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IDA702|

Análisis vectorial

LICENCIATURA

• Guía didáctica •

IDA702 | Análisis vectorial

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Análisis vectorial / IDA702

Primera edición

Versión 1.1

D.R. © 2020 Universidad Latinoamericana, S.C.

La presente obra es el resultado de un colectivo de trabajo elaborado de acuerdo con la metodología didáctica

desarrollada por la Gerencia de Desarrollo Académico de la Universidad Latinoamericana, S.C.

Esta edición en español es la única autorizada.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra en cualquier medio sin permiso escrito de la Universidad

Latinoamericana, S.C.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la

autorización del editor o de sus representantes.

Publicado en México / Published in Mexico

Colaboradores en la redacción de la Guía didáctica de la materia

Análisis vectorial / IDA702

Elaboración: Alma Violeta García López

Gerencia de Diseño instruccional: Sandra Luz Cortés Martínez

Diseño instruccional: Itzá Ximara Díaz Arenas

Desarrollo multimedia: María Teresa Zermeño Marchena

Diseño gráfico: Rosalinda Gallegos Morales


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|OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA Al finalizar la materia, comprenderás los conceptos del análisis vectorial, las funciones vectoriales de un escalar, así como diversos teoremas relacionados con las integrales, lo que permitirá aplicarlos en la resolución de problemas en campos de la ingeniería en redes.

|TEMAS Y OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Semana Tema Objetivos de aprendizaje

Semana 1

Introducción a los vectores

1. Identificar las características de un vector (longitud y

dirección).

2. Operar vectores con las dos operaciones posibles:

sumas y producto por un escalar.

3. Calcular el producto interior y el ángulo entre dos

vectores.

4. Distinguir el producto escalar del producto vectorial.

5. Construir la ecuación de la recta que determinan dos

vectores dados y las distintas ecuaciones vectoriales

de un plano.

Semana 2

Función vectorial de un escalar

1. Reconocer las funciones vectoriales de una sola

variable y representar curvas en el espacio por medio

de ellas.

2. Calcular límites, derivadas e integrales de funciones

vectoriales de un solo parámetro.

3. Interpretar los conceptos de límites y continuidad

para funciones vectoriales para su aplicación en

problemas de longitudes, áreas y volúmenes.

Semana 3

Campo escalar

1. Comprender la representación geométrica de una

función escalar de dos variables.

2. Generalizar los conceptos de límites y continuidad

para funciones de dos variables.

3. Calcular derivadas parciales de funciones de dos

variables.

4. Distinguir entre derivada parcial y derivada

direccional y calcular derivadas direccionales.

5. Generalizar la noción de diferencial para funciones de

dos variables como el plano tangente en un punto.

6. Calcular el plano tangente en un punto de una

función de dos variables por medio del vector

gradiente.

7. Interpretar geométricamente el gradiente y aplicarlo

en problemas de ingeniería.


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Semana 4

Campos vectoriales

1. Reconocer las funciones vectoriales de dos y tres

variables.

2. Comprender los conceptos de divergencia y

rotacional de un campo vectorial y su interpretación

física.

3. Comprender el significado geométrico de la integral

de línea.

Semana 5

Integrales

1. Calcular integrales dobles y triples e interpretar la

integración como el volumen debajo de la superficie.

2. Aplicar los teoremas del cambio de variable para

integración de funciones de 2 y 3 variables.

3. Comprender y aplicar el Teorema de Green.

4. Comprender y aplicar el teorema de Stokes y de la

divergencia en la solución de problemas de campos

vectoriales.


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| ESQUEMA DEL CONTENIDO

| PROYECTO

Es necesario que leas por completo el documento del proyecto que te permitirá conocer los entregables o productos que debes realizar a lo largo de tu materia. Dicho documento lo encuentras en la plataforma, en la sección “Proyecto”. En caso de que tengas dudas, consulta a tu profesor.


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| INFORMACIÓN PARA EL PROFESOR Utilice el documento Indicaciones para el seguimiento del Proyecto, éste le ayudará a orientar a sus estudiantes.


