Sistema mecnico. Considere el sistema masa-resorte-amortiguador
montado en Un amortiguador es un dispositivo que un carro sin masa,
que aparece en la figura proporciona friccin viscosa o
amortiguamiento. Est formado por un pistn y un cilindro lleno de
aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre la
varilla del pistn y el cilindro, debido a que el aceite debe fluir
alrededor del pistn (o a travs de orificios en el pistn) de un lado
del pistn al otro. El amortiguador esencialmente absorbe energa.
Esta energa absorbida se disipa como calor y el amortiguador no
almacena energa cintica ni potencial. Obtengamos un modelo
matemtico de este sistema de masa-resorte-amortiguador 0. En este
sistema, montado en un carro, suponiendo que ste est inmvil durante
un es el desplazamiento del carro y la entrada para el sistema. En
= 0, el carro se mueve a una velocidad constante, o bien =
constante. El desplazamiento y(t) de la masa es la salida. (El
desplazamiento en relacin con el piso.) En este sistema, m
representa la masa, b denota el coeficiente de friccin viscosa y k
es la constante del resorte. Suponemos que la fuerza de friccin del
amortiguador es proporcional a zi y que el resorte es lineal; es
decir, la fuerza del resorte es proporcional a y Para sistemas
traslacionales, la segunda ley de Newton establece que = en donde m
es una masa, a es la aceleracin de la masa y es la suma de las
fuerzas que actan sobre la masa. Aplicando la segunda ley de Newton
al sistema presente y considerando que el carro no tiene masa,
obtenemos
rCarro sin masa
r
Y
Figura 3-15 Sistema resorte-amortiguador montado en un
carro.
Seccin 3-6
Sistemas mecnicos
83
o bien dt (3-44)
La ecuacin (3-44) proporciona un modelo matemtico del sistema
considerado. Un modelo mediante la funcin de transferencia es otra
forma de representar un modelo matemtico de un sistema lineal e
invariante con el tiempo. Para el sistema mecnico presente, el
modelo mediante funcin de transferencia se obtiene del modo
siguiente. Tomar de cada trmino de la ecuacin (3-44) produce la
transformada de m = j(O)]y(O)] = kY(s)
b
1 1
1
=
= =
u(O)]
Si establecemos las condiciones iniciales iguales a cero, o
establecemos = 0, = 0, la transformada de de la ecuacin (3-44) se
escribe como y + bs + k)Y(s) = (bs +
=0
Tomando el cociente entre Y(s) y U(s), encontramos que la funcin
de transferencia del sistema es Funcin de transferencia = G(s) = =
bs + k bs k
Tal representacin mediante la funcin de transferencia de un
modelo matemtico se usa con mucha frecuencia en la ingeniera de
control. Sin embargo, debe sealarse que los modelos mediante la
funcin de transferencia slo se aplican a sistemas lineales e
invariantes con estn definidas para sistemas. el tiempo, dado que
las funciones de transferencia
EJEMPLO 3-4
Un pndulo invertido montado en un carro manejado por un motor
aparece en la figura ste es un modelo del control de posicin de un
propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del
problema del control de posicin es conservar el propulsor primario
espacial en una posicin vertical.) El pndulo invertido es inestable
porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direccin, a
menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu
consideramos slo un problema en dos dimensiones, en el cual el
pndulo slo se mueve en el plano de la pgina. Se aplica al carro la
fuerza de control u. Suponga que el centro de gravedad de la barra
del pndulo est en su centro geomtrico. Obtenga un modelo matemtico
para este sistema. Suponga que la masa m de la barra del pndulo es
de 0.1 kg, la masa M del carro es de 2 kg y la longitud de la barra
del pndulo es de 1 m, o bien,
Seccin 3-6
Sistemas mecnicos
85
Figura 3-16 (a) Sistema del pndulo invertido; (b) diagrama de
cuerpo libre.
