««lisDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

Los instrumentos geométricos

En este número:

Pág. Pág

Geometría na turista” (G. Wctlii- sinski) .......................................

Carta al lector 325

Los instrumentos gcorn'tríeos y la estructuración de la geometrí i elemental (César A. Trc;o) ..

Funciones y uso del manual esco­lar de matemática (H. BcireiJ) ..

5 ¿Por qué estudiar la histoiia de lamatemática (D. ]. Siruik) .... 33

15 Calendario azteca

Argentinos de empresa

en una empresa; Qué pasaría

si esta pieza

llegara a faltar?>■

* Hombres y mujeres que dedican su esfuerzo diario a una tarea común de gran trascendencia económica y social.Ledesma, operado por dirigentes, técnicos y obreros argentinos, constituye un factor fundamental en el desarrollo del noroeste argentino.i

¡oSi su calculadora

es Cifra, nada.Porque nunca faltará un repuesto Cifra.

Ni la atención posventa.Ni el respaldo de Fate Electrónica.

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ElectrónicaLedesma s.a.a.i.

CAPITAL FEDERALSarmiento 440 - TeL: 45-6011/15 - 49-8650/59

:

ONCEPTOSI

:

©2L Centro de altos estudios en Ciencias exactas DE MATEMATICA

CAECE AÑO XIV — Abril - Mayo - Junio 1981 — N° 58CONCEPTOS DE MATEMATICA©a© ESTABLECIMIENTO UNIVERSITARIO PRIVADOPUBLICACION TRIMENSUAL

AUTORIZADO POR DECRETO DEL PODER EJECUTIVO NACIONAL N° 2227/68 CONFORME A LO ESTABLECIDO

EN EL ARTICULO 7o DE LA LEY N° 17604 Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Aires.

CARTA AL LECTOR

* Este número 58 de "CONCEPTOS DE MATEMATI­CA”, de acuerdo con lo anunciado anteriormente, aparece con cierta antelación a la fecha general­mente prevista para el número del segundo tri­mestre. Aun cuando ya hemos dado a conocerlas ra­zones determinantes de este hecho, nos resulta gra­to consignarlo dado que muchas veces hemos debi­do ocuparnos de retrasos en las entregas.

* Podemos consignar que, particularmente, nos agradan los artículos que componen el número. Cre­emos, por supuesto, que a todos interesará la densa contribución del destacado matemático argentino, doctor César A. Trejo sobre "Los instrumentos ma­temáticos y la estructuración de la geometría ele­mental”, cuyo primitivo destino fue el "IV Congreso Internacional de Enseñanza de la matemática” reali­zado en Berkeiey, E.U.A., del 9 al 16 de agosto de 1980, y que hoy tenemos el agrado de ofrecer en pri­micia a nuestros lectores.

* Pero no podemos dejar de citar siquiera sea sucin­tamente, el resto del material que se publica; el sabroso y original artículo del presidente de la "Aso­ciación de Profesores de Matemática de la Enseñan­za Pública” de Francia, profesor Henri Bareil, el ori­ginal artículo de G. Walusinski sobre Geometría "na­turalista” y el artículo "¿Por qué estudiar historia de la matemática?” un equilibrado enfoque del mate­mático norteamericano D. J. Struik, del Instituto de Tecnología de Massachusetts que, a no dudarlo, atraerá la atención de los lectores.

* Agradecemos a los que respondieron a nuestro lla­mado para que pusieran al día sus suscripciones y adquirieran el libro "Problemas de la enseñanza de la matemática” e instamos a quienes todavía no lo hicieron para que lo hagan a la brevedad.

*Los saluda cordialmente.

AÑO LECTIVO 1981ABIERTA LA INSCRIPCION Director - Editor

JÓSE BANFI0 Calculista Científico 0 Investigador Operativo* Licenciado en Sistemas• Doctor en Sistemas

COMPUTACION

Y SISTEMAS Suscripción Anual: Argentina S 60.000. Exterior 20 dó­lares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postóles o bancarios sobre Bs. As. deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATE­MATICA.

!• Profesor de Matemática° Licenciado en Matemática Pura o Aplicada• Doctor en Matemática

MATEMATICA

PURA Y APLICADA• Estadígrafo• Licenciado en EstadísticaESTADISTICA Ejemplar suelto: $ 18.000

Ejemplar atrasado: $ 20.000 Exterior: $ 6 dólares.Para colaboraciones, números

atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamen­te al editor.

• Profesor de Enseñanza Primaria• Profesor de Enseñanza Secundaria 9 Licenciado en Pedagogía• Psicopedagogo9 Licenciado en Psicopedagogia

CIENCIASPEDAGOGICAS

1

t

Registro de la Propiedad Intelectual N° 1.037.5309 Técnico Biólogo Universitario

• Profesor de Ciencias Biológicas 9 Licenciado en Ciencias Biológicas

(varias orientaciones)

CIENCIASBIOLOGICAS Impreso en COGTAL

Rivadavia 767, Capital

Turnos MAÑANA, TARDE y NOCHEinformes de 8,30 a 20,30 horas

INTERES GENERAL Concesión N° 8205

™ 5 Sy5?</)FRANQUEO PAGADO

Concesión N° 2687Belgrano2211 47-0425 EL DIRECTOR

3

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:

DEL CONGRESO DE BERKELEY

_os instrumentos geométricos

y la estructuración

de la geometría elementalCésar A. TREJO

(Argentina)

■ mmm■*3 r

V Colaborador consecuente de CONCEPTOS DE MA TEMA TI­CA desde sus primeros momentos, ei doctor César A. Trejo, que nació en Bragado, provincia de Buenos Aires en 1913, ha sido designado, últimamente miembro titular de la Academia Na­cional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de nuestro país.

El doctor Trejo se graduó en 1934 como profesor de matemá­ticas y física en la Facultad de Humanidades y Ciencias de Edu­cación y se doctoró en 1936 en la Facultad de Ciencias Exactas de Ia Universidad Nacional de La Plata.

Fue profesor titular de dicha facultad y de la Escuela Superior de Astronomía y Física del Observatorio Astronómico. También fue profesor en las Universidades Nacionales de Buenos Aires y de Cuyo y desde el,3 de noviembre de 1976 es decano de la Fa­cultad de Ciencias Exactas y Naturales de la primera de esas uni­versidades.

Tiene una extensa producción bibliográfica que a la fecha comprende más de veinte trabajos citados y comentados en publicaciones internacionales.

Participó de innumerables Congresos Nacionales e Interna­cionales y últimamente lo hizo en el'TV Congreso Internacional de Enseñanza de la Matemática" en donde presentó el trabajo que ahora se publica en nuestra revista.

Cúmplenos consignar que el doctor César A. Trejo formó parte de todas las delegaciones de profesores de la mencionada revista que participaron de los Coloquios y Conferencias organiza­dos en el interior de nuestro país.

i4

■. •••‘V- **¿. i. y\«.

1 Introducción1.1. Nos proponemos mostrar como la introducción gradual de los instrumentos geométri­

cos y una teoría elemental de construcciones son recursos de sorprendente eficacia para poner de relieve los cauces de ordenación y coherencia conceptual en la geometría.

1.2. Una teoría sistemática de las construcciones geométricas no puede darse en el ciclo me­dio ni interesa esencialmente en esta exposición.

DESCARTES.

5

por ejemplo, con la última se puede trazar la "circunferencia envolvente" de centro cualquiera y radio igual a la distancia entre los dos bordes.

Y es sabido que si en el plano se tiene dibujada una circunferencia y se conoce su centro todas las construcciones realizables con regla y compás lo son también con regla solamente (en principio, aunque de manera por lo general mucho más complicada). Esto no vale si se tiene una circunferencia y no su centro; éste no puede determinarse con regla solamente.

Recordemos, no obstante, que de esta teoría de construcciones, los temas más difundidos en la matemática elemental son los que conciernen a construcciones posibles o imposibles con regla y compás. En particular la teoría de Gauss sobre polígonos regulares construibles, en rela­ción con los números de Fermat, y la imposibilidad de resolver con regla y compás ios proble­mas griegos clásicos: duplicación del cubo, trisección del ángulo y cuadratura del círculo.

No nos detendremos tampoco en estos temas pero debemos destacar su valor educativo. Por ejemplo, resulta muy ilustrativo mostrar como es posible demostrar que algo es imposible.

1.3. Lo que ahora nos proponemos destacar es que una teoría elemental de construcciones geométricas es muy orientadora para el profesor, sobre todo por dos motivos:

1o) Porque una tal teoría hace ineludible una definición matemática precisa y funcional de cada instrumento geométrico;

2o) Porque arroja luz sobre la sistematización de la geometría elemental, poniendo más cla­ramente de relieve los cauces de ordenación natural.

2 La regla2.1 Veamos ahora, en relación con un instrumento geométrico básico, la regla, el primero

de los aspectos señalados en 1.3. La consideración del segundo, más importante y profundo, exige un previo análisis que muestre cuales son los cauces de ordenación natural que se pondrán de relieve mediante la introducción gradual de los instrumentos. Esto se hará en la sec­ción 4 y se aplicará a la regla en 5.

2.2. En la geometría elemental el concepto primitivo más básico es el de punto. las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Una relación muy básica de la geometría plana es la que deriva de la relación conjuntista de pertenencia aplicada a puntos y rectas. Con ella se expresa una propiedad fundamental relativa a puntos, que es la alineación: Los puntos A, B.......H es­tán alineados si existe una recta r tal que

AG r,

3 El enfoque conjuntista3.1. Los progresos recientes de la matemática como ciencia dieron pautas para su enseñan­

za en niveles elementales ¿De qué manera lo hicieron?Es cierto que las teorías matemáticas desarrolladas en nuestro siglo conciernen naturalmente

a los niveles superiores de esta disciplina, y sería sencillamente impensable abordar su estudio en el ciclo secundario, y ni siquiera en el ciclo universitario básico.

Pero en la enseñanza es fundamental que el alumno asimile tempranamente las ideas básicas más fecundas por su alcance y vigencia general, y se familiarice con los puntos de vista más adecuados. Y es precisamente la matemática actual la que nos muestra claramente cuales sqn esas ideas y esos puntos de vista.

3.2. Al indagar sobre las nociones más simples y de mayor amplitud que sirven de base para estructurar la matemática actual se llega a un sistema de conceptos que conciernen a la teoría de conjuntos. Estos conceptos básicos se han mostrado asimismo eficaces para organizar y simplificar los contenidos de la enseñanza. El reconocimiento de este hecho conduce a lo que se ha dado en llamar "enfoque conjuntista" de la enseñanza.

3.3. Ahora bien ¿qué significa adoptar el punto de vista conjuntista en la enseñanza de la matemática? Por de pronto, no quiere decir "enseñar teoría de conjuntos". Significa más bien guiar la enseñanza según los cauces señalados por la teoría de conjuntos, dando al alumno, en cada etapa, el mínimo de nociones conjuntistas explícitas que le permitan seguir con comodi­dad esos cauces.(’)

;:

B€r,

He aquí unas propiedades geométricas expresables con estos conceptos básicos:

Dos puntos (iguales o no) están alineados;Existen tres puntos no alineados;Dados dos puntos A y B no iguales (A B)

existe una recta r y sólo una, tal que: A G r, B G r. »

Con referencia a (3), r se llama recta determinada por ¡os puntos A y B, y se anota r = AB.2.3. Para "trazar" la recta determinada por dos puntos (o sea, determinar tantos puntos co­

mo se quiera de ella) se usa ¡a regla. Claro está que no podemos dar una definición matemática de regla como objeto material. Por otra parte, para demostrar que algo es construible con regla y compás, necesitamos una definición matemática de regla. Pero la regla se define no como ob­jeto material sino como instrumento geométrico, en forma funcional, o sea por lo que se puede hacer o construir con ella:

HGr,

4 Transformaciones geométricas4.1. Como es sabido, el concepto conjuntista de función tiene gran importancia en geome­

tría a través del fecundo concepto de transformación geométrica puntual.Las transformaciones geométricas se utilizan para estudiar las propiedades y relaciones fun­

damentales de la geometría. Aunque parezca extraño, esto se hacía —si bien en forma no expli- citada— en épocas en que el enfoque conjuntista era totalmetne desconocido. Ya lo hacía Euclides: ¿Qué significa, en efecto, decir de dos segmentos AB y A'B' que el primero es congruente al segundo? Significa que existe una isometría o congruencia C (una cierta transfor­mación que se define geométricamente) la cual asigna al segmento AB el segmento A'B' lo que indicaremos así:

(1)(2)

(3)

C (AB) = A'B' :

En otras palabras las transformaciones se usan a veces sin decirlo: ya al explicar que una figu­ra F es congruente a otra F' debemos asignar a cada punto de la primera un punto de la segun­da. Ahora bien, precisamente esta asignación es una transformación isométrica o isometría,también llamada transformación por congruencia. _

4 2 Más aún, el uso de transformaciones es inevitable pero la enseñanza tradicional no lo advierte Pues bien el enfoque conjuntista conduce a hacer francamente lo que antes se hacía en forma subrepticia* considerar transformaciones geométricas desde un comienzo, y utili­zarlas explícitamente para definir y estudiar propiedades y relaciones.

El enfoque conjuntista no hace sino revelar o explicitar que la congruencia entre figuras se . extrae de las transformaciones llamadas ¡sometrías o congruencias, la semejanza entre figuras de las transformaciones llamadas semejanzas (ver sección 9), etc. En el método dinámico-

DefiniciónSe llama regla al instrumento geométrico con el cual se puede hacer esta única opera­ción: trazar la recta determinada por dos puntos.

I

Una regla se puede materializar" por un "objeto plano" con un borde rectilíneo, en el cual no hay puntos marcados ni se pueden marcar puntos (fig. 1 a). Su uso legítimo como instru­mento geométrico es el caracterizado por la definición anterior. Muchos "cuadradores del círculo usan la regla, o el compás, o ambos instrumentos, fuera de su uso legítimo

2.4. Instrumentos diferentes de la regla son los siguientes:

"regla" en la cual se pueden marcar puntos;"regla" con dos puntos marcados;

m "regla" graduada (fig. 1, b)"regla" con dos bordes paralelos (fig. 1, c);

a)

b)C) Detalles, y un estudio más detenido de todo lo que acM exponemos suc.ntamente^damos en el breve libro "El enfo-C) f

Figura 1 76

funcional ¡a transformación puntual debe preceder siempre y servir de fundamento a Ia relación entre figuras.

4.3. El matemático alemán Félix Klein dio en 1872 la pauta de naturalidad más eficaz que se conoce hasta hoy para poner orden y coherencia en la aparente maraña de los hechos.geomé­tricos, mediante el concepto de grupo aplicado a las transformaciones geométricas, fcp hizo en un escrito que con el nombre de "Programa de Erlangen" se hizo célebre por la-profundidad de sus concepciones y por su influencia en el desarrollo de la geometría.

5 La regla y las propiedades proyectivas¿Qué tiene que ver lo dicho en las secciones 3 y 4 con los instrumentos geométricos? Las

transformaciones puntuales que conservan la alineación, es decir, que transforman puntos ali­neados en puntos alineados, son las transformaciones proyectivas. Estas transformaciones for­man un grupo (respecto de la composición) llamado grupo proyectivo, y la geometría proyecti- va es el estudio de las propiedades invariantes respecto de las transformaciones proyectivas, llamadas propiedades proyectivas. Por ejemplo, la alineación de puntos es una propiedad pro- yectiva, pero no lo es el paralelismo de rectas, pues una transformación proyectiva transforma dos rectas paralelas en dos rectas que en general no son paralelas. Las construcciones de la geometría proyectiva son las que se pueden realizar con la regla, definida en 2.3. O sea:

la regla es el instrumento natural de la geometría proyectiva.

6 La "falsa escuadra" y el paralelismo6.1. Veamos ahora muy someramente cómo se definen y usan otros instrumentos geométri­

cos a medida que se introducen conceptos geométricos básicos cada vez más elaborados. En esta sección 6 nos referiremos a la "falsa escuadra" en reiación con el paralelismo.

6.2. Recordemos cómo se define en forma conjuntista el paralelismo de rectas en el plano. En el conjunto A de las rectas del plano definamos la relación S, "es secante a", estableciendo que el par ordenado (a, b), elemento del producto cartesiano A x A pertenece al subconjunto S de x .

Por ejemplo:a = b => a II b

Recordemos que el paralelismo así definido, o sea el paralelismo en sentido amplio, que incluye la igualdad como se destaca en (6), es mucho más importante que el paralelismo disjun­to del enfoque tradicional (las rectas a y b son paralelas si son coplanares y disjuntas o sea sin puntos comunes: a O b = <t>). Por de pronto el paralelismo (en sentido amplio) es una rela­ción de equivalencia, pero no lo es el paralelismo disjunto, que no es ni reflexivo ni transitivo.

Las propiedades del paralelismo se deducen de ésta (fig.:3):

(6) :

Axioma fuerte de paralelismoDados un punto P y una recta r, existe una recta s, y sólo una, tal que

P G s y s II r (7)

Ejemplo: Si P G r, es s = r.6.3. Para "trazar" la recta s que pasa por un punto P y es paralela a una recta r se desliza so­

bre una regla un instrumento llamado "triángulo mate­rial" o "falsa escuadra" (un instrumento similar a la es­cuadra pero sin ningún ángulo recto, fig. 4). Claro está que no podemos dar una definición matemática de "fal­sa escuadra" como objeto material. Por otra parte, para demostrar que algo es construible con regla y falsa es­cuadra necesitamos una definición matemática de "fal­sa escuadra". Pero la "falsa escuadra" se define no co­mo objeto material sino como instrumento geométrico, en forma funcional, o sea por lo que se puede hacer o construir con él:(a,b) G S,

si la intersección a O b es un conjunto unitario (fig. 2).;(4)

Figura 4r II s y a II b

P s DefiniciónSe llama "falsa escuadra" al instrumento geométrico con el cual, conjuntamente con la regla, se puede hacer esta única operación: trazar por un punto dado la recta parale- la a una recta dada.a O b = {P}

r6 4 Con regla y falsa escuadra se pueden hacer construcciones no realizables con regla sola­

mente, algunas de apariencia métrica (o sea de algo mucho más elaborado). He aquí dos

] 1°)P Determinación del punto medio M de un segmento AB (fig. 5).Figura 2 Figura 3

La fórmula (4) se escribe también a S b y se lee "a es secante a b". La relación de paralelismo II es la relación complementaria de S, o sea está dada por el conjunto complementario de S en el producto cartesiano A x A. Entonces, por definición:

(a, b) g II (a, b) ^ S (5)

eclógica r(5)easí-b) 6 llseescribea 11 b V se lee "a es paralela a Enunciemos la equivalen-

Figura 6> Figura 5

2°) Determinación del centro de una circunferencia. Se halla un diámetro AB (fig. 6) unien­do los pumos medios de dos cuerdas r y s paralelas, y luego el punto medro C de éste.

secante^ b" ^ ^ reCt8S b' 60 ^ °rden' Se d‘Ce que a es Parale,a a b si a no es

98

7 Transformaciones afines y propiedades afines7.1. La traslación y la equipolenciaa. Situémonos en geometría plana, llamemos 7r al conjunto de los puntos del plano, y defi­

namos la función

b. Estas propiedades pueden resumirse así: Las traslaciones forman un grupo respecto de la composición. No le explicitaremos al alumno el concepto general de grupo hasta que haya ra­zón para ello, ejemplos variados y motivaciones fuertes. Pero lo tendremos presente como guía subyacente. Esta guía permite al profesor destacar como propiedades fundamentales de las traslaciones precisamente las propiedades que caracterizan la estructura de grupo, y no dar una mera lista de propiedades (como por ejemplo: si una traslación deja fijo un punto, deja fijo a to­dos), lo cual carece totalmente de relevancia matemática. Procediendo así, las mismas pro­piedades fundamentales reaparecerán en otras variadas situaciones (propiedades de otras transformaciones puntuales, de la suma de enteros, de vectores, etc.), despertando en el alum­no reminiscencias y un "sabor a unidad", lo que facilita la introducción de la estructura abstrac­ta de grupo en el momento oportuno.

