LIMITE

"En una secuencia infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez

más los términos de la secuencia. Así, la secuencia de los números 2n/(n+1), siendo n la

serie de los números naturales, tiene como límite el número 2".

Sea f(x) una función y a un número fijo.

Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún

número c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).

Figura G.1

Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es

equivalente a decir que existe tanto el límite de la función tanto por la izquierda como por

la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite

de f(x) cuando x tiende hacia a.

Lo cual se representa de la siguiente forma:

Entonces podemos determinar los límites para algunas funciones.

1.- Resolver el limite:

solución:

a c b

2.- Resolver el limite

solución:

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas

operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a la indeterminación

del tipo cero sobre cero:

3.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador

como en el denominador en este caso entre x7:

4.- Solucionar el siguiente limite:

Solución:

Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

5.- Encontrar el

Solución:

6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

solución:

Multiplicando por

tenemos:

7.- Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a

la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar

al resultado mediante dos caminos diferentes:

Debido a que se puede expresar como

por lo que:

8.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el límite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero

dividiremos entre x100

con lo que:

por lo tanto:

9.- Obtén el siguiente limite:

Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar

los productos

Solución:

Dividiremos entre la variable de mayor potencia:

por lo tanto

10.- Resolver el siguiente limite:

Solución:

Consideraciones Generales:

Hay varias maneras de resolver Limites

➊ Cuando con solo sustituir el valor al que tiende (x), se resuelve el Limite

6

lim ---------

x → 3 x + 3

6

lim ---------- = 1

x → 3 (3) + 3

➋ Cuando un Limite se Indetermina, (0/0), podemos resolverlo de 2 maneras. para quitar la

Indeterminación

x² + x – 6

lim ---------------

x → 2x - 2

(2)² + (2) – 6 0

lim ----------------- = ---

x → 2 (2) – 2 0

➀ Aplicando Factorización al Límite

x² + x – 6

lim -------------

x → 2 x - 2

(x + 3) (x – 2)

lim ------------------

x → 2 x - 2

lim (x + 3)

x → 2

lim (2 + 3) = 5

x → 2

➁ Aplicando la Regla de L´Hopital, que consiste en Derivar la Función

x² + x – 6

lim -------------

x → 2 x - 2

2x + 1

lim ----------

x → 2 1

2(2) + 1

lim ------------ = 5

x → 2 1

Aprenda estas Reglas, ya que se ahorrará mucho tiempo, en la solución y evaluación de

Limites que tienden al ∞, con solo aplicar estas Reglas

➌ Solo para límites cuando tienden ∞

lim x → ∞

Fíjese lo único que tienes que hacer es checar donde está la literal con el exponente Mayor,

Casos:

➀ si el Exponente Mayor esta en el numerador el limite tiende a ∞

➁ si el Exponente Mayor esta en denominador el limite tiende a 0

➂ si los Exponentes Mayores son iguales en el Numerador y en el Denominador, resultado

es la fracción de ambos o el numero que de el cociente

Caso No. ➀

5x²+x+9

----------- = ∞

x+5

Porque la literal con exponente más grande esta en el numerador

Caso No. ➁

x+5

------------ = 0

5x²+x+9

Porque la literal con exponente más grande esta en el denominador

Caso No. ➂

3x²+x+5

------------ = 3/5

5x²+x+9

Porque la literal con exponente más grande esta en el numerador y en denominador