m = 0.1 kg,
M = 2 kg,
Defina el ngulo de la barra respecto de la lnea vertical como
nadas y) del centro de gravedad de la barra del pndulo como
Defina tambin las coordeyo). De este modo
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema,
considere el diagrama de cuerpo libre que aparece en la figura El
movimiento rotacional de la barra del pndulo alrededor de su centro
de gravedad se describe mediante sen(3-47)
en donde es el momento de inercia de la barra alrededor de su
centro de gravedad. El movimiento horizontal del centro de gravedad
de la barra del pndulo se obtiene mediante(3-48)
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del
pndulo es0) = V mg (3-49)
El movimiento horizontal del carro se describe
mediante(3-50)
Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
Las ecuaciones (3-47) a (3-50) describen el movimiento del
sistema del pndulo invertido en el carro. Debido a que estas
ecuaciones contienen sen y son no lineales. Si suponemos que el
ngulo es pequeo, las ecuaciones a (3-50) se linealizan del modo
siguiente:= + = H
(3-51)(3-52) (3-53) (3-54)
O=V-mg
A partir de las ecuaciones (3-52) y(M +
obtenemos+ = (3-55)
A partir de las ecuaciones (3-51) y= =
obtenemos
+
o bien(Z + + = (3-56)
Las ecuaciones (3-55) y (3-56) describen el movimiento del
sistema del pndulo invertido en el carro. Constituyen un modelo
matemtico del sistema. (Ms adelante, en los captulos 12 y 13,
disearemos controladores para conservar el pndulo vertical en
presencia de perturbaciones.)
3-7 SISTEMAS ELCTRICOSEn esta seccin abordaremos los circuitos
elctricos que involucran los resistores, los pacitores y los
inductores. Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos
elctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La
ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la
suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un
nodo es cero. (Esta ley tambin puede plantearse del modo siguiente:
la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma
de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de hoff
(la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado
la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en
un circuito elctrico es cero. (Esta ley tambin se plantea del modo
siguiente: la suma de las cadas de voltaje es igual a la suma de
las elevaciones de voltaje alrededor de un malla.) Un modelo
matemtico de un circuito elctrico se obtiene aplicando una o ambas
leyes de Kirchhoff. Esta seccin trata de los circuitos elctricos
sencillos. El modelado matemtico de sistemas con amplificadores
operacionales se presenta en el captulo 5.
Circuito LRC. Considere el circuito elctrico que aparece en la
figura 3-17. El circuito est formado por una inductancia L (henry),
una resistencia R (ohm), y una C (farad). Aplicando la ley de
voltaje de Kirchhoff al sistema, obtenemos las ecuaciones
siguientes:Seccin 3-7 Sistemas elctricos 87
Circuito elctrico.
1
i dt =
Las ecuaciones (3-57) y (3-58) dan un modelo matemtico del
circuito. Un modelo mediante la funcin de transferencia del
circuito tambin se obtiene del de las ecuaciones (3-57) y (3-58) y
se modo siguiente. Se toma la transformada de suponen condiciones
iniciales iguales a cero, para obtener
+
Z(s) = E,(s) Z(s) = E,(s)
Si se supone que resulta ser
es la entrada y
la salida, la funcin de transferencia de este sistema 1
+ Impedancias
+1
(3-59)
En las funciones de transferencia para circuitos a menudo
encontramos conveniente escribir las ecuaciones transformadas
directamente sin escribir las ecuaciones diferenciales. Considere
el sismediante el mtodo de En este sistema, y representan
impedancias tema que aparece en la figura complejas. La impedancia
compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente endel
voltaje a travs de las terminales, e Z(s), la transtre E(s), la
transformada de de la corriente a travs del elemento, bajo la
suposicin de que las formada de Si los elementos de dos
termicondiciones iniciales son cero; por tanto, Z(s) = nales son
una resistencia R, una capacitancia C, o una inductancia L, la
impedancia como LS , respectivamente. Si se conectan impedancias
pleja se obtiene mediante R, complejas en serie, la impedancia
total es la suma de las impedancias complejas individuales.
0
Q
Circuitos
elctricos. Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
88
Recuerde que el enfoque de impedancias slo es vlido si todas las
condiciones iniciales involucradas son cero. Dado que las funciones
de transferencia requieren de condiciones iniciales cero, el
enfoque de impedancias se aplica para obtener la funcin de
transferencia del circuito elctrico. Este enfoque simplifica mucho
la obtencin de funciones de transferencia de circuitos elctricos.
Suponga que los voltajes y Considere el circuito que aparece en la
figura son la entrada y la salida del circuito, respectivamente.
Por tanto, la funcin de transferencia de este circuito es + Para el
sistema que aparece en la figura 3-17,
= LS + R,Por tanto, la funcin de transferencia 1
=se encuentra del modo siguiente: 1
=que es, por supuesto, idntica a la ecuacin (3-59).
Representacin en el espacio de estados.
+
+1
Funciones de transferencia de elementos en cascada. Muchos
sistemas mentados tienen componentes que se cargan uno a otro.
Considere el sistema de la figura es la entrada y que es la salida.