;

i

(8)T: 7T -► 7T

estableciendo que si el transformado o imagen por T de un punto A es el punto T (A) = A' en­tonces el transformado de un punto cualquiera P E tt es el punto T (P) = P' tal que el vector pp' es equipolente al vector XX, lo que se indica:

pp'#ÁA'

b. La determinación de P' o sea la construcción de la equipolencia, se hace usando solamen­te la incidencia y el paralelismo como indican las figuras 7 y 8. Por eso definir la equipolencia (como

íi(9)

7.3. El grupo afín.a. Para caracterizar rápidamente las transformaciones afines digamos que son las transfor­

maciones puntuales que se pueden definir y construir mediante la incidencia y el paralelismo. Por ejemplo la traslación es una transformación afín pues se define recurriendo a la equipolen­cia de vectores fijos, y esta relación es expresable mediante incidencia y paralelismo.

b. También aquí —como con las traslaciones— el método dinámico-funcional conduce a usar recursos del álgebra. En efecto, así como el conjunto Tde las traslaciones forma un grupo (T, o) respecto de la composición, otro tanto ocurre con el conjunto A de todas las transforma­ciones afines. El grupo (A, o) se llama grupo afín.Puesto que las traslaciones son transforma­ciones afines, es T C A, o sea, el grupo de las traslaciones es un subgrupo del grupo afín.

Las propiedades geométricas definidas mediante la incidencia y el paralelismo se llaman pro­piedades afines. Estas propiedades son invariantes respecto de las transformaciones del grupo afín, o invariantes del grupo afín: por ejemplo, si una recta r es paralela a una recta s y A es una transformación afín, la recta A (r) es paralela a la recta A (s); esto se expresa diciendo que toda transformación afín conserva el paralelismo.

7.4. Vectores fijos.En los vectores de la geometría elemental, las operaciones de sumar vectores de origen co-

(fig. 9) y de multiplicar un vector por un escalar (fig. 10) están en el ámbito de la geometría

P'P T* /^7/ / v/ \/ \// / / S

/ \\/ / / \\/t/ \ / V

A' ^V—\/ // ,/A, / \A / T T*/A VP T V'A/

Figura 7 Figura 8

suele hacerse aún hoy) usando conceptos métricos, esencialmente más elaborados y además innecesarios aquí, es desordenar y complicar inútilmente.

c. La función (8) se llama traslación y queda determinada dando el trasladado A' de un punto A. Hecho esto, para cada punto P de ir' existe un punto P# que cumple (9), es único y pertene­ce a 7t'; entonces T es efectivamente una función de 7r en r.

7.2. El grupo de las traslaciones.a. Definida la traslación T: n 7r como vimos en 7.1. debemos hacer que el alumno traba­

je con traslaciones y para ello debemos preguntarnos cuales aspectos tienen proyección gene­ra! y por tanto deben destacarse resueltamente. Uno fundamental es el álgebra de la composi­ción de funciones aplicadas a transformaciones puntuales. En este caso, el manejo algebraico de las traslaciones, implica un considerable grado de abstracción y por tanto debe introdu­cirse muy gradualmente, apoyándolo en actividades de movimientos físicos realizados efectiva­mente y no sólo imaginados, en similitudes con el álgebra de los números, etcétera.

Definida la composición To U de dos traslaciones T y U, se tiene una operación binaria entre traslaciones, que es asociativa:

munafín.

CB Á-----------/ / \/ \/ // Vs

oz_ \B¿ B O,/ AO,OA+ OB= OC si BC tt OA

Figura 9En efecto, ambas operaciones son realizables usando sólo relaciones de incidencia y de para­

lelismo, a través de la equipolencia; o sea usando sólo la regla y la falsa escuadra.

. (2/3) OA = OB2 OA= OBFigura 10

8 La perpendicularidad y el grupo métrico. La escuadra y el compás

Á grapa »V. o de les transformaciones afines, (ins.ru-

mentos: reqla y falsa escuadra). , . .., , ' chiHn ni le de entre las transformaciones, las que además conservan la per-peSSílo5,™*'HtCT*. ^e Sru„o * se llama s„o mémrco.

S,n entrar en de,atea digames gue ^n'el,=dr^dadseguede deftntr geontéw- camente la isometría o congruencia como

representar las relaciones de inclusión entre los grupos P (proyectivo)

(To U) o V = To (Uo V), (10)

tiene elemento neutro, a saber, la traslación idéntica I, que asigna a cada punto el mismo pun-

T0 1= I oT= T,

í-^rs^r^erj srósr ,rss,"dón "amada ime,sa de T e >°rToT-1= T1oT= I

(11)I

, A (afín)8.2. Podemos

y M (métrico).(12)

10 11

métricamente. Nos limitaremos a señalar que esto puede hacerse introduciendo previamente el concepto de perpendicularidad' respecto del cual se imponen algunos comentarios.

Desde el punto de vista de la geometría de Euclides los conceptos de paralelismo y de per­pendicularidad poseen el mismo "rango lógico". Por eso, en los tratamientos antiguos, no con- juntistas, se los suele mezclar sin mayor cuidado. Pero en un enfoque conjuntista esto es inad­misible: la definición de paralelismo se basa solamente en conceptos conjuntistas básicos; no ocurre otro tanto con iá de perpendicularidad.

Por otra parte, hoy nadie duda de la conveniencia de encuadrar la geometría elemental, cada vez más explícitamente,

(13)PDADM

mediante un diagrama de Venn (fig. 11)

P IA en los moldes del álgebra lineal.

En esta disciplina se estudian primero losespacios vectoriales y afines,

y más tarde, mediante la introducción del producto escalar, losespacios euc/idianos,

munidos de perpendicularidad y de una estructura métrica.Pues bien, el paralelismo se relaciona con la estructura afín, y la perpendicularidad con la

estructura métrica. Desde el Programa de Erlangen (4.3.) ha quedado absolutamente claro que la estructura afín es lógicamente anterior a la estructura métrico-euclidiana. Está, pues, en pug­na con el pensamiento conjuntista, y con las ideas modernas y estructuralistas, exponer confu­samente mezcladas las ideas de paralelismo y perpendicularidad. Al respecto destaca J. Dieudonné que un aspecto de la matemática moderna en cierto modo complementario de sus tendencias unificadoras, es su capacidad de disociarlo que estaba indebidamente confundido.

8.5. Pues bien, una clara disociación y separación en diferentes niveles se logra mediante la introducción gradual de los instrumentos geométricos. Ahora se comprende mejor que hasta los instrumentos geométricos más familiares para nosotros: regla, escuadra, compás (interca­lando la "falsa escuadra" entre los dos primeros) tienen una muda elocuencia orientadora: con su introducción gradual y uso adecuado nos proveen pautas de ordenación y coherencia en la aparente maraña de los hechos geométricos.

Esto muestra a su vez que hasta los instrumentos geométricos confirman la naturalidad de las pautas de coherencia que se obtienen al estructurar la geometría sobre la base de los grupos de transformaciones.

Figura 12Figura 11.

Lo que debe destacarse claramente es esto: una propiedad geométrica es tanto más profunda cuanto más básica,

o sea:cuando más persistente sea,

es decir:cuanto más amplio sea el grupo de las transformaciones que no la destruyen.

Las inclusiones (13) da la pauta de ordenación del Programa de Erlangen (4.3.). No se trata de distinguir explícitamente entre las geometrías proyectiva, afín y métrica: Para el niño la geo­metría es una so/a. Pero se la expone en un orden: primero las propiedades más básicas (que son las proyectivas), luego las afines y por fin las métricas. Esto se indica en la figura 12, que simboliza los niveles sucesivos pues cada uno tiene como base, el anterior.

La enseñanza tradicional, no conjuntista, sigue ignorando este orden, y lo que es peor, no lo sustituye por ningún otro criterio de ordenación que de coherencia y unidad.

8.3. Con referencia al ordenamiento natural de la geometría, la figura puede interpretarse así:

íPrimer nivel: P - A (propiedades proyectivas no afines).Introducción de los conceptos básicos (proyectivos): pertenencia de punto

currencia de rectas; alineación de puntos.Caracterización operativa para el alumno:

relaciones conjuntistas básicas entre puntos y rectas

9 La semejanza y el pantógrafo. Conclusiones9.1. En la enseñanza tradicional no-conjuntista, el tratamiento de la semejanza lleva al absur­

do y penoso camino de "definir" y estudiar primero la semejanza para triángulos, después para polígonos en general, etc., produciendo definiciones confusas y poco intuitivas, para conseguir a la postre definir la semejanza para una reducida clase de figuras. Esto no es racional ni cohe­rente, y además es complicado.

Para triángulos se exige:

a recta; con-

Instrumento:regla :

Segundo nivel: A - MDefinición y propiedades del paralelismo, y sobre la base de éste:Equipolencia;Operaciones con vectores y números (estructura algebraica subyacente, o sea usada como

cauce de coherencia aún no explicitado al alumno: espacio vectorial);Convexidad y consecuencias (segmentos, ángulos, semiplanos);Transformaciones afines;

isogonalidad o lados proporcionales;para polígonos en general, se exige mucho más:

isogonalidad y lados proporcionales;y para poligonales, ni siquiera esto basta, como ¡lustra la figura 13.

Primeras ¡deas sobre el álgebra de la composición (estructura subyacente: grupo) Caracterización operativa para el alumno:

paralelismo.Instrumentos: eregía y "triángulo ".Tercer nivel: M Caracterización operativa para el alumno: :

£perpendicularidad.Instrumentos:

regía y escuadra; después, compás.8.4. Debemos aclarar lo dicho respecto de la zona M. En 4.1. y 8.1. hemos mencionado la

transformación llamada ¡sometría o congruencia, pero no hemos dicho cómo se la define geo-p7

Figura 14Figura 13

12

1

Funciones y uso del manual

escolar de matemáticaA veces estas incoherencias no se advierten debido a ia superficialidad del enfoque tradi­

cional.9.2. En el enfoque conjuntista se cubren de una sola vez todos los casos posibles: figuras de

toda índole, rectilíneas o no. Y esto se logra por un camino mucho más natural.a ¿Qué hacemos para dibujar una figura semejante a otra, o para ampliar una fotografía?

Usamos, respectivamente, un pantógrafo o un aparato de proyección (fig. 14). En ambos casos hemos aplicado una homotecia.

La homotecia H de centro 0 y razón r es la transformación puntual definida así (fig. 14);

0A'= r.ÓA,

o sea: el punto A' transformado de A es el extremo del vector r. OA.b. Esta definición es muy sencilla, aún en un nivel elemental, y muestra que_fe homotecia es

una transformación afín. En efecto, ya señalamos en 7.4. que la operación r, ÜX de multiplicar un vector por un número es realizable usando sólo relaciones de incidencia y de paralelismo, a través de la equipolencia. Entonces se puede construir el transformado A' = H (A) usando ia regla y la falsa escuadra. Pero esta construcción se facilita en la práctica con el pantógrafo, ins­trumento que debiera ser de uso habitual en la enseñanza por su sencillez y utilidad, y porque la homotecia es la base natural para definir la semejanza.

c. En efecto, cuando miramos una fotografía y su ampliación seguimos diciendo que son fi­guras semejantes, aunque ya no sean homotéticas. Pero se puede lograr que lo sean moviendo una de ellas. Esto nos da la pauta para definir:

!

Henri BAREIL Francia)H (A) = A' si

por disciplina, para todas las divisiones del mismo nivel del mismo establecimiento.

¿Es necesario juzgar sobré apariencia?¿Es función primordial del manual la de

durar los cuatro años (por lo menos) previs­tos para la reforma del primer ciclo?

Para un docente, la respuesta parece evi­dente. Y,.sin embargo. . . ¿Podemos aco­modarnos a manuales que, mucho antes del término prefijado, e incluso si la escuela se ocupa con cuidado y respeto de los libros, quedarán agotados y dislocados por la sola frecuentación del cuaderno de temas. . .?

Paradójicamente, para una encuaderna­ción y un papel ¡guales, eMibro más durable será el menos hojeado, el menos solicitado.

Además, la gratuidad, buena de por sí, fi­ja, determina evidentemente un nivel supe­rior de los precios. Los criterios actuales, y el primado que generalmente se acuerda a cualquier cosa que no sea educación, inci­den en una economía que corre el riesgo de ser cada vez más draconiana: el libro ideal será entonces el más dogmático (que es lo que permite hacerlo más corto. . .)

A no ser que la gratuidad no provoque la aparición, al lado de libros esqueléticos, de documentos anexos no gratuitos. . . A me­nudo eso ha ocurrido.

ADVERTENCIAEl presente estudio se ha hecho sobre ma­

nuales escolares del primer ciclo. Sólo inte­resa por los manuales para alumnos actual­mente clásicos que se considera satisfacen todas las necesidades y no por los manuales más específicos (colecciones* de ejercicios, fichas de profundización...).

El lector querrá proceder a las adapta­ciones indispensables si se preocupa por ma­nuales del primer ciclo para un dominio es­pecífico o por manuales para otro sector de enseñanza.

Finalmente: este articulo queda en el nivel de las generalidades. Se manejará, o modu­lará, según los docentes, los manuales y los alumnos.1. "Ser o no ser""Todo se enlazaJules Romains

En Francia, por lo menos, una larga tradi­ción constituye al manual escolar en el me­dio de enseñanza por excelencia de que dis­ponen maestros y alumnos.

Para ello concurre todo un ceremonial: su elección "oficial" y, para el alumno, la reno­vación anual de los libros que para todos queda determinada por el pasaje a la clase superior. Incluso inutilizados, los manuales cumplen con toda la finalidad de llenar fiel­mente los cuadernos de temas (como apoyo de una aceptación física de los horarios insu­ficientes).

El cuaderno de temas, por sus libro de texto, consagrará evidentemente sufunción.Los padres, por lo menos, y a veces los alumnos, se referirán a ellos para saber si el programa "ha sido tratado".

Esta aceptación del manual, a oponen muy pocos docentes, se ha visto re­forzada en el primer ciclo por las modalida­des de elección de los manuales, que es contradictoria desde hace mucho tiempo, manuales obligatorios, uno solo y el mismo,

Llamaremos SEMEJANZA a toda transformación puntual que sea: o una congruencia, o una homotecia, o una composición de congruencias y homotecias.

d. Además de claridad, sencillez y naturalidad, se tienen estas cualidades valiosas.1) La definición es figurativa, o sea, fácilmente visualizable: con ella el alumno está en condi­

ciones de comprender a fondo por qué la ampliación de una fotografía es semejante a la fo­tografía inicial, cosa que escapa al tratamiento clásico.

2) La definición es constructiva: el alumno construye geométricamente el transformado de un punto cualquiera; realiza una auténtica actividad matemática.

9.3. Aquí se impone un comentario sobre las actividades. En matemática la actividad funda­mental es e! razonamiento. Varillas, geoplanos, colores, manos, hilos, bisagras o cartones sus­citan actividades físicas que son auxiliares muy valiosos; pero lo que verdaderamente importa es que éstas susciten a su vez actividades mentales no triviales: es decir, debe haber un vuelco hacia la matemática. La enseñanza de la matemática es tanto más activa cuanto más activa­mente se logra hacer funcionarla mente de los alumnos. Por otra parte, la experiencia básica de éstos es la gradual toma de conciencia de que están asimilando un todo, con coherencia, uni­dad y orden.

9.4. Hemos tratado con algún detalle la semejanza, como ejemplo para mostrar como el en­foque conjuntista y el concepto de transformación geométrica proveen una base conceptual sencilla y muy eficaz.

El enfoque conjuntista aclara y simplifica, obviamente si se lo aplica bien, para lo cual hay que disipar malentendidos, prejuicios y resistencias originadas por la llamada "inercia de la ruti­na". Por ejemplo nace de un malentendido creer que el enfoque conjuntista obliga a estudiar teoría de conjuntos; son dos cosas separadas y casi independientes.

Nace de un prejuicio creer que el concepto de grupo, fundamental en la sistematización de la geometría, es de asimilación difícil en el ciclo medio. Sin duda lo sería si se pretendiera una asi­milación prematura y veloz, sin suficiente motivación. Hay que partir —dice Rey Pastor— de las ideas primitivas, toscas y confusas, que ya poseen los alumnos, y encaminarlos de tal modo que ellos mismos se percaten de su imperfección contradictoria y demanden su perfecciona­miento. Este ha sido el camino seguido por la Humanidad para crear las matemáticas, y ese mismo debe ser el método para enseñarlas. Es duro para un maestro enseñar lo que no le satis­face por completo; pero la satisfacción del maestro no es el objeto de la enseñanza.

:

!

¿La mosca en la galera?No obstante, parece que en verdad el ma­

nual escolar es poco usado:— a veces, desde el comienzo del año,

por oposición del maestro, hostil a una elec­ción a la que no ha adherido, u hostil a todomanual,- a veces,

su empleo, sea

citas del

desde la primera dificultad en de parte del docente, sea de

‘ parte del alumno.Encuestas realizadas subrayan que la ayu­da real del libro para cualquier cosa que no sean ejercicios no sirve, según las clases, pa­ra más dél 10 al 30 % de los alumnos. Los textos de lecciones, los ejercicios desarrólla­

la cual sei

i 14

i

de los maestros", la reforma actual ha privi­legiado los manuales escolares como susti­tutos de un esfuerzo real para la formación de maestros -que debería incluir una for­mación permanente-. Los "libros del ma­estro" pueden también tener méritos, pero

para una ambición para la cual, por lo contrario, los IREM están hechos de medida.

* Además, en matemática no se emplea casi nada otros materiales de enseñanza.

Sin embargo, esos medios existen: filmes, retroproyectores, calculadoras de bolsillo, micro o miniordenadores, pantógrafos. . ,,y algunos de ellos podrían revolucionar un po­co la enseñanza.

* En conclusión:— los manuales escolares son directa-

mente poco usados por los alumnos, pero esos manuales, jefes de fila de todo un estilo de enseñanza, tienen, mediante los docen­tes, considerable influencia, a veces decisi-

sin embargo, especias o salsas que cambian poco el plato principal. El "programa" abun­dante, las horas de enseñanza poco abun­dantes, dejan —con los métodos de ense­ñanza habituales- pocos instantes para ocuparse de los diversos alumnos. A lo su­mo, un comportamiento clásico ensaya ha­cer pasar oralmente un texto de manual con "lagunas", debiendo los buenos alumnos llenarlos de manera de volver activa la clase. Esto es preferible, con toda seguridad, a los cursos magistrales "sin lagunas'".

En el país de los ciegos, el tuerto es rey.E insoportable. Este tema de una novela

de H.G. Wells, ¿serviría para los manuales escolares?

Empujándose entre sí, los manuales esco­lares más corrientes dan el tono de una prác­tica docente. Muy pronto prevalecen sobre los mismos programas. Su interpretación se ha erigido en referencia y norma. Los apre­mios materiales o comerciales de la edición hacen el resto y disuaden rápidamente a los que pretenden vagabundear demasiado al margen de ellos. Luego de lo cual una prácti­ca docente así condicionada- juzgará las nuevas obras y elegirá. . .

Nada está al abrigo de semejante "círculo vicioso"; los análisis que hemos hecho de los manuales no escapan de ello. También sus consideraciones o conclusiones son del todo relativos. Por ejemplo, ciertas nota­ciones son juzgadas a veces poco rigurosas, pero ¿de dónde se deduce que deberían ser ventajosas a tal nivel?

Este artículo sólo tiene sentido para:— incitar al lector-a plantearse cuestiones

por sí mismo.— conducirlo a que se remonte a las mis­

mas fuentes del acto de enseñar,— ayudarlo a resolver los problemas así

planteados.No tiene más que un valor relativo con

pecto a los juicios que aventura.Pero la "tradición" de los manuales más

corrientes (. . .incluso los menos clarividen­tes. . .) permite por lo menos circunscribir ciertas funciones claves del manual escolar.

- un capítulo sobre las particiones por los códigos postales, las regiones administrati­vas. . .

— un capítulo sobre las relaciones me­diante gráficos de temperatura, de frenajes, . de los efectivos, de los consejos municipa­les, una pirámide de las edades. . .

Asimismo, encabezando un estudio sobre las "frases" se explica: "Efectuar cálculos o escribir fórmulas, todo ello una máquina puede hacerlo. Pero, para comprender debe­mos poder traducir la matemática que hace­mos. Es necesario, pues. . .".

Sin embargo, son raros los manuales cu­yos capítulos se inicien con "motivaciones". Muy a menudo, la "teoría" matemática anunciada por el título se aborda en forma • abrupta. La única motivación es entonces la autoridad del maestro o la de "la" matemáti­ca. . . Además, cuando existen, las motiva­ciones son como las siguientes:

— presentaciones de situaciones capaces de interesar a los adultos o a los matemáti­cos, no a los espíritus juveniles,

— situaciones desconectadas con el estu­dio que sigue,

— demasiado poco variadas para adaptar­se a los diversos tipos de sensibilidad de los alumnos,

— demasiado "cerradas", suscitando po­ca (o ninguna) investigación o iniciativa.

Las motivaciones deberían provocar "problemáticas", es decir, proponer proble-

que exijan o susciten la creación de nuevas herramientas matemáticas. Por otra parte, hay un constante vaivén (una dialécti­ca) éntre problemáticas y teorías.

dos que se incluyen en ellos, son poco solici­tados, incluso si se trata de prepararse para tratar otros ejercicios.

