385> lllll lllll lll 13 0,13 75 0,75 38 0,38 2 187,5[2 385 2 780> lllll llll 9 0,09 84 0,84 25 0,25 2 582,5[2 780 3 175> lllll lll 8 0,08 92 0,92 16 0,16 2 977,5[3 175 3 570> lllll 5 0,05 98 0,98 8 0,08 3 372,5[3 570 3 965> lll 3 0,03 100 1,00 3 0,03 3 767,5


En la tabla como ya se ha indicado, los datos se registran “a partir de” o también [ … >, por ejemplo el dato 1 200 fue registrado en la segunda clase porque en ella van todos los datos a partir de 1 200 hasta 1 594,99…….

b) ¿Cuántos ganan 1 792,50 soles en promedio? 16 trabajadores

c) ¿Qué porcentaje ganan en promedio 3 372,50 soles? 5,00%

d) ¿Qué porcentaje ganan más de 2 780 soles? 16,00%

e) ¿Qué porcentaje ganan menos de 1 595 soles? 46,00%

f) ¿Qué porcentaje ganan entre 1 990 y 2 385 soles? 13,00%

2) El registro de ingreso en horas y minutos de 120 trabajadores de una compañía es la siguiente: Por ejemplo: 7,35 significa 7horas y 35 minutos.

7,35 7,40 7,52 7,54 7,58 8,02 8,05 7,40 7,41 7,47 7,48 7,52 7,54 7,58 8,088,11 7,36 7,46 7,48 7,57 7,55 7,59 8,09 8,01 7,36 7,46 7,48 7,52 7,55 7,598,09 7,56 7,36 7,49 7,48 7,52 7,55 7,59 8,10 8,06 7,37 7,42 7,49 7,52 7,558,00 8,11 8,06 7,37 7,48 7,49 7,52 7,55 8,00 8,11 8,08 7,41 7,42 7,50 7,53

7,55 7,41 8,12 8,07 7,38 7,43 7,50 7,53 7,55 8,00 8,03 8,04 7,38 7,43 7,36 7,54 7,56 8,01 8,14 8,08 7,39 7,44 7,51 7,54 7,56 8,02 8,04 8,14 7,40 7,47

Página 60


7,51 7,54 7,57 8,04 8,14 8,09 7,46 7,45 7,51 7,54 7,57 8,05 8,06 8,10 7,40 7,46 7,51 7,54 7,58 8,04 8,02 7,50 7,40 7,46 7,52 7,57 7,50 8,00 8,01 7,50

Con los datos:a) Construir una tabla de distribución de frecuencias.b) ¿Cuántos llegaron a las 7h 57’ 30” en promedio?c) ¿Qué porcentaje llegaron a las 7h 47’ 30” en promedio?d) Si la tardanza se controla a partir de las 8 horas, ¿Qué porcentaje llegaron tarde?e) ¿Qué porcentaje llegaron antes de las 7h 50’?Solución:

1º Recorrido de la Variable (L): L = Dato máximo – Dato mínimoComo las horas y minutos no se pueden operar juntos, los datos máximos y mínimos serán transformados en minutos para determinar el rango en minutos.Dato máximo = 8h 14’ = 8(60) + 14 = 494 minutosDato mínimo = 7h 35’ = 7(60) + 35 = 455 minutosL = 494 – 455 = 39 minutos.


3º Tamaño de clase (e): e = L / ke = 39 / 8 = 4,875 = 5 minutos


5º Exceso = L1 – L = 40 – 39 = 1

Como el exceso es 1, se corrige solo el dato máximo al que se le suma 1, el dato mínimo permanece igual. Luego se generan los límites a partir de las 7h.35’ y se van agregando de 5 en 5 minutos, que es el tamaño de cada clase, luego se pasan los 120 datos, uno por uno hasta completar la tabla. La suma de hi siempre es 1, en los casos que aún con el redondeo sea menor o mayor de 1, usted debe corregir el redondeo para que de la suma exactamente 1.

a) Tabla de distribución de frecuencias de variable continua.b)

Ingreso Tabulación fi hi Fi Hi Fi Hi Xi7h,35’ 7h,40’ lllll lllll 10 0,0833 10 0,0833 120 1,0000 7h,37’,30”7h,40’ 7h,45’ lllll lllll lll 13 0,1083 23 0,1916 110 0,9167 7h,42’,30”7h,45’ 7h,50’ lllll lllll lllll l 16 0,1333 39 0,3249 97 0,8084 7h,47’,30”7h,50’ 7h,55’ lllll lllll lllll lllll lllll 25 0,2084 64 0,5333 81 0,6751 7h,52’,30”7h,55’ 8h,00’ lllll lllll lllll lllll 20 0,1667 84 0,7000 56 0,4667 7h,57’,30”8h,00’ 8h,05’ lllll lllll lllll 15 0,1250 99 0,8250 36 0,3000 8h,02’,30”8h,05’ 8h,10’ lllll lllll ll 12 0,1000 111 0,9250 21 0,1750 8h,07’,30”8h,10’ 8h,15’ lllll llll 9 0,0750 120 1,0000 9 0,0750 8h,12’,30”

Página 61



b) ¿Cuántos llegaron a las 7h 57’ 30” en promedio? 20 trabajadores.

c) ¿Qué porcentaje llegaron a las 7h 47’ 30” en promedio? 13,33%.

d) Si la tardanza se controla a partir de las 8 horas, ¿Qué porcentaje llegaron tarde? 30,00%.

e) ¿Qué porcentaje llegaron antes de las 7h 50’? 32,49%.Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Distribución de Frecuencias de Variable Continua:

1) Construya la tabla de distribución de frecuencias y determine la edad promedio con mayor frecuencia, entre los siguientes trabajadores de una empresa:

28 19 42 51 29 27 31 20 33 93 24 30 41 57 26 30 35 38 25 2126 28 38 40 44 37 26 25 38 31 26 24 19 18 27 24 55 42 26 3437 22 48 36 29 20 27 33 35 21 29 34 26 34 40 46 51 27 28 5222 38 44 50 23 28 67 48 41 57 26 31 44 46 28 25 26 34 56 44

Resp: 26 años

2) Construya la tabla de distribución de frecuencias con los pesos en kilogramos de 100 alumnos y determine el peso promedio con menor frecuencia:

58 62 55 44 46 53 68 39 47 71 64 53 58 41 46 57 53 60 47 40 39 60 45 48 52 64 43 50 62 48 44 48 56 47 51 55 45 47 68 5271 66 52 44 58 56 46 44 68 56 48 57 44 42 61 52 64 54 47 3954 62 50 48 40 57 41 43 52 64 45 47 48 50 55 47 42 48 43 5855 45 42 61 70 45 52 57 44 40 47 39 56 60 48 51 45 48 60 57

Resp: 65 kilos

3) Construya la tabla de distribución de frecuencias con las tallas en centímetros de 120 escolares y determine ¿cuántos mide más de 161centímetros?

140 154 145 168 143 126 162 155 143 173 143 155 149 156 164156 180 173 169 152 157 146 143 150 176 168 160 152 172 154147 162 175 164 157 136 140 138 130 128 145 158 162 170 132128 142 158 167 132 158 153 169 157 140 152 138 134 141 157156 142 158 161 176 158 140 138 148 167 145 156 168 173 174 175 162 175 164 157 136 140 138 130 128 145 158 162 170 182160 180 173 169 132 157 146 143 141 176 168 160 152 172 145138 174 168 173 160 138 133 127 157 180 172 176 132 140 138

Resp: 42 escolares

4) Construya la tabla de distribución de frecuencias con los jornales (diarios) de 150 obreros y determine ¿Qué proporción de obreros ganan 53,50 soles en promedio?

Página 62


36 48 87 28 35 94 58 88 24 45 67 72 26 45 48 38 39 75 50 6528 47 58 68 29 34 42 47 46 22 28 34 26 37 47 58 68 72 88 5445 28 37 36 45 72 80 55 47 73 76 26 30 40 47 30 35 26 31 5147 36 28 47 57 72 81 83 90 52 27 35 46 37 45 24 31 40 55 6224 35 47 45 50 83 75 92 84 68 26 83 57 67 66 84 90 57 72 71 38 55 29 38 45 47 85 75 48 37 26 23 27 64 42 57 38 30 26 3485 45 72 25 34 50 37 26 45 88 75 47 70 44 28 26 33 58 77 3438 45 26 89 42 25 87 24 26 73 Resp: 8,67%

2.2.2.- Gráficos:

Los gráficos son útiles porque ponen en relieve y aclaran las tendencias que no se captan fácilmente en las tablas, ayudan a estimar valores con una simple ojeada y brinda una verificación gráfica de la veracidad de las soluciones.

Los investigadores encuentran en los gráficos, una manera de captar con rapidez como están compuestos los datos en su conjunto, visualizando su estructura, conociendo su forma. Los tipos de gráficos utilizados por los investigadores son: el polígono de frecuencias y el histograma, porque le muestran la densidad de la información graficada. También utilizan las ojivas “más de” y “menos de”, para observar el comportamiento de las clases en grupos.

2.2.2.1.- Polígono de Frecuencias:

Es un tipo de gráfico por el cual se unen los puntos formados por los pares ordenados (Xi, fi) de las marcas de clase con la frecuencia absoluta en forma consecutiva a partir de el punto (X0, 0) hasta el punto (Xn+1, 0), de tal manera que la línea continua o polígono encierra el 100% de la información, generando una función de densidad.

También se puede obtener el polígono de frecuencias uniendo cada punto medio (marca de clase) de los rectángulos del histograma con líneas rectas, teniendo cuidado de agregar al inicio y al final marcas de clase adicionales, con el objeto de asegurar la igualdad del áreas.

El polígono de frecuencias por ser de investigación, además de ser graficado en el primer cuadrante de los ejes cartesianos, utiliza doble ordenada: a la izquierda van los valores de la ordenada principal fi, y a la derecha se grafica la otra ordenada con los valores complementarios hi; de tal manera que se puedan comparar en el gráfico los valores absolutos, en forma nominal (fi) y en forma proporcional (hi%).

Grafico del Polígono de frecuencias:

Con la siguiente tabla de variable continua, graficar el polígono de frecuencia.

Ingreso fi hi Xi

Página 63


7h,35’ 7h,40’ 10 0,0833 7h,37’,30”7h,40’ 7h,45’ 13 0,1083 7h,42’,30”7h,45’ 7h,50’ 16 0,1333 7h,47’,30”7h,50’ 7h,55’ 25 0,2084 7h,52’,30”7h,55’ 8h,00’ 20 0,1667 7h,57’,30”8h,00’ 8h,05’ 15 0,1250 8h,02’,30”8h,05’ 8h,10’ 12 0,1000 8h,07’,30”8h,10’ 8h,15’ 9 0,0750 8h,12’,30”

fi hi % 30 -

25 - - 20,84%

20 - - 16,67%

- 13,33% 15 - - 12,50%

- 10,83% 10 - - 8,33% - 7,50%

5 -

0 - 7,37 7,42 7,47 7,52 7,57 8,02 8,07 8,12 Xi

2.2.2.2.- Histogramas:

Es un tipo de gráfico formado por rectángulos cuya base es la amplitud del intervalo y tiene la característica que la superficie que corresponde a las barras es representativa de la cantidad de casos o frecuencia de cada tramo de valores, puede construirse con clases que tienen el mismo tamaño en términos generales, o de diferente tamaño en términos particulares. La utilización de los intervalos de amplitud variable se recomienda cuando en

Página 64


alguno de los intervalos, de amplitud constante, se presente la frecuencia cero o la frecuencia de alguno o algunos de los intervalos sean mayores que la de los demás, logrando así que las observaciones se hallen mejor repartidas dentro del intervalo.

En el histograma se representan los mismos valores absolutos que se representa el polígono de frecuencias, utiliza igualmente dos ordenadas y en la abscisa se grafican los límites de cada clase que al ser unidos por una línea horizontal a la altura de su respectiva frecuencia, en cada clase se encierra la cantidad de datos que contienen.

