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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCIONFACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS (DMFA)

LISTADO II

CALCULO III (IN1009C)

1. Sea f : R2 R la funcion definida por:

f(x, y) =

3x2y 2x3x2 + y4

Si (x, y)= (0, 0)

0 Si (x, y) = (0, 0)

a) Estudiar la continuidad de f en(0, 0) y en(1, 2).

b) Estudiar la diferenciabilidad def en(0, 0) y en(1, 2).

c) Calcular, si existen,f

u(0, 0) y

f

u(1, 2), donde u tiene la direccion del vector(1, 1).

d) En que direccion es maxima la derivada direccional de fen el punto(1, 2)?, Cual es el valorde ese maximo ?.

e) Calcular, si existen, la aproximacion afin de fen una vecindad de (0, 0) y la aproximacion afinde fen una vecindad de (1, 2).


f(x, y) =

x2y

(x2 + y2)3

2 +|x| Si (x, y)= (0, 0)

0 Si (x, y) = (0, 0)

a) Es fcontinua en (1, 1)?b) Es fdiferenciable en (1, 1) ?c) Determinar, si existe, la J(f, (

1, 1)).


f(x, y) =

2x Si x= y

0 Si x= y

a) Determine si f es continua en(0, 0)?

b) Demuestre que la derivada direccional de fen el origen(0,0) en la direccioni +j es 22

.

c) Es la funcion diferenciable en (0, 0) ?


f(x, y) =

x2y

x2 + y2 + 4x 5y+ 6 Si (x, y)= (0, 0)

6 Si (x, y) = (0, 0)

a) Calcular f

xy f

yen todo su dominio.

b) Analizar la diferenciabilidad def en todo R2.

c) Calcular la ecuacion del plano tangente a la superficie z =f(x, y)en el punto(x0, y0) = (0, 0).

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5. Hallar el gradiente def, en el punto indicado

(5.1) f(x,y,z) =x2 + y2 + z2, P(1, 4, 2)

(5.2) f(x, y) = ln 3x2 + y2, P(1, 2)

(5.3) f(x,y,z) =xeyz , P(1, 4, 2)

(5.4) f(x+ y, x y) = xy + y2, P(4, 2)(5.5) f(x y z, y x z, z x y) =xy + y2 + yz, P(2, 2, 2)(5.6) f(x+ y, x

2y+ z, 3x

2z, w

1) = xyz+ z, P(1, 2, 1,

2)

6. En cada ejercicio calcular Dfen el punto Ppara la cual es un vector unitario en la direccion dePQ

(6.1) f(x,y,z) = ln(x + y+ z), P(1, 0, 0); Q(4, 3, 1)

(6.2) f(x,y,z) =x2 + y2 + z2, P(1, 1, 1); Q(7, 8, 0)

(6.3) f(x, y) =ex cos(y) + ey sin(x), P(1, 0); Q(3, 2)(6.4) f(x, y) =x2 + xy+ y2, P(1, 2); Q(1, 3)

7. Para las siguientes funciones, hallar la derivada direccional en el punto P segun la direccion que seindica:

(7.1) f(x, y) =x + 2xy

3y2, P = (x0, y0) = (1, 2), u= (3, 4).

(7.2) f(x, y) = ln(x2 + y2), (x0, y0) = (1, 0), u=

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(2, 1).

(7.3) f(x, y) =excos(x), (x0, y0) = (0,1), u= (1, 2).(7.4) f(x, y) =xy2 + x3y, (x0, y0) = (4,2), u= (1, 3).(7.5) f(x,y,z) =x2y+ xzey xyez, P = (x0, y0, z0) = (2, 3, 0), u= 13(1,2, 1).

(7.6) f(x,y,z) =

x

y

z, P = (x0, y0, z0) = (1, 1, 1), u= (2, 1,1).

8. Una hormiga en una sarten quiere aliviarse rapidamente del calor. Su posicion con respecto al centroes (x, y) = (1, 2). La temperatura en (x, y) esta dada por T(x, y) = 200 x2 2y2. Haciadonde debe correr ?.

