Lineas Deespera. IO

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UNIDAD II. LINEAS DE ESPERAOBJETIVO. Que el alumno sea capaz de comprender, y aplicar la teoría de línea de espera a las situaciones donde se presentan estas, con el propósito de diseñar los sistemas de línea de espera; buscar optimizar los recursos económicos o bien en función de tener un determinado nivel de servicio. Además como existen varios paquetes de cómputo, como el WINQSB, STORM, QSB, MS, haga uso de ellos.

2.1 INTRODUCCIÓNLa teoría de líneas de espera se originó en los trabajos de A. K. Erlang que participaron en 1909 se

inició experimentando con un problema relacionado con la congestión del tráfico telefónico el problema original que trató Erlang fue el cálculo de esa demora y en 1917 los resultados se extendieron al caso de varias operadoras.

Después se utilizó el método de Montecarlo que básicamente es una técnica de simulación en la que se crean funciones estadísticas de distribución, usando una tabla de números aleatorios. Se emplearon para resolver problemas de líneas de espera de un solo canal y de canales múltiples.

Un proceso de líneas de espera está constituido por los clientes que llegan a una instalación que ofrece un servicio, esperan luego en línea , en caso de que todos los servidores estén ocupados, reciben servicio en algún momento y finalmente abandonan la instalación.

Un sistema de líneas de espera es un conjunto de clientes, un conjunto de servidores y un orden en el cual los clientes llegan y son atendidos.

Un sistema de líneas de espera es un proceso de nacimiento-muerte con una población formada por clientes en espera del servicio. Un nacimiento ocurre cuando un cliente llega a la instalación en que se proporciona el servicio, una muerte ocurre cuando un cliente la abandona, el estado del sistema es el número de clientes en dicha instalación.

PATRONES DE LLEGADA Ó ARRIBOSEl patrón de llegadas de los clientes generalmente está especificado por el tiempo entre llegadas, que

es el tiempo entre las llegadas de los clientes sucesivos a la instalación que ofrece el servicio. Puede ser determinístico ó una variable aleatoria cuya distribución probabilística conocida.

Existen dos casos comunes en los que el proceso de llegada puede depender del número de clientes: 1º. Se presenta cuando las llegadas se obtienen de una población pequeña, las cuales se consideran

como modelos de origen finito.2º Se tiene cuando la rapidez a la que llegan los clientes a la instalación disminuye cuando está

demasiado concurrida. Puede depender del número de clientes que ya esté en el sistema o puede ser independiente del estado.

En general, suponemos que el proceso de llegada no es afectado por el número de clientes presentes en el sistema.

Las llegadas o arribos pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. Generalmente, la tasa de llegadas se expresa como la tasa de llegada por unidad de tiempo, si es aleatoria los clientes no llegan en un orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo.

Se puede presentar un rechazo cuando un cliente al llegar se niega a entrar en la instalación porque la línea de espera es demasiado grande o un abandono cuando un cliente que ya está en la línea de espera, sale de la fila y se marcha porque la espera es demasiado larga. Los clientes pueden presentarse de uno en uno o en grupos. A menos que se especifique lo contrario, la consideración normal será que los clientes llegan de uno en uno y que no hay ni rechazos ni abandonos.

PATRONES DE SERVICIOUn patrón de servicio está especificado por el tiempo que le toma a un servidor atender a un cliente.

También es importante determinar si un servidor atiende por completo o si el cliente requiere una secuencia de servidores. A menos que se especifique lo contrario, la consideración normal será que un servidor puede

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Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II atender por completo a un cliente. En la mayor parte de los casos suponemos que la distribución de tiempo de servicio es independiente del número de clientes presentes. Esto significa, por ejemplo, que el servidor no trabaja más rápido cuando hay más clientes.

CAPACIDAD DEL SISTEMALa capacidad del sistema es el número máximo de clientes, que puede estar simultáneamente en la

instalación del servicio. Siempre que el cliente llegue a una instalación que esté llena, se le negará la entrada. A este cliente no se le permite esperar fuera de las instalaciones, si no que se le obliga a partir sin recibir servicio. Un sistema que no tiene límite en cuanto al número de clientes que pueden permanecer dentro de las instalaciones, tiene capacidad infinita; un sistema con límite tiene capacidad finita.

DISCIPLINAS DE LAS LINEAS DE ESPERAConsiste en clasificar cada llegada en alguna categoría. Se asigna un nivel de prioridad a cada

categoría. La disciplina de las líneas de espera es el orden en que se atiende a los clientes. Este puede ser del tipo primero en llegar, del tipo último en llegar, primero en atenderse, de tipo aleatorio, o de acuerdo a prioridades.

NOTACIÓN DE KENDALLLa notación de Kendall para especificar las características de una línea de espera es V/W/X/Y/Z,

donde V denota el patrón de llegada, W el patrón de servicio, X significa el número de servidores disponibles, Y representa la capacidad del sistema y Z indica la disciplina de la línea de espera. Si Y o Z no se especifican, se toman como infinito o FIFO (primero en llegar, primero en salir), respectivamente.

DESARROLLO2.2 SISTEMAS M/M/1

CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA Es un sistema de líneas de espera que tiene tiempos entre llegadas distribuidos exponencialmente,

con parámetro ; tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con parámetro ; un servidor; la capacidad del sistema no tiene límite y una disciplina de línea de espera del tipo primero en llegar, primero en atenderse. La constante es la tasa promedio de llegada de clientes; la constante es la tasa promedio de servicio a clientes el tiempo esperado entre llegadas y el tiempo esperado para atender al cliente son 1/ y 1/, respectivamente.

EL MODELO MARKOVIANOUn sistema M/M/1 es un proceso Poissoniano de nacimiento-muerte. La probabilidad, Pn(t), de que el

sistema tenga exactamente n clientes.

SOLUCIONES DE ESTADO ESTABLE Factor de utilización (o intensidad de tránsito)

Si <1, entonces las probabilidades de estado estable existen y están dadas por:


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Para un sistema de líneas de espera en estado estable, las medidas de mayor interés son:L número promedio de clientes en el sistemaL q longitud promedio de la línea de esperaW tiempo promedio que un cliente permanece en el sistemaW q tiempo promedio que un cliente permanece (o espera) en la líneaW(t) probabilidad de que un cliente permanezca mas de t unidades de tiempo en el sistemaWq (t) probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la línea de espera

En muchos sistemas de líneas de espera, las primeras cuatro de estás medidas están relacionadas por

y por las formulas de little

Las fórmulas de little son válidas para sistemas generales, siempre y cuando denote la tasa promedio de llegada de clientes dentro de las instalaciones de servicio.

Para un sistema M/M/1, =

2.3 SISTEMAS M/M/S

Un sistema M/M/S constituye un proceso de líneas de espera, con patrón Poissoniano de llegada, S servidores, con s tiempos de servicios independientes entre sí e independientes del estado del sistema, y con la misma distribución exponencial; con capacidad infinita, disciplina FIFO. Ya que el patrón de llegadas es independiente del estado, = para toda n. Los tiempos de servicio asociados con cada servidor son también independientes del estado; pero ya que el número de servidores que en realidad atienden a los clientes depende del número de clientes en el sistema, el tiempo que dicho sistema tarda en atender a los clientes dentro de las instalaciones depende del estado.

Las condiciones de estado estable prevalecen cuando:



Las probabilidades de estado estable están dadas por

=Exp(-Mu*t)*(1+((((S*R)^S)*Po*(1-Exp(-Mu*T*(S-1-S*R)))))/(Fact(S)*(1-R)*(S-1-S*R)))=EXP(-B6*B5)*(1+((((B2*B3)^B2)*B4*(1-EXP(-B6*B5*(B2-1-B2*B3)))))/(FACT(B2)*(1-B3)*(B2-1-B2*B3)))

=((B2*B3)^B2)*B4*EXP(-B2*B6*B5*(1-B3))/(FACT(B2)*(1-B3))

2.4 SISTEMAS M/M/1/K

Este sistema puede aceptar simultáneamente un máximo de k clientes en las instalaciones.

2.5 SISTEMAS M/M/S/K

Este es un sistema de capacidad finita, con S servidores con tiempos de servicio independientes entre sí e independientes del estado; y con la misma distribución exponencial. Ya que la capacidad debe ser por lo menos igual al número de servidores, SK.

2.6 MODELO DE AUTOSERVICIO

L= W=1/ Lq = Wq = 0


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II 2.7 PROBLEMAS RESUELTOS

1. A una mueblería llegan televisiones que requieren 1.2 mt2 de espacio, llegan en promedio 10 televisiones por día (cada día tiene 8 hrs.). Hay 3 mecánicos que reparan estas televisiones, a una tasa de 4 televisiones por día. Suponga que los tiempos entre-arribos y de servicio siguen una distribución exponencial.

a) De cuanto espacio debe ser la bodega de manera que haya espacio del 70% de las veces.b) Si Juan es uno de los mecánicos, que porcentaje de tiempo estará desocupado

a)

TV’s Sistema TV’s Bodega Probabilidad Prob. acum..

Espacio Requerido

0 0 0.0449 0.0449

1 0 0.1124 0.1873

2 0 0.1404 0.2977

3 0 0.1170 0.4147

4 1 0.0975 0.5122 1.2 mt2

5 2 0.0813 0.5933 2.4 mt2

1 3 0.0677 0.6610 3.6 mt2

7 4 0.0564 0.7174 4.8 mt2

8 0.047

9 0.037

b) P(Juan esté ocupado) = 1 – (P0 + 2/3 P1 + 1/3 P2 )

TV’s Sistema Juan ocupado

Juan ocioso

0 No Si

1 1/3 2/3

2 2/3 1/3

3 Si No

= 10 / 3(4) = 10 / 12 = 0.8333


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II 2. SISTEMA M/M/S/K y M/M/S. En una oficina hay 2 telefonistas, Lupita y Juanita, las cuales trabajan 8 hrs/día. Se recibe en promedio 20 llamadas/hr y sí un cliente recibe la señal de ocupado colgará. La duración promedio de una llamada es en promedio de 3 minutos. Suponga que ambos procesos son Poissonianos.

a) Cuantas horas esta ociosa Juana durante el día?b) Cuál es el numero de llamadas que se pierden por día?c) Suponga que existe un conmutador y que las personas pueden esperar hasta que se desocupe una

telefonista. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 personas esperando para hablar?Solución...a) M/M/S = 2/ K=2

= 20 llam. / hr.R = P0 + 1/2 P1 R= 0.4 + 0.5(0.4) = 0.6

1 / = 3 min/llam. = 1/3 llam/min * 60 min/hr. = 20 llam/hr.1 / = 3 min/llam.* 1 hr./60min = 3/60 = 1/20 = 0.5 hrs/llam

b) M/M/S= 2/K= 2Llamadas perdidas / día = - = (20-16) 8 = 32 pers. / día

= (1 - P2) = 20*(1-0.2) =16

c) M/M/S = 2Probabilidad de que haya más de 2 esperando= P5 + P6 + ...+ P = 1 – (P0 + P1 + P2 + P3 + P4 )

P0 = 0.3333 +P1 = 0.3333 1 – 0.9583 = 0.0417P2 = 0.1667P3 = 0.0833 4.17%P4 = 0.0417 0.9583

3. Una empresa de ventas por teléfono debe determinar cuantos telefonistas se necesitan para manejar los pedidos durante el turno de 9 a 5. Se calcula que se reciben un promedio de 480 llamadas durante este lapso y que la llamada promedio dura 6 min. Si la empresa desea tener una probabilidad máxima de 1 en 100 de que alguien que llame encuentre ocupado el teléfono, ¿Cuántas operadoras debe contratar para este turno?

Solución. M/M/S/K

= 1 / 10(0.1666) = 480/8hrs. = 60 llam / hr. = 1 llam / min1 / = 6 min/llam. = 1/6 llam/min * 60 min/1hr. = 10 llam/hr.

# Servidores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

P(ocupado) N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. Pn=7 Pn=8 Pn=9 Pn=10

Pb.Enc.Ocup. .18 .12 .07 0.04 0.02 0.011 0.0052

Pb.de Espera 1%

Maestro: Héctor Luis Juan Morales Ago-Dic/10

Sistema Espera

0 0

1 0

2 0

3 1

4 2

5 3

6


Si S = 7 servidoresClientes en el

sistemaObtendra la señal

de ocupado0 no1 No2 No3 No4 No5 No6 No7 Si 0.188 N .A.

Si S = 8 servidoresClientes en el

sistemaObtendrá la señal de ocupado

0 no1 No2 No3 No4 No5 No6 No7 no8 Si 0.129 N.A.

Solución: 13 Operadores

4. Llega un promedio de 100 clientes por hora al Banco. El tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 1 minuto, los tiempos de servicio y entre llegadas son exponenciales. El gerente desea asegurarse que cuando mucho el 1% de los clientes tengan que esperar mas de 5 minutos. Si el banco tiene una sola línea de espera. Solución. = 100 ctes. / hr. * 1 hr./ 60min = 1.666 ctes. / min.1 / = 1 min/serv. = 1serv./ min = 60 serv. /hr.

No. de servidores.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P0 0.0909 0.1727 0.1859 0.1883 0.1888 0.1889 =’s

P1 0.1515 0.2878 0.3094 0.3139 0.3146 0.3148 =’s

P2 0.1263 0.2398 0.2582 0.2616 0.2622 0.2623 =’s

P3 0.1052 0.1232 0.1435 0.1453 0.1457 0.1457 =’s

P4 0.0877 0.074 0.0598 0.0606 0.0607 0.0007 =’s

P5 0.0731 0.0411 0.0249 0.0202 0.0202 0.0202 =’s


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Probabilidad de que duren mas de 5 min. en la línea de espera Wq (t=5 min.).

