7/23/2019 Linealidad y Monotonia

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Linealidad y monotonıa de las integrales dobles

Calculo Diferencial e Integral IV - Semestre 2014-2

Ceron Vera Felix Emilio

Sea   Q  = [a, b]x[c, d] un rectangulo, es decir, una region acotada en   2 y seanf, g  :  Q  −→  funciones acotadas por dicho rectangulo. Supongamos entoncesque f y g cumplen con las condiciones necesarias para la integrabilidad en Q.Dicho de manera mas formal, supongamos que el conjunto de discontinuidadesde f y g tiene un valor bidimensional nulo.

Ademas, sea P  una particion uniforme tal que a =  x1  < ... < xn =  b y c =  y1  < ... < ym  =  d

llamamos a   xi   − xi−1   = ∆X   y   yi  − yi−1   = ∆Y   mientras el producto entre∆X ∆Y   = ∆A  Luego, tomamos un elemento  ϕi,j   ∈ [xi−1, xi]X [yj−1, yj ].

Que f y g sean integrables sobre Q, significa entonces que:

lim||P ||→0

ni=1

mj=1

f (ϕi,j)(xi − xi−1)(yj  − yj−1)

y

lim||P ||→0

ni=1

mj=1

g(ϕi,j)(yj  − yj−1)(xi − xi−1)

Existen y convergen a la integral doble de cada funcion sobre la region Q.

ahora bien, demostraremos las siguientes propiedades de dichas integrales.

1.    Q

(f  +  g)dA =

 Q

fdA +

 Q

gdA

nos fijamos en la suma de Riemann para la suma de dos funciones f y g.

ni=1

mj=1

(f +g)(ϕi,j)(xi−xi−1)(yj−yj−1) =

ni=1

mj=1

f (ϕi,j)+g(ϕi,j)(xi−xi−1)(yj−yj−1)

pero, por ser sumas finitas, podemos separar las funciones a usar en dossumas. esto es:

ni=1

mj=1

f (ϕi,j) + g(ϕi,j)(xi − xi−1)(yj  − yj−1) =

ni=1

mj=1

f (ϕi,j)(xi − xi−1)(yj − yj−1) +

ni=1

mj=1

g(ϕi,j)(yj − yj−1)(xi − xi−1)

1

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Podemos percatarnos de que las dos sumas posteriores convergen por

hipotesis, pues f y g, son integrables cada una en la regi on Q. Podemos usarlımites ahora fijandonos en los primer y ultimo integrantes de la igualdadanterior.

lim||P ||→0

ni=1

mj=1

(f  +  g)(ϕi,j)∆A =

lim||P ||→0

ni=1

mj=1

(f )(ϕi,j)∆A + lim||P ||→0

ni=1

mj=1

(g)(ϕi,j)∆A

Los lımites de las sumas del lado derecho de la anterior igualdad, existenal ser f y g integrables en la region Q. Ademas, convergen a la integral delas funciones sobre el rectangulo Q, por lo que se deduce, que el lımite del

lado izquierdo tambien existe y converge a la suma de las integrales. Porlo tanto, el primer miembro de la igualdad, es integrable y se cumple lasiguiente igualdad:

 Q

(f  +  g)dA =

 Q

fdA +

 Q

gdA

2. sea C una constante real,

 Q

CfdA =  C 

 Q

f dA

Para demostrar este hecho, de nuevo nos remitimos a la suma de Riemannpara el producto de una funcion por una constante arbitraria Real.

ni=1

mj=1

(Cf )(ϕi,j)(xi − xi−1)(yj  − yj−1)

Ahora bien, por ser una suma enesima, es finita y separar la constante dela funcion serıa equivalente a multiplicar reales por reales al evaluar f entodo su dominio, por lo que esta bien definido. Entonces,

ni=1

mj=1

(Cf )(ϕi,j)(xi−xi−1)(yj−yj−1) =

ni=1

mj=1

C (f )(ϕi,j)(xi−xi−1)(yj−yj−1) =

C 

ni=1

mj=1

(f )(ϕi,j)(xi − xi−1)(yj  − yj−1)

2

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De nuevo, nos encontramos frente a la suma de Riemann de una funci on

integrable, esta vez multiplicada por una constante. A fin de cuentas, siusamos lımites en el primer y ultimo miembro de la anterior igualdad,tenemos que:

lim||P ||→0

ni=1

mj=1

(Cf )(ϕi,j)∆X ∆Y   =

C    lim||P ||→0

ni=1

mj=1

(f )(ϕi,j)∆X ∆Y 

El segundo miembro de la igualdad, converge a la integral de nuestrafuncion multiplicada por una constante. Por lo tanto, el primer miembroes integrable y

 Q

(Cf )dA =  C   

Qf dA

3. Sean f,g funciones positivas integrables en Q,   f (x, y)   ≤   g(x, y)   ∀   (x, y)∈ Q

⇒

 Q

f dA ≤

 Q

gdA

Por ser  f (x, y) ≤ g(x, y)  ∀  (x, y)  ∈ Q, podemos afirmar que

g(x, y) − f (x, y) ≥ 0

Por hipotesis, sabemos que f y g son integrables en todo Q, mientras queen los ejercicios anteriores, demostramos que la suma de dos funcionesintegrables, es integrable y ademas, que la integral de la suma, es la sumade las integrales. Tambien se mostro que la integral de una funcion mul-tiplicada por un escalar, es igual al escalar multiplicado por la integral.Usando estos dos hechos, integramos la igualdad anterior de la siguienteforma:    

Q

(g(x, y) − f (x, y))dA ≥ 0

Que se puede separar asi:  Q

g(x, y)dA + (−1)

 Q

f (x, y)dA ≥ 0

Pues las dos integrales existen. Por ultimo, simplemente basta con sumar  Q

 f (x, y)dA  de los dos lados de la desigualdad y resulta::

 Q

g(x, y)dA ≥

 Q

f (x, y)dA

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