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Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales
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Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 1
Tema 2: Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Marco Farez
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación.
Maestría en Docencia de las Matemáticas.
Noviembre 2015
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 2
Función exponencial
Si b> 0 y b≠ 1, entonces la función f(x)=bx se denomina función exponencial en donde a se
denomina base y x se denomina exponente.
De estas graficas podemos determinar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales
tales como:
1. El dominio de f es el conjunto de números reales; es decir, (-∞, ∞)
2. El rango de f es el conjunto de números reales positivos; es decir, (0,∞)
3. La intersección en y de f es (0, 1). La gráfica no tiene intersección x.
4. El eje x, es decir y = 0, es una asíntota horizontal para la gráfica de f.
5. a0 = 1, para a >0
6. f(x) = ax > 0 para todo x ∈ a los R y a > 0
7. la grafica de f(x) = ax par aculaquir a > 0, no presneta interrupcones, es decir es
continua
8. si x1 > x2 => { ax1 > ax2 si a < 1ax1 < ax2 si < 0a < 1
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 3
9. Para a > 1, la imagen de f (x) = ax puede ser tan grande como se quiera tomando a x
suficientemente grande, y tomando a x suficientemente pequeño (x < 0) sus imágenes
tienden a pegarse al eje x sin tocarlo.
Para el caso 0 < a < 1 a medida que x se hace más grande sus imágenes se acercan a cero y
para valores de x suficientemente pequeños (x < 0) sus imágenes tomaran valores tan
grandes como se quiera.
Función exponencial natural
Por otra parte tenemos la función f(x) = ex que se denomina función exponencial natural. Puesto
que la base a=e, y como la anterior su grafica son similares y por ende cumplen las misma
propiedades
Función logaritmo
Puesto que la función exponencial es una función de una a uno se sabe que tiene una función
inversa que es la función logaritmo como se muestra en las imágenes
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 4
De las gráficas de la función logaritmo podemos determinar las siguientes propiedades
1. log𝑎 1 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ≠ 1
2. El dominio de un función logaritmo en base a es (0, ∞) y su recorrido son los números
reales.
3. Si a >1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
4. Si a>1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 tiende a +∞ cuando x tiende la ∞ y tiende a -∞ cuando x tiende a
cero, es decir x=0 es una asíntota vertical de 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 . Si 0 < 𝑎 < 1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥
tiende a -∞ cuando x tiende al ∞ y tiende a +∞ cunado x tiende a cero.
Función logaritmo natural
Los logaritmos con base a = 10 se denominan logaritmos comunes y los logaritmos con base a= e se
llaman logaritmos naturales. Además, suele ser costumbre escribir el logaritmo natural log e x como
ln x.
Límites de funciones exponenciales y logarítmicas
A continuación se define algunos límites de funciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplos
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 5
=
=
Limite que define al número e
Un límite que juega un papel importante en las matemáticas porque define a un número especial es
el siguiente
lim𝑛−∞
(1 +1
n)
n
Par calcular este límite primeramente se definirá al número e como el límite de f (x) = (1 + 1 x)x
cuando x → ∞ y se escribe como e = lim𝑛−∞ (1 +1
n)
n
si damos algunos valores a n haciendo
que estos sean cada vez más grandes obtendremos lo siguiente
Entonces se puede demostrar que para cualquier valor de n la expresión (1 +1
n)
𝑛
es mayor que 2 y
menor que 3 y que la sucesión es creciente y que crece de forma lenta. También se puede demostrar
que el número límite de esta sucesión es irracional y es aproximadamente igual a e = 2.718281...
con esta definición de e, la función exponencial de base ex se pude representar como
𝑒𝑥 = (lim𝑛−∞ (1 +1
𝑛)
𝑛)
𝑥
= lim𝑛−∞ (1 +1
𝑛)
𝑛𝑥 = lim𝑛−∞ (1 +
𝑥
𝑘)
𝑘 en el último paso haciendo que
k=nx, pues si n → + ∞ => k → + ∞ para x>0 y 1/n= x/k
Entonces de forma más general podemos definir al número e como
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 6
Continuidad de funciones exponenciales y logarítmicas
1. Inicialmente se demostrara que la función f (x) = ex
es continua en 0, es decir,
lim𝑥→0𝑒𝑥 = 𝑒0
= 1, lo que significa que |𝑒𝑥 − 1| → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0.
Se realizara solo para valores de x > 0, para ello primero se demostrar la desigualdad
para todo x>0
.
Aplicando el teorema del binomio a (1 +1
n)
𝑛
se obtiene lo siguiente
De donde (1+x) ≤ ex para x>0.