2 3 4 5 6 7 8

Wq(t=5) 0.14 0.0003

S* = 3 cajeros

5. Un Banco desea determinar cuantos cajeros debe emplear. El costo de emplear un cajero es $100/día y un cajero puede atender a un promedio de 60 clientes por día. Al banco llega un promedio de 50 clientes por día y los tiempos de servicio y entre llegada son exponenciales. Si el costo de demora por cliente por día es de $100 ¿Cuántos cajeros se deben contratar?Solución. = 50 ctes. /día = 60 ctes. /día1 / = 1 / 60 = 0.01666Solución: 2 Servidores

Costo Total = Costo por lo servidores + Costo de Espera de los ClientesCosto por servidor * Numero de Servidores + Costo de Espera/(por cliente por día) *Lq

100*2 + 100 * 0.1751= 217.5

6.- En la oficina de correos de Austín los clientes esperan en una cola para que se desocupe la primera de las ventanillas. Entra un promedio de 100 clientes por hora, y cada ventanilla puede despachar un promedio de 45 clientes por hora. La oficina de correos calcula que el costo es de 10 c de dólar por cada minuto que un cliente espera en la cola, y cree que cuesta 20 dólares por hora mantener abierta una ventanilla. Los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales.a).- Para minimizar los costos totales esperados por hora, ¿Cuántas ventanillas deben estar abiertas?b).- Si la meta de la oficina de correos es asegurar que cuando mucho el 5% de los clientes pasen más de 5 minutos en la cola, ¿Cuántas ventanillas debe abrir?

Modelo: M/M/S=?

Respuesta:a).- Se requieren___servidores para minimizar los costos de las ventanillas, dando como costo

Maestro: Héctor Luis Juan Morales Ago-Dic/10

Sistema Actual

Optimo

Servidores 1 2 * 3

Cto. Total 516 217.5 302

Datos

= 100 clientes / hr.

= 45 clientes hr.1/ = 0.0222 Costo de Espera = $ 6 clientes/ hr.Costo por Servidor = $ 20/hr.Costo por Cliente Rechazado = $ 0

8

Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II __________.b).-Si se desea que cuando mucho el 5% de los clientes, duren mas de 5 minutos en la línea de espera; es decir que el 95% de los clientes duren menos de 5 minutos en la línea de espera. Seleccionar el numero de servidores S cuando Wq(t) ≤ 0.05t = 5/60min = 0.0833hrs S = 3

S 1 2 3 4 5 6ρμ

P0Wq(t) Hasta que sea ≤0.05

Al analizar este problema podemos verificar que es necesario utilizar la siguiente formula, ya que se nos esta pidiendo la probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la línea de espera.

Con 3 servidores

Esto es un 2.9% aproximadamente un 3%. Sí tenemos tres servidores en servicio, un 3% de los clientes esperaran más de 5 minutos en la línea de espera. Es decir que el 95% de los clientes duraran menos de 3 minutos en la fila.

7.- La Newcoat Painting Company, durante largo tiempo, ha tenido alta demanda de su servicio de pintura automotriz. Como ha tenido que rechazar trabajos, a la gerencia le preocupa que el espacio restringido de que dispone para guardar los automóviles sea la causa de ingresos perdidos. Al lado de las instalaciones hay un pequeño lote vacío, que se ofrece en renta bajo condiciones de larga duración a un costo de 10 dólares por día. La gerencia cree que cada cliente perdido cuesta 20 dólares en ganancias. Se calcula que la demanda actual es de 21 automóviles por día con tiempos exponenciales entre llegadas, incluyendo los que no se atienden, y el taller puede dar servicio a una rapidez exponencial de 24 vehículos por día. Los coches se procesan en base PLPS. El espacio de espera queda limitado ahora a 9 autos, pero si se renta el lote vacío se puede aumentar a 20 autos en total. Newcoat desea determinar si se debe alquilar el lote vacío. También desea conocer la ganancia diaria perdida a causa de rechazar trabajos, cuando se rente el lote. Sólo se puede pintar un automóvil a la vez.


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Actualmente

Modelo= M/M/1/k/10Datos

= 21 autos / día. = 24 autos / día.Capacidad = k =10Costo por Rechazo = $20 por auto rechazadoP10 = 0.427

= 21·(1 – 0.427) = 20.10

Rechazo por día = - = 21 – 20.10 = 0.90Costo Total por Rechazo = 0.90*0.20 = 18Costo Total = $18 día.

Sí se renta el loteModelo : M/M/1/k/21

Datos = 21 autos / día. = 24 autos / día.Capacidad = k =21Costo por Rechazo = $20 por auto rechazadoCosto por Renta = $10 díaP21 = 0.0080

= 21·(1 – 0.0080) = 20.83Rechazo por día = - = 21 – 20.83 = 0.168Costo Total por Rechazo = 10 + (20)·(0.168) = $ 13.36 díaCosto Total = $ 13.36 día

Lo máximo de pagar de la renta seria = 18 – 3.3572 = 14.6428

8. Problema resuelto usando el software STORM

Escenario 1 M/M/C Un taller de torno cuenta con 2 maquinas para maquinar piezas. Esta considerado añadir una tercera, debido a los grande retardos que se ocasionan. Se carga un alto precio por este tipo de trabajo, y los clientes empiezan a mostrar gran impaciencia. Los tiempos de maquinado de los trabajos varían enormemente y una distribución exponencial se ajusta bien, con un valor medio (promedio) de 2 horas. Se reciben órdenes para este tipo de trabajo a una línea de trabajo a una tasa promedio de 38 órdenes por semana. La gente trabaja 8 hrs/día, 5 días a la semana. Una maquina nueva cuesta $1,500,000 y tendrá un valor estimado de salvamento de $200,000 después de 20 años. A una taza de interés anual de 15% esto da un valor equivalente (equivalente worth) de aproximado -$238,000, o un costo de $ 4,600 /sem. Finalmente, la pregunta difícil de contestar: ¿cuanto cuesta la tardanza de las órdenes? Costos directos de manejo de quejas, expeditaciones, etc. son, mucho menos significantes que la posibilidad de disminuir el negocio hacia los competidores. Muchos clientes ya han mencionado esta posibilidad, y algunos ya se han cambiado. Como la demanda de estos servicios especializados no esta muy expandida será muy costosa. Por ultimo después de estimar el costo por cliente perdido, lo mejor que se puede y la probabilidad de que esto suceda como una función del tiempo de espera, se considera un costo total por retardo por semana por cliente de $1,000.


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II S = 2 Maquinasλ = 38 ordenes/Semana1/µ = 2 horas /pedido (1sem/40hrs)= 0.05 sem/pedidoCosto por Maquina por semana = $4,600/SemanaCosto por trabajo retrasado por semana = $1,000 /Semana

Escenario 2 M/G/C Sí decidimos reducir la desviación estándar de los tiempos de servicio, buscando alternativas como mejor mantenimiento o más entrenamiento a operadores; así la distribución ya no será exponencial sino una de tipo general. Suponga que se reduce la desviación estándar a ½(tiempo de servicio); esto es 0.025hrs.

Escenario 3 M/M/C/K Para mejorar la imagen del taller, vamos a limitar él numero de trabajo que aceptaríamos en cualquier tiempo, con esto generemos reputación o imagen. Suponga que él numero máximo en el sistema es de 12 trabajos. Como el trabajo promedio genera una ganancia de $ 5,000, este sería el costo por rechazar una orden.