Grafico del Histograma:

Con la siguiente tabla de variable continua, graficar el histograma.

Ingreso fi Hi Xi7h,35’ 7h,40’ 10 0,0833 7h,37’,30”7h,40’ 7h,45’ 13 0,1083 7h,42’,30”7h,45’ 7h,50’ 16 0,1333 7h,47’,30”7h,50’ 7h,55’ 25 0,2084 7h,52’,30”7h,55’ 8h,00’ 20 0,1667 7h,57’,30”8h,00’ 8h,05’ 15 0,1250 8h,02’,30”8h,05’ 8h,10’ 12 0,1000 8h,07’,30”8h,10’ 8h,15’ 9 0,0750 8h,12’,30”

fi hi % 30 -

25 - - 20,84%

20 - - 16,67%

- 13,33% 15 - - 12,50%

- 10,83% 10 - - 8,33% - 7,50%

5 -

Página 65


0 - . 7,35 7,40 7,45 7,50 7,55 8,00 8,05 8,10 8,15 Clases

2.2.2.3.- Ojiva Menos de:

Es un tipo de gráfico por el cual se unen los puntos formados por los pares ordenados a partir de (0, 0) hasta el último. Los pares ordenados representan el cruce del límite superior de cada clase (Ls) con la frecuencia acumulada (Fi) respectiva, que sirven para observar el comportamiento de los datos a medida que se van agregando clase por clase, a partir de la primera hasta la última. Este tipo de gráfico, se puede realizar también con dos ordenadas: la principal con Fi y la ordenada auxiliar con Hi%.

Grafico de la Ojiva Menos de:

Con la siguiente tabla de variable continua, graficar la ojiva menos deIngreso Fi Hi

7h,35’ 7h,40’ 10 0,08337h,40’ 7h,45’ 23 0,19167h,45’ 7h,50’ 39 0,32497h,50’ 7h,55’ 64 0,53337h,55’ 8h,00’ 84 0,70008h,00’ 8h,05’ 99 0,82508h,05’ 8h,10’ 111 0,92508h,10’ 8h,15’ 120 1,0000

Fi Hi % 120 - - 100,00%

- 92,50%

100 - - 82,50% - 70,00%

80 -

- 53,33% 60 -

40 - - 32,49%

Página 66


- 19,16% 20 -

10 - - 8,33%

0 - 7,35 7,40 7,45 7,50 7,55 8,00 8,05 8,10 8,15 Clases2.2.2.4.- Ojiva Más de:

Es el gráfico inverso al de la ojiva menos de.

Grafico de la Ojiva Más de:

Con la siguiente tabla de variable continua, graficar la ojiva más deIngreso Fi Hi

7h,35’ 7h,40’ 120 1,00007h,40’ 7h,45’ 110 0,91677h,45’ 7h,50’ 97 0,80847h,50’ 7h,55’ 81 0,67517h,55’ 8h,00’ 56 0,46678h,00’ 8h,05’ 36 0,30008h,05’ 8h,10’ 21 0,17508h,10’ 8h,15’ 9 0,0750

Fi Hi % 120 - - 100,00%

- 91,67%

100 - - 80,84%

80 - - 67,51%

60 - - 46,67%

40 -

Página 67


- 30,00%

20 - - 17,50%

10 - - 7,50%

0 - 7,35 7,40 7,45 7,50 7,55 8,00 8,05 8,10 8,15 Clases

PRUEBA AUTOEVALUATIVA DE LA SEGUNDA UNIDAD

1) ¿En un tabulado, qué representa el encabezamiento?

A) Lo que se desea expresar en el cuadro. D) B y C son correctas.B) La información contenida en las columnas. E) Todas son correctas.C) Todo aquello que en el título se indique como según.

2) ¿En qué tipo de gráfico se representan figuras con relación a los datos?

A) Pictogramas B) Lineal C) Circular D) Por barras E) En todos.

3) ¿Cuál es la diferencia entre los gráficos por barras superpuestas nominales de los porcentuales?

A) Los nominales siempre tienen diferentes tamaños y los porcentuales no. B) Los nominales se expresan en el valor de origen y los porcentuales en tanto por ciento. C) En los nominales importa la unidad de información y en los porcentuales no. D) B y C son correctas. E) Todas son correctas.

4) Tres puntos en un tabulado ¿qué representa?

A) No hay información.B) La información que existe es mínima o muy pequeña.C) la información es cero.D) B y C son correctas.E) Existe información pero no está disponible.

5) En el tabulado, el cruce de filas con columnas donde van las cifras que se publican ¿cómo se llama?

A) Encabezado B) Matriz C) Título D) Cuerpo E) pié.

6) ¿Qué información se consigna en la tabulación de la tabla de distribución de frecuencias?

Página 68


A) Números B) Frecuencias C) Tarjas D) Palitos E) Todas menos A.

7) En la tabla de distribución de frecuencias, ¿qué es la marca de clase?

A) Representa a todos los datos de su clase D) A, B, y C son correctas B) La semi suma de sus límites E) Solo A y C son correctas. C) El valor central de una clase.

8) La tabla de distribución de frecuencias de variables Discretas, pueden ser organizadas por:

A) Solo por lista C) Por lista o por clases E) Ninguna B) Solo por clase D) Por, según

9) En el eje de la abscisa del gráfico de un histograma, van:

A) Las frecuencias absolutas. D) Los límites de clases. B) Las frecuencias acumuladas. E) las frecuencias relativas. C) Las marcas de clase.

10) En la Estadística para investigar una gráfica lineal toma el nombre de:

A) Polígono de frecuencias C) Ojiva más de E) Todas menos D.B) Ojiva menos de D) Gráfica lineal

11) Si los datos: mínimo y máximo de una variable son 65 y 188 alumnos. ¿Cuál será el tamaño de cada clase para 250 datos?

A) 16 B) 10 C) 14 D) 12 E) 9.

12) Si los datos: mínimo y máximo de una variable son 65 y 188 alumnos. ¿Cuáles serán los límites de la primera clase para 250 datos?

A) 64 y 78 B) 65 y 79 C) 65 y 77 D) 64 y 77 E) Ninguno. 13) Determine los límites de la última clase de una tabla de distribución de frecuencias con 150

datos en donde el dato mínimo y el dato máximo son remuneraciones de 625 y 2705 soles respectivamente.

A) 2445 y 2705 B) 2450 y 2700 C) 2425 y 2705 D) 2450 y 2705 E) Ninguno. 14) Hallar la frecuencia relativa acumulada hasta la 5ta clase con la siguiente información:

Clases 25 45

45 55 55 65 65 75 75 85 85 95

95 105

fi 22 56 458 156 85 63 10

A) 0,8960 B) 0,9141 C) 0,9216 D) 0,9415 E) 0,8956

Página 69


15) Hallar la frecuencia relativa acumulada después de la 3ra clase con la siguiente tabla:

Clases 25 45

45 55 55 65 65 75 75 85 85 95

95 105

fi 22 56 458 156 85 63 10

A) 0,9082 B) 0,8865 C) 0,3694 D) 0,3753 E) 0,6306

Clave de respuestas de la prueba auto evaluativa de la segunda unidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14

15

B A D E D E D C D E C D A B C

GLOSARIO

Ejes Cartesianos: Están representados por el cruce de dos líneas de las cuales una es horizontal o abscisa y otra vertical u ordenada. Cada ángulo recto de los ejes cartesianos se denomina cuadrante.

Fenómeno: En estadística este término se utiliza como sinónimo de variable.

Llamadas: Es: una letra, un número o un carácter; que se utilizan en los tabulados, para explicar el contenido de una: casilla, una columna, una fila o todo el cuadro, según sea necesario.

Pares Ordenados: Son valores de la abscisa que junto a los valores de la ordenada, permiten en los gráficos determinar la posición de los puntos que representan el cruce de cada valor de ambos ejes.

Relevante: Es un valor que sobresales o que se distingue de los demás.

Tratamiento: Consiste en trabajar con un grupo de datos, para utilizarlos como información o para utilizarlos como investigación.

Software: Es un paquete o conjuntos de programas informáticos, que son desarrollados con diferentes fines incluyendo el estadístico.


Página 70


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt12.html#seccion1

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-3-est.htm

http://html.rincondelvago.com/graficos-estadisticos.html

Tercera Unidad

MEDIDAS de POSICIÓN o de LOCALIZACIÓN

Objetivo General

Aprender que las medidas de Posición son medidas de resumen, que se caracterizan por tener una ubicación importante dentro de un conjunto de datos; algunas de ellas tienden hacia el centro y otros no tienen esa tendencia. Además para calcular estas medidas estadísticas se debe conocer como se encuentran los datos, ya que pueden estar agrupados en distribuciones de frecuencias, o también pueden no estar agrupados.

Las medidas de Posición central, tienen uso significativo dentro de la investigación, porque todos los datos quedan representados por dicho valor central. También porque se interpreta fácilmente. Además del centro, otras veces uno se interesa por el valor que se localiza en determinada posición dentro de los datos ya ordenados; ello es posible con los cuantiles. Si los datos no se encuentran agrupados, con un simple ordenamiento se puede visualizar: el cuartil, decil o cualquier otro cuantil, sin embargo cuando los datos se encuentran agrupados, para visualizarlos, se requiere de un proceso interpolatorio.

Objetivos Específicos Contenido de la Unidad

Conocer mediante los promedios cuáles son sus aplicaciones dentro de las medidas de posición, además de saber utilizarlos de manera aritmética o de

Promedios:- Media Aritmética- Media Geométrica- Media Armónica.

Página 71


manera geométrica.

Saber cuál es el dato que se posiciona físicamente en el centro o es aquel que aparece con mayor frecuencia.

Otras medidas de Posición Central:- Mediana- Moda

Determinar cómo se distribuyen los datos al repartirlos en: cuartos, décimas o en centésimas. Esto permite conocer donde se ubican aquellos valores de interés en la investigación.

Cuantiles:- Cuartiles- Deciles- Percentiles.

MEDIDAS de POSICIÓN o de LOCALIZACIÓN

Sumilla

En esta unidad el lector conocerá la importancia del uso de las medidas de Posición que son medidas de resumen, porque estas medidas, sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios y la de los valores de posición no central importante.

Las medidas de posición, representan a un valor característico del conjunto de datos o de la población que con urgencia se desea ubicar; por ejemplo, si se tiene un grupo de datos y al observarlos buscamos cuál de ellos representa a todos en su conjunto, esto solo es posible con la media aritmética o promedio; también nos puede interesar, cual es el valor posicionado exactamente en el centro de todos, es decir cuál es la mediana; o cual es que se repite más veces que es el valor de moda.

Además de los valores de tendencia central ya descritos, existen otros valores de posición o localización que son importantes; por ejemplo si se tiene el mismo conjunto de datos, pero esta vez nos interesa saber qué valor representa exactamente la cuarta parte de ellos, o que valor se encuentra al límite del 65% de los datos ya ordenados; la medida estadística que nos permite alcanzar estas necesidades, se denominan cuantiles, que la mayoría de ellos no tienen esa tendencia central.

Entre las medidas de tendencia central, además de las mencionadas, existe la media geométrica que es un tipo de promedio exclusivo para datos con variaciones geométricas, y la media armónica que es un tipo de promedio aritmético, utilizado exclusivamente en velocidad. La media geométrica a pesar de ser un promedio, tiene poco uso en Estadística, porque la

Página 72


mayoría de los datos relacionados con una determinada variable, generalmente tiene una variación aritmética, salvo las tasas de crecimiento demográfico o tasa de interés compuesto, etc. que tiene variación geométrica.

La utilidad de los promedios va a depender principalmente del tipo de datos; es decir que una media aritmética es útil se los datos tiene variación aritmética, y una media geométrica será igual de útil si se obtiene de un conjunto de datos con variación geométrica; si se utilizan de manera inversa, ninguna de las medias sirve.