"Si no eres tú, entonces es tu hermano".• Fuera de clase estas dificultades con los

manuales tiene sustitutos:- intervenciones de los compañeros (con

aportes a menudo ligeros pero muy acce­sibles y a veces eficaces),

- intervenciones regulares de preparado­res, facilitadores o aceleradores de tránsito cerebral, benévolos o pagados. Ese sector ha sido valorizado por las dificultades en­gendradas por el programa de 1971. Sin ese aporte, no obstante la moderación que se tu­viera, el fracaso de la enseñanza real de la matemática (teniendo en cuenta los horarios con que se la impartía) hubiera sido flagran-

* Aparentemente ausente del menú real de la mayoría de los alumnos, el manual es­colar interviene sin embargo en forma decisi­va:

— por el sesgo de intervenciones "margi­nales adultas"—que emplean los libros en gran escala,

— a menudo por una práctica de la clase que, olvidando el manual escolar impuesto al alumno, reproduce (a veces palabra por pa­labra) manuales que concuerdan mejor con el profesor o que, desconocidos por los alumnos, pueden dar a la enseñanza la aure­ola de un curso "original",

— a veces, a través de la intervención más personal del profesor en la medida en que, de acuerdo con el modelo pedagógico domi­nante, esa intervención se ordene como un manual clásico.- pero también', eventualmente, median­

te la sustitución de un manual anestesiante por actividades matemáticas suscitadas por otros libros.

* En cuanto a los registros escritos del curso (resúmenes, notas tomadas por los alumnos, policopiadas o, a veces, dictadas), la mayoría manifiesta, generalmente, una se­mejanza profunda entre el discurso del pro­fesor y el de un manual escolar clásico.

# El "libro del maestro" acentúa ordina­riamente ese retorno forzado disfrazado del manual escolar, predigiere o comenta el mis­mo y contribuye, por tanto, a imponerlo a través del maestro. Eso va en detrimento de una reflexión más personal, más original o más fundamental, y también en detrimento de prioridades verdaderas: objetivos genera­les de la enseñanza, capacidad de los alum­nos. Oficializando la función de los "libros

no

te.

va."Yo, con las manos abiertas como los

ojos", (Paul Eluard).Los cambios de programa, desorientando

por lo menos provisionalmente a los ma­estros, refuerzan el peso de los manuales. Ahora bien, a pesar de los esfuerzos de la "Asociación de Profesores de la Enseñanza Pública", los nuevos programas siempre es­tán definidos sin referencias a experiencias globales previas de carácter científico (publi­cación de los protocolos de la experiencia. . .) debidamente convalidadas. Además, se han publicado muy poco tiempo antes de ser aplicados. Asimismo, la redac­ción de los manuales escapa a toda práctica docente real relativa a esos programas. Aho­ra bien, están aquéllos que, en una primera oportunidad, por lo menos iconstituirán la ley!

Los IREM han aportado ciertamente un poco de aliento mediante algunas publica­ciones científicamente muy sólidas, pedagó­gicamente bien elaboradas (pero a menudo mal difundidas). Lamentamos, por lo contra­rio, publicaciones de algunos IREM muy pa­recidas a los manuales escolares más tradi­cionales del comercio.

Habla como un libroNuestras reflexiones sobre el "docente

clásico" están programadas sobre la imagen de los que hacen los manuales.

Si su presentación material se beneficia tan sólo con medios menores, ese discurso posee, por lo contrario, las ventajas del con­tacto directo con los alumnos. Hay, en ellos,

1

mas

2. Exponer"Allá no existe más que orden y belleza,

lujo, calma y voluptuosidad", Ch. Baudelai-

i

!re.res-

Mientras son raras las motivaciones (sobre todo las adecuadas) la función de exposición parece la inquietud mayor y privilegiada de los diversos manuales.

Predominan tres rasgos:

:

exhaustivo ("todo se expondrá").- ser- ser rigorista,- desarrollar la forma de exposición míni­

ma, económica, elegante.

2. Balada para el tiempo actual• • .a propósito de las funciones admiti­

das, en matemática, tanto para los manuales como para todo acto de enseñanza.1. Motivar"Han danzado alrededor de> los graneros

donde el trigo estaba enfermo {Jacques Pre- vert)

Se trata pues, en la mayoría de los c^sos, de exposiciones de "matemáticos" que hablan para sus pares y mucho menos para los alumnos —y desarrollan la matemática que han abordado o, lo que es mejor, digeri­do previamente.Por ejemplo, cierto libro de segundo año

comienza así:I1716

se puede inventar y un estudio de dos presti- digitaciones matemáticas.

.No todos los manuales tienen tanta imaginación o variedad.

Aveces, también, mientras la imaginación de los demás puede ser un catalizador de la nuestra, la de ciertos autores se ejerce direc­tamente sobre los lectores sometiéndolos a una nueva exposición y a órdenes puntuales que se ejecutarán mecánicamente.

6. Aplicar"Nosotros vivimos sólo para ser fieles a la

vida" (Paul Eluard).Por ejemplo, tal estudio sobre volúmenes

se continúa en forma excelente investigando una evaluación cuantitativa de las lluvias y la apreciación de los regímenes hidrográficos.

Para explotar bien las aplicaciones, apare­cen ciertas cuestiones:

* ¿Cómo penetran esas aplicaciones en el campo de interés de los alumnos? ¿Pueden desarrollar su creatividad —sin ex­cesivos postes indicadores. . .?

* ¿Muestran a los alumnos que la mate­mática sirve para trabajar sobre un modelo de cierta realidad y que no se puede hacer lo que se quiera en ese modelo?

* ¿Inciden los manuales sobre las con- certaciones necesarias entre los docentes sobre las actividades que entran en el campo de diversas disciplinas?7. Permitir actuar

"Una vida, la vida, para compartirla" {Paul Eluard).

He aquí otra función predominante de los manuales: proponen "ejercicios", "proble­mas", "temas de estudio". . .

Pero, ¿cuáles son los objetivos?Desde hace veinte años se han multiplica­

do las taxonomías. Ellas se esfuerzan por ca­lificar ejercicios, problemas, actividades, ha­bida consideración de los objetivos exami- nables o efectivamente admitidos. A.P.M.E.P. examina los manuales escolares de matemática haciendo referencia a dos ta­xonomías (IREM de Estrasburgo, IREM de Rennes). Hay otras. Su aplicación muestra:

— el desconocimiento de la mayoría de autores de manuales de semejante tipo de reflexión,

— la invasión mediante simples ejercicios de aplicación didáctica en los cuales no se trata más que de repetir o de reproducir, ge­neralmente mediante respuestas puntuales.

Los "verdaderos" problemas, las "verda­deras" proposiciones o temas de investiga­ción, son rarísimas. La imaginación y la

3. Actuar ejemplarmente"Hizo lo que hubiera querido hacer si hu­

biera tenido cuatro dromedarios", (Guillaume Apollinaire).

El manual se propone, según las líneas arriba expuestas, actuar ejemplarmente para estudiar una situación, desarrollar una activi­dad. deducir con rigor.

Esto se hace a veces en detrimento de la simplicidad y de la capacidad de empleo por los alumnos.

Especialmente el manual tiene el riesgo de hacer olvidar qué toda actividad se desarrolla a menudo sobre la base de tanteos, de hipó­tesis muchas veces azarosas, de incerti­dumbres y de errores.4. Preparar

"Es una masa grasosa de estrellas" (Jean Cocteau).

- Función aperitiva y culinaria (en sentido no peyorativo) — .

Se trata de diferenciar, por el estilo o la ti­pografía, por la cita de documentos, de "lec­turas", (. . )..los diversos aspectos de lo ex­puesto. Así se podrán subrayar "párrafos esenciales", dar relieve a los "resú­menes". . .

La tarea consiste en volver la exposición más seductora o digestiva y en destinarla a tal o cual nivel de memoria.

Pero, lejos de responder a una problemáti­ca de partida, generalmente ausente, los pa­sajes subrayados provienen generalmente, en forma más o menos lograda:- del pasado matemático de los autores,- de las modas dominantes,- de los conocimientos matemáticos

empleados en el trabajo.Todo dicho en el "lenguaje profesor". ¿Cuál puede ser el impacto?Los documentos o lecturas son rarísimos y

las contingencialidades de los precios que acompañan a la "gratuidad" no arreglan na-

atividad son, pues, reprimidas y el alumno mutilado.8. Evaluar

"Y tú esperas que yo te atienda" (Guillaume Apollinaire).

Admitida generalmente en forma difusa a través de las lecciones y los ejercicios, esta función raramente se efectúa en forma explí­cita (serie de tests, pruebas de evaluación. . )

Todavía necesitamos saber qué es lo que hay que evaluar. ¿Se han determinado obje­tivos operativos? ¿Se ha apreciado su carác­ter objetivo?

¿Se ha interrogado sobre:- la pertinencia de esos objetivos?,— los límites de la observación?,— las formas de evaluar, sus aproxima­

ciones, sus incertidumbres, sus "errores"?,- la adecuación de los instrumentos de

evaluación?La investigación en equipo (incorporando

a los psicólogos) de tests revela dificultades insospechadas.

Más bien que evaluar objetivos relativos a los conceptos y las nociones, nos contenta­mos, la mayoría de las veces, con verificar la adquisición de procedimientos "estereotipa­dos" que funcionan siempre que estemos sobre el buen camino. Más allá —lo dice Da­niel Reisz— sólo ejercicios en "norma plana". . . Sobre todo, parece que, rehu­sándonos a ocuparnos de las capacidades de los comportamientos, la evaluación tradi­cional olvida las dimensiones más esenciales de toda educación.

tiplicidad, nunca explicada/de los sentidos de un, o, y. . .

b) para los razonamientos: confusión de una proposición y de su recíproca o, al contrario, no percepción de la sinonimia de los contrapuestos.

— Carácter cada vez menos sostenido de la atención de los lectores. Los medios mo­dernos, especialmente la televisión, habi­túan a las redundancias y a la posibilidad de una atención discontinua que permite distrac­ciones o charlas. Las "gracias artísticas" es­tán cada vez más en boga. Por lo contrario, en el discurso matemático clásico todo es significativo.

— Desinterés por el tipo de discurso gene­ralmente desarrollado en los manuales. Esta manera de expresión desentona en la época de la imagen (televisión, bandas dibujadas. . .) mientras que el lenguaje escrito hasta hace poco tradicional y sus gi­ros se vuelven cada vez menos familiares o menos admirados.

De ese modo el manual es de difícil acceso sobre todo para los alumnos que más lo ne­cesitarían.

EL GUSANO ESTA EN EL FRUTO¿Cómo se resuelve el conflicto entre las

exigencias del discurso geométrico clásico y las posibilidades de la mayoría de los alum­nos actuales?

En el mejor de los casos desechándose ese discurso.

Muy a menudo, mediante una imitación servil de las apariencias. Después de eso, to­do es posible.

Así, por ejemplo, se encuentra frecuente­mente, escrito por alumnos de tercer año;

a = c']Errores y faltas

"Dar un sentido más puro a las palabras de la tribu" (Stéphane Mallarmé).

Las dificultades de experiencia existen pa­ra todo esfuerzo de comunicación y, espe­cialmente, para todo acto de enseñanza. Ellas se multiplican tratándose de manuales clásicos, de discursos abundantes, exhausti­vos y no modulables según los alumnos, sus reacciones o su indiferencia.

EL PRERREQUISITO DEL LENGUAJELas dificultades de la lectura son incre­

mentadas, en matemática, por diversos fac­tores:

— distorsiones entre el lenguaje corriente y una lengua matemática sumamente signifi­cativa.Cf.: a) para el vocabulario: sentido corriente de si, cuadrado, longitud...,mu\-

= b o, en R, a = b o a2=b2 o ab = ac b = c

y o a

da. b = c J

o 3x + x <=> 4x

Este divorcio entre el pensamiento de los alumnos y una lengua matemática impuesta engendra entonces la propensión entre ellos:

— a los galimatías,- a una disminución de su propia identi-

Lejos de ayudar a la formación del espíritu crítico, la enseñanza incita en cambio a rela­tar cualquier cosa con el fin de complacer. . .

Observemos, sin embargo, que hay alum-

o x/2 = 3, etc. o*x = 6

5. Abrir campos de reflexión"Para la ventana abierta, para un frente

descubierto" (Paul Eluard).Se trata de enriquecer, de diversificar. . .

el tema matemático estudiado.Así, con respecto a las simplificaciones de

escrituras referentes a los cálculos, el juego "La buena idea" (inspirado en el juego tele­visivo "La cuenta está bien", previamente expuesto), cierto libro de segundo año trata de "simpliciar" el juego después de compli­carlo. Ofrece a continuación una historia de las notaciones de los juegos de naipes que

dad.

cre-18 19

Eso no ocurre del todo desde los progra­mas de 1971. Antes de ello no existía ambición en la geometría. Pero luego apare­ció cada vez más, muy mal realizada.

También se ha soñado en satisfacerla rigu­rosamente gracias al auge de la axiomática.

* También se está obligado, en los ma­nuales de 1971:

— a imponer a los alumnos de tercer y cuarto año una progresión de la geometría, exponiendo una teoría matemática comple­ta, ajena a las adquisiciones de los alumnos, pobre en problemas, cerrada a la investiga­ción.

nos que dominan el discorso matemático clásico. La existencia de esta minoría provo­ca ilusiones y contribuye a perpetuar el esta­do actual. No se trata de hacer novatadas, se trata de actuar, TAMBIEN, atentos a las necesidades de nuestros alumnos.

"La flor no se ha abierto; sólo el viento suspira", Rabindranath Tagore.

Con el pretexto de facilitar el progreso, el manual escolar clásico:

- recorta el programa trozo a trozo, e incluso a veces cada trozo se recorta nueva­mente... hasta obtener un picadillo.

De ese modo, tal cosa es "tratada" en tal momento y no en otra parte.

Por lo contrario, se podría esperar una ad­quisición y una progresiva profundización de los conceptos en una espiral de enfoques su­cesivos ubicados en el tiempo y los lugares correspondientes (es decir, mediante diver­sas actividades matemáticas).

Ciertamente, esto supondría otra organi­zación de los manuales, por temas, por ejemplo, eventualmente sobre varios años y, desde luego, con nuevas maneras de usarlos que no tuvieran nada de improvisación sin reflexión profundizada, en equipo si fuera posible.

— se realiza mediante estudios parciales independientes y a menudo cerrados sobre sí mismos.

Así, en la geometría de tercer y cuarto año: al hablar de transformaciones biyecti- vas y no de isometrías, los manuales actúan más prudentemente.

Sin embargo, ¿cómo adherir a las cues­tiones de conservación de la distancia, de alineación... si ello no ha surgido anterior­mente de aplicaciones donde no hay esas conservaciones?

De la misma manera, en tercer y cuarto año ¿por qué referirse a las funciones afines y a las rectas? Las parábolas, las hipérbolas..., los trazados hechos punto por punto, eso existe y es útil.

Eso no significa que haya que inflar el cur­so. Pero según la fórmula de Daniel Reisz, se trata de ofrecer un "campo de ejemplos" en cuyo seno ciertas variedades serán cultiva­das más específicamente.

"Si no canta el pájaro es mal signo, signo de que..." (Jacques Prevert).

La enseñanza de la matemática del primer ciclo ¿sería el teatro de una mutación que sustituiría la práctica de la "matemática" por la construcción de una "teoría matemática" (notablemente, pero no sólo en geometría) desde la iniciación del tercer curso?

"Hablad muy bajo, si es de amor, al borde de las tumbas" (Paul-Jean Toulet).

Diversas ideologías dominan la enseñanza actual de la matemática:

esa — de trasmisión de conocimientos debi­damente catalogados.

Si se les deja tiempo (programas sin cam­bio durante mucho tiempo), los manuales en su búsqueda del "camino perfecto" tienden progresivamente a la uniformidad: Cf. las "antiguas cuestiones del curso de bachillera­to". (El solo enunciado de un título permitía desarrollar el discurso esperado). |Sin em­bargo, se podría esperar lo contrario!

De ese modo, los manuales contribuyen a fijar una práctica docente en la cual serían, a los ojos de las familias, incluso la de los ma­estros, la norma y la referencia. A los ojos de los alumnos también: Un alumno hará más esfuerzo para intentar tratar un ejercicio del libro que para un ejercicio dado por el profe­sor (sobrentiéndase: tengo más confianza en el libro que en el profesor).

"El cielo está, por encima del techo, tan azul, tan calmo" (Paul Verlaine).

La mayoría de los manuales escolares, só­lo vinculados por los imperativos de un simple tratamiento lineal, desarrollan poco la creatividad.

Pensando para el lector, maestro o alum­no, después de la elaboración de la estructu­ra general de un estudio matemático hasta el más mínimo detalle de ejecución, los ma­nuales escolares se inscriben perfectamente en las perspectivas de una sociedad de con­sumo y de sumisión, acaso sobre el plano de la edición (pero también se podrían usar otras fórmulas, lo cual de por sí no es un vi­cio) más seguramente y más gravemente, sobre el plano de las ideas y de las conduc­tas. Y, sobre este último plano, contribuyen

constituirnos en consumidores. Ahora bien, el camino verdadero está en otra parte.

CANCIONES PARA UNA ESPERANZA"He aquí el tiempo de prepararse... por el

lado claro de uno mismo" (Louis Rocher).Hablar de manuales escolares de matemá­

tica obliga a plantearse cuestiones decisivas:1. ¿Cuál es el carácter fundamental de la

enseñanza de la matemática?¿Exponer la "matemática"? ¿Con "aguje­

ros" suficientemente pequeños para que los buenos alumnos los llenen en sus asientos con papel carbónico que permita reprodu­cirlos en el trabajo en el hogar,... y la exhor­tación "Eso ha de servirle más adelante",...

-¿o adiestrar a los alumnos para "hacer" matemática, para tener actividades matemá­ticas, aunque en principio fueran mal coordi­nadas?

— la de la objetividad de una matemática constituida en saber cerrado jerárquicamen­te organizado. ¿No se inscribe en este marco el método denominado del redescubrimien­to?"

— en la de la virtud del discurso que expo­ne dicha matemática. Para el maestro basta­ría, entonces, construir y para el alumno reproducir bien. De ese modo, los maestross son constantemente exhortados a hilvanar sus cursos de geometría de tercer o cuarto año a partir de una axiomática de buen título debidamente adquirida.

— la del igualitarismo que quisiera que la igualdad, para los alumnos, resida en la su­misión al mismo molde, cualesquiera sean los gustos, los intereses...

Aunque los programas de 1978 sean más ricos en posibilidades, provocarían una ense­ñanza totalmente esclerosada si prevaleciera la ambición tradicional.

Lejos de exponer una teoría matemática sería mejor que los manuales ayudaran a los alumnos a practicar, a "hacer" matemática, mediante actividades no necesariamente dis­puestas según puntos de vista de axiomática global.

Así, por ejemplo, en lugar de introducir el paralelismo y la ortogonalidad por un sende­ro axiomático, por consiguiente anterior a si­tuaciones en las cuales "funcionan", pare­cería preferible satisfacerlas a partir de figu­ras ricas y de los problemas que plantean.

— a construir los conjuntos de números, tomando esa construcción la delantera sobre los problemas y el análisis de las situaciones.

— a acantonarse en el texto del progra­ma, cualesquiera sean las actividades mate­máticas que pueda sugerir la vida contempo­ránea y el mundo que nos rodea: esas activi­dades escapan a un tratamiento ordenado axiomático.

Con respecto a los programas de 1978 se­ría hora de cambiar de actitud:

Las actividades numéricas deberían ir más allá de las funciones lineales o circunferen­cias.

Esto refuerza la búsqueda del discurso matemático, único, que sería "la enseñanza de la matemática".

“Estas ideologías son esencialmente vehí- culizadas, por su misma concepción, por los

' manuales actuales (con algunas raras excep­ciones). Son combatidos, en su fondo, por el aumento de las investigaciones nacidas en los IREM, que también son combatidas en sus efectos, por los frecuentes cambios de programa. La diversidad de las elecciones en los autores demuele, entonces, la propen­sión al discurso único que sería "lo mejor".

"Las ideas de Víctor eran como ladrillos: iguales, pesadas, con aristas vivas. Se puso a trabajar y construyó una soberbia torre. Pero se olvidó de la puerta. El infortunado Víctor, cercado por sus ladrillos, no en­contró salida y pereció lentamente en su pri­sión de ideas", (Géo Noel).

Las ideologías cié nuestra enseñanza segregan una angustia: ¿Cómo aprender a construir ese discurso didáctico único y per­fecto?

Frent6 a esa angustria, el manual es el que "sabe", el que asegura. Es, al alcance de la mano, el milagro tranquilizador, el menú equilibrado y completo garantizado por una sólida línea de didácticos.

Por eso se lo considera como una necesi­dad y, simultáneamente, como un talismán.

Feliz es él de aparecer como la segura ga­rantía de una triple voluntad:

— del ordenamiento lineal de las tareas,— del desarrollo "bien construido" de una

teoría que basta reproducir.

a

íLas actividades geométricas no deberían limitarse sólo a rectas y circunferencias.

Pero esto exige una actividad experimen­tal en matemática.

# La concepción enunciada más arriba de la enseñanza de la matemática en el tercer y cuarto curso conduce también a expurgar a la matemática de los dos primeros cursos se­cundarios reduciéndola a un estricto mínimo descriptivo.

Por ejemplo, según ese punto de vista, na­da se diría, en los dos primeros años, ante la imposibilidad de "demostrarla" en el interior de una teoría global, de la propiedad de las diagonales del paralelogramo.

2120i

7. Toda enseñanza quiere ser cultural, pe­ro, para nosotros ¿qué es la cultura?

Para René Pascal es "cierta mirada", cier­to escuchar... "Estoy yendo al encuentro al encuentro de Nizan": "El hombre espera al hombre en la esquina de la calle" (pero no importa qué espera), debería hacer prevale­cer la parte de iniciativa del lector de un ma­nual... y permitirle usarlo mejor, no importa cuál sea la obra.

8. ¿Es posible "disociar el conocimiento de un instrumento (el automóvil, por ejemplo) de su finalidad" (Josy Eisenberg).

¿Y nuestra enseñanza?9. Nada serio lo es realmente sin una piz­

ca de humor y de distancia entre ello y los instrumentos empleados, siquiera sea para evitar ubicarnos como testimonios de lo ab­soluto.

10. Estaba en medio de esas profundas reflexiones cuando Luis Duvert me hizo co­nocer las suyas que os propongo:

10.1 ¿Puede darse una clase sin nuales?

10.2 ¿Puede darse una clase sin instru­mentos pedagógicos?

Si así no ocurre, ¿qué instrumentos peda­gógicos aconsejar?

— Papel, pizarrón, tiza,...— Documentos escritos (impresos,

traídos por el maestro, aportados por los alumnos)- Filmes (¿de qué tipo?)— Emisiones de televisión,...— Retroproyector y transparencias,...— Máquinas de calcular, tablas numéri­

cas,...

Aconsejándolos:- ¿con qué óptica?- ¿según qué modalidades?- ¿con qué objetivos?10.3 ¿Cómo obtener de los poderes públi­

cos que se pueda usar los créditos previstos para la "gratuidad de los manuales" de otra manera que no sea el préstamo de libros?

10.4 ¿Cómo persuadir cada vez más a los profesores que ellos pueden, poco a poco, sin esfuerzos desproporcionados, liberarse de los manuales tiránicos? (sin que lo vean demasiado mal los inspectores, los padres, los colegas...)

Con toda seguridad, encontrarán en los IREM medios reconocidos, bien surtidos y que entendemos deseables, indispensables.

Tales podrían ser las referencias más im­portantes para juzgar las funciones del uso del interés de un manual, referencias que re­quieren desde el comienzo una gran ductili­dad.

11. Además, ¿puede la escuela regirse por lo que se practica fuera de ella?

La televisión, las bandas dibujadas pueden matar el gusto de leer a Mallarmé o Apolli- naire: ¿Es necesario, pues, no reeditar a los poetas?

¿Es necesario, pregunta también Duvert, hablar en la clase como en la televisión?

¿No se trata más bien de enseñar a los alumnos, sin demagogia, a leer y practicar una lengua simple, pero cada vez más rica, matizada, estructurada?

12. Y Ud. lector, ¿qué cuestión decisiva plantea?

- ¿formular o hacer aprender defini­ciones de entes matemáticos?

- ¿o hacer aprender los conceptos por su funcionamiento?

La reflexión científica contemporánea declara que hemos pasado "del universo de la sustancia al universo de la relación" ¿Có­mo se practicaría eso en la enseñanza de la matemática?

2. ¿Qué podemos esperar de una activi­dad matemática?- aprender a plantearse cuestiones y

problemas ("verdades" para las cuales la puesta no es ni evidente ni afiligranada),

- conjeturar, invalidar o demostrar, para resolverlos (a veces andando a los tumbos, a veces inventando, a menudo poniendo en juego el beneficio de un largo aprendizaje),

- evaluar la validez, con respecto a las cuestiones planteadas, de las acciones reali­zadas y de las respuestas aportadas.

3. El impacto de la enseñanza de la mate­mática ¿no depende esencialmente de la ma­nera de apropiarse de los conceptos?

Reproducir o repetir, de ningún modo nos hace progresar Se debe buscar, imagi­nar, otra manera,...

4. Pero esa manera de apropiación, está en relación de va y viene con las estructuras mentales del alumno. ¿Tiene en cuenta eso la enseñanza de la matemática? ¿Se sabe que el desarrollo de esas estructuras menta­les no se efectiviza de manera única para to­dos los alumnos?

5. La imaginación, la investigación y la creatividad ¿no exigen una ruptura con una exposición "lineal'' de la matemática?

¿No sería preferible pensar su enseñanza bajo la forma de "núcleos°y "temas"? ¿No sería preciso romper la "linealidad" ejemplos de apoyo?

6. ¿Cómo traducir en la enseñanza de la matemática la inquietud de alentar la creati­vidad?

El espíritu creativo es particularmente ins­pirado, flexible. Además es "tolerante con el desorden", acepta la pérdida de que se produce cuando es destruido quema sin haber sido reemplazado todavía (...) La ambigüedad no lo trastornares, pa­ra él, nada es verdaderamente blanco o negro, sino que todo es blanco y negro. Fi­nalmente, se lo describe como "autónomo, capaz (... de ir contra...) las fuerzas del con­formismo establecido y de aceptar los ries­gos intelectuales" (Florencio Vidal).

"Y su música es el porvenir. Las palabras cambian la canción" (Louis Aragón).

Enseñanza personalizada, pedagogía dife­renciada, trabajo autónomo,..., serían facili­tados si el manual "único" en uso en la clase fuera reemplazado por una biblioteca de aula tan variada como sea posible, formada por manuales diversificados según objetivos explícitos que van más allá de los simples co­nocimientos.

Para suscitar la investigación o dejarla de­sarrollar no dejando que nadie se agote de­sesperadamente, ¿no se podría en ese marco imaginar manuales en los que a partir de simples colecciones de situaciones, apare­cieran progresivamente sugestiones y ayu­das más precisas?

Volvamos, pues, a la nueva función de los docentes.

Vuelta que va a referirse a la emergencia de los medios (filmes,...) que habrá que de­cidirse a emplear.

"Que nos haga un nuevo favor y sea como brisa del río ante la vista de las lámparas

de la tierra" (Saint-John Perse).La revolución informática que se anuncia

debería modificar profundamente los méto­dos de aprendizaje, el acopio de informa­ciones y de conocimientos así como el te­nerlos a disposición para su empleo,...

Debería también trastocar la forma de pre­sentación de los problemas o la manera de tratarlos, la rapidez y la potencia de los cál­culos, de las investigaciones y los barridos que ofrecen nuevas posibilidades de­sarrollando el campo de nuevos métodos: cada vez más los mejores empleadores de los ordenadores sabrán y querrán ver real­mente algo distinto a la coordinación de una rica biblioteca con una deslumbrante regla de calcular.

Cambiando el tipo de relación con el sa­ber, debería abrir totalmente a la^enseñanza un dominio preferencial, el de las marchas del pensamiento y la acción (imaginar, orga­nizar,...)

En ese mundo ¿qué lugar podrían todavía ocupar nuestros manuales? Tener una nueva piel será indispensable. Lo que exige en pri­mer término experimentaciones y ensayos.

"Esperaba y espero los navios en las épo­cas de sequía cuando el trigo ya no está más

"Tus ojos son tan profundos que al incli­narme para beber en ellos, he visto todos los soles venir a mirarse en ellos" (Louis Ara­gón).

Ninguna enseñanza se da, ni se recibe aisladamente. Depende generalmente de la forma general de actuar, de ser, de hacerse tanto de parte del maestro como del alumno y de los rasgos fundamentales de la institu­ción.ma-

Notoriamente se ponen en juego:reflexión sobre los objetivos priori­

tarios de la enseñanza,-el tipo de relaciones en el interior de la

clase y dentro del establecimiento, entre los alumnos, entre los maestros (de todas las disciplinas), entre maestros y alumnos,...

— las actividades periescolares y el am­biente familiar (tanto como las posibilidades materiales ofrecidas o no por el nivel social de los padres).

¿Es esto el resorte del manual? Aparente­mente, no; pero la pedagogía que se admite o se intuye, en el tramo arriba examinado, toma un lugar que influirá sobre los otros factores lo mismo que será influida a su vez, y a veces rechazada.

Sería, pues, oportuno no olvidar este con­texto general. En su seno es donde se podrá, o no, precisar una dialéctica entre los conte­nidos de la enseñanza y sus modos de apro­piación, capaz de privilegiar:

— la atención de los alumnos y la aperturade la enseñanza,

— el desarrollo de diversas capacidades de los alumnos:

— una

una

rfcon

%

un marco un es-

- para actuar,- para experimentar y conjeturar,- para controlar y criticar,- para organizar, investigar, usar las in­

formaciones,...

2322ií

)

Los autores de manuales, sabiendo que pueden entonces llegar hondamente a los maestros, se vuelven más abiertos, menos dogmáticos, más diversificados. Los crite­rios de elección de los manuales más perti­nentes, animan, a su vez, a evolucionar.

Puede ocurrir que en el fondo no haya más que un problema: el de la formación permanente de los docentes...: ¡que no se ataque más a los IREM, que se les propor­cione medios decentes!

"Entre nosotros se alza una tortuga. Ella canta canciones en latín y en lechuga " (Re- né de Obaldía).

El tiempo siempre se mideLos Docentes, aunque unidos en equipo,

tienen posibilidades ¡imitadas.También, uno de los criterios para apreciar

manuales seguirá siendo el de su capacidad para ser eficaces auxiliares que alivian tanto como sea posible el trabajo de los docentes y les ayudan a enfrentar la diversidad de gus­tos y de aptitudes de los alumnos.

Esta capacidad debería apoyar el "de­recho a Ia diferencia", el de los maestros y de los alumnos.

"Son las estrellas las que tienen razón en último término" (Paul Valet).

Los IREM que concuerden con el espíritu deseado son indispensables para progresar en este camino a un ritmo que nos permita poco a poco eliminar nuestro retardo.

Esa es nuestra reflexión personal.

alto que un oído en la hierba que escucha la gran voz del viento" (René-Guy Cadou).

La creación y la explotación de las buenas herramientas de enseñanza (manuales,...) susceptibles de evolucionar exige de los ma­estros una formación (inicial y permanente) ligada a la investigación y capaz de promo­ver entre los docentes las cualidades que se desean en los alumnos: iniciativa, imagina­ción, espíritu crítico, gusto y aptitud para el trabajo en equipo,...

Sin tal formación, el docente es esclavo de los manuales más transformistas. La práctica docente resultante se conforta con esos manuales,... El bucle no tiene fin y la enseñanza está condenada cada vez más a estar más desfasada.

Hay apariencias de formación (siempre que esto se confía a un superior jerárquico, o que es demasiado corta, o separada de la clase, o demasiado intermitente,...) que pueden agravar las cosas.

Por lo contrario, los IREM han abierto el camino para una real y sustancial formación continua de los maestros en la medida en que han reunido las preocupaciones funda­mentales enunciadas más arriba.

En el marco de una formación tal, la crítica de los manuales escolares se esclarece como un día nuevo: cada manual, entonces, se puede usar lo mejor posible compensando el maestro lúcidamente las faltas, rectificando las orientaciones, aprovechando las cualida­des,...

Geometría "naturalista //

Gilbert WALUSINSKI (Francia)

A mi amigo Henri Bareil"La naturaleza nunca nos engaña; siempre somos nosotros los que nos engañamos".

J. J. Rousseau, Emilio, III)

los argumentos de autoridad o los argumen­tos terroristas y en meter a ambos en una misma bolsa.

Propongo, pues, al alumno que descubra por sí mismo si deben estudiar geometría o no. Por sí mismo, no sin ayuda, pues no pierdo la esperanza de enseñarles, y también por estar persuadido de que el alumno en­contrará mil y una razones, no sólo para es­tudiar sino también para gustar de las consi­deraciones geométricas.

Esta convicción requiere que diga algunas palabras. Se basa en reflexiones simplistas: vivimos en un espacio casi euclidiano, nuestras casas sugieren las nociones de pa­ralelismo, ortogonalidad, orientación; los diarios hablan de viajes a la Luna o a Marte; las fotografías de los monumentos célebres, las grandes Pirámides, sugieren formas inte­resantes, y la cola del pavo real que se pavo­nea plantea problemas. ¿En qué geometría precisamente? Al comenzar, quizá durante bastante tiempo, no sabemos nada. No de­bemos precipitarnos, pues, en la axiomática de X, de Y o de Z y debemos enriquecer nuestra experiencia del espacio hasta el día en que deseemos organizar nuestros conoci­mientos en forma sistemática.

Esto, por ahora, nos hace correr el peligro de un serio reproche: confianza excesiva en la intuición. Es verdad, pero es preciso saber afrontar ciertos peligros, aprender a caerse para poder luego marchar en la forma más alerta y más segura.

I"Naturaleza es una de esas palabras que usamos mucho más a menudo que aquéllos que la comprenden o que la pronuncian asig­nándole una idea precisa".

Iv

Condorcet

Pongámonos en lugar de un alumno de la escuela secundaria. "¿Por qué debo estudiar geometría?" Desechemos la respuesta: "Porque está en el programa" porque corre-

• riamos el riesgo de que nos preguntara: "¿Por qué está en el programa?", y tendríamos dificultades para responderle: "El ministro lo ha decidido así", le agradará muy poco |y lo llevará a pensar que hacemos política en clase!

Desecho también la explicación docta: "Desde que Platón escribió en el frontispicio de su Academia Nadie entre aquí si no es ge­ómetra, la geometría se ha vuelto un modelo de teoría matemática. Dicho de otra manera, partiendo de un número finito de axiomas bien elegidos, es decir, de proposiciones su­puestas verdaderas y no contradictorias, se puede deducir de ellas una infinidad de pro­piedades siguiendo las reglas de una lógica rigurosa. Existen, pues, diversas geometrías según la elección de los axiomas iniciales, usando en todos los casos las mismas reglas de la lógica. Esas diversas elecciones po­sibles provocan querellas entre los matemá­ticos; X, Y y Z tienen cada uno sus proposi­ciones. Adoptaremos el sistema propuesto por Y porque el de X ha sido refutado por Z y el de Z ha sido condenado a la vez por X e Y mientras que el de Y no ha sido refutado por nadie, habiendo tomado Y la precaución de advertir que sus contradictores no podían ser más que imbéciles. Espero que los alum­nos estarán de acuerdo conmigo para refutar

NO DEJE DE ADQUIRIR EL LIBROi iPROBLEMAS DE LA

ENSEÑANZA DE LA

MATEMATICAV

Primer ensayo: ¿cómo medir las gran­des distancias?

¿Cómo medir la distancia de la Tierra a la Luna? ¿Cómo apreciar la distancia de un na­vio que aparece en el horizonte? ¿Cuál es la velocidad de la luz? Se trata de cuestiones que puede plantearse un alumno secunda­rio de nuestros días. He aquí el esquema de una investigación históricocientífica que le ayudará a responderlas.

$ 25.000 el ejemplar

CONCEPTOS DE MATEMATICAParaguay 1949 ■ 6o A

Buenos Aires

24 25

i;

■:

3ríodo lunar: 360/0,5 = 720 horas = 30 días en lugar de 27,3 para el período sideral de la Luna. No queda más que construir un trián­gulo con un lado de longitud 2r/3 (r es el ra­dio terrestre) y el ángulo opuesto de 0°5; en­tonces, el lado TL mide 60 r.

1.1. La altura de la Gran PirámideAlain decía: Tales reconoció que si la altu­

ra del hombre es igual a la sombra del hombre, entonces la altura de la pirámide es igual a la de su sombra". Con mayor genera­lidad: Comparamos la longitud de la sombra de un palo al que suponemos colocado verti­calmente con la altura del mismo. La expe­riencia merece ser intentada; tiene sus difi­cultades prácticas. El resultado es de un or­den de magnitud verificable, por ejemplo, con la altura de una casa comparada con su sombra.

Tales sabía también apreciar la distancia de un navio mediante dos visuales desde los extremos A y B de una base terrestre fácil de medir. En el papel, se dibuja un "esquema" a la escala de un milésimo, por ejemplo. Más adelante volveremos sobre la cuestión apa­sionante de los esquemas.

c) Infortunadamente los resultados pre­cedentes se basan sobre el valor del arco L*| L2 muy difícil de medir con precisión: cuan­do se observa la Luna en L2 ya no está en Li. En lugar de 3o habría debido leerse 10'. La ¡dea de Aristarco era, pues, ingeniosa, pero su uso práctico resulta, para nosotros, engañoso. El progreso de la medición de la distancia del Sol llegó mucho más tarde por la consideración de la paralaje del Sol, o sea, del ángulo bajo el cual, desde el centro del Sol se ve el radio de la Tierra, digamos w. Para evaluarlo, basta, en principio, con me­dir el ángulo de las direcciones

ñales radioeléctricas emplean algo más de un segundo para llegarnos desde las instala­ciones lunares depositadas por las misiones Apolo.

1.3. Aristarco y el SolLos antiguos griegos tuvieron una serie de

ideas geniales no todas las cuales han tenido éxito. Un ejemplo es el de la distancia del Sol. Aristarco sabía distinguir como Ud. y yo, a la Luna cuanto está en cuadratura oriental y la Luna en el "primer cuadrante". De L1 (cuadratura oriental) a L2 (primer cuadrante), Aristarco evaluaba el arco descrito por la Luna en 3o; de ellos deducía, mediante ¡a construcción de un triángulo rectángulo que tenía un ángulo de 3o en S:

2n.0.5*3

60 rT L

}L1

T,

7/AS y BS del centro del Sol observado desde los puntos A y B (en A el Sol está en el cénit, en B en el horizonte). Los astrónomos han imaginado diversos métodos para resolver lo mejor posible las dificultades técnicas de la medición, métodos que se apartan de la fina­lidad de este artículo. Anotemos sólo una breve historia de los progresos en los resulta­dos: Copérnico y Tycho Brahe admitían to­davía un valor de 3' para la paralaje del Sol con un exceso de veinte veces; sólo Cassini en 1672 (esto es, poco después del éxito de las meditaciones de Newton) pudo realizar la primera evaluación correcta de 9" (el valor que se acepta actualmente es 8"8).

Proponemos para terminar el siguiente cálculo: 8", o sea alrededor de 0,000043 ra­dianes y d (S, T) = r/0,000043, alrededor de 23400 r o 1,5. 108 km, unidad astronómica (u-a) que podría ser parte de los conocimien­tos del honesto hombre del siglo XX. Con un diámetro aparente de 0°5, a esa distancia de 23400 r el radio del Sol es 109 veces el radio de la Tierra. El globo solar era, pues, todavía más grande de lo que pensaba Aristarco.

1.4. Eratóstenes y la TierraVolvemos a la bella época de Arquímedes

(250 a. J. C.). Su amigo y corresponsal, Era­tóstenes, estaba a cargo de la biblioteca de Alejandría, rica en mapas del Alto y Bajo Egipto. Eratóstenes reveló que Siena (hoy día Assouan) y Alejandría están sensible­mente sobre el mismo meridiano. Sabía que

Es un resultado muy bueno; la distancia Tierra-Luna varía entre 56 y 64 radios terrestres.

Esta medida requiere numerosas observa­ciones.

1) La sombra proyectada por la Tierra no es un cilindro, sino un cono (distancia media de la Tierra al vértice del cono: 217 r). Sin embargo, con la precisión de que disponía Aristarco, no tenía ningún inconveniente en hacer esta simplificación. Y además, ¿cómo habría podido conocer la longitud del cono de sombra sin conocer el radio del Sol y la distancia del Sol? Ver más adelante, 1.3.

2) El hecho de que la Luna avance sobre su órbita un diámetro de la Luna por hora es un dato observable; con gemelos se observa la ocultación ecuatorial de una estrella por la Luna. Es un ejercicio que se recomienda a los aficionados.

3) En verdad, el radio de la Luna no es 0,33 r sino 0,27 r. Las tablas dan tg 0°5 = 0,009 y 0,54/0,009 = 60. De modo que, como lo ha escrito un gran matemático: "las fórmulas trigonométricas son del todo indispensables para tres profesiones eminentemente respe­tables: a) los astrónomos, b) los topógrafos y c) los autores de manuales de trigono­metría". Agregaré: d) los aprendices de ge­ómetras para quienes no es malo saber leer una tabla.

4) Para terminar, traduzcamos el muy buen resultado logrado por Aristarco: r = 6370 km.; 60 r 380000 km.; la luz y las se-

distancia ST = 19 distancia TL.Nosotros escribiríamos:Distancia ST = 60 r/ sen 3o: o sea alrede­

dor de 1100 r lo cual requiere todavía nume­rosas observaciones:

a) Aristarco había notado, entre una luna­ción y la siguiente, variaciones del ángulo que lo evaluaba, término medio, en 3o. De eíío deducía que la distancia del Sol variaba entre 1080 y 1200 r. Sea que la Tierra se mo­viera alrededor del Sol o que el sol se mo­viera alrededor de la Tierra, la órbita no pare­cía poder ser más que circular (nadie antes de Kepler osó pensar de otra manera); sería necesario imaginar que el astro "fijo" era ex­céntrico. Comprobación realizada por Aris­tarco cuatro siglos antes que por Ptolomeo y cien años antes que por Hiparco.

b) Arquímedes, durante veinte años ayu­dante de Aristarco, sabía medir el diámetro aparente del Sol, digamos 0°5. Entonces, de las distancias medidas por Aristarco se de­duce el diámetro del Sol, entre 5 y 6 veces el diámetro de la Tierra. Esto había inclinado a Aristarco hacia la solución del movimiento de la Tierra alrededor del Sol, de la bola más pequeña alrededor de la más grande.

1.2. Aristarco y la Luna Aristarco de Samos (hacia 250 a. J. C.)

pensaba que la Luna recibe la luz del Sol y la refleja. Durante un eclipse, la Luna desapa­rece (más o menos completamente) al pasar por la sombra producida por la Tierra. Para Aristarco el Sol está "muy lejos"; por eso él asimila la sombra de la Tierra (que supone esférica como los otros cuerpos celestes) a un cilindro de revolución. De acuerdo con la • duración máxima de un eclipse de Luna (tres horas de nuestro tiempo), el diámetro de la Luna tendría que ser entonces un tercio del de la Tierra; en efecto, en una hora, la Luna avanza sobre su órbita un ángulo igual al de su diámetro aparente. No queda, pues, nada más que medir el diámetro aparente de la Lu­na. Aristarco parte primero del valor 2o, gro­seramente falso; luego se rectifica y toma 0°5. Observemos que con este valor se reen­cuentra la duración aproximada de un pe-

J’

i

26 27

épocas de esplendor donde la multitud de problemas considerados como difíciles se vuelven "fáciles", lo mismo que en la histo­ria de las sociedades. Picard, que había ido a Dinamarca para verificar algunas medidas para la ubicaciíón de Uraniburgo, el castillo de Tycho Brahe, había logrado le ayudara Olaus Rómer,* volvió a Francia con él y parti­cipó de los primeros trabajos del totalmente novedoso Observatorio de París.

Allí, Cassini confió al joven astrónomo el cuidado de seguir los fenómenos de los saté­lites de Júpiter: eclipse, ocultaciones, pasa­jes. Se sabía ya que el primer satélite, lo, un poco más grande que la Luna, estaba a una distancia relativamente pequeña de Júpiter, a 5,9 radios del planeta. De esto resulta que para cada revolución alrededor de Júpiter, lo atraviesa el cono de sombra de Júpiter, hay un eclipse de lo. Conociendo el período de la revolución de Júpiter alrededor del Sol, T = 11 años, 314,84 días y la de lo alrededor de Júpiter, T = 1,769 días, Rómer podía dedu­cir que el eclipse de lo se produciría cada t días, estando dado t por la fórmula:

1/t = 1/T' - 1/Tcuyo establecimiento resulta interesante.

La observación confirmaba bastante bien los resultados del cálculo por lo menos du­rante un período corto, es decir, mientras la distancia de Júpiter a la Tierra variaba poco. Por lo contrario, si se comparaban las obser­vaciones hechas cuando Júpiter está próxi­mo a su oposición (la distancia Júpiter-Tierra es mínima, alrededor de 4,2 u-a) con las ob­servaciones hechas cuando Júpiter esta ca de su conjunción (distancia JT máxima, alrededor de 6,2 u-a), los eclipses de lo pare­cen en este segundo caso producirse con un retardo de 16,5 minutos con respecto a los datos calculados a partir de las observa­ciones hechas cuando Júpiter está en oposi­ción.

esas flores de cuatro o cinco pétalos... Para los que admiran el ingenio del lechero, que entrega su precioso líquido dentro de "enva­ses" fáciles de fabricar y los apila, les propo­

la observación de una espiga de tri­

en el solsticio de verano el Sol culmina en el cénit de Siena: lo probaba el hecho de que los pozos más profundos se iluminaban en­tonces hasta el fondo. Eratóstenes pensó entonces que si medía, el mismo día a me­diodía, la sombra de un gnomon en Ale­jandría, deduciría de ello la medida de un ar­co de meridiano entre Siena y Alejandría, di­gamos un cincuentavo de circunferencia. Sobre las cartas fotográficas existentes, que eran la riqueza de esa biblioteca, evaluó la distancia entre Siena y Alejandría en 5000 estadios, lo que da para toda la circunferen­cia 250000 estadios.

Esta medición es justamente célebre. Si ha sido perfeccionada técnicamente (en par­ticular, mediante triangulaciones para la me­dición de un arco de meridiano) el principio de todas las medidas geodésicas sigue sien­do el de Eratóstenes. El resultado que obtu­vo era igualmente muy satisfactorio: adop­tando para el estadio citado el valor 157 m se encuentran para el perímetro 38250 km y pa­ra el radio 6100 km (en lugar del valor que ac­tualmente se adopta de 6370 km.

Los perfeccionamientos técnicos llegarán en el siglo XVII con la triangulación (ideada por Snellius) y la medición del arco de meri­diano en Francia entre Amiens y Juvisy por Picard en 1667: 57057 toesas para cada gra­do de meridiano; siendo la longitud de cada toesa de 1,95 m, se hallan 40032 km para el perímetro y 6370 km para el radio de la Tierra, una buena estimación que fue apre­ciada y utilizada por Newton.

Recordemos finalmente que la obra de Clairaudet, Théoríe sur la figure de la Terre data 1743 y da por primera vez una aproxi­mación del aplastamiento del geoide de 1/180 (el elipsoide de Hayford, 1907, da 1/300).

ñalo sólo algunos ejercicios sobre el mismo tema: a) ¿De qué manera permiten los datos anteriores calcular el valor medio de la velo­cidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol?; b) ¿De qué manera permiten el conoci­miento de esa velocidad y de la velocidad de la luz explicar el fenómeno de la aberración de la luz (explicada por Bradley en 1728). Fi­nalmente, otra observación: la medición de distancias ha desembocado en algunas cuestiones simples de mecánica y no se ha podido evitar aludir a algunos hechos históri­cos.

Segundo ensayo: formas, repeticiones, deformaciones

Dos imágenes se oponen o se completan. En su Mysterium Cosmographlcum (Tübin- gen, 1956) Kepler representa un ingenioso sistema de seis esferas concéntricas) estan­do cada uno de los cinco poliedros platóni­cos inscrito en una de las esferas y circuns­crita a la de más abajo. Ve en ello un modelo de sistema solar, con el Sol ubicado en el centro y las órbitas de los seis planetas en las seis esferas. Se constituye así una organiza­ción matemática del mundo, imagen de la armonía. En contraste, una fotografía mo­derna de la nebulosa de Orión sugiere la idea del caos en el cual no se sabría encontrar ninguna línea directriz, esquema de organi­zación. A primera vista, por lo menos, pues si se investiga un poco, todo se ordena se­gún ciertas leyes, incluso ©I desorden "browniano".

De allí proviene la idea de buscar formas e ideas geométricas en la naturaleza o en el ar-

nemosgo: ¿cómo se agrupan los granos unos junto a otros? ¿Ocurre lo mismo con un grano de centeno o de cebada? La ordenación de los granos de girasol sugiere la disposición en espiral que reproducen ciertos mosaicos ro­manos (en la Ostia Antigua, por ejemplo) o en la Cúpula de la Capilla de Anet (debida al arquitecto Philibert Delorme, 1550).

Los chorros de agua de las fuentes trazan arcos de parábolas; se vuelve a encontrar es­ta curva en las fotografías del puente de Tancarville (o de cualquier otro puente sus­pendido). Se dibujan elipses cuando con una linterna se ilumina un muro o un techo. Esta muytuación inagotable por definición.

2.2. Formas en el arte Partiendo de las formas en la naturaleza,

el artista, el arquitecto, el ingeniero, han imaginado formas simples y bellas, por ejemplo, todos los embaldosados. Le Corbu- sier decía: "la primera prueba de existencia consiste en ocupar el espacio". A partir de

estilización de la L con barras de la libra esterlina, un escolar inglés produjo el dibujo empleado para la tapa del N° 73 (diciembre ■ de 1975) de Mathematics Teaching que reproduzco parcialmente:

breve enumeración no agota una si-

una

!

cer-

te.2.1 Las formas en la naturaleza Observemos, manipulemos, midamos,

abramos los ojos y toquemos con las manos. Esta "estrella de mar", este erizo de mar, 33

Rómer, habiendo comprobado el retardo, lo explicó: los eclipses se producen regular­mente, pero el retardo comprobado se debe a la mayor distancia que debe recorrer la luz que nos informa sobre el fenómeno. La luz tiene, como él lo decía, "una propagación progresiva" y no, como otros pensaban, una propagación instantánea; la velocidad de la luz es entonces fácil de evaluar:2 u-a — 300.106 km; 16,5 min — 1()3 s siendo c = 300000 km/s

Una placa, en el frente del Observatorio de París, recuerda que esta primera medición, debida a Rómer, fue obtenida en 1676.

Para no alargar demasiado esta nota, se-

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1.5. Rómer y la velocidad de la luz Estas observaciones nos han hecho pasar

de una época bella a otra, de la de Arquíme- des a la de Newton; la historia de las ciencias conoce las lentas marchas pero también las

! n:i

2928

La circunferencia que es tangente interior a una circunferencia de radio doble, propor­ciona diversos motivos. El símbolo taoista Tai Khi Tou opone dos principios contradic­torios, Yin y Yang (vosotros tenéis e! de­recho de pensarlos como el bien y el mal o lo verdadero y lo falso). En un dominio del todo diferente, ved el engranaje de La Hire (1640- 1718) que participó en la medición del meri­diano de Francia bajo la dirección de Picard: la circunferencia pequeña rueda si resbalar en el interior de la circunferencia mayor; un punto M fijo sobre la circunferencia menor, describe con un movimiento rectilíneo osci­latorio un diámetro AB de la circunferencia mayor: transformación de un movimiento de rotación en un movimiento rectilíneo (un montaje semejante existe en el astrolabio de Danjon, cuyas ruedas no son dentadas, evi­tando "el juego", el contacto con frotamien­to). Para La Hire, y para nuestros alumnos, es uno de los ejemplos epi o hipocicloidales más fáciles.

ticos y la geometría no está más aislada de la matemática que el Partenón del Acrópolis.

2.5. Repeticiones.Retomemos el ejemplo de la tapa del N°

73 de Mathematics Teaching (fig. 7) ¿Cómo está ocupado el plano? Partiendo de uno de los motivos ¿cómo es posible obtener cual­quier otro? Se descubren las dos trasla­ciones AB y AC, la simetría de centro A. Pa-, ra transformar el motivo inicial (que lleva la letra A) en cualquier otro motivo del plano, o bien se hace la simetría s y después una transformación xAB + yAC siendo x e y en­teros, o bien esta traslación solamente sin si­metría previa.

Se pueden encontrar otros ejemplos en los papeles pintados. Pero a quien estuviera fatigado por esos ejemplos un poco simples, se le propondrá analizar con el mismo espíri­tu ciertas composiciones del pintor holandés Escher; por ejemplo, sus caballeros, los de la primera fila "horizontal" que van de izquier­da a derecha y que se embuten exactamente en los caballeros de otra fila pero que van es­ta vez de derecha a izquierda.

Escher también nos propone composi­ciones más eruditas en las que se componen homotecias y rotaciones. T. J. Fletcher nos dio, en Marly, en 1968 una bella conferencia en la que se inspiraron las reflexiones prece­dentes.

2.6. Modelos.¿Habrá alguno de nuestros alumnos que

no haya hecho el bosquejo de un avión? Una cuestión se les ha presentado siempre: las alas hechas de madera de balsa convienen para esos bosquejos pero no para los aviones verdaderos ¿Por que? He aquí un cálculo muy pequeño pero significativo: para la construcción de la Torre Eiffel se emple­aron 9000 toneladas de acero. ¿Cuál sería el peso de una "maquette" de 15 cm de altura y del mismo metal? La respuesta 1,1125 g sorprende: las pésimas "maquetes" que se venden a los turistas son bastante más pesa­das; la estructura de la Torre Eiffel es notable por su liviandad.

Este cálculo hace comprender mejor las diferencias morfológicas como las de la pata de elefante y la pata de mosquito; con patas tan finas como las del mosquito el elefante se hundiría en el suelo. Recordemos la mo­da, desastrosa para los pisos, de los tacos "aguja", incluso si las elegantes que los lle­vaban eran bastante más livianas que un ele­fante.

No es malo poner en guardia contra cier­tas dificultades. Observemos una gota de

las cinco rotaciones que no cambian el color de la placa y que se designarán r0,ri,r2,r3<r4# y las cinco simetrías de ejes JO,J1, J2, J3, J4Í que designaremos so,Sifs2#S3 S4 que, ellas sí cambian el color.

Compongamos r2, y S3; se hace girar la placa 2/5 de vuelta; ABCDE que estaba en 01234 se ubicará en 23401 y la placa no ha cambiado de color. A renglón seguido se efectúa S3, es decir que se da vuelta la placa (cambio de color; el punto que se encuentra en 3, es decir, en B, permanece fijo; enton­ces ABCDE se encuentran en 43210. En conclusión: ha habido cambio de color, el punto ubicado en 2 permaneció fijo, lo que realiza la simetría s2. Lo que anotamos así: s3or2 = s2 con nuestras notaciones esotéri-

Quedamos seducidos al construir la tabla del grupo de orden 10 del pentágono; se tra­ta de una tarea algo complicada pero reali­zable en equipo y el resultado es interesante. Con el triángulo equilátero, realmente resul­ta verdaderamente simple; con el polígono de 32 lados, el que se encuentra en la rosa de los vientos, es difícil, o por lo menos bastan­te fastidioso.

Aquí, el subgrupo de las rotaciones del pentágono es visible de inmediato; se reco­noce un grupo isomorfo al grupo aditivo de las clases residuales de enteros, módulo 5.

Nuestro colega G.W. Wilson (Bedford Fieid Middie Schooi de Leeds) tuvo la idea de asociar los vértices de un polígono regular bien elegido a los decimales recurrentes del inverso de un número natural primo. Por ejemplo, el inverso de 17 tiene una serie de decimales de período 16; se marcan esos 16 decimales en los vértices de un polígono re­gular de 16 vértices.1/17 = 0,058 823 529 411 764 7...

Los múltiplos de 1/17 tendrán también su­cesiones periódicas de decimales que serán los mismos que para 1/17 pero que no co­menzarán por 0; ejemplos:2/17 = 0,117 647 058 823 529 4...3/17 = 0,176 470 588 235 294 1... y se puede repetir sobre la circunferencia donde comienza cada una de las dieciseis sucesiones periódicas.

Cabe una objeción a lo precedente. Nos hemos alejado de la geometría "naturalista" anunciada para desembocar un cálculos y propiedades no del todo evidentes. Pero, al comenzar he prevenido que no vacilaría en correr grandes riesgos, en caer algunas ve-

. Quiero adquirir una experiencia tan rica posible sobre los hechos matemá-

La experiencia de dos bujías simétricas con respecto a una placa de vidrio merece ser presentada: una sola bujía está ilumina­da, la que está del lado de los espectadores; las dos parecen estarlo. El presentador colo­ca su dedo sobre la bujía no iluminada, so­porta fácilmente el ardor de la imagen de la llama. Entonces, se puede recordar la ley de Descartes e ¡lustrar con ella la aplicación en el billar; dos reflexiones sucesivas sobre los bordes ortogonales y la bola rueda con la di­rección del lanzamiento inicial pero en senti­do opuesto. El sistema se generaliza con tres reflexiones sucesivas sobre las caras ortogo­nales dos a dos de un prisma de reflexión to­tal: el prisma ha sido ubicado sobre la Luna por una de las misiones Apolo; sobre él se ha dirigido un rayo láser y el rayo reflejado se re­cibe con un retardo con respecto a la emi­sión que permite medir, con una precisión que supera la de todas las medidas ante­riores (inclusive la de Aristarco), la distancia de la Tierra a la Luna.

2.4. Polígonos regulares.Tomemos el ejemplo del pentágono regu­

lar convexo, dibujado sobre la hoja de papel, y designemos con 0,1,2,3,4, sus vórtices (to­mados en sentido directo). Recortemos una placa de cartón, negra por una faz, roja por la otra, y cuyos vértices se denominan ABCDE sobre la faz negra y se aplican con precisión sobre los vórtices 0,1,2,3,4. Estu­diamos todas las formas de aplicar la placa sobre el cartón; se concluirá por encontrar

cas.

Otro ejercicio: reencontrar todos los arcos de circunferencia en la composición del cuadro de Miguel Angel, La Santa Familia.

2.3. La simetríaBasta mirar nuestras dos manos para dar­

se cuenta de la importancia de la simetría en nuestra vida. Incluso podemos preguntar­nos: ¿cómo ocurre que haya en el cuerpo humano ciertas disimetrías, órganos únicos: corazón, estómago, hígado que escapan a la simetría?

El "cuadrilátero cruzado" formado por cuatro varillas articuladas, dos a dos de la misma longitud, d(A,B) = d(C,D) y d(A,D) = d(B,C) nos lleva al óvalo de los jardineros. AD y BC se cortan en M tal que d(M,A) + d(M,B) = d(M,C) + d(M,D) = d(A,D). Fá­cilmente podemos construir un modelo en cartón; dos elipses simétricas con respecto a la tangente común en M ruedan sin resbalar una sobre la otra; detrás de las dos placas elípticas, las dos varillas AD y BC no son vi­sibles; el modelo funciona bien para sorpresa de los ojos que jamás lo han visto.

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tercera circunferencia se desplaza para con­vertirse en tangente exterior a la más pe­queña de las dos anteriores; su radio dismi­nuye para que se vuelva tangente interior­mente a la mayor; entonces, esa pequeña circunferencia bitangente a la corona se desplaza conservando sus contactos; a la se­gunda vuelta, su centro describe una circun­ferencia concéntrica a las dos primeras. Alumnos de 13 años que nunca habían visto un filme matemático se interesaron por esta breve proyección (de 2 a 3 minutos). Des­pués de una segunda proyección, los alum­nos pueden hacer una descripción bastante buena del filme mediante secuencias sucesi­vas: es necesario saber mirar. Esto sugiere observaciones; justamente porque el filme es mudo permite hablar a los que habitual- mente no dicen nada. "Eso hace pensar en un rodamiento de bolas". "Si, pero sería ne­cesario calcular las dimensiones para que en la corona entre un número entero de bolas". "Y entonces, los puntos de contacto de las bolas entre si no estarán sobre la circunfe­rencia descrita por los centros de las bolas". En fin, otro joven espectador me hizo notar que hay otras circunferencias bitangentes a la corona. Quedé algo turbado por el alud de observaciones.

Como lo señaló muy bien otro alumno: "eso no demuestra nada". No, eso muestra, eso sugiere problemas. Filmes que hacen hablar, que hacen pensar. Nicollet era un pe­dagogo.

Los filmes de T.J. Fletcher son más ricos y» por tanto, más difíciles. Incluso la deli­ciosa "La ronde cerré" (que generalmente facilita la Embajada del Canadá) nos propone sobre la música "danzas cuadradas escoce­sas", una fantasía plena de imaginación con cuadrados coloreados. Otros filmes de Fletcher, Four points conics y Four Unes co- nics son de nivel elevado para la enseñanza secundaria.

