Lic. Christian Meruvia M. · Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676 2 1.1 Definición de álgebra Es la parte de la matemática

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1.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA

1.2 TÉRMINOS SEMEJANTES

1.3 PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.5 SUMA Y RESTA

1.6 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

1.7 LA FACTORIZACIÓN

1.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1.9 SIMPLIFICACIÓN

1.10 FRACCIONES COMPLEJAS

1.11 VALOR NUMÉRICO

1.12 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Lic. Christian Meruvia M.

INSTITUTO C.E.P.I. CENTRO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA INTEGRAL

CURSOS PREUNIVERSITARIOS

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1.1 Definición de álgebra

Es la parte de la matemática que generaliza las operaciones utilizando letras, símbolos y números para

este efecto. Se consideraba que el álgebra era la extensión de la aritmética la cual utiliza solo números,

pero hoy en día se sabe que ciertas partes del álgebra no son relacionadas con la aritmética (álgebra

abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Generalmente las letras que denotan a las variables (cantidades desconocidas) son las letras x,y,z,u,v,w

entre otras. Las letras que generalmente se utilizan como constantes pueden ser las letras a,b,c,d,m,n

entre otras.

1.2 Términos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, solo los términos semejantes se pueden sumar y restar

entre sí, para esto se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ejemplos:

a) 5𝑥, −2𝑥,1

2𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “x”

b) −8𝑥3𝑦5, 7𝑥3𝑦5, 10𝑥3𝑦5 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “𝑥3𝑦5”

c) 4√𝑥, −6√𝑥, √𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “√𝑥” d) 2(𝑎 − 𝑏), −(𝑎 − 𝑏), 4(𝑎 − 𝑏) son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “(𝑎 − 𝑏)” e) 5 ∙ 3𝑥, −4 ∙ 3𝑥 , 8 ∙ 3𝑥 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal o sea “3𝑥”

1.3 Partes de un término algebraico EXPONENTES

SIGNO −3 𝑥2𝑦3

COEFICIENTE PARTE LITERAL

1.4 Clasificación de las expresiones algebraicas

a) Monomio.- Es la expresión algebraica que tiene un solo término 𝟒𝒎𝟓𝒏𝟕

b) Polinomio.- Es la expresión algebraica que contiene más de un término

b.1) Binomio.- Expresión que contiene dos términos 𝟐𝒙𝟓 − 𝟔𝒚𝟐

b.2) Trinomio.- Expresión que contiene tres términos 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛

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b.3) Cuatrinomio.- Expresión que contiene cuatro términos 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑

1.5 Suma y resta Para sumar y restar términos semejantes, se debe tener en cuenta la siguiente regla:

Propiedades:

a) 𝑎 + 0 = 𝑎 Neutro aditivo

b) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Propiedad conmutativa

c) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 Propiedad asociativa

Términos semejantes con el mismo signo, se suman y el resultado lleva el mismo signo.

Ejemplos:

a) 2 + 5 = 7 El 2 y el 5 tienen signos positivos por lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (+)

b) −8 − 9 = −17 El 8 y el 9 tienen signos negativos por lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (-)

c) −5𝑥 − 13𝑥 − 4𝑥 = −22𝑥 Los tres términos son semejantes por lo cual se pueden sumar y restar, en este caso los tres tienen signo negativo con lo cual se suman y el resultado lleva el mismo signo (-)

d) 12𝑚2𝑛 +𝑚2𝑛 + 4𝑚2𝑛 = 17𝑚2𝑛

e) −2√𝑥 − 5√𝑥 = −7√𝑥 En este caso también se trata de términos semejantes con lo cual se aplica la misma regla.

Términos semejantes con signo distinto, se resta el mayor menos el menor y el resultado lleva el

signo del mayor.

Ejemplos:

a) −9 + 11 = 2 El 9 y el 11 tienen signos distintos por lo cual se resta el número mayor con el número menor o sea 11-9 y lleva el signo del número mayor (+)

b) −8 + 4 = −4 Al tener signos distintos se resta el mayor con el menor o sea 8-4 y el resultado lleva el signo del mayor en este caso (-)

c) −7𝑥𝑦2𝑧3 + 𝑥𝑦2𝑧3 = −6𝑥𝑦2𝑧3 Al ser términos semejantes se pueden restar con lo cual se restan los coeficientes 7-1 y la respuesta lleva el signo del mayor o sea (-)

d) 12 ∙ 4𝑥 − 10 ∙ 4𝑥 = 2 ∙ 4𝑥 También son términos semejantes con lo cual se restan los coeficiente en este caso 12 y 10 llevando la respuesta el signo del coeficiente mayor o sea (+)

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Combinación de suma y resta Ejemplos: a) −8𝑎 − 14𝑎 + 5𝑎 − 𝑎 = −18𝑎 Los cuatro términos son semejantes, -8 y-14 se suman y lleva el signo (-) 0 sea

-22, -22 con +5 se realiza la resta 22-5 que da 17 con el signo del mayor o sea

-17 que a su vez se junta con -1 (que es el coeficiente de (-a), al ser signos

iguales se suman y lleva el mismo signo, así tenemos -17-1 es igual a -18.

b) √𝑥𝑦 + 3√𝑥𝑦 − 5√𝑥𝑦 − 2√𝑥𝑦 = −3√𝑥𝑦

1.6 Multiplicación y división

1.6.1. Multiplicación

Propiedades:

a) 𝑎 ∙ 0 = 0 Elemento absorvente

b) 𝑎 ∙ 1 = 𝑎 Neutro multiplicativo

c) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 Propiedad conmutativa

d) 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 Propiedad asociativa

e) 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 Propiedad distributiva

f) 𝑎 ∙1

𝑎= 1 Un número multiplicado por su inversa es la unidad. (Inverso multiplicativo)

Ejemplos: La inversa de 3

4 es

4

3, la inversa de

1

5 es 5, la inversa de 2 es

1

2

Ley de signos:

+ ∙ += +

+ ∙ −= −

− ∙ += −

− ∙ −= +

La ley de signos también se aplica a la división.


5

Ejemplos: a) Multiplicar: 3𝑥 ∙ 5𝑥2 = 15𝑥3 Se multiplica los coeficientes, se multiplica la variable, o sea 𝑥

por 𝑥2 es 𝑥3

b) Multiplicar: (−5𝑥𝑦3)(2𝑥3𝑦4) = −10𝑥4𝑦7 Se aplica la ley de signos con los dos términos − ∙ += − se multiplica los coeficientes 5 ∙ 2 = 10, se multiplican las variables

𝑥 ∙ 𝑥3 = 𝑥4 𝑦3 ∙ 𝑦4 = 𝑦7 (al multiplicar bases iguales se suman

los exponentes)

c) Multiplicar: −3(3𝑚 + 𝑛)(−4𝑚 + 5𝑛)

Existen 3 términos: −3, (3𝑚 + 𝑛), (−4𝑚 + 5𝑛), se puede multiplicar el primer con el segundo

término y el resultado con el tercer término o se puede multiplicar el primer término con el tercer

término y el resultado con el segundo término o el segundo con el tercer término.

En este ejemplo multiplicaremos primero en segundo y tercer término aplicando la propiedad

distributiva.

−3(3𝑚 + 𝑛)(−4𝑚 + 5𝑛)

−3(−12𝑚2 + 15𝑚𝑛 − 4𝑚𝑛 + 5𝑛2) Uniendo los términos semejantes o sea −15𝑚𝑛 − 4𝑚𝑛

−3(−12𝑚2 + 11𝑚𝑛 + 5𝑛2) Distribuyendo el -3 con los tres términos dentro del paréntesis

36𝑚2 − 33𝑚𝑛 − 15𝑛2

Signos o símbolos de agrupación

Son elementos que definen el orden en el que se realizará cualquier operación matemática.

Los símbolos de agrupación en orden de prioridad son:

Paréntesis ( )

Corchete [ ]

Llave { }

Barras | |

Cuando aparece un signo positivo delante un símbolo de agrupación, los términos que están dentro de

dicho símbolo no cambian.

Ejemplo:

+(𝟓𝒙 − 𝒚𝟐 − 𝒛) = 𝟓𝒙 − 𝒚𝟐 − 𝒛 Los signos no cambian





6

Cuando aparece un signo negativo delante un símbolo de agrupación, los términos que están dentro de

dicho símbolo cambian.

