LÍMITE TRIGONOMETRICO

Supongamos que 0 <x< pi/2 y la circunferencia centrada en el origen de radio 1

El punto T, pasa por el origen (0,0) y por el punto P( cos x, sen x)Obtenemos la recta conociendo los dos puntos

Cuando t=1, obtenemos el punto T (1, senx/cosx)

tx

senxycos

=

De la figura se observa que

Multiplica cada miembro por 2/senx , entre 0<x<pi/2

( ) )1(cos2

1)()1(21)1(

21

21

21

21

)()()(

2

2

xxsenxxsen

OBBTrOBAP

TRIANGULOBOTSECTORCIRCBOPTRIANGULOBOP

≤≤

≤≤

≤≤

θ

xsenxx

cos11 ≤≤

Se toma el reciproco de cada miembro de esta desigualdad (invertimos los signos de la desigualdad)

La expresión senx/x es positiva para –pi/2<x<pi/2

1cos ≤≤xsenxx

111cos limlim00

==→→ xx

yx

1lim0

=→ x

xsenx

Demostración 2

0cos1lim0

=−→ x

xx

)cos1(cos1

cos1cos1.cos1

2

0

0

lim

lim

xxx

xx

xx

x

x

+−

++−

→

→

)cos1(

2

0lim xx

xsenx +→

Multiplico y divido por un factor

Aplico identidad trigonométrica

xsenx

xsenx

xx cos1limlim00 +→→

020.1 =

RESUMEN

1lim0

=→ x

xsenx

0cos1lim0

=−→ x

xx

EJEMPLOS

xxsen

xsenx

xxtg

x

x

x

4lim.3

lim.2

lim.1

0

0

0

−

−

−

→

→

→

2

2

0

0

0

tan2

45

cos1

lim.6

lim.5

lim.4

xx

xsenxsen

xsenx

x

x

x

−

−

−

→

→

→

−

EJEMPLOS

xxsen

xsenx

xxtg

x

x

x

4lim.3

lim.2

lim.1

0

0

0

−

−

−

→

→

→

2

2

0

0

0

tan2

45

cos1

lim.6

lim.5

lim.4

xx

xsenxsen

xsenx

x

x

x

−

−

−

→

→

→

−