Se denominan medidas de Posición, a aquellas medidas estadísticas que sirven para

analizar en que parte de los datos se encuentra ubicada o posicionada; dichas medidas pueden ser: promedios, repetirse con más frecuencia, posicionados en el medio o en algún otro lugar de importancia para el investigador.

Lección 1:

3.1.- PROMEDIOS.

Se denominan promedios a los estadígrafos de posición que tienen una tendencia central, por que establecen el valor medio o simplemente la media del valor total de los datos o de una muestra. El Estadístico Yule ha definido algunas propiedades deseables para una medida estadística de resumen de esta naturaleza:

1º Debe definirse de manera objetiva: dos observadores distintos deben llegar al mismo resultado numérico.

2º Usar todas las observaciones y no algunas de ellas solamente, de manera que si varia alguna observación la medida considerada debe reflejar esta variación.

3º Tener un significado concreto: la interpretación debe ser inmediata y sencilla. 4º Ser sencilla de calcular. 5º Prestarse fácilmente al cálculo algebraico: Lo que permitirá demostraciones más elegantes. 6º Ser poco sensible a las fluctuaciones muestréales. Esta condición es imprescindible en la

Estadística Matemática y en la Teoría de Sondeos.

Existen diferentes tipos de promedios, a continuación se definirán los promedios mayormente utilizados en la Estadística Descriptivas:

3.1.1.- Media Aritmética (X ):

La media es la medida de posición central más importante, porque se constituye como el valor central por excelencia. El promedio es la suma de todos los valores que toma una variable sobre el total de la muestra o de la población que presentan variación aritmética, es el incremento o disminución del valor de los datos u observaciones en forma pequeña, porque no obedece a ningún factor, sino a un valor agregado o a un valor que se sustrae.

Página 73


Lo más positivo de la media, es que se utilizan para su cálculo todos los valores, por lo que no se pierde una sola información. Sin embargo presenta el problema de que su valor se puede ver influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de los valores. Estos valores extremos podrían condicionar el valor de la media, perdiendo representatividad de la muestra o de la población. En Estadística se acostumbra para diferenciar una media aritmética de una muestra, con la media aritmética de una población, simbolizando a la muestra como X y a la población como μ.

La media aritmética tiene dos propiedades importantes que son:

1º Si se multiplican o se dividen todas las observaciones por un mismo número, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero.

2º Si se le suman o se le restan a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará o disminuida en dicha cantidad.

Dependiendo de la disponibilidad de los datos, la media aritmética se define de tres maneras diferentes, que son:

3.1.1.1.- Media Aritmética Simple:

Cuando se calcula el promedio tomando todos los datos como están; es decir sin ordenamiento y sin ser agrupados, se denomina media aritmética simple. Este tipo de media aritmética, también es conocida como media aritmética para datos no agrupados o simplemente media aritmética de datos desordenados.

La media aritmética simple, se define de la siguiente manera:

X=∑i=1

N

X i

N

Donde:Xi = VariableN = Número total de datos o número de observaciones


1) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos: 496, 485, 257, 388, 528, 264, 347, 425, 533, 319 y 424.

Solución:

X=496+485+257+388+528+264+347+425+533+319+42411

=406

Página 74


2) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes remuneraciones en soles: 1 412, 1 258, 1 528, 1 375, 1 248, 1 264, 1 347, 1 432.

Solución:

X=1 412+1 258+1528+1 375+1248+1264+1 347+14328

=1 358 soles

3) Hallar el promedio de hijos de las siguientes familias: 4, 8, 1, 3, 5, 4, 4, 6, 0, 2

Solución:

X=4+8+1+3+5+4+4+6+0+210

=3,7hijos

A pesar de ser el número de hijos una variable discreta, se puede decir que las familias en promedio tienen 3,7 hijos, por que la media aritmética es una medida. Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Aritmética Simple:

1) Si 7 tiendas venden el mismo producto a los siguientes precios, hallar el precio promedio por producto: 12,20; 13,50; 12,80; 13,00; 12,90; 13,50 y 13,10. Resp: 13,00

2) Hallar el promedio de los siguientes jornales: 65, 58, 66, 72, 75, 85, 60 y 55.Resp: 67,00

3) Si un trabajador durante 5 años obtuvo los sueldos anuales de: 27 900, 28 450, 29 450 28 820 y 30 450. ¿Cuál fue el promedio de remuneraciones? Resp: 29 014

4) Hallar la media aritmética de los consumos de energía eléctrica mensual en Kw. de un usuario durante 1 año: 325, 358, 350, 325, 293, 305, 298, 302, 325, 310, 327 y 322.

Resp: 320

5) Hallar el promedio de asistencia de: 118, 107, 115, 110 y 120. Resp: 114

6) Las ventas anuales durante 7 años son: 1 785, 1 489, 1 758, 1 648, 1 597, 1 596 y 1 719 unidades, hallar la media aritmética. Resp: 1 656

7) Hallar la media aritmética de las siguientes estaturas en centímetros: 128, 182, 135, 205, 203, 175, 196, 123, 175, 160, 187 y 162. Resp: 169,25

8) Hallar la media aritmética de los consumos de agua por m3 de un usuario durante 1 año: 328, 381, 250, 350, 273, 255, 298, 312, 305, 301, 317 y 302. Resp: 306

3.1.1.2.- Media Aritmética Ponderada:

Cuando a cada uno de los datos se le asigna un factor (W) llamado también peso o ponderación, dependiendo de la mayor o menor importancia que se desee otorgar; para obtener el promedio ponderado, primero se multiplica cada dato por su respectivo peso, luego

Página 75


se suman los productos para después dividirlos entre la suma de los factores o pesos. Este tipo de media aritmética, tiene mayor uso cuando se promedian evaluaciones, porque es muy común que algunos de los calificativos obtenidos tengan mayor valor que otros, dependiendo del los tipos de pruebas en las evaluaciones.

La media aritmética ponderada, se define de la siguiente manera:

X=∑i=1

n

W i X i

∑i=1

n

Wi

Donde:Xi = Variablen = Número de observaciones o datosWi = Ponderación o peso Ejercicios Resueltos:

1) Hallar la media aritmética ponderada utilizando las siguientes calificaciones:

Calificaciones 195 84

81 88

128 164

Wi 2 5 2 3 3 5

Solución:

Calificaciones (Xi) 195 84 81 88 128 164 TotalWi 2 5 2 3 3 5 20Xi Wi 390 420 162 264 384 820 2440

X=∑i=1

n

W i X i

∑i=1

n

Wi

=244020

=122 puntos


Calificaciones 15 8

9 12 18 16

Wi 1 2 3 3 4 2

Solución:

Calificaciones (Xi) 15 8 9 12 18 16 TotalWi 1 2 3 3 4 2 15Xi Wi 15 16 2 36 72 32 198

Página 76


7

X=¿ 198 / 15 = 13,2 puntos


Calificaciones

125 181 124 118 124 150

Wi 8 8 8 8 8 8

Solución:

Calificaciones (Xi) 125 181 124 118 124 150 TotalWi 8 8 8 8 8 8 48Xi Wi 1 000 1

448992 944 992 1 200 6 576

X=¿ 6 576 / 48 = 137 puntos

Cuando las ponderaciones de todos los datos son iguales, no tiene sentido calcular la media aritmética en forma ponderada, porque este tipo de promedio solo se utiliza cuando hay diferencia entre los datos; con una media aritmética simple, el resultado es el mismo.

X=125+181+124+118+124+1506

=8226

=137 puntos .

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Aritmética Ponderada:

1) Hallar la media aritmética ponderada utilizando las siguientes calificaciones: Calificaciones

125 181 124 118 124 150

Wi 4 8 5 9 2 7Resp: 140,80

2) Hallar la media aritmética ponderada utilizando las siguientes calificaciones: Calificaciones 12 18 5 17 14 15Wi 1 2 3 4 5 6

Resp: 13,95


134 156 182 145 147 165

Wi 4 3 4 4 3 4Resp: 155,14


1 322 1 184

1 244 1 186

1 434 1 350

Wi 2 2 3 3 4 4

Página 77


Resp: 1 302,11


12,8 11,5

14,6 11,8

14,7 16,0

Wi 5 10 5 10 8 12Resp: 13,59

3.1.1.3.- Media Aritmética para Datos Agrupados:

Cuando los datos han sido agrupados en tablas de distribución de frecuencias, para calcular la media aritmética, es necesario identificar dentro de cada grupo de datos o clases, que valor representa a cada clase que es la marca de clase (X i). Una vez obtenido el valor representativo, se multiplica cada marca de clase por su respectiva frecuencia absoluta (f i), luego se suman los productos para después dividirlos entre la suma de las frecuencia (N).

Algunos autores consideran que por multiplicar la marca de clase (X i) por la frecuencia respectiva (fi), este tipo de media aritmética es ponderada, porque ven a la frecuencia absoluta como un factor que genera un valor distinto en cada marca de clase; sin embargo en este texto, se diferenciará claramente al factor como ponderación o importancia, del factor como frecuencia absoluta que representa la veces que se repite el valor.

La media aritmética para datos agrupados, se define de la siguiente manera:

X=∑i=1

n

f i X i

∑i=1

n

fi

ó X=∑i=1

n

f i X i

N

Donde:fi = Frecuencia absolutaXi = Variable o marca de clase n = Número de marcas de clase o veces que cambia el valor de la variableN = Suma de las frecuencias absolutas o total de datos u observaciones.


1) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados:

Nº de Asistentes fi

26 34 3 35 43 15 44 52 26 53 61 38 62 70 40 71 79 30

Página 78


80 88 12 89 97 6

Solución:

Nº de Asistentes fi Xi fi Xi

26 34 3 30 90 35 43 15 39 585 44 52 26 48 1 248 53 61 38 57 2 166 62 70 40 66 2 640 71 79 30 75 2 250 80 88 12 84 1 008 89 97 6 93 558 Σ 170 10 545

X=∑i=1

n

f i X i

N=10 545

170=62,03 personas

2) Hallar la media aritmética utilizando las siguientes calificaciones:

Calificaciones fi

260 280 3 280 300 15 300 320 30 320 340 25 340 360 12 360 380 8 380 400 7

Solución:

Calificaciones

fi Xi fi Xi

260 280 3 270 810 280 300 15 290 4 350 300 320 30 310 9 300 320 340 25 330 8 250 340 360 12 350 4 200 360 380 8 370 2 960 380 400 7 390 2 730 Σ 100 32 600

X=∑i=1

n

f i X i

N=32600

100=326 puntos

Página 79


Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Aritmética para Datos Agrupados:

1) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 15 18 26 36 20 10Resp: 154,64

2) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Jornales 55 65 65 75 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125fi 11 25 40 65 37 14 8

Resp: 88,30

3) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 14 30 48 54 34 20Resp: 1 424,00

4) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 1000 2000 2000

3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 4 16 25 18 12 5Resp: 3 912,50

5) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Pesos (Kg)

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110

fi 5 25 55 45 38 22 10Resp: 74,60

6) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 14 26 35 28 17 5

Resp: 4 184,003.1.2.- Media Geométrica (X g):

La media geométrica es la medida de posición central de utilidad cuando los datos presentan variación geométrica; es decir, cuando la variación es producto de un factor. Este tipo de promedio es tan útil como la media aritmética aplicada a datos con variación aritmética.

En Estadística existe poca información con datos que presentan variación geométrica, por esta razón a pesar de ser un promedio, no es utilizado con la misma intensidad que la media aritmética.

Página 80


La media geométrica conserva de la media aritmética, la propiedad de que si se multiplican o se dividen todas las observaciones por un mismo número, la media geométrica queda multiplicada o dividida por dicho numero.

Dependiendo de la disponibilidad de los datos u observaciones, esta medida de resumen se define de dos maneras diferentes, que son:

3.1.2.1.- Media geométrica Simple:

Este tipo de promedio conocido como media geométrica para datos no agrupados, se obtiene mediante la raíz enésima del producto de enésimos términos; también puede ser obtenido mediante el uso de logaritmos.