Escenario 4 M/M/C/K/K Conoces que tu negocio esta formado solo por 200 clientes y ninguno de ellos va algún otro taller con sus trabajos. En promedio cada cliente le pide un trabajo cada 5 semanas ò 0.2 órdenes por semana.

Considere que para Capacidad finita de clientes, se pone el numero de ordenes por cliente por semana en lugar de Lamda λ = 38 ordenes/Semana..


Valor equivalente Anual


Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3 Escenario 4L No. Clientes Sist 19.5 11 3.8Lq ·No. Clientes Cola 17.5 12.9 5.5W 0.51 0.33Wq 0.46 0.29Costo Total 16388 16130S Optimo 3 3

Solución por medio del software Storm



9 Problema. El gerente de un grupo grande de empleados debe decidir si necesita otra maquina fotocopiadora. El costo de una es 400 pesos por día de 8 horas se use o no. En promedio, 4 personas por hora necesitan usar la maquina. Cada persona la usa durante un promedio de 10 minutos. Los tiempos entre llegadas y los de copiado tienen distribución exponencial. A los empleados se les paga $64/día, y suponga que se incurre en un costo de espera cuando un empleado espera en la cola para usar la copiadora, ¿cuántas copiadoras se deben rentar?

S = λ = 4 Clientes /hr = 32clientes por dia1/µ = 10 min /Cliente µ = (1/10)(60min/hr)(8hr/dia) = 48 Clientes/día Costo por Maquina por día = $400/diaCosto por empleado (cliente) por día que permanece en la cola = $64 /día

PROBLEMAS PROPUESTOS1.- Un supermercado trata de decidir cuantas cajas deben de estar funcionando. Suponga que cada

hora llega un promedio de 18 clientes, el tiempo promedio de atención a un cliente es de 4 minutos, los tiempos promedio entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales, y el sistema se puede modelar como M/M/s/DG//. El funcionamiento de una caja cuesta 20 dólares / hr. y se carga un costo de 25c de dólar por minuto que el cliente pasa en la zona de cajas.

¿Cuántas Cajas debe de abrir el supermercado?. R. 2 cajas

2.- Al banco de Gotham City llega un promedio de 100 clientes por hora, un cajero se tarda un promedio de 2 minutos en atender a un cliente. Los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales, el banco tiene actualmente 4 cajeros trabajando. El gerente desea comparar los 2 sistemas siguientes en cuanto al número promedio de clientes en el banco:

Sistema 1.- Cada cajero tiene su propia cola y no se permite cambiar de cola.


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Sistema 2.-Todos los clientes esperan en una cola única a que se desocupe un cajero.Si el lector fuera el gerente del banco, que sistema escogería. R: Sistema 2

3.- El programa de doctorado de la universidad del estado admite un promedio de 25 estudiantes de doctorados cada año. Si un estudiante de doctorado pasa un promedio de 4 años en la universidad.

¿Cuántos estudiantes de doctorados cabe esperar encontrar en ella?. R:100 estudiantes.

4.- Llegan un promedio de 120 estudiantes cada hora a la oficina de inscripciones de un colegio; los tiempos entre llegadas son exponenciales; para determinar su inscripción, una persona debe pasar por tres ventanillas, cada ventanilla tiene un solo servidor, los tiempos de servicio en cada ventanilla son exponenciales y sus duraciones son 20 segundos en la ventanilla 1, 15 en la ventanilla 2 y 12 en la ventanilla 3.

En promedio ¿Cuántos estudiantes habrá en la oficina de inscripciones para tramitar sus cursos?.R: Aproximadamente 4 alumnos.

5.-La inscripción a la universidad se hace como sigue: Al entrar al salón de inscripciones, los estudiantes esperan primero en una cola. Una sola ventanilla maneja la inscripción a clases, y le toma al servidor un promedio de 2 minutos procesar una inscripción. A continuación el estudiante debe hacer cola para pagar. Un solo cajero recibe las cuotas. El cajero tarda un tiempo promedio de 2 minutos en atender al estudiante. Después el estudiante sale del salón de inscripciones. Llega un promedio de 15 estudiantes por hora a ese salón.

a).- Si fueran exponenciales los tiempos entre llegadas y los de servicio ¿Cuál es el tiempo esperado que debe pasar un estudiante en el salón de inscripciones? R: 8 min ¿Cuál es la probabilidad de que durante los siguientes 5 minutos entren exactamente 2 estudiantes al salón de inscripciones? R: 0.22383

b).- Sin más información, ¿Cuál es la probabilidad de que durante los próximos 3 minutos no llegue estudiante alguno a la sala de inscripciones? R: 0.4724c).- Supongamos que el sistema de registro cambia para que un estudiante se pueda inscribir y pagar en la misma ventanilla. Si el tiempo de servicio en esta ventanilla única tiene una distribución de Erlang con parámetro de velocidad 1.5 por minuto y parámetro de forma 2, ¿Cuál es el tiempo esperado que un estudiante pasa en la cola? R: 1.26 min

6. Cada año, un promedio de 500 personas pasan el examen de la barra de abogados de Nueva York y entran al servicio legal. En promedio, un licenciado practica en el estado de Nueva York durante 35 años. En 20 años a partir de ahora, ¿Cuántos abogados se espera que haya en el estado de Nueva York? R: 350,018

7.- Hay 5 estudiantes y un barril de cerveza en una fiesta. El tiempo que transcurre entre despachos sucesivos de tarros de cerveza es exponencial, con promedio de 2 minutos. El tiempo para tomarse una cerveza también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 18 minutos. Al terminarse su cerveza, el estudiante regresa de inmediato para pedir otra.a).- En promedio, ¿cuánto tiempo hace cola un estudiante para que le den su cerveza? R: 1.0486 minutosb).- ¿Qué fracción del tiempo no hay movimiento en el barril? R: El 52.48% del tiempoc).- Si el barril tiene 500 tarros de cerveza, ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasará para que se termine la cerveza? R: 35 horas con 5 minutos

8.- El gerente de un grupo grande de empleados debe decidir si necesita otra maquina fotocopiadora. El costo de una es de 40 dólares por día de 8 horas se use o no. En promedio, 4 personas por hora necesitan usar la maquina. Cada persona la usa durante un promedio de 10 minutos. Los tiempos entre llegadas y los de copiado tienen distribución exponencial. A los empleados se les paga 8 dólares por hora, y suponemos que se incurre en un costo de espera cuando un empleado espera en la cola para usar la copiadora. ¿Cuántas copiadoras se deben rentar? R: Debe haber 2 copiadoras funcionando


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II 9.- Un lavado automático de automóviles tarda 10 minutos en lavar un coche. Las llegadas son a un espaciamiento promedio de 15 minutos, distribuidos exponencialmente.a).- En promedio, ¿Cuántos automóviles están esperando su turno de lavado? R: 1.33336 autosb).- Si el lavado automático se pudiera acelerar, ¿Qué tiempo de lavado reduciría el tiempo promedio de espera a 5 minutos? R: 6.51388 min/auto

