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Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
65
UNIDAD 3
DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
CONTENIDOS:
Derivadas parciales, definición, diferenciación; interpretación geométrica. Aplicaciones
económicas: funciones marginales, elasticidades. Teorema del valor medio.
Diferenciabilidad y el diferencial total; significado geométrico de la diferencial. Plano
tangente y recta normal a una superficie. Aplicaciones económicas: sustitución de factores
en la producción, sustitución de bienes en la utilidad.
Diferenciales sucesivas. Derivadas parciales de orden superior. Derivadas de funciones
compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas. Teorema de Euler.
Funciones económicas homogéneas. Aplicaciones en la teoría de la distribución según la
productividad marginal. Ecuación del plano tangente cuando la superficie está expresada en
forma implícita. Fórmula de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos variables.
Aplicaciones económicas.
COMENTARIOS:
Suplemento Campo La Nación 22/7/2000
Préstamos y retiros, dos factores con peso propio. Son la espada de Damocles del agro.
El negocio agropecuario tiene en el crédito y en el retiro de capital a dos de sus habituales
enemigos. El abuso de ellos puede hacer naufragar cualquier intento productivo. No
obstante, si se realizan con sentido común pueden contribuir a un resultado positivo.
DESARROLLO:
Definición: Sea una función de dos variables x e y .La derivada parcial de f con respecto
a x, es aquella función denotada por ,1 fD tal que en cualquier punto(x;y) del dominio de f,
está dada por:
Δx
y)f(x;y)Δx;f(xlím
0Δx
si este límite existe. Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y, es aquella
función denotada por fD2 , tal que en cualquier punto (x;y) del dominio de f, está dada por:
Δy
y)f(x;Δy)yf(x;lím
0Δy
si este límite existe.
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66
En los ejercicios 1 a 6, obtenga las derivadas parciales pedidas a partir de la definición que
toma en consideración a Δx ó Δy.
1°) 103y5xy)f(x;
Solución:
5Δx
x5lím
Δx
10)3y(5x103yΔx)5(xlím
Δx
y)f(x;y)Δx;f(xlímy)f(x;D
0Δx0Δx0Δx1
Este valor obtenido significa que la función variará aproximadamente en 5 unidades,
cuando la primera coordenada varíe en una unidad mientras que la segunda coordenada
permanezca constante. Es decir, por ejemplo, si consideramos f(1;0)=15 y f(2;0) = 20 se
observa que el resultado varió en 5 unidades cuando x creció en una unidad e y permaneció
constante en 0 unidades.
2°) y)f(x;D y6x3xyy)f(x; 2
2
Solución:
Series1
Series7
Series13
Series19
0
5
10
15
20
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2 0
0,2
0,4
0,6
0,8 1
15-20
10-15
5-10
0-5
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y2x3y
)yy2x3(ylím
0y
Δy
)y6x(3xyΔy)(y6xΔy)3x(ylím
0Δy
y)f(x;Δy)yf(x;límy)f(x;D
22
0Δy0Δy2
Por lo tanto el valor funcional se modificará aproximadamente en 3x-2y unidades, cuando
la segunda coordenada varié en una unidad permaneciendo la primera coordenada
constante.
Por ejemplo: f(1;1)= 8 f(1; 2) = 8 O sea el valor funcional se modificó 0 unidades
cuando la segunda coordenada varió en una unidad permaneciendo constante la primera
coordenada.
3°) y);(x,f yxy)f(x; x2
122
4°) y)f(x;D y);f(x;D yxy2xy)f(x; yx
22
5°) y)f(x;D y);f(x;D 5y3xy)f(x; yx
32
6°) y)f(x;D y);f(x,Dy 5xy)f(x; yx
2
7°) Dada:
26y3xy)f(x; 22
calcule y)f(x;D1 7°.a) Aplicando la fórmula cuando el incremento de x tiende 0
Series1
Series7
Series13Series19
-10
-5
0
5
10
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2 0
0,2
0,4
0,6
0,8 1
5-10
0-5
-5-0
-10--5
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7°.b) Aplicando la fórmula cuando x tiende al valor 2
7°.c) Aplicando la definición y luego sustituyendo por el par (2;1).
Solución:
7°.a)
12x
)x4(x3lím
xx
0x
Δx
8263Δ12Δ12lím
Δx
2)6.1(3.426.1Δx)3(2límf(2;1)D
2
0Δx
22
0Δx1
7°.b)
122x
2)2)(x3(xlím
2x
4)3(xlím
2x
2)6.1(3.4263xlímf(x;1)D
2x
2
2x
2
2x1
7°.c)
6xΔx
x)3Δx(6xlím
Δx
3Δ6xΔxlím
Δx
2)6y(3x26yΔx)3(xlímy)f(x;D
0Δx
2
0Δx
2222
0Δx1
x
o sea 12f(2;1)D1
Por lo tanto, usando las diversas fórmulas de la definición de derivada parcial obtenemos el
mismo resultado. En este caso concreto, podemos asegurar que el valor funcional se
modificará aproximadamente en 12 unidades cuando la primera coordenada varíe en una
unidad manteniéndose constante en 1 la segunda coordenada.
8°) Utilizando la función del ejercicio anterior, calcule f(2;1)D2 aplicando las fórmulas,
oportunamente.
9°) Determine la derivada parcial respecto de y para y1,5xy)f(x; 2 por medio de la
definición
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69
10°) a) Obtenga cada una de las derivadas parciales. Para ello mantenga constante todas las
variables, excepto la que corresponda, siendo
)4y3x(1,5x)y(xy)f(x; 23
Solución:
34y)(3x2
11,5x)y(x)4y3x1,5)(y1,5x)(3xy2(xy)(x;f 2
1
2323
x
=
))43)(5,1(2
343)5,13(2)(5,1( 2
1
323
yxxyxyxyxxyx
y)(x;f y
)4()43(2
1)5,1()43()5,1(2 2
1
2333 yxxyxyxxxyx
))43)(5,1(43)(5,1(2 2
1
333
yxxyxyxxxyx
b) Evalúe cada una de las derivadas parciales anteriores en el par (2; 0,3) e interprete el
resultado obtenido.
Solución:
)3,0 ;2(xf -5,27
Interpretación: Cuando x crece en una unidad e y se mantiene constante en 0,3 , el valor
funcional variará aproximadamente en -5,27 unidades.