La media geométrica para datos no agrupados o media geométrica simple, se define de la siguiente manera:

X g=N√X1 . X2 .. . X N

Donde:Xi = VariableN = Número total de datos u observaciones.

Utilizando logaritmos, la media geométrica se define de la siguiente manera:

log X g=

∑i=1

N

log X i

NDonde:Log Xi = Logaritmo de la variableN = Número total de datos.

Con esta segunda fórmula de la media geométrica, los resultados se obtienen en logaritmos, por ello es necesario que al resultado que se obtenga de ella, se calcule el anti logaritmo para volver la información en su unidad de medida. El lector puede escoger cualquiera de las dos fórmulas para hallar la media geométrica, sin embargo cuando se trata de datos no agrupados, es más fácil utilizar la primera fórmula sin logaritmos, porque cualquier calculadora maneja estas cifras con facilidad.Ejercicios Resueltos:

1) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos no agrupados: 28, 1 245, 56, 157 y 783.

Solución:

X g= 5√28 x 1245x 56 x157 x783=188.81

Página 81


Otra solución utilizando logaritmos:

Log. X g = (log. 28 + log. 1245 + log. 56 + log. 157 + log. 783) / 5

Log. X g = (1,447158 + 3,095169 + 1,748188 + 2,1959 + 2,893762) / 5

Log. X g = 11,380177 / 5 = 2,2760354 Antilogaritmo de 2,2760354 = 188,81

X g = 188,81.

2) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos no agrupados: 1 218, 245, 556, 1 507 63 y 87.

Solución:

X g= 6√1218 x 245x 556 x1507 x 63x 87=6√1,370443763 x 1015=333.28

3) Hallar la media geométrica con los siguientes datos no agrupados: 4, 20, 100, 500 y 2 500

Solución:

X g= 5√4 x20 x 100x 500 x2500=5√1,0 x 1010=100

Observe que si el dato siguiente es multiplicado exactamente por el mismo factor (5), y esto se repite continuamente, tendremos una progresión geométrica donde el promedio es exactamente el valor del centro. Esto mismo ocurre con la media aritmética, con la diferencia de que la variación no es un factor sino un mismo sumando.

4) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos no agrupados: 1, 7, 49, 343, 2 401, 16 807 y 117 649

Solución:

X g= 7√1 x7 x 49 x343 x 2401x 16807 x117649=7√5,585458641x 1017=343

Cuando se trata de una misma progresión geométrica, el promedio geométrico es el valor del centro, sin importar que los datos estén ordenados o no.Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Geométrica Simple:

1) Hallar el promedio geométrico de una cuenta de ahorro a interés compuesto que durante 6 meses tuvo la siguiente variación: 1 224,20; 1 297,44; 1 382,80; 1 419,00; 1 527,90 y 1 673,50. Resp: 1 413,30

2) Hallar la media geométrica de: 1 245, 789, 521, 365, 1 045, 89, 76 y 1 758.Resp: 468,51

Página 82


3) Hallar el promedio geométrico anual de crecimiento de una población rural durante 10 años que tuvo la siguiente variación: 673, 682, 701, 725, 748, 771, 792, 808, 818 y 836.

Resp: 753,34

4) Hallar la media geométrica de: 2 245, 1 789, 1 521, 1 365, 2 045, 1 089, 1 076 y 1 758.Resp: 1 560,29

5) Hallar el promedio geométrico de una cuenta de ahorro a interés compuesto que durante 10 meses tuvo la siguiente variación: 528,56; 531,28; 540,19; 549,87; 556,25; 359,25; 367,15; 372,87; 380,02 y 388,15. Resp: 449,48

6) Hallar la media geométrica de: 45, 78, 52, 36, 81, 40, 89, 76 y 158.Resp: 65,68

7) Hallar el promedio geométrico anual de crecimiento de la población de Lima durante 5 años que tuvo la siguiente variación: 12 458 358, 12 845 125, 13 345 320, 13 879 208 y 14 527 245. Resp: 13 391 068

8) Hallar el promedio geométrico anual de crecimiento de la población de vicuñas de Ayacucho durante 6 años que tuvo la siguiente variación: 25 458, 26 730, 28 334, 29 184, 30 458 y 31 587. Resp: 28 548,35

3.1.2.2.- Media geométrica para Datos Agrupados:

Este tipo de promedio se obtiene mediante la raíz enésima del producto de enésimos términos elevados a su correspondiente frecuencia absoluta; también puede ser obtenido mediante el uso de logaritmos.

La media geométrica para datos agrupados, se define de la siguiente manera:

X g=N√X1f 1 . X 2

f 2 .. . Xnfn

Donde:fi = Frecuencia absolutaXi = Variable o marca de clase n = Número de marcas de clase o veces que cambia el valor de la variableN = Suma de las frecuencias absolutas o total de datos u observaciones.

Utilizando logaritmos, la media geométrica se define de la siguiente manera:

log X g=

∑i=1

n

f i log X i

NDonde:Log Xi = Logaritmo de la variablefi = Frecuencia absolutaN = Número total de datos u observaciones.

Página 83


n = Número de marcas de clase

Con esta segunda fórmula de la media geométrica, los resultados se obtienen en logaritmos, por ello es necesario que al resultado que se obtenga de ella, se calcule el anti logaritmo para volver la información en su unidad de medida.

El lector puede escoger cualquiera de las dos fórmulas para hallar la media geométrica, sin embargo cuando se trata de datos agrupados, es más fácil utilizar la segunda fórmula, con logaritmos, porque al elevar la marca de clase (Xi) a la potencia que es la frecuencia absoluta (fi) puede generar un número excesivamente grande que cualquier calculadora no puede manejar; en cambio con los logaritmos, la operación se hace manejable.


1) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados:

Nacimientos

fi

126 134 3 135 143 15 144 152 26 153 161 38 162 170 40 171 179 30 180 188 12 189 197 6

Solución:

Nacimientos fi Xi fi log. Xi

126 134 3 130 6,34183 135 143 15 139 32,14522 144 152 26 148 56,42680 153 161 38 157 83,44419 162 170 40 166 88,80432 171 179 30 175 67,29114 180 188 12 184 27,17781 189 197 6 193 13,71334 Σ 170 375,34465

Log. X g = 375,34465 / 170 = 2,20791 Anti logaritmos de: 2,20791 = 161,40 X g = 161,40


Depósitos en Ahorros

fi

1 260 2 280 4

Página 84


2 280 3 300 15 3 300 4 320 20 4 320 5 340 25 5 340 6 360 12 6 360 7 380 8 7 380 8 400 6

Solución:

Depósitos en Ahorros

fi Xi fi log. Xi

1 260 2 280 4 1 770

12,99189

2 280 3 300 15 2 790

51,68406

3 300 4 320 30 3 810

107,42775

4 320 5 340 25 4 830

92,09868

5 340 6 360 12 5 850

45,20587

6 360 7 380 8 6 870

30,69565

7 380 8 400 6 7 890

23,38246

Σ 100 363,48636

Log. X g = 363,48636 / 100 = 3,6348636 Anti logaritmos de: 3,6348636 = 4 313,84 X g = 4 313,84


Ahorros 455 465 465 475 475 485 485 495 495 505 505 515 515 525 fi 35 40 30 18 12 10 5

Solución:

Ahorros fi Xi fi log. Xi455 465 3

5460 93,19652

465 475 40

470 106,88391

475 485 30

480 80,43724

485 495 18

490 48,42353

495 505 12

500 32,38764

Página 85


505 515 10

510 27,07570

515 525 5

520 13,58002

Σ (Total) 150

401,98456

Log. X g = 401,98456 / 150 = 2,679897 Anti logaritmos de: 2,679897 = 478,52 X g = 478,52Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Geométrica para Datos Agrupados:

1) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Nacimientos 125

135135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 15 18 26 36 20 10Resp: 153,97

2) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Ahorros 55 65 65

75 75 85 85 95 95

105105 115 115 125

fi 11 25 40 65 37 14 8Resp: 87,15

3) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Depósitos

800 1000 1000 1200

1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 14 30 48 54 34 20Resp: 1 396,20

4) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Préstam.

1000 2000 2000 3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 4 16 25 18 12 5Resp: 3 691,88

5) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Tasas (%)

40 50 50 60 60 70

70 80 80 90

90 100 100 110

fi 5 25 55 45 38 22 10Resp: 73,20

6) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 14 26 35 28 17 5

Resp: 3 960,36

Página 86


3.1.3.- Media Armónica (X h):

La media armónica es un promedio aritmético que se usa exclusivamente para hallar promedios de velocidad, ya sea: de vehículos, de máquinas o de hombres. El uso de esta medida estadística es restringido, porque tiene un solo objetivo.

Cuando la variable es un valor compuesto, dada ya sea en velocidad por recorrido o en velocidad por producción, y los recorridos o producciones son los mismos o son variables, la Estadística tiene un procedimiento para hallar los promedios aritméticos a través de la media armónica.

La media armónica es una medida de resumen, que se define de dos manera, dependiendo de la información que se tiene:3.1.3.1.- Media Armónica Simple:

La media armónica simple se utiliza cuando todas las variables compuestas de velocidad por la unidad de tiempo (Xi), tienen la misma importancia, o no tienen ponderación.

Cuando a todas las velocidades a analizar, les corresponden una misma distancia o les corresponden una misma cantidad de producción, la media armónica simple se define de la siguiente manera:

X h= N

⌊1X1

+1X2

+. ..+1

X N

⌋ó X h= N

∑i=1

N1X i

Donde:Xi = Variable de velocidad por la unidad de tiempoN = Número total de datos.


1) Hallar la media armónica o promedio de velocidad de un ciclista que recorre tres veces 100 kilómetros a: 60, 70 y 90 km. por hora.

Solución:

X h= 3

⌊1

60+

170

+1

90⌋= 3

0,016667+0,014286+0,011111= 3

0,042064=71,32k /h

2) Hallar la media armónica o promedio de velocidad de operación de 5 operarias que realizan la misma producción a: 25, 28, 32, 30 y 20 artículos por día.

Solución:

Página 87


X h= 5

⌊1

25+

128

+132

+1

30+

120

⌋= 5

0,1902976=26,27artículos/día

3) Hallar el promedio de velocidad de operación de una operadora de teléfonos que durante 5 días en su jornada de trabajo que atendió la misma cantidad de llamadas, las realizó a: 480, 450, 460, 470 y 490 llamadas por día.

Solución:

X h= 5

⌊1

480+

1450

+1

460+

1470

+1

490⌋= 5

0,0106479=469,58 llamadas /día

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Armónica Simple:

1) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de de la siguiente producción por hora: 28, 24, 22, 26 y 28. Resp: 25,38

2) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de los siguientes km. por hora: 35, 40, 55 y 40. Resp: 41,34

3) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por día: 298, 284, 282, 265 y 288. Resp: 282,99

4) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por turno: 18, 14, 16, 18, 18 y 20. Resp: 17,11

5) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de los siguientes km. por hora: 150, 125, 120 y 100. Resp: 121,21

6) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por hora: 8, 9, 7, 10, 8 y 8. Resp: 8,23

7) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por día: 50, 54, 52, 56 y 46. Resp: 51,36

8) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por turno: 165, 174, 158, 160 y 158. Resp: 162,78

9) Hallar la media armónica o promedios de velocidad de la siguiente producción por semana: 2 820, 2 814, 2 822, 2 826 y 2 810. Resp: 2 818,39

3.1.3.2.- Media Armónica para Datos Agrupados:

La media armónica para datos agrupados, se utiliza cuando las variables compuestas de velocidad por la unidad de tiempo (Xi), tienen diferente importancia o ponderación.

Página 88


Cuando todas las velocidades corresponden a distancias o a cantidades de producción diferentes, o al menos una de ellas, la media armónica para datos agrupados se define de la siguiente manera:

X h= N

⌊f 1

X1

+f 2

X2

+. ..+f n

Xn

⌋ó Xh= N

∑i=1

n f i

X i

Donde:Xi = Variable de velocidad por la unidad de tiempofi = Distancia recorrida o producción realizadaN = Número total de datos.n = Número de veces que cambia el valor de la variable Ejercicios Resueltos:

1) Hallar la media armónica o promedio de velocidad de un ciclista que recorre: 100 kilómetros a 60 km. por hora, 150 km. a 70 km. por hora y 90 km. a 90 km. por hora.