Ejemplo:

−[𝟐𝒎− 𝟑𝒏 + 𝒑] = −𝟐𝒎+ 𝟑𝒏 − 𝒑 Los signos cambian

Prioridad de las operaciones

Son las siguientes:

- Primero se efectúan las operaciones que se encuentran dentro de los signos de agrupación

( )[ ]{ }| |

- Luego las potencias y raíces (en cualquier orden).

- Después las multiplicaciones y divisiones (en cualquier orden).

- Por último, las sumas y restas (en cualquier orden).

PRIORIDAD SÍMBOLO (ejemplo) Símbolos de agrupación | |{ }[ ]( )

Potenciación y Radicación (𝒙)𝒏,√𝒙𝒏 Multiplicación y División ×,÷ La división también se puede expresar como dos puntos :

Suma y Resta +,−

Ejemplos: a) 3 + 5 ∙ 23 Primero se calcula la potencia

3 + 5 ∙ 8 Se realiza primero la multiplicación y luego la suma.

3 + 40 = 43

b) Reducir: −{−3[−7𝑎 + 6𝑥 − 2(−𝑎 − 7𝑥)] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 − (−3𝑥 − 2𝑎)]}

Se deben hacer desaparecer los símbolos de agrupación, primero los paréntesis, luego corchete y por

último llaves. Para esto, se copia todo el ejercicio hasta encontrar los paréntesis y luego se realizan las

operaciones correspondientes.

−{−3[−7𝑎 + 6𝑥 − 2(−𝑎 − 7𝑥)] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 − (−3𝑥 − 2𝑎)]}

−{−3[−7𝑎 + 6𝑥 + 2𝑎 + 14𝑥] − 5[−12𝑎 − 10𝑥 − 3𝑎 + 3𝑥 + 2𝑎]} Se reducen los términos

semejantes que están dentro del


7

corchete.

−{−3[−5𝑎 + 20𝑥] − 5[−13𝑎 − 7𝑥]} Se multiplica, distribuyendo.

.

−{15𝑎 − 60𝑥 + 65𝑎 + 35𝑥} Se reducen los términos semejantes que están

dentro del corchete.

−{80𝑎 − 25𝑥} → −𝟖𝟎𝒂 + 𝟐𝟓𝒙

c) Reducir: −{−[−(𝑎2 − 2𝑎 − 3)(−𝑎 − 1)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 − 2(−10𝑎 − 4)]}

−{−[−(𝑎2 − 2𝑎 − 3)(−𝑎 − 1)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 − 2(−10𝑎 − 4)]} Distribuyendo

−{−[−(−𝑎3 − 𝑎2 + 2𝑎2 + 2𝑎 + 3𝑎 + 3)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}|

−{−[−(−𝑎3 + 𝑎2 + 5𝑎 + 3)(3 + 𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]} Distribuyendo

−{−[−(−3𝑎3 − 𝑎4 + 3𝑎2 + 𝑎3 + 15𝑎 + 5𝑎2 + 9 + 3𝑎)] − [−2𝑎3 − 𝑎4 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]} Ordenando, Reduciendo términos

semejantes.

−{−[−(−𝑎4 − 2𝑎3 + 8𝑎2 + 18𝑎 + 9)] − [−𝑎4 − 2𝑎3 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

−{−[𝑎4 + 2𝑎3 − 8𝑎2 − 18𝑎 − 9] − [−𝑎4 − 2𝑎3 + 6𝑎2 + 20𝑎 + 8]}

−{−𝑎4 − 2𝑎3 + 8𝑎2 + 18𝑎 + 9 + 𝑎4 + 2𝑎3 − 6𝑎2 − 20𝑎 − 8} Reduciendo términos semejantes.

−{2𝑎2 − 2𝑎 + 1} −𝟐𝒂𝟐 + 𝟐𝒂 − 𝟏

d)

Reducir: 𝑄 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑑) + (𝑎 + 𝑐 + 𝑑)(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +𝑑)2

𝑄 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑑) + (𝑎 + 𝑐 + 𝑑)(𝑏 + 𝑐 + 𝑑) − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)

Distribuyendo

𝑄 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑑 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 +𝑏𝑑 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐2 + 𝑐𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑑𝑐 + 𝑑2 − (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +

𝑑2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑)

Reduciendo términos semejantes.

𝑄 = 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑






8

1) Decimal exacto: Está compuesta por un número finito de decimales.

a) Convertir 0,2 a fracción

El 2 se encuentra en la posición de las decimas entonces: 2

10 Simplificando:

1

5

b) Convertir 4,25 a fracción

El 5 se encuentra en la posición de las centésimas entonces: 425

100 Simplificando:

17

4 en fracción mixta: 4

1

4

2) Decimal periódico puro: El periodo se repite infinitamente.

a) Convertir 0,456456456456……… a fracción

En este caso el periodo es 456 y se repite hasta el infinito, también se puede denotar como 0.456

En el numerador se coloca el número del periodo o sea 456, en el denominador se coloca tantos nueves como números tiene el

periodo o sea tres nueves. 456

999 Simplificando

152

333

b) Convertir 2,33333333………. a fracción

El periodo es el número 3, se coloca en el numerador la parte entera con el número del periodo o sea 23 restándole la parte

entera o sea 2 y en el denominador un nueve. 23−2

9=

21

9 Simplificando

7

3

3) Decimal periódico mixto: La parte decimal contiene una parte no periódica y una parte periódica

a) Convertir 0,0427272727……….a fracción

También se puede denotar como 0,0427

La parte no periódica es 04, la parte periódica es 27, en el numerador se coloca la parte no periódica y la parte periódica o sea

0427 que es equivalente a 427 y se le resta la parte no periódica, en el denominador se coloca tantos nueves como números

tiene la parte periódica o sea dos nueves y tantos ceros como números tiene la parte no periódica o sea dos ceros. 427−04

9900=

423

9900 Simplificando

47

1100

b) Convertir 3,234 a fracción

La parte entera es 3, la parte no periódica es 2 y la parte periódica es 34.

En el numerador se coloca el entero, la parte periódica y la no periódica y se le resta el entero con la parte no periódica o sea

3234-32, en el denominador dos nueves y un cero. 3234−32

990=

3202

990 Simplificando

1601

495

e) Reducir:[−(−𝑥 +2

7𝑥2) − (0,8𝑥 + 0,1)] − [− (−

𝑥

5− 0,333333… . . ) − 2

3

5] Se convierten los decimales a

fracciones.

[− (−𝑥 +2

7𝑥2) − (

4

5𝑥 +

1

10)] − [− (−

𝑥

5−

1

3) −

13

5] Se realizan las operaciones

[𝑥 −2

7𝑥2 −

4

5𝑥 −

1

10] − [

𝑥

5+1

3−13

5]

𝑥 −2

7𝑥2 −

4

5𝑥 −

1

10−

𝑥

5−

1

3+

13

5 Sacando el mínimo común denominador de los denominadores 7, 5, 10, 3 o sea 210

Dividiendo el común denominador entre los denominadores y multiplicando el

El resultado por el numerador.

210𝑥−60𝑥2−168𝑥−21−42𝑥−70+546

210 Reduciendo términos semejantes en el numerador


9

−60𝑥2+455

210 Al ser el denominador un solo término (monomio), se puede separar el denominador

para los dos términos del numerador.

−60𝑥2

210+

455

210 Simplificando

−𝟐

𝟕𝒙𝟐 +

𝟏𝟑

𝟔

1.6.2. División

a) División de un polinomio entre un monomio Cuando se divide un polinomio entre un monomio, se puede repartir el denominador entre todos los

términos del numerador.

Ejemplos:

a.1) Dividir: 10𝑥5𝑦6𝑧4 − 20𝑥3𝑦8𝑧5 + 14𝑥9𝑦3𝑧9 entre −2𝑥4𝑦3𝑧2

Se escribe la división de la siguiente forma: 10𝑥5𝑦6𝑧4−20𝑥7𝑦8𝑧5+14𝑥9𝑦3𝑧9

−2𝑥4𝑦3𝑧2 Se reparte el denominador a

todos los términos del numerador.

10𝑥5𝑦6𝑧4

−2𝑥4𝑦3𝑧2+−20𝑥7𝑦8𝑧5

−2𝑥4𝑦3𝑧2+14𝑥9𝑦3𝑧9

−2𝑥4𝑦3𝑧2 Se aplica la ley de signos.