10.- En un restaurante selecto sólo hay una mesa y espacio de espera sólo para un grupo; si llegan otros cuando la salan de espera está ocupada, se van. La frecuencia de llegada sigue una distribución exponencial con promedio de un grupo por hora. Al grupo promedio le toma 1hora, distribuida en forma exponencial, su comida. ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un grupo en la sala de espera? R: 0.5 minutos


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II 11.- El dueño de un restaurante selecto tiene dos mesas, pero solo un mesero. Si se ocupa la segunda mesa, el dueño sirve en esa mesa. Los tiempos de servicio tienen distribución exponencial con promedio de 1 hora y los tiempos entre llegadas también tiene distribución exponencial con promedio 1.5 horas. Cuando el restaurante se llena, las personas deben hacer cola para esperar su turno.a).- ¿Qué porcentaje del tiempo esta sirviendo el dueño en una mesa? R: 11.11%.b).- Si el dueño desea pasar el 10% de su tiempo atendiendo a clientes, ¿Cuál es la frecuencia máxima de llegadas que se puede tolerar? R: 0.6144 arribos/hr

BIBLIOGRAFÍA

1.- MODELOS CUANTITAVOS PARA ADMINISTRACIÓN Autor: Davis /Mc Keown Grupo Editorial: Iberoamérica

2.- INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Autor: Robert J. Thierauf. Editorial: Noriega Limusa. 3.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Autor: James E. Shamblin Editorial: Mc. Graw Hill

4.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Autor: Richard Bronson, Serie Schaum Editorial: Mc. Graw Hill

5.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES “ Aplicaciones y Algoritmos” Autor: Wayne L Winston Grupo Editorial: Iberoamérica


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Tutorial de Lineas de espera para el winqsb

Los apuntes de IO son una serie de apuntes introductorios en tópicos que caen bajo amplio campo de la Investigación de operaciones (IO). Fueron utilizados originalmente por mí en un curso de introducción de IO que doy en la Universidad Imperial. Están disponibles ahora para el uso de cualesquiera estudiantes y profesores interesados en IO conforme a las siguientes condiciones.Una lista completa de los tópicos disponibles en apuntes de IO que pueden encontrarse aquí TEORIA DE ESPERA (Líneas de espera).Líneas de espero se ocupa de problemas que implican el hacer cola (o el esperar). Los ejemplos típicos pudieran ser:

Bancos / supermercados-esperar por el servicio Computadoras- esperar por una respuestas Situaciones de falla – esperar por una ocurrencia de falla ejemplo en una pieza de maquinaria Transporte publico-esperar por un tren o un autobús.

Como sabemos hacer cola es una experiencia diaria y muy común. Hacer cola se forma porque los recursos son muy limitados. De hecho, hacer colas tiene un sentido económico. Por ejemplo: ¿cuantos supermercados se necesitarían para evitar hacer cola?, ¿Cuántos autobuses o trenes serian necesarios si las colas fueran eliminadas?En diseño de sistemas de líneas de espera necesitamos apuntar para un equilibrio entre el servicio o clientes (líneas de espera cortas implican de muchos servicios) y consideraciones económicas (no también muchos servidores) en esencia todos los sistemas pueden ser analizados en los subsistemas individuales consistiendo de entidades de líneas de espera para alguna actividad (como lo mostrado abajo)

Podemos hablar típicamente de este subsistema individual como tratando con clientes haciendo cola para un servicio. Para analizar este subsistema necesitamos información que concierne con:

- PROCESO DE LLEGADA:- Como llegan los clientes, por ejemplo individualmente o en grupos (o llegada en grupos) - Como se distribuyen las llegadas en el tiempo (por ejemplo cual es la distribución de probabilidad de

tiempo entre la llegada sucesiva la distribución entre llegadas del tiempo).- O si hay una población finita de clientes o (efectivamente) un número infinito.El proceso de llegada mas simple es una donde tengamos llegadas completamente regulares (es decir el

mismo intervalo constante del tiempo de llegadas sucesivas) una distribución Poisson las llegadas corresponden a las llegadas al azar. En una distribución Poisson los clientes sucesivos llegan después de que los intervalos son distribuidos exponencialmente. La distribución de Poisson es tan importante que es un modelo matemático conveniente de muchos sistemas de líneas de espera de la vida real y es descrito por un solo parámetro la tasa de llegada media. Otro importante proceso de llegada son las llegadas programadas, llegadas de la hornada, y tasas de llegada varía según la hora del día.Mecanismo del servicio. Descripción de los recursos

Que necesito para que el servicio comience:- Cuánto tiempo tomará el servicio (la distribución de tiempo del servicio)- El numero de servidores disponibles- Si los servidores están en serie (cada servidor tiene una fila de espera separada) o en paralelo (una

cola para todos los servidores )- Si el derecho preferente de compra está permitido (un servidor puede parar de procesar a un cliente

para tratar con otro cliente “emergencia”).


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Asumiendo que los tiempos de servicio para clientes son independientes y no dependen del proceso de

llegada son comunes. Otra acepción común acerca de los tiempos de servicio es que están distribuidos exponencialmente.Características de la línea de espera

Como el sistema de clientes que esperan servicio, elegimos el que servirá en segunda por ejemplo FIFO (Primero en Entrar-Primero en salir) y también conocido como FCFS (Primero que llega, Primero servido); LIFO (Ultimo en entrar-Primero en salir) Aleatoriamente (esto a menudo se llama disciplina de la línea de espera).

O tenemos: El que reniega (Clientes que deciden no permanecer en la fila si esta es muy larga) El que renuncia (Clientes que dejan la fila si han esperado mucho tiempo por un servicio) Jockeying (maniobrando, cruzando) (Clientes que cambian entre las filas si piensan que conseguirán

servicios mas rápidamente por hacer esto) Una fila de capacidad finita o (efectivamente) de capacidad infinita.

Cambiando la disciplina de las líneas de espera (la regla por la cual seleccionamos al siguiente cliente a ser servido) puede reducir a menudo la congestión.

A menudo la disciplina de las líneas de espera “elegir entre el cliente con el más bajo tiempo de servicio” resulta en el más pequeño valor para el tiempo (en promedio) que un cliente pasa haciendo cola.

Las situaciones integrales que las líneas de espera es la idea de inciertamente, por ejemplo tiempos entre llegadas y tiempos de servicios. Esto significa que la probabilidad y estadística son necesarias para analizar las situaciones de las líneas de espera.En términos del análisis de situaciones de líneas de espera los tipos de pregunta en que estamos interesados son típicamente concernientes con temas de sistemas y deben incluir:

Que tanto un cliente tiene expectativa de esperar en la fila antes de ser servido, y cuanto tendrán que esperar antes de que el servicio este completo

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar mas tiempo que el dado en el intervalo antes de ser servido?

¿Cuál es el promedio de tiempo de espera mas largo en la fila? ¿Cuál es la probabilidad que el hacer cola excederá un cierto tiempo más largo? ¿Cuál es la expectativa de utilización del servidor y la expectativa del periodo de tiempo durante el

cual esta totalmente ocupado (recuerde que los servidores nos cuestan dinero entonces necesitamos mantenerlos ocupados). De hecho podemos asignar costos a factores al tiempo de espera de cada cliente y el servidor con tiempo ocio, entonces podemos investigar como diseñar un sistema con costo total mínimo.

