32

Líneas trigonométricas

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Page 1: Líneas trigonométricas
Page 2: Líneas trigonométricas

Concepto:Se llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centrocoincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidaddel sistema.

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M

B' N

R = 1

A' Ax

(+)

(-)

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

2 2 1x y

Observación:Todo arco se inicia en posición normal.

Page 3: Líneas trigonométricas

Nota: Los arcos a ubicar pueden estar expresados en grados sexagesimales, radianes o como números reales.

Page 4: Líneas trigonométricas

Ejemplos:

Ubica en la C.T. los extremos de los arcos . ; 6; 8; - 152

3

Desarrollo:

2

3P

P: extremo del arco 2

3

Q

Q: extremo del arco 6

6

Page 5: Líneas trigonométricas

S8

S: extremo del arco 8

R

- 15

R: extremo del arco - 15

Page 6: Líneas trigonométricas

En el siguiente gráfico, se muestran los arcos de mayor uso en este tema.

Page 7: Líneas trigonométricas

Arcos negativos.

Page 8: Líneas trigonométricas

1 3;

2 2

2 2;

2 2

3 1;

2 2

Observa la figura, la Simetría existe entrelos extremos de losarcos. Las coordenadas han sido obtenidos con los arcos de las dos figuras anteriores, teniendo como referencia:

cos30 ; 30sen

1 3;

2 2

2 2;

2 2

3 1;

2 2

3 1;

2 2

2 2;

2 2

1 3;

2 2

1 3;

2 2

2 2;

2 2

3 1;

2 2

Page 9: Líneas trigonométricas

I. LINEA TRIGONOMÉTRICA SENO

El seno de un arco se representa por la perpendicular trazado desde el extremo del arco Considerado, hacia el eje de abscisas ( x )

C.T

1

-1

y

x

Sen

Sen

-Se

n -S

en

Page 10: Líneas trigonométricas

ángulo graduación

Análisis de la variación de la línea trigonométrica seno.

90°

270°

180°

360°

90°

180°

270°

360°

0

1

0

- 1

0

1

- 1

0

1

- 1

Page 11: Líneas trigonométricas

( ) ´ 11 1

( )min 1

seno ma xsen

seno imo

IC II C III C IV C

crece decrece decrece

2

1 0

3

20

2

0 1

0 1sen 0 1sen 1 0sen

32

2

1 00 1

1 0sen

crece

Cuadro del análisis de las variaciones de la razón trigonométrica seno

Page 12: Líneas trigonométricas

Ejemplos:

1. Grafica las líneas trigonométricas: sen 120°; sen 250°; sen 300°

y

x

120°

250°

300°

Sen

12

Sen

25

Sen

30

+

--

Page 13: Líneas trigonométricas

2.Señala verdadero (v) 0 falso ( f) según corresponda: Sen 100° > sen 190°

1

0

- 1

x

y

100°

190°

Desarrollo:

La afirmación es falsa, por queSen190°< 0

3.Ordena de mayor a menor: sen 300°;sen 120°; sen 30°; sen 260°

Desarrollo:

Ordenando:Sen 120°; sen 30°; sen 300°; sen 260°

Observa la gráfica:

1

-1

x

y

30°

120°

260°

300°

0

Page 14: Líneas trigonométricas

3.Encuentra el área de laregión sombreada en la C.T.

Desarrollo:

1 1

2

base alturaS

2

2

senS

S = sen

Page 15: Líneas trigonométricas

4. Grafica y encuentra el valor de la línea trigonométrica sen 5

4Desarrollo:

5

4 4sen sen

2

4 2sen

5

4

4

2

2

Page 16: Líneas trigonométricas

5.Ordena en forma decreciente.sen 1; sen 2; sen 3.

