-
3. Un grave problema ecolgico es la destruccin cotidiana de
grandes extensiones de arbolado.
Supongamos que este fenmeno pasa a regirse por una funcin
logartmica y = ln x, donde x es el
tiempo en aos e y es el nmero de millares de hectreas de bosque
que han desaparecido hasta
ese momento. Contesta, basndote en el anlisis de la grfica de
dicha funcin, a las cuestiones:
a) Expresa la frmula matemtica que te da la superficie destruida
anualmente. Puedes asegurar
que dicha destruccin anual permanecer acotada por debajo de
cierto valor en un futuro lejano?
b) Es cierto que, siguiendo esta funcin, cada ao se destruir
menos que el anterior?
c) Puedes concluir, en consecuencia, que nunca llegar un momento
en el que desaparecern
todos los arboles?
Determinamos la grfica de la funcin, con un dominio de 0 a
infinito
Tenemos () = ln con f rea destruida hasta el ao t, por tanto la
destruccin en un periodo
determinado estar dada por () (), por lo que para un ao
determinado tendremos
() ( 1). Por tanto la funcin que modela la superficie destruida
en un ao determinado
es () = () ( 1) = ln ln( 1) = ln
1. Ahora si determinamos la superficie
destruida como promedio en periodo de tiempo especfico tendremos
() =()
=
ln
1
=
1
ln(
1) = ln
1
.
-
Si determinamos el comportamiento de () cuando t tiende al
infinito
lim
ln
1
= ln lim
(
1)
1= ln lim
ln(
1)
1
= ln lim
ln
1 = ln
lim
ln
1 = ln 0
= ln 1 = 0
Por tanto:
a) La expresin matemtica que modela la destruccin anual de
superficie es () = ln
1
,
que al incrementar el tiempo se da una reduccin de la destruccin
anual por tanto es
posible acotar su valor en un futuro lejano para varias
constantes especficamente para el
valor de lim1+
ln .
b) Segn el modelo la destruccin anual decrecer ao tras ao, por
tanto es cierto.
c) No, podemos concluir que no desaparecern todos los
rboles.
6. Calcular las asntotas de las curvas y representarlas en las
cercanas de las asntotas:
a)() =2
21
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
2 1 = 0
= 1, = 1
Determinemos las posibles asntotas verticales:
-
= + ; = lim
()
, = lim
()
= lim
3 222 8
= lim
3 2
(22 8)= lim
3(1 12
23)
23(1 42)
=1
2lim
1 12
23
1 42
=1
2 1 =
1
2
= lim
3 2
22 81
2 = lim
3 2
22 8= lim
(1 2)
22(1 42)=1
2lim
1 2
(1 42)=1
2 0 1 = 0
Luego =1
2 es asntota oblicua de g.
lim1
2
2 1=
lim1+
2
2 1= +
lim1
2
2 1=
lim1+
2
2 1=
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=1 y x=-1
Determinemos las asntotas horizontales:
lim+
2
2 1= lim
2
2(1 12)= lim
1
1 12
= 1
lim
2
2 1= lim
+
2
2(1 12)= lim
+
1
1 12
= 1
Por tanto la funcin presenta asntotas horizontales en y=1.
-
b)() =32
228
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
22 8 = 0
= 2, = 2
Determinemos las posibles asntotas verticales:
lim2
3 2
22 8=
lim2+
3 2
22 8= +
lim2
3 2
22 8=
lim2+
3 2
22 8= +
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=2 y x=-2
Determinemos las asntotas horizontales:
-
lim+
3 2
22 8= lim
+
3(1 12
23)
22(1 42)
=1
2lim
+
(1 12
23)
1 42
=1
2 + 1 = +
lim
3 2
22 8= lim
3 (1 12
23)
22 (1 42)
=1
2lim
(1 12
23)
1 42
=1
2 1 =
Por tanto la funcin no presenta asntotas horizontales, esto
implica la posible existencia de
asntotas oblicuas.
= + ; = lim
()
, = lim
()
= lim
3 222 8
= lim
3 2
(22 8)= lim
3(1 12
23)
23(1 42)
=1
2lim
1 12
23
1 42
=1
2 1 =
1
2
= lim
3 2
22 81
2 = lim
3 2
22 8= lim
(1 2)
22(1 42)=1
2lim
1 2
(1 42)=1
2 0 1 = 0
Luego =1
2 es asntota oblicua de g.
-
d) () =3
(1)2
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
1 = 0
= 1
Determinemos las posibles asntotas verticales:
lim1
3
( 1)2= +
lim1+
3
( 1)2= +
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=1
Determinemos las asntotas horizontales:
-
lim
3
( 1)2= lim
3
2(1 2 +
12)= lim
1 2 +
12
= 1 =
lim+
3
( 1)2= lim
+
3
2(1 2 +
12)= lim
+
1 2 +
12
= + 1 = +
Por tanto la funcin no presenta asntotas horizontales, lo que
implica que puede tener asntotas
oblicuas.
= + ; = lim
()
, = lim
()
= lim
3
( 1)2
= lim
3
( 1)2= lim
3
3(1 2 +
12)= lim
1
1 2 +
12
= 1
= lim
3
( 1)2 = lim
22
( 1)2= lim
2(2 1)
2(1 2 +
12)= lim
2 1
1 2 +
12
= 2
Luego = + 2 es asntota oblicua de h.
-
d)() =326
2
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
2 = 0
= 0
Determinemos las posibles asntotas verticales:
lim0
32 6
2=
lim0+
32 6
2=
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=0
Determinemos las asntotas horizontales:
lim
32 6
2= lim
32 (1 22)
2= 3 lim
1
2
2= 3 1 = 3
lim+
32 6
2= lim
+
32 (1 22)
2= 3 lim
+1
2
2= 3 1 = 3
Por tanto la funcin presenta asntotas horizontales en y=3.
e)() =22
3+1
-
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
3 + 1 = 0
= 1
Determinemos las posibles asntotas verticales:
lim1
2 2
3 + 1=
lim1+
2 2
3 + 1= +
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=-1
Determinemos las asntotas horizontales:
lim
2 2
3 + 1= lim
2 (1 2)
3 (1 13)= lim
1 2
(1 13)= 0 1 = 0
lim+
2 2
3 + 1= lim
+
2 (1 2)
3 (1 13)= lim
+
1 2
(1 13)= 0 1 = 0
Por tanto la funcin presenta asntotas horizontales en y=0
-
e) () =2
+1
Determinemos los puntos crticos del dominio de la funcin:
+ 1 = 0
= 1
Determinemos las posibles asntotas verticales pero como el
dominio de la funcin solo permite
aproximarse por la derecha:
lim1+
2
+ 1= +
Por tanto la funcin tiene asntotas verticales en x=-1
Determinemos las asntotas horizontales:
lim+
2
+ 1= lim
+
2 (1 1)
(1 +1)
= lim+
32 (1
1)
1 +1
= + 1 = +
Por tanto la funcin no presenta asntotas horizontales, esto
implica la posible presencia de
asntotas oblicuas
= + ; = lim
()
, = lim
()
= lim
2
+ 1
= lim
2
+ 1= lim
2 (1 1)
32 (1 +
1)
= lim
12 (1
1)
1 +1
= 1 =
Luego no presenta asntota oblicua.