−10𝑥5𝑦6𝑧4

2𝑥4𝑦3𝑧2+20𝑥7𝑦8𝑧5

2𝑥4𝑦3𝑧2−14𝑥9𝑦3𝑧9

2𝑥4𝑦3𝑧2 Se dividen o simplifican los coeficientes; para dividir las variables (letras) se

restan los exponentes de cada variable.

−𝟓𝒙𝒚𝟑𝒛𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟑𝒚𝟓𝒛𝟑 − 𝟕𝒙𝟓𝒛𝟕

a.2) Dividir: 12𝑎𝑛+2𝑏𝑚−3 − 8𝑎−𝑛−2𝑏2𝑚+5 + 10𝑎−5𝑛+7𝑏−4𝑚−1 entre 4𝑎𝑛−1𝑏−2𝑚+3

12𝑎𝑛+2𝑏𝑚−3−8𝑎−𝑛−2𝑏2𝑚+5+10𝑎−5𝑛+7𝑏−4𝑚−1

4𝑎𝑛−1𝑏−2𝑚+3 Se reparte el denominador a todos los términos del numerador.

12𝑎𝑛+2𝑏𝑚−3

4𝑎𝑛−1𝑏−2𝑚+3−8𝑎−𝑛−2𝑏2𝑚+5

4𝑎𝑛−1𝑏−2𝑚+3+10𝑎−5𝑛+7𝑏−4𝑚−1

4𝑎𝑛−1𝑏−2𝑚+3 Se simplifican los coeficientes; se restan los exponentes de

las variables.

3𝑎𝑛+2−(𝑛−1)𝑏𝑚−3−(−2𝑚+3) − 2𝑎−𝑛−2−(𝑛−1)𝑏2𝑚+5−(−2𝑚+3) +5

2𝑎−5𝑛+7−(𝑛−1)𝑏−4𝑚−1−(−2𝑚+3) Realizando las

operaciones.

3𝑎𝑛+2−𝑛+1𝑏𝑚−3+2𝑚−3 − 2𝑎−𝑛−2−𝑛+1𝑏2𝑚+5+2𝑚−3 +5

2𝑎−5𝑛+7−𝑛+1𝑏−4𝑚−1+2𝑚−3






10

𝟑𝒂𝟑𝒃𝟑𝒎−𝟔 − 𝟐𝒂−𝟐𝒏−𝟏𝒃𝟒𝒎+𝟐 +𝟓

𝟐𝒂−𝟔𝒏+𝟖𝒃−𝟐𝒎−𝟒

b) División entre polinomios

Partes de la división

Dividendo 𝒂 𝒃 divisor

Residuo (𝒄) 𝒅 Cociente

Se concluye en la siguiente relación:

𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝𝐨 = 𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐨𝐫×𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 + 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨

Pasos para realizar la división:

- Se debe ordenar el dividendo y el divisor en forma descendente.

- Se debe completar los términos que falten con coeficiente 0.

- Se procede a dividir el primer término del dividendo con el primer término del divisor, el resultado

es el primer término del cociente.

- Este cociente se multiplica por todos los términos del dividendo y se colocan debajo los términos

del divisor con signos cambiados.

- Se realiza la suma algebraica.

- Se bajan el o los términos del dividendo necesarios.

- Se comienza el ciclo desde el primer paso hasta que el último término del dividendo haya bajado.

Ejemplos:

a) Hallar el dividendo en una división sabiendo que el divisor es −𝑥3 + 2𝑥 + 3, el cociente es −𝑥2 + 1 y el residuo

es −2𝑥2 − 3𝑥 − 4

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 = −𝑥3 + 2𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −𝑥2 + 1 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = −2𝑥2 − 3𝑥 − 4

Reemplazando en la ecuación: Dividendo = divisor×Cociente + Residuo

Dividendo = (−𝑥3 + 2𝑥 + 3)(−𝑥2 + 1) + (−2𝑥2 − 3𝑥 − 4) Luego de reemplazar de realizan las operaciones

𝐷 = 𝑥5 − 𝑥3 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 3𝑥2 + 3 + (−2𝑥2 − 3𝑥 − 4)

𝐷 = 𝑥5 − 𝑥3 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 3𝑥2 + 3 − 2𝑥2 − 3𝑥 − 4 Reduciendo términos semejantes y ordenando.

𝑫 = 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 b) Dividir: 3𝑥3 + 21𝑥2 + 21𝑥 − 18 entre 𝑥2 + 5𝑥 − 3


11

El dividendo y el divisor están ordenados en forma descendente y ambos están completos.

Se procede a realizar la división:

3𝑥3 + 21𝑥2 + 21𝑥 − 18 𝑥2 + 5𝑥 − 3

−3𝑥3 − 15𝑥2 + 9𝑥 3𝑥

Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del denominador aplicando la ley de signos, o sea

3𝑥3 entre 𝑥2 que resulta ser 3𝑥, este primer término del cociente se multiplica por todos los términos del divisor,

los resultados se colocan a lado izquierdo debajo los términos del dividendo pero con signo cambiado y se realiza la

suma algebraica en este caso 3𝑥3 − 3𝑥3, 21𝑥2 − 15𝑥2, −21𝑥 + 9𝑥.

3𝑥3 + 21𝑥2 + 21𝑥 − 18 𝑥2 + 5𝑥 − 3

−3𝑥3 − 15𝑥2 + 9𝑥 3𝑥 + 6 Cociente

6𝑥2 + 30𝑥 − 18

−6𝑥2 − 30𝑥 + 18

Residuo 0

c) Dividir: −1

3𝑥4 +

2

5𝑥3𝑦 − 𝑦4 +

1

2𝑥𝑦3 entre

1

2𝑥2 +

2

3𝑦2 −

3

5𝑥𝑦

Ordenando en forma descendente respecto a “x” y ascendente respecto a “y” tanto el dividendo y el divisor,

completando con coeficiente 0 los términos que faltan.

−1

3𝑥4 +

2

5𝑥3𝑦 + 0𝑥2𝑦2 −

8

15𝑥𝑦3 −

5

27𝑦4

1

2𝑥2 −

3

5𝑥𝑦 +

2

3𝑦2 Se divide el primer término del dividendo entre

+1

3𝑥4 −

2

5𝑥3𝑦 +

4

9𝑥2𝑦2 −

2

3𝑥2 +

8

9𝑦2 el primer término del divisor o sea

1

31

2

=2

3

+4

9𝑥2𝑦2 −

8

15𝑥𝑦3 −

5

27𝑦4 Cuando se simplifican dos términos, bajan

−4

9𝑥2𝑦2 +

8

15𝑥𝑦3 −

16

27𝑦4 también dos términos.

Residuo −7

9𝑦4

d) Hallar el valor de “m” y “n” para que la siguiente división sea exacta: −𝑥4 + 4𝑥2 −𝑚𝑥 − 𝑛 entre 𝑥2 − 2𝑥 − 5

La expresión “sea exacta”, “sea divisible”, “tenga como factor” o expresiones similares, se refieren a que el residuo

de la división entre los dos polinomios es cero.

𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐨 = 𝟎 (𝐝𝐢𝐯𝐢𝐬𝐢ó𝐧 𝐞𝐱𝐚𝐜𝐭𝐚)






12

Ordenando y completando el dividendo y el divisor:

−𝑥4 + 0𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑚𝑥 − 𝑛 𝑥2 − 2𝑥 − 5

+𝑥4 − 2𝑥3 − 5𝑥2 −𝑥2 − 2𝑥 − 5

− 2𝑥3 − 𝑥2 − 𝑚𝑥

+2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥

−5𝑥2 + (−𝑚 − 10)𝑥 − 𝑛

+5𝑥2 − 10 𝑥 − 25

+ (−𝑚 − 20)𝑥 − 𝑛 − 25 Residuo

Para que la división sea exacta, el residuo se debe igualar a cero.

+ (−𝑚 − 20)𝑥 − 𝑛 − 25 = 0

0 0

Para que toda esta expresión sea igual a cero, el coeficiente del término lineal o sea −𝑚 − 20 debe ser igual a cero

y de la misma manera el término lineal o sea −𝑛 − 25 también se iguala a cero, de esta manera 0 + 0 = 0

−𝑚− 20 = 0 Despejando la ecuación: −𝑚 = 20 //(−1) → 𝑚 = −20

−𝑛 − 25 = 0 Despejando la ecuación: −𝑛 = 25 //(−1) → 𝑛 = −25

Para que la división sea exacta, los valores que deben tener “m” y “n” son: 𝒎 = −𝟐𝟎 𝒏 = −𝟐𝟓

e) Hallar el valor de “k” para que el polinomio 𝑝(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑘𝑥 − 1 tenga como factor al polinomio

𝑞(𝑥) = −𝑥 + 2

Teorema de resto de Descartes

Se puede seguir el método anterior, pero también se puede aplicar el método abreviado utilizando el teorema de

Descartes. A continuación, mencionaremos los pasos a seguir:

- Este método se aplica cuando el divisor es un término de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, o sea no contiene términos al

cuadrado o mayores.

- Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.

- El dividendo se iguala al valor del residuo.

- Se reemplaza el valor de la variable.

- Se despeja la incógnita.

Paso 1: −𝑥 + 2 = 0 El divisor se iguala a cero y se despeja “x” → 𝒙 = 𝟐

Paso 2: 3𝑥2 − 𝑘𝑥 − 1 = 0 El dividendo se iguala al valor del residuo en este caso se iguala a cero, por que el ejercicio pide que el dividendo tenga como factor al divisor o sea que el residuo

sea cero.

Paso 3: 3 ∙ 22 − 𝑘 ∙ 2 − 1 = 0 El valor de “x” se reemplaza en esta ecuación.


13

Paso 4: 3 ∙ 4 − 2𝑘 − 1 = 0 → 12 − 2𝑘 − 1 = 0 → −2𝑘 = −11 → 𝒌 =𝟏𝟏

𝟐

1.7 La factorización

Factorizar o factorar una expresión significa volver a los factores que multiplicándose generaron una

expresión.

Caso 1: Factor común

- En todos los términos debe existir una variable común (una misma letra).

- Se saca el factor común de los coeficientes (números) y de las letras, con las potencias menores de cada letra.

- Se divide cada término entre el factor común.

- Ejemplos:

a) Factorizar:

Como existe la variable “a” en los dos términos, se trata del caso factor común. La menor potencia es 1, por lo cual el factor común es “a”

Se divide cada término entre el factor común, el resultado se coloca dentro del paréntesis:

b) Factorizar:

En este ejercicio, las variables “a” y “b” se encuentran en los tres términos de la expresión por lo cual ambos son

factor común, se escoge la menor potencia de “a” es 2 y de “b” es 1. El factor común de los coeficientes (números)

es el número 8 puesto que este número se encuentra dentro el 16 y el 24.

El factor común es:

Se divide cada término entre el factor común, el resultado se coloca dentro del paréntesis.

c) Factorizar: 𝑎(𝑥 + 1) − 𝑥 − 1

𝑎(𝑥 + 1) − 𝑥 − 1 Se cambia de signo a −𝑥 − 1 sacando un signo (-)

𝑎(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) El factor común es 𝑥 + 1

(𝑥 + 1)(𝑎 − 1)

2 2 3 5 28 16 24a b a b a b

2 2 3 5 28 16 24a b a b a b

2 2 38 1 2 3a b b a b

28a b





14

czcxybzazbxyaxy 525522

2 2 2 5 5 5axy bxy cxy az bz cz

2 ( ) 5 ( )xy a b c z a b c

2 ( ) 5 ( )xy a b c z a b c

( )(2 5z)a b c xy

bxbyaxay 510510

10 10 5 5ay by ax bx

10 ( a ) 5 (a b)y b x

10 (a ) 5 (a b)y b x

( )( 10y 5x)a b

Caso 2: Factor común por agrupación

Se busca variables comunes entre dos o más términos del polinomio.

Ejemplos:

a) Factorizar:

Las variables “xy” se encuentran en el 1º, 2º y 5º término. La variable “z” se encuentra en el 3º,4º y 6º término. De

esta manera se puede ordenar el polinomio asociando estos términos.

El factor común de los primeros 3 términos es “2xy” y el común de los últimos 3 términos es “5z”

Los 2 paréntesis son iguales con la diferencia de los signos, para que el segundo paréntesis cambie de signos, se cambia de signo de +5𝑧 convirtiéndose en −5𝑧, esto logra que justamente los términos que están dentro del paréntesis cambien de signo.

El nuevo factor común de los 2 términos, es el paréntesis (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)

b) Factorizar:

La variable “y” se encuentran en el 1º Y 3º término. La variable “x” se encuentra en el 2º y 4º término. De esta manera se puede ordenar el polinomio asociando estos términos.

El factor común de los primeros 2 términos es “10y” y el factor común de los últimos 2 términos es “5x”

Los 2 paréntesis son iguales con la diferencia de los signos, para esto se puede factorizar el signo (–) que hará que los signos del primer paréntesis cambie. El nuevo factor común de los 2 términos, es el paréntesis (a+b)


15

22 2 xmxm

22 2 xmxm

m x

2( )m x

2 6 3 4 89 6 44

x y xy z z

c) Factorizar: 3𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 1 + 2𝑥

3𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 1 + 2𝑥 El factor común entre "3𝑥𝑦" y "6𝑥2𝑦" es "3𝑥𝑦"

3𝑥𝑦(1 − 2𝑥) − 1 + 2𝑥 Cambiando de signo.

3𝑥𝑦(1 − 2𝑥) − (1 − 2𝑥) El nuevo factor común es (1 − 2𝑥)

(𝟏 − 𝟐𝒙)(𝟑𝒙𝒚 − 𝟏)

Caso 3: Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

- Para saber si se trata de un T.C.P. se extraen las raíces cuadradas del primer y último término una vez que el trinomio esté adecuadamente ordenado. El doble producto de estas raíces, debe ser el término del medio.

Ejemplos:

a) Factorizar:

Se extrae la raíz cuadrada de 𝑚2 y 𝑥2, estas raíces son las bases

o sea “m” y “x”.

El doble producto de estas bases o sea 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑥 debe ser el término del medio.

Si esto no ocurre, entonces no se trata de un T.C.P., si es así, se da la respuesta de la factorización que son las dos raíces (bases) en un paréntesis elevado al cuadrado. Cuando los tres signos del trinomio son positivos, en la respuesta el signo será positivo.

b) Factorizar:

Se saca la raíz cuadrada del primer y último término.






16

2 6 3 4 89 6 44

x y xy z z

33

2x y

42z

3 432 22

xy z

3 4 23( 2 )2

xy z

La primera raíz es 3

2𝑥𝑦3, la segunda raíz cuadrada es 2𝑧4. Para ser

T.C.P. el doble producto de las 2 raíces deberá ser el término del medio.

El doble producto de la primera raíz por la segunda, es el término del

medio.

La respuesta son las dos bases, el signo es negativo debido a que el

trinomio tiene signos intercalados o sea + - +.

Cuadrado Perfecto por adición y sustracción

Ejemplos: a) Factorizar: 9𝑦4 + 5𝑦2𝑧4 + 𝑧8

9𝑦4 + 5𝑦2𝑧4 + 𝑧8 El doble producto de las dos raíces es 6𝑦2𝑧4 que no es el término del medio 5𝑦2𝑧4 por lo cual no se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

3𝑦2 𝑧4

Si a 5𝑦2𝑧4 le sumamos 𝑦2𝑧4 daría 6𝑦2𝑧4 y con esto ahora si se trataría de un T.C.P.

De esta manera, se suma y se resta 𝑦2𝑧4 para no afectar la expresión.

9𝑦4 + 5𝑦2𝑧4 + 𝑧8 + 𝑦2𝑧4 − 𝑦2𝑧4 Se suma 5𝑦2𝑧4 y 𝑦2𝑧4

9𝑦4 + 6𝑦2𝑧4 + 𝑧8 − 𝑦2𝑧4 Se factoriza 9𝑦4 + 6𝑦2𝑧4 + 𝑧8 ya que es un T.C.P.

(3𝑦2 + 𝑧4)2 − 𝑦2𝑧4 Ahora trata de una diferencia de cuadrados la cual se factoriza. (ver caso 4 de factorización)

(3𝑦2 + 𝑧4 + 𝑦𝑧2)(3𝑦2 + 𝑧4 − 𝑦𝑧2)

b) Factorizar: 𝑚4 +𝑚2𝑛4 + 25𝑛8

𝑚4 +𝑚2𝑛4 + 25𝑛8 El doble producto de la primera base por la segunda base es 10𝑚2𝑛4 con lo cual no es un T.C.P.

