Livro Sobre GPS -Posicionamento Satelital

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GPS Posi ci onami ent o Sat el i t alEduardo HuertaAldo Mangiaterra Gustavo Noguera I.S.B.N 950-673-488-7 Eduardo Huerta; Aldo Mangiaterra; Gustavo Noguera. 2005 Hecho el depsito que marca la ley 11.723

RED DE EDITORIALES DE UNIVERSIDADESASOCIACION DE UNIVERSIDADES NACIONALESGRUPO MONTEVIDEO

IMPRESO EN LA ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINA UNR EDITORA - EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO SECRETARA DE EXTENSIN UNIVERSITARIAHuerta, Eduardo GPS: posicionamiento satelital / Eduardo Huerta; Aldo Mangiaterra; Gustavo Noguera - 1a. ed. - Rosario: UNR Editora - Universidad Nacional de Rosario, 2005. 148 p. 23x16 cm. ISBN 950-673-488-7 1. Tecnologa Satelital. -I. Mangiaterra, Aldo. II. Noguera, Gustavo. III Ttulo CDD 629.46 EL LIBRO A esta altura es ampliamente difundido que la tecnologa satelital permitedeterminar,conlaprecisinnecesaria,laposicinespacialde objetos, sean stos fijos o mviles. Por otra parte tal posicin seobtiene con referencia a un sistema nicoglobal,loquepermitecorrelacionarinformacinprovenientede distintas fuentes y de distintas pocas.

Rapidez,seguridadyeconomasoncaractersticasdistintivasdel posicionamiento satelital. GPS (Global Positioning System) es, hasta ahora, el sistema sate-litalquebrindamayoresymejoresprestaciones,aunqueexistenotrosen operacin o en desarrollo. SibienelorigendeGPSesdecarctermilitar,elusocivilha pasadoasernetamentepreponderante,taleslamagnitudyamplitudde las aplicaciones a las que sirve. El libro que presentamos tiene tres caractersticas fundamentales. Es de contenido terico; est dirigido a difundir los fundamentos del posicionamiento satelital en general y de GPS en particular. Esadecuadoalniveldeestudianteograduadouniversitarioen general,dadoquenorequierepreviaespecializacinyevitamosrecurrir auntratamientomatemticocomplejo.Susdestinatariossonprincipal-menteprofesionalesyestudiantesdelaingenieradediversasramas, aunqueporlaimportanciayvastedaddeltemasetornatilparaunam-plio campo del conocimiento. Esdecarcterdidctico,esdecirestorientadoafacilitarel aprendizaje. Se agrega un detalle: los autores nos comprometemos a responder las consultas de los lectores, relativas al contenidodel libro, por el lapso de un ao a partir de la fecha de edicin. Para ello se habilita la siguiente direccin de correo electrnico: [email protected] Enestelibronosedesarrollanlascuestionesatinentesalasaplica-ciones y a las herramientas de mediciny clculo. No se trata de una subes-timacin de tales cuestiones, sino de la eleccin de temas prioritarios. En efecto, consideramos que la evolucin de la tecnologa de po-sicionamientosatelitales,comootras,vertiginosa,pormomentosabru-madora, y que existe un peligro para quien intente aplicarla: confundir las herramientasdemedicinyclculoylastcnicasdesumanejo,conel conocimiento mismo. Laexperiencianosindicaquequienestmunidodelosfunda-mentostericospuedeabordar,sinmayordificultad,losmanualesins-tructivos de los distintos modelos y las distintas marcas del instrumental y el software ofrecido en el mercado comercial. Por el contrario, quienes se acercan al tema slo desde el manejo deuninstrumentoespecfico,atravsdecursosfacilitadosporlospro-veedores, se encuentran a corto plazo con insalvables dificultades. Ellibrosurgedesucesivaselaboracionesdematerialdidctico parauncursodeposgradosobreeltema,elcualllevayadiezaosde desarrollo y se ha dictado en cinco universidades, participando hasta aho-raalgunoscentenaresdeprofesionalesdedistintastitulacionesydedi-verso origen geogrfico. Sintemoraequivocarnosnosatrevemosaafirmarque,porsu incidenciaenunaenormegamadeactividadeshumanas,elposiciona-mientosatelitaldevienerpidamente,decambiotecnolgicoencambio cultural. Los autores PERSONAS E INSTITUCIONES QuienesescribimosestelibrosomosdocentesdelaFacultadde CienciasExactas,IngenierayAgrimensuradelaUniversidadNacional de Rosario y ejercemos nuestra labor en el Departamento de Geotopocar-tografadelaEscueladeAgrimensura.AlavezintegramoselGrupode Geodesia Satelital de Rosario (GGSR). En cuanto a nuestra formacinen Geodesia somosdiscpulos del Ing.OscarAdolfoParach,yafallecido,quienfueraelprimerdirector del GGSR y de los cursos de posgrado sobre GPS. l fue nuestro maestro de Geodesia. La Facultad de Ciencias Astronmicas y Geofsicas de la Univer-sidad Nacional de La Plata estuvo desde un primermomento al frentede losestudiossobreGPSennuestropas.Quienesencabezaronesalabor, en particular el Dr. ClaudioBruniniyel Lic. Ral Perdomo,nos brinda-rongenerosamentesuapoyo,tantoenloreferenteanuestralabordein-vestigacin como en la realizacin de cursos de posgrado. Enla confeccindel librohemos contado conla colaboracinde laIng.BeatrizJimnez,tambindocentedelDepartamentodeGeotopo-cartografa. La Asociacinde Profesoresdela Facultadde Ciencias Exactas,IngenierayAgrimensurahahechoposiblelapublicacindeestaobra otorgando un subsidio a tal fin.

