Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas

LISTA DE EJERCICIOS Nº 1 – MATEMÁTICA IV

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

I.- Hallar la Ecuación Diferencial Ordinaria para las

siguientes funciones:

1) 3 2 2( )x C x y

2) 2 2

1 2( ) ( ) 1x C y C

3) 22 /21

2 yy Cex

4) 1 2 3( ) xy C C x e C

5) 2

1 2 3

x x xy C e C e C e

6)1 2( ) ( )y C Cos x C Sen x

7)1 2( ) ( )ax axy C e Cos bx C e Sen bx

8)1 2( ( ) ( )) ( ( ) ( ))y C Cos x xSen x C Sen x xCos x

9) ( )xe

y x dx Cx

10)

2/3

1 22

xey C x dx C x

x

II.- Verificar si la siguiente función es solución de la

ecuación diferencial dada:

1) 2 2 6 10 34 0x y x y ; 3

5

dy x

dx y

2) ( )x yLn Cy ; '( )y x y y

3) 1 2

1 2

x xy C e C e

;

1 2 1 2'' ( ) ' 0y y y

4) ( / )y Ln x y ; 2( ) '' ( ') ' 2 ' 0xy x y x y yy y

5)( ) ( ( ))

( ) (1 ( ))

x a Sen

y a Cos

,

2(1 ( ') ) 2 '' 0y yy

6) 22

( ) ( )

( ) 12

x t t ArcSen t

ty t t

, ' ( ')x y ArcSen y

7) 2

0( )

xtyLn y x e dt ;

22(1 ( )) '' ( ') 2 xLn y y y xye

8) 2( 1)ky x x ; 2 2(1 ) '' ' 0x y xy k y

9) 1

2 2 20( )

( )

dxx t

x t

; 2 2

1'( ) 3 ( ) 0

(1 )tx t x t

t

10) 0

1( ) ( )

x

y R t Senhk x t dtk

; 0k

2 2(1 ) '' ' 0x y xy k y

III.- Resolver:

1)

2

(1 ) ' 0( )

y yy e y

xLn x

2) 2 2( 2 ( ) ( )) (2 ( ) ) 0xy xyLn y yLn y dx x Ln y x dy

3) 6 5 4 3 2 2 3( 2 2 4 ) ( 4 ) 0x x x y x y dx xy x dy

4) ( ) ( ) 1dy

x y Ln x ydx

5) 1

1

x ydy

dx x y

6) 22 2y y y y

xSen xTg yCos ySec dxx x x x

2 0y y

xCos xSec dyx x

IV.- Resolver:

1) 2 2 2 22 '( 2 ) 0ax bxy cy y bx cxy fy

2) 3 2 22( ) 0y dx x xy dy

3) 2 4( 1) 2 0y y x y dx xdy

4) x y x ydy

dx x y x y

5)

2

3 5

15

dy x y

dx x y

6) (1 )

(1 )

dy x xy

dx y xy

V.- Resolver:

1)2 2

ydy ydxxdx ydy

x y

2) / /( ) (1 / ) 0x y x yx e dx e x y dy

3) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0xCos y ySen y dy xSen y yCos y dx

4) [ ( ) ( )]nCos nx my mSen mx ny dx

[ ( ) ( )] 0mCos nx my nSen mx ny dy

5) /

22 2

1( )

x yeydx xdy

yy y x

2 2 2 2

0( )(1 )

xdx ydy

x y x y

6) 2 2

1 1 0( ) ( )

y xdx dy

x y x y

VI.- Resolver:

1)2 2(1 ) ( 1 ( ) )y dx y Sen y xy dy

2) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0Sen x Sen y tg x dx Cos x Cos y dy

3)1

( ) ' (1 ( )) (2 ( )) 02

xLn x y Ln x y x Ln x

4) ' ( ) ( ) 0y Sen y xCos y x

5) ' 3 4 yxy xe

6) 1

0( ) ( )x d n x , 0n

VII.- Resolver:

1) 33 (1 ( ) 3 ( ))xdy y xSen x y Sen x dx

Lic. Segundo Oscar Minaya Salinas

2) 2'( )

'( )

x y yy

x

3) 1/2

2 2

2 4' ( )

1 1

xy y ArcTg x y

x x

4)2 3' ( )xy y y xCos x

5) 2 2( ) ( )