En este sistema, la segunda etapa 3-19. Suponga que del circuito
(la parte produce un efecto de carga en la primera etapa (la parte
de Las ecuaciones para este sistema sondt1
=
(3-60)
Y(i, dt + + 2 dt = 0 dt =
(3-61)
1 Si consideramos la transformada de condiciones iniciales de
cero, obtenemos
de las ecuaciones
a (3-62 y suponemos
1
+
+
2
=
(3-64)
Eliminando de las ecuaciones (3-63) y (3-64) y escribiendo
encontramos que la funcin de transferencia entre y 1+ = + 1)
en trminos dees
1+ 1
(3-66)
El trmino en el denominador de la funcin de transferencia
representa la interac+ + las dos cin de dos circuitos RC sencillos.
Dado que races del denominador de la ecuacin (3-66) son reales. El
anlisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en
cascada, de modo que la salida del primer circuito es la entrada
del segundo, la funcin de transferencia gene-
Sistema elctrico 90Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas
dinmicos
ral no es el producto de + 1) y + 1). Esto se debe a que, cuando
obtenemos la funcin de transferencia para un circuito aislado,
suponemos implcitamente que la salida no est cargada. En otras
palabras, se supone que la impedancia de carga es infinita, lo cual
significa que no se entrega potencia en la salida. Sin embargo,
cuando se conecta el segundo circuito a la salida del primero, se
entrega cierta cantidad de potencia por tanto, se viola la
suposicin de que no hay carga. A su vez, si la funcin de
transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposicin de que
no hay carga, la suposicin no es vlida. El grado del efecto de
carga determina la cantidad de modificacin de la funcin de
transferencia.
Funciones de transferencia de elementos en cascada sin carga. La
funcin de transferencia de un sistema formado por elementos en
cascada sin carga se obtiene eliminando la entrada y la salida
intermedias. Por ejemplo, considere el sistema que aparece en Las
funciones de transferencia de los elementos son la figura==
1
Si la impedancia de entrada del segundo elemento es infinita, la
salida del primer elemento no se modifica si se conecta al segundo.
En este caso, la funcin de transferencia del sistema completo se
convierte en
Por tanto, la funcin de transferencia del sistema completo es el
producto de las funciones de transferencia de los elementos
individuales. Esto se aprecia en la figura Como ejemplo, considere
el sistema que aparece en la figura 3-21. La insercin de un
amplificador de aislamiento entre los circuitos para obtener
caractersticas sin carga se usa a menudo cuando se combinan
circuitos. Dado que los amplificadores tienen de entrada muy altas,
un amplificador de aislamiento insertado entre los dos circuitos
justifica la suposicin de que no hay carga. Los dos circuitos RC
sencillos, aislados mediante un amplificador como el que aparece en
la figura 3-21, tienen efectos de carga insignificantes y la funcin
de transferencia de todo el circuito es igual al producto de las
funciones de transferencia individuales. Por tanto, en este
caso,
=
+
K+ 1)
Figura 3-20 (a) Sistema formado por dos elementos en cascada sin
carga; (b) un sistema equivalente.
Seccin 3-7
Sistemas elctricos
91
3-8 SISTEMA DEL NIVEL DEAl analizar sistemas que implican el
flujo de lquidos, resulta necesario dividir los regmenes de flujo
en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del nmero de
Reynolds. Si el nmero de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000,
el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el nmero de Reynolds
es menor que unos 2000. En el caso laminar, tiene lugar un flujo
estable en las corrientes, sin turbulencia. Los sistemas que
contienen un flujo turbulento a menudo deben representarse mediante
ecuaciones diferenciales no lineales, en tanto que los sistemas con
un flujo laminar pueden representarse mediante ecuaciones
diferenciales lineales. (Con frecuencia los procesos industriales
implican un flujo de lquidos a travs de tubos y tanques conectados.
El flujo en procesos resulta a menudo turbulento y no laminar.) En
esta seccin obtendremos modelos matemticos de sistemas del nivel de
lquido. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia
para sistemas del nivel de lquido, es posible describir en formas
simples las caractersticas dinmicas de sistemas. Considere el flujo
a travs de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R
para el flujo de lquido en tal tubo se define como el cambio en la
diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel de lquido en los
dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la
velocidad del flujo; es decir,
Resistencia y capacitancia de sistemas del nivel de lquido.