9. La ecuacion de la superficie de una montana es z = 1200 2x2 3y2 donde la distancia se mideen metros, el eje x apunta hacia el norte y el eje y hacia el oeste. Un montanista se encuentra en elpunto A(5,10, 850).

(9.1) Cual es la direccion de la ladera mas pronunciada?

(9.2) Si el montanista se desplaza en direccion norte, asciende o desciende? y a que raz on?

(9.3) Si el montanista se desplaza en direccion sureste, asciende o desciende? y a que razon?

(9.4) En que direccion recorre una trayectoria de nivel?

10. La distribucion de temperatura de una placa metalica viene dada por la funcion T(x, y) = xe2y +y3ex.

(10.1) En que direccion aumenta la temperatura mas rapidamente en el punto (2, 0)?. Cual es elcoeficiente de variacion ?.

(10.2) En que direccion decrece la temperatura mas rapidamente?.

11. Sea Tgrados la temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa metalica. En el punto P(3, 2)la temperatura crece a razon de 2

5 grados por decmetros en la direccion de P hacia Q(4, 4) y

disminuye 1 grado por decmetro en la direccionj. Halle:(11.1) El gradiente de Ten el punto (3,2).

(11.2) En que direccion la temperatura aumenta lo mas rapido posible en el punto (3, 2) ?

(11.3) En que direccion la temperatura permanece constante en el punto(3, 2)?

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12. Determinar los valores de los parametrosa,by c para que la derivada direccional de la funci on

f(x,y,z) =ax2z+ byz3 + cx2y2

alcance el valor maximo de 25 en el punto P = (1, 1, 2) segun una direccion paralela al eje OX.

13. En que direccion de z =

25 x2 y2 en el punto P = (1, 2) es mnima y cual es su valor.

14. En que direccion es nula la derivada de f(x, y) =x2 y2x2 + y2

en el punto P = (1, 1).

15. Sea f una funcion real definida en IRn por f(x) = x4.(15.1) Calcular la derivada direccional de fen la direccion dev. ( Observacion : fv(x) )

(15.2) Si n = 2, hallar todos los (x, y) para los que f(x,y)(2, 3) = 6

16. Considere la funcion f(x,y,z) =zex sin y, calcule la derivada direccional de fen u= (ln 3, 32 , 3)

en la direccion(1, 2, 2).

17. Dada la funcion f(x,y,z) = ln(x2+y2)+ez y los puntos P(0, 1, 0),P(4, 2, 3), Hallar Dvf(P),donde

(17.1) v es un vector unitario en la direccion P P.

(17.2) v

es un vector unitario talqueD

vf(P)

es un maximo.18. Hallar Duf(1, 1) si f(x, y) = 4 (x2 + y2) en las direcciones de los ejes coordenados.19. Pruebe que la funcion

f(x, y) =

xy2

x2 + y4 Si (x, y)= (0, 0)

0 Si (x, y) = (0, 0)

tiene derivada direccional en cualquier direccion u en el punto (0, 0), y que sus derivadas parcialesexisten en(0, 0) y que fno es continua en (0, 0).

20. Determine las derivadas parciales de la funcion

f(x, y) =

xyx2 + y2

Si (x, y)= (0, 0)

0 Si (x, y) = (0, 0)

en(0, 0) Son continuas en (0, 0). Luego determine la derivada.

21. Sea f(x, y) = 3x2y4 12x6 + 2xy5. Verifique que x fx

+ yf

y= 6f(x, y).

22. Verifique que la funcion

f(x, y) =

xy

x2 + y2Si (x, y)= (0, 0)

0 Si (x, y) = (0, 0)

es continua pero no es diferenciable en (0, 0).

23. Suponga que las funciones siguientes son diferenciables en el punto p. determine la ecuacion del planotangente de la grafica de fen el punto dado.

(23.1) f(x, y) = 3x + 8y 10, p= (a, b)(23.2) f(x, y) =x3 + 8y3, p= (0, 0)

(23.3) f(x, y) = (x2 + y2)e(x2+y2), p= (0, 0)

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(23.4) z =x2 + 4y2 , p= (2,1, 8)(23.5) x= e2yz , p= (1, 1, 2)

24. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 la que es paralelo al plano3x + 8y 5z = 10.

