RAZONES Y PROPORCIONESLIC. JEISSON GUSTIN

ANALICEMOS LAS SITUACIONESLENGUAJE COTIDIANO LENGUAJE MATEMÁTICO

En el partido de baloncesto el marcador quedó 32 a 34 32 : 34

El pediatra formula a un bebé dos gotas de medicamento por cada kilogramo de peso

Un lector promedio lee 500 palabras en 2 minutos

Como se puede observar en cada situación existe una relación entre las magnitudes y cada relación se puede expresar mediante un cociente.

Al cociente que utilizamos para comparar dos magnitudes o cantidades lo llamamos razón.

RAZÓN:

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente. El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

Ejemplo 1

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el numero de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 “

El antecedente es 10 y el consecuente 18

Y el valor de la razón es 10/18 = 0,555…

Ejemplo 2

La velocidad de un auto móvil se puede expresar como la razón entre la distancia y el tiempo

RAZONES EQUIVALENTESSon razones equivalentes aquellas que se pueden expresar como fracciones equivalentes, por ejemplo:

2 es a 4 es equivalente a 1 es a 2

PROPORCIONES Una proporción es la igualdad de dos expresiones que representan la misma razón

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de

los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir:

Ejemplo: Si tenemos la proporción:

y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:

3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60

Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades son proporción

Propiedad 2: al intercambiar los medios o los extremos entre sí, se obtienen nuevas proporciones.

si entonces

Ejemplo: si entonces

Propiedad 3: en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

PROBLEMAS DE RAZONESProblema 1: en un colegio hay dos computadores por cada veinticinco estudiantes. Si hay 40 computadores, ¿cuántos estudiantes hay en el colegio?

Solución: podemos expresar el problema como una proporción

donde x es el número de estudiantes, ahora aplicamos la propiedad fundamental

2.x = 40 . 25

2 x = 1000

X = 500

Por lo tanto decimos que hay 500 estudiantes en el colegio

Problema 2: en un salón de clases la razón entre niños y niñas es de 4 a 5. si en total hay 36 estudiantes, ¿cuántos niños y niñas hay?

Solución: podemos expresar el problema como una proporción

Conocemos que la suma de niños y niñas es 36, por lo cual podemos utilizar la propiedad 3

Aplicamos propiedad fundamental y resolvemos

5 . 36 = 9 . niñas

9 . Niñas = 180

Niñas = 180/9 =20

Por lo tanto decimos que en el salón hay 20 niñas y 16 niños

Problema 3: la edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución: Si las edades son a y b

Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema:

Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

hora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :