Dr. Eberardo Osorio Rojas

MATEMATICA I

Módulo: 2 Unidad: I Semana:03

LIMITE DE UNA FUNCION

Lim f(x) = L

X a

x→1- (x²-1)/(x-1) x→1+

Lim (x²-1)/(x-1) =

x →1

Lim (x-1)(x+1)/(x-1) =

x →1

Lim (x+1) = 1+1 = 2

x →1

Lim (x²-1)/(x-1) = 2

x →1

x→1- (x²-1)/(x-1)

0.9 1.9

0.99 1.99

0.999 1.999

1 0

x→1+ (x²-1)/(x-1)

1.1 2.1

1.01 2.01

1.001 2.001

2 2

x→0- senx

x→0- senx

-0.1 -0.0998

-0.01 -0.00999

--0.001 - 0.00099

0

x→0+ senx

0.1 0.0998

0.01 0.0099

0.001 0.00099

0 0

Lim senx = 0

x →0

Lim /x//x= -1

x→0-

x→0- IxI/x

Y=x+1

Y = 2+1=3

Y= 4 +1 =5

Y= -x +2

Y= -(-1)+2

Y= 1+2=3

(0, 2)

(-1, 3)

Y=-x+2

f(1+) = lim (x+1) = 1+1 = 2

x →1+

f(1-) = lim (-x+2) = -1 +2 = 1

x →1-

x→0- 1/x²

0 -1 1

Lim 1/x² =1/0 = ∞

x→0

x→0- 1/x²

-0.1 100

-0.01 10000

-0.001 1000000

x→0+ 1/x²

0.1 100

0.01 10000

0.001 1000000

0.0001 100000000

∞ ∞ Lim 1/x² =1/0 = ∞

x→0

x→-∞ 1/x

Lim f(x) =

x→∞

Lim (x+1)/(x+2) =

x→∞

Lim (1 +1/x) / (1+2/x)

x→∞

=(1+0)/(1+0)

= 1/1 =1

Lim f(x) = 1

x→∞

1/∞= 0

Lim f(x) = Lim (x+1)(x-1) / (x-1) = Lim (x+1) = 1+1 = 2

x→1 x→1 x→1

Lim (x²-1)/(2x²-1) = Lim (1 – 1/x²) / (2 – 1/x² ) = (1 – 0)/ (2 – 0) = 1/2

x →∞ x →∞

Lim (x - √x²+1 )(x + √x²+1 ) / (x + √x²+1)= lim (x² - (x²+1)) / (x + √x²+1)

x →∞ x →∞

(x²-1)/x² / (2x²-1)/x² =

(x²-1)/x² / (2x²-1)/x² =

(1 -1/x²) / (2 -1/x²) =

(1 – 0 ) / (2 - 0) =

1 / 2 =

(x - √x²+1 )( x + √x² +1) / ( x + √x² + 1 ) = x² - (√x²+1)² / ( x + √x² + 1 )

( x² - (x²+1)) / (x + √x² +1) = ( x² - x² -1 ) / (x + √x²+1 )= - 1/ (x + √x² +1)

(a - b)( a + b) = (a² - b²)

a² + ab – ba – b² = a² - b²

a=x b= √x²+1

lim (x²-4)/(x-2)

x→2

2

4

Lim x² = 4

x→2-

Lim x² = 4

x→2+

0

LIMITES INFINITOS

Lim 1/ (1/x-1/x²) = 1/(0-0)=

Ind

Las indeterminaciones

-1 1

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente,

cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición

más formal es:

DEFINICIÓN Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de

tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que

la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe

el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite:

:

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

Los valores de k hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al

dominio de la función.

(x²+2)/(x² - 2x)

(x²+2)/(x - 2) – x=

(x²+2)/(x - 2) – x(x-2)/(x-2)=

2

-2

GRACIAS