𝑚4 +𝑚2𝑛4 + 25𝑛8 + 9𝑚2𝑛4 − 9𝑚2𝑛4 Para que sea un T.C.P. se debe sumar y restar 9𝑚2𝑛4 de esta forma

aparecerá 10𝑚2𝑛4

𝑚4 + 10𝑚2𝑛4 + 25𝑛8 − 9𝑚2𝑛4 El trinomio 𝑚4 + 10𝑚2𝑛4 + 25𝑛8 es un T.C.P. con lo cual se factoriza


17

2 36x

2 36x

x 6

( 6)( 6)x x

8419

a

8419

a

42

3a1

4 42 2(1 )(1 )3 3

a a

2 2( ) ( )a b b c

(𝑚2 + 5𝑛4)2 − 9𝑚2𝑛4 Factorizando por diferencia de cuadrados: (𝑚2 + 5𝑛4 + 3𝑚𝑛2)(𝑚2 + 5𝑛4 − 3𝑚𝑛2)

Caso 4: Diferencia de Cuadrados

- Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos, estas raíces se llaman bases.

- El resultado resulta ser la primera base más la segunda base multiplicada por la primera base menos la

segunda base.

Este caso de factorización se presenta cuando dos términos están como resta como por ejemplo:

𝑥2 − 1, 16𝑚4 − 25𝑛8, (𝑎 − 𝑏)2 − (3𝑎 − 2𝑏)2 Diferencia de cuadrados

Por su parte, la suma de cuadrados no se puede factorizar excepto algunos casos especiales.

𝑎8 + 1, 𝑥2 + 100, 𝑦6 + 121 Sumas de cuadrados

Como el nombre indica, debe ser una diferencia, lo que indica que entre los 2 términos existe el signo (-). Si fuese + ya no sería diferencia de cuadrados si no una suma de cuadrados por lo cual no se podría factorizar por este método.

Ejemplos:

a) Factorizar:

Se extrae la raíz cuadrada de 𝑥2 que es 𝑥, la raíz de 36 es 6 .

Dentro de un paréntesis se coloca la primera raíz, el signo + y luego la segunda raíz. En otro paréntesis se coloca la primera raíz, el signo – y luego la segunda raíz.

b) Factorizar: −4

9𝑎8 + 1

Primero se ordena el binomio:

Se extrae la raíz cuadrada de 1 que es 1, la raíz cuadrada de

4

9𝑎8 es

2

3𝑎4 .

Dentro de un paréntesis se coloca la primera raíz o base, el signo + y luego la segunda raíz. En otro paréntesis se coloca la primera raíz, el signo – y luego la segunda raíz.





18

2 2( ) ( )a b b c

( )a b (b c)

( ) ( ) ( ) ( )a b b c a b b c

a b b c a b b c

( 2 )( )a b c a c

c) Factorizar:

Existen 2 términos compuestos (a+b)2 y (b-c)2 de los cuales se pueden extraer la raíz cuadrada. Estos términos

están como diferencia.

Se extrae la raíz cuadrada de (a+b)2 que es (a+b), la raíz cuadrada de (b-c)2 es (b-c)

Se desarrollan los paréntesis recordando que si existe un signo (–) antes de un paréntesis, los términos dentro de este cambian de signo.

Luego de simplificar términos semejantes se tiene:

Combinación del caso 3 y caso 4

Ejemplo:

a) Factorizar: 4𝑥2 − 𝑧2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2

4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧2 Se ordena el polinomio adecuadamente, ya que se observa que los tres primeros

términos conforman un trinomio cuadrado perfecto.

(2𝑥 − 𝑦)2 − 𝑧2 Factorizando 4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 resulta ser (2𝑥 − 𝑦)2, de esta manera se tiene ahora

una diferencia de cuadrados.

(2𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(2𝑥 − 𝑦 − 𝑧) Se factoriza por diferencia de cuadrados.

shinjiPlaced Image


19

2 3 4x x

2 3 4x x

x x

2 8 240x x

2 8 240x x

x x

20 12x x

Caso 5: Trinomio de la forma: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

- Debe existir 3 términos de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

- Se coloca la raíz del primer término en 2 paréntesis, se busca 2 números que multiplicados den como respuesta el coeficiente “c” y sumados o restados den como respuesta el coeficiente “b”

Ejemplos:

a) Factorizar:

En 2 paréntesis se coloca la raíz de x2

que es x, en el primer paréntesis el primer signo, en el

segundo paréntesis el producto de los dos signos.

El signo del primer paréntesis es (-), para el signo del segundo paréntesis se hace ley de signos entre los dos signos en este caso (-)(-)=(+) Se busca dos números que multiplicados den 4 y como los signos de los paréntesis son distintos (- +) se busca dos números que restados den 3.

𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐𝒔 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝟑

Para el ejemplo, el primer signo es (-) y el segundo es (+) por lo cual se buscan 2 números que restados (por ser distintos) sea 3 y que multiplicados den 4. Dichos números son 4 y 1. Restados dan 3 y multiplicados 4. El número mayor se coloca en el primer paréntesis y el menor en el segundo.

b) Factorizar:

Para el ejemplo, el primer signo es (-) y el segundo es (+) por lo cual se buscan 2 números que restados (por ser distintos) sea 8 y que multiplicados den 240.

En este caso no es fácil de encontrar estos números para lo cual se puede descomponer el número 240

Agrupando adecuadamente se concluye que los números son el 20 o sea (2x2x5) y el 12 o sea (2x2x3). Estos números restados dan 8 y multiplicados 240.

4 1x x






20

26 19 20x x

26 19 20x x

26 19 120x x

6 6x x

6 24 6 5x x

6 24 6 56

x x

6 4 6 56

x x

c) Factorizar: 𝑥2 + 11𝑥𝑦 + 28𝑦2

Se busca dos números que multiplicados resulte 28 y sumados (por ser los signos de los paréntesis iguales) de 11.

Además, que se debe colocar la otra variable que en este caso es “y”

(𝑥 + 7𝑦)(𝑥 + 4𝑦)

Caso 6: Trinomio de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Método 1: Método general - Deben existir 3 términos de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (a distinción del anterior caso, el término cuadrático tiene

coeficiente distinto de 1). - Se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el coeficiente del término independiente.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Término cuadrático término lineal término independiente

Ejemplos:

a) Factorizar:

En 2 paréntesis se coloca el número 6 y la raíz de 𝑥2 que es x, en el primer paréntesis el primer signo, en el segundo

paréntesis el producto de los dos signos.

Se multiplica el coeficiente del término cuadrático o sea 6 por el coeficiente del término lineal o sea 20. De esta forma el trinomio se convierte en: Ahora se buscan dos números que multiplicados sea 120 y restados den 19. Estos números son 24 y 5 (para calcular estos números se puede descomponer el número 120). Se divide la expresión entre el número 6 y se saca el factor común del primer y/o segundo paréntesis.

En este ejemplo, se saca factor común del primer paréntesis que es 6. En el segundo paréntesis no existe factor común.

El 6 del denominador se debe simplificar con el o los factores comunes que se han sacado en el numerador, en el ejemplo el 6 del denominador se simplificará con el 6 del numerador.

(𝑥 + 4)(6𝑥 − 5)


21

b) Factorizar: 15𝑥2 − 13𝑥 − 20

15𝑥2 − 13𝑥 − 20 Se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el coeficiente del término lineal.

15𝑥2 − 13𝑥 − 300 Se abren 2 paréntesis, y se busca dos números que multiplicados den 300 y restados den 13.

(15𝑥 − )(15𝑥 + ) Dichos números son: 25 y 12

(15𝑥 − 25)(15𝑥 + 12) Se divide toda la expresión entre el número 15

(15𝑥− 25)(15𝑥+12)

15 Se saca factor común del numerador, del primer paréntesis el 5 y del segundo paréntesis el 3.

5(3𝑥− 5)∙3(5𝑥+4)

15 Simplificando.

(𝟑𝒙 − 𝟓)(𝟓𝒙 + 𝟒)

Método 2: Método de las aspas

c) Factorizar: 20𝑥2 − 11𝑥 − 42

Se buscan dos números que multiplicados den 20 y dos números que multiplicados den -42.

5 − 6 Estos números pueden ser 5 ∙ 4 y −6 ∙ (7)

Ahora se multiplican las diagonales y se suman las respuestas o sea 5 ∙ 7 = 35 y 4 ∙ (−6) = −24

4 7 Estos resultados se suman algebraicamente 35 − 24 = 11, esta respuesta no es el término del

medio que en el trinomio es −11 así que se debe reordenar los números.