36,21)3,0;2( yf
Interpretación: Cuando y crece en una unidad y x se mantiene constante en 2, el valor
funcional variará aproximadamente en -21,36 unidades
En los ejercicios 11 a 14, obtenga cada una de las derivadas parciales.
11°) 2234 yxyf(x;y)
12°) yxxyf(x;y) lnln
13°) y)x(y)*(xf(x;y) 32cos
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14°) 22 3y2xy6xy)f(x;
15°) Compruebe que :
y)(x;f*yy)(x;f*xy)f(x; yx
Para:
xy
yxf(x;y)
33
Solución:
22
43
xyx
yy2xy)(x;f
22
43
yyx
x2xyy)(x;f
Por lo tanto:
22
33
22
33
22
44
22
4444
22
43
22
43 )(2222
yx
yx
yx
yxxy
yx
xyyx
yx
yxxyxyyx
yx
xxy y
yx
yyxx
Que es lo que queríamos demostrar
16°) Dada:
f(x,y) =
) ,((x,y
yxyx
yx
00) 0
)0,0(),( 22
33
Determine:
16°.a) f1(0,y) si y = 0
16°.b) f1(0,0)
16°.c) f2(x,0) si x = 0
16°.d) f2(0,0)
Solución:
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71
16°.a) 0)(
0
),0(),(),0(
220
22
33
001
yx
yxxlím
x
yyx
yx
límx
yfyxflímyf
xxx
16°.b) 10
0lim
0
)0,0()0,()0,0(
001
x
x
x
fxflímf
xx
16°.c) 0)0,(2 xf
16°.d) 1)0,0(2 f
17°) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie:
0364z9y36x 222
con el plano x = 1 en el punto ;3)12(1; . Interprete este resultado como una derivada
parcial.
Solución:
La curva que resulta de la intersección de la superficie dada con el plano x=1, está dada por
04z9y72 22
O sea que 18y4
9z 22 con lo cual 18y
4
9z 2 ya que el punto dado debe
pertenecer a la curva en cuestión.
Por lo tanto:
18y4
94
y9)y(
y
z
2
Con lo que resulta que 2
33)P(
y
z0
18°) Obtenga la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie:
22
yxz
Con el plano y = 1 en el punto (2;1;5).
Interprete esta pendiente como una derivada parcial.
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APLICACIONES ECONÓMICAS:
19°) Un fabricante, para obtener un producto necesita de dos insumos en forma variable y
de acuerdo con la siguiente ley de producción:
221121 xx2x6x)x;q(x
19°.a) Hallar las productividades marginales
19°.b) Interpretar económicamente para los valores de insumos dados: x1=3 y x2= 4.
Solución:
19°.a) 2211 2x6)x;(xq
12x )x;(xq 1212
19°.b) 2)4;3( 1q
5)4;3( 2q
Si el insumo 1 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 2 en 4
unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 2 unidades.
Si el insumo 2 aumenta infinitésimalmente, permaneciendo constante el insumo 1 en 3
unidades, la producción decrecerá aproximadamente en 5 unidades.
20°) La función de producción de un determinado país viene dada por la relación de Cobb-
Douglas: 0,350,65CTC)P(T;
donde T es el trabajo y C es el Capital
20°.a) Hallar las productividades marginales
20°.b) Analizar los signos de las derivadas parciales e interpretar.
20°.c) Ídem para la función de producción que viene dada por la relación de Arrrow:
1
)1();(
LKALKQ
Solución:
20°.a) 35,0C0,35-T 0,65T
C)P(T;
65,0C
0,65T 0,35 C
C)P(T;
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20°.b) Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se
incrementará la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el
capital se incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).
Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.
20°.c)
0
;)1();(
)1()1();(
)1()1();(
)1()1(1);(
1
111
11
111
L
LKQ
AL
LKQ
LLKA
A
L
LKQ
LLKAL
LKQ
LLKAL
LKQ
0
;);(1
K
LKQ
AK
LKQ
Ambas derivadas parciales son positivas, o sea, si se incrementa el trabajo se incrementará
la productividad (manteniendo constante el capital). Si se incrementa el capital se
incrementará la productividad (manteniendo constante el trabajo).
Sigue la misma ley directa para el caso de decrementos.
21°) Si la función de costo conjunto de la producción de las cantidades de dos bienes es:
22 2yxyx10y)C(x;
21°.a) Determinar los costos marginales
21°.b) Analizar la variación de la función costo cuando x = 10 e y = 15 si varía
infinitésimalmente el bien y
21°.c) Idem, pero variando infinitésimalmente el bien x
Solución:
21°.a) y2x y)(x;Cx
4yx y)x;Cy (
21°.b) 70 10;15)Cy (
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74
O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 15 unidades la producción del bien y,
manteniéndose constante en 10 unidades la producción del bien x, el costo de producción
conjunta se incrementa aproximadamente en 70 u.m.
21°.c) 35 10;15)Cx (
O sea, cuando se incrementa una infinitésima de 10 unidades la producción del bien x,
manteniéndose constante en 15 unidades la producción del bien y, el costo de producción
conjunta se incrementa aproximadamente en 35 u.m.
CLASIFICACIÓN DE LOS BIENES
a) Para la demanda en función de los precios
Sean: );( );( 212211 ppfDyppfD , funciones de demandas para ambos bienes,
dependiendo ellas de los precios de dichos bienes
NEGATIVA (S) POSITIVA (S)
i
i
p
D
Bien Típico Bien Giffen ó bien
Veblen
1
2
2
1
p
D
p
D
Bienes Complementarios Bienes Sustitutivos
b) Para la demanda en función del precio y del ingreso
c) Sea: );( IpfD , la función de demanda de un bien, dependiendo de su precio y
del ingreso del consumidor
NEGATIVA POSITIVA
I
D
Bien Inferior Bien Normal
22°) Sea la función de demanda de un producto 321 ;;x xx :
2
3
2
2
2
1321 0,3p0,3p0,5p150000)p;p;f(p
Donde p1 indica el precio por unidad de producto 1x , 32 py p indican los precios por
unidad de los productos 321 x y x,x
22°.a) Calcular todas las derivadas parciales.