R=
cambio en la diferencia de nivel, m cambio en la velocidad de
flujo,
Dado que la relacin entre la velocidad del flujo y la diferencia
de nivel es distinta para el flujo laminar y el flujo turbulento,
en lo sucesivo consideraremos ambos casos. En este sisConsidere el
sistema del nivel de lquidos que aparece en la figura tema el
lquido sale a chorros a travs de la vlvula de carga a un lado del
tanque. Si el flujo a travs de esta restriccin es laminar, la
relacin entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura
en estado estable en el nivel de la restriccin se obtiene mediante
= KH en donde Q = velocidad del flujo del lquido en estado estable,
K = coeficiente, H = altura en estado estable, m Observe que la ley
que controla el flujo laminar es anloga a la ley de Coulomb, que
plantea que la corriente es directamente proporcional a la
diferencia potencial.
92
Captulo
3
Modelado
de sistemas dinmicos
Vlvula de control
Vlvula de carga
Figura 3-22
(a) de de del
Sistema del nivel lquido; (b) curva la altura en contra
flujo.
c
R
Para el flujo laminar, la resistencia
se obtiene como
QLa resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la
resistencia elctrica. Si el flujo es turbulento a travs de la
restriccin, la velocidad del flujo en estado estable se obtiene
mediante
en donde Q = velocidad de flujo del lquido en estado estable, K
= coeficiente, H = altura en estado estable, m La resistencia para
el flujo turbulento se obtiene a partir de
Debido a que de la ecuacin (3-67) obtenemos = tenemos que 2
H
QPor tanto,
Q
El valor de la resistencia de flujo turbulento depende del flujo
y la altura. Sin embargo, el valor de se considera constante si los
cambios en la altura y en el flujo son pequeos.
Seccin 3-8 Sistema del nivel de liquido
93
Usando la resistencia de flujo turbulento, la relacin entre Q y
H se obtiene mediante
Tal linealizacin es vlida, siempre y cuando los cambios en la
altura y el flujo, a partir de sus valores respectivos en estado
estable, sean pequeos. En muchos casos prcticos, se desconoce el
valor del coeficiente K de la ecuacin que depende del coeficiente
de flujo y del rea de restriccin. En casos, la resistencia se
determina mediante una grfica de la curva de la altura contra el
flujo, basada en datos experimentales y midiendo la pendiente de la
curva en la condicin de operacin. En la figura, el punto P es el
punto Un ejemplo de tal grfica aparece en la figura de operacin en
estado estable. La lnea tangente a la curva en el punto P interseca
la ordenada en el punto 0). Por tanto, la pendiente de esta lnea
tangente es Dado que la resistencia en el punto de operacin P se
obtiene mediante la resistencia es la pendiente de la curva en el
punto de operacin. Considere la condicin de operacin en la vecindad
del punto P. Defina como una desviacin pequea de la altura a partir
del valor en estado estable y como el pequeo cambio correspondiente
del flujo. A continuacin, la pendiente de la curva en el punto P se
obtiene mediante Pendiente de la curva en el punto P = = =
La aproximacin lineal se basa en el hecho de que la curva real
no difiere mucho de su lnea tangente si la condicin de operacin no
vara mucho. La capacitancia C de un tanque se define como el cambio
necesario en la cantidad de lquido almacenado, para producir un
cambio de una unidad en el potencial (altura). (El potencial es la
cantidad que indica el nivel de energa del sistema.) C = cambio en
el lquido almacenado, cambio en la altura, m
y la capacitancia son diferentes. La Debe sealarse que la
capacidad cia del tanque es igual a su rea transversal. Si sta es
constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.
Sistemas del nivel de lquido. Considere el sistema que aparece
en la figura Las variables se definen del modo siguiente:=
velocidad de fl en estado estable (antes de que haya ocurrido
cualquier cambio),
= desviacin pequea de la velocidad de entrada de su valor en
estado estable, = desviacin pequea de la velocidad de salida de su
valor en estado estable, = altura en estado estable (antes de que
haya ocurrido un cambio), m = desviacin pequea de la altura a
partir de su valor en estado estable, m Como se seal antes, un
sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujo
sea turbulento, el sistema puede linealizarse si los cambios en las
variables se mantienen pequeos. A partir de la suposicin de que el
sistema es lineal o linealizado, la ecuacin diferencial de este
sistema se obtiene del modo siguiente. Dado que el flujo de
94
Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
trada menos el flujo de salida durante el pequeo intervalo de
tiempo dt es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque,
observamos que Cdh = dt y h se obtiene mediante A partir de la
definicin de resistencia, la relacin entre = La ecuacin diferencial
para este sistema para un valor constante de R se convierte en
Observe que RC es la constante de tiempo del sistema. Si tomamos
la transformada de en ambos miembros de la ecuacin y suponemos la
condicin inicial de cero, obtenemos + en donde Y se considera la
entrada y h la salida, la funcin de transferencia del sistema es .