Eduardo Huerta Aldo Mangiaterra Gustavo Noguera i CONTENIDOS 1. Introduccin 1.1Introduccin a la geodesia espacialI-1 1.1.1 El sistema TransitI-1 1.1.2 El Sistema de Posicionamiento Global GPSI-2 1.1.3 TiempoI-3 1.1.4 Sistema GPS - ConstitucinI-4 1.2 Segmento espacialI-4 1.2.1 ConstelacinI-6 1.2.2 IdentificacinI-7 1.2.3 Relojes de los satlites I-7 1.2.4 Portadoras y cdigosI-8 1.3 Segmento de controlI-8 1.4 Segmento usuario I-9 1.4.1 Informacin en el receptorI-11 1.5Modernizacin del SistemaI-11 1.6Magnitudes y unidades de medidaI-12 1.7Algunas definiciones I-13 2. Nociones de Geodesia 2.1IntroduccinII-1 2.2Resea histricaII-2 2.3Aspectos conceptuales bsicosII-6 2.4Superficies de referenciaII-8 2.4.1 Geoide II.8 2.4.2 Elipsoide de revolucinII-10 2.5Geodesia ClsicaII-12 2.5.1 Levantamiento geodsico II-13 2.5.2 Asignacin de coordenadas del origen P(B,L,h)II-13 2.6Geodesia SatelitalII-15 2.7Transformacin entre Marcos de referenciaII-17 Contenidosii 2.8Elipsoide equipotencialII-20 2.9Modelos de geoideII-20 2.10Representacin Plana II-22 2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representacinII-22 2.10.2 Representacin conforme. DeformacionesII-24 3. La obtencin de coordenadas 3.1El problema de la pirmideIII-1 3.1.1 Posicionamiento mediante cdigo C/AIII-2 3.1.2 La seal del satlite III-2 3.1.3 Medicin de la distancia III-4 3.1.4 Relacin entre cdigo C/A, tiempo y distanciaIII-5 3.2Ecuaciones de observacinIII-7 3.3Precisin del posicionamientoIII-8 3.3.1 Consideracin de los erroresIII-9 3.3.2 Errores sistemticosIII-10 3.3.3 Errores accidentalesIII-11 3.4Factor de configuracinIII-11 3.5Otros sistemas de posicionamiento satelitalIII-14 3.5.1 Sistema GLONASSIII-14 3.5.2 Descripcin y constitucin de GLONASSIII-15 3.5.3 Sistemas europeosIII-16 3.6El programa GALILEOIII-19 3.6.1 La constelacin GALILEOIII-20 3.6.2 Servicios GALILEOIII-21 3.6.3 Atractivo del sistema GALILEO III-21 4. Posicionamiento con Cdigo C/A 4.1Posicionamiento absolutoIV-1 4.1.1 Modo estticoIV-1 4.1.2 Modo mvilIV-1 4.1.3 PrecisionesIV-2 4.2 Posicionamiento DiferencialIV-2 4.2.1 Correccin de posicinIV-5 Contenidosiii 4.2.2 Correccin de distanciasIV-6 4.2.3 Simples y dobles diferenciasIV-8 4.2.4 ConclusinIV-9 4.3 Mtodos de operacinIV-9 4.3.1 Modo estticoIV-9 4.3.2 Modo mvilIV-10 4.4 PrecisionesIV-10 4.5 Aplicacin de la correccin diferencialIV-11 4.5.1 Post-procesamientoIV-11 4.5.2 Correccin diferencial en tiempo realIV-12 4.5.3 WADGPSIV-12 5. Posicionamiento con fase 5.1IntroduccinV-1 5.2Fases. Conceptos bsicosV-3 5.3Caso satelitalV-5 5.3.1 Observable idealV-6 5.3.2 Observable realV-10 5.4Posicionando Puntos con Fases de la PortadoraV-11 5.5Posicionamiento relativo estticoV-13 5.5.1 Diferencias de faseV-14 5.5.2 La resolucin de ambigedadesV-21 5.6Posicionamiento relativo dinmicoV-23 5.6.1 Mtodo cinemtico puroV-23 5.6.2 Mtodo Stop & GoV-24 5.6.3 Mtodo OTFV-24 5.7Combinaciones lineales de faseV-26 5.8PrecisionesV-27 5.8.1 Posicionamiento estticoV-27 5.8.2 Posicionamiento dinmicoV-28 5.8.3 Mejoramiento de la precisin en vectores largosV-29 5.9Coordenadas en tiempo diferido o realV-30 Contenidosiv 6. Georreferenciacin 6.1Conceptos bsicosVI-1 6.2La medidaVI-3 6.2.1 Errores sistemticosVI-5 6.2.2 Errores accidentalesVI-6 6.2.3 PrecisinVI-6 6.2.4 Precisin del promedioVI-7 6.2.5 ToleranciaVI-8 6.2.6 Propagacin de errores y configuracinVI-8 6.3Ajuste o compensacinVI-9 6.4Criterios en georreferenciacin con GPS VI-12 7. Bibliografa VII-1 Captulo II-1 Introduccin 1.1Introduccin a la geodesia espacial Se puede decir que la era de la geodesia espacial fue efectivamen-te iniciada por la URSS en octubre de 1957 con el lanzamiento del primer satlite artificial de la Tierra: el Sputnik I. Posteriormente pudo observarse que determinando el corrimiento DopplerdelassealesradiodifundidasporelSputnik,desdeestaciones de posicin conocidas, era posible establecer la rbita del satlite. Esto permiti el planteo inverso, es decir, si la rbita era conoci-dapreviamenteseraposibleobtenerlaposicindeunreceptorenuna ubicacincualquiera. Para ellohabra que realizar observacionesdurante varios pasos del satlite. Duranteladcadasiguientelainvestigacionesseorientarona desarrollaryperfeccionarlosmtodosbsicosdeobservacionessatelita-lesyde clculoderbitasencaminados aimplementar sistemas de posi-cionamientoydedeterminacindelcampodegravedadterrestre,loque permiti crear el primer sistema de posicionamiento geodsico. 