25. Probar que las superficies3x2 + 2y2 2z = 1, x2 +y2 +z2 4y2z +2 = 0 son perpendicularesen el punto (1, 1, 2).

26. Hallar una constanteCpara que, en todo punto de la interseccion de las esferas (x

C)2+y2+z2 = 3;

x2 + (y 1)2 + z2 = 1 los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares.27. Encontrar la ecuacion del plano que pasa por (2, 1,2)y es paralelo al plano tangente a la superficie

x2 + y2 + z2 = 12 en (2,2, 2).28. Encontar la ecuacion de la recta tangente a la curva de interseccion del plano 6x + 3y+ 2z = 5 con

el cono z2 = 4x2 + 9y2 por el punto(2, 1,5).29. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3x2 8xy+ 5y2 en el punto en que la

recta normal tenga por vector paralelou= (1, 0, 2).30. Determine el plano tangente y la recta normal a la superficiex2+xyzz3 = 1en el punto P0(1, 1, 1).31. Las superficiesx2 + y2 z2 = 1y x + y + z+ = 5 se cortan segun la curva C. Hallese la tangente

a Cen el punto P0(1, 2, 2).

32. Escrbanse las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z = 9 x2 y2 en elpunto P0(1, 2, 4).

33. Muestre que si u= fxy, xyx2+y2

con fdiferenciable, entonces x u

x+ y u

y = 0.

34. Sea w = f(x, y) donde fes de clase C2, x = u + v, y = u v. Muestre que :2w

uv=2w

x2

2w

y2.

35. Sea z = f(u, v) donde fes de clase C2, u = ax+ by, v = cx+ dy, y a,b, c, d son constantesreales. Muestre que:

2zx2

= a2 2zu2

+ 2ac 2zuv

+ c22zv2

36. Demostrar que la funcion z =(x2 + y2) satisface la ecuacion yz

x xz

y= 0.

37. Si w(x,y,z) = xn ( yx

, zx

), donde es una funcion diferenciable, comprobar que

x ux

+ y uy

+ z uz

=n u.

38. Si z = f(x y)

y, probar que z+ y

z

x+ y

z

y= 0.

39. Dada la funcion u(x, y) =xyf

x + y

xy

, siendo farbitraria, demostrar que:

x2u

x y2u

y= (x y) u.

40. Comprobar que f(x, y) = cos 2x+y2xy verifica la identidad x

f

x(x, y) + y

f

y(x, y) = 0.

41. Si la funcion w= f

xy

x2 + y2

es diferenciable, comprobar que x

w

x+ y

w

y= 0.

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52. La ecuacion 2f

t2 = a2

2f

x2, se conoce como ecuacion de la Cuerda Vibrante . Pruebe que las

siguientes funciones satisfacen tal ecuacion.

(52.1) f(x, t) = (x + at)2ex+at

(52.2) f(x, t) =

x at(52.3) f(x, y) =exat cos(x at)(52.4) f(x, t) =A cos[m(x + at)] + B sin[n(x at)],A,B,m,ny a constante(52.5) f(x, t) = (x

at)2 + (x + at)2

(52.6) f(x, t) =(xat) +(x+at), donde y son funciones de variable real dos veces derivable.

53. La ecuacion 2f

t= a2

2f

x2 = 0 , se conoce como ecuacion unidimensional del Calor . Pruebe

que las siguientes funciones satisfacen ecuacion.

(53.1) f(x, t) = sin

nx

L

e

(n22a2)t

L2

(53.2) f(x, y) = sin(kx)ek2t

a

54. Calcular

z

x ,

z

y , siz

=f

(u, v

),u

=exy

,v

=x2

y2.

55. Sea w = f(u, v) con u(x,y,z) = xy

, v(x,y,z) = yz

. Calcularw

x, w

y,w

z.

56. Siendo z = lnxy

arcsin y

x

, x= e2t + 1,y = e2t + 1, Hallar la derivada dz

dt .

57. Calcular d(f h)

duen los siguientes casos:

(57.1) f(x, y) =exy cos(xy2), h(u) = (cos u, sin u).

(57.2) f(x,y,z) =xz + yz + xy,h(u) = (eu, cos u, sin u), cuando u = 1.