Q,(s) Si, no obstante, rencia es + 1 =
=
Si
se toma como la salida, y la entrada es la misma, la funcin de
transfe-
Q,(s) en donde hemos usado la relacin =
+ 1
Sistemas del nivel de liquido con interaccin. Considere el
sistema que aparece en la figura 3-23. En este sistema interactan
los dos tanques. Por tanto, la funcin de transferencia del sistema
no es el producto de las dos funciones de transferencia de primer
orden. En lo sucesivo, slo supondremos variaciones pequeas de las
variables a partir de los valores en estado estable. Usando los
smbolos definidos en la figura 3-23, obtenemos las ecuaciones
siguientes para este sistema:
= h
(3-73)
Seccin 3-8 Sistema del nivel de liquido
95
Tanque 1
Tanque 2
+
Figura 3-23 Sistema del nivel de lquido con interaccin. Si
: velocidad de flujo en estado estable : nivel de lquido en
estado estable del tanque 1 nivel de lquido en estado estable del
tanque 2
se considera la entrada y
la salida, la funcin de transferencia del sistema es 1
+
+
+
+1
(3-74)
Es instructivo obtener la ecuacin funcin de transferencia de los
sistemas que interactan, mediante una reduccin del diagrama de
bloques. A partir de las ecuaciones obtenemos los elementos del
diagrama de bloques, tal como aparece en la (3-70) a Si conectamos
las seales de manera adecuada, podemos construir un diafigura Es
posible simplificar este diagrama de blograma de bloques, como el
de la figura Simplificaciones adicionales producen las ques, tal
como aparece en la figura y (e). La figura es equivalente a la
ecuacin (3-74). figuras mediante Observe la similitud y la
diferencia entre la funcin de transferencia que aparece la ecuacin
(3-74) y la que se obtuvo con la ecuacin (3-66). El trmino en el
denominador de la ecuacin (3-74) ejemplifica la interaccin entre
los dos tanques. en el denominador de la ecuacin (3-66) representa
la interAsimismo, el trmino accin entre los dos circuitos RC de la
figura 3-19.
Sistemas trmicos. Considere el sistema que aparece en la figura
Se supone que el tanque est aislado para eliminar las prdidas de
calor hacia el aire circundante. Tambin se supone que no hay
almacenamiento de calor en el aislamiento y que el lfquido del
tanque est perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura
estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir
la del lquido en el tanque y la del lfquido que sale.
98
Captulo 3
Modelado matemtico de sistemas
Figura 3-25 (a) Sistema trmico; (b) diagrama de bloques del
sistema.
Definamos: = temperatura en estado estable del lquido que entra,
= temperatura en estado estable del lquido que sale, G = velocidad
de flujo del lquido en estado estable, M = masa del lquido en el
tanque, kg c = calor especfico del lquido, R = resistencia trmica,
C = capacitancia trmica, = entrada del flujo de calor en estado
estable, Suponga que la temperatura del lquido que entra se
mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema
(el calor que proporciona el calefactor), cambia repentinaen donde
representa un cambio pequeo en el flujo de calor de enmente de
trada. El flujo de calor de salida cambiar, entonces, en forma
gradual, de a + h,. La a + Para este caso, Cy temperatura del
lquido que sale tambin cambiar de R se obtienen, respectivamente,
como = C = Mc
La ecuacin diferencial para este sistema es dt que puede
reescribirse como
Seccin 3-9
Sistemas trmicos
99
Observe que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o
MIG en segundos. La funcon se obtiene mediante cin de transferencia
que relacionaR + 1
en donde En la prctica, la temperatura del lquido que entra
puede fluctuar y actuar como una perturbacin de carga. (Si se
pretende mantener una temperatura de salida constante, puede
instalarse un controlador automtico que ajuste el flujo de calor de
entrada, con el propsito de compensar las fluctuaciones en la
temperatura del lquido que entra.) Si la a + en tanto que el
temperatura del lquido que entra cambia repentinamente de flujo de
calor de entrada H y el flujo de lquido G se conservan constantes,
el flujo de calor de salida cambiar de y la temperatura del lquido
que sale cambiar de a + La ecuacin diferencial para este caso
es
que puede reescribirse comodt
La funcin de transferencia que relaciona
y
se obtiene mediante 1+ 1
= y = en donde Si este sistema trmico est sujeto a cambios en la
temperatura del lquido que entra y en el flujo de calor de entrada,
en tanto que el flujo del lquido se conserva constante, el cambio
en la temperatura del lquido que sale se obtiene mediante la
ecuacin siguiente:RC- + dt = 8. + Rh.
