Límite de una sucesión

Leyenda del ajedrez (1)Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente: "Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".

Leyenda del ajedrez (2)

La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la tierra del reino sembrada de trigo era insuficiente para obtener lo que pedía el inventor. ¿Cuántos trigo pedía?

Leyenda del ajedrez (3)

En cada casilla hay que ir poniendo 1, 2, 4, 8, 16 granos.En la última casilla habrá que colocar 2 a la 64 potencia, que es 18.446.744.073.709.551.615, es decir más de 18 trillones de granos.Esto nos denota que la sucesión an = 2n es una sucesión cuyo límite es infinito (no deja de crecer). ¿Esto ocurrirá con todas las sucesiones?

Límite de una sucesión

• Definición: El límite de una sucesión es el numero al que tiende cuando n toma valores cada vez mayores.

• Este valor puede ser un número (que llamaremos l) o también puede ser +∞ ó -∞.

• Se escribe lan lim

Con la calculadora

• Calculemos

Para ello haremos una tabla con valores crecientes a n.

32

limn

n

Con la calculadoraHemos obtenido la siguiente tabla:

¿Notas alguna tendencia? Con 10 términos no parece suficiente. Calcula con la calculadora el vigésimo, trigésimo y centésimo término e indica cuál es el límite de esta sucesión.

n

1 0,5

2 0,8

3 1

4 1,1428

5 1,25

6 1,3333

7 1,4

8 1,4545

9 1,5

10 1,5384

3

2

nn

Gráficamente

Esta es la gráfica de la tabla:

¿Se aprecia el valor al que tiende la sucesión?

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 10 20 30 40

Definiciones

• Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a1, a2, a3 ,..., an

• Por ejemplo: 3, 6, 9,..., 3n • Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la

sucesión. • El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la

sucesión.• Por ejemplo: a3 = 9

• El término general an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

No siempre existe un término general en una sucesión.

Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci no tiene término general, sino que se genera por una ley de recurrencia:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…

• El límite de una sucesión, por lo tanto, es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

Por ejemplo,

• a1= 1

• a2= 0.5

• a1000= 0.001

• a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

• a1= 0.5

• a2= 0.6666....

• a1000= 0.999000999001

• a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

• a1= 5

• a2= 7

• a1000= 2 003

• a1000 000 = 2 000 003

• Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Una sucesión muy especial es:

Su límite es el número e que equivale aproximadamente a 2,7183. Es uno de los números más importantes en la matemática, pues es la base de los logaritmos naturales o neperianos

Ejercicios

• Calcula los siguientes límites dando valores grandes y extrae una norma general para este tipo de límites:

n73lim 1030lim 2 nn nn 100lim 3

Ejercicios

• Calcula los siguientes límites dando valores grandes y extrae una norma general para límites de la forma lim P(x)/Q(x):

32

lim2

n

n

32

lim2n

n

33

lim2

3

n

n

4lim

3n

n

• Calcula los siguientes límites dando valores grandes y extrae una norma general para límites de funciones exponenciales:

• lim 4n

• lim 2-n

• lim 0,5n

• lim 3n