1.1.1 El sistema Transit Estesistema,concebidoconfinesexclusivamentemilitares,se basenobservacionesDoppleryentrenoperacionesenelao1964. Posteriormente, en 1967, se comenz a utilizar en trabajos de tipo geod-sicotalescomomedicionesderedesgeodsicasextensas,determinacin deparmetrosentresistemasgeodsicos,yotrasaplicacionescientficas y tecnolgicas. Estuvofuncionandohasta el ao 1996. Su salida deoperacin se debifundamentalmenteaqueunnuevosistemaestabaoperandoexito-samente superando importantesdeficiencias que caracterizaban a su pre-decesor. I-2Introduccin Las principales deficiencias que presentaba el Sistema Transit eran: Dada la escasa altura de las rbitas, stas eran muy afec-tadas por las variaciones del campo de gravedad. Latransmisindelasealerafuertementealteradapor larefraccinatmosfricadebidoaquelafrecuenciade emisin era relativamente baja. Seproducanhuecosenlasobservacionesmuygrandes debido a la configuracin y al nmero reducido de satli-tes de la constelacin (entre 5 y 7). 1.1.2 El Sistema de Posicionamiento GlobalGPS LaimplementacindelprogramaNAVSTAR,GPS(Navigation SystemTimingAndRanging,GlobalPositioningSystem)fueefectiva-mente iniciada en diciembre de 1973. El 22 de febrero de 1978 fue lanza-do el primer satlite de una serie de cuatro. Laresponsabilidaddeldesarrolloymantenimientodelsistema recaeenelDepartamentodeDefensadelosEstadosUnidos,Divisin Sistema Espacial. Esa dependencia se deba a que el sistema fue concebi-do, igual queTransit, para uso militar. GPSesunsistemaquetienecomoobjetivoladeterminacinde las coordenadas espaciales de puntos respecto de un sistema de referencia mundial. Los puntos pueden estar ubicados en cualquier lugar del planeta, puedenpermanecerestticosoenmovimientoylasobservacionespue-den realizarse en cualquier momento del da. Paralaobtencindecoordenadaselsistemasebasaenladeter-minacinsimultneadelasdistanciasacuatrosatlites(comomnimo) decoordenadasconocidas.Estasdistanciasseobtienenapartirdelas sealesemitidasporlossatlites,lasquesonrecibidasporreceptores especialmente diseados. Las coordenadas de los satlites son provistas al receptor por el sistema.IntroduccinI-3 Desdeelpuntodevistageodsico-topogrfico,elSistemaGPSres-ponde a dos requerimientos bsicos: Planteo directo o levantamiento: se tiene en el terreno un pun-tomaterializado,unpilarconplacaymarca,unmojn,etc.Se piden sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado. Planteoinversooreplanteo:sedanlascoordenadasdeun punto en un sistema de referencia determinado y se pide la locali-zacindedichopunto,que,denoestarloya,sermaterializado en el terreno. La operatividad del sistema no implica un compromiso legal del go-bierno de Estados Unidos. Por lo tanto la Agencia Cartogrfica del Departa-mentodeDefensa,NIMA(NationalImageryandMappingAgency)puede modificar sin previo aviso su funcionamiento alterando,porejemplo,elde-nominado mensaje de navegacin (en el que est incluida informacin esen-cialparaelclculocomosonlascoordenadasdelossatlites),limitandoel acceso a uno o mas componentes de la seal, alterando el estado de los relo-jes, degradando la precisin de las rbitas, etc. De todos modos el acceso a las seales que emiten los satlites es decarcterpblico,norequirindoselicenciaoautorizacinalguna,al menos hasta el ao 2005. Enlaactualidad,elusocivildeGPShasobrepasadolargamente el uso militar, convirtindose de hecho en un servicio pblico de carcter mundial de enorme importancia y con innumerables aplicaciones. Anteincesantesrequerimientos,elgobiernodelosEstadosUni-dossehacomprometidoamanteneroperativoelsistemaalmenoshasta el ao 2010. 1.1.3 Tiempo EltiempoGPSestdefinidoporelrelojatmicodeCesiodela Estacin de Control Maestra (ver 1.3). I-4Introduccin ElorigendelaescaladetiempoGPSsefijcoincidenteconel UTC(TiempoUniversalCoordinado),alas0horasdel6deenerode 1980.LaunidaddelUTCeselsegundoatmico,peroestsometidoa peridicosreajustesacausadelmovimientoirregular delaTierra, razn porlacualladiferenciaentretiempoGPSyUTC,quesefijencero segundos en 1980, se fue modificando siendo el 1 de enero de 2005 de 13 segundos. Una unidad de tiempoutilizada porel sistema es el nmero dese-mana GPS (NSGPS) equivalente a 604800 segundos. La cuenta de la semana GPS comenz con el origen de la escala de tiempo GPS.Cuando se comple-tla semana 1023 la NSGPS se reinicializ,esdecir,lamedianochede 21 de agosto de 1999 se comenz a contar nuevamente desde 0.