Nicolet, Fletcher son pioneros del cine ge­ométrico. Sólo estamos en el alba del uso del cine en la enseñanza. Conozco clases que han usado mesas de dibujo para estudiar las propiedades de familias de curvas como las que se construyen más o menos directa­mente a mano, llegando luego el cálculo en auxilio del dibujante.

agua en equilibrio sobre un espejo horizontal bien seco; tratemos de determinar su volu­men ¿Podríamos mantener en equilibrio sobre el mismo plano un volumen doble, triple....? ¿Por qué hay un límite? La res­puesta no es para el programa de física -de las clases secundarias, pero en ella se puede ver el aliciente de los de problemas difíciles de la teoría de los bosquejos. Una visita al la­boratorio de hidráulica de Chatou apasionó a los alumnos de las clases superiores. Ade­más, la geometría y la física ¿deben ignorar-

¡

¿Por qué estudiar la historia

de la matemática?;

D. J. STRUIK (E.U.A.)se?

Tercer ensayo: geometría animadaRetomo adrede el título de la serie de fil­

mes realizados por J.L. Nicolet. El autor en­señaba en Lausana, y aclaró sus intenciones en el artículo "Intuición matemática y dibu­jos animados" que se puede encontrar en la obra colectiva "El material para la enseñanza de la matemática" ordenado por Caleb Gat- tegno en 1958. Acaso sus intenciones quedan bien resumidas por la cita preliminar: Arquímedes escribe a su amigo .Eratóstenes:

"Sabiéndote gran admirador de las inves­tigaciones matemáticas, he creído de mi de­ber comunicarte las particularidades de cier­to método que podrás usar para descubrir ciertas verdades matemáticas mediante la mecánica... A menudo, en efecto, mediante la mecánica he descubierto proposiciones que a renglón seguido he demostrado por la geometría, no constituyendo el método en cuestión una demostración verdadera, pero es más fácil, una vez adquirido por dicho método cierto conocimiento de las cues­tiones, encontrar de inmediato la demostra­ción que si se la buscara sin ninguna noción previa".

Estos filmes de Nicollet son de notable sobriedad: no hay título, no hay sonido, no hay letras; tan sólo hay figuras animadas, to­talmente desnudas, todas simples, sorpren­dentemente elocuentes. El espectador aten­to que sigue el encadenamiento e incidental- mente el análisis de esos escenarios muy cortos, participa de una buena formación ci­nematográfica (porque ve en el cine algo más que una sala donde se hacen cosas di­versas). Un ejemplo: sobre a la pantalla apa­recen dos circunferencias concéntricas; una

7. Hasta no hace mucho tiempo, la mayo­ría de los matemáticos mostraban poco inte­rés, y algunos de ellos cierto menosprecio, por la historia y el historiador de la matemáti­ca. Esta raza no ha muerto todavía. La histo­ria servía, ciertamente para una anécdota o dos: el vegetariano Pitágoras, sacrificando (supuestamente) un centenar de bueyes, una hecatombe, para celebrar el descubri­miento de su teorema; Euclides,dictándole a su rey que no hay camino real en la ge­ometría; Newton y Leibmz,peleándose acer­ca de su parte en la invención del cálculo in­finitesimal como dos muchachos que citan a la misma niña. Pero ¿para qué prestar tanta atención a los viejos intentos de hacer cosas que hoy podemos hacer mucho mejor? Lo que fue valioso en la matemática de los tiem­pos anteriores ha sido absorbido por nuestra ciencia actual; lo demás es mejor olvidarlo. Es lo mismo que le ocurrió al comandante árabe que en e¡ año 642, habiendo entrado en Alejandría, ordenó —se supone- que fueran quemados todos los libros de la biblioteca. "Lo que está en ellos y en el Corán no necesi­ta ser conservado; lo que está en ello y no en el Corán no se necesita, sea lo que sea". Cré­ase o no, es una buena historia.

La historia de la matemática, lo hemos oido, es en gran parte un gasto de tiempo y de esfuerzo, buena para maestros retirados o incompetentes, o a lo sumo para anti­cuarios.

Hubo, y todavía hay, una razón perfecta­mente buena para esta actitud. Contra­riamente al arte y a la literatura, la matemáti­ca, como la física y otras ciencias naturales, es acumulativa. Miguel Angel, Homero y Cervantes'no han perdido su prestigio, pero ¿quién, si no es un especialista,.leerá a Ar- químides, Cardano o Cavallieri? Los resulta­dos de las épocas primitivas, si fueron im­portantes, se han convertido en partes de nuestra matemática, como el teorema de Pi­tágoras, las coordenadas cartesianas o la in­

tegral de Riemann y, usualmente, en forma más elegante y más simple que en la época de su nacimiento. Un escolar con algún co­nocimiento del cáltulo infinitesimal puede calcular en poco tiempo el área comprendida por un arco de cicloide y sú base, resulta­do obtenido por algunos de los matemáticos más capaces después de meses o años de esfuerzos. La geometría analítica ha vuelto superfluo a Apolonio; se puede hacer mecá­nica analítica sin la geometría elaborada por Newton. La trigonometría de Ptolomeo es tan obsoleta como la medicina de Galeno. Y así sucesivamente.

El matemático de nuestros días atraído probablemente por alguna investigación consultará las publicaciones de sus predece­sores más recientes en el campo de sus estu­dios, los cuales pertenecen generalmente al último siglo y algunos a una época muy re­ciente. Puede pensar que la matemática pre- bourbakiana no es realmente matemática de ninguna manera y es sólo alguna diestra ex­perimentación con números y cifras. La his­toria es hojarasca, dijo el inmortal Henry Ford, cuyo propio'modelo Tya es historia. El profesor de matemática tiene otras tareas que su colega investigador, pero también puede tomar el mismo camino. La matemáti­ca enseñada según los habituales textos de clase, simplemente tiene muy poca historia, incluso menos que la que se' puede en­contrar en los libros de física o biología. No se puede enseñar evolución en biología sin describir a grandes rasgos su propia evolu­ción. No ocurre lo mismo en matemática tal como realmente se la enseña. He conocido

El profesor D. J. Struik es profesor emérito de mate­mática del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Es autor de una Concise History of Mathematics, A Source Book in Mathematics, 1200-1800, y de Yankee Science in the Making y de otros libros sobre historia de la cien­cia y de ¡a matemática.

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!historia de todos esos campos se ha vuelto respetable.

En verdad, hay cierta fascinación en la his­toria de la matemática que ha interesado a muchos estudiantes y colegas y que los inte­resará mucho más. Permítaseme dar un ejemplo elemental que será útil para las cla­ses de la escuela primaria. Estoy pensando en la historia de nuestro sistema decimal.

en mi época maestros dedicados, escritores de libros de texto en geometría, que nynca habían oído hablar de Euclides. Su enseñan­za no era afectada; simplemente divulgaban el material.

2. Pero no podemos emplear todo nuestro tiempo haciendo investigación, apli­cando la matemática a cuestiones de la vida diaria o enseñando la ciencia que hoy necesi­tamos. Por supuesto, hay períodos durante los cuales estamos enteramente preocupa­dos, durante días o semanas, por terminar de resolver algunos problemas, por escribir un artículo o un libro, o enseñando treinta horas por semana con una esposa o esposo que atender, cinco niños, una hipoteca, una bañadera que hace agua. Llegan momentos en que debemos mirar a nuestro alrededor y tomar cierto contacto con el mundo. A me­nos que seamos lo que los alemanes llaman fachidioten, y yo no escribo para ellos. Exis­te, en la mayoría de nosotros, una pizca de curiosidad acerca del pasado. ¿Cómo se han desarrollado las cosas para ser lo que son ahora? Cosas como el universo, la tierra, nuestra nación, nuestro estado, nuestro pueblo, nuestra familia, nuestras cos­tumbres e instituciones, nuestras expre­siones o nuestras palabras. El conocimiento histórico se ha vivificado con los rápidos cambios típicos de nuestro tiempo. Testimo­nios del crecimiento de las sociedades histó­ricas, celebraciones centenarias o bicentena- rias, la erección de mojones históricos inclu­so en el campo de la matemática, como por ejemplo la placa ubicada en las cercanías del puente de Dublin en donde se supone que Hamilton se inspiró para llegar a la ¡dea de los cuaterniones, tienen indudable importan­cia. El arte y la literatura tienen una larga his­toria escrita, parte de la cual se enseña en la escuela. Pero ahora incluso los académicos de historia, que tradicionalmente se dedica­ban a los asuntos militares o políticos han saltado el muro y están estudiando econo­mía, artes, oficios e industrias, trabajos, mi­norías y costumbres. Museos completos y otras colecciones han sido organizados para abastecer a esos intereses de cuadros, docu­mentos, herramientas y dioramas. En las universidades se han creado sillones espe­ciales. La historia de la ciencia ha participado en este despertar hacia horizontes más amplios y los historiadores "generales" sintieron sorprendidos por lo que tuvieron que aprender. También la matemática ha comprobado que su propia historia era de mayor interés que el esperado. En síntesis, la

nuestros símbolos), 1,2.........9 con la mis-ma facilidad que nosotros.

Hay una excepción. Esta fácil notación no se extendió a las fracciones^ que aparecían con toda clase de denominadores. Los cál­culos con fracciones siempre produjeron más de un dolor de cabeza, y en el siglo déci- mosexto, cuando aparecieron tomos con ta­blas astronómicas o trigonométricas, en re­alidad introdujeron enteros escribiendo 1.753 como 1753 usando mil como unidad. Esto era realmente una manera disfrazada de escribir fracciones decimales, y la transición a nuestra notación no tardaría mucho en lle­gar. Eso se debió al hacendado escocés John Napier que siguió una sugerencia del holandés Stevin. Napier necesitaba la nota­ción con la coma decimal para tabular su nuevo invento, los logaritmos. Por eso, des­de el comienzo del siglo XVII, poseemos nuestro método actual para escribir núme­ros, algo que no sólo tiene enorme importan­cia para la práctica de contar, sino también para el desarrollo gradual de la aritmética te­órica, la teoría de los números.

Esta historia puede ser bordada para incluir en ella toda la historia del sistema de­cimal. Para ello habría que incluir la sugeren­cia hecha por Stevin de introducir un siste­ma decimal de pesas y medidas, pero esto sólo se pudo llevar a cabo como resultado de la Revolución Francesa. En ese momento, cierto número de países liderados por Ingla­terra rehusó aceptarlo. Jefferson llevó el sis­tema monetario decimal a E.U.A. pero falló en el caso de los pesos y medidas decimales. Ahora existe un cambio en Gran Bretaña, pero en E.U.A. no se sabe qué hacer en cier­tos casos, si usar centímetros o pulgadas.

Hoy, en nuestra edad métrica, los ángulos todavía se miden en el sistema sexagesimal con minutos y segundos, pero ya no se usan ni tercios ni cuartos de segundo: 5°7'33,35". Ni siquiera la Revolución Francesa pudo cambiar esto, a pesar de los esfuerzos hechos por los devotos del sistema decimal. Existe un viejo sistema, proveniente de los sumerios, hace más de cuatro milenios, uno de los restos más viejos de nuestra herencia intelectual.

Hay otros ejemplos que place relatar: la historia de la invención del cálculo infinitesi­mal, del axioma de las paralelas y el des­cubrimiento de las geometrías no eucli- dianas, o los orígenes de la teoría matemáti­ca de la probabilidad. .Algunos de ellos con­tienen pruebas y proposiciones que se pueden usar, no sólo en el aula, sino tam­

bién en el escritorio del matemático estu­dioso.

3. El rastreo del origen de los términos in­teresará a las personas que tengan una vi­sión histórica. El término geometría, como probablemente todos lo sepan, significa me­dición de la tierra y fue creado por los anti­guos griegos que creyeron que los egipcios la inventaron para poder redividir las tierras cultivadas después de las inundaciones anuales del Nilo. La historia está en Herodo- to. Algebra es un término árabe latinizado tomado del título de uno de los libros de Al- Khwarizmi referente a ecuaciones de primer y segundo grado. Términos tales como trián­gulo y circunferencia permanecen tales co­mo los hemos recibido en nuestra geometría elemental a través de traducciones latinas — términos tales como paralelogramo, cubo, rombo, teorema y matemática— que pro­vienen de las traducciones que hicieron de los griegos (a veces a través de los árabes).El significado latino de cálculo es guija, dimi­nutivo de yeso, piedra o, mejor, piedra cali­za; se trata de un recuerdo de que se conta­ba con un ábaco.

Puede parecer extraño que un respetado objeto académico sea denominado guija, pe­ro no es el único término con historia sorprendente. La saga del término seno puede fracerse comenzar con el manual astronómico de Ptolomeo en donde hay una tabla en la cual los ángulos, dibujados en un círculo con vértice en el centro, son medidos por la longitud de las cuerdas que subtien­den y expresadas en función del diámetro del círculo tomado como 120. Los ángulos y las longitudes se expresaban en fracciones sexagesimales. Los indios lo aceptaron pero comenzaron a usar la mitad de la cuerda pa­ra medir el ángulo. Para esta cuerda usaban el término sánscrito ardhajya, abreviado en ¡ya o jyba. Cuando los escritores árabes aceptaron su uso lo expresaron mediante jyb. Leyéndolo jayb llegaron a un término que significaba golfo, cavidad. Cuando los traductores medioevales del árabe al latín, como Gerardo de Cremona (hacia 1150), tu­vieron que buscar un término para esa semi- cuerda tomaron el equivalente latino de gol­fo, cavidad, que es seno. En inglés se los denomina sine, pero otros lenguajes han conservado sinus. Los niños alemanes que tienen dificultades con su trigonometría y también los otros tienen que luchar con "si- nusschwierigkeiten ".

Este seno de la Edad Media era todavía un segmento lineal que debía expresarse en

Es el sistema en el cual se emplean los diez símbolos 0, 1,2, ..., 9, o, para ser histórica­mente precisos, los nueve símbolos 1,2,..., 9 con un tapón O. Los números se escriben siguiendo la convención según la cual en 81.3, digamos, el 1 representa diez y el 8 ochocientos debido a su posición, y esos nú­meros 800,10 y 3 deben sumarse. Se originó en la India en los primeros años del cris­tianismo, con o sin (probablemente sin) la inspiración de los chinos. Viajaron al este, a Indochina, y al oeste, por las rutas de las ca­ravanas y el tráfico costero, a los países islá­micos. Allí, hacia los 825 D.C., un matemáti­co llamado Muhammed Al-Khwarizmi, escri­bió un libro en árabe sobre esos números in­dios que se tradujo al latín cuando esos nú­meros fueron viajando hacia el oeste a España y a las ciudades medioevales de la Edad Me­dia. Allí un matemático mercader italiano, Leonardo de Pisa, escribió un enorme tomo en latín sobre el uso de esos números y lo que se puede hacer con ellos. También se lo conoce como Hijo de un Buen Camarada, o Fibonacci, y las series denominadas más tar­de con su nombre se pueden encontrar en ese libro vinculadas con conejos y otras alimañas. Aun cuando Leonardo y otros mercaderes, maestros y educadores lo difundieron en los lugares en que acampó la cristiandad y los islámicos, la ascensión del sistema decimal — ahora con símbolos más parecidos a los nuestros— encontró su camino a través de los mercaderes en la ilustrada Europa. Ver­dad es que hubo cierta oposición de los que preferían el contaje tradicional o los ábacos, en donde se trabaja con rayas, piedras o contadores,como lo vemos todavía con los niños pequeños. El resultado de los cálculos se escribía entonces con numeración roma­na. La oposición tenía cierto sentido: se puede cometer

II

un error, o incluso una tram­pa con estos símbolos sarracenos, cambian­do un 1 por un 7 o un 0 por un 9. Todavía se toman precauciones contra esos embrollos cuando escribimos un cheque. En el largo camino hacia la notación decimal, a fines del siglo décimoquinto, cuando aparecieron los primeros libros

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mos los muchos trabajos de Euler, en fácil la­tín, pero algunas de las Opera Omnia tienen introducciones alemanas o inglesas. Las del profesor Truesdell sobre la mecánica de Euler. son modelos .de investigación históri­ca' El siglo XIX tiene muchos amenos traba­jos en inglés, como los trabajos de W. R. Ha- milton y W. K. Clifford, o la correspondencia francesa entre Hermite y Stieltjes.

Los descubrimientos matemáticos esen­ciales en el curso de los siglos generalmente han encontrado su lugar apropiado en la ma­temática de nuestros días, pero aparte el pla­cer de estudiar originales, siempre podemos hallar hermosas nueces para cascar. Los ma­temáticos del siglo XVIII tenían su propio ca­mino para buscar las bases del cálculo infini­tesimal — hoy los rechazamos por el método introducido por Cauchy y expresado en la fórmula

de Siracusa. Los primeros matemáticos con personalidades reconocibles aparecen en el Renacimiento, el período denominado por Burckhardt de "nacimiento de la personali­dad". Incluso Cardano escribió su propia biografía. El primer cuadro auténtico es tam­bién de esa época; el retrato de Nápoles de Lúea Pac¡ol¡, el fornido profesor de matemá­tica franciscano que es ciertamente un retra­to imponente, con toda la parafernalia de Lúea incluyendo un sólido regular y uno se- mirregular —incidentalmente todos temas para una agradable nota histórica.

4. "Todo correcto", refunfuñaba nuestro matemático coronel Blimp, pero ¿qué tienen que ver estos frívolos juegos con palabras y símbolos con mi trabajo? Por vavor, tenga paciencia coronel. No todo esto es entreteni­miento, algo de ello es bastante instructivo. Además, hay otras cosas en la historia de la matemática. Una de sus mejores partes es la oportunidad que da a los estudiantes para que puedan conocer el trabajo de los mate­máticos de vanguardia, sus personalidades y la génesis de sus teorías. El estudio de los "experimentos" de Fermat sobre la teoría de números ha atraído la atención de algunos de los mejores pensadores matemáticos de todos los tiempos; sólo tenemos que men­cionar a Euler, Legendre y KCimer, todos los cuales construyeron sobre los fundamentos dejados por el abogado de Toulouse. Una de las sugestiones de Fermat, su gran teorema según la cual xn + yn = zn no es resoluble con enteros positivos para n>2 (siendo n entero), todavía no ha sido resuelto para to­dos los valores de n y, debido a su aparente simplicidad ha sido una trampa para los ino­centes y un horror para los matemticos ton­tos (como yo) que alguna vez consintieron en examinar alguna de las soluciones en­viadas al departamento de matemática. La trisección del ángulo con regla y comás sola­mente es otra de esas trampas y horrores, pero la historia del problema, que comienza en la antigüedad, merece ciertamente las preocupaciones que se le dispensen.

Ahora podemos probar que el teorema de Arquímedes sobre el área de un segmento pa­rabólico limitado por la curva y la cuerda se demuestra fácilmente por medio de la in­tegración. Pero es un placer —o por lo me­nos así lo creen muchos— ver cómo lo hizo Euclides, geométricamente y de tres mane­ras diferentes —una vez heurísticamente, las otras dos, rigurosamente,y una de esas dos pruebas exactas con la ayuda de su teoría de la palanca-. Al llegar al siglo XVIII tene-

función del diámetro de la circunferencia. Hubo de llegarse a Euler; en un manual muy usado en 1748, llevó la trigonometría exis­tente a su forma actual en la cual el radio va­le 1 y el seno se convierte en un número sin dimensión. Los términos tangente y secante para otras medidas angulares todavía recuer­dan sus orígenes como segmentos lineales.

Podemos hacer un juego similar con otros términos, pero lo dicho basta. Si el lector ha sido atrapado puede entretenerse junto a sus colegas o alumnos examinando términos co­mo ecuación, función, el punto anatómico umbilical románticamente osculado. La res­puesta usualmente puede ser hallada en los volúmenes germanos de Tropke. Si el lector gusta de profundizar puede buscar el origen de las piedras más fundamentales del edifi­cio matemático, los nombres de los núme­ros, dos, o cinco, o diez o cien. Puede en­contrar la respuesta, si existe, en Meningery descubrir el papel fundamental que desem­peñan los términos que significan cien en la lingüística indoeuropea.

Nuestros símbolos también tienen su ge­nealogía. No os imaginéis que cuando se lee que el valor de Arquímedes para7r era de unos 3 1 /7, él usaba la letra 7r con ese objeto. Eso ocurrió sólo en el siglo XVII a través de la autoridad del libro de Euler de 1748 Para Ar­químedes, la letra ir significaba 80.