Para demostrar que 𝑒𝑥 − 1 → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 se mostrar aue 𝑒𝑥 − 1 > 0, pude ser tan
pequeño como se quiera, acercando suficientemente x a cero. Para ello sea 𝜀 > 0 tan
pequeño como se quiera. Tome 𝑥 = ln(1 + 𝜀) observe que puesto que => 𝑥 = ln(1 + 𝜀) ≤
ln(𝑒𝜀) = 𝜀 y así cuando 𝜖 → 0, 𝑥 → 0.
Es decir 𝑒𝑥 − 1 se puede hacer tan pequeño como se quiera para valores de x tales que
𝑥 → 0.
2. f(x) es continua en todo b 𝑏 ∈ ℝ es decir que e límite de lim𝑥→𝑏 𝑒𝑥 = 𝑏0 o se a
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 7
3. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es continua para todo a>0. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎 y puesto que x ln a es
continua y la exponencial en base e es continua, entonces 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎 que es la compuesta
de estas dos también lo es.
4. 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 es continua para todo 𝑥 ∈ ℝ es decir lim𝑥→𝑏 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑏 o
Limites básicos de la función exponencial y logarítmica
Axioma: el límite fundamental
lim𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
𝑥= 1
a) Teorema: del límite
lim𝑥→0
ln (1 + 𝑥)
𝑥= 1
Demostración
lim𝑥→0
ln (1 + 𝑥)
𝑥= lim
𝑥→0ln(1 + 𝑥)1/𝑥 = ln (lim
𝑥→0(1 + 𝑥)
1𝑥) = ln(𝑒) = 1
Entonces por la continuidad de la función logaritmo y la definición del límite del número e tenemos
que
lim𝑥→0
ln (1 + 𝑥)
𝑥= 1
b) Teorema: el límite
lim𝑥→0
(1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒
Demostración
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 8
Partiendo de la definición del número e =lim𝑛−∞ (1 +1
n)
n
y aplicando el cambio de variable
haciendo que x=1/n, entonces cuando 𝑛 → ∞ aplicando el límite tenemos que 𝑥 → 0
De donde remplazando nos queda que:
𝑒 = lim𝑛−∞ (1 +1
n)
n
= lim𝑥→0(1 + 𝑥)1/𝑥
Por tanto el
lim𝑥→0
(1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒
Ejemplos
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
La derivadas delas funciones exponenciales y logarítmicas las calcularemos aplicando los limites
básicos de las funcione exponenciales y logarítmicas y los propiedades de los potencias y
logaritmos
Ejemplos:
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 9
Calcular ala derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥
Aplicando la definición de derivada tenemos
𝑦′ = (ln 𝑥)′
=limℎ→0ln(𝑥+ℎ)−𝑙𝑛 𝑥
ℎ
Usando la propiedad del logaritmo de un cociente tenemos
=limℎ→0
ln(𝑥+ℎ
𝑥)
ℎ
Aplicando operaciones algebraicas tenemos
=limℎ→01
ℎln(
𝑥+ℎ
𝑥)
Aplicando la propiedad de del logaritmo de una potencia tenemos
= lim𝑛→∞ 𝑙𝑛 (𝑥+ℎ
𝑥)
1/ℎ
Aplicando operaciones algebraicas
= lim𝑛→∞
𝑙𝑛 (1 +ℎ
𝑥)
1/ℎ
Aplicando la propiedad b de teorema del límite tenemos
= ln ( lim𝑛→∞
𝑙𝑛 (1 +ℎ
𝑥)
1/ℎ
) = ln 𝑒1/𝑥 = 1
𝑥
Es decir que la derivada de (ln 𝑥)′ =1
𝑥
Calcular la derivada de 𝑦 = 𝑒𝑥
Debido a que ln 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 son mutuamente inversas tenemos que
ln 𝑒𝑥 = 𝑥
Aplicando la regla de la cadena para derivar tenemos
(ln 𝑒𝑥)′ =1
𝑒𝑥(𝑒𝑥)′
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 10
Por tano
1
𝑒𝑥(𝑒𝑥)′ = 1
y
(𝑒𝑥)′
𝑒𝑥= 1
Entonces
(𝑒𝑥)′ =
Es decir que la derivada de 𝑒𝑥 es la misma 𝑒𝑥
Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 11
Bibliografía
Zúñiga, A. R., & Campos, H. B. (1997). Elementos de cálculo diferencial: Volumen II
Derivadas, Aplicaciones y temas especiales. Editorial Universidad de Costa Rica.
Zill, D. G., Wright, W. S., & Ábalo, M. A. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. McGraw-Hill.