22°.b) Si los precios actuales de cada uno de los productos son: p1= 10 u.m.; p2= 15 u.m. y
p3= 20 u.m.; evaluar las derivadas parciales e interpretar su significado.
22°.c) Qué sugerirán la función de demanda y sus derivadas parciales respecto a la
interdependencia entre los tres productos?
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ELASTICIDAD (TASA DE CAMBIO PROPORCIONAL)
ELASTICIDAD MEDIA:
La elasticidad de una función mide la relación entre el cambio porcentual en la variable
dependiente y el cambio porcentual en una de las variables independientes, o lo que es lo
mismo decir que es una medida de la sensibilidad (o respuesta) de la variable dependiente
ante los cambios en una de las variables independientes. Es el cociente entre las variaciones
relativas de la variable dependiente y de una de las variables independientes.
f
x
x
f
x
x
f
f
E i
i
i
i
xi
ELASTICIDAD PUNTUAL:
La elasticidad puntual, mide el porcentaje de cambio de la variable dependiente ante una
variación del 1% de una de las variables independientes.
f
x
x
f
f
x
x
flím
x
x
f
f
límElím i
i
i
ix
i
ix
xx ii
ii
000
Si se estudian funciones de producción, que dependen de los inputs/insumos; la
comparación de las productividades marginales de los insumos se hace difícil ya que vienen
expresadas en unidades de output/producto por unidad de input. Para evitar esta
dependencia de las unidades de los insumos en términos absolutos, se suele emplear una
medida adimensional de los cambios en la producción atribuibles a cambios en la
utilización de un determinado input: la elasticidad. La elasticidad del output respecto al
input i mide el porcentaje en que aumenta el output cuando dicho input aumenta en un uno
por ciento. Es decir:
f
x
x
fE i
i
xi
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76
CLASIFICACIÓN DE LA FUNCION DE ACUERDO A LA ELASTICIDAD:
VALOR ABSOLUTO DE LA
ELASTICIDAD
CLASIFICACION
Igual a Cero Perfectamente Inelástica significa que
variando la variable independiente la
variable dependiente permanece constante
Menor a uno Inelástica significa que variando la variable
independiente, la variable dependiente
cambia en menor proporción
Igual a uno Unitaria significa que variando la variable
independiente, la variable dependiente
cambia en igual proporción
Mayor a uno Elástica Unitaria significa que variando la
variable independiente, la variable
dependiente cambia en mayor proporción
Creciente ilimitadamente Perfectamente Elástica, la relación del
cambio proporcional es ilimitada o sea
incomparable
23°) Dadas q
p D
q
p D
2
21 funciones de demanda de dos artículos cuyos precios son p
y q respectivamente.
Clasificar los bienes y hallar las elasticidades de cada una de las demandas para los precios
q=10 p = 20
24°) Dada la función de producción: 0,40,6 C L 3 C)(L; P donde L es el trabajo y C el
capital.
Hallar las elasticidades parciales de la producción e interpretar el resultado para L= 5 y
C= 4
24°a) ídem para la función de Arrow:
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77
02,0
102,002,0 )1(3);(
LKLKQ
25°) Un fabricante ha determinado la relación existente entre las unidades de un bien que
vende anualmente y los gastos hechos en publicidad de los mismos por radio y televisión.
0,15xy0,1y0,5x20000y50000xy)V(x; 22
donde V(x;y) es el número de unidades vendidas anualmente, x el monto en miles de pesos
destinados a publicidad televisiva e y el monto en miles de pesos destinados a publicidad
radial.
25°.a) Si el monto destinado para publicidad por TV es 600000 u.m. y el monto para
publicidad por radio es 400000 u.m.; determine la venta anual proyectada.
25°.b) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por televisión, respecto
de las ventas? –en las condiciones del inciso a-
25°.c) Qué sucede si se destinan 1000 u.m. menos a la publicidad por radio, respecto de las
ventas? –en las condiciones del inciso a-
25°.d) Calcule la variación real de las unidades vendidas, tanto para el inciso b como para
el inciso c.
Solución:
25°.a) V(600;400) = 37768000
25°.b) 49340(600;400)Vx
25°.c) 19830(600;400)Vy
25°.d) V(599;400)V(600;400) 49340,5
V(600;399)V(600;400) 19830,1
FUNCIONES HOMOGÉNEAS
Definición:
Una función es homogénea de grado n, si cumple:
y)f(x, λ λy)x,f( n siendo un escalar real
O sea, si una función es homogénea, a partir de un par de valores (x,y) en el dominio y del
valor funcional resultante en dicho par, es posible conocer el valor funcional para cualquier
par de la forma y)x,( siempre que este par esté en el dominio.
Si una función es homogénea de grado n, las funciones marginales son funciones
homogéneas de grado n-1
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78
Una aplicación interesante, en el área de la economía es lo que se conoce como
Rendimientos a escala este concepto hace referencia a cómo varía la función de
producción cuando aumentan todos los inputs en la misma proporción, es decir, cuando se
aumenta la escala de la empresa. Supóngase que se está utilizando (x,y) para producir una
cierta cantidad de output y o lo que es lo mismo (x,y) f, decidiendo multiplicar (escalar)
todos los inputs por una cantidad determinada >0. Se dice que la tecnología presenta
a) rendimientos decrecientes a escala si:
0 y),f(x, λ λy)x,f( 1
b) rendimientos constantes a escala si:
0 y),f(x, λ λy)x,f( 1
c) rendimientos crecientes a escala si:
0 y),f(x, λλy)x,f( 1
En el caso a, la duplicación de inputs en un proceso productivo da lugar a un output
menor que llevar a cabo dos procesos productivos separados, por lo tanto la acumulación de
inputs en un proceso productivo no es beneficioso, ya que el producto de un proceso
productivo con el doble de inputs es inferior al de dos procesos productivos separados. En
el caso b, el resultado de duplicar los inputs es equivalente a llevar a cabo dos procesos
productivos separados, o sea la acumulación de inputs en un proceso productivo no es
beneficioso, ya que el producto de un proceso productivo con el doble de inputs es
semejante la acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el
producto de un proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos
productivos separados al de dos procesos productivos separados. En el caso c, la
acumulación de inputs en un proceso productivo es beneficioso, ya que el producto de un
proceso productivo con el doble de inputs es superior al de dos procesos productivos
separados.