Los nombres de los grandes matemáticos aparecen en nuestros libros de texto sin mucha o ninguna explicación, imagen apre­ciable o méritos justos. En arte y en literatura se presta especial atención a las personas vinculadas con los grandes trabajos. Perma­necen vivos para la posteridad —Leonardo da Vinci, Milton, Goethe, Whitman —. No ocurre lo mismo con la ciencia y, particular­mente, con la matemática. Pero a menudo fueron personalidades interesantes, ocultas debajo de los nombres de Cardano, Pascal, Newton, Leibniz,. Euler, Fourier, Riemann, y una ojeada a sus vidas puede también arrojar luz sobre la naturaleza de sus descubrimien­tos. No ocurre lo mismo con la mayoría de los matemáticos griegos o árabes que se re­cuerdan sólo como nombres. Aun en el caso de Arquímedes o de Ornar Khayyam, de los cuales de alguna manera tenemos algunos datos sobre sus personalidades, la informa­ción es pobre. ¿Despreció realmente Ar- químides la oportunidad de aplicar la mate­mática a problemas prácticos como escribió Plutarco trecientos años depués de la muer­te de Arquímides? Podemos disputar sobre este supuesto platonismo en el gran maestro

probar el quinto postulado de los Elementos de Euclides conocido como postulado o axioma de las paralelas. Durante siglos los investigadores árabes, griegos, renacentis­tas y los investigadores esclarecidos habían tratado de encontrar una solución a la cues­tión de si ese postulado podía ser demostra­do mediante hipótesis más simples. El problema preocupó, durante las últimas dé­cadas del sigio XVIII al profesor de Gotinqa Abraham Kástner. Le interesaba toda la his­toria de la matemática, probablemente debi­do a la influencia del grupo de Gotinga cono­cido entonces como los "historiadores uni­versales". Universal, Kástner pudo haberlo pensado, incluye a la matemática. De la mis­ma manera que su colega Johann Beckmann pensó que incluía el comercio y el procesa­miento de las materias,y por ello Beckman escribió el primer tratado de vanguardia sobre esa ciencia, a la que en 1769 dio el nombre de tecnología, la atención especial de Kástner se dirigió a la teoría de las parale­las; tuvo discusiones importantes que luego escribió sobre este tema atormentador, de dos mil años de vejez, y creó una atmósfera general de interés a su alrededor. Esto debe haber influido sobre el joven Gauss, enton­ces estudiante de Gotinga (aunque pro­bablemente no haya sido alumno directo de Kástner). Ahora sabemos que Gauss en­contró la solución pero no la expuso salvo en algunas pocas cartas a sus amigos. Un estu­diante compañero de Gauss, Wolfgang Bol- yai, también estaba preocupado por el chiche y empleó toda su vida para tratar de

' probar el axioma de las paralelas. En vano, por supuesto, pero su hijo Janos, indepen­diente de Gauss, cortó el nudo gordiano y se convirtió en uno de los descubridores de la geometría no euclidiana. Y otro estudiante de Gotinga, Bartels, fue a. Rusia y se convir­tió en el maestro de Labatchevsky, el otro descubridor de la nueva teoría. Podemos agregar a Taurinus, otro innovador de ese campo, también de Gotinga, aunque fue es­tudiante sólo después de la muerte de Kást-

I

dy __ lím f (x + h) — f (x)h-0dx h

pero los viejos caminos alimentaban el pen­samiento y acaso ayudaban al profesor a examinar la manera de discutir tal simbolis­mo cuando dx = A x. Si dx es cero, como lo proclamaba Euler, ¿qué clase de cero, o casi cero, es este dx? Usualmente tomamos nuestra definición de Cauchy demasiado lite­ralmente, por supuesto. Incluso podemos pensar en las paradojas de Zenón y pregun­tar por qué la tortuga es realmente alcanzada por Aquiles aun cuando podemos "probar" que ello es imposible. Como lo señaló Bolza- no en el título de uno de sus trabajos, el infi­nito tiene sus paradojas. Un libro original de matemática no es un cementerio para em­balsamar cuerpos. En esos libros hay mucho de interés para nuestros días.

Verdad es que esto provoca poco pro­vecho a la persona ocupada con los proble-

diarios. Pero ha habido excepciones, ocasiones en las cuales alguien ha logrado exhumar sus estudios de los documentos del pasado. Muy conocido es el trabajo de Hil- bert sobre las bases axiomáticas de la ge­ometría, basado en la búsqueda de los pun­tos fuertes y débiles de los Elementos de Euclides e investigando 6 y asimilando —cuan­do era necesario otras contribuciones de las diversas épocas, desde Arquímides y Pappus a Pascal y Pasch. En este caso se recreó una parte de la matemática casi fosili­zada y se le dio una nueva y espléndida vida.

La geometría no euclidiana también se de­sarrolló debido a un cuidadoso examen del pasado, en este caso, la larga historia de

mas

ner.Así fue la historia del creador de nuevas

ideas.^ 5. El historiador holandés de la matemáti­ca, E. J. Dyksterhuis, en una conferencia re­alizada en Utrecht en 1953, estableció una distinción entre genético o evolucionista y lo que él denominó enfoque fenomenológico. El evolucionista ve a la matemática, y en ge^ neral a la ciencia natural, como el resultado preliminar de un continuo viaje de descubri-

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cultura, hará hipótesis sobre las técnicas usadas en esa época y se refrenará de usar términos modernos como "primitiva", "cha­bacana", "arcaica". Esto puede ser difícil y en algunos casos casi imposible, pero tam­bién hay casos en que es relativamente fácil, como en los cálculos sexagesimales de la tradición babilónica. Este trabajo con la no­tación sexagesimal es también adecuado pa­ra el aula. Todavía lo estamos usando en la. medición de ángulos. Existen libros sobre la matemática antigua con ejemplos babilonios y ejemplos con cuentas empleando unidades de fracciones egipcias. Estas culturas tam­bién tienen sus propias maneras de multipli­car y dividir.

El tratamiento de la matemática griega re­quiere una visión más profunda, especial­mente en el período clásico. En ella, el con­cepto de número, de arithmos, está limitado a lo que llamamos números naturales, o en­teros positivos, comienza con el número 2, escrito con la letra B (no (3, que sólo llega en el período bizantino)/un arithmos, establece Euclides, es una multitud de unidades llama­das monadas. Una pared está compuesta por ladrillos, pero un ladrillo no es una pared. Las razones son relaciones entre magnitu­des, y no son en sí mismas arithmoi. Este ti­po de matemática, en la cual los círculos y esferas, lo mismo que los sólidos regulares, desempeñan un papel excepcional como fi­guras perfectas está estrechamente entre­lazada con la filosofía pitagóricoplatónica. ¿No dijo Platón que nadie que ignorara la ge­ometría podía entrar en su Academia? (o así se lo dijo siglos después). La matemática no sólo penetra en esta epistemología y ontolo- gía filosófica si no que también tiene valores éticos y religiosos. Las armonías de la cuerda vibrante conducen a las armonías de las es­feras y son dominadas por las armonías de la arithmoi. No se puede comprender la filoso­fía griega sin matemática, ni el espíritu de la matemática griega sin algún conocimiento filosófico. La astronomía griega, tal como la enseñaron Aristóteles y Ptolomeo, se basa en la perfección de los círculos y esferas, fi­guras divinas. Los evolucionistas pueden de­cir con admiración que el sistema ptolemaico de los planetas moviéndose sobre epiciclos, por tanto en círculos sobre círculos, significa un uso primitivo de las series geométricas, pero el fenomenologista objetará esto como una verdad no histórica, a la cual le falta el punto esencial.

En la escuela alejandrina encontramos un enfoque más técnico, no metafísico, de la

matemática, pero no deberíamos olvidar que Proclo, seiscientos años después de Eucli­des, todavía consideraba a los "Elementos" como una introducción a la filosofía platóni­ca, especialmente para la comprensión del Timeo, la cosmogonía de Platón basada sobre los poliedros regulares, una idea que todavía movió a Kepler. He aquí nuevamente dos puntos de vista opuestos: O bien el Ti­meo es un viejo disparate, o es una seria contribución a la comprensión de la filosofía platónica y del papel que la matemática de­sempeña en ella.

El evolucionista ve a una teoría matemáti­ca de nuestros días creciendo desde una idea germinal hasta su presente belleza. La moderna teoría de las funciones complejas, funciones originadas en un momento de de­sesperación de Cardano quien encontró los números imaginarios y no supo qué hacer con ellos. Algunos años más tarde Bombelli aceptó el desafío y comenzó a trabajar con números imaginarios y desde allí podemos seguir el aumento de su uso hasta que nos encontramos con ellos y los números complejos en las fértiles teorías de Cauchy y Gauss. El nombre "imaginario" (que se origi­nó con Descartes) que asignamos al ente que entra a la historia como- V^Trnuestra la turbación que tenían las mejores mentes pa­ra aceptarlo como número —algo que es bueno que recuerden los maestros cuando introducen cantidades complejas.

Las fenomenologistas lanzan una adver­tencia contra la exageración de las bús­quedas de "antecesores" de teorías-moder­nas. A veces ello es casi un deporte. Casi siempre hay alguien que anticipa una idea de Gauss, Euler, Fermat, Descartes. Algunos historiadores encuentran el uso de las coor­denadas en ciertos teoremas del libro de Apolonio sobre cónicas anticipándose a Descartes en más de dos mil años. Pero, sin embargo, todo el contexto griego es diferen­te. Para Descartes, cuando escribe xx o x2, el significado es el cuadrado de un número real racional o irracional, mientras que Apo­lonio habla del cuadrado de un segmento li­neal, ambos de acuerdo con su perspectiva cultural. El entusiasmo de algunos patriotas franceses por ver a Fermat como el inventor del cálculo infinitesimal en lugar del inglés Newton o el alemán Leibniz parece ser tam­bién un culto fuera de lugar de los antepasa­dos.

miento, partiendo del pasado y continuando hasta nuestros días y creando siempre cre­ciente conocimiento y comprensión. Ha ha­bido altos y bajos, pero en el largo camino la ruta ha sido siempre ascendente. Los resul­tados del pasado se traducen en el lenguaje de nuestros días, el pasado está referido al presente y el resultado es en muchos aspec- tps una construcción armoniosa. Un toque de pedantería no puede, quizás, ser evitado en esta apropiación selectiva del pensamien­to de las generaciones anteriores pero se lo hace para nuestro propio beneficio por ser para la mayoría de nosotros la forma más apropiada de examinar la historia de la cien­cia. Ese es el punto de vista que prevalece en nuestros libros sobre esta historia, y los libros de matemática no constituyen una ex­cepción.

Hay algo en esta forma de escribir la histo­ria de la matemática que recuerda una de las definiciones dadas de la historia por el histo­riador holandés J. Huizinga. Es, escribió, la forma espiritual en que una cultura da cuen­ta a sí misma de su pasado. Sustituid "cultu­ra" por un término como "cierto número de matemáticos históricamente interesados" y tendréis lo que se denomina el enfoque ge­nético. En el caso de la historia general, sin embargo, no todos los que la practican pien­san progresivamente.Han dejado esto para los culturalistas o los marxistas o algunos otros considerados utópicos o por lo menos optimistas. Pero el historiador de la matemá­tica mira hacia el progreso.

El historiador de la escuela fenomenológi- ca nos recuerda otro enfoque de la historia, el del alemán Ranke, quien dijo en uns sen­tencia muy citada que la tarea del historiador de un período consiste en decir lo que real­mente ha ocurrido, wie es eigent/ich gewe- sen ist. El estudiante de esta escuela trata de ver cómo sienten y piensan los contemporá­neos la matemática de su tiempo. Este no es un procedimiento fuera de lo común en la historia de la literatura, pintura, religión, antopología, en donde tratamos de com­prender cómo Shakespeare o Leonardo da Vinci aparecen a los ojos de sus camaradas, cómo siente la Edad Media la religión católi­ca o cómo se armoniza con su modo de vida el culto del pan y del sol de los indios. En estos casos, para acercarnos tanto como podamos a la cultura que nos interesa y construir una estructura mental de la misma o, por lo menos, de la parte que nos intere­sa. El historiador usará el simbolismo (o la falta de simbolismo) y la terminología de esa

la curiosidad de saber qué paso en la mate­mática del pasado y con referencia a nuestra época actual. Pero a menudo debe interferir para corregir una crítica esencialmente an­tihistórica. Tenemos que comprender, por ejemplo, que el concepto de rigor está deli­neado históricamente. Euclides era riguroso en su época y ejemplar para los siglos que vendrían, pero su rigor ya no es satisfacto­rio. Incluso el rigor de Gauss, importantísimo a principios del siglo XVIII y aún hoy en muchos aspectos, requiere precisión en el presente. Debemos examinar las demostra­ciones en su propio marco contemporáneo, y diferenciar entre lo que actualmente es un error (las opiniones pueden diferir) y una fal­ta de rigor que se puede corregir por méto­dos topológicos modernos. Pero no siempre es muy fácil. ¿Fueron un error o no las bases "algebraicas" de Lagrange para el cálculo infi­nitesimal? Ello depende principalmente de la definición de función. El rigor depende a me­nudo de la definición, y las definiciones son de naturaleza histórica. Piénsese en concep­tos tales como los de curva, área, número, diferencial y él ya señalado de función.

Para dar un ejemplo de una naturaleza en­teramente diferente, no es un error señalar que la ecuación x3+ px + q = 0 fue resuel­ta por los matemáticos italianos del Renaci­miento mediante la fórmula cardánica. Es costumbre pasar ligeramente sobre esto y concentrarse sobre las aproximaciones nu­méricas de la teoría de Galois. Pero los con­temporáneos de Tartaglia lo vieron diferen­temente. En primer término, no emplearon símbolos abstractos como p y q. Usaron va­lores numéricos. El enfoque abstracto, para ser aceptado, necesita una comprensión ma­temática más profunda. Ellos no redujeron el primer miembro a cero. El simbolismo era también diferente y se usaban símbolos es­peciales para cada potencia de la variable, llamada cosa o res,.que significa cosa. Y sobre todo, había júbilo en amplios círculos sobre esta solución. Mucha gente se reunía para aplaudir (o criticar) a los que disputaban en reuniones públicas. ¿Cuál era la razón? No lo sé con certeza, pero un factor se des­taca y es el siguiente: era la primera vez que la aritmética y el álgebra habían superado el nivel grecoarábigo. Fue una demostración de que el hombre del Renacimiento puede alcanzar y superar a los clásicos. Si Ud. lo ve de esta manera, entonces la insípida fórmula cardánica adquiere una nueva y resplande­ciente levita histórica, dicho sea en lenguaje erasmiano.

Pienso que el método evolucionista, tal cual se lo ve en nuestros libros de historia, es el mejor para aquellos estudiantes que tienen

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deberá 3cudir 3 libros esjDeciales sobre astro­nomía, mecánica, tecnología, computadora, etc. o 3 sigunss historias generales de las ciencias como la muy informativa Histoire de la Science, publicada en París por la Enciclo­pedia de la Pleiade (1957).

La música parece estar en nuestros días más allá del límite que se imponen los mate­máticos, a pesar de su inclusión en el quadri- vium platónico y medioeval -aritmética, geometría, astronomía y música- y de la importancia que tuvo para algunos matemá­ticos posteriores. Incluso Euler escribió un libro intitulado Música. No conozco mucha literatura sobre este tema; el único artículo que ha visto pertenece a G. Revesz. Una de sus conclusiones, por ejemplo, es que la di­fundida creencia de que la matemática es como una buena regla para la música, es jus­tamente una leyenda.

Se abre una perspectiva incluso más amplia si vemos a la matemática en este pa­pel en la historia general de las ideas filosófi­cas, teológicas, religiosas y artísticas. Ya he­mos examinado el caso al tratar la filosofía griega. Igualmente decisivo ha sido el papel de la matemática en el proceso de mecaniza­ción del marco del mundo en el siglo XVII. Para Galileo el libro de la naturaleza está escrito en caracteres matemáticos —las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas— y sólo podía ser descifrado por los que conocían matemática. En la filo­sofía de Descartes, la naturaleza debe ser explicada en términos mecánicos y la mecá­nica con términos matemáticos, de modo que el conocimiento de esta ciencia es la lla­ve para la comprensión del universo físico. En esta filosofía, la matemática además de ser la herramienta de los maestros de es­cuela, navegantes, pilotos, dibujantes de mapas y astrónomos, como lo fue en el siglo XVI, se convirtió en la reina de las ciencias. La coronación real llega con Newton, que llevó el programa cartesiano a una perfec­ción notable, creó la matemática necesaria y mediante ella construyó su sistema del uni­verso basado sobre la gravedad. La ¡dea de que la matemática era la ciencia que llevaba a la comprensión del mundo se introdujo en la mente de muchos de los principales mate­máticos de este período y penetró en la filo­sofía lo mismo que en las artes. Espinoza escribió su Etica a la manera geométrica de tuclides. Los Elementos son el modelo para estos pensadores que se esfuerzan por se­guir el ideal cartesiano de juicios claros y dis­tintos. Los filósofos son matemáticos y los

6. Hasta ahora hemos mirado a la mate­mática como una ciencia contenida en^ sí misma, con personas instruidas que enseña­ban a otras personas para que lograran aprender por sí mismas. Es útil echar una mi­rada a un horizonte más amplio en el cual la matemática es justamente sólo una de las muchas formas de la ciencia, o aún más amplio, algún tipo de manifestación cultural o de actividad humana en general.

Cuando se ve históricamente a la matemá­tica en sus contactos con la ciencia natural, entonces sus relaciones con la astronomía ocupan un primer lugar. La astronomía ha si­do el campo de aplicación más antiguo, que retrocede hasta las antiguas civilizaciones orientales y muy probablemente también a algunas de las occidentales, si hemos de cre­er en recientes informes sobre Stonehenge y otros monumentos megalíticos. Los griegos lo usaron, no para los cálculos como los cal­deos, sino para construir modelos de univer­so sobre la base según sus perspectivas del mismo. Ptolomeo nos presentó una gran explicación con conceptos tomados de la aritmética y la geometría, creando además nuestras primeras tablas trigonométricas. La astronomía ha conservado este papel de to­ma y daca, de prestamista y prestatario de la matemática hasta nuestros días, con la construcción einsteiniana de un modelo de universo con ayuda de parte de la matemáti­ca más moderna. Einstein era un físico, y la física es también una vieja conocida de la matemática, especialmente si se incluye la mecánica, en la cual se puede retroceder hasta Arquímedes, o a la óptica, en que se puede llegar a Euclides. El libro más antiguo de historia de la matemática que no árido catálogo de nombres, títulos y temas, la Historia de la matemática del filósofo Jean Etienne Montucla, toma el tema en su senti­do más amplio y distingue entre matemáti­cas puras y matemáticas mixtas. El libro más legible de Montucla fue publicado por prime-’ ra vez en 1758 y consta de dos volúmenes. Una edición posterior, posiblemente escrita por el astrónomo J.J.L. Lalande apareció entre 1799 y 1802 y consta de cuatro volú­menes. La matemática era el campo de aplicación a la astronomía, mecánica, óptica e incluso la música. Un trabajo tal ya -no puede ser escrito sólo por úna persona y por ello nuestros libros actuales sobre historia de la matemática usualmente se confinan la matemática pura y acaso alguna referen­cia a alguna aplicación.- .Quienquiera que de­see estudiar la historia de las aplicaciones

matemáticos son filósofos. Estos hombres esperaban hacer estallar de cólera al Olimpo y descubrir métodos para comprender y con­trolar a la naturaleza. Para Leibniz, el cálcu­lo, lo mismo que la lógica matemática, fue pensado de manera de concordar búsqueda de una characteristica generahs, un simbolismo que pudiera ofrecer la llave para comprender la naturaleza y la mente.

Esta manera trascendental de considerar a la matemática;de algún modo se perdió en la atmósfera más tranquila de la cultura. Pero el entusiasmo por el cálculo infinitesimal per­sistió, de manera que Bernoulli, Euler, Lagrange y Laplace pudieron transformarlo en una magnífica estructura que, en íntima conexión con la mecánica, y con los sucesi­vos desarrollos del siglo siguiente, ha subsis­tido como uno de los triunfos más maravillo­sos de la mente humana.

Sólo tenemos que pensar en los artistas italianos del Quattrocento y en Alberto Dure- ro para comprender que ha habido períodos de íntima vinculación entre la matemática y las artes. En las escuelas de esos hombres la perspectiva fue desarrollada, y las armonías que dominan la pintura y la escultura fueron aportadas por la contemplación de los po­liedros platónicos, o regulares, y su relación

la denominada sección áurea. La sec­ción áurea,que es la división de un segmento lineal AB mediante un punto C tal que CB: AC = AC: AB se supone que posee pro­piedades estéticas. Ha ocupado la mente desde la antigüedad hasta el Renacimiento, durante el cual Lúea Pacioli escribió un libro sobre él denominado Divina Proportione (1509) con dibujos a menudo atribuidos a Le­onardo Da Vinci. La sección áurea todavía vice. Figura, por ejemplo, en los estudios de Le Corbusier sobre la medida armónica y, a través de su estrecha relación con la serie de Fibonacci, aparece en los lugares más ines­perados.