58. Se consideran las funciones f(t) = (t, t2, et)y g(x,y,z) =x2 + y2 + z2. Calcular las derivadas de

las funciones compuestas f g y g f.59. Seanfyg las funciones: f(x, y) = (ex+2y, sin(y + 2x)), g(u,v,w) = (u+ 2v2 + 3w3, 2vu2).

Calcular D(f g)(1,1, 1).60. El sistema

x + y = uvxy =u v

define ax e y como funciones implicitas de u y v. Pruebe que x

u= xv1

xy si x=y y halle formulas

analogas paray

v, x

vy y

v.

61. Sea T : R2

R2, definida por T(x, y) = (x, y), donde x= u, y =uv.

(61.1) Mostar que la aplicacion Tno posee inversa.

(61.2) Mostar que Tes localmente invertible en vecindades del punto (1, 1), con inversa T1 diferen-ciable y que en cualquier vecindad del punto(0, 1) la aplicacion Tno es inyectiva.

62. Mostar que cerca del punto(x0, y0, u0, v0) = (1, 1, 1, 1) se puede resolver el sistema : xu + yu2v = 2xu3 + y2v4 = 2

de manera unica para u = u(x, y)y v = v(x, y). Calcularu

x, u

y, v

xy v

yen(1, 1).

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63. Probar que cerca del punto(x0, y0, z0, u0, v0) = (1, 1, 0,

2, 0) se puede resolver el sistema:

x2 y cos(uv) + z2 = 0x2 + y2 sin(uv) + 2z2 2 = 0xy sin(u) cos(v) + z = 0

de manera unica para x, y e z como funcion de u y v . Ademas, encontrarx

v(

2, 0).

64. Mostar que el sistema

x2 y2 + u2 + 2v2 5 = 0x2 + y2 u2 v2 + 4 = 0

define implicitamente a u = u(x, y) y v =v(x, y), con u(0, 1) = 2 y v(0, 1) =1. Encontrar lasdiferencialesDu(0, 1)y Dv(0, 1) y la derivada parcial de segundo orden

2v

x2 en(0, 1).

65. Considere la funcion F(x, y) = (x3 2xy2, x + y) definida en todo R2 y el punto X0 = (1,1).(65.1) Probar que Fes invertible en una vecindad del X0.

(65.2) Calcular J(F1; F(X0)).

(65.3) Hallar la aproximacion afin para F1 en vecindades de F(X0).

66. Considere la F : R2 R2 definida por F(x, y) = ((x y)2, x2

y) , y= 0.

(66.1) Probar que Fadmite inversa local en una vecindad de U0 de(1, 1).(66.2) Sea F1 : V0 R2 R2, donde (x, y) = (g(u, v), h(u, v)) son las componentes de la

inversa local de F, calcular la razon de cambio de h en (4, 1) en la direccion del vector2i j.67. Si u, v dependen de x e y en el sistema de ecuaciones

u + v = 0u yv = 0

Calcule

v

x ,

u

y .

68. Dado el sistema de ecuaciones u v =x + yu + v =x y

define funciones implicitas u = u(x, y), v =v(x, y), x = x(u, v),y =y(u, v), las cuales se pueden

hacer explicitas. Obtenga u

x, u

y.

69. Dado el sistema u + v =xu2 yv = 0

(69.1) Determinar la o las condiciones, en terminos de la variable x, y , u y v permiten asegurar que lasvariablesu y v , se pueden escribir como funciones de las variables x e y .

(69.2) En el punto (x,y,u,v) = (0, 1, 0, 0). Hallaru

x(0, 1),

v

y(0, 1).

70. Se considera la funcion u(x, y) = eyx g

x+yxy

, siendo g : IRIRuna funcion de clase C(1).

(70.1) Demostrar que xu

x+ y

u

y

(70.2) Sig(3) = 0,g(3) = 1, demostar queu(x, y) = 0define implcitamente una funciony = (x)en un entorno del punto (1, 1

2). Calcular (1).