La figura 3-25 (b) muestra un diagrama de bloques que
corresponde a este caso. Observe que el sistema contiene dos
salidas.
3-10
DE MODELOS MATEMTICOS
a que no consideramos los trminos de orden superior de la
expansin en series de Taylor, estos trminos no considerados deben
ser suficientemente pequeos; es decir, las variables slo se desvan
ligeramente de la condicin de operacin. A continuacin presentaremos
primero los aspectos matemticos de la tcnica de y despus
aplicaremos la tcnica a un sistema hidrulico de seguimiento a fin
de obtener un modelo lineal para el sistema.
A-3-9.
La figura muestra un diagrama esquemtico de un sistema de
suspensin de un automvil. Conforme el automvil avanza por un
camino, los desplazamientos verticales de las llantas como una
excitacin de movimiento para el sistema de suspensin del automvil.
El movimiento de este sistema consiste en un desplazamiento
traslacional del centro de la masa y un desplazamiento de rotacin
alrededor del centro de la masa. El modelado matemtico del sistema
completo es muy complicado.
de problemas y soluciones
113
Centro de masa
. Cuerpo del automvil Figura 335 (a) Sistema de sin de un
automvil; (b) sistema de suspensin simplificado.
Una versin muy simplificada sistema de suspensin aparece en la
figura Suponiendo que el movimiento en el punto es la entrada al
sistema y el movimiento vertical del cuerpo es la salida, obtenga
la funcin de transferencia (Considere el movimiento del cuerpo slo
en la direccin vertical.) El desplazamiento se mide a partir de la
posicin de equilibrio en ausencia de la entrada Solucin. La ecuacin
de movimiento para el sistema de la figura+ + = 0
es
o bien+ = +
Tomando la transformada de de cero, obtenemos
de esta ltima ecuacin, y suponiendo condiciones iniciales+ bs +
= (bs +
Por tanto, la funcin de transferencia
se obtiene mediantebs + k + bs + k
A-3-10.
Obtenga la funcin de transferencia del sistema de la figura
3-36. (Al igual que el sistema del problema A-3-9, sta es una
versin simplificada de un sistema de suspensin de un automvil 0 una
motocicleta.) Solucin. Aplicando la segunda ley de Newton al
sistema, obtenemos= = + +
Por tanto, tenemos que
114
Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
+
+ +
+ +
= =
+ +
+
Tomando la transformada de de cero, obtenemos
de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales= (bs
= (bs + +
+ bs + (k, + + bs
Eliminando
de las dos ltimas ecuaciones, tenemos+ bs + + bs bs + Y(s) = (bs
+ +
lo cual produce ++ + + + (m, + + +
Considere el circuito elctrico que aparece en la figura 3-37.
Obtenga la funcin de transferencia usando el enfoque de diagrama de
bloques.Solucin. Las ecuaciones para los circuitos son dt +1
= dt 0
(3-90)
dt +1
+2
(3-91)(3-92)
0
Figura 3-370
Circuito elctrico.
Ejemplo de problemas y soluciones
115
La transformada de de cero, producen
de las ecuaciones
(3-91) y
con condiciones iniciales
La ecuacin (3-93) se puede reescribir como
=La ecuacin (3-96) da el diagrama de bloques que aparece en la
figura (3-94) se modifica a=
(3-96) La ecuacin (3-97)
La ecuacin (3-97) da el diagrama de bloques que se muestra en la
figura Asimismo, la ecuacin (3-95) nos da el diagrama de bloques
que se muestra en la figura Combinando los diagramas de bloques de
las figuras (b) y (c), obtenemos la figura Este diagrama de bloques
se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las figuras de la
a (f). Por tanto, obtuvimos la funcin de transferencia del sistema.
[sta es igual a la que se obtuvo antes para el mismo circuito
elctrico. Vase ecuacin
Figura (a) Sistema mecnico; (b) sistema elctrico anlogo.
Tomando la transformada de de cero, tenemos
de estas dos ecuaciones y suponiendo condiciones iniciales
+
==
Si eliminamos Y(s) de las dos ltimas ecuaciones, obtenemos+ =2
2
o bien+ = + +2 2
X,,(s)
Por tanto, la funcin de transferencia
se obtiene como
Para el sistema elctrico de la figura
la funcin de transferencia
resulta ser
1
1+ + = + +
+ 1) + 1) +
Una comparacin de las funciones de transferencia demuestra que
los sistemas de la figura y (b) son anlogos.