Estas son preguntas que necesitamos responder para que la administración pueda valorar alternativas en prueba para control /mejora de la situación. Algunos de los problemas que a menudo son investigados en práctica son:

٭ ¿Vale la pena invertir esfuerzo para reducir el tiempo de servicio?٭ ¿Cuántos servidores deben ser empleados?٭ ¿Habrá prioridades para que cierto tipo de clientes sean atendidos?٭ ¿El área de espera es adecuada para los clientes?

En orden para obtener respuestas acerca de las preguntas están dos enfoques:1. métodos Analíticos o Teoría de línea de espera (basado en la fórmula); y2. Simulación (basado en la computadora).La razón para empezar con estos dos enfoques (en vez de sólo uno) es que el método analítico es solo

viable para sistemas de líneas de espera relativamente simples. Los sistemas de líneas de espera complejos son casi siempre analizados usando simulación (más técnicamente conocidos como simulación de eventos discretos).Los sistemas de líneas de espera simples se pueden abordar por la teoría de línea de espera esencialmente:


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II ٭ Consisten de sólo una línea de espera los sistemas donde los cliente pasan de una fila a otra no pueden

ser abordados vía teoría de líneas de espera.٭ Tiene distribuciones para las llegadas y procesos de servicio que son bien definidos (por ejemplo

distribuciones estadísticas estándar como Poisson o Normal); sistemas de datos observados, o son tiempos dependientes, son difíciles de analizarse por medio de la teoría de líneas de espera.

El primer problema de teoría de líneas de espera fue considerado por Erlang en 1908 quien observó que tan grande necesitaba ser un intercambio de teléfono porque estaba ocupado (las llamadas perdidas). En el plazo de 10 años él había desarrollado la formula (compleja) para solucionar el problema.

NOTACIÓN DE LAS LINEAS DE ESPERA Y UN EJEMPLO SIMPLEEs común utilizar estos símbolos:

٭ Lambda para la media (o promedio) número de llegadas por periodo de tiempo. Por ejemplo la media de la tasa de llegada.

٭ para la media (o promedio) de clientes que sirvió por el periodo, es decir la media de la tasa de servicio.

Este es un sistema de notación estándar para clasificar los sistemas de líneas de espera como A/B/C/D/E donde:

A representa la distribución de probabilidad para el proceso de llegada.B representa la distribución de probabilidad para el proceso de servicio.C representa el número de canales (servidores)D representa el máximo número de clientes permitidos en el sistema de líneas de espera (siendo

servido o esperando por el servicio)E representa el máximo número de clientes en total.

Opciones comunes para A y B son:M para una distribución de llegada Poisson (Distribución exponencial de llegada) o un servicio de

tiempo de distribución exponencial.D para un valor determinado o constanteG para una distribución general (pero con una media y varianza conocida)

si D y E no están especificadas entonces se asume que son infinitas.Por ejemplo el sistema de líneas de espera M/M/1 el mas simple sistema de líneas de espera, tiene

una distribución Poisson para la llegada, un tiempo de servicio exponencial y un solo canal (un servidor). Note aquí que usando esta notación se asume siempre que esto es de una sola cola (línea de espera) y los clientes se mueven de esta sola línea a los servidores.

EJEMPLO SIMPLE M/M/1 Supongamos que tenemos un solo servidor en una tienda y los clientes llegan a la tienda con una

distribución Poisson, la media de lambda =0.5 clientes por minuto, es decir un promedio de aparición de clientes cada 1/lambda = 1/0.5= 2 min. Esto implica que los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial con promedio de tiempo de entre llegadas de 2 minutos. El servidor tiene un servicio con distribución exponencial con una media de servicio de 4 clientes por minuto. Es decir una tasa de servicio de =4 clientes por minuto. Como tenemos una llegada con tasa de distribución Poisson /, tiempo de servicio exponencial /1 servidor tenemos un M/M/1 Líneas de espera; en términos de la notación estándar.Podemos analizar esta situación de líneas de espera usando el paquete. El llenado se muestra abajo:



Con la capacidad siendo:

La primera línea de la ventana de salida (resultados) dice que los resultados son de una formula. Para este muy simple sistema de líneas de espera, estas son formulas exactas que dan las estadísticas acerca de la asunción que el sistema tiene alcance un estado estable- que es que el sistema ha estado funcionando mucho, suficiente como para establecerse dentro de algún tipo de posición de equilibrio.

Naturalmente en los sistemas de la vida real difícilmente llegamos a un sistema estable. Simplemente porque la vida no es así. Como fuere a pesar de esto, esta simple formula puede darnos algo para penetrar dentro de cómo funciona un sistema muy rápidamente. El paquete toma un fracción de segundo producir las respuestas.

Un factor que es de notar es intensidad de tráfico = tasa de llegada /tasa de salida donde la tasa de llegada = numero de llegadas por unidad de tiempo y tasa de salida = numero de salidas por unidad de tiempo. La intensidad de tráfico es una medida de la congestión del sistema. Si esta es cerca de cero, la línea de espera es muy chica y en general como la intensidad del trafico aumenta (para cerca de 1 o mas grande que 1) la cantidad de la línea de espera incrementa. Para el sistema nosotros tenemos considerado la tasa de llegada es 0.5 y la tasa de salida es 4 entonces la intensidad de trafico es 0.5/4=0.125


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II SERVIDORES MÁS RÁPIDOS O MÁS SERVIDORES¿Considerando la situación que tenemos arriba – cuál preferirías?

¿Un servidor trabajando dos veces mas rápido oDos servidores cada uno trabajando a la tasa de tiempo original?

La respuesta es simple y podemos analizarla utilizando el paquete. Para la primer situación 1 servidor trabajando 2 veces mas rápido corresponde a una tasa de servicio de =8 clientes por minuto.Los resultados para esta situación se muestran abajo:

Para dos servidores trabajando la tasa original de salida es como abajo. Note aquí que esta es una situación M/M/2 sistema de líneas de espera. Note para que el paquete asuma que estos 2 servidores son para atender una sola línea de espera más que teniendo una fila individual.



¿Comparando las dos pantallas de arriba, cual operación prefiere?De las figuras en las pantallas arriba algunas son parecidas. Extrayendo imágenes de las que son

diferentes tenemos:Servidores tasa original un servidor dos veces más rápidoPromedio de tiempo en el sistema 0.13330.2510(Esperando y empezar a ser atendido)Promedio de tiempo de la fila de espera 0.00830.0010Probabilidad de tener que esperar por servicio 6.25%0.7353%Con esto se puede ver que con 1 servidor trabajando 2 veces mas rápido los clientes pierden menos tiempo en el sistema en promedio, pero tienen que esperar más tiempo por servicio y también tienen una alta probabilidad de tener que esperar por servicio.EXTENDIENDO EL EJEMPLO M/M/1 Y M/M/2 CON COSTOS

Abajo tenemos el ejemplo de antes donde ahora tenemos multiplicada la tasa de llegada de los clientes por un factor de 6 (es decir los clientes llegan 6 veces más rápido que antes). Tenemos también entrada una capacidad de líneas de espera (espacio para esperar) de 2 es decir si todos los servidores están ocupados y dos clientes están esperando cuando un nuevo cliente aparece entonces se van esto es conocido como malogrando, frustrando (balking).