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71. Se define la funcionf(x, y) = g(x, y)

x + y, donde g C(1)(IR2)es una funcion. Sabiendo que el punto

(1, 1)pertenece a la curva de nivel cero de g y que gy(1, 1)= 0. probar que la ecuacionf(x, y) = 0define implicitamente una funcion y = (x) en un entorno del punto (1, 1) y calcular (1, 1).

72. Calcular las derivadas parciales de la funcion z = f(x, y) definida implicitamente por la ecuaciony2 + xz+ z2 ez c= 0.

73. Supongamos que el sistema de ecuaciones

2x =v2 u2y = uv

Permite definir las funciones : u= u(x, y), v =v(x, y), calcularu

x, u

y, v

x, v

y.

74. Dado el sistema de ecuaciones x2 + y2 + u2 + v2 = 4xyuv = 1

hallar:

(74.1) Las expresiones de du, dv .

(74.2) El valor de xz

x yz

y, siendo z = (u + v)2.

75. Considere el sistema de ecuaciones: x2 xu v2 = 0y2 yv u2 = 0

(75.1) Usar el Teorema de la funcion implicita para determinar que condicion debe cumplir una solucion(x0, y0, u0, v0) para que el sistema defina de manera unica a u = u(x, y) y v = v(x, y) comofunciones de claseC(1) en vecindades de (x0, y0, u0, v0) .

(75.2) Considerando (x0, y0, u0, v0) = (1, 1, 1, 0) , usar el Teorema de la funcion implcita y el Teorema

de la funcion inversa para verificar que la aplicacion G(x, y) = (u(x, y), v(x, y))admite inversalocal unica de clase C(1) en vecindades del punto (1, 1).

76. f : IR2 IR2 la funcion definida por f(x, y) = (x + 2y, x y).(76.1) Averiguar si satisface las hipotesis del teorema de la funcion inversa.

(76.2) Hallar Inf.

(76.3) Comprobar que f tiene inversa global, encontrar f1

77. Se considera la funcion f : IR2 IR2 definida por f(u, v) = (eu + ev, eu ev). Probarf es localmente invertible en un entorno de cada punto (u, v) IR2. Mostrar que tambien f esglobalmente invertible calculando su funcion inversa. Comprobar que las matrices derivadas de fy def1 en puntos correspondientes son inversas.

78. Probar que el sistema xz3 + y2u3 = 12xy3 + u2z = 0

define a las variables x , y como funciones implcitas diferenciables de z, u en un entorno del puntoP(x0, y0, z0, u0) = (0, 1, 0, 1).

79. En el problema anterior considere las funciones implcitas definidas por x = h(z, u), y = g(z, u).Demostar que la funcion F(z, u) = (h(z, u), g(z, u)) admite funcion inversa diferenciable en unentorno del punto(0, 1).

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80. Sea la funcion z = z(x, y) dada implicitamente por la ecuacion F(x+z

y, y+

z

x) = 0, donde F es

una funcion diferenciable. Comprobar que

xz

x+ y

z

y=z xy.

81. Determinar condiciones suficientes para que la ecuacion

f(xy

z

, x2 + y2) = 0.

define a z como funcion implcita de x e y en un entorno del punto (1, 1, 2). Para dicha funcion,calcular

yz

x xz

y

en el punto (1, 1, 2).

82. Sea F : R2 R2 R2, dado por F(x,y,u,v) = (u x y,uv y).(82.1) Justifique que en una vecindad del punto (0, 1, 1, 1) el sistema de ecuaciones dado por F(x,y,u,v)

(0, 0)define a u y v como funciones implcitas de x e y .

(82.2) Calculeu

x

(0, 1),u

y

(0, 1),2u

x2

(0, 1), 2u

xy

(0, 1),2u

y2

(0, 1), 2u

yx

(0, 1).

83. Sea F : R {(0, 0)} R dada por F(x, y) =x2 y2x2 + y2

,xy

x2 + y2

. Tiene F inversa local

cerca de(0, 1)?

84. Enuncie el teorema de la funcion inversa para f : A R2 donde Aes un conjunto abierto de R2.(84.1) Dada f : R2 {(0, 0)} R2 definida por: f(x, y) = (x2 y2, x2y2) estudie sus inyectivi-

dades global y local.

