Lista Ejercicios Algebra Lineal

Instituto Tecnológico de Tepic

Departamento de Ciencias Básicas

Álgebra LinealLista de Ejercicios Unidad II

Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios de manera correcta según se indique.

Operaciones con Matrices

1.- Sean , , y

. Realice las siguientes operaciones.

a) 3C+ AB – 3CT b) (A+BT) AT c) 2BA – 3D

d) 2ATBT – 3D e) (5DTB)T + 3A f) CA – 2(DB)T

2.- Sean , ,

a) Encuentre una matriz E tal que 3C – 2B + 8A – 4E es la matriz cero de 3 x 3.

b) Encuentre una matriz E tal que A + 2B + E – 3C sea la matriz 3 x 3 cuyos elementos todos son 1.

3.- Considere el siguiente grafo que une los cuatro puntos de la figura. Construya una matriz 5 x 5 quetenga la propiedad de que si el punto i no está conectado (unido por una línea) con el punto j y

si el punto i está conectado con el punto j. Esta matriz se llama, en teoría de grafos, matriz deincidencia.

4.- Sean A y B matrices n x m. Demuestre que

Prof. Timoteo Talamantes Rosales Semestre Enero / Junio 2015 1/5

1

2

3

4

5




5. Realice los siguientes productos

a) b) c)

d) e) f)

6. Realice los dos productos internos y el producto matricial.

, y

El primer producto da la longitud del vector (al cuadrado).

7.- Encuentre la matrices A y B 2 x 2 tales que y . Multiplícalas para obtener ABy BA.

8.- Dé dos ejemplos de matrices 3 x 3 (diferentes a la matriz cero) de a) Una matriz diagonal: si .b) Una matriz simétrica: .c) Una matriz triangular: si .d) Una matriz antisimétrica: .

9.- Falso o verdadero. Dé un contraejemplo específico cuando sea falso.a) Si las columnas 1 y 3 de B son iguales entonces las columnas 1 y 3 de AB son iguales.b) Si las filas 1 y 3 de B son iguales entonces las filas 1 y 3 de AB son iguales.c) Si las filas 1 y 3 de A son iguales entonces las filas 1 y 3 de AB son iguales.d) .

10.- Por prueba y error encuentre ejemplos de matrices 2 x 2 tales que:a) .b) .c) (no considere el caso )d) (no todas las entradas de E y F son cero).

11.- La matriz de rotación en el plano XY por un ángulo es:

Verifique que , utilice las identidades para y . ¿Cuál esel resultado de ?





12.- Encuentre las potencias A2, A3, B2, B3, C2 y C3. ¿Cuál es el resultado de Ak, Bk y Ck?

, y

13.- Si y , Calcule ATB, BTA, ABT y BAT.

14.- Si B es cuadrada, muestre que es siempre simétrica y es siempre

antisimétrica ( ). Encuentre estas matrices A y K cuando y escriba B como la

suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

15.- Verifica que y .

Determinantes

16.- Calcule los siguientes determinantes, para determinantes 3 x 3 utilice los tres métodos, de formadirecta, por cofactores y reduciendo el determinante a una triangular.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

l) m)





17.- Una matriz A se llama ortogonal si . Demuestre que si A es ortogonal, entonces.

18.- Demuestre que si A es nilpotente, entonces .

19.- La matriz A se llama idempotente si . ¿Cuáles son los valores de A para det A si A esidempotente?

Inversa de una Matriz

20.- Encuentra las inversas (directamente) de A, B y C.

, y

21.- Determine si la matriz dada es invertible. De ser así, calcule la inversa, por dos métodos, reduciendo almatriz aumentada [ A | I ] y por el método de la adjunta.

22.- a) Si A es invertible y pruebe que .

b) Si encuentre un ejemplo con pero .

23.- Si la inversa de muestre que la inversa de A es AB.

24.- Bajo qué condiciones en las entradas A y B son invertibles.

25.- ¿Cuáles son los tres valores de c que hace que la matriz A no sea invertible?





26.- ¿Para qué valores de la matriz no tiene inversa?

27.- Sea un número real. Demuestre que es invertible y encuentre su

inversa. Esta matriz, es la matriz de rotación respecto al eje Z en un ángulo .

28.- Suponga que los tres sistemas de coordenadas , y son dadas, y supongaque

;

Encuentre la matriz sabiendo que .

29.- Si U es triangular superior entonces es triangular _____________________.


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