Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 1

Tema 2: Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y

exponenciales.

Marco Farez

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación.

Maestría en Docencia de las Matemáticas.

Noviembre 2015

Límites, continuidad, derivadas e integrales de las funciones logarítmicas y exponenciales 2

Función exponencial

Si b> 0 y b≠ 1, entonces la función f(x)=bx se denomina función exponencial en donde a se

denomina base y x se denomina exponente.

De estas graficas podemos determinar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales

tales como:

1. El dominio de f es el conjunto de números reales; es decir, (-∞, ∞)

2. El rango de f es el conjunto de números reales positivos; es decir, (0,∞)

3. La intersección en y de f es (0, 1). La gráfica no tiene intersección x.

4. El eje x, es decir y = 0, es una asíntota horizontal para la gráfica de f.

5. a0 = 1, para a >0

6. f(x) = ax > 0 para todo x ∈ a los R y a > 0

7. la grafica de f(x) = ax par aculaquir a > 0, no presneta interrupcones, es decir es

continua

8. si x1 > x2 => { ax1 > ax2 si a < 1ax1 < ax2 si < 0a < 1

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9. Para a > 1, la imagen de f (x) = ax puede ser tan grande como se quiera tomando a x

suficientemente grande, y tomando a x suficientemente pequeño (x < 0) sus imágenes

tienden a pegarse al eje x sin tocarlo.

Para el caso 0 < a < 1 a medida que x se hace más grande sus imágenes se acercan a cero y

para valores de x suficientemente pequeños (x < 0) sus imágenes tomaran valores tan

grandes como se quiera.

Función exponencial natural

Por otra parte tenemos la función f(x) = ex que se denomina función exponencial natural. Puesto

que la base a=e, y como la anterior su grafica son similares y por ende cumplen las misma

propiedades

Función logaritmo

Puesto que la función exponencial es una función de una a uno se sabe que tiene una función

inversa que es la función logaritmo como se muestra en las imágenes

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De las gráficas de la función logaritmo podemos determinar las siguientes propiedades

1. log𝑎 1 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ≠ 1

2. El dominio de un función logaritmo en base a es (0, ∞) y su recorrido son los números

reales.

3. Si a >1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

4. Si a>1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 tiende a +∞ cuando x tiende la ∞ y tiende a -∞ cuando x tiende a

cero, es decir x=0 es una asíntota vertical de 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 . Si 0 < 𝑎 < 1, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥

tiende a -∞ cuando x tiende al ∞ y tiende a +∞ cunado x tiende a cero.

Función logaritmo natural

Los logaritmos con base a = 10 se denominan logaritmos comunes y los logaritmos con base a= e se

llaman logaritmos naturales. Además, suele ser costumbre escribir el logaritmo natural log e x como

ln x.

Límites de funciones exponenciales y logarítmicas

A continuación se define algunos límites de funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplos

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=

=

Limite que define al número e

Un límite que juega un papel importante en las matemáticas porque define a un número especial es

el siguiente

lim𝑛−∞

(1 +1

n)

n

Par calcular este límite primeramente se definirá al número e como el límite de f (x) = (1 + 1 x)x

cuando x → ∞ y se escribe como e = lim𝑛−∞ (1 +1

n)

n

si damos algunos valores a n haciendo

que estos sean cada vez más grandes obtendremos lo siguiente

Entonces se puede demostrar que para cualquier valor de n la expresión (1 +1

n)

𝑛

es mayor que 2 y

menor que 3 y que la sucesión es creciente y que crece de forma lenta. También se puede demostrar

que el número límite de esta sucesión es irracional y es aproximadamente igual a e = 2.718281...

con esta definición de e, la función exponencial de base ex se pude representar como

𝑒𝑥 = (lim𝑛−∞ (1 +1

𝑛)

𝑛)

𝑥

= lim𝑛−∞ (1 +1

𝑛)

𝑛𝑥 = lim𝑛−∞ (1 +

𝑥

𝑘)

𝑘 en el último paso haciendo que

k=nx, pues si n → + ∞ => k → + ∞ para x>0 y 1/n= x/k

Entonces de forma más general podemos definir al número e como

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Continuidad de funciones exponenciales y logarítmicas

1. Inicialmente se demostrara que la función f (x) = ex

es continua en 0, es decir,

lim𝑥→0𝑒𝑥 = 𝑒0

= 1, lo que significa que |𝑒𝑥 − 1| → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0.

Se realizara solo para valores de x > 0, para ello primero se demostrar la desigualdad

para todo x>0

.

Aplicando el teorema del binomio a (1 +1

n)

𝑛

se obtiene lo siguiente

De donde (1+x) ≤ ex para x>0.