Solución:

X h= 340

⌊10060

+15070

+9090

⌋= 340

1,66667+2,14286+1= 340

4,80953=70,69k /h

2) Hallar la media armónica o promedio de velocidad de operación de 5 operarias que producen: 450 artículos a 25 artículos por día, 340 artículos a 28 artículos por día, 500 artículos a 32 artículos por día, 420 artículos 30 artículos por día y 360 artículos a 20 artículos por día.

Solución:

X h= 2070

⌊45025

+34028

+50032

+42030

+36020

⌋= 2070

77,76786=26,62artículos /día

3) Hallar el promedio de velocidad de operación de una operadora de teléfonos, que durante 5 días, en su jornada de trabajo, en las mañanas atendió: 220 llamadas a 480 llamadas por día, 250 llamadas a 450 llamadas por día, 240 llamadas a 460 llamadas por día, 220 llamadas a 470 llamadas por día y 220 llamadas a 490 llamadas por día.

Solución:

X h= 1150

⌊220480

+250450

+240460

+220470

+220490

⌋= 1150

2,45269=468,87 llamadas /día

Página 89


4) Hallar la media armónica de la siguiente distribución de frecuencias referida a las unidades producidas por días:

Unidades fi455 465 30465 475 40475 485 30485 495 18495 505 12505 515 10515 525 5525 535 5

Solución:

X h=¿ 150 / 0,312215 = 480,44 unidades / día

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Media Armónica para Datos Agrupados:

1) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Unidades

225 235 235 245 245 255 255 265 265 275 275 285

fi 15 18 26 36 20 10Resp: 253,82

2) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Kilómetros 155 165 175 175 185 185 195 195 205 205 215 215 225

Página 90

Unidades fi Xi fi / Xi455 465 3

0460 0,065217

465 475 40

470 0,085106

475 485 30

480 0,062500

485 495 18

490 0,036735

495 505 12

500 0,024000

505 515 10

510 0,019608

515 525 5

520 0,009615

525 535 5 530 0,009434 Σ 15

00,312215


165fi 11 25 40 65 37 14 8

Resp: 187,24

3) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Unidades

800 820 820 840 840 860 860 880 880 900 900 920

fi 14 30 48 54 34 20Resp: 861,52

4) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 100 120 120 140 140 160 160 180 180 200 200 220fi 4 16 25 18 12 5

Resp: 154,16

5) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Kilogramos 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90

100100 110

fi 5 25 55 45 38 22 10Resp: 71,80

6) Hallar la media armónica utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 150 250 250 350 350 450 450 550 550 650 650 750fi 14 26 35 28 17 5

Resp: 372,42

Lección 2:

3.2.- OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL.

Entre los estadígrafos de posición, además de los promedios que tienden hacia el centro de todos los datos, existen otras medidas de resumen con las mismas tendencias, que son: la mediana y la moda. Mientras que la mediana se posiciona en el centro de los datos, la moda representa al o los datos de mayor frecuencia que en la práctica son datos centrales o tiene esa tendencia.

La Estadística utiliza estas medidas, para resolver algunas dificultades que los promedios pueden ocasionar, sobre todo cuando la influencia de valores extremos es muy fuerte, generando distorsión en la media aritmética.

3.2.1.- Mediana (Me):

Página 91


En el ámbito de la Estadística la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición, el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra o de la población. La mediana es una medida de localización o posición central y es igual a algunos cuantiles, porque coincide con ellos, tales como: el percentil 50, el cuartil 2 y el decil 5, entre los cuantiles más importantes.

La mediana es considerada estadísticamente como una medida no matemática, porque una vez que los datos han sido ordenados, se puede observar que el valor o dato que se ubica en el centro es la mediana, y si hay dos valores en el centro, la mediana es el promedio de ambos, porque la mediana es única dentro de un conjunto de datos.

Esta medida recobra importancia, cuando dentro de un conjunto de datos, existen valores muy extremos que hacen que la media aritmética pierda credibilidad, porque como el promedio es una medida de tendencia central, se aleja de esa posición siendo atraído hacia el lado del valor extremo.

3.2.1.1.- Mediana para Datos no Agrupados:

Para ubicar el valor de la mediana, considerando los datos u observaciones en forma individual, sin ser agrupados, primero se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, luego se suma uno al total de datos para dividirlo entre dos, determinando que dato u observación tiene la posición central, y el dato que quede en esa posición es la mediana.

Cuando la cantidad de datos es impar, (N + 1) / 2, la mediana es exactamente el dato del centro; en cambio, cuando la cantidad de datos es par, (N + 1) / 2, es un valor intermedio entre dos valores centrales; es este caso, la mediana es el promedio de los dos valores del centro, por que como ya se ha mencionado, todo conjunto de datos: muestra o población, solo tienen una mediana y una media aritmética.

Cuando los datos son individuales o no han sido agrupados, para hallar el valor mediana, solo basta saber cuál es su posición, además como la mediana no es un promedio, no importa si los datos tienen variación aritmética o variación geométrica, por lo tanto no necesita de una fórmula para ser hallada.


1) Hallar la mediana de: 158, 264, 78, 99, 157, 216 y 88.

Solución:

Ordenando los datos en forma creciente donde N = 7:

Posición

1 2 3 4 5 6 7

Dato 78 88 99 157 15 216 264

Página 92


8

Ubicación de la mediana = (N + 1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4

Me = es el dato de la posición 4 = 157

2) Hallar la mediana de: 1 508, 2 642, 978, 919, 1 058, 821, 625 y 1 000.

Solución:


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8

Dato 625 821

919 978 1 000 1 058 1 508 2 642

Ubicación de la mediana = (N + 1) / 2 = (8 + 1) / 2 = 4,5

El dato de la posición 4,5, es el promedio entre el dato 4 y el dato 5

Me = (978 + 1 000) / 2 = 989

3) Hallar la mediana de: 508, 647, 982, 969, 105, 828, 647, 325, 455 y 780.

Solución:


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dato 105 325 455

508 647 647 780

828 969 982

Ubicación de la mediana = (N + 1) / 2 = (10 + 1) / 2 = 5,5

El dato de la posición 5,5, es el promedio entre el dato 5 y el dato 6

Me = (647 + 647) / 2 = 647

En los casos de que los dos valores del centro sean iguales, ya no es necesario hallar el promedio entre ambos, por solo basta con tomar uno de ellos.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Mediana para Datos no Agrupados: 1) Hallar la mediana de: 45, 58, 45, 22 y 36. Resp: 45 2) Hallar la mediana de: 156, 158, 98, 44, 365 y 452. Resp: 157

Página 93


3) Hallar la mediana de: 17, 56, 12, 65, 37,82 y 44. Resp: 44

4) Hallar la mediana de: 148, 30, 66, 45, 58, 45, 22 y 36. Resp: 45

5) Hallar la mediana de: 415, 518, 475, 282 y 326. Resp: 415

6) Hallar la mediana de: 3 456, 1 231, 4 567, 5 345 y 2 457 Resp: 3 456

7) Hallar la mediana de: 15, 9, 25, 8, 7, 11, 17, 4, 5, 5, 8 y 6 Resp: 8

8) Hallar la mediana de: 14, 15, 19, 12, 14, 19, 15, 18 y 14 Resp: 15 9) Hallar la mediana de: 34 567 y 22 161 Resp: 28 364

10) Hallar la mediana de: 196, 458, 785, 518, 789, 215 y 775 Resp: 518

3.2.1.2.- Mediana para Datos Agrupados:

Para ubicar el valor de la mediana entre los datos agrupados en distribuciones de frecuencias, se divide el total de datos entre dos para encontrar la posición central que es donde se encuentra el valor de la mediana, en los casos de datos agrupados, no es necesario ordenar la información u observaciones, porque ya lo están.

Cuando los datos han sido agrupados, para hallar el valor mediana, no solo basta saber cuál es su posición, sino que además como la mediana se encuentra dentro de una clase o grupo de datos, para hallarla es necesario utilizar un proceso de interpolación, sin importar si los datos tienen variación aritmética o variación geométrica, la fórmula para la interpolación se define de la siguiente manera:

ESQUEMA DE INTERPOLACIÓN DE LA MEDIANA

N (Σ fi) e fi N / 2 Fi – 1

Página 94

Fundamento de Estadística Li Me Ls ClasesMe=Li+[ N /2−F i−1

f i]e

Donde:Li = Límite inferior de la clase donde está la mediana Ls = Límite superior de la clase donde está la mediana N = Número total de datosfi = Frecuencia absoluta de la clase donde está la mediana Fi – 1 = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la posición de la mediana.

e = Amplitud o tamaño de la clase donde está la mediana (e = Ls – Li)


1) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados:

Remunerac. 600 1000

1000 1400 1400 1800 1800 2200 2200 2600

2600 3000

fi 21 58 65 28 16 12

Solución:

Remuneraciones fi Fi

600 1 000 21 211 000 1 400 58 791 400 1 800 65 1441 800 2 200 28 1722 200 2 600 16 1882 600 3 000 12 200 Σ 200

Posición de la mediana: N / 2 = 200 / 2 = 100 (Tercera clase) Li = 1 400; N = 200; fi = 65; Fi – 1 = 79; e = 1 800 – 1 400 = 400

Me=Li+[ N /2−F i−1

f i]e=1 400+[ 100−79

65 ]400=1529,23


Ventas (en millones)

2 6 6 10 10 14 14 18

18 22 22 26

fi 16 22 62 40 36 24

Solución:

Página 95


Ventasen millones fi Fi

2 6 16 16 6 10 22 3810 14 62 10014 18 40 14018 22 36 17622 26 24 200 Σ 200

Posición de la mediana: N / 2 = 200 / 2 = 100 (Tercera clase)

Li = 10; N = 200; fi = 62; Fi – 1 = 38; e = 14 – 10 = 4

Me=Li+[ N /2−F i−1

f i]e=10+[ 100−38

62 ] 4=14


Alumnos

20 40 40 60 60 80 80 100 100 120

120 140 140 160

160 180

fi 4 16 36 40 26 19 5 4

Solución:

Alumnos fi Fi

20 40 4

4

40 60 16

20

60 80 36

56

80 100 40

96

100 120 26

122

120 140 19

141

140 160 5

146

160 180 4

150

Σ 150

Posición de la mediana: N / 2 = 150 / 2 = 75 (Cuarta clase)

Página 96


Li = 80; N = 150; fi = 40; Fi – 1 = 56; e = 100 – 80 = 20

Me=Li+[ N /2−F i−1

f i]e=80+[ 75−56

40 ]20=89,5

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Mediana para Datos Agrupados: 1) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados:

Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 10 18 26 36 20 15Resp: 157,36

2) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Jornales 55 65 65 75 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125fi 8 25 40 65 37 14 11

Resp: 89,15

3) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 20 30 48 54 34 14Resp: 1 407,41

4) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 1000 2000 2000

3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 6 16 25 18 10 5Resp: 3 720

5) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Pesos (Kg)

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110

fi 10 25 55 45 38 22 5Resp: 72,22

6) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 10 26 35 28 17 9

Resp: 4 257,14

Página 97


3.2.2.- Moda (Mo):

La moda es aquel valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, porque es la única medida estadística que se aplica a variable cualitativa, además no precisa la realización de ningún cálculo. El valor de moda en distribuciones discretas o cualitativas, no requiere de una explicación mayor; sin embargo, cuando se trata de distribuciones continuas, se precisa de todo un proceso interpolatorio.

Como medida de resumen, la moda es también la única que puede o no existir dentro de un conjunto de datos, y si existe, pueden observarse uno o más valores de moda, ya que como representa la mayor frecuencia, varios valores pueden tener la misma mayor frecuencia dentro del conjunto de datos. Si tienen los datos un valor de moda, es monomodal; si tienen dos, entonces será bimodal; si tienen tres, se dice que es trimodal y así sucesivamente.