(84.2) Calcule en f(1, 1) las derivadas parciales de la funcion inversa local.

85. Sea T : R2 R2 la tranformacion lineal T(x, y) = (3x2y, 5x2y). Muestrar que T esbiyectiva y hallar la expresion de la inversa T1. Determinar DT1(a) para cada a R2.

86. Sea F : R2 R2 dada porF(x, y) = (x3y+ 3x2y2 7x 4y,xy+ y)

(86.1) Demostrar que existe un entorno U R2 tal que (1, 1) U , un entorno V R2 tal que(7, 2)Vy una inversa para F, F1 : V U, C(1) tal que F1(7, 2) = (1, 1).

(86.2) Sean g : R2 R una funcion de clase C(1) tal que gx

(1, 1) = 2,g

y(1, 1) = 5y v = (3

5, 45

).

Calcular (g F1)

v(7, 2).

87. Hallar la aproximacion de Taylor de orden dos de la funci on fdada alrededor del punto P :.

(87.1) f(x, y) = sinxy

, P(x0, y0) = (, 2)

(87.2) f(x, y) = cos(2x + y) + 3 sin(x + y), P(x0, y0) = (0, 0)

(87.3) f(x, y) = 1

xy, P(x0, y0) = (1, 2)

(87.4) f(x, y) = 5x2 + 3y2, P(x0, y0) = (0, 0)

(87.5) f(x, y) =e2x2y2 , P(x0, y0) = (0, 0)

(87.6) f(x, y) = sin(2x) + cos(y), P(x0, y0) = (0, 0)

(87.7) f(x, y) = ln(1 + x2 y), P(x0, y0) = (0, 0)

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88. Halle los puntos crticos y estudie el comportamiento defen una bola abierta de dichos puntos. Digasi hay valor extremo y reconozcalo.

(88.1) f(x, y) =x2 + y2.

(88.2) f(x, y) =x2 + y2.

(88.3) f(x, y) = x2

a2 y2

b2.

(88.4) f(x, y) =x2 y2 + 2x 3y+ 4.(88.5) f(x, y) = 2x2

xy+ y2

7y.

89. Estudiar los extremos relativos de las funciones:

(89.1) f(x, y) =x3 + y3 3xy.(89.2) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1)

(89.3) f(x, y) =x sin y

90. Determine los maximos , mnimos y puntos de silla de las funciones siguientes:

(90.1) f(x, y) = 3x2 + 12xy+ 9y2 + y3.

(90.2) f(x, y) =x2 2xy2 + y4 y5.(90.3) f(x, y) = 2x2 + y2 + 8x 6y+ 20.

(90.4) f(x, y) =x3

+ 4xy 2y2

+ 1.(90.5) f(x, y) =x2y2 x2 y2.(90.6) f(x, y) = 2x4 + y4 4x2 2y2.(90.7) f(x, y) =4x3 + 6x2y+ 3y4 4y3.(90.8) f(x,y,z) =x2 + y2 + 3z2 + xy+ yz + 2xz xy.(90.9) f(x,y,z) =xy + xz+ yz.

(90.10) f(x,y,z) = (x2 + z2)ex(y2+z2+1).

(90.11) f(x,y,z) = (x2 + z2)ex(y2+z2+1).

(90.12) f(x, y) = 3x2 + 12xy+ 9y2 + y3.

(90.13) f(x, y) =xy2 + x2.

(90.14) f(x, y) = (3 x)(3 y)(x+ y 3).(90.15) f(x, y) = (y x2)(y 3x2).(90.16) f(x, y) = 4x2 + 4xy2 + 4y4.