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| CRITERIOS DE EVALUACIÓN

PORCENTAJES TOTALES

Evidencia de evaluación del aprendizaje Porcentaje

Foros: Pregunta de discusión 30% 30%

P

R O Y E C T O

Entrega 1 25%

70% Entrega 2 25%

Entrega final 20%

Porcentaje total 100% 100%

| DISTRIBUCIÓN SEMANAL

Evidencia de evaluación del aprendizaje

Semana

1

Semana

2

Semana

3

Semana

4

Semana

5

Porcentajes

Totales

FORO 10% 10% 10% 30%

PROYECTO Entrega 1

25% 25% 20% 70%

PORCENTAJES SEMANALES 10% 25% 10% 35% 20%

100%


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Introducción a los vectores

| INTRODUCCIÓN DE LA SEMANA 1

Estimado estudiante: Te damos la bienvenida al curso de análisis vectorial. Durante estas semanas aprenderás a aplicar tu conocimiento en materia de cálculo diferencial e integral en el estudio de funciones de varias variables con representación gráfica en el espacio. Estas funciones sirven para modelar ciertos fenómenos que ocurren en nuestro entorno humano tridimensional como la acción de las diversas fuerzas sobre un objeto, el flujo de un líquido en movimiento, la fuerza que el viento ejerce sobre una superficie. La base para modelar estos comportamientos, es el vector, pues describir por ejemplo una fuerza, requiere mucha más información que solo un valor real, será necesario registrar qué tan grande es la fuerza ejercida, su dirección y origen. Toda esta información es la que contiene un vector. En esta primera semana abordaremos la descripción matemática de los vectores en el plano y en el espacio, cómo se representan y las operaciones posibles entre ellos. Por ejemplo, dos vectores pueden sumarse para obtener otro; un vector puede estirarse o encogerse en la misma dirección que el original al multiplicarlo por un escalar; dos vectores no pueden multiplicarse tal cual, entrada por entrada, pero existen dos operaciones que también reciben el nombre de producto, por mencionar algunas de las operaciones posibles entre los vectores. Cabe mencionar que los vectores no solo son útiles en física e ingeniería pues a partir de ellos se pueden diseñar cosas como la animación por computadora. ¡Mucho éxito!


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| TRABAJO INDEPENDIENTE

ACTIVIDADES DE LA SEMANA

ACTIVIDAD INSTRUCCIÓN RECURSO

Lectura

Lee el capítulo 1 del libro de Edwards y Larson (2017).

Lo importante es que distingas la importancia de los conceptos vector, producto, rectas y plano.

Toma notas de la información y realiza los ejercicios que se proponen.

Libro: Edwards, B. y Larson, R. (2017). Matemáticas III: cálculo de varias variables. Cengage Learning.

Capítulo 1 Vectores y Geometría del espacio.

(Disponible en la Biblioteca Virtual ULA, colección E-libro).

Revisa la información contenida en el documento Espacios vectoriales.

El objetivo es que generalices los conceptos que estudiaste a vectores en espacios de dimensión mayor.

Documento: Espacios vectoriales.

Actividad

interactiva

Realiza la actividad interactiva Operaciones de vectores. Nota: Esta es una actividad formativa que te permitirá autoevaluar tus conocimientos e identificar áreas de oportunidad; no afectará tu calificación y podrás realizarla las veces que consideres necesarias.

Actividad interactiva: Operaciones de vectores

Pregunta de

discusión

Responde a la pregunta que tu profesor colocará en el foro de discusión. Para acceder a este espacio, haz clic en “Comparte tu respuesta” ubicado en la columna Recurso. Revisa la rúbrica para la pregunta de discusión y conoce los criterios para elaborar tus participaciones. Debes hacer dos participaciones:

1. Responde a la pregunta publicada por tu profesor.

2. Replica la participación de al menos uno de tus compañeros.

La fecha límite de ambas participaciones es el domingo de la semana académica correspondiente.

Comparte tu respuesta.

Rúbrica para la pregunta de discusión.


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En caso de dudas, pregunta directamente a tu profesor.

Lectura

Revisa los documentos: Estilo APA, Citas, Referencias y Plagio. Te ayudarán a comprender la importancia del uso correcto del estilo APA, así como los elementos que lo componen.

Documentos:

Estilo APA

Citas

Referencias

Plagio

Proyecto

Revisa la información del documento Proyecto que describe las actividades a desarrollar a lo largo de la materia. Asegúrate de organizar tus tiempos para que puedas realizar las actividades de las cinco semanas. En caso de que tengas dudas, consulta a tu profesor.

Documento: Proyecto

Sesión

Recuerda que debes asistir a tu sesión. Tu

profesor abordará los temas de la semana

mediante actividades prácticas en las cuales

aplicarás tu conocimiento.