5 6 5 ∙ (−7) = −35 y 4 ∙ 6 = 24 Estos resultados se suman algebraicamente o sea

−35 + 24 = −11, este resultado es el término del medio con lo cual solo basta dar la respuesta

4 − 7 de la factorización como se muestra a continuación:

(5𝑥 + 6)(4𝑥 − 7) d) Factorizar: 104𝑥2 − 29𝑥 + 2

8 − 1 Se multiplican las diagonales o sea 8 ∙ (−2) = −16 y 13 ∙ (−1) = −13

Se suman algebraicamente estos números −16 − 13 = −29, como este número es el coeficiente

13 − 2 del término central solo basta dar la respuesta de la factorización.

(8𝑥 − 1)(13𝑥 − 2)






22

3 964m n

3 964m n

m 34n

34m n 22 3 34 4m m n n

34m n 2 3 64 16m mn n

3 68 125x y

3 68 125x y

2x 25y

22 5x y 22 2 22 2 5 5x x y y

22 5x y

Caso 7: Suma y diferencia de cubos

- Deben existir 2 términos de los cuales se les extraerá la raíz cúbica.

- Estos 2 términos pueden estar como suma o resta.

- Ejemplos:

a) Factorizar:

Se extrae la raíz cúbica de los dos términos (bases).

La raíz cúbica de 𝑚3 es m y la raíz cúbica de 64𝑛9 es 4𝑛3

Estas raíces (bases) se colocan dentro un paréntesis con el mismo signo de la expresión original. Dentro de otro paréntesis, se coloca el cuadrado de la primera raíz o base, la multiplicación de las 2 raíces y el cuadrado de la segunda raíz. Cuando el signo entre las 2 raíces es (+) los signos del segundo paréntesis se intercalan, el primero positivo, el segundo negativo y el tercero positivo.

Cuadrado de la primera base Multiplicación de las dos bases Cuadrado de la segunda base

Desarrollando

b) Factorizar:

Se extrae la raíz cúbica de los dos términos.

La raíz cúbica de 8𝑥3 es 2x y la raíz cúbica de 125𝑦6 es 5𝑦2

Estas raíces o bases se colocan dentro un paréntesis con el mismo signo de la expresión original. Dentro de otro paréntesis, se coloca el cuadrado de la primera raíz, la multiplicación de las 2 raíces y el cuadrado de la segunda raíz. Cuando el signo entre las 2 raíces es (-) los signos del segundo paréntesis son todos positivos.

2 2 44 10 25x xy y


23

3 2 2 4 68 48 96 64x x y xy y

Caso 8: Cuatrinomio Cubo Perfecto

- Se ordenan los cuatro términos en forma descendente.

- Se extrae la raíz cúbica del primer y último término

- El triple producto de la primera base al cuadrado por la segunda base debe ser el segundo término del cuatrinomio.

- El triple producto de la primera base por la segunda base al cuadrado debe ser el tercer término del cuatrinomio.

- Si cumple lo anterior, entonces el cuatrinomio es un cubo perfecto con lo cual se coloca la respuesta que es un

binomio al cubo que contiene las dos bases.

Ejemplos: a) Factorizar: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Como se observa la expresión tiene 4 términos, se extrae la raíz cúbica de los dos términos de los extremos o sea a3 y b3.

𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 La raíz cúbica de 𝑎3 es a y la raíz cúbica de 𝑏3 es b

a b

3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 Para que este cuatrinomio pertenezca a este caso, debe cumplir que el triple producto de la primera raíz al 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2 cuadrado por la segunda raíz debe ser uno de los términos centrales. Y que el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz sea el otro término central. Si cumple estas 2 condiciones, se trata de un cuatrinomio cubo perfecto y la respuesta es un paréntesis elevado al cubo con las dos raíces. El signo de la respuesta depende a que, si el cuatrinomio original tiene todos los signos positivos, la respuesta lleva signo positivo.

(𝑎 + 𝑏)3

b) Factorizar: −48𝑥2𝑦2 + 96𝑥𝑦4 + 8𝑥3 − 64𝑦6

Como se observa la expresión tiene 4 términos, pero primero se debe ordenar la expresión colocando en los extremos los

términos de los cuales se pueden sacar raíz cúbica.

8𝑥3 − 48𝑥2𝑦2 + 96𝑥𝑦4 − 64𝑦6 Se extrae la raíz cúbica de los dos términos de los extremos o sea 8𝑥3 y de 64𝑦6. La raíz cúbica de 8𝑥3 es 2𝑥 y la raíz cúbica de

64𝑦6 es 4𝑦2

2x 4𝑦2 En este ejercicio, los signos de la expresión original son intercalados entre positivos y negativos por lo cual el signo de la respuesta es negativo. 3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 4𝑦2 = 48𝑥2𝑦2 3 ∙ (2𝑥) ∙ (4𝑦2)2 = 96𝑥𝑦4 El triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz debe ser uno de los términos centrales. Y que el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz sea el otro término central.

(2𝑥 − 4𝑦2)3






24

Caso 9: Método de evaluación (Regla de Ruffini)

- Generalmente se utiliza para expresiones con potencias mayores a 2

- Se coloca un tablero de Ruffini, donde en el lado derecho se colocan los coeficientes del polinomio, este polinomio

debe estar ordenado en forma descendente y completar además los términos que falten con un coeficiente cero.

Ejemplos:

a) Factorizar: 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1

El polinomio está ordenado en forma descendente y es completo.

Se colocan los coeficientes en un tablero de Ruffini

𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1

1 1 − 1 − 1

En el lado izquierdo del tablero se colocan números

enteros de esta manera: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5……. 0 Residuo

Hasta que con alguno de estos números el residuo sea 0.

Cuando el residuo es cero, solo basta dar la respuesta

como se indicará posteriormente.

1 1 1 − 1 − 1 Se empieza con el número 1

1 El primer número del lado derecho se baja.

1 2 Ese número se multiplica por el número que está a

A la izquierda de la tabla o sea 1×1 = 1

Este valor se coloca debajo del segundo número.

Se realiza una suma algebraica o sea 1 + 1 = 2

1 1 1 − 1 − 1 Se sigue el mismo procedimiento, se multiplica 2×1 = 2 este

1 2 valor se coloca debajo del tercer número.

1 2 1 Se realiza una suma algebraica o

sea −1 + 2 = 1


25

1 1 1 − 1 − 1 Se sigue el mismo procedimiento, como se puede observar el

1 2 1 residuo es cero con lo cual basta solo dar la respuesta a la factorización.

1 2 1 0 Si el residuo no hubiese sido cero, se borraba la tabla y se pasaba a hacer

La prueba con el siguiente número o sea −1

(𝑥 − 1)(1𝑥2 + 2𝑥 + 1) El primer paréntesis lleva la variable en este caso “x” y el número que está a la

izquierda de la tabla o sea 1 pero con signo cambiado 𝑥 − 1. En el segundo

paréntesis la variable disminuye en uno de la potencia original del polinomio

o sea 𝑥2 ya que el polinomio original tenía como mayor potencia 𝑥3 con los

coeficientes que quedaron como residuo. 1𝑥2 + 2𝑥 + 1

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 1)

El segundo paréntesis se puede volver a factorizar por el caso 5 el trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

b) Factorizar: 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 6

Se arma un tablero con los coeficientes de la expresión tomando en cuenta que se debe ordenar la expresión en forma

descendente y como no existe el término cúbico se debe completar este término faltante con coeficiente 0.

𝑥4 + 0𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 6

Probando con los números 1 𝑦 − 1 , el residuo no da cero, con lo cual se hace la prueba con el número 2.

2 1 0 − 3 1 − 6 Como el residuo es cero, basta dar la respuesta de la factorización.

2 4 2 6

1 2 1 3 0

(𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑)

El término 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 3 ya no se puede factorizar por Ruffini.

c) Factorizar: 𝑥4 − 13𝑥2 + 36

Este ejercicio se puede resolver por el caso 5: Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(𝑥2 − 9)(𝑥2 − 4) Factorizando por diferencia de cuadrados.

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

Ahora se factorizará el mismo ejemplo, pero por la regla de Ruffini.






26

Completando y ordenando el polinomio: 𝑥4 + 0𝑥3 − 13𝑥2 + 0𝑥 + 36

2 1 0 − 13 0 36

2 4 − 18 − 36

1 2 − 9 − 18 0

(𝑥 − 2)(𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 18)

El término 𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 18 se puede volver a factorizar por la regla de Ruffini.