1.1.4 Sistema GPS - Constitucin Est constituido por tres segmentos fundamentales: Espacial De control Del usuario 1.2Segmento espacial SepuedeobservarenlaFigura1ladisposicinaproximadaquetienenlossatlitesdelaconstelacinNAVSTAR,GPSqueintegranel segmento espacial Debido a que lavida tilde un satlite llega a trmino porenve-jecimiento de los paneles solares, falta de capacidad de los acumuladores, averasnoreversiblesenlossistemaselectrnicosoagotamientodel combustible de maniobra, se planific su reemplazo en bloques. Los primeros satlites puestos en rbita fueron los integrantes deldenominadoBloqueI.FueronlanzadosdesdelabaseVandenberg,ubi-cada enelestadode California. El total de satlites puestosenrbita fue 11 entre los aos 1978 y 1985, utilizndose para ello cohetes Atlas-F. IntroduccinI-5 Estos primeros satlites tuvieron un peso de 845 Kg. y un promedio de vida efectiva de 7.5 aos. Las rbitas descriptas tenan una inclinacin de 63 grados respecto del Ecuador Figura 1 Los satlites delBloque I fueron sustituidos progresivamente por los del denominado Bloque II. El primer satlite de este grupo fue lanza-do en el ao 1989 desde el Centro Espacial Kennedy en Cabo Caaveral, estado de Florida. Cabemencionarqueestenuevobloqueadicionavariasinnova-ciones. Entre ellas la posibilidad de incorporar a la seal una perturbacindenominada SA (Selective Availability) que no es otra cosa que la dismi-nucinintencionaldelaprecisindelsistema,tambinseestableciuna limitacinalaccesodeldenominadocdigoP.Estascaractersticasfue-ron impuestas a los usuarios civiles por cuestiones de inters militar. Elpesodeestossatlitesesde1500Kg.conunperododevida deaproximadamente10aos.Apartirdeestossatlitessemodificla I-6Introduccin inclinacin de las rbitas llevndolas a 55 grados. Se lanzaron un total de 9 satlites. En 1990 se comenz con el lanzamiento de satlites que tenan ligeras diferencias respecto de la primer versin de este bloque. Este fue el denomina-do Bloque IIA. La A significaAdvanced. El 8 de diciembre de 1993 se haban puesto en rbita 15 satlites adicionales de este bloque, totalizando as 24 sat-lites, fue entonces declarado al sistema en plena capacidad operativa. En 1996 fuelanzadoel primer satlitedel Bloque IIR. El agregado de R (replacement) se refiere a reemplazo o sustitucin, es decir, estos satli-tes fueron reemplazando a los satlites que salan de operacin. Esta versin tiene un peso de 2000 Kg. y se distingue por las mejoras introducidas en los relojes de a bordo. Finalmente se desarroll la cuarta generacin de satlites de este bloque, el denominado Bloque IIF con importantes mejoras en el sistema de navegacin de a bordo. El lanzamiento de estos satlites comenz en el 2001 y se prev que seguir hasta el 2010. Estn diseados para una vida til de 15 aos. Para la puesta en rbita de satlites de todas las versiones del Bloque II se utilizaron transbordadores espaciales, que transportan simultneamente tres satlites en cada viaje, con la consecuente reduccin de costos. Forman parte del equipamiento de cada satlite dos paneles solares y un sistema de propulsin Lospanelessolaresseutilizanpararecargarlosacumuladores que permiten el funcionamiento mientras el satlite pasa por la sombra de la Tierra. Desdeelsistemadecontrolterrestreesposibleactivarlossistemas de propulsin con el objetivo de corregir las rbitas de cada satlite o incluso cambiar de posicin dentro de la misma rbita. 1.2.1 Constelacin A fines de 1993 cuando fue completada la constelacin de satlites del sistema sus caractersticas eran las siguientes: IntroduccinI-7 Compuesta por 24 satlites. Los satlites se ubicanen 6rbitas planas prcticamente circula-res,coninclinacinde55respectoalplanodelEcuadorycon unadistribucinaproximadamenteuniforme;con4satlitesen cada rbita. Se encuentran aproximadamente a20180 km de altura. Tienen 12h de perodo de rotacin (en tiempo sidreo) u 11h 58m (en tiempo oficial). Tambin hay satlites en rbita que se encuentrandesactivados y disponibles como reemplazo. Conlaconstelacincompleta,sedispone,encualquierpuntoy momento, entre 5 y 11 satlites observables, con geometra favo-rable. Eltiempomximodeobservacindeunsatliteesdehasta4 horas 15 minutos. Con la incorporacin de los satlites de los Bloques IIR y IIF la constelacin tieneaprincipiosdel2005,29satlitesenrbita,distribuidosenlosseis planos orbitales. La cantidad de satlites por plano es 4, 5 6 segn la rbita. 1.2.2 Identificacin La identificacin de los satlites puede hacerse de varias formas: por su orden de lanzamiento, por la rbita y posicin que ocupa en ella, o por su PRNoRuidoPseudoAleatorio(PseudoRandomNoise)caractersticoy exclusivodecada satlite,elque serms adelantedescriptoenel Captulo III.

1.2.3 Relojes de los satlites Los relojes de los satlites, son en realidad osciladoresatmicos, los que por su alta frecuenciaylagranestabilidaddelamisma, permitenefec-tuar mediciones de tiempo conelevada precisin. Laestabilidadsecaracterizaporelvalorf/f,dondefindicala variacindefrecuencia posibleen un perododado (por ejemplo un da) yfindicalafrecuenciapropiadelreloj.Amododeejemplopodemos citar los siguientes valores (ver en Bibliografa: Leick A,1995). I-8Introduccin Tipo de reloj Estabilidad f/fRubidio10-12 Cesio10-14

Hidrgeno10-15