Tenemos también adherido la información del costo relativo a los servidores y a los clientes:٭ Cada minuto de ocio de un servidor cuesta ₤0.5٭ Cada minuto que un cliente espera por un servidor nos cuesta ₤1٭ Cada cliente que es insatisfecho (se va antes de ser servido ) nos cuesta ₤5

El paquete para poner los datos esta mostrado abajo:

Con los resultados_



Note como la pantalla lo indica que es un sistema M/M/1/3 desde que tenemos un servidor y el máximo numero de clientes que pueden estar en el sistema (uno u otro siendo atendido o esperando) es 3 (uno estando atendido, 2 esperando).

La clave aquí es que como tenemos integrados los datos de costo tenemos un perfil por el total del costo de la operación del sistema, 3.0114 por minuto en el estado estable.

¿Supongamos ahora que tenemos 2 servidores en vez de uno- podría el costo ser mayor o menor?La respuesta simple es que el paquete puede decirnos, como abajo. Note que esto es un M/M/2/4

sistema de línea de espera como tenemos 2 servidores y un numero total de clientes en el sistema de 4 (2 estando servidos) 2 esperando en la fila por servicio.

Note que el paquete asume que estos 2 servidores son abastecidos de una sola fila de espera (en vez que cada uno tenga su propia fila de espera)

queue).



Así que podemos ver que esto es un costo de salvado considerable por minuto en donde tenemos 2 servidores en vez de uno. De hecho el paquete puede presentar automáticamente un análisis para nosotros de cómo varían en total los costos con los números de servidores. Esto puede ser visto abajo.



LÍNEA DE ESPERA GENERALLa pantalla de abajo muestra los posibles parámetros de entrada para el paquete en caso de un modelo

general de líneas de espera (es decir no un sistema M/M/r)


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Aquí tenemos un número de posibles opciones para el tiempo de servicio con una distribución y la

distribución de tiempo entre llegadas. De hecho el paquete reconoce algunas 15 distribuciones diferentesOtros temas mencionados arriba son:Coeficiente preassure de servicio: indica como crece la rapidez del servicio cuando el sistema esta ocupado, es decir cuando todos los servidores están ocupados la tasa incrementa. Si este coeficiente es s y tenemos r servidores cada uno con tasa de servicio entonces la tasa de servicio cambia de a (n/r)s cuando son n clientes el sistema y n> = r.

Coeficiente de reducción de llegada: indica como los clientes son desalentados cuando el sistema esta ocupado, es decir cuando todos los servidores están ocupados, la tasa de llegada decrece. Si este coeficiente es s y tenemos r servidores con la tasa de llegada siendo lambda entonces la tasa de llegada cambia de lambda a ((r/n1))s lambda cuando estos son n clientes y el sistema n>= r.Distribución tamaño de llegada (en masa): los clientes pueden llegar juntos (en masa también conocida como bulk) y esto s indican la distribución de tamaño de cada aglomeración.Como una indicación del análisis que puede hacerse un problema como se muestra abajo:



Esta pantalla indica que no existe formula para evaluar la situación que arriba principia.Podemos tratar de evaluar esta situación usando una formula aproximada o por simulación MonteCarlo. Si elegimos utilizar la aproximación cercana obtenemos:

La dificultad es que esta aproximación resulta sin sentido (es decir, no es una buena aproximación) Por ejemplo el numero promedio de clientes en la fila de espera es de –2.98110, la probabilidad que todos los servidores estén ociosos es de –320%, etc. Para este caso particular es obvio que la aproximación (o quizá el paquete) no este funcionando, para otros problemas parecerá que la aproximación no esta trabajando.Si adoptamos la simulación MonteCarlo nos proporcionará la pantalla de abajo:

Que pasará aquí, que la computadora construirá un modelo de sistema que tenemos especificado e internamente genera llegadas de clientes, tiempos de servicio, etc., y recolectará estadísticas en como presenta los sistemas. Como se especifica arriba esto hará para 1000 unidades de tiempo (horas en este caso).


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II La frase “MonteCarlo” se deriva de la bien conocida ciudad del juego en el mediterráneo en Mónaco. Como en la ruleta cuando esta es girada obtenemos números aleatorios, así en simulación MonteCarlo hacemos que use números al azar generados por la computadora.Los resultados son mostrados abajo:

Estos resultados son mucho más razonables que los obtenidos de la aproximación.De cualquier manera un factor a tomar en consideración es el comportamiento del sistema nos podrá hacer simular por mas tiempo. Los resultados de la simulación tanto 10 como 100 tiempos largos están mostrados abajo


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Claramente simulamos la mas grande , la mayor confidencia la podríamos tener en las estadísticas/

probabilidades obtenidas.Como antes podemos investigar como el sistema debe ser con más servidores. Simulando por 1000 horas (para reducir sobre todo el tiempo del lapso requerido) y observando que justamente el costo total del sistema por hora (detalle 22 en la pantalla de arriba) tenemos lo siguiente:num. de servidores Costo total del sistema 1 4452 2 3314 3 2221 4 1614 5 1257 6 992 7 832 8 754 9 718 10 772 11 833 12 902

De aquí que el numero de servidores asociado con el costo mínimo total del sistema es de 9.


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II Anexo 1: Ejemplo de datos

LINEA DE ESPERA 1

CAJA 2 ( Mary) NUMERO TIEMPO DE ARRIBO TIEMPO ENTRE ARRIBOS TIEMPO DE SERVICIO

1 10:40:00 a.m. 0 25seg2 10:41:00 a.m. 60seg 20seg3 10:41:41 a.m. 41seg 65seg4 10:41:55 a.m. 14seg 80seg5 10:42:15 a.m. 20seg 30seg6 10:42:26 a.m. 11seg 35seg7 10:44:15 a.m. 169seg 30seg8 10:44:40 a.m. 25seg 30seg9 10:45:00 a.m. 20seg 10seg

10 10:46:00 a.m. 60seg 20seg11 10:47:05 a.m. 65seg 25seg12 10:47:20 a.m. 15seg 10seg13 10:47:30 a.m. 10seg 15seg14 10:47:31 a.m. 60seg 25seg15 10:48:00 a.m. 29seg 25seg16 10:50:00 a.m. 120seg 20seg17 10:50:42 a.m. 42seg 25seg18 10:52:00 a.m. 138seg 25seg19 10:52:25 a.m. 25seg 25seg20 10:52:45 a.m. 20seg 25seg21 10:53:10 a.m. 25seg 25seg22 10:53:15 a.m. 5seg 40seg23 10:53:30 a.m. 15seg 20seg24 10:54:00 a.m. 30seg 60seg25 10:57:00 a.m. 180seg 130seg26 11:00:05 a.m. 185seg 25seg27 11:05:00 a.m. 295seg 10seg28 11:05:30 a.m. 30seg 20seg29 11:15:00 a.m. 30seg 35seg30 11:19:00 a.m. 240seg 20seg31 11:19:15 a.m. 15seg 30seg32 11:19:35 a.m. 20seg 35seg33 11:19:40 a.m. 5seg 10seg34 11:20:25 a.m. 45seg 35seg35 11:21:00 a.m. 35seg 30seg36 11:22:00 a.m. 60seg 45seg37 11:23:00 a.m. 60seg 20seg38 11:25:00 a.m. 120seg 20seg39 11:27:00 a.m. 120seg 95seg40 11:35:00 a.m. 480seg 105seg41 11:35:10 a.m. 10seg 35seg