118
Captulo 3
Modelado matemtico de sistemas dinmicos
A-3-13.
En el sistema del nivel de lquido de la figura 3-41, suponga que
el flujo de salida Q de la vlvula de salida se relaciona con la
altura m medianteQ= = 0.01
a travs
Tambin suponga que cuando el flujo de entrada es 0.015 la altura
permanece constante. En = 0, la vlvula de entrada se cierra por
tanto, no hay entrada para 0. Encuentre el tiempo necesario para
vaciar el tanque a la mitad de la altura original. La capacitancia
C del tanque es 2Solucin. Cuando la altura es estacionaria, el
flujo de entrada es igual a la de salida. Por tanto, la
altura
en
= 0 se obtiene a partir de 0.015 = 0.01
o bien= 2.25 m
La ecuacin para el sistema en t
0 es-CdH = Qdt
o bien
Qdt C
-0.012
Por tanto,= -0.005 dt
Suponga que, en
=
H = 1.125 m. Integrando ambos miembros de esta ultima ecuacin,
obtenemos (-0.005) dt = -0.009,
De aqu se sigue que1.125
=2.25
= -0.003,
o bien = 175.7
Por tanto, la altura se vuelve la mitad del valor original
(2.25
En 175.7 seg.
T
Figura 3-41
Q
Sistema del nivel de lquido.
Ejemplo de problemas y soluciones
119
A-3-14.
Considere el sistema del nivel de lquido de la figura 342. En
estado estable, los flujos de entrada y salida son y el flujo entre
los tanques es cero. Las alturas de los tanques 1 y 2 son En 0, el
flujo de entrada cambia de a + en donde es un cambio pequeo en el
flujo de entrada. Se supone que los cambios resultantes en las
alturas y y los flujos y son pequeos . Las capacitancias de los
tanques 1 y 2 son y respectivamente. La resistencia de la vlvula
que est entre los tanques es y la de la vlvula de salida es Obtenga
modelos matemticos para el sistema, cuando (a) es la entrada y la
salida, (b) es la entrada y la salida y (c) es la entrada y la
salida. Solucin. (a) para el tanque 1, tenemos quedh, = dt
en donde41
=
1
En consecuencia,+ =
(3-98)
Para el tanque 2, tenemos que = en donde41 = = 2
lo cual produce(3-99)1 1
Eliminando
de las ecuaciones (3-98) y+ + +
tenemos+ = +
En trminos de la funcin de transferencia, tenemos+
Q(s)
+
+
+
+
Tanque 2 Tanque 1
3-42
Sistema del nivel de lquido.
41
120
Captulo 3
Modelado
matemtico de sistemas dinmicos
ste es el modelo matemtico deseado, en el cual se considera la
entrada y sustitucin de = en la ecuacin (3-100) nos da+ + + + =
la salida. (b) La
+ es la
Esta ecuacin es un modelo matemtico del sistema cuando se
considera la entrada y salida. En trminos de la funcin de
transferencia, obtenemos+ 1 Q(s) + +
+
+
(c) La eliminacin de
de las ecuaciones (3-98) y (3-99) nos da+ + + + = es la salida.
En
que es un modelo del sistema en el que se considera la entrada y
trminos de la funcin de transferencia, obtenemos:Q(s) + + + + 1
A-3-16.
Considerando desviaciones pequeas de la operacin de estado
estable, dibuje un diagrama de bloques del sistema de calefaccin de
aire de la figura 3-44. Suponga que las prdidas de calor en el
medio ambiente y la capacitancia de calor de las partes de metal
del calefactor son insignificantes.
T
+
+ Figura 3-44 Sistema de calefaccin de aire.
Calefactor
122
Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
Solucin. Definamos = temperatura en estado estable del aire de
entrada, = temperatura en estado estable del aire de salida, G =
flujo de la masa del aire a travs de la cmara de calefaccin, M =
masa del aire que contiene la cmara de calefaccin, kg c = calor
especfico del aire, R = resistencia trmica, C = capacitancia trmica
del aire que contiene la cmara de calefaccin = Mc, = flujo de calor
de entrada en estado estable, kcallseg Supongamos que el flujo de
calor de entrada cambia repentinamente de a h y que la temperatura
del aire de entrada cambia repentinamente de a + En este caso, la
temperatura del aire de salida cambiar de a + La ecuacin que
describe el comportamiento del sistema es = [h + o bien e,)] dt
Considerando que Gc = obtenemos
o bien
Tomando las transformadas de tuyendo la condicin inicial de
que=
de ambos miembros de esta ltima ecuacin y susti= 0,
obtenemos+
El diagrama de bloques del sistema que corresponde a esta
ecuacin aparece en la figura 3-4.5.A-3-17.