3.2.2.1.- Moda para Datos no Agrupados:

La principal ventaja de esta medida de posición, es la simplicidad con que se obtiene, ya que representa a la observación de mayor frecuencia.

Por definición, la moda no es una medida matemática, por que cuando los datos no han sido agrupados, basta con ver que dato u observación se repite con más frecuencia, aunque se recomienda primero ordenarlos para verlos juntos y así determinar el o los valores de moda con más precisión.


1) Hallar la moda de los siguientes datos: 34, 26, 32, 26 y 20.

Ordenando: 20, 26, 26, 32, 34 Mo = 26

2) Hallar la moda de los siguientes datos: 32, 34, 26, 32, 26 y 20.

Ordenando: 20, 26, 26, 32, 32, 34 Mo = 26 y 32

3) Hallar la moda de los siguientes datos: 32, 34, 26, 32, 26, 34 y 20.

Ordenando: 20, 26, 26, 32, 32, 34, 34 Mo = 26, 32 y 34

4) Hallar la moda de los siguientes datos: 20, 32, 34, 26, 32, 26, 34 y 20.

Ordenando: 20, 20, 26, 26, 32, 32, 34, 34 Mo = No hay moda.

Página 98


El hecho de haber datos repetidos, no implica que necesariamente haya moda, en este último ejercicio, hay elementos repetidos pero no hay moda, debido a que todos se repiten exactamente en la misma cantidad, y para que haya moda, al menos una de las repeticiones debe ser distinta (Con los datos ordenados es más fácil identificar la moda).

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando la Moda para Datos no Agrupados: 1) Hallar la moda de los siguientes datos: 1 458, 1 589, 1 251, 1651, 1452, 1 458, 1 251,

1 589, 1 458, 1 651, 1 920 y 1 325. Resp: 1 458.

2) Hallar la moda de los siguientes datos: 6, 12, 10, 6, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 6, 9, 6, 7 Resp: 6.

3) Hallar la moda de los siguientes datos: 1 852, 1 857, 2 187, 1 587, 1 528, 1 678, 1 897 Resp: Sin Mo.

4) Hallar la moda de los siguientes datos: 76, 79, 75, 79, 88, 87, 88, 79, 88 Resp: 79 y 88.

3.2.2.2.- Moda para Datos Agrupados:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, antes de determinar la moda habrá que localizar el intervalo que lo contiene o sea el intervalo modal. En los casos de que los intervalos sean de igual amplitud, el intervalo modal es donde se da la mayor frecuencia. En casos de distinta amplitud es donde se da la mayor función de densidad; en este texto solo se trabajará con intervalos de igual tamaño o amplitud.

La principal desventaja que tiene la moda, es que solo considera el valor que más se repite, sin considerar la incidencia de los restantes.

ESQUEMA DE INTERPOLACIÓN DE LA MODA

fi e fi – 1 fi + 1

Página 99


Li Mo Ls ClasesMo=Li+¿

Donde:Li = Límite inferior de la clase donde está la moda Ls = Límite superior de la clase donde está la moda N = Número total de datosfi = Frecuencia absoluta de la clase donde está la moda fi – 1 = Frecuencia absoluta de la clase anterior a la posición de la moda. fi + 1 = Frecuencia absoluta de la clase posterior a la posición de la moda.

e = Amplitud o tamaño de la clase donde está la moda (e = Ls – Li) Si (fi – fi – 1) = ∆1 y (fi – fi + 1) = ∆2 ; entonces la interpolación de la moda se puede

definir de la siguiente manera:

Mo=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e


1) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados:

Remuneraciones fi

600 1 000 211 000 1 400 581 400 1 800 651 800 2 200 282 200 2 600 162 600 3 000 103 000 3 400 2 Σ 200

Posición de la moda está en la tercera clase porque tiene la mayor frecuencia absoluta. Mo = ? Li = 1 400; fi = 65; fi – 1 = 58; fi + 1 = 28; e = 1 800 – 1 400 = 400 ∆1 = 65 – 58 = 7 ∆2 = 65 – 28 = 37

Mo=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=1 400+[ 7

7+37 ]400=1 463,64

Página 100



Ventasen millones fi

2 6 16 6 10 2410 14 5014 18 5018 22 3622 26 24 Σ 200

Hay dos modas que se posicionan en la tercera y en la cuarta clase.

Mo1 = ? Li = 10; fi = 50; fi – 1 = 24; fi + 1 = 50; e = 10 – 14 = 4 ∆1 = 50 – 24 = 26 ∆2 = 50 – 50 = 0

Mo1=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=10+[ 26

26+0 ] 4=14

Mo2 = ? Li = 14; fi = 50; fi – 1 = 50; fi + 1 = 36; e = 14 – 18 = 4

∆1 = 50 – 50 = 0 ∆2 = 50 – 36 = 14

Mo2=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=14+[ 0

0+14 ]4=14

Observe que no hay dos modas, solo hay una; esto sucede siempre cuando los valores de moda están juntos, por la interpolación ve las dos clases iguales y juntas como una sola.


Alumnos fi

20 40 4 40 60 15 60 80 20 80 100 38100 120 26120 140 38140 160 5160 180 4 Σ 150

Página 101


Como la máxima frecuencia es 38 que se repite en la cuarta y sexta clase, hay dos modas que se posicionan en dichas clases.

Mo1 = ? Li = 80; fi = 38; fi – 1 = 20; fi + 1 = 26; e = 100 – 80 = 20

∆1 = 38 – 20 = 18 ∆2 = 38 – 26 = 12

Mo1=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=80+[ 18

18+12 ]20=92

Mo2 = ? Li = 120; fi = 38; fi – 1 = 26; fi + 1 = 5; e = 140 – 120 = 20

∆1 = 38 – 26 = 12 ∆2 = 38 – 5 = 33

Mo2=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=120+[ 12

12+33 ]20=125,33

Ahora al encontrase las dos modas separadas, el proceso interpolatorio puede distinguir realmente que hay dos valores de modas.

Mo1=92 y Mo2=125,33


Producción fi

2 000 6 000 6 6 000 10 000 1410 000 14 000 2014 000 18 000 3018 000 22 000 1622 000 26 000 14 Σ 100

Posición de la moda está en la cuarta clase porque tiene la mayor frecuencia absoluta. Mo = ? Li = 14 000; fi = 30; fi – 1 = 20; fi + 1 = 16; e = 18 000 – 14 000 = 4 000

∆1 = 30 – 20 = 10 ∆2 = 30 – 16 = 14

Mo=Li+[ ∆1

∆1+∆2]e=10+[ 26

26+0 ]4=14

Página 102


Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Moda para Datos Agrupados: 1) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados:

Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 10 18 26 36 20 15Resp: 158,85

2) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Jornales 55 65 65 75 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125fi 8 25 40 65 37 14 11

Resp: 89,72

3) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 20 30 48 54 34 14Resp: 1 446,15

4) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 1000 2000 2000

3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 6 16 25 18 10 5Resp: 3 562,5

5) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Pesos (Kg)

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110

fi 10 25 55 30 55 22 5Resp: 65,45 y 84,31

6) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 10 26 35 35 10 9

Resp: 4 500,00

7) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000fi 20 54 48 34 30 14

Resp: 1 170,00

8) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Utilidade 1000 2000 3000 3000 4000 5000 5000 6000 7000

Página 103


s 2000 4000 6000fi 6 10 16 23 30 15

Resp: 5 318,18

Lección 3:

3.3.- CUANTILES.

Son un grupo de medidas estadísticas de posición o de localización, que no tienen una tendencia hacia el centro, con excepción de: el cuartil 2, el decil 5 y el percentil 50; porque son iguales a la mediana, por lo tanto son medidas que se localizan en el centro.

El cuantil es un valor o dato que se encuentra en una posición definida, por lo tanto, para hallar un cuantil, primero se ve en qué posición se localiza y luego se toma el valor localizado. Si la posición del cuantil no es exacta, es necesaria una interpolación para determinar su valor, en caso contrario se toma el valor de la posición.

Existe una gran variedad de cuantiles, pero los mayormente usados por Estadística, son:

3.3.1.- Cuartiles (Qi):

Representan la cuarta parte de los datos, producto de dividir la totalidad de los datos en 4 partes iguales. Los cuartiles son tres, que a partir del primer dato ordenado, se ubican: al 25% (Cuartil1), al 50% (Cuartil 2) y al 75% (Cuartil 3).

Los cuartiles pueden ser hallados, tanto de datos no agrupados, como de datos agrupados.

3.3.1.1.- Cuartiles para Datos no Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos no se encuentran agrupados, la posición o localización de los tres cuartiles, es:

Q1 = 1(N+1) / 4; Q2 = 2(N+1) / 4 y Q3 = 3(N+1) / 4

Página 104


Si la posición es exacta, se toma el valor o dato de la posición; en caso contrario, el cuartil es hallado mediante la siguiente interpolación: Se toma el dato de la posición considerando solo la parte entera, más el producto de la parte decimal por la diferencia del dato tomado con el dato siguiente.

En todos los casos de interpolación para datos no agrupados, si la posición buscada es inferior a 1, se toma el primer dato; y, si la posición buscada es superior a la posición del último dato, se toma este último.


1) Hallar todos los cuartiles con los siguientes datos: 125, 536, 485, 789, 584, 725 y 649. Solución:


Posición

1 2 3 4 5 6 7

Dato 125 485

536 584

649 725

789

Ubicación del cuartil 1: Q1 = 1(N + 1) / 4 = 1(7 + 1) / 4 = 2

Q1 = es el dato de la posición 2 = 485





2) Hallar el cuartil 3 con los siguientes datos : 25, 36, 37, 52, 67, 19, 33, 50, 62, 44, 58 y 61


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

Dato 19 25 33 36

37 44 50

52 58 61 62

67

Ubicación del cuartil 3: Q3 = 3(N + 1) / 4 = 3(12 + 1) / 4 = 9,75

Interpolación del Q3 = 58 + 0,75(61 – 58) = 60,25

Página 105


En la interpolación de la posición 9,75, se ha tomado el dato 9 (58), más 0,75 de la diferencia del dato 10 (61) menos el dato 9 (58).

3) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos no agrupados: 56, 62, 74, 22, 71, 59, 33, 58, 63, 44, 38, 51, 68 y 61


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14

Dato 22 33 38 44 51 56 58 59 61 62 63

68 71 74

Ubicación del cuartil 1: Q1 = 1(N + 1) / 4 = 1(14 + 1) / 4 = 3,75

Interpolación del Q1 = 38 + 0,75(44 – 38) = 42,5.Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Cuartiles para Datos no Agrupados: 1) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos: 96, 105, 116, 88, 75, 110 y 127.

Resp: 116

2) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos: 24, 26, 28, 31, 33, 24, 28, 27 y 22.Resp: 24

3) Hallar el cuartil 2 utilizando los siguientes datos: 85, 74, 76, 58, 54, 62, 45, 77, 87.Resp: 74

4) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos: 252, 264, 287, 264, 268, 278, 281, 276 y 295. Resp: 284

5) Hallar el cuartil 2 utilizando los siguientes datos: 1 568, 1 578, 1 548, 1 548, 1 577, 1 564, 1 255, 1 549, 1 578, 1 571 y 1 562. Resp: 1 564

6) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos: 24 156, 24 564, 24 854, 24 645, 24 178, 24 541, 24 678, 24 857, 24 624, 24 167 y 24 457. Resp: 24 178

3.3.1.2.- Cuartiles para Datos Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos se encuentran agrupados, la posición o localización de los tres cuartiles, es:

Q1 = 1N / 4; Q2 = 2N / 4 y Q3 = 3N / 4

Una vez localizada la posición del cuartil, se procede a utilizar el mismo procedimiento interpolatorio de la mediana para datos agrupados, pero esta vez se realizará con la posición del cuartil.