Además explicará en qué consiste el

Proyecto de la materia y la metodología de

trabajo.

Sesión web


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Función vectorial de un escalar


Estimado estudiante.

En el estudio de las funciones de varias variables se trabaja con dos tipos de funciones: vectoriales y

escalares de varias variables. En esta segunda semana abordaremos las funciones vectoriales que

dependen de un solo parámetro. Estas funciones sirven para modelar curvas, ya sea en el plano o en el

espacio tridimensional, cuyos puntos son de la forma (𝑥, 𝑦) en el caso plano, o de la forma (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el

caso tridimensional. Sin embargo, para realizar un análisis riguroso de la curva, debemos poder recorrerla

continuamente, con respecto al tiempo t.

Con ese propósito, cada punto en la curva estará representado en forma de vector y cada una de sus

componentes será una función del tiempo, es decir, cada punto sobre la curva se expresará de la forma

(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑦), 𝑧(𝑡)) en el caso tridimensional.

Pensemos en el siguiente ejemplo, nuestra posición en cada momento en la Montaña Rusa no depende del

eje X o de un punto sobre el suelo, sino del tiempo.

Por su representación geométrica, estas funciones también se conocen como trayectorias, o curvas

paramétricas, por supuesto, el parámetro es el tiempo; y al ser funciones de una sola variable, los conceptos

de límite, continuidad puntual, derivada e integral, se calculan como en el cálculo diferencial e integral que

conocemos. Su estudio tiene diversas aplicaciones pues muchas cosas en el mundo se mueven describiendo

una trayectoria: un objeto que ha sido lanzado, un planeta, un avión, un atleta girando.


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Lectura

Lee el capítulo 14 del libro de Purcell, E. (2017).

Lo importante es que identifiques los conceptos clave del cálculo vectorial. Te recomendamos poner mucha atención a los ejemplos y que ejercites tu aprendizaje resolviendo los ejercicios al final de la sección.

Libro: Purcell, E. J. (2007). Cálculo. (9ª.edición). Pearson Educación.

Capítulo 14. Cálculo vectorial.

(Disponible en la Biblioteca Virtual ULA,

colección Pearson).

Libro: Edwards, B. y Larson, R. (2017). Matemáticas III: cálculo de varias variables. Cengage Learning.

Capítulo 3 Funciones vectoriales.


colección E-libro).

Lee las secciones 2.3, 2.5 y 2.6 del libro García, A. E.

Estas secciones muestran la aplicación de

derivadas e integrales de funciones

vectoriales paramétricas en el cálculo de

longitudes de arco, áreas y volúmenes.

Libro: García, A. E., (2014). Cálculo de varias variables. México: Grupo Editorial Patria.

Unidad 2: Funciones vectoriales.

Secciones:

2.3 Longitud de arco.

2.5. Áreas.

2.6. Superficies de Revolución


colección E-libro).

Revisa la información contenida en el documento Funciones paramétricas.

El objetivo es que puedas reconocer las

gráficas de funciones parametrizadas.

Documento: Funciones paramétricas.

Actividad

interactiva

Realiza la actividad interactiva Cálculo en funciones vectoriales de una variable. Nota: Esta es una actividad formativa que te permitirá autoevaluar tus conocimientos e identificar áreas de oportunidad; no afectará tu calificación y podrás realizarla las veces que consideres necesarias.

Actividad interactiva: Cálculo en funciones

vectoriales de una variable


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Proyecto

Envía tu entregable para que sea evaluado. Haz clic en la opción Entregable 1 ubicado en la columna Recurso.

Envío: Entregable 1

Sesión

Recuerda que debes asistir a tu sesión.

Tu profesor abordará los temas de esta semana académica y explicará el detalle de la entrega del proyecto de esta semana.

Sesión web


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Campo escalar


Estimado estudiante:

En esta tercera semana abordaremos el análisis de funciones de dos o tres variables. Para iniciar este estudio, debes considerar que en el caso de dos variables reales, una función de dos variables asigna a cada pareja en el plano X-Y, un número real 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧. La gráfica de una función (continua) como estas se puede visualizar cómo una sábana en el espacio, o como una carpa hiperbólica.

Para el caso de tres variables, una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ya es algo difícil de visualizar, por lo que el estudio se hace fijando una de las variables (casi siempre z), y estudiando la función de dos variables que resulta. La gráfica de una función de tres o más variables a la que se le fijó una variable se llama curva de nivel, o superficie de nivel.