Puede ocurrir que una determinada tecnología genere rendimientos crecientes a escala en
algunos situaciones productiva y decrecientes en otra, en dichas situaciones resulta útil
emplear una medida local de los rendimientos de escala. Esta medida es la elasticidad de
escala, que se define como el cambio porcentual que se produce en el output debido a un
cambio de un uno por ciento en todos los inputs, y se define en términos matemáticos
como:
1
1
1ln
,...ln,...
n
n
xxfxxE
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79
Expresión que se evalúa en =1, por lo tanto se está considerando la escala presente de
operaciones
La elasticidad de escala se puede expresar como una suma de elasticidades parciales, ya
que:
n
j
j
j
n
nn
nnn
x
x
xxf
xxfxxf
xxfxxfxxE
1
1
11
111
,...
,...,...
,...
ln
,...ln,...
La cual evaluada en =1, deviene en:
n
j
xj
n
j n
j
j
nn E
xxf
x
x
xxfxxE
11 1
11
,...
,...,...
Por lo tanto, para calcular la elasticidad de escala en un punto, lo único que hay que hacer
es sumar las elasticidades de cada input, evaluadas en el punto mismo.
Teorema de Euler:
Si una función f es homogénea de grado n, con derivadas parciales continuas, entonces
verifica que:
y)f(x;n y)(x;fy y)(x;f x yx
26°) Compruebe que: 3223 7yy3x2xy6xy)f(x;
es homogénea de grado 3. Verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler.
Solución:
Veamos qué sucede con los valores funcionales en todos los pares múltiplos de un par
genérico (x;y); dichos pares son de la forma )y;x( con R
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80
y)f(x;λ)7yy3x2xy(6xλy)x)(( 2x)6(y)x;f( 33223323 32 )y(7)y()x(3
Por lo tanto f es homogénea de grado 3.
Observe, que para todo par múltiplo de (x;y), el valor funcional resulta ser el valor
funcional inicial multiplicado por el factor elevado al cubo.
Comprobemos que se verifica el Teorema de Euler:
y)f(x; 3y)(x;fy y)(x;f x yx
Primeramente tenemos que analizar la existencia de las derivadas parciales; observe que las
mismas existen para todo par ordenado de 2R , siendo:
22
2
y21x3xy4)y;x(
xy6y2
y
2
x
f
x 18y)(x;f
Por lo tanto:
y)3f(x;)7yy3x2xy3(6x
21yy9x6xy18x)21y3x(4xyy 6xy)2y(18x x
3223
32232222
27°) Compruebe que:
33
2
yx
yxy)f(x;
es homogénea de grado 0, verifique asimismo que se cumple el teorema de Euler
APLICACIONES ECONÓMICAS:
28°) Dada la funciones de producción de Cobb-Douglas y de Arrow, citadas en la unidad 1
en la aplicaciones económicas
Analizar si son homogéneas y en caso afirmativo, definir el grado de homogeneidad.
Solución:
Función de producción de Cobb-Douglas
Si 1 es homogénea de grado uno; de lo contrario es homogénea de grado
.
Función de producción de Arrow
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81
LKjQLKQj
LKjAjLjKAjLjKQ
;;
11;
1
11
Es homogénea de grado uno.
Generalmente las funciones de producción homogéneas son de grado uno, o sea el producto
aumenta en la misma proporción que los insumos y el rendimiento es constante, además
las productividades marginales son homogéneas de grado cero, lo cual implica que
dependen exclusivamente de la proporción en que se usan los insumos, permaneciendo
inalterables ante cambios proporcionales de los mismos.
Si el grado de homogeneidad es mayor a uno, significa que el producto aumenta en
proporción mayor que los insumos y el rendimiento es creciente.
Si el grado de homogeneidad es menor a uno, el producto aumenta en menor proporción
que los insumos y el rendimiento es decreciente.
Para cada una de las funciones de producción definidas en los ejercicios 29°) a 31°),
determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala. La
función representa a la producción total, x e y representan a los insumos.
29°) 323 2y0,5xy3xy)f(x;
30°) y
10
y
x
x
12y)f(x;
2
Solución:
Es homogénea de grado -1. Rendimiento a escala decreciente
31°) y
0,1x5y3xy)f(x;
2
32°) Dada la función de producción de Cobb-Douglas : 0,60,4 T C 5 T)(C; P
32°.a) Determinar su grado de homogeneidad
32°.b) Verificar que se cumple el teorema de Euler
32°.c) Hallar las productividades marginales y determinar el grado de homogeneidad
32°.d) Ídem para la función de producción de Arrow:
02,0
102,002,0 )1(3);(
LKLKQ
33°)El costo variable conjunto de dos bienes A y B responde a la función:
C(x,y)= √4𝑥2. 𝑦 + 𝑥. 𝑦2 + 𝑦3
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33°.a)Comprobar que es homogénea y hallar el grado
33°.b)Verificar el teorema de Euler
33°.c)Si se desea reducir el costo un 15% ¿En qué porcentaje deben variar x e y?
33°.d)Si las variables se incrementan en un 10 % ¿En qué porcentaje varía el costo?
Definición: Si f es una función de dos variables x e y, entonces el incremento de f en el
punto )y,(x 00 , denotado por )y,Δf(x 00 , está dado por
),yf(x - y) yx,(x f )y,Δf(x 000000
Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y el incremento de f en )y;(x 00
puede escribirse como
y x y )y;(xf Δx )y;(xf )y;Δf(x 2100y00x00
donde 1 y 2 son funciones de Δx y Δy , tales que 01 y 02 cuando (
(0;0)Δy)Δx; , entonces f es diferenciable en ( )y;x 00
Teorema del valor medio: Si una función de dos variables es continua en un conjunto C y
derivable en su interior, dados dos puntos tales que el rectángulo de lados paralelos a los
ejes que los tiene por vértices opuestos, esté incluído en C, el incremento de la función
entre ellos es igual a la suma de los productos de los incrementos de las variables por las
respectivas derivadas parciales de la función, tomadas en sendos puntos pertenecientes a
dos lados consecutivos de dicho rectángulo.