Si vinculamos la frecuencia con la medicin de tiempo es posible demostrar que (t indica el tiempo transcurrido y t el error posible en la medicin de t) Esto nos permite afirmar que, considerando un relojde rubidio y eltiempoquelasealtardaenrecorrerladistanciasatlite-receptor (aproximadamente 0.066 segundos), el valor t es delordende 66 . 10-15 segundos,yconsecuentementeelerrorposibleenlamedicindeladis-tancia no excedera las dos centsimas de milmetro 1.2.4 Portadoras y cdigos TodoslossatlitesemitendosondasportadorasenlabandaL (1000 Mhz a 3000 Mhz). La portadora L1 est modulada por dos cdigos (C/A y P) y la L2 soloporelcdigoP.Ambasportadorasincluyenademseldenominado mensajedenavegacin.MsadelanteenelCaptuloIIIsebrindarnal-gunos detalles sobre la estructura de seal emitida. 1.3 Segmento de control Las funcionesprincipalesdelsegmento de control, denominado internacionalmente con las siglas OCS (Operational Control Segment) son: Monitoreoycontrolpermanentedelossatlitesconelobjetodedeterminar y predecir las rbitas ylos relojes de a bordo. ttff IntroduccinI-9 Sincronizacin de los relojes de los satlites con el tiempo GPS Transmisin, a cada satlite,de la informacin procesada. EstintegradoporunaEstacindeControlMaestra(MCS),va-rias Estaciones de Monitoreo (MS) y Antenas Terrestres (GA). Lasestacionesdemonitoreotienencoordenadasconocidascon gran precisin y estn equipadas con receptores GPS de doble frecuencia L1/L2 y un reloj de Cesio. Su funcin es determinar las distancias a todos los satlitesvisibles y transmitirlas a la estacinde controlmaestra junto con los datos meteorolgicos de cada estacin. Conlosdatosrecibidosdelasestacionesmonitoras,laestacin maestra, ubicada en la Base de la Fuerza Area Schriever en el estado de Colorado,calculalosparmetrosorbitalesylosdelosrelojesyposte-riormentelostransmitealasantenasterrestresquelostransfierenalos satlites a travs de un enlace va banda S. ComosepuedeobservarenlaFigura2,elsegmentodecontrol est integrado por 10 estaciones. Estas estn ubicadas en: Colorado Springs (EUA)Isla Ascensin (Atlntico Sur) Diego Garca (ndico) Kwajalein (Pacfico Occidental)Hawaii (Pacfico Oriental) Quito (Ecuador) Buenos Aires (Argentina) Hermitage (Inglaterra) Bahrein (Golfo Prsico) Smithfield (Australia). 1.4 Segmento usuario Estconstituidoporlosinstrumentosutilizadospara recepcionar y procesar la seal emitida por los satlites. I-10Introduccin Estosinstrumentosestnintegradosesencialmenteporunaante-na y un receptor. Un equipo complementario es usado, en ocasiones, para transferir datos entre receptores. Buenos AiresBuenos AiresBuenos AiresQuitoHawaiiColorado SpringHermitageIsla AscensinBahreinDiego GarciaKwajaleinSmithfieldEstaciones de Control Figura 2 Laantenaestconectadaporcablealreceptoroenotroscasos forman una sola unidad. Las coordenadas que se calculan corresponden al centro radioelctrico de la antena. El receptor consta de un mnimo de 4 canales (generalmente 10 12)quepermitenrecepcionaryprocesarsimultneamentelasealde cada satlite. Posee adems unosciladorde cuarzoque permitegenerar la fre-cuencia de referencia para realizar la observacin (ver 3.1.3). Un microprocesador interno con el software correspondiente calcula IntroduccinI-11 las coordenadas de la antena y la velocidady acimut si el aparato est en movimiento. Poseeademsunamemoriaparaalmacenarobservaciones.La capacidad de esta memoria vara de acuerdo al tipo de receptor, pudiendo llegar a almacenar informacin durante varias decenas dehoras. Todoequipoadicionaunaunidaddealimentacinelctricaque deber brindar al receptor la autonoma necesaria. Losequiposestnencontinuodesarrolloy suevolucinescom-parablealaexperimentadaeninformticadurantelasltimasdcadas para los ordenadores personales. 1.4.1 Informacin en el receptor Una vez en funcionamiento, el receptor puede ofrecer al operador unamuyampliaydiversainformacinsobreelprocesodeobservacin, mientras recibe las seales de los satlites. Aunquevaraentrediferentesmodelos,sesueledisponerdela informacin siguiente: Satlites localizados Satlites en seguimiento Intensidad de cada seal recibida Condicin de cada satlite en seguimiento Posicin : longitud, latitud, altitud Calidad de la geometra de observacin. Segnlaprecisinconquesepuedenobtenerlosresultados,pode-mos clasificarlos en receptores: Geodsicos -Topogrficos- Navegadores.

1.5 Modernizacin del Sistema El departamento de defensa de EUA ha comunicado oficialmente, en el ao 2000, la decisin de modernizar el sistema I-12Introduccin Enelcomunicadoanunciacomoprimerafasedelprocesolain-corporacindelcdigoC/AaL2conelobjetivodemejorarlaspresta-ciones para la comunidad civil. Posteriormenteseprevadicionarunnuevocdigodenominado M sobre L1 y L2 para uso exclusivamente militar. En la prxima fase se proyecta la emisin de una nueva portadora denominada L5 con una frecuencia nominal de 1176 MHz, con un nuevo tipodemodulacin,laqueserutilizadaenaplicacionesquerequieran posicionamientoinstantneodeprecisin,porejemplo,paracasosde navegacin area. Seencuentraenetapadedefinicinydiseounanuevaversin paraelsistemadenominadaGPSIII,cuyoobjetivoserresponderalos requerimientostantocivilescomomilitaresparalosprximos30aos. Estanuevaversinpresentainnovacionestantoenlaarquitecturadelos satlites como en el segmento de control. 