Página 106


Qi=Li+[ Posición−F i−1

f i]e

Donde:Posición = Número del cuartil por “N” entre 4Li = Límite inferior de la clase donde está el cuartil Ls = Límite superior de la clase donde está el cuartil N = Número total de datosfi = Frecuencia absoluta de la clase donde está el cuartil Fi – 1 = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la posición del cuartil.

e = Amplitud o tamaño de la clase donde está el cuartil (e = Ls – Li) Ejercicios Resueltos:

1) Hallar los cuartiles: 1, 2 y 3; utilizando los siguientes datos agrupados: Remuneraciones fi Fi

600 1 000 21 211 000 1 400 58 791 400 1 800 65 1441 800 2 200 28 1722 200 2 600 16 1882 600 3 000 10 1983 000 3 400 2 200 Σ 200

Posición del cuartil 1: 1N / 4 = 1(200) / 4 = 50

Li = 1 000; N = 200; fi = 58; Fi – 1 = 21; e = 1 400 – 1 000 = 400

Q1=Li+[ Posición−F i−1

f i]e=1 000+[ 50−21

58 ]400=1 200,00


Li = 1 400; N = 200; fi = 65; Fi – 1 = 79; e = 1 800 – 1 400 = 400


f i]e=1 400+[ 100−79

65 ]400=1529,23


Li = 1 800; N = 200; fi = 28; Fi – 1 = 144; e = 2 200 – 1 800 = 400

Página 107



f i]e=1 800+[ 150−144

28 ]400=1885,71

2) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos no agrupados: Dividendos fi Fi

1 600 2 000 21 212 000 2 400 78 992 400 2 800 85 1842 800 3 200 48 2323 200 3 600 36 2683 600 4 000 20 2884 000 4 400 12 300 Σ 300


Li = 2 800; N = 300; fi = 48; Fi – 1 = 184; e = 3 200 – 2 800 = 400


f i]e=2 800+[ 225−184

48 ]400=3 141,67

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Cuartiles para Datos Agrupados: 1) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos agrupados:

Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 10 18 26 36 20 15Resp: 146,25

2) Hallar el cuartil 2 utilizando los siguientes datos agrupados: Jornales 55 65 65 75 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125fi 8 25 40 65 37 14 11

Resp: 89,15

3) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 20 30 48 54 34 14Resp: 1 592,59

4) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 1000 2000 2000

3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 6 16 25 18 10 5Resp: 2 875,00

Página 108


5) Hallar el cuartil 2 utilizando los siguientes datos agrupados: Pesos (Kg)

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110

fi 10 25 55 30 55 20 5Resp: 73,33

6) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 10 26 35 35 10 9

Resp: 5 150,00

7) Hallar el cuartil 1 utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000fi 20 54 48 34 30 14

Resp: 1 111,11

8) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos agrupados: Utilidades

1000 2000

2000 3000 3000 4000

4000 5000 5000 6000

6000 7000

fi 6 10 16 23 30 15Resp: 5 666,67

3.3.2.- Deciles (Di):

Representan la décima parte de los datos, producto de dividir la totalidad de los datos en 10 partes iguales. Los deciles son nueve, que a partir del primer dato ordenado, se ubican: al 10% (decil1), al 20% (decil 2) y así sucesivamente hasta el último, al 90% (decil 9).

Los deciles pueden ser hallados, tanto de datos no agrupados, como de datos agrupados.

3.3.2.1.- Deciles para Datos no Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos no se encuentran agrupados, la posición o localización de los nueve deciles, es:

D1 = 1(N+1) / 10; D2 = 2(N+1) / 10; D3 = 3(N+1) / 10 . . . D9 = 9(N+1) / 10

Si la posición es exacta, se toma el valor o dato de la posición; en caso contrario, el decil es hallado mediante la misma interpolación del cuartil para datos no agrupados.


1) Hallar los deciles 4 y 7 utilizando los siguientes datos no agrupados: 156, 122, 159, 133, 158, 144, 138, 151, y 161

Página 109



Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9Dato 12

2133 138 14

4151 156 15

8159 161

Ubicación del decil 4: D4 = 4(N + 1) / 10 = 4(9 + 1) / 10 = 4

D4 = es el dato de la posición 4 = 144 Ubicación del decil 7: D7 = 7(N + 1) / 10 = 7(9 + 1) / 10 = 7

D7 = es el dato de la posición 7 = 158 2) Hallar el decil 6 utilizando los siguientes datos no agrupados: 58, 62, 77, 28, 71, 59, 35,

58, 63, 44, 38, 51, 68 y 61

Ordenando los datos en forma creciente donde N = 14:Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14

Dato 28 35 38 44 51 58 58 59 61 62 63

68 71 77

Ubicación del decil 6: D6 = 6(N + 1) / 10 = 6(14 + 1) / 10 = 9 D6 = es el dato de la posición 9 = 61

3) Hallar el decil 8 utilizando los siguientes datos no agrupados: 38, 16, 27, 28, 21, 21, 31, 19, 13, 24, 28, 15, 18, 27, 26 y 31

Ordenando los datos en forma creciente donde N = 16:Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Dato 13 1

516 18 19 21 21 24 26 27 27 28 28 31 31 38

Ubicación del decil 8: D8 = 8(N + 1) / 10 = 8(16 + 1) / 10 = 13,6

Interpolación del D8 = 28 + 0,6(31 – 28) = 29,8

4) Hallar el decil 3 utilizando los siguientes datos no agrupados: 564, 572, 545, 459, 468, 497, 485, 651, 612 y 542.

Ordenando los datos en forma creciente donde N = 10:Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dato 459 468 485

497 542 545 564

572 612 651

Página 110


Ubicación del decil 3: D3 = 3(N + 1) / 10 = 3(10 + 1) / 10 = 3,3

Interpolación del D3 = 485 + 0,3(497 – 485) = 488,6

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Deciles para Datos no Agrupados: 1) Hallar el decil 3 utilizando los siguientes datos: 196, 105, 116, 188, 175, 110 y 127.

Resp: 112,4

2) Hallar el decil 7 utilizando los siguientes datos: 34, 46, 38, 41, 33, 44, 38, 47 y 32.Resp: 44

3) Hallar el decil 9 utilizando los siguientes datos: 85, 74, 76, 58, 54, 62, 45, 77, 87, 67.Resp: 86,8

4) Hallar el decil 2 utilizando los siguientes datos: 252, 264, 287, 264, 268, 278, 281, 276 y 295, 274 y 269. Resp: 264

5) Hallar el decil 6 utilizando los siguientes datos: 1 568, 1 578, 1 548, 1 548, 1 577, 1 564, 1 255, 1 549, 1 578, 1 573 y 1 562. Resp: 1 569

6) Hallar el decil 8 utilizando los siguientes datos: 24 156, 24 564, 24 854, 24 645, 24 178, 24 541, 24 678, 24 857, 24 624, 24 167 y 24 457. Resp: 24 783,6

3.3.2.2.- Deciles para Datos Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos se encuentran agrupados, la posición o localización de los nueve deciles, es:

D1 = 1N / 10; D2 = 2N / 10; D3 = 3N / 10 . . . D9 = 9N / 10

Una vez localizada la posición del decil, se procede a utilizar el mismo procedimiento interpolatorio de la mediana para datos agrupados, pero esta vez se realizará con la posición del decil.

Di=Li+[ Posición−F i−1

f i]e

Donde:Posición = Número del decil por “N” entre 10Li = Límite inferior de la clase donde está el decil Ls = Límite superior de la clase donde está el decil fi = Frecuencia absoluta de la clase donde está el decil

Página 111


Fi – 1 = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la posición del decil.e = Amplitud o tamaño de la clase donde está el decil (e = Ls – Li)


1) Hallar los deciles: 1, 5 y 8; utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas (en Miles)

fi Fi

5 600 6 000 121 1216 000 6 400 158 2796 400 6 800 265 5446 800 7 200 128 6727 200 7 600 116 7887 600 8 000 110 8988 000 8 400 102 1 000 Σ 1 000

Posición del decil 1: 1N / 10 = 1(1 000) / 10 = 100

Li = 5 600; N = 1 000; fi = 121; Fi – 1 = 0; e = 6 000 – 5 600 = 400

D1=Li+[ Posición−F i−1

f i]e=5600+[ 100−0

121 ]400=5930,58


Li = 6 400; N = 1 000; fi = 265; Fi – 1 = 279; e = 6 800 – 6 400 = 400


f i]e=6 400+[ 500−279

265 ]400=6 733,58


Li = 7 600; N = 1 000; fi = 110; Fi – 1 = 788; e = 8 000 – 7 600 = 400


f i]e=7600+[ 800−788

110 ]400=7 643,64

2) Hallar el decil 7 utilizando los siguientes datos no agrupados: Consumos fi Fi

1 600 1 900 21 211 900 2 200 78 992 200 2 500 85 1842 500 2 800 48 2322 800 3 100 36 2683 100 3 400 20 288

Página 112


3 400 3 700 12 300 Σ 300

Posición del decil 7: 7N / 10 = 7(300) / 10 = 210 Li = 2 500; N = 300; fi = 48; Fi – 1 = 184; e = 2 800 – 2 500 = 300


f i]e=2500+[ 210−184

48 ]300=2 662,50

Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Deciles para Datos Agrupados: 1) Hallar el decil 1 utilizando los siguientes datos agrupados:

Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 10 18 26 36 20 15Resp: 136,39

2) Hallar el decil 2 utilizando los siguientes datos agrupados: Toneladas

55 65

65 75 75 85

85 95 95 105

105 115 115 125

fi 8 25 40 65 37 14 11Resp: 76,75

3) Hallar el decil 3 utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 20 30 48 54 34 14Resp: 1 241,67

4) Hallar el decil 4 utilizando los siguientes datos agrupados: Produc. 1000

20002000 3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 6 16 25 18 10 5Resp: 3 400,00

5) Hallar el decil 6 utilizando los siguientes datos agrupados: Evaluaciones 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110fi 10 25 55 30 55 20 5

Resp: 80,00

6) Hallar el decil 7 utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 500 1500 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500fi 10 26 35 35 10 9

Resp: 3 971,43

Página 113


7) Hallar el decil 8 utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas

80 100 100 120 120 140 140 160 160 180 180 200

fi 6 44 32 24 10 4Resp: 151,67

8) Hallar el decil 9 utilizando los siguientes datos agrupados: Utilidades

3000 4000

4000 5000 5000 6000

6000 7000 7000 8000

8000 9000

fi 16 30 46 43 40 25Resp: 8 200,00

3.3.3.-Percentiles (Pi):

Representan la centésima parte de los datos, producto de dividir la totalidad de los datos en 100 partes iguales. Los percentiles son noventainueve, que a partir del primer dato ordenado, se ubican: al 1% (percentil1), al 2% (percentil 2) y así sucesivamente hasta el último, al 99% (percentil 99).

Los percentiles pueden ser hallados, tanto de datos no agrupados, como de datos agrupados.