−2 1 2 − 9 − 18

−2 0 18

1 0 − 9 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 9)

Por último, la expresión 𝑥2 − 9 se puede factorizar por diferencia de cuadrados con lo cual la factorización es:

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

Ejemplos varios:

a) Factorizar: 7𝑚2 − 7

7𝑚2 − 7 El factor común de los dos términos es el número 7

7(𝑚2 − 1) Ahora 𝑚2 − 1 se puede factorizar por diferencia de cuadrados.

7(𝑚 + 1)(𝑚 − 1)

b) Factorizar: 𝑚3 + 12𝑚2 + 32𝑚 𝑚3 + 12𝑚2 + 32𝑚 El factor común de los tres términos es m

𝑚(𝑚2 + 12𝑚 + 32) Se puede factorizar 𝑚2 + 12𝑚 + 32 mediante el caso 5

𝑚(𝑚 + 8)(𝑚 + 4)

c) Factorizar: (𝑥 +2

𝑥)2

− (𝑥 −2

𝑥)2

(𝑥 +2

𝑥)2

− (𝑥 −2

𝑥)2

Se puede factorizar por diferencia de cuadrados.

(𝑥 +2

𝑥) (𝑥 −

2

𝑥)

[(𝑥 +2

𝑥) + (𝑥 −

2

𝑥)] [(𝑥 +

2

𝑥) − (𝑥 −

2

𝑥)] Desarrollando


27

(𝑥 +2

𝑥+ 𝑥 −

2

𝑥) (𝑥 +

2

𝑥− 𝑥 +

2

𝑥)

(2𝑥) (4

𝑥) = 8

Suma y diferencia de potencias impares

d) Factorizar: 𝑎5 − 𝑏5

𝑎5 − 𝑏5 Se extrae la raíz quinta de 𝑎5 y 𝑏5

𝑎 𝑏

(𝑎 − 𝑏)(𝑎4 + 𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 + 𝑏4) En el primer paréntesis las dos raíces o bases; en el segundo paréntesis, la primera

raíz con potencia disminuida en uno a la original o sea potencia 4, posteriormente

la primera variable va disminuyendo en su potencia y la segunda variable aumenta

en su potencia. Cuando el signo del primer paréntesis es negativo, en el segundo

paréntesis todos los signos son positivos.

e) Factorizar: 𝑥5 + 1

(𝑥 + 1)(𝑥4 − 1𝑥3 + 12𝑥2 − 13𝑥 + 14) Cuando el signo del primer paréntesis es positivo, en el segundo paréntesis se

intercalan los signos.

(𝑥 + 1)(𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 1)

f) Al factorizar el polinomio:

24323223 4284 axaxaxaxaxa

La suma de sus 5 factores es:

Agrupando:

14224 22222 xaxaaxaaxaax

1442 2222 xaxaaxaxa

14142 2222 xaxxaaxa → 222 214 xaxaxa → 22 14 xaxa xaxaxxa 1212

Sumando los 5 factores:

xaxaxxa 1212

xaxa 224 → xa 63






28

1.8 Mínimo común múltiplo, Máximo común divisor

Los números primos: Son números que se pueden dividir únicamente por sí mismos y por 1 siendo la respuesta de esta división

un número entero.

Los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67…………………………….

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales, es el menor número común de todos ellos.

Ejemplo: Determinar el m.c.m. de los números 120, 360 y 270

Se descomponen los 3 números:

120 360 270 2 Mitad

60 180 135 2 Mitad

30 90 135 2 Mitad

15 45 135 3 Tercera m.c.m. 23 ∙ 33 ∙ 5 = 1080

5 15 45 3 Tercera

5 5 15 3 Tercera

5 5 5 5 Quinta

1 1 1 1

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números naturales, es el mayor número natural por el que se pueden dividir

estos números.

Ejemplo: Determinar el M.C.D. de los números 360, 252 y 240

Se descomponen los tres números por separado:

360 = 23 ∙ 32 ∙ 5 252 = 22 ∙ 32 ∙ 7 240 = 24 ∙ 3 ∙ 5

Para determinar el M.C.D. se escogen los números que estén en las tres descomposiciones con la menor potencia, en este caso

el número 2 se encuentra en los tres y su menor potencia es 22, el número 3 también se encuentra en las tres

descomposiciones y su menor exponente es 3.

Entonces el M.C.D.= 𝟐𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟐


29

1.8.1. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

Para determinar el m.c.m. de dos o más polinomios, se deben escoger todos los términos distintos con su mayor potencia.

Ejemplos:

a) Determinar el m.c.m. de los siguientes monomios: 5𝑥5𝑦4𝑧6; 15𝑥3𝑦8𝑧5; 20𝑥7𝑦2𝑧10

El m.c.m. de los coeficientes 5, 15 y 20 es 60

Se escogen todas las variables comunes y no comunes de los tres términos con su mayor potencia en este caso: 𝑥7𝑦8𝑧10

El m.c.m. es: 𝟔𝟎𝒙𝟕𝒚𝟖𝒛𝟏𝟎

b) Determinar el m.c.m. de los siguientes monomios: 8𝑚5𝑛7𝑝; 24𝑚2𝑝2; 16𝑚9𝑝

El m.c.m. de los coeficientes es 48

El mc.m.es: 48𝑚9𝑛7𝑝2

c) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑥2 − 9𝑥 + 18; 𝑥2 − 5𝑥 − 6; 2𝑥2 − 2

Factorizando:

𝑥2 − 9𝑥 + 18 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 6)

𝑥2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 6)

2𝑥2 − 2 = 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

El m.c.m es: 𝟐(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

d) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑎2 − 𝑎𝑏; 𝑎𝑏 + 𝑏2; 𝑎2 − 𝑏2

Factorizando:

𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 − 𝑏)

𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑏(𝑎 + 𝑏)

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

El m.c.m es: 𝒂𝒃(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

e) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: (𝑎 + 𝑏)2; 𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2; 𝑎3𝑏 − 𝑎𝑏3

Factorizando:

(𝑎 + 𝑏)2 No se factoriza

𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 = 𝑎2𝑏(𝑎 + 𝑏)

𝑎3𝑏 − 𝑎𝑏3 = 𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2) = 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

El m.c.m es: 𝒂𝟐𝒃(𝒂 + 𝒃)𝟐(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)






30

f) Determinar el m.c.m. de los siguientes polinomios: 𝑥4 + 2𝑎𝑥3; 𝑥3𝑦 − 4𝑎2𝑥𝑦; 𝑥2𝑦2 + 4𝑎𝑥𝑦2 + 4𝑎2𝑦2

Factorizando:

𝑥4 + 2𝑎𝑥3 = 𝑥3(𝑥 + 2𝑎)

𝑥3𝑦 − 4𝑎2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥2 − 4𝑎2) = 𝑥𝑦(𝑥 + 2𝑎)(𝑥 − 2𝑎)

𝑥2𝑦2 + 4𝑎𝑥𝑦2 + 4𝑎2𝑦2 = 𝑦2(𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎2) = 𝑦2(𝑥 + 2𝑎)2

El m.c.m es: 𝒙𝟑𝒚𝟐(𝒙 − 𝟐𝒂)(𝒙 + 𝟐𝒂)𝟐

1.8.2. Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Se descomponen los términos y se escogen los términos comunes elevados a la menor potencia.

Ejemplos:

a) Determinar el M.C.D. de los siguientes monomios: 4𝑥8𝑦4𝑧9; 8𝑥6𝑦5𝑧4; 24𝑥3𝑦8

El M.C.D. de los coeficientes es 4

Se escoge las variables comunes o sea la “x” y la “y” con las menores potencias.

El M.C.D. es: 4𝑥3𝑦4

b) Determinar el M.C.D. de los siguientes polinomios: 9𝑥3(𝑥 + 3)2; 18𝑥4 − 162𝑥2; 6𝑥4(𝑥2 + 4𝑥 + 3)

Factorizando:

9𝑥3(𝑥 + 3)2 No se factoriza

18𝑥4 − 162𝑥2 = 18𝑥2(𝑥2 − 9) = 18𝑥2(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

6𝑥4(𝑥2 + 4𝑥 + 3) = 6𝑥4(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)

El M.C.D. de los coeficientes es 3

El M.C.D. son los términos comunes con su menor potencia o sea: 𝟑𝒙𝟐(𝒙 + 𝟑)


31

1.9 Simplificación

1.9.1. Suma y resta de fracciones - Se factorizan los denominadores que se puedan.

- Se halla el mínimo común divisor de todos los denominadores que resulta ser el mínimo común múltiplo.