1.6 Magnitudes y unidades de medida A continuacin se muestran dos tablas. En la primera se listan los prefijos utilizados para designar los mltiplos y submltiplos que se utili-zarn (nombre, smbolo y valor). Enlasegundasemuestranlasmagnitudesutilizadasyejemplos de cantidades. NombreSmbolo Valor Exponente de 10 GigaG9 MegaM6 KiloK3 Milim -3 Micro -6 Nanon -9 Picop -12 IntroduccinI-13 MagnitudUnidadAlgunas cantidades Tiempo1 sLapso del cdigo C/A = 1 ms Longitud1 mLongitud de onda de L1 ~ 0.19 m Velocidad1 m/sC ~ 300000 km/s = 0.3 m/ns Frecuencia1 hz = 1 ciclo/sFrecuencia de L1 ~ 1.5 Ghz 1.7 Algunas definiciones DefinimoscomoEfemridesalconjuntodeparmetrosqueper-miten calcular la rbita de cada satlite y su posicin dentro de la misma, es decir, sus coordenadas; podemos distinguir entre: Efemridestransmitidas:elusuariolasrecibeenelinstantedeobserva-cin, contenidasen la seal del satlite. Consistenenunconjuntode pa-rmetrosquepermitenextrapolarlaubicacindelsatlitedurantecuatro horas(2hs.antesy2hs.despusdeltiempodereferencia).Laestacin de control maestra las enva al satlite y ste al usuario. Efemrides precisas: son calculadas a posteriori, por interpolacin, conside-rando la efectiva posicin de cada satlite obtenida mediante las observacio-nesefectuadasdesdelasestacionesdecontrol.Elusuariolaspuedetener disponiblesdesdevariasfuentesatravsdeInternet.Estasefemridespro-porcionan coordenadas ms precisas que las transmitidas. Almanaque: es la versin simplificada de las efemrides, permite calcular lascoordenadasdelossatlitesenformaaproximada;suvalidezesde seis meses, aunque es recomendable su actualizacin semanal. Datum:enalgunosreceptoresapareceestetrmino,queserefierealos parmetros que definen el Sistema de Referencia utilizado por el receptor, por lo tanto debe prestarse especial atencin a su configuracin. Escalas de tiempo Definidas por la rotacin de la Tierra: I-14Introduccin Tiempo Universal o Solar (UT) Tiempo Sidreo (ST) Definidas por osciladores atmicos: Tiempo Universal Coordinado (UTC) Tiempo GPS (GPST) Convenciones locales: Tiempo oficial local (HL=UTC-K) K: constante definida por cada pas Buenos Aires, 2005; K = - 3 hs. Captulo IIII-1 Nociones de Geodesia

2.1 Introduccin Segn Friedrich Robert Helmert (1880), la geodesia es la ciencia encargadade la medicin y representacin cartogrfica de la superficie terrestre.Estadefinicininvolucranosolamenteladeterminacindela forma y dimensiones de la Tierra sino tambin la determinacin del cam-podegravedadterrestre.Elconceptodegeodesiafueposteriormente extendidoyactualmentesuestudioincluyelamedicindelosfondos ocenicos estando adems ligada a la exploracin espacial lo que permite estudiar,enelsentidogeodsico,otroscuerposcelestes(porejemplo:la Luna).Constituyetambinuntemaimportantedelageodesiamoderna, elestudiodelas variaciones temporales, tantodelascoordenadas delos puntos fijos como del campo de gravedad. En algunos aspectos (geomtricos), se puede pensar ala geodesia como una continuacin de la topografa. Desdeese punto devista ambas tienen como objetivo comn la determinacin de las Formas Dimensiones Ubicacin de una parte de la superficie terrestre. Mientraslatopografaseocupadepequeasextensiones(loque permiteelusodemtodosdemedicinyclculosimplificados),lageo-desiatienecomometagrandesextensiones(unaregin,unaprovinciao incluso todo el planeta). Recordemos adems que la topografa se ocupa del levantamiento delosdetalles(relleno)queconfiguranlasuperficieterrestre(seanestos naturalesoartificiales),mientrasquelageodesiatienecomoobjetivo principalelapoyoocontrolhorizontalyverticalparatareasdelevanta-mientoy replanteo (Figura 1)endistintas reas de aplicacin como:ca-II-2Nociones de Geodesia tastro, construccin de grandes obras de ingeniera, exploracin geofsica, lneasdeconduccinelctrica,vasdecomunicacin,saneamiento,mi-crogeodesia en la construccin y en la industria, cartografa bsica.Figura 1 Cabe destacar ademsel importante papel que cumplen las redes geodsicas en la construccin de los sistemas de informacin geogrficos (GIS)alposibilitarlacorrelacindeinformacindedistintoorigena travs de su georreferenciacin(Figura 2). 2.2 Resea histrica Desdetiemposmuyremotoselhombresehaplanteadointerro-gantes tales como Cul es la forma de la Tierra? Cules son sus dimen-siones? Estas preguntas dieron origen a la Geodesia. Eratstenes,directordelabibliotecadelMuseodeAlejan-dra,realizlaprimeramedicindelacircunferenciadelaTierra usando una tcnicaextremadamente simple. Laexperienciaconsisti enlosiguiente:enelmomentoenqueelSolestabadirectamente sobreSiena(hoyAsuan)demodotalqueelfondodeunpozofuera totalmenteiluminadoporlosrayossolares,enAlejandraseefectu lamedicindelasombraproyectadaporunavarillavertical(s)de altura conocida (h) (Figura3). Nociones de GeodesiaII-3 Figura2 Apartirdelarelacins/h,EratstenesdedujoqueenAlejandrael Sol estaba a 1/50 de crculo debajo delcenitmientrasenSienaestaba en la vertical. As calcul la circunferencia de la Tierra multiplicando la distan-ciaentreAlejandraySienaporcincuenta.Ladistanciafueestimadaen 5.000 estadios, a partir del tiempoquedemandelviajeentre ambas pobla-ciones (50 das en camello), por lo que la circunferencia terrestre debera ser 250.000 estadios. Aunque la longitud del estadio (unidad utilizada en Egipto enesapoca)entrminosdeunidadesmodernasesbastanteincierta,esto dara como resultado un permetro de 39.820 km. correspondiente a un radio de6.338 km.,muy cerca del valor verdadero. Noobstanteactualmentesecreequelosresultadosobtenidosfueronafortunados,yaqueexistieron elementos de juicio equivocados enesadeterminacin,apesarde lo cual esamedicindeltamaodelaTierrafueunimportanteprogresoparala poca. Durante los prximos siglos, incluidalaEdadMedia completa, los estudios sobre la forma de la Tierra y