Sólo una palabra sobre religión — ya hemos encontrado con los pitagóricos y los pintores del Quattrocento. Los pitagóricos re­lacionaban las armonías musicales de una monocuerda con la armonía de la esfera ce­leste, y ésta con las razones de los arithmoi. fíatio es la palabra latina correspondiente a la griega logos, términos ambos que signifi­can razón, pero también tiene un significado divino. "En el comienzo estaba el logos' es el comienzo del Evangelio de San Juan. La traducción usual de logos por palabra nunca ha tenido mucho sentido para mí, pero Lo­

la filosofía griega es más que pa­

labra: la razón y la armonía divina.7. Nos hemos movido en excelsas profun­

didades de la mente donde se forman las grandes ideas e incluso a los pies de la divini­dad que. si ha de creerse a Platón, sólo pien­sa y actúa en forma geométrica. Tiempo es de descender a la tierra.

Existe también otra manera de estudiar la historia de la matemática y de la ciencia en general. Se trata del aspecto social, de la re­lación de la ciencia con la sociedad. La so­ciología del conocimiento ha merecido con­siderable atención en este siglo, y la sociolo­gía de la matemática especialmente en estos últimos años, especialmente de parte de los científicos más jóvenes. La razón no es difícil de hallar: la matemática se ha visto ampliamente comprometida en asuntos de importancia para la industria y el gobierno, para mejor o para peor, y su función social (y no infrecuentemente antisocial) es obvia. La cuestión se ha planteado: ¿Cuál fue la rela­ción de la sociedad y la matemática en los primeros tiempos? Existen personas que ne­garían una relación semejante incluso en la forma más superficial: si hablamos de mate­mática babilónica, griega, renacentista o moderna, el montaje social simplemente da las coordenadas espaciales y temporales pa­ra dicho montaje. Esto aparte, la matemática es una creación libre de la mente, el genio es un fenómeno accidental sin límites sociales. El sociólogo replica que el hombre, por su nacimiento o incluso por su concepción, es un ser social todas cuyas actividades están relacionadas, directa o indirectamente con su posición en la sociedad, y la manera de comprender esta sociedad es estudiar las fuerzas de producción y su distribución. ¿Cómo influye sobre la matemática esta estructura de superestructura y de estructu­ra básica que requieren respuestas?

Podemos discutir de nuevo el elemento social en la historia de la matemática de dife­rentes maneras. El método mediante el cual se describe en nuestros libros el desabollo de la matemática y de la ciencia en general puede describirse de la siguiente manera: las teorías y teoremas se relacionan con nombres; usualmente el de más importan­cia, es una especie de culto al héroe. Carlyle lo hubiera aprobado. Yo no hago crítica; es una manera perfectamente buena de escribir la historia de la ciencia, especialmente la de tipo evolutivo. Pero el escabroso despeñade­ro llega hasta el valle y en el valle hay buenos caminos a lo largo de los senderos que llevan a la cúspide. En el valle nos encontramos

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instituciones de aprendizaje. En la nueva es­cuela de ingeniería, la Escuela Politécnica cié París, bajo el liderazgo de Gaspar Monge, se abrieron nuevas perspectivas para la mate­mática pura y aplicada. Las nuevas ge­ometrías del siglo XIX (descriptiva, sintética, algebraica) se originaron, o se renovaron, en la escuela de matemática hacia la época de Monge, el sociólogo de la matemática trata de establecer la relación entre el cataclismo social y el científico, y recientemente se ha hecho interesante trabajo sobre el tema.

Algunos períodos de gran estabilidad so­cial han dejado también su impronta en el ti­po de matemática cultivado en esas épocas. Pensamos que las matemáticas chinas, babi­lonias y egipcias conservaron su carácter esencial durante siglos y a veces milenios. ¿Cuál fue la razón para que lodos ellos tu­vieran, a pesar de su aparente diversidad rasgo común, su carácter esencialmente aritmético-calculatorio? Las pruebas lógicas a partir de axiomas y postulados, las abstrac­ciones desprovistas de aplicación, llegan co­mo una grieta contra esa tradición cuando aparece una nueva forma de organismo so­cial en las costas del Mar Egeo: el estado de la ciudad griega, o polis. ¿Cómo revolucionó la polis la matemática? Todavía debe traba­jarse mucho sobre ese tema.

Los científicos deberán prestar atención al notable fenómeno de que la matemática moderna, en su Renacimiento y en las for­mas que adoptó en el siglo XVII.se desarrolló en la Europa occidental y central. Esta es precisamente la parte del mundo en donde un capitalismo mercantil y después industrial se abrió paso por los esfuerzos de una nueva clase enérgica e industriosa, la clase bur­guesa. ¿Por qué no ocurrió en China que era intelectual y técnicamente tanto o más avan­zada que Europa en los siglos XV y XVI? Pe­ro China no produjo ni a Galileo, ni a Descar­tes, ni a Newton, ni a Bacon. ¿Accidente? El historiador social buscará las relaciones, co­nexiones e incluso casualidades. Es un cam­po lleno de malezas y asechanzas, y resulta más fácil descubrir factores sociales donde no hay nada, y éste es el caso común, que ver o ignorar en la sociedad que estimula campos particulares de la matemática, sea directa o indirectamente a través de la física, la astronomía, el arte, la religión, la guerra, la tecnología, la ingeniería.

Mecionamos caminos en el valle con sen­deros para ascender pero los senderos no siempre llevan a la cumbre. Este es el tipo de matemática que raramente llega a los libros

con los caracteres menores y en os se d ros los menos grandes, todos los cuales pueden ciertamente ser importantes para ei historiador social. El juicio de Newton deque si él sobresalía se debía a que etaba apoya do sobre las espaldas de los gigantes, se m- terpretó como si Newton dijera que el aeoia mucho a los grandes hombres que le prece­dieron; Galileo, Descartes, Barrow, Huy- gens. Con igual derecho pudo simplemente haber dicho que estaba parado sobre la es­palda de otros. Era ciertamente el más pro­minente de todo un grupo de matemáticos prácticos, maestros, constructores de ins­trumentos, cartógrafos, aficionados a la astronomía, inventores que formaban el cír­culo en donde trabajaba. Su trabajo coloca a Newton en el corazón de una sociedad mer­cantil que crecía saludablemente a partir de la Revolución Británica. El frecuentemente citado artículo de Boris Hessen, leído en Londres en 1931, sobre los aspectos econó- micosociales del trabajo de Newton señala cierto número de problemas de astronomía, cartografía, ingeniería e industria que tu­vieron su efecto sobre el autor de los "Princi­pia" (1687). Uno de ellos, la determinación de longitudes en el mar, ocupó no sólo a Newton sino a muchos otros científicos, Ga- lileo y Huygens incluidos; además condujo a Newton a su teoría del llamado teorema de los tres cuerpos. La solución del problema de la longitud era de la mayor importancia económica puesto que concernía a la seguri­dad de los barcos en mar'abierto. Dependía de buenos relojes y de otros instrumentos tanto como de buenas tablas lunares Era

de los pocos casos antes de 1850, diga­mos, en que la matemática superior sirvió para la solución de un importante problema técnico. La solución no se logró hasta que se inventaron los cronómetros y fue mejor co­nocido el movimiento lunar, esto es, hasta la última parte del siglo XVIII. Ahora usamos la radio y el radar, inventos de los científicos' e ingenieros matemáticamente adiestrados del siglo XX.

Las épocas de profundos cambios sociales son buenos testigos de la interacción de la estructura básica y la superestructura. La Sociedad Real, con sus científicos e invento­res, dominada por la presencia de Newton originó el cataclismo intelectual de la Revo­lución Británica. La Revolución Francesa proseguida por el período napoleónico tam­bién tuvo profunda influencia sobre el mun­do científico. La clase media, en su rebelión contra el antiguo régimen, creó sus propias

de historia, la matemática del hombre co­mún, el agrimensor, el constructor de instru­mentos, el cartógrafo. Resulta claro que es­to tiene interés cultural y un ejemplo de ello lo constituye la historia de la matemática en la América colonial. Allí tenemos profesores de matemática, colegios, universidades, astrónomos, topógrafos, artesanos,pero nin­guno de ellos llegó a figurar resplandeciente­mente en los libros de historia de la matemá­tica. Para comprender la cultura de la Améri­ca colonial es útil el estudio de su matemáti­ca; sus "héroes", hombres como Sigüenza y Velázquez de León en México, Winthrop y Rittenhouse en las plantaciones británicas son figuras culturales importantes en sus marcos, y el estudio de estos temas contri­buye a una mejor comprensión de los avan­ces y limitaciones de la sociedad colonial Una investigación como la de Turner de la influencia de la frontera sobre la matemática de la América colonial produciría interesan­tes resultados especialmente en el caso del Canadá francés. Creo que un artículo que escribí alguna vez sobre cuatro matemáti­cos que actuaban en los desiertos alrededo­res del Fuerte Ticonderoga en tiempo del úl­timo de los mohicanos. Dos eran británicos y dos eran franceses, y sus vidas ilustran al­gunos de los puntos que he estado tratando. Con los astrónomos y topógrafos en el de­sierto para señalar las fronteras de las colo­nias -con la plaga de los insectos, los in­dios, el calor y el frío, las selvas, las monta­ñas y las ciénagas— podemos señalar que puede haber más romance con la matemáti­ca que con las ideas más elevadas, y que la matemática no siempre es una ocupación apoltronada.

8. Encontramos en nuestro camino las re­volucionarias reformas francesas que produ­jo la Escuela Politécnica Francesa y el ilustre grupo de matemáticos que a ella pertene­cieron. Esto descubre otro punto de vista de carácter sociológico, la historia de la educa­ción matemática. Es una historia de muchos milenios con períodos de serena rutina y pe­ríodos de turbulencia, como muy bien lo sa­bemos por los debates y discusiones que se desarrollan en nuestros días. ¿Dónde comien­za esta historia? ¿Con mamá y. papá patos enseñando a sus hijos a lanzarse junto con otros en una formación en V? Acaso no­sotros comenzamos en los mercados de una cultura neolítica donde el comerciante llega al pueblo hablando diferentes dialectos. Con­tar con los dedos será necesario, acaso en di­ferentes sistemas, pero todo lleva a contar de

a 5, 10 o 20, y así se origina el sistema deci­mal. Podemos también comenzar con es­cuelas regulares en la civilización urbana de Egipto, Mesopotamia, India o China, es­cuelas en donde se adiestraban los escribas. Estos eran a menudo servidores del templo. Allí la rutina matemática tradicional se prosi­gue durante siglos sin el más mínimo cam­bio. Con los sofistas de la Atenas clásica nos encontramos con una escolaridad de la matemática enteramente diferente, con mé­todos diferentes / con temas diferentes. El adiestramiento no se cumplía para la prácti­ca burocrática sino para convertirse en el ateniense equivalente a lo que hoy se consi­dera como un caballero inglés. De modo que podemos trasladarnos a través de las edades en las cuales podemos distinguir nítidamente la clase de matemática, si hay alguna, que resulte buena para los artesanos, lores feudales, mercaderes, burócratas o escola­res. También el tipo de maestros, de libros de textos, de implementos para la enseñanza sean los necesarios para los diferentes tipos de alumnos. La enseñanza universitaria y sus reformas tienen otro carácter. Nos encontra­mos con hombres como Comenius en Ho­landa y otros países en el siglo XVII, Pesta- lozzi en Suiza, Félix Klein en la Gotinga del últimisimo siglo XIX y principios del siglo XX y los reformadores de las escuelas y universi­dades de nuestros días.

Hay diversas maneras de considerar la his­toria de la educación matemática. Podemos enfocar nuestra atención sobre las fuerzas sociales tales como el impacto de la in­dustrialización sobre la educación matemáti­ca para introducir más matemática en el curriculum ante la oposición, a veces deno­dada, de parte de los clásicos, como ocurrió en el Imperio Germano en 1800. Podemos también prestar atención al tipo de matemá­tica que se ataca y a la del tipo que se está propugnando. Durante siglos, ha existido oposición contra una enseñanza demasiado rigurosa a partir de los Elementos de Eucli- des en el aula, una oposición que se remon­ta al siglo XVI y todavía no fue considerada superflua en el siglo XX en Inglaterra. La cuestión de si los elementos de cálculo infini­tesimal debieran enseñarse en la escuela se­cundaria ha sido discutida aún antes de la época de Klein. Ahora parece situarse en la admisión de esos elementos en la mayoría de los curricula secundarios. Por supuesto, aquí existen factores sociales implicados. Ade­más, tener en la escuela más matemática, y más moderna.origina mejores maestros e in-

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/¡no, todavía están revelando la antigua rela­ción; linun es el latín correspondiente a lino. El arte del artesano dio su nombre a las eda­des de Piedra, Bronce y Hierro. En las civili­zaciones urbanas del antiguo Oriente, la ma­temática isma se convirtió en un arte. La ci­vilización griega estaba circunscrita por las artes y las potencialidades, tanto mecánicas como sociales, del artesano, y, con actividad mercantil y esclavitud, tuvieron influencia determinante sobre esta forma de su ciencia y con ello sobre la matemática griega. La ha­bilidad del artesano construyó el Partenón; sus limitaciones eran las limitaciones de la fi­losofía aristotélica de la naturaleza. Podríamos continuar de esta manera: mate­máticos como Descartes, Huygens, New- ton, Leibniz eran ellos mismos artesanos en diferentes momentos o bien estaban en estrecho contacto con ellos. El reloj, la obra maestra de la tecnología mercantil, fue to­mado como modelo del universo. Dios era el artífice supremo.

En los dominios de la historia a través de las edades, la tecnología de un período de: terminado aparece como un elemento in­tegral en la estructura de la sociedad particu­lar en que se la practicaba. Necesitaríamos saber más al respecto. "La historia de la tec­nología interactúa con la historia social aún más que su ciencia, pero comienza con la experiencia personal de un hombre trabajan­do con materiales y mecanismos", escribe Cyril Smith, el historiador de la metalurgia.

10 Ahora bien, ¿cuáles son las razones que he dado para que haciéndolo atractivo aumente el estudio de la historia de la cien­cia? Permítaseme sintetizar: 1) Satisface el deseo que tenemos muchos de nosotros de conocer cómo se han ideado y desarrollado las cosas en matemática. 2) El estudio de los autores clásicos puede ofrecer gran satisfac­ción por sí mismo; pero también puede ayu­dar en la enseñanza y la investigación. 3) Ayuda a comprender nuestra herencia cultu­ral no sólo a través de las aplicaciones que la matemática ha tenido y tiene en astronomía, física y otras ciencias sino también por la re­lación que ha tenido y tiene con campos va­riados como el arte, la religión, las filosofías y las artesanías. 4) Puede proveer un campo común en el cual puedan encontrarse agra­dablemente los especialistas de matemática Y otros campos de la ciencia. 5) Ofrece cam­po para la comprensión de las tendencias matemáticas del pasado y del presente. 6) Permite salpicar la enseñanza y las conversa­ciones con anécdotas.

Un poco de bibliografíaLa literatura de la historia de la matemáti­

ca es muy amplia y crece diariamente. Existe un World Director/ of Historians of Mathe- matics publicado primeramente en Toronto en 1972, que contiene unos 700 nombres. Todos ellos son especialistas en un tema particular o más, y muchos de ellos se ocupan también sobre historia general de la matemática. Hay buenos libros en inglés sobre temas especiales, como los dos libros de C. B. Boyer sobre cálculo infinitesimal y geometría analítica, uno sobre análisis vec­torial de M. J. Crowe y otro sobre la integral de Lebesgue de T. Hawkins. Los maestros de escuela que desean información sobre te­mas especiales, sobre todo de matemática elemental, encontrarán bastante material en los dos volúmenes de D. E. Smith sobre his­toria de la matemática. El segundo volumen trata temas tales como los tres problemas griegos clásicos: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del cír­culo. También contiene una corta historia de la trigonometría (de la cual, bastante cu­riosamente, no existe ningún libro excepto dos volúmenes alemanes de Von Braun- muhl, que datan de 1900 y 1903). Otros temas sin historia escrita son los logaritmos y la his­toria más antigua de las ecuaciones (hasta Galois). Más literatura se hallará en los tex­tos que mencionamos a continuación.

Los tres libros siguientes: C. B. Boyer, A History of Mathematics (Nueva York, Wiley, 1968, 717 p.); H. Evens,H¡story of Mathema­tics from Antiquity to the Beginning of the Nineteenth Century (Nueva York, Holt Ri- nehart .Winston, 4a ed., 1976, 603 p.); D. J. Struik, A concise History of Mathematics (Nueva York, Dover, 3a ed., 195 p) propor­cionarán bastante información para mucha gente, pero hay silencio o apenas fragmen­tos sobre la historia del siglo XX. Sólo hay al­gunas monografías, como el libro de Haw­

kins sobre la integral de Lebesgue y los libros de Constance Reid sobre Hilbert y Courant.

Para una colección de artículos de diferen­tes temas de interés para la escuela secunda­ria, escrito por diferentes autores, véase His­tórica/ Topics for the Mathematical C/assro- om, Yearbook of the National Council of Mathematics (Washington, D. C., 1969, 524

vestigadores, de la misma manera que ocurrió con la Escuela Politécnica y con otras.

9. Podría parecer algo gracioso, pero de las ventajas del estudio de la historia de la matemática es reunir a les colegas y aumen­tar la armonía del departamento. Dos mate­máticos que tienen sus escritorios contiguos durante años, ambos especialistas famosos en su campo, pueden no tener nada de qué hablar cuando se encuentran, excepto el tiempo o la política de la facultad, o si eso no camina, sobre sus esposos o esposas, o sobre sus perros y gatos. El interés común por la historia de la matemática, o por la ciencia en general, puede cerrar la brecha y hacer posible la comunicación inteligente para beneficio mutuo. Las conferencias sobre historia de la ciencia son unas de las pocas ocasiones en que especialistas de di­ferentes campos pueden comprenderse y encontrar placer y satisfacción por ello. El escudo de armas de Harvard, o como quiera que se llame, es un ejemplo típico. Es un es­cudo con la palabra VERITAS, pero dividida en tres partes, VE, Rl y TAS, la verdad, o el camino para llegar a ella, separado en pe­queñas secciones. Me gusta más el escudo del MIT; es un castor, por tanto un organis­mo vivo, y también un ingeniero, un cons­tructor.

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P)-Datos biográficos y bibliografía sobre los

principales hombres de ciencia de todas las edades, de todas las épocas y países, se pueden encontrar en el Dictionary of Scienti- fic Biography (14 v., Nueva York, Scribner, 1970-76). Informaciones más elementales pueden encontrarse en la Encyclopedia Bri­tánica (15a ed., 1974).

Los interesados en el origen de los núme­ros, símbolos y términos pueden gustar del libro bellamente impreso: Number Words and Number Symbo/s (Cambridge, Mass, MIT Press, 1969).

Trabajos sobre cierto número de matemá­ticos importantes están bellamente presen­tados en E. T. Bell, Men of Mathematics (Nueva York, Simón and Schuster, 1937).

Las relaciones culturales de la matemática constituyen el tema del libro de M. Kline, Mathematics in Western Culture (Nueva York, Oxford Un. Press, 1953).

Debe agregarse un libro alemán, por ser historia extensa de la matemática ele­

mental, con amplia información sobre térmi­nos, símbolos, teoremas y métodos: J. Tropfke, Geschichte der Elementar- Mathematik (7 vol., Leipzig, 2a ed., 1921- 1924).

El periódico trimestral Historia Mathemati- ca, fundado en 1970 por Kenneth O. May, de Toronto, y publicado por la Academic Press en Nueva York, ofrece artículos sobre temas históricos y le informa sobre fechas de conferencias, bibliografía y personas.

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Esto me trae a la mente la historia de la tecnología, un tema descuidado aunque del máximo valor cultural. La tecnología ha es­tablecido una relación directa con la mate­mática sólo en los últimos cien años. Real­mente, su importancia comenzó al nacer la industria eléctrica. Anteriormente, hubo po­cas ocasiones en que la tecnología influyó directamente sobre las ciencias exactas, co­mo en la investigación para la determinación de la longitud en el mar que condujo a Huy­gens a sus relojes de péndulo y a su teoría matemática. Eso estaba íntimamente ligado a la mejora del instrumental. En esos días y en otros anteriores también había alguna re­lación entre los instrumentos bélicos y la in­geniería, pero en todas esas ocasiones la matemática aparecía sólo esporádicamente y a menudo en forma indirecta.

Pero el artesano, aunque se lo

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reconozcamuy poco, ha tenido decisiva influencia en la civilización. Aparece al comienzo de la histo­ria neolítica con'sus tejidos, su cerámica y la construcción de sus barcos y guaridas. Esti­muló la imaginación geométrica, y por sus prácticas comerciales, el arte del contaje de­cimal. Palabras como línea relacionada con

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