10 ;10
y; y)y;(xf Δx y)yx;(xf )y;Δf(x
21
200y010x00
Definición: Si f es una función de dos variables x e y, y si f es diferenciable en (x,y)
entonces la diferencial total de f es la función df dada por
y y)(x,f x y)(x,f Δy)Δx,y,df(x, yx
34°) Si 22 2y0,5xy4xy)f(x; evalúe
34°.a) Δf(1;4) ; incremento de f en (1;4)
34°.b) Δf(1;4) cuando -0,03yy 0,02Δx
34°.c) df(1;4; Δy)Δx; la diferencial total de f en (1;4)
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34°.d) df(1;4;0,02;-0,03) y compare el resultado con el obtenido en 33°.b)
Solución:
34°.a)
)26()y4(2)y4)(x1(5,0 2 2x)4(1f(1;4)- Δy)Δx;4f(1Δf(1;4)
= 26)y(2y1632yx5,0x2y5,02)x4 22 (x 84
=2)y(2yx5,0y5,15 2x)4( x 10
34°.b) Si reemplazamos 02,0x y 03,0y en lo obtenido genéricamente en el paso
anterior, se tiene:
0,6645f(1;4)-0,03)-0,02;4f(1Δf
Por lo tanto el valor funcional se incrementa en 0,6645 unidades cuando se pasa del par
(1;4) al par (1,02 ; 3,97)
34°.c) 0,5y8xy)(x;f x
4y-0,5xy)(x;f y
Por lo tanto df( y15,5-x 10y)x;1;4;
Observe, que la diferencial total es una función que depende de cuatro variables; aquí
concretamente hemos dejado dos variables fijas (la primer coordenada y la segunda
coordenada) y han quedado libres la tercera y cuarta variable. Tenga presente que el
resultado obtenido es genérico y que variará de acuerdo a Δx y a Δy .
34°.d) df(1;4;0,02;-0,03)=0,665
Comparando con el resultado obtenido en 33°.b)(que es el valor real del salto que la
función genera cuando se pasa del par (1;4) al par (1,02; 3,97)) , se puede considerar el
resultado de la diferencial total como una buena aproximación al salto real.
En este caso, si nos valemos de este último elemento para estimar el valor real del salto,
estaríamos cometiendo un error menor a 0,0005 unidades.
35°) Si g(x;y)= xyey x 2 determine:
35°.a) Δg(3;-1); el incremento de g en (3;-1)
35°.b) Δg(3;-1) cuando 0,1Δx y 0,2Δy
35°.c) dg(3;-1; Δy)Δx; la diferencial total de g en (3;-1)
35°.d) dg(3;-1;-0,1;0,2)
36°) Si g(x;y)= y)ln(x evalúe:
36°.a) Δg(-1;3) el incremento de g en (-1;3)
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36°.b) Δg(-1;3) cuando 0,01Δx y 0,03Δy
36°.c) dg (-1 ; 3 ; Δy); Δx la diferencial total de g en (-1; 3)
36°.d) dg(-1 ; 3 ; 0,01 ; 0,03)
37°) Dada f(x;y)= xy2y3x
37°.a) Calcule la diferencial total de f en (1 ; 2) para 0,1Δx y 0,01Δy
37°.b) Calcule el valor aproximado de la función para el par en cuestión.
37°.c) Calcule el error que se comete usando el diferencial
Respuesta:
37°.a) 0,110,01 0,1 ;0,01)df(1;2;0,1
37°.b) 5,11 0,11 5 )f(1,1;2,01
37°.c) 5.109 (2,01) 1,1 - (2,01) 2 (1,1) 3 )f(1,1;2,01
Por lo tanto: el error es = 5,109 – 5,11= - 0,001
En los ejercicios 38°) a 40°) determine la diferencial total:
38°) z = 3yy xx 4 23
39°) z = cos(xy)exy
Solución:
dy (xy)) senx e (x dx y sen(xy))e(y dz xyxy
40°) z = 22 yx
1 ln
Solución:
dy)y dx (xyx
1- dy
yx
y- dx
yx
xdz
222222
En los ejercicios 41°) y 42°) demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su
dominio:
41°) y x 4 -y x 2 y)f(x; 2
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Solución:
000
2
00000
2
0
2
000
2
00
2
0
000000
2
0
00000
y4x y2xyx 4Δx4yΔyx 4y4xΔy)ΔxyΔxΔxΔy2xΔxy2xΔyxyx 2(
4x y 2(x-y)Δx)(y(x 4 - Δy)(y Δx)(x 2
f(x-Δy)y; Δxf(x )y;Δf(x
0
2
0
y)
)y;
= y x 4 -xy 4 -y4x-y x 2 y x 2y x x 4xyx 4Δy 2x 00
2
0
2
000
2
0
Ahora bien:
00000x 4y-y4x )y;(xf
0x42
000y 2x )y;(xf
Con lo cual:
yx4-yx2 yx2yx4xy )y;(xf - Δx )y;(xf-)y;Δf(x 2
0
2
000y00x00
Busquemos las distintas formas de reescritura del 2° miembro de la igualdad anterior a los
efectos de analizar si 01 y 02 cuando (0;0) y) x; (
a) yx4 - xy)x2y x2y x (4 0 0
b) y x)4- x(2 x )y x 2y (4x 2
00
c) y x)4-x(4x x y)x2y x(2 00
d) y 2
00 x 2 x y)4- y x2y(4x
e) yx4x x y)4 - y x2yx (2 00
f) y )x2 x(4x x y)4 -y x(2 2
00
g) y x)4 -x2x (4x x )y x (2 2
00
Hemos agotado las posibilidades de reescritura y vemos que para todas se verifica que:
00
2(0,0)y)x,(
1(0,0)y)x,(
lím lím
Por lo tanto podemos afirmar que la función dada es diferenciable para todo par )y,(x 00
de su dominio.