La derivada de estas funciones significan lo mismo que en una sola variable: la taza de cambio. Sin embargo, la taza de cambio de una superficie, como una carpa hiperbólica en un punto puede ser distinta en cada dirección, por eso se estudia la derivada direccional.

Por su parte, las derivadas parciales son derivadas direccionales canónicas, sobre la dirección del eje X y el eje Y. Y también hay una noción de “recta tangente”, pero generalizada, es decir, en el caso de superficies se habla de un plano tangente a la función en un punto. Por ello era importante el estudio de ecuaciones vectoriales del plano en la semana 1.


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Lectura

Lee las secciones 14.1, 14.2, 14.3, 14.5 y 14.6 del libro de Thomas G, Weir M. D., Hass J., Heil. Christopher.

Lo importante es que al finalizar la lectura representes curvas paramétricas como funciones vectoriales de una sola variable y apliques tu conocimiento de límites, derivadas regla de la cadena e integrales en este tipo de funciones.

Te recomendamos poner mucha atención a los

ejemplos y que ejercites tu aprendizaje resolviendo los

ejercicios al final de la sección.

Libro: Thomas G, Weir M. D., Hass J., Heil, C. (2015). Cálculo: Varias variables. (13ª ed. )México: Pearson Educación.

Capítulo 14 Derivadas parciales

Secciones:

14.1 Funciones de varias variables

14.2 Limites y continuidad en dimensiones superiores

14.3 Derivadas parciales

14.4 Regla de la cadena

14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente

14.6 Planos tangentes y diferenciales


colección Pearson).

Revisa la información contenida en el documento El gradiente.

El objetivo es que identifiques cómo se

puede calcular el plano tangente en un

punto de una función de dos variables por

medio del vector gradiente.

Documento: El gradiente.

Video

Revisa y toma nota de los contenidos que se abordan en el video Gradiente de un campo escalar.

Lo fundamental es que practiques a la par del video un ejercicio que involucra el vector gradiente para obtener una derivada direccional.

Video: Gradiente de un campo escalar


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Pregunta de

discusión




La fecha límite de ambas participaciones es el domingo de la semana académica correspondiente. En caso de dudas, pregunta directamente a tu profesor.



Sesión



Sesión web


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Campos vectoriales



Los campos vectoriales que estudiaremos son funciones de dos (o tres) variables tal que a cada punto (𝑥, 𝑦) en el plano, se le asigna un vector 𝐹(𝑥, 𝑦). Los fenómenos típicos que modelan las funciones vectoriales de varias variables, son los campos de fuerza; por ejemplo, los campos eléctricos, gravitacionales o el comportamiento de los fluidos, la acción del viento, etc.

Cabe destacar que hay dos conceptos fundamentales en el estudio de campos vectoriales: divergencia y rotacional.

La divergencia de un campo escalar en un punto, es un valor escalar que indica si la fuerza en ese punto es de atracción o de repulsión. Por ejemplo, ¿has jugado hockey de mesa?, en cada hoyito de una mesa de hockey, la divergencia es positiva, es decir, que el aire sale de cada punto.

Por su parte, el rotacional en un punto de un campo vectorial es otro vector, este indica si el campo gira o no al rededor de ese punto, y de hacerlo, ¿qué tanto gira?. Por ejemplo, si el campo modela el flujo del agua de una tina de baño, entonces al quitar el tapón, el rotacional en el punto de desague, será un vector de gran magnitud que apunte hacia el techo, pues el agua al rededor del desagua tiende a rotar a su alrededor.

Finalmente, durante la semana estudiaremos los diversos tipos de integrales de funciones de varias variables. La primera que abordaremos es la integral de línea, cuya interpretación geométrica se parece mucho a el área debajo de la curva que aprendiste en cálculo diferencial e integral, pero esta vez la curva, será una curva parametrizada en el espacio, como las de la semana 2 y teniendo en cuenta el campo vectorial que actúa en cada punto de la curva.


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Lectura

Lee los capítulos 7, 8 y 9 del libro de Kenner, N.

Lo importante es que al finalizar la lectura

sepas representar gráficamente funciones

vectoriales de dos y tres variables.

Comprendas el significado geométrico del

divergente y el rotacional e integral de línea

y puedas calcularlos.

Libro: Kemmer, N. (1986). Análisis vectorial: matemáticas de los campos tridimensionales para físicos. Editorial Reverté.