LINEA DE ESPERA 2

CAJA 1 (susana) NUMERO TIEMPO DE ARRIBO TIEMPO ENTRE ARRIBO TIEMPO DE SERVICIO

1 10:40:50 a.m. 0 25seg2 10:41:00 a.m. 50seg 20seg3 10:41:30 a.m. 30seg 40seg4 10:41:45 a.m. 15seg 40seg5 10:43:15 a.m. 90seg 10seg6 10:45:00 a.m. 105seg 10seg7 10:45:20 a.m. 20seg 30seg8 10:45:30 a.m. 10seg 25seg9 10:46:10 a.m. 40seg 30seg

10 10:47:05 a.m. 55seg 25seg11 10:47:20 a.m. 15seg 35seg12 10:47:30 a.m. 10seg 45seg13 10:48:00 a.m. 30seg 35seg14 10:49:30 a.m. 90seg 20seg15 10:50:10 a.m. 40seg 130seg16 10:51:40 a.m. 90seg 35seg17 10:52:00 a.m. 20seg 35seg18 10:52:45 a.m. 45seg 30seg19 10:53:15 a.m. 30seg 35seg20 10:53:45 a.m. 30seg 50seg21 10:55:00 a.m. 75seg 45seg22 10:55:30 a.m. 30seg 30seg23 10:58:25 a.m. 175seg 10seg24 10:58:30 a.m. 5seg 35seg25 10:59:10 a.m. 40seg 35seg26 11:00:05 a.m. 55seg 45seg27 11:02:05 a.m. 120seg 35seg28 11:02:45 a.m. 40seg 20seg29 11:03:15 a.m. 30seg 20seg30 11:05:00 a.m. 105seg 30seg31 11:05:45 a.m. 45seg 30seg32 11:06:25 a.m. 40seg 25seg33 11:08:40 a.m. 135seg 55seg34 11:09:15 a.m. 35seg 65seg35 11:09:50 a.m. 35seg 25seg36 11:10:25 a.m. 35seg 25seg37 11:12:45 a.m. 140seg 15seg38 11:13:15 a.m. 30seg 35seg39 11:15:45 a.m. 150seg 25seg40 11:18:30 a.m. 165seg 30seg41 11:19:05 a.m. 35seg 45seg42 11:21:10 a.m. 125seg 35seg43 11:25:25 a.m. 255seg 45seg44 11:28:15 a.m. 170seg 60seg45 11:35:10 a.m. 415seg 70seg46 11:36:15 a.m. 65seg 20seg47 11:38:40 a.m. 145seg 40seg48 11:39:05 a.m. 25seg 20seg49 11:39:45 a.m. 40seg 25seg


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II LINEA DE ESPERA 3


Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán Materia: Investigación de Operaciones II FARMACIA ( BETY)

NUMERO TIEMPO DE ARRIBO TIEMPO ENTRE ARRIBO TIEMPO DE SERVICIO1 10:40:00 a.m. 0 60seg2 10:41:15 a.m. 75seg 60seg3 10:41:40 a.m. 25seg 60seg4 10:43:00 a.m. 80seg 60seg5 10:44:00 a.m. 60seg 60seg6 10:45:35 a.m. 95seg 60seg7 10:45:45 a.m. 10seg 60seg8 10:47:00 a.m. 75seg 60seg9 10:48:00 a.m. 60seg 60seg

10 10:49:00 a.m. 60seg 30seg11 10:49:50 a.m. 60seg 60seg12 10:50:30 a.m. 40seg 45seg13 10:50:45 a.m. 15seg 60seg14 10:51:00 a.m. 15seg 60seg15 10:52:00 a.m. 60seg 60seg16 10:52:45 a.m. 45seg 60seg17 10:53:00 a.m. 15seg 60seg18 10:54:20 a.m. 80seg 60seg19 10:54:30 a.m. 10seg 120seg20 10:56:00 a.m. 90seg 300seg21 10:57:00 a.m. 60seg 60seg22 10:58:00 a.m. 60seg 60seg23 11:00:00 a.m. 120seg 60seg24 11:01:00 a.m. 60seg 60seg25 11:02:36 a.m. 96seg 60seg26 11:02:53 a.m. 17seg 180seg27 11:03:00 a.m. 7seg 120seg28 11:04:00 a.m. 60seg 60seg29 11:05:12 a.m. 72seg 60seg30 11:05:23 a.m. 71seg 60seg31 11:07:00 a.m. 97seg 60seg32 11:08:00 a.m. 60seg 60seg33 11:09:00 a.m. 60seg 30seg34 11:09:10 a.m. 10seg 35seg35 11:09:45 a.m. 35seg 60seg36 11:10:00 a.m. 15seg 60seg37 11:11:00 a.m. 60seg 60seg38 11:12:08 a.m. 68seg 60seg39 11:12:15 a.m. 7seg 60seg40 11:13:33 a.m. 78seg 240seg41 11:13:45 a.m. 12seg 120seg42 11:14:00 a.m. 15seg 60seg43 11:16:00 a.m. 120seg 60seg44 11:17:00 a.m. 60seg 60seg45 11:18:00 a.m. 60seg 60seg46 11:20:00 a.m. 120seg 60seg47 11:21:00 a.m. 60seg 60seg48 11:22:30 a.m. 90seg 120seg49 11:22:55 a.m. 25seg 60seg50 11:24:00 a.m. 65seg 60seg51 11:25:00 a.m. 60seg 60seg52 11:26:00 a.m. 60seg 60seg53 11:33:00 a.m. 420seg 60seg54 11:37:00 a.m. 240seg 60seg55 11:38:00 a.m. 60seg 120seg56 11:40:00 a.m. 120seg 60seg



Anexo 2 Posibles Hipotesis en Lineas de EsperaLas siguientes hipótesis pertenecen a las formulas dadas:

1.- Las llegadas siguen una distribución de poisson. En general, la distribución de poisson establece que en una escala continua de tiempos existe una probabilidad muy pequeña de que ocurra un evento en cualquier instante determinado y que existe un gran número de veces en que puede ocurrir un evento.

2.- Los servicios siguen una distribución exponencial.

P (> t) = e-µt

3.- La tasa promedio de servicio es mayor que la tasa promedio de llegada, µ > λ.

4.- La disciplina de la cola es la prioridad para quien llega primero sin que existan desertores de la línea de espera.

5.- El número de clientes es infinito y la magnitud de la línea de espera es limitada.


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Lineas Deespera. IO