sus dimensiones fueron abandonados. Apoyo GeodsicoPlano TopogrficoIndustriasValuacionesPoblacinGeofsicaGeologaSaludRedesSuelosCarta CatastralII-4Nociones de Geodesia Figura 3 Unanuevapocaenelestudiodelaformaydimensionesdela Tierra(sigloXVII)comenzdespusquelaleydegravitacinuniversal fuera enunciada por Newton. Partiendodelasuposicindequenuestroplanetaenotrostiem-pos estuvo en un estado de lquido incandescente, Newton postul que la Tierra debera tener una forma de esferoide aplastada en los Polos debido almovimientoderotacinterrestrequegeneraunafuerzacentrfuga normal al eje, que adquiere un valor mximo en el Ecuador hasta anularse en los Polos. Esta teora se poda comprobar determinando la longitud de arcos demeridianos correspondiente a unavariacindelatitudde ungrado. Si lalongituddeunarcodemeridianodeterminado,resultaramayorque otro mas alejado del Ecuador, quedara demostrado el achatamiento de la Tierra en los polos. Rhsd_hsd R~~.Nociones de GeodesiaII-5 En esa poca Snellius(Holanda)iniciaunanuevaetapaenlaGeodesia al introducir el mtodo de triangulacin en los trabajos geodsi-cos, superando as las dificultades queofrecanlasmediciones de distan-ciassobrelasuperficieterrestre,produciendoademsunconsiderable aumento en las precisiones. Cassini (Francia) a partir de mediciones errneas anuncia un esfe-roidealargadoenlospolos(Figura4).Seproduceentoncesunafuerte controversia entre ambos cientficos. Figura 4 En el siglo XVIII se resuelve la controversia a partir de dos expe-dicionesgeodsicasquedisponerealizarlaAcademiadeCienciasde Pars:unaaLaponiacercanaalalatitud66;otraalPercercanaal Ecuador. Los resultados de estas expediciones confirmaron la concepcin de Newton. Durante los siguientes 200 aoslas determinaciones del radio yaplastamientodelaTierraseconvirtieronenmsprecisasamedidaque las tcnicas geodsicas se fueron refinando. EnlaprimeramitaddelsigloXXelmtodoutilizadoparalos levantamientosgeodsicosfuefundamentalmenteeldetriangulacin RdrNEWTON (Inglaterra)DDRrCASSINI (Francia)dII-6Nociones de Geodesia basadoenlatrabajosamedicindeunabaseconhilosinvaryenmedi-ciones angulares. En la segunda mitad del siglo XX irrumpieron los elec-trodistancimetros,facilitandonotablementelamedicindedistancias conadecuadaprecisin.Estoprodujounapredileccinporlatrilatera-cin (Figura 5). Figura 5 SobrefinesdelsigloXXlosgeodestastienenaccesomasivoalSistema de Posicionamiento Global que permiteel posicionamiento pre-cisode puntos terrestres a partir de seales provenientesde satlites arti-ficiales diseados para ese fin. 2.3 Aspectos conceptuales bsicos Como ya se mencion, la topografa y la geodesia (en su aspecto geomtrico)seplanteancomocuestinfundamentalladeterminacinde las formas, dimensiones y ubicacin de un sector dela superficie terres-tre. Este sector puede corresponder a un rea muy pequea (algunas de-Hilos invarElectrodistancimetrosNociones de GeodesiaII-7 cenas de metros cuadrados) o a una muy grande (con extensin continen-tal o mundial).

Cuandosetratadedefinirlaforma,dimensionesyubicacinde unobjetoirregular,(eselcasodelasuperficiedelaTierra)podemos pensar en reducir el problema a la determinacin de la posicin espacial depuntosadecuadamenteelegidosdeeseobjeto,apartirdeloscuales podemos inferir un resultado. Es decir que la discretizacin del problema planteado permite obtener una solucin, que ser tanto ms precisa cuan-do mayor sea la densidad y la calidad de los puntos seleccionados. Justamente en topografa y geodesia, el punto es la entidad gene-radora de la superficie terrestre. El problema tal cual est planteado queda entonces resuelto si de-terminamos las coordenadas espaciales de los puntos mencionados (Figu-ra 6). Las coordenadas pueden ser, por ejemplo, las cartesianas ortogona-les x, y, z o las polares , , correspondientes a una terna de ejes.Figura 6 Esnecesarioentoncesdefinirunsistemadecoordenadasterres-tres, ello implica establecer la ubicacin del origen del sistema y la orien-tacindeporlomenosdosdelosejesdetalmaneraqueelsistemaper-manezca fijo respectodela Tierra. Sedefine as un sistema trirrectangu-lar de mano derecha con origen en el centro de masas de la Tierra, con su zyxzyxPII-8Nociones de Geodesia ejeZapuntandoalPoloNorteConvencionalysuejeXpasandoporla interseccin del plano del Ecuador y del meridiano de Greenwich. Unavezconcebidoelsistemadereferencia,sepresentaunpro-blemaadicional: Cmoutilizarenlaprcticaelsistemapreviamente definido? La manera de hacerlo es a travs de un conjunto de puntos fijos que previamente se materializan en forma permanente sobre la superficie terrestre y cuyas coordenadas en dicho sistema son conocidas. Estos pun-tos constituyen un marco de referencia geodsico. Entonces, el problema prcticodeposicionamientosereduciraladeterminacindelaubica-cin relativa de puntos respecto del marco de referencia mencionado. 