(90.17) f(x, y) =x2y2(1 x y).(90.18) f(x, y) = 6x2y3 x3y3 x2y4.(90.19) f(x, y) =x2y2 + x2 4y2 + 5x 3.(90.20) f(x, y) =x4 5x2 y2 + 12.(90.21) f(x, y) =x3 + 3x2 y2 + 4.91. Determinar la naturaleza de los puntos criticos de la funcion dada fen la region Rdescrita:

(91.1) f(x, y) =xy(1 x y), R={(x, y)IR2 :| x|+|y|1}(91.2) f(x, y) =x + y, R= [1, 1]x[1,1](91.3) f(x, y) =xy(a x y), R={(x, y)IR2 : x0, y 0, x + y a}(91.4) f(x, y) =xy(1 x2 y2), R={(x, y)IR2 : 0x1, 0y 1}(91.5) f(x, y) = (x2 + y2)4, R={(x, y)IR2 : x2 + y2 1}(91.6) f(x, y) =x 2y 3, R={(x, y)IR2 : 0x1, 0y1, 0x + y1}(91.7) f(x, y) =x2 + y2 + 4x + 4y, R={(x, y)IR2 : x2 + y2 8}

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92. La temperaturaTen un punto (x,y,z)del espacio es T(x,y,z) = 400xyz. Calcule la temperaturamaxima sobre la bola x2 + y2 + z2 1.

93. Usando multiplicadores de la Lagrange halle los valores extremos sujetos a la condicion dada:

(93.1) f(x,y,z) =x2 + y2 z sujeta a2x 3y+ z 6 = 0(93.2) f(x,y,z) =zexy sujeta a x2 + y2 z = 0(93.3) f(x, y) =x2 + y2 sujeta a 13x2 10xy+ 13y2 72 = 0(93.4) f(x,y,z) =x y+ 2z sujeta a x2 + y2 + 2z2 = 2(93.5) f(x,y,z) =x

2

+ y2

+ z2

sujeta a x= 2z y x + y+ z = 1(93.6) f(x,y,z) = 4x2 + y2 4x 3y sujeta a y 0, 4x2 + y2 4

94. Sea fla funcion definida por f(x,y,z) =x 2y+ 2z.(94.1) Existen extremos relativos para f en R2? Justificar

(94.2) Enunciar el Teorema de los valores extremos.

(94.3) Encontrar los extremos absolutos para f sobre el conjunto

B ={(x,y,z) R3 : x2 + y2 + z2 1}95. Descomponer un numero positivo a en tres sumandos no negativos de modo que sea mnima la suma

de sus cubos.

96. Hallar los puntos de la curva5(x2

+y2

) 10y 6xy + 6x 3 = 0cuya distancia al punto P(0, 1)sea maxima o mnima.97. Halle la distancia mas corta del punto (2,3, 1) al plano z = 2x + 5y 3.98. Se desea disenar un embalaje (caja) de base rectangular con volumen de 60u3. Sus lados cuestan $

1 la unidad cuadrada , la tapa cuesta $ 2 la u2 y su fondo cuesta $ 3 la u2. Plantee un sistema deecuaciones para determinar las dimensiones de la ca ja de modo que el costo sea mnimo. Expliciteclaramente cual sera la funcion a minimizar y cual es la restriccion.

99. Suponga que la temperatura de un metal plano es dada por la funcion

T(x, y) = x2 + 2x + y2

en cada punto(x, y)de la region elptica x2+ 4y2 4 . Determine la temperatura maxima y mnimasobre el metal.

100. Calcular el valor mayor y el valor menor que toma la funcion f(x,y,z) = xyz en los puntos delelipsoide x2 + 4y2 + 9z2 = 1.

101. Calcular el valor mayor y el valor menor que toma la funcion f(x,y,z) =y2+4z24yz2xz2xyen los puntos del elipsoide 2x2 + 3y2 + 6z2 = 1.

102. Determine los puntos sobre la curva x2y = 2 mas proximos al origen.

103. Calcular los extremos absolutos de f(x,y,z) = (x2 + 2y2)ex2y2 en el disco x2 + y2 4.

104. Calcular los extremos absolutos de f(x,y,z) = x2 + 3y2 en el bola x2 2x + y2 30.105. Calcular los extremos absolutos de f(x,y,z) = x2y3(1 x y)en el conjunto

K={(x, y) :|x| + |y| 1}.106. Calcular los extremos absolutos de f(x,y,z) = x2 + y2 xy x y en el conjunto

K={(x, y) R2 : x0, y0, x + y3}.

107. Calcular los extremos absolutos de f(x,y,z) = x + y+ z en el conjunto

K={(x, y) R2 : x2 + y2 z 1}.

Concepcion 24.09.2014

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