3.3.3.1.- Percentiles para Datos no Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos no se encuentran agrupados, la posición o localización de los noventainueve percentiles, es:

P1 = 1(N+1) / 100; P2 = 2(N+1) / 100; P3 = 3(N+1) / 100 . . . P99 = 99(N+1) / 100

Si la posición es exacta, se toma el valor o dato de la posición; en caso contrario, el percentil es hallado mediante la misma interpolación del cuartil o decil para datos no agrupados.Ejercicios Resueltos:

1) Hallar los percentiles 19 y 67 utilizando los siguientes datos no agrupados: 15, 6, 1, 22, 15, 9, 13, 3, 15, 8, 14, 4, 13, 8, 15, 1, 16, 10 y 19


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12

13 14 15

16 17

18 19

Dato 1 1 3 4 6 8 8 9 10 13

13 14

15 15 15

15 16

19 22

Ubicación del percentil 19: P19 = 19(N + 1) / 100 = 19(19 + 1) / 100 = 3,8

Página 114


Interpolación del P19 = 3 + 0,8(4 – 3) = 3,8 Ubicación del percentil 67: P67 = 67(N + 1) / 100 = 67(19 + 1) / 100 = 13,4

Interpolación del P67 = 15 + 0,4(15 – 15) = 15 2) Hallar los percentiles 52 y 91utilizando los siguientes datos no agrupados: 58, 62, 77, 28,

71, 59, 35, 58, 63, 44, 38, 51, 68 y 61


Posición

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14

Dato 28 35 38 44 51 58 58 59 61 62 63

68 71 77


Interpolación del P52 = 58 + 0,8(59 – 58) = 58,8


Interpolación del P91 = 71 + 0,65(77 – 71) = 74,9

3) Hallar los percentiles 85 y 48 utilizando los siguientes datos no agrupados: 38, 16, 27, 28, 21, 21, 31, 19, 13, 24, 28, 15, 18, 27, 26 y 31


Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Dato 13 1

516 18 19 21 21 24 26 27 27 28 28 31 31 38


Interpolación del P85 = 31 + 0,45(31 – 31) = 31


Interpolación del P48 = 24 + 0,16(26 – 24) = 24,32 Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Percentiles para Datos no Agrupados: 1) Hallar el percentil 23 utilizando los siguientes datos: 158, 162, 196, 105, 116, 188, 175,

110 y 127. Resp: 111,8

2) Hallar el percentil 37 utilizando los siguientes datos: 34, 46, 38, 41, 33, 44, 38, 47 y 32.

Página 115


Resp: 36,8

3) Hallar el percentil 59 utilizando los siguientes datos: 85, 74, 76, 58, 54, 62, 45, 77, 87, 67.Resp: 74,98

4) Hallar el percentil 78 utilizando los siguientes datos: 152, 164, 187, 164, 168, 178, 181, 276, 295, 274 y 269. Resp: 274,72

5) Hallar el percentil 82 utilizando los siguientes datos: 252, 264, 287, 264, 268, 278, 281, 361, 355, 349 y 367. Resp: 360,04

6) Hallar el percentil 66 utilizando los siguientes datos: 1 568, 1 578, 1 548, 1 548, 1 577, 1 564, 1 255, 1 549, 1 578, 1 573 y 1 562. Resp: 1 572,6

7) Hallar el percentil 18 utilizando los siguientes datos: 24 156, 24 564, 24 854, 24 645, 24 178, 24 541, 24 678, 24 857, 24 624, 24 167 y 24 457. Resp: 24 168,76

3.3.3.2.- Percentiles para Datos Agrupados:

Cuando la información o conjunto de datos se encuentran agrupados, la posición o localización de los noventainueve percentiles, es:

P1 = 1N / 100; P2 = 2N / 100; P3 = 3N / 100 . . . P99 = 99N / 100

Una vez localizada la posición del percentil, se procede a utilizar el mismo procedimiento interpolatorio de la mediana para datos agrupados, pero esta vez se realizará con la posición del percentil.

Pi=Li+[ Posición−F i−1

f i]e

Donde:Posición = Número del percentil por “N” entre 100Li = Límite inferior de la clase donde está el percentil Ls = Límite superior de la clase donde está el percentil N = Número total de datosfi = Frecuencia absoluta de la clase donde está el percentil Fi – 1 = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la posición del percentil.e = Amplitud o tamaño de la clase donde está el percentil (e = Ls – Li)


1) Hallar los percentiles: 21, 62 y 93; utilizando los siguientes datos agrupados:

Remuneraciones fi Fi

600 1 000 21 211 000 1 400 58 79

Página 116


1 400 1 800 65 1441 800 2 200 28 1722 200 2 600 16 1882 600 3 000 10 1983 000 3 400 2 200 Σ 200

Posición del percentil 21: 21N / 100 = 21(200) / 100 = 42

Li = 1 000; N = 200; fi = 58; Fi – 1 = 21; e = 1 400 – 1 000 = 400

P21=Li+[ Posición−F i−1

f i]e=1 000+[ 42−21

58 ]400=1 144,83


Li = 1 400; N = 200; fi = 65; Fi – 1 = 79; e = 1 800 – 1 400 = 400


f i]e=1 400+[ 124−79

65 ]400=1676,92


Li = 2 200; N = 200; fi = 16; Fi – 1 = 172; e = 2 600 – 2 200 = 400


f i]e=2 200+[ 186−172

16 ]400=2 550,00

2) Hallar el percentil 33 utilizando los siguientes datos no agrupados:

Dividendos fi Fi

1 600 2 000 21 212 000 2 400 78 992 400 2 800 85 1842 800 3 200 48 2323 200 3 600 36 2683 600 4 000 20 2884 000 4 400 12 300 Σ 300

Posición del percentil 33: 33N / 100 = 33(300) / 100 = 99 Li = 2 000; N = 300; fi = 78; Fi – 1 = 21; e = 2 400 – 2 000 = 400


f i]e=2 000+[ 99−21

78 ] 400=2 400,00

Página 117


Resolver los siguientes ejercicios propuestos, utilizando Percentiles para Datos Agrupados: 1) Hallar el percentil 95 utilizando los siguientes datos agrupados:

Estaturas

125 135 135 145 145 155 155 165 165 175 175 185

fi 10 18 26 36 20 15Resp: 180,83

2) Hallar el percentil 82 utilizando los siguientes datos agrupados: Jornales 55 65 65 75 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125fi 8 25 40 65 37 14 11

Resp: 102,03

3) Hallar el percentil 73 utilizando los siguientes datos agrupados: Sueldos

800 1000 1000 1200 1200 1400

1400 1600 1600 1800 1800 2000

fi 20 30 48 54 34 14Resp: 1 577,78

4) Hallar el percentil 61 utilizando los siguientes datos agrupados: Pedidos 1000 2000 2000

3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 6000 7000

fi 6 16 25 18 10 5Resp: 4 100,00

5) Hallar el percentil 42 utilizando los siguientes datos agrupados: Pesos (Kg)

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110

fi 10 25 55 30 55 20 5Resp: 68,91

6) Hallar el percentil 37 utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 5500 6500 6500 7500fi 10 26 35 35 10 9

Resp: 3 792,86

7) Hallar el percentil 21 utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000fi 20 54 48 34 30 14

Resp: 1 081,48

8) Hallar el percentil 16 utilizando los siguientes datos agrupados: Utilidades

1000 2000

2000 3000 3000 4000

4000 5000 5000 6000

6000 7000

fi 6 10 16 23 30 15Resp: 3 000,00

Página 118


PRUEBA AUTOEVALUATIVA DE LA TERCERA UNIDAD

1) ¿Cuál es el promedio de edad de una familia de 5 miembros, cuyas edades son: 3, 12, 17, 39 y 44 años?

A) 24 B) 30 C) 29 D) 23 E) 26

2) Un alumno ha sido evaluado con los siguientes calificativos: 10, 16, 18, 11, 12 y 13. Si las cuatro primeras evaluaciones corresponden a notas de prácticas, la quinta es un examen que vale el doble que una práctica y la última es otro examen que vale el doble que el examen anterior. ¿Cuál es el promedio final del alumno?

A) 12,22 B) 12,94 C) 13,10 D) 14,15 E) 13,85

3) Hallar la media aritmética utilizando los siguientes datos agrupados: Utilidades

1000 1500

1500 2000 2000 2500

2500 3000 3000 3500

3500 4000

fi 15 30 23 16 10 6

A) 2 220 B) 3 025 C) 2 918 D) 2 233 E) 3 251

4) Si las entradas para el futbol cuestan: 40 soles para adultos y 5 soles para niños, ¿cuál es la proporción de adultos pagantes para ver el futbol si el promedio fue de 12 soles?

A) 29,44% B) 20.00% C) 21,22% D) 28,36 E) 26,16%

5) ¿Cuál es el promedio geométrico de las variaciones anuales de una cuenta de ahorros sujeta a interés compuesto, si las variaciones son: 2 458, 2615,22, 2 815,45, 3014,17 y 3 312,26?

A) 2 944,46 B) 2 827,39 C) 2 719,92 D) 2 189,96 E) 2 616,17

6) Hallar la media geométrica utilizando los siguientes datos agrupados: Depósitos 1000 1500 1500 2000 2000 2500 2500

30003000 3500 3500 4000

fi 18 45 88 36 20 13

A) 2 243,16 B) 2 150,25 C) 2 718,56 D) 3 012,15 E) 3 123,22 7) Un ciclista realiza tres veces el mismo recorrido ¿Cuál es el promedio de velocidad, si va a:

85, 90 y 60 Km por hora?

A) 76,22 km/h B) 80,12 km/h C) 79,94 km/h D) 81,15 km/h E) 75,87 km/h.

8) Hallar la media armónica o promedio de velocidad de operación de 5 operarias que producen: 350 artículos a 25 artículos por día, 320 artículos a 28 artículos por día, 320

Página 119


artículos a 32 artículos por día, 380 artículos 30 artículos por día y 360 artículos a 20 artículos por día.

A) 29,28 art/día B) 20,18 art/día C) 19,81 art/día D) 20,16 art/día E) 26,17 art/día.9) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos: 1 568, 1 578, 1 548, 1 548, 1 577, 1 564,

1 255, 1 549, 1 578, 1 573 1 587 y 1 562.

A) 1 566 B) 1 573 C) 1 564 D) 1 568 E) 1 562

10) Hallar la mediana utilizando los siguientes datos agrupados: Azúcar (Kg)

140 145 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170

fi 10 18 28 40 34 20

A) 149,254 B) 147,253 C) 157,375 D) 148,125 E) 152,150

11) Hallar la moda utilizando los siguientes datos agrupados: Avena (Kg)

140 145 145 150 150 155 155 160 160 165 165 170

fi 8 20 28 40 32 22

A) 157 B) 158 C) 155 D) 159 E) 156

12) Hallar el cuartil 3 utilizando los siguientes datos agrupados: Producción 1800 2000 2000 2200 2200 2400 2400 2600 2600 2800fi 25 40 80 45 10

A) 2 541,45 B) 2 425,30 C) 2 395,58 D) 2 422,22 E) 2 512,15

13) Hallar el decil 7 utilizando los siguientes datos agrupados: Compras 80 100 100 120 120 140 140 160 160

180180 200 200 220

fi 15 36 62 41 30 14 12

A) 154,54 B) 147,25 C) 149,45 D) 151,12 E) 156,59

14) Hallar el percentil 65 utilizando los siguientes datos: 748, 758, 723, 756, 718, 719, 722, 735, 734, 782, 756, 727, 741, 745, 766, 771, 763, 790 y 756,

A) 748 B) 756 C) 758 D) 763 E) 766

15) Hallar el percentil 34 utilizando los siguientes datos agrupados: Ventas 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800 1800 2000fi 20 54 48 34 30 14

A) 1 049,54 B) 1 407,25 C) 1 125,17 D) 1 074,07 E) 1152,15

Página 120


Clave de respuestas de la prueba auto evaluativa de la tercera unidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14

15

D C A B B A E E A C B D E B D

GLOSARIO

Antilogaritmo: Es la inversa del logaritmo, porque es la base que tiene como potencia el logaritmo.

Cálculo algebraico: Se refiere a las operaciones matemáticas.

Datos Agrupados: Es un conjunto de datos que ha sido ordenado en tablas de distribución de frecuencias.

Logaritmo: Es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Todo logaritmo tiene como base a un número mayor de 1, y el logaritmo mayormente utilizado es el logaritmo vulgar cuya base es 10.

Observación: En Estadística, observación es sinónimo de dato.

Sumando: Es un valor que se habrá de agregar, aunque algunas veces también puede disminuir.

Teoría de los Sondeos: Es una medición tomada a partir de encuestas destinadas a conocer la opinión pública. Estas mediciones se realizan por medio de muestreos que, usualmente, están diseñados para representar las opiniones de una población llevando a cabo una serie de preguntas. Es un sondeo de opinión.


http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm

http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml

Página 121


http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica

Página 122

Documents

$Libro.fundament.estad.1