( ) ( )

dy y Sen x yCos x

dx Sen x Cos x

6) 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) 1 (3 )3 '

( )

x a x x ay y

x x a y x a

VIII.- Resolver:

1) 2

1'

( ')y xy

y

2) ' 'y xy ay

3) '3'

2

yy xy e

4) ( ') ( ')y xSen y Cos y

5) ' 'y mxy ay b

6) 2' 1 ( ') ( ')y xy y ArcCos y

7) 2( 1 ( ') ) 0y y dx xdy

8) 3( ') ' 2 0y xy y

9) 22( ') ' 2 0y xy y

10) 2 2' ( ) ( ') ( )y y Tg x y Sec x

IX.- Resolver:

1) 2(1 2 ) (1 )y x x y x y , ( ) 1x

2) 2 2 32 1y xy x y x x , ( ) 1x x

3) 2 2' x x xy e ye e y , ( ) xx e

4) 2 3 2' 8 4 (4 1) (8 4 1)y xy x x y x x

( )x x

5) 2 2 21( ) ( ) 0

( ) ( )

dySen x y y Cos x

dx Sen x Cos x

( ) ( )x Ctg x

6) 2

2

( )( ) 2

( )

dy Sen xy Sen x

dx Cos x ,

1( )

( )x

Cos x

X.- Resolver:

1) '' ' ( ' / )xy y Ln y x

2) 2(1 ( ') ) 1x y

3) 3( ') ( 2) 0yy x e

4)

2

2 '( '') ' '''

yy y y

x

5) 4 3 2( ') ( 2 1)( ') ( 2 2 )( ') 2 ' 0y x y y x y xy y xyy

6) 2 2 2( ) '' (1 ( ') )( ' )x y y y xy y

7) 2(1 ( )) '' (1 ( ))( ') 0y Ln y y Ln y y

8) 2( '' ') ( ( ) ) ' (2 ( ))xy y e Cos x x y x Sen x y

2 ( )x Sen x

9) 2 ( )( ( ) 2 ')y Cos x Cos x yy

2 ( )( ( ) 2 ') 4 ' ( )ySen x Cos x yy yy Cos x

10) 3

2 3 2

2''' 3 ' '' 2( ') ( '' ( ') )

y yy y yy y y yy y

x x

XI.- 1) Demuestre que

32 2

22

d y d x dx

dy dydx

y usando

esta igualdad resuelva

32

2( ) 0

d x dxSen x

dy dy

2) Demuestre que la ecuación no separable

[ ( ) ( )] ( ) 0F x yG xy dx xG xy dy se convierte

en separable haciendo u xy .

3) Demuestre que 2 2

2 2

( 1)

( 1)

dy y y x

dx x y x

se puede

resolver transformándola a coordenadas polares.

4) Probar que una condición necesaria y suficiente

para que la siguiente ecuación sea exacta:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy es

que 1 2( ) ( )g y dx f x dy sea una diferencial

exacta.

5) Muestre que 5 22

3 3

3 3

2 2

dy x yx

dx x y y

se puede resolver

haciendo px u ,

qy v y escogiendo las

constantes adecuadamente.

6) Demuestre que la ecuación de la forma

( ) ( ) 0p q r sx y ydx xdy r y dx xdy , tiene

un factor integrante de la forma a bx y donde a y

b se escogen de forma adecuada.

7) Si / /P x Q y y / /P y Q x demuestre

que la ecuación ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy no es

exacta, pero se hace exacta si se multiplica por 2 21/ ( )P Q .

8) Demuestre que si u y v son 2 factores integrantes

distintos de la ecuación ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

entonces su solución general es u cv , 0c .

9) Demuestre que si ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy es

exacta y homogénea entonces su solución

( , ) ( , )M x y x N x y y c .

10) Muestre que la ecuación ' ( ) ( ) ( )y P x y Q x yLn y

puede resolverse haciendo ( )u Ln y .

11) Demuestre que ' ( ) ( ) ( ) ( )y P x F y Q x G y se

puede reducir a una ecuación lineal haciendo

( )/ ( )u F y G y o ( )/ ( )u G y F y siempre que

( ' ')FG GF

G

o

( ' ')FG GF

F

sea una constante.

12) Demuestre que la ecuación de la forma 2' ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x puede ser resuelta

haciendo ( ) ( ) 1/ ( )y x x z x , donde ( )x es

una solución de la ecuación.