42°) f(x;y)=y
x 2
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Solución: y)(y y
y x
y y)(y
y2x-y x
0
2
0
2
02
00
00
1
43°) Dada:
1y 1 x si 2
1y 1x si 2-y y)f(x;
x
Demostrar que f(1;1) D1 y f(1;1) D2 existen pero f no es diferenciable en (1,1)
Solución:
1 x
0-2- 1Δx1lím
x
f(1;1)-x;1)f(1lím (1;1) fD
0x0x1
1 y
0-2-y11 lím
y
f(1;1)-y)f(1;1lím f(1;1) D
0y0y2
Con lo cual hemos demostrado que ambas derivadas parciales existen en el par (1;1)
Para demostrar que f no es diferenciable en (1;1), veamos que f no es continua en (1;1):
a) f (1;1)=1
b) Analicemos el y)f(x; lím(1;1)y)(x;
Sea 1y : y)(x; S1
01x
1x1x(1;1)y)(x;lím2-1xlím y)f(x; lím
1Sy)(x;
Sea xy :y)(x; S2
2 2 lím y)f(x;lím1x(1;1)y)(x;
2Sy)(x;
Por lo tanto el y)f(x; lím(1;1)y)(x;
no existe
Con lo cual f no es continua en (1;1), por lo tanto f no es diferenciable en (1;1)
En los ejercicios 44°) a 46°), analizando la continuidad de las derivadas parciales, analice
si la función es diferenciable y en qué pares esto es válido.
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44°) 22 y3xy2x y)f(x;
Solución:
3y 4x y)(x; f x es continua para todo par de 2R
2y3x y)(x; f y es continua para todo par de 2R
Por lo tanto podemos afirmar que f(x;y) es diferenciable en 2R
45°) x sen y (x ln 6 y)f(x; )
Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio.
46°) -3y3x e x - ey y)f(x;
Solución: Es diferenciable en todos los puntos de su dominio.
TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN
Definición:
La tasa marginal de sustitución de x por y )(TM xy se refiere a la cantidad de y que un
consumidor está dispuesto a renunciar para obtener una unidad adicional de x y permanecer
en la misma curva de indiferencia, o sea que no se modifique el nivel de satisfacción o
utilidad.
dy U dx U0
y)U(x;U
yx )y;x()y;x(
Con lo cual y
x
U
U
dx
dy Por lo tanto
y
x
U
U TM xy
La relación marginal de sustitución es por tanto la pendiente de la curva de indiferencia en
ese punto; su signo es negativo como consecuencia del carácter decreciente de la curva de
indiferencia, puesto que en general para incrementar el consumo de un bien y permancer en
la misma curva de indiferencia es necesario renunciar a un determinado número de
unidades del otro bien. No obstante en muchas ocasiones es frecuente expresar la RMS en
valor absoluto, prescindiendo por tanto del signo.
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Si 3 TMxy y
x
U
Udeberá interpretarse que el consumidor ha de renunciar al consumo
de tres unidades del bien Y a los efectos de poder consumir una unidad más del bien X, si
es que desea mantener su nivel de utilidad o satisfacción.
Si se analiza la variación de la relación marginal de sustitución a lo largo de una curva de
indiferencia, se puede concluir que ésta va disminuyendo a medida que se incrementa el
consumo de un bien, correlación inversa entre ellos y que es una manifestación del carácter
convexo de las curvas de indiferencia. Este decrecimiento de la RMS informa de que un
individuo empieza a estar relativamente más saciado a medida que consume más de un
mismo bien.
Si en lugar de trabajar con una función de utilidad, se trabaja con una función de
producción la tasa marginal de sustitución de x por y (cantidades de producidos) se
denomina relación marginal de transformación (RMT)
47°) Se la función de utilidad dada por yxy)U(x; 3 , calcule la tasa marginal de
sustitución x por y en (3;10)
Solución:
3
2
xyx
y3xTM
Con lo cual la tasa marginal de sustitución en el par indicado es:
1027
270 TMxy
48°) Si la función de utilidad de un consumidor está dada por:
2
2
121 q2q)q;U(q
Y el consumidor compra 4 unidades de q1 y 5 de q2.
48°.a) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su
compra de q2 aumentara a 8 unidades?
48°.b) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su
compra de q1 aumentara a 6 unidades?
48°.c) Qué cantidad de q1 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su
compra de q2 decrece a 4unidades?
48°.d) Qué cantidad de q2 debe comprar para mantener el mismo nivel de utilidad si su
compra de q1 decrece a 2 unidades?
48°.e) Hallar la tasa marginal de sustitución o relación de sustitución entre bienes.
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Solución:
48°.a) 10
48°.b) 2,2
48°.c) 5 2
48°.d) 20
48°.e) 2
5
U
U
2
1
q
q
49°) Una empresa va a fabricar 10000 cajas de madera cerradas, cuyas dimensiones serán
2, 4 y 6 metros. El costo de la madera que se empleará es de $15 por metro cuadrado. Si las
máquinas que se utilizan para cortar madera tienen un error posible de 0,5 cm en cada una
de las dimensiones, calcule, aproximadamente, empleando el concepto de diferencial total,
el máximo error posible en el cálculo del costo de la madera.
Solución:
La cantidad de metros cuadrados de madera para fabricar una caja está dado por
yz2 2xz2xy z)y;f(x;
(2;4;6) )z;y;(x 000
0,005mΔz 0,005m Δy 0,005m Δx
2y2xf
2z2x f
f
z
y
x
z2y2
Tomando el valor máximo para z ;y ; Δx se tiene:
,005)05;0,005;0(2;4;6;0,0 df 20 (0,005)+16(0,005)+12(0,005)=0,242m
Con lo cual, podemos afirmar que el error aproximado máximo en el cálculo de la cantidad
de madera para una caja es de 0,242m ; por lo tanto el error aproximado en la fabricación de
10000 cajas será de 24002m . Siendo el error aproximado máximo en el costo total de
$15 (2400) = $36000
50°) La demanda de un producto está dada por:
2
221
1
21 p 8 p pp
100 ) p;p D(
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90
Calcular aproximadamente la variación de la demanda del bien cuando los precios se
incrementan en un 10%, siendo los precios antes del incremento 15 u.m. y 12 u.m.
respectivamente.