- Este m.c.m. se divide entre cada denominador de las fracciones y se multiplica por su respectivo numerador.

- Se realizan las operaciones indicadas y se reducen los términos semejantes.

Ejemplos:

a) Simplificar: 2𝑥−3

𝑥2+3𝑥−10−−3+𝑥

𝑥2−4−

−𝑥−5

𝑥3+5𝑥2−4𝑥−20

Se factorizan los denominadores:

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) Caso 5

𝑥2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Caso 4

𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 − 20 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) Caso 9

El m.c.m. es: (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

2𝑥−3

(𝑥+5)(𝑥−2)−

−3+𝑥

(𝑥+2)(𝑥−2)−

−𝑥−5

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5) Se coloca una sola línea de fracción que tenga como

denominador (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5) Se divide el m.c.m. entre el primer denominador y se multiplica por el numerador

o sea (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) entre (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) es: (𝑥 + 2) y esta respuesta se multiplica con el numerador respectivo. De la misma manera se procede a realizar esta operación con las

otras fracciones.

(𝑥+2)(2𝑥−3)−(𝑥+5)(−3+𝑥)−(−𝑥−5)

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5) Ahora se realiza la distributividad entre paréntesis para realizar

la multiplicación.

2𝑥2−3𝑥+4𝑥−6−(−3𝑥+𝑥2−15+5𝑥)+𝑥+5

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5)

2𝑥2−3𝑥+4𝑥−6+3𝑥−𝑥2+15−5𝑥+𝑥+5

(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+5) Reduciendo términos semejantes

𝑥2 + 14

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)





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32

b) Simplificar: −2𝑥+3

6𝑥2+4𝑥−10−

2

3−3𝑥

−2𝑥+3

6𝑥2+4𝑥−10−

2

3−3𝑥 Factorizando los denominadores y volviendo a escribirlas fracciones.

Factorizando: 6𝑥2 + 4𝑥 − 10 = 2(3𝑥2 + 2𝑥 − 5) = 2(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1)

Factorizando: 3 − 3𝑥 = 3(1 − 𝑥)

−2𝑥+3

2(3𝑥+5)(𝑥−1)−

2

3(1−𝑥) El binomio (𝑥 − 1) y (1 − 𝑥) son distintos pero sacando un signo (-) de uno de los

paréntesis se logra que cambie de signo, por ejemplo en el segundo paréntesis

−(−1 + 𝑥). De esta forma los dos paréntesis ahora son iguales.

−2𝑥+3

2(3𝑥+5)(𝑥−1)−

2

−3(−1+𝑥) Este signo menos que se ha sacado para cambiar de signos al paréntesis, puede

ir a para al medio de la fracción con lo cual el menos que ya había se convierte en

positivo.

−2𝑥+3

2(3𝑥+5)(𝑥−1)+

2

3(−1+𝑥) El m.c.m. es 6(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1), dividiendo este m.c.m. entre cada denominador y

multiplicando por su numerador correspondiente.

3(−2𝑥+3)+2∙2(3𝑥+5)

6(3𝑥+5)(𝑥−1) Realizando las operaciones.

−6𝑥+9+12𝑥+20

6(3𝑥+5)(𝑥−1) Simplificando términos semejantes.

6𝑥 + 29

6(3𝑥 + 5)(𝑥 − 1)

c) Simplificar: 𝑏2

(𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎)+

𝑎2

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)+

𝑐2

(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏)

𝑏2

(𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎)+

𝑎2

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)+

𝑐2

(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏) Se cambia de signo a (𝑏 − 𝑎), (𝑐 − 𝑎), (𝑐 − 𝑏) sacando un (-)

𝑏2

−(𝑏−𝑐)(−𝑏+𝑎)+

𝑎2

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)+

𝑐2

(−)(−)(−𝑐+𝑎)(−𝑐+𝑏) Ordenando

− 𝑏2

(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑏)+

𝑎2

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)+

𝑐2

(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐) El m.c.m. es: (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)


33

−𝑏2(𝑎−𝑐)+𝑎2(𝑏−𝑐)+𝑐2(𝑎−𝑏)

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)(𝑏−𝑐) Realizando la distributividad en el numerador se tiene:

−𝑎𝑏2 + 𝑏2𝑐 + 𝑎2𝑏 − 𝑎2𝑐 + 𝑎𝑐2 − 𝑏𝑐2

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)

1.9.2. Multiplicación y División de fracciones

- Una división de fracciones se puede convertir en multiplicación invirtiendo el segundo término.

𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑=𝑎

𝑏×𝑑

𝑐

- Un signo menos que se encuentra al medio de una línea de fracción, puede colocarse en el numerador o en el

denominador pero no en los dos al mismo tiempo.

−𝑎

𝑏=

−𝑎

𝑏=

𝑎

−𝑏

Ejemplos:

a) Dividir: 3

4÷

6

5

3

4÷6

5 Se invierte 6

5 y se vuelve una multiplicación.

3

4∙5

6 Simplificando.

1 3

4∙5

6 =

5

8

2

b) Simplificar: 𝑎2𝑥−𝑎𝑥2−2𝑎2𝑦+2𝑎𝑥𝑦+𝑥3−2𝑥2𝑦

6𝑦2−13𝑥𝑦+5𝑥2

Factorizando el numerador y el denominador:

𝑎2𝑥 − 𝑎𝑥2 − 2𝑎2𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 + 𝑥3 − 2𝑥2𝑦 = 𝑎2𝑥 − 𝑎𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑎2𝑦 + 2𝑎𝑥𝑦 − 2𝑥2𝑦 Ordenando

𝑥(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥2) − 2𝑦(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥2)=(𝑎2 − 𝑎𝑥 + 𝑥2)(𝑥 − 2𝑦) Factorizando por el método de factor común por agrupación.

6𝑦2 − 13𝑥𝑦 + 5𝑥2 = (2𝑦 − 𝑥)(3𝑦 − 5𝑥) Factorizando por trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐






34

La nueva fracción luego de factorizar será:

(𝑎2−𝑎𝑥+𝑥2)(𝑥−2𝑦)

(2𝑦−𝑥)(3𝑦−5𝑥) Se observa que si cambiamos los signos del binomio (2𝑦 − 𝑥) se convertiría en el binomio del

numerador. Entonces se factoriza un signo menos para cambiar los signos.

(𝑎2−𝑎𝑥+𝑥2)(𝑥−2𝑦)

−(−2𝑦+𝑥)(3𝑦−5𝑥)

(𝑎2−𝑎𝑥+𝑥2)

−(3𝑦−5𝑥) El signo menos delante del binomio (3𝑦 − 5𝑥) le puede afectar a este binomio o puede para al

medio de la línea de fracción o puede ir al numerador.


−(3𝑦−5𝑥) = (𝑎2−𝑎𝑥+𝑥2)

−3𝑦+5𝑥= −


(3𝑦−5𝑥)=

−(𝑎2−𝑎𝑥+𝑥2)

(3𝑦−5𝑥) Cualquiera de las respuestas es válida.

c) Simplificar: −2𝑎2𝑥+3𝑎2𝑦

2𝑥2+4𝑥+3𝑥𝑦+6𝑦∙

𝑥2−𝑥−6

−3𝑥𝑦+2𝑥2+9𝑦−6𝑥∙−2𝑥−3𝑦

−𝑎

Factorizando todos los numeradores y denominadores que se puedan factorizar:

−2𝑎2𝑥 + 3𝑎2𝑦 = 𝑎2(−2𝑥 + 3𝑦) Factor común 2𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥𝑦 + 6𝑦 = 2𝑥(𝑥 + 2) + 3𝑦(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(2𝑥 + 3𝑦) Factor común por agrupación

𝑥2 − 𝑥 − 6=(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

−3𝑥𝑦 + 2𝑥2 + 9𝑦 − 6𝑥 = −3𝑥𝑦 + 9𝑦 + 2𝑥2 − 6𝑥 = 3𝑦(−𝑥 + 3) + 2𝑥(𝑥 − 3) = −3𝑦(𝑥 − 3) + 2𝑥(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(−3𝑦 + 2𝑥)

Factor común por agru

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Lic. Christian Meruvia M. · Calle Benjamín Blanco # 739 Página Web:cursoscepi.jimdo.com Teléfono: 4064691 Wattsapp: 759-22676 2 1.1 Definición de álgebra Es la parte de la matemática