Desarrollo:

x

y

1,67

3,14 0

1

2

3

Sen

1Sen

2

Sen

3

Ordenando:

Sen 3 ; sen 1; sen 2

6.Señale la variación de:

2

3;

63;-sen4L

Desarrollo:

y

x

32

-1

1

0

612

De la grafica se observa que los extremos son 1 y - 1

1 1senLuego:

Page 17: Líneas trigonométricas

4 4 4sen

Multiplicando por 4:

Restando – 3:

7 4 3 1sen

7;1L

7.Señale la variación de:L = 3sen + 2

II

Desarrollo:

1

x180º

y

90º

0 < sen < 1

0 < 3 sen < 3

2 < 3 sen + 2 < 5

2;5L

Page 18: Líneas trigonométricas

LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO

El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de ordenadas ( y ).

y

x

NM

cos

(-)

-1

1

cos

(+)

A

P

cos(-)

cos

(+)Q

Page 19: Líneas trigonométricas

Análisis de la variación de la línea trigonométrica coseno.

Ángulo. Graduación

90°

0°180°

270°

360°0

90°

180°

270°

360°

1

0

- 1

0

1

1- 1

- 1 10

Page 20: Líneas trigonométricas

Ejemplo:

Grafica en la C.T. las siguientes líneas trigonométricas: cos 30°; cos 120°; cos 200° ycos 300°

y

x0°

90°

270°

180°

0

30°

120°

200°

300°

Page 21: Líneas trigonométricas

Cuadro del análisis de las variaciones de la razón trigonométrica coseno

1cos11.míncos

1.máxcos

IC

02

IIC

2

IIIC

32

IVC

232

0 11 0 0 -1 -1 0

0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0-1<cos <0

cos

Page 22: Líneas trigonométricas

Ejemplos:

1.En la C.T. ubica el ángulo de cos 220°

Desarrollo:y

x0

220°Cos 220°

Page 23: Líneas trigonométricas

2.Señala verdadero ( V ) o falso ( F ) según corresponda.Cos 200° > cos 260°

Desarrollo:

x

y200°

260°

-

-

De la figura se observaque la afirmación es falsa.

3. Ordena de menor a mayor.cos 10°; cos 70°; cos 100°; cos 120° y cos 300°

Desarrollo:y

x

10°

70°

100°

120°

300°

Cos 10°; cos 300°; cos 70°; cos 100°; cos 120°

Page 24: Líneas trigonométricas

4.Señala la variación de L = 4 cos + 3; 60°< < 180°

Desarrollo:

x

y

60°

180°

- 1

1

2

11 cos

2

X 4

+ 3

4 4cos 2

1 4cos 3 5

1;5L

Page 25: Líneas trigonométricas

LÍNEA TRIGONOMÉTRICA TANGENTE

La tangente de un arco es la ordenada ( y ) del punto de intersección entre la rectatangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetroque pasa por el extremo del arco.

Ejemplos y

x

P

Tan

A

B

Tan

M

Tan

VARIACIÓN

I C II C III C IV C

+ - + -crece crece crece crece

Page 26: Líneas trigonométricas

1.Grafica la línea 2tan

3

Desarrollo:

y

x

2

3

2tan

3

2. será : tan300 tan340

Desarrollo:

y

x

300°

La afirmación es verdadera.

Page 27: Líneas trigonométricas

3.En la C.T. encuentra el área sombreada.Desarrollo:

En el triángulo ABC:

En el triángulo ABD:

2

2 tantan

2A

1

2

2

senA sen

tanTA sen

Page 28: Líneas trigonométricas

LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

La cotangente de un arco es la abscisa ( x ) del punto de intercepción entre la recta tangente por el origen de complementos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

Ctg Ctg

Page 29: Líneas trigonométricas

Ejemplos:

Grafica :

2 2cot ;cot ;cot

6 3 3

Desarrollo:

6

Cot6

2

3

2cot

3

2

3

2cot

3

Page 30: Líneas trigonométricas

LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SECANTE

La secante de un arco es la abscisa ( x ) del punto de intersección entre la rectatangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.

-Sec

Sec

Page 31: Líneas trigonométricas

Ejemplo:

Grafica:

2sec ;sec

3 3

y

x

2

3

Sec 2

33

sec3

Page 32: Líneas trigonométricas

LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSECANTE

La cosecante de arco es la ordenada del punto de intersección, entre la recta tangente que pasa por el extremo de arco y el eje y

Csc Csc