Universidad de ConcepciónFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasDepartamento de Matemática

Listado 1Algebra y Trigonometría (527103)

1. Sabiendo que la proposición p → q es falsa, determine el valor de verdad de lassiguientes proposiciones.a) ∼ q → (∼ p) b) ∼ (∼ p ∨ q) c) [p ∧ (p→ q)]→ q

2. Determine el valor de verdad de la proposición compuesta (p∧ q)→ q, sabiendo queq es falsa. Justifique.

3. Decidir si las siguientes proposiciones son tautologías, contradicciones o contingen-cias:a) ∼ (p→ q)↔ (∼ p ∨ q)c) (p ∧ q)→ (p ∨ q)e) p→ [q → (q → q)]

b) (p→ q)→ [(p ∧ r)→ (q ∧ r)]d) (p ∧ q)→ qf) (p→ (q ∧ r))→ (p→ q)

4. Demuestre las siguientes implicaciones(o equivalencias) lógicas. Para las implica-ciones, escriba los condicionales contrario, recíproco y contrarecíproco.a) p⇒ (p ∨ q) b) (p ∧ q)⇒ pc) [p ∧ (p→ q)]⇒ q d) [(p→ q)∧ ∼ q]⇒ (∼ p)e) (p→ q)⇒ [(q → r)→ (p→ r)] f) [(p→ q) ∧ (q → p)]⇔ (p↔ q)

5. Considere las proposiciones:

p : (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)((x− 1) · (y + 5) = 0)

q : (∀x ∈ {−1/2,−1, 2, 3})(x2 + x ≥ 0)

r : (∀s, t)([(s ∨ t) ∧ (∼ s)]⇒ t)

s : (∀a, b ∈ R)(a < b⇒ a2 < b2)

a) Niegue cada proposición.

b) Determine su valor de verdad. Justifique cada una de sus afirmaciones.

6. Considere los conjuntos A = {x ∈ R : x2 − 1 = 0}, B = {x ∈ Z : −4 < x < 4} yC = {x ∈ N : x < 6}. Si el universo es el conjunto de los números reales, determine:a) A∩B b) B∪C c) A×C d) Ac∩C

7. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su afirmación:

a) ∅ ⊆ {1, 2}c) {a} ⊆ {∅, {a}}e) ∅ ∈ {a}g) {a, b} = {∅, a, b}i) {a, b} = {b, a}.

b) {a, b} ⊆ {a, {a, b}, b}d) {a} ∈ P ({a, b, c, d})f) a ∈ {∅, {a}}h) {a} ∈ {∅, {a}}

8. Sean A,B,C conjuntos cualquiera no vacíos. Demuestre que:

1. A ∩B = B ⇔ B ⊆ A

2. B = (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B)⇔ A = ∅

3. (A−B) ∪ (A ∩B) ∪ (B −A) = A ∪B

4. (A−C) ∪ (B −C) = (A ∪B)−C

5. A ⊆ B ⇔ P (A) ⊆ P (B)

6. P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)

7. P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪B)

8. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A×C)

9. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A×C)

9. Sea n ∈ N y An = {x ∈ R : 1 − 1

n≤ x ≤ 1 + 1

n}. Determine A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10.

¿Tiene Ud. una idea intuitiva de cuál sería el conjunto intersección si consideramosun número infinito de conjuntos Ai?.

10. Determine todas las particiones posibles para el conjunto A = {a, b, c, d}.

11. Una encuesta de opinión sobre las preferencias por los candidatos a presidente dela FEC, identificados como X,Y y Z, dió los siguientes resultados: 30 encuestadosprefieren a X, 35 encuestados prefieren a Y , 100 encuestados prefieren a Z, 15encuestados prefieren a Y y X, 15 encuestados prefieren a X y Z, 20 encuestadosprefieren a Y y Z, y 5 encuestados prefieren a los tres candidatos.Determine cuántos electores fueron encuestados.

12. Suponga que 500 personas fueron encuestadas acerca de sus preferencias a la hora decomprar una casa. 250 personas prefieren el estilo clásico, 180 las casas coloniales,205 el estilo moderno. De las 500 personas sólo 30 prefieren los tres tipos de casas.¿Cuántas personas, en total, prefieren dos y sólo dos estilos de casas?

13. Al encuestar a 885 turistas acerca de sus gustos por los estilos arquitectónicos pre-sentes en Europa, se obtuvo la siguiente información:

1. 600 gustan del estilo neoclásico

2. 400 gustan del estilo barroco

3. 620 gustan del estilo deconstructivista

4. 195 gustan del neoclásico y del barroco

5. 190 gustan del estilo barroco y del deconstructivista

6. 400 gustan del estilo neoclásico y el deconstructivista

y todos los turistas se inclinan, al menos, por uno de los tres estilos. Determinarcuántos de los encuestados gustan de los tres estilos arquitectónicos.

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