Línea de cargas. Ley de Gauss

Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas

Hemos determinado ya el campo producido por un sistema de dos cargas y estudiado un caso de especial importancia, el dipolo eléctrico.Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistantes n>2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga.

El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

Donde ri es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga i y el punto P.El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

 

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de l C/m.

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El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y, y otra a lo largo del eje horizontal X.

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x, y el elemento de carga dq situado en –xproducen campos cuyos módulos son iguales, y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha. Concepto de flujo del campo eléctricoCuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie F =E·S

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

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Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero. Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

Para una línea indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujoTomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero.

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

El flujo total es, E·2p rL3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerradaLa carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q=l L, donde l es la carga por unidad de longitud.

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4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

Ley de Gauss

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

Flujo del campo eléctrico

Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal.

El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área

pueden ser representados como vectores  , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico  . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

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 y   caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.El flujo, entonces, se define como sigue:

(1)O sea:

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Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme

Flujo eléctrico a través de una superficie cilíndrica.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme   tal como muestra la figura:El flujo ΦE puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

(3)Para la tapa izquierda, el ángulo θ, para todos los puntos, es de π, E tiene un valor constante y los vectores dSson todos paralelos.Entonces:

(4)siendo S = πR2el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

(5)Finalmente, para la superficie cilíndrica:

(6)Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

(7)

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Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como

muestra la figura. El campo eléctrico   es paralelo al vector superficie  , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.En consecuencia:

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Deducciones

Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.El ángulo sólido ΔΩ que es subtendido por ΔA sobre una superficie esférica, se define como:

siendo r el radio de la esfera.como el área total de la esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:

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Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que

atraviesa esta superficie es necesario encontrar   para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.

Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss

Forma diferencial de la ley de Gauss

Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de

desplazamiento eléctrico  . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.

Forma integral de la ley de Gauss

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

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donde Φ es el flujo eléctrico,   es el campo eléctrico,   es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρes la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.

Interpretación

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en lasecuaciones de Maxwell.Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.

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Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

Aplicaciones

Distribución lineal de carga

Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

Distribución esférica de carga

Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r:

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Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando apropiadamente:

Como se demostró en una sección anterior   y teniendo en cuenta que según la

ley de Gauss  , se obtiene:

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:

Y para puntos exteriores:

En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir, en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.

Ley de Gauss

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

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Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo magnético quedaría como

donde ρm densidad de corriente  , la cual obliga a modificar la ley de Faraday

Analogía gravitacional

Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe

siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la expresión de los operadores diferenciales e integrales).

Flujo eléctrico

En electromagnetismo el flujo eléctrico, o flujo electrostático,1 es una cantidad escalar que expresa una medida del campo eléctrico que atraviesa una determinada superficie,2 o expresado de otra forma, es la medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Su cálculo para superficies cerradas se realiza aplicando la ley de Gauss. Por definición el flujo eléctrico parte de las cargas positivas y termina en las negativas, y en ausencia de las últimas termina en el infinito.2

Historia

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Michael Faraday en un simple experimento para estudiar el campo eléctrico, llegó a la conclusión errónea de que existe algún tipo de flujo eléctrico que parte de las cargas.El experimento consistió en dos esferas metálicas concéntricas, separadas por un dieléctrico; la más grande consistente en dos hemisferios que se podían unir fuertemente. Primero se cargó la esfera pequeña con un carga eléctrica conocida. Con el cuidado adecuado se colocó el dieléctrico, y luego se armó la esfera grande. Al descargar la exterior y después medir las cargas restantes en ambas esferas, resultó que ambas eran iguales en magnitudes. Esto es cierto para cualquier aislante.Faraday supuso que existía un flujo eléctrico, y concluyó que era proporcional a la carga. Fue Carl Friedrich Gauss quién expresó matemáticamente esta relación, dando lugar a la ley que lleva su nombre.

Cálculo

El flujo eléctrico   a través de un área infinitesimal   viene dado por:

 (Ecuación 1)

(el campo eléctrico,  , multiplicado por la componente del área perpendicular al campo).El flujo eléctrico a través de una superficie S es, por tanto, expresado por la integral de superficie:

 (Ecuación 2)

donde   es el campo eléctrico y   es el vector diferencial de superficie que corresponde a cada elemento infinitesimal de la superficie completa S.Para una superficie gaussiana cerrada, el flujo eléctrico viene dado por:

 (Ecuación 3)

donde QS es la carga encerrada por la superficie (incluyendo ambas cargas, la libre y la carga superficial), y ε0 es la permitividad eléctrica. Esta relación es conocida como ley de Gauss para el campo eléctrico en su forma integral y es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell.En estos casos se toma sistemáticamente el sentido de los vectores y recordar que dicho vector tiene como módulo el área diferencial de ese elemento y dirección perpendicular al mismo. El sentido del vector es arbitrario, siempre que en todos los puntos salga de la superficie por la misma cara de ésta; si de la ecuación 3 resulta un flujo positivo, significa que atraviesa S en el

mismo sentido adoptado para los  , y si es negativo, en sentido contrario. A cada lado, asignamos un signo, arbitrariamente. Se está hablando de «flujo neto», del total, puesto que habrá partes de la superficie S en que el flujo tendrá sentidos diferentes, y por tanto se compensarán.

Unidades

El flujo eléctico en unidades del Sistema Internacional (SI) se expresa en: voltios por metro (V m), o, de forma equivalente, newton por metro al cuadrado por culombio (N m2 C−1).2 Por lo tanto, las unidades básicas del SI del flujo eléctrico son: kg•m3•s−3•A−1.

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De la definición de flujo eléctrico se puede concluir que una carga de un culombio genera un flujo total de un culombio.

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