Considere el sistema del termmetro delgado de mercurio con
paredes de vidrio de la figura 3-46. Suponga que el termmetro est a
una temperatura estable (temperatura ambiente) y que en = 0 se
sumerge en un bao a una temperatura + en donde es la temperatura
del bao (que puede ser constante o cambiante), medida a partir de
la temperatura ambiente Defina la temperatura instantnea del
termmetro mediante + de modo que sea el cambio en la temperatura
del termmetro que satisfaga la condicin de que = 0. Obtenga un
modelo matemtico para el sistema. Asimismo, determine un sistema
elctrico anlogo del sistema del termmetro.
Ejemplo de problemas y soluciones
123
bloques del sistema de calefaccin de aire de la figura
Bao
Figura 3-46
Sistema de termmetro delgado de mercurio con paredes de vidrio.
del modo siguiente: el calor que entra al termmetro durante dt seg
es dt, en donde es el flujo de calor hacia el termmetro. Este calor
se almacena en la capacitancia C del termmetro, por lo cual su
temperatura se eleva mediante Por tanto, la ecuacin de balance de
calor es = qdt Dado que la resistencia trmica R se escribe como
(3-107)Solucin. Se obtiene un modelo matemtico para el sistema,
considerando el balance del calor
El flujo de calor
se obtiene, en trminos de la resistencia trmica R, como R R + es
la temperatura del termmetro. Por tanto,
en donde + es la temperatura del bao y la ecuacin (3-107) puede
reescribirse como dt o bien
R
La ecuacin (3-108) es un modelo matemtico del sistema del
termmetro. Remitindonos a la ecuacin un sistema elctrico anlogo
para el sistema del termmetro se escribe como dt Un circuito
elctrico representado mediante esta ltima ecuacin aparece en la
figura 3-47.
124
Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
anlogo del sistema del termmetro que aparece en la figura 3-46.
A-3-18. Linealice la ecuacin no lineal z= en la regin 5 7,10 y 12.
Encuentre el error si se usa la ecuacin linealizada para calcular
el valor de z cuando = 5, y = 10. Solucin. Dado que la regin
considerada se obtiene mediante 5 7, 10 y 12, seleccione = 6, = ll.
Por tanto, = = 66. Obtengamos una ecuacin linealizada para la
ecuacin no lineal cerca de un punto = 6, = ll. Expandiendo la
ecuacin no lineal en series de Taylor alrededor del punto = y = sin
considerar los de orden superior, tenemos que z en donde = +
b(y
Por tanto, o bien
ecuacin linealizada es 66 = = llx + 6) + 66 66 = 49 49 = 1. En
trminos de porcentaje, En estado estable, el flujo de entrada Si el
flujo es turbulento, tenemos que ll)
Cuando
= 5, y = 10, el valor de z = llx + =
que proporcion la ecuacin linealizada es 66 = 55 + 60
El valor exacto de es el error es de 2%. A-3-19.
= 50. Por tanto, el error es 50
Considere el sistema del nivel de lquido de la figura es = el
flujo de salida es = la altura es
=
Figura 3-48 Sistema del nivel de lquido.
de problemas y soluciones
125
Suponga que en t = 0, el flujo de entrada cambia de = a = + Este
cambio provoca que la altura cambie de H = a H = h, y sta, a su
vez, provoca que el flujo de salida cambie de = a = + Para este
sistema, tenemos que
en donde C es la capacitancia del tanque. Definamos= = h, =
(3-109)
Observe que la condicin de operacin en estado estable es y H=
Dado que la operacin en estado estable = 0, tenemos que f(H, Q) =
0. Linealice la ecuacin (3-109) cerca del punto de operacin (H, Q).
Solucin.
Usando la tcnica de linealizacin que se present en la seccin
3-10, una ecuacin para la ecuacin (3-109) se obtiene del modo
siguiente: (3-110)
en donde= 0 K = 2CH RC
en la cual usamos la resistencia R definida mediante
Asimismo, 1 De este modo, la ecuacin (3-110) se escribe
comodt
(3-111) la ecuacin (3-111) se escribe comodh dt
Dado que H
h y que
o bien
126
Captulo 3
Modelado matemtico de sistemas dinmicos