Para demostrar que 𝑒𝑥 − 1 → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 se mostrar aue 𝑒𝑥 − 1 > 0, pude ser tan

pequeño como se quiera, acercando suficientemente x a cero. Para ello sea 𝜀 > 0 tan

pequeño como se quiera. Tome 𝑥 = ln(1 + 𝜀) observe que puesto que => 𝑥 = ln(1 + 𝜀) ≤

ln(𝑒𝜀) = 𝜀 y así cuando 𝜖 → 0, 𝑥 → 0.

Es decir 𝑒𝑥 − 1 se puede hacer tan pequeño como se quiera para valores de x tales que

𝑥 → 0.

2. f(x) es continua en todo b 𝑏 ∈ ℝ es decir que e límite de lim𝑥→𝑏 𝑒𝑥 = 𝑏0 o se a

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3. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es continua para todo a>0. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎 y puesto que x ln a es

continua y la exponencial en base e es continua, entonces 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎 que es la compuesta

de estas dos también lo es.

4. 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 es continua para todo 𝑥 ∈ ℝ es decir lim𝑥→𝑏 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑏 o

Limites básicos de la función exponencial y logarítmica

Axioma: el límite fundamental

lim𝑥→0

𝑒𝑥 − 1

𝑥= 1

a) Teorema: del límite

lim𝑥→0

ln (1 + 𝑥)

𝑥= 1

Demostración

lim𝑥→0

ln (1 + 𝑥)

𝑥= lim

𝑥→0ln(1 + 𝑥)1/𝑥 = ln (lim

𝑥→0(1 + 𝑥)

1𝑥) = ln(𝑒) = 1

Entonces por la continuidad de la función logaritmo y la definición del límite del número e tenemos

que

lim𝑥→0

ln (1 + 𝑥)

𝑥= 1

b) Teorema: el límite

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒

Demostración

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Partiendo de la definición del número e =lim𝑛−∞ (1 +1

n)

n

y aplicando el cambio de variable

haciendo que x=1/n, entonces cuando 𝑛 → ∞ aplicando el límite tenemos que 𝑥 → 0

De donde remplazando nos queda que:

𝑒 = lim𝑛−∞ (1 +1

n)

n

= lim𝑥→0(1 + 𝑥)1/𝑥

Por tanto el

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒

Ejemplos

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

La derivadas delas funciones exponenciales y logarítmicas las calcularemos aplicando los limites

básicos de las funcione exponenciales y logarítmicas y los propiedades de los potencias y

logaritmos

Ejemplos:

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Calcular ala derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥

Aplicando la definición de derivada tenemos

𝑦′ = (ln 𝑥)′

=limℎ→0ln(𝑥+ℎ)−𝑙𝑛 𝑥

ℎ

Usando la propiedad del logaritmo de un cociente tenemos

=limℎ→0

ln(𝑥+ℎ

𝑥)

ℎ

Aplicando operaciones algebraicas tenemos

=limℎ→01

ℎln(

𝑥+ℎ

𝑥)

Aplicando la propiedad de del logaritmo de una potencia tenemos

= lim𝑛→∞ 𝑙𝑛 (𝑥+ℎ

𝑥)

1/ℎ

Aplicando operaciones algebraicas

= lim𝑛→∞

𝑙𝑛 (1 +ℎ

𝑥)

1/ℎ

Aplicando la propiedad b de teorema del límite tenemos

= ln ( lim𝑛→∞

𝑙𝑛 (1 +ℎ

𝑥)

1/ℎ

) = ln 𝑒1/𝑥 = 1

𝑥

Es decir que la derivada de (ln 𝑥)′ =1

𝑥

Calcular la derivada de 𝑦 = 𝑒𝑥

Debido a que ln 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 son mutuamente inversas tenemos que

ln 𝑒𝑥 = 𝑥

Aplicando la regla de la cadena para derivar tenemos

(ln 𝑒𝑥)′ =1

𝑒𝑥(𝑒𝑥)′

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Por tano

1

𝑒𝑥(𝑒𝑥)′ = 1

y

(𝑒𝑥)′

𝑒𝑥= 1

Entonces

(𝑒𝑥)′ =

Es decir que la derivada de 𝑒𝑥 es la misma 𝑒𝑥

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Bibliografía

Zúñiga, A. R., & Campos, H. B. (1997). Elementos de cálculo diferencial: Volumen II

Derivadas, Aplicaciones y temas especiales. Editorial Universidad de Costa Rica.

Zill, D. G., Wright, W. S., & Ábalo, M. A. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. McGraw-Hill.