7. Diferenciación de campos. Parte 1: el gradiente. 8. Diferenciación de campos. Parte 2: el rotacional. 9. Diferenciación de campos. Parte 3: la divergencia.


colección e-Libro).

Revisa la información contenida en el documento El determinante y el rotacional.

El objetivo es que puedas comprender cómo se calcula el rotacional de un campo vectorial como un determinante.

Documento: El determinante y el rotacional.

Pregunta de

discusión




La fecha límite de ambas participaciones es el domingo de la semana académica correspondiente.

En caso de dudas, pregunta directamente a tu profesor.




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Proyecto

Envía tu entregable para que sea evaluado. Haz clic en la opción Entregable 2 ubicado en la columna Recurso.

Envío: Entregable 2

Sesión



Sesión web


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Integrales



En esta última semana abordaremos lo referente a integrales de funciones de varias variables.

Las integrales dobles sobre un subconjunto del plano para una función 𝑓(𝑥, 𝑦), representan el volumen acotado entre la superficie descrita por 𝑓(𝑥, 𝑦) y el subconjunto del plano.

Por otro lado, la integral de trayectoria de una función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) es el área bajo una curva descrita sobre la superficie 𝑓(𝑥, 𝑦). Imagina que la superficie es el techo de tu casa y la curva es un rectángulo sobre las paredes de tu habitación. En este caso, la integral de trayectoria es el área de las paredes de tu habitación. Para un campo vectorial, esta noción se llama integral de línea.

La integral de superficie para una superficie S y una función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) es el área comprendida entre una superficie y la superficie descrita por 𝑓(𝑥, 𝑦). Para un campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) la integral de superficie es el volumen del campo vectorial sobre la superficie. La interpretación física de esta integral es el flujo, y su aplicación resuelve problemas como: ¿Cuál es el volumen del agua que pasa por la superficie del techo de tu casa después de una lluvia modelada por el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)?

Cabe destacar que los teoremas de Green, Stokes y de la Divergencia relacionan la integral de superficie de un campo vectorial con los conceptos de divergencia y rotacional que ya conocemos, para facilitar su cálculo.


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ACTIVIDADES DE LA SEMANA ACTIVIDAD INSTRUCCIÓN RECURSO

Video

Revisa y toma nota de los contenidos que se abordan en el video Glosario y formulario de integrales del análisis vectorial.

El objetivo de este material es que conozcas las principales integrales relacionadas al análisis vectorial.

Video: Glosario y formulario de integrales del análisis vectorial

Lectura

Lee el capítulo 4 del libro de García, A. E.

Lo importante es que al finalizar la lectura es que calcules integrales dobles, triples y de superficie y puedas comprender la aplicabilidad de los teoremas de Green y Stokes.

Atiende cuidadosamente los ejemplos de

centros de masa, densidad y momentos de

inercia.

Libro: García, A. E., (2014). Cálculo de varias variables. México: Grupo Editorial Patria.

Capítulo 4 Integrales de varias

variables.

(Disponible en la Biblioteca Virtual ULA, colección E-libro).

Proyecto

Envía tu entregable para que sea evaluado. Haz clic en la opción Entregable final ubicado en la columna Recurso.

Envío: Entregable final

Sesión


Tu profesor abordará los temas de esta

semana académica y explicará el detalle de

la entrega del proyecto de esta semana.

Sesión web


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| FUENTES DE CONSULTA

• Edwards, B. y Larson, R. (2017). Matemáticas III: cálculo de varias variables. Cengage Learning.

• García, A. E., (2014). Cálculo de varias variables. México: Grupo Editorial Patria.

• Kemmer, N. (1986). Análisis vectorial: matemáticas de los campos tridimensionales para físicos. Editorial Reverté.

• Purcell, E. J. (2007). Cálculo. (9ª.edición). Pearson Educación

• Thomas G, Weir M. D., Hass J., Heil. Christopher. (2015). Cálculo. Varias variables. (13ª ed. )México: Pearson Educación.

| PARA SABER MÁS Este es un material opcional, puedes consultarlo en caso de que desees ampliar tus conocimientos sobre el tema de la materia.

• Marsden J,E. Tromba A. J, (2004) Cálculo Vectorial (4a ed). México: Pearson Educación.

• Zill. D. G., Cullen M. R. (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol 2: Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo (3a. ed.). México: Mc Graw-Hill Interamericana.

Documents

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