Solución:
La variación de la demanda es de aproximadamente 265,725 unidades
Regla de la cadena:
En los ejercicios 51°) a 53°) obtenga la derivada parcial que se indica por dos métodos:
a) Empleando la regla de la cadena
b) Haciendo las sustituciones de x e y antes de diferenciar
51°) 22 y - x u siendo 2s r y s-3r x
Hallar r
u y
s
u
Solución:
a) s10 -r 16 2y-6x (-2y) 2x(3) r
y
y
u
r
x
x
u
r
u
s6 -r -10y 4 - x 2- 2 (-2y) 2x(-1) s
y
y
u
s
x
x
u
u
s
b) 2222 s3 - r s 10 - 8r 2s)(r - s)-(3r s)u(r;
s6 -r 10 - s)(r; u
s10 -r 16 s)(r; u
s
r
Que es lo mismo que habíamos obtenido anteriormente en a)
52°) 2y-x4y-2xy 3x u 22 siendo s r y 3s-2r x 22
Hallar s
u ;
u
r
Solución:
a)
3- 16s-s16r-8rs18s-6r-50s-36r- (2s) 2)-8y-(2x (-3) 1)2y(6x s
u
216rs- 16r-12sr- s4 12r36s-20r (2r) 2)-8y-(2x (2) 1)2y(6x u
3222
2322
r
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53°) e u y
x
siendo (t) 4r sen y cos(t)2r x Hallar t
u ;
r
u
Solución:
)t(2
2
t cotg
tr 2sen
e- u 0 u
En los ejercicios 54°) y 55°), obtenga la derivada total t
u por dos métodos:
a) Empleando la regla de la cadena
b) Sustituyendo x e y antes de diferenciar
54°) yx e x ey u siendo (t) seny (t) cos x
Solución:
cost) x(-sent e cost)(-ysente (cost) )e x (e (-sent) )e ey (
t
y
y
u
t
x
x
u
t
u yxyxyx
t)cos (-sent e cost) t(-sen e 2sent2cost
55°) 222 z y x u siendo (t) senz (t) cos y (t) tan x
Solución: sec(t)(t) tan ut
Teorema de Clairaut (conocido como Teorema de Schwarz): Sea f una función de las dos
variables x e y, definida en un disco abierto ryxB ;; 00 y que yxxyyx fyfff ,, están
definidas en B, y que yxxy fyf son continuas en B. Entonces:
0000 ; ; yxfyxf yxxy
Demostración (Leithold): Sea un cuadrado con centro en 00 ; yx y que la longitud de sus
lados sea rhh 20 y 2 , entonces todos los puntos interiores y los de los lados del
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cuadrado están en el disco abierto ryxB ;; 00 , por lo tanto ,; 00 hyhx
,; ,; 0000 hyxyhx están en B. Se define Δ como:
00000000 ;;;; yxfhyxfyhxfhyhxf (1)
Sea G definida por:
00 ;; yxfhyxfxG (2)
Entonces:
00 ;; yhxfhyhxfhxG
Por lo que (1) puede reescribirse a partir de G como:
00 xGhxG (3)
De (2): 00
´ ;; yxfhyxfxG xx (4); donde hxxxxG 00
´ ; y G es
continua si x pertenece al citado intervalo.
Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:
hxxcxhx
xGhxGcG
001
00
001
´ ;;
De lo cual, sigue que:
1
´
00 chGxGhxG ; por lo tanto:
01011
´ ;; ycfhycfhchG xx (5)
Definiendo: );)( 1 ycfyg x (6)
Se puede expresar (5) como:
00 )( yghygh (8)
Y de la relación definida en (6)
ycfyg xy ;)( 1
´ (7) donde hyyyyg 00
´ ; y g es continua si y pertenece al
citado intervalo.
Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:
hyydyhy
yyhygdg
001
00
001
´ ;;
Y se llega a que:
hdg 1
´
Y reemplazando en la igualdad expresada en (8), se llega a
Bdcdcfh xy 1111
2 ;;; (9)
Sea ahora:
hxfyhxfy ;; 00 (10)
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De modo que:
hhxfhyhxfhy ;; 00
Por lo tanto (1) puede expresarse como:
00 yhy (11)
De (10)
hxfyhxfy yy ;; 00
´ (12) donde hyyyy 00
´ ; y
Ф es continua si y pertenece al citado intervalo.
Por el teorema del valor intermedio, se tiene que:
hxfyhxfhdhyhy yy ;; 002
´
00 de (11) y (12)
Pero si se define una nueva función:
2;dxfx y (13)
00 xhxh (14)
De (13):
2
´ ;dxfx yx (15)
Y nuevamente por el teorema del valor intermedio:
002002 /; xhxchhxxc
De (14) y (15):
22
2 ;dcfh yx
Con esta expresión para Δ y la expresión dada en (9), se arriba a:
11
2
22
2 ;; dcfhdcfh xyyx
Como BdcyBdcdcfdcfh yxxy 22112211 ; ;;;;0 (16)
Pero:
10;
10;
10;
10;
4402
3301
2202
1101
hyc
hyd
hxc
hxc
Si se retoma (16) y se sustituye por las igualdades anteriores, se tiene que:
40203010 ;; yxfyxf yxxy
Puesto que yxxy fyf son continuas en B, si se toma el límite de los dos miembros de esta
ecuación, cuando h tiende a cero, se obtiene:
0000 ;; yxfyxf yxxy
En los ejercicios 56°) a 60°), haga lo siguiente:
a) Obtenga y)f(x;D11
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b) Calcule y)f(x;D22
c) Muestre que y)f(x;Dy)f(x;D 2112
56°) 2
2
x
y -
y
x y)f(x;
Solución:
Para obtener las derivadas que nos solicitan, que son de segundo orden, primero debemos
obtener las derivadas de primer orden.
31x
y
y
2xy)(x;f
22
2
2x
1
y
x- y)(x;f
Con lo cual:
a) 411
x
y6-
y
2 y)(x; f
b) 3
2
22y
x2 y)(x; f
c) 3212x
2
y
2x- y)(x; f
3221x
2
y
2x- y)(x; f
57°) sen(y)e y)f(x; 2x
58°) xyy)f(x;
Solución:
a) ln(y) y y)(x;f x
1 1-x
2 y x y)(x;f
Con lo cual: 2ln(y) y y)(x;f x
11
b) 2-x
22 y 1)-(x x y)(x;f
c) 1-x1-x
12 y ln(y) y x y)(x;f
(y) ln y x y y)(x;f 1-x1-x
21
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95
59°) y senx x y sen y)f(x;
60°) y) (x ln y)f(x; 2
Solución:
a) x
2 y)(x;f1
y
1y)(x;f2
211x
2- y)(x;f
b) 222
y
1- y)(x;f
c) 0y)(x;f y)(x;f 2112
Derivación de funciones dadas implícitamente:
Definición: Si z se define como una función implícita de x e y por la ecuación F(x;y;z)=0 y
si 0z)y;(x;Fz , entonces
z
x
F
F xz
z
y
yF
Fz
61°) Dada la ecuación 0yzz2yx 23
Hallar yz yzx : 61°a.) Despejando z=F(x;y) y luego derivando
61°.b) Aplicando la fórmula de derivación de funciones implícitas
61°.a) y2y
x- z
2
3
Con lo cual: y
zx
2
2
2y
3x -
22y)yy2(
)1y4(z
3x
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Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
96
61°.b) 2
x 3xF
z4yzFy
y2yF 2
z
Por lo tanto: y2y
3x
F
Fz
2
2
z
xx
22
3
2
z
y
yy)(2y
1)(4yx
y2y
1)z(4y
F
F z
Como se puede observar se llega al mismo resultado en 60 °.a) y en 60°.b)
62°) Hallar zx y yz en (0;0;0) si sen(xyz)zyx
63°) Hallar yx z z y si 0yeeze zyx
Solución: zx
x
xyee
zez
zx
zy
yyee
eez
Plano tangente y recta normal
Definición: Si una ecuación de una superficie S es F(x;y;z)=0 y si F es diferenciable
y zyx F F,F y no son todas cero en el punto de S , entonces la ecuación del plano
tangente a S en 0P es
0)z-(z )z;y;(xF )y-(y )z;y;(xF)x-(x )z;y;(xF 0000z0000y0000x
Las ecuaciones de la recta normal a la superficie S en 0P son
)z;y;(xF
zz
)z;y;(xF)z;y;(xF
xx
000z
0
000y000x
0
0yy
si 0)P(0)P(,0)P(F 000x zy Fy F .
Si 0)P(F 0x las ecuaciones de la recta normal a la superficie S en 0P son
)z;y;(xF)z;y;(xF
yy
000z000y
0 0zz
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0xx
De manera análoga se define la recta normal a la superficie S si 0)P(F 0y o si
0)P(F 0z
En los ejercicios 64°) a 67°) obtenga la ecuación del plano tangente y las ecuaciones
de la recta normal a la superficie, en el punto indicado
64°) F(x;y;z)= 14- zy x 222 =0 (1;2;3)P0
Solución:
2zz)y;(x;F 2y z)y;(x;F 2xz)y;(x;F zyx
Por lo tanto: 6(1;2;3)F ; 4(1;2;3)F ; 2 (1;2;3)F zyx
Con lo cual, la ecuación del plano tangente en 0P es:
03)-6(z2)-(y 4 1)2(x
O equivalentemente: 2x+4y+6z=28
Las ecuaciones de la recta normal a la superficie en 0P son:
6
3z
4
2y
2
1x
O sea:
0z4y6
02y4x
65°) )3;3;3 2(-P 2zyxz)y;F(x; 0
22
66°) (6;3;3)P 012y-xz)y;F(x; 0
2
Solución:
La ecuación del plano tangente en 0P es:
03)-12(y-6)-12(x
O bien: 12x-12y=36 o equivalentemente x-y=3
Las ecuaciones de la recta normal en 0P son:
3z
3yx
1212
6
67°) (12;12;12)P 12y -xz)y;F(x; 0
2
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Polinomio de Taylor
Si todas las n-ésimas derivadas parciales de f(x;y) son continuas en una región
cerrada y si las (n+1) –ésimas derivadas parciales existen en la región abierta,
entonces:
k)yh;(xR )y;f(x )y
kx
(hn!
1.....
)y;f(x)y
k x
(h2!
1)y;)f(x
y k
x h (
1!
1)y;f(xk)yh;f(xk)yh;(xP
00n00
n
00
2
00000000n
Siendo
1
0 θk)yθh;f(x)
yk
x(h
1)!(n
1k)yh;(xR 00
1n
00n
68°) Sea 23yyxy)f(x; 2 . Desarrollar en potencias de 1)-(x e 2)(y
Solución:
21 0000 y y-yk ; x xxh
2y)(x;fy)(x;fy)(x;f
0y)(x;fy)(x;fy)(x;fy)(x;f
02)(1;f0y)(x;f
(1;-2)f2yy)(x;f
2(1;-2)f(1;-2)f2xy)(x;fy)(x;f
4(1;-2)f 3xy)(x;f
-4(1;-2)f2xy y)(x;f
yxxxxyxyx
yyyyxyxyyxxx
yyyy
xxxx
yxxyyxxy
y
2
y
xx
4
Por lo tanto:
2)(y1)-(x2)1)(y-2(x1)-2(x-2)4(y1)-4(x- 102)(y1)6(x3!
1
2)0(y2)1)(y-2(2)(x1)-4)(x(2
1 2)4(y1)-(-4)(x10- P
22
3
)y;x(
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0y)(x;R3 pues todas las derivadas de orden superior son nulas
69°) Desarrollar 3
2
x
yy)f(x; en potencias de 1)(y e 1)(x hasta incluir términos
de segundo grado y escribir el resto.
Solución:
APLICACIONES ECONOMICAS DEL POLINOMIO DE TAYLOR
70°) Una función de producción para la economía en conjunto está dada por:
2
1
2
3
C T 2C)P(T;
siendo T la cantidad de trabajo y C cantidad de capital
70°.a) Desarrollar la función por medio de un polinomio de grado dos, en un
entorno del punto (100;400)
70°.b) Si el trabajo se incrementa en un 10% y el capital en un 20% Qué valor
aproximado se obtiene para el producto total?
70°.c) Calcule la función en el nuevo valor de las variables independientes
70°.d) Analice el valor aproximado de la función si el incremento es del 2% y del
1% respectivamente.
Solución:
70°.a)
2)400C( 32
1-400)100)(C(T
4
3100)(T
2
3400)-(C 50100)-(T 60040000C)(T;P 2
2
70°.b) 50550(110;480)P2
70°.c) 151,50552P(110;480)
70°.d) 5,41411(102;404)P2
6
22232
2
22
2
1))θ(x(1
1)1)(y(x1))θ(x3(11)(y1)1))(xθ(x1))(1θ(y112(1)(x1))θ(y10(-1y)(x;R
1)(y1)1)(y-6(x1)-6(x1)2(y-1)-3(x1y)(x;P