2.4Superficies de referencia 2.4.1 Geoide SibienlasuperficiefsicadelaTierrapuedeserrepresentada puntoapuntopormediodecoordenadascomolasdescriptashasta aqu, existen una gran cantidadde requerimientos prcticos (lamayora vincu-ladosaladeterminacindeladireccindeescurrimientodelagua)que imponenladeterminacindealturasrespectodeunasuperficiedenivel (superficie horizontal). Cabesealarquelascoordenadasespacialesdeunpuntoconsti-tuyen una referencia puramentegeomtricamientras quelas alturas refe-ridas en ltimo trmino dependen del campo de gravedad terrestre, el que asuvezdependedeladistribucindemasasenelinteriordelplaneta, adquiriendo as un significado fsico. Inmediatamente surgen dos preguntas: a)Qu es una superficie de nivel? b)Porquesnecesariodeterminarladistanciadelospuntosaesa superficie? Se define como superficie horizontal, o superficie de nivel o superfi-cie equipotencial del campo de gravedad a aquella que en todos sus pun-tos es normal a la direccin de la vertical del lugar, la cual coincide con la Nociones de GeodesiaII-9 direccindelagravedadencadapuntoyesladireccindelaresultante de la fuerza de atraccin de la masa terrestre y la fuerza centrfuga produ-cida por la rotacin terrestre (Figura 7). Figura 7 LaTierraaparecerentonces,laminadaporsuperficiesequipo-tenciales o de nivel de las cuales se destaca una, la que mejor se ajusta al nivel medio del mar; es el geoide. Todasestassuperficiestienenlapropiedadcomndequesise deposita sobreellas una partcula de agua,sta no sufrir ningndespla-zamiento. Es ahora sencillo entender por qu ese requerimiento adicional, claro,ladeterminacindeladistancia(segnladireccindelavertical) entrepuntosdelasuperficieterrestreyunasuperficiedeniveltomada comosuperficiedereferencianospermitirdefinir,enprincipio,ladi-reccin y velocidad del escurrimiento del agua entre dichos puntos. Aestaalturadelanlisisdelproblemayasepuedenidentificar dos componentes de origen independiente: a)Una componente geomtrica (coordenadas espaciales)VerticalFuerza (masa)Fuerza (rotacin)Eje de rotacinEcuadorII-10Nociones de Geodesia b)Unacomponentefsicavinculadaalcampogravitatorioterrestre (vertical o superficie de nivel). Desdeya se puedemencionar que un problema centralesdefinir correctamente las superficies de nivel. Como ya se adelant la configura-cindeestassuperficiesdenivel,dependerdeladistribucindemasas en el interior de la Tierra, que es desconocida. 2.4.2Elipsoide de revolucin Desdeelpuntodevistageomtrico,lascoordenadascartesianas, aunqueadecuadasparaelclculo,noproporcionanunaideaclaraein-mediata dela posicindelos puntos sobre la superficie terrestre. Por esa razn,engeodesia,esusualreferirlaposicinespacialdepuntosauna superficiequeaproximelaformadelaTierra.Enesesentidosedefine comosuperficiegeomtricadereferencialaquecorrespondeaunelip-soide de revolucin. La forma y dimensin del elipsoide de revolucin terrestre queda determinadapordosparmetros(porejemplo,a:semiejemayoryb:se-mieje menor),adems es necesario definir su ubicacin y orientacin. Tantosuformaydimensiones,dadasporayb,comosuubica-cinyorientacinseobtienentratandodeajustarlodelamejormanera posiblealgeoide.Elcentrodelelipsoidecoincideasconelorigendel sistemacartesianoyelsemiejemenorconelejeZ.Esposibleentonces obtener lascoordenadas elipsidicas o geodsicas B, L y h (Figura 8). Deestamanera cada sistemade referenciageodsico tendr aso-ciado un elipsoide de revolucin. Las coordenadas geodsicas del punto P se definen de la siguien-te manera: -LalatitudgeodsicaBeselnguloentreelplanodelEcuadory la normal al elipsoide que pasa por el punto P medida en el plano del meridiano del punto. El origen de las latitudes es el Ecuador y vara entre 0 y 90 en el hemisferio norte y entre 0 y -90 en el hemisferio sur.Nociones de GeodesiaII-11

Meridiano de GreenwichPolo convencional terrestreEcuadorCentro demasasterrestrenormal al elipsoideP (punto a posicionar)zYxP LBhba Figura 8 -La longitudgeodsica Lesel ngulodeldiedrodeterminado por el meridiano de Greenwich, es decir el plano (x, z) y el meridiano que contiene al punto P. La longitud vara entre 0 y 180 medida desdeelmeridianodeGreenwichhaciaelestey0y-180me-dida desde el meridiano de Greenwich hacia el oeste. -La altura geodsica hesla distancia entreel puntoyelelipsoide medida a lo largode lanormal alelipsoide. La altura es positiva por encima del elipsoide y negativa por debajo de l. Lautilizacindeesteltimotipodecoordenadaspermiteubicar alpuntoenalturapormediodeh(enestecasorespectodelelipsoide adoptado)ydeterminarlaposicindesuproyeccinsobreelelipsoide por medio de B y L. Resumiendosepuededecirquetantolascoordenadascartesianas geocntricas (x, y, z), las polares (, , ) como las coordenadas geodsicas (B, L, h) representan formas distintas de expresar la posicin espacial de un punto. Existen frmulas que permiten realizar las conversionesentre estos diferentes tipos de coordenadas (ver en Bibliografa: Leick A., 1997) II-12Nociones de Geodesia Amododeejemplosepuededecirquetpicamentelascoordena-dascartesianasrectangularesseutilizanengeodesiaespacialyenmicro-geodesia,laspolaresencampodegravedad,lascoordenadaselipsidicas se utilizan en geodesia clsica y sus representaciones planas en cartografa. 2.5 Geodesia Clsica Lageodesiaclsicarealizabasuslevantamientosapartirdeun punto origen al que previamente se le asignaban coordenadas elipsidicasconelauxiliodelaastronomageodsicaydelanivelacingeomtrica deprecisin(2.5.2).Esteorigentieneasociadotambinunaorientacin (acimut)necesariaparaelposteriorlevantamientodepuntos.Apartirde eseorigensetransportabanlascoordenadasByLaotrospuntosdela redbasndoseenmedicionesangulares,dedistanciasydelclculoelip-sidico correspondiente. Latercercoordenadageodsicah(alturaelipsidica),aunque conjuntamenteconByLpermitenubicarunvocamenteunpuntoenel espacio,engeneral,paralageodesiaclsicafueimposibledeterminarla, es decir, que se trataba de levantamientos bidimensionales. Juntoconlas coordenadas geodsicas By Lera usual que se pu-blicarala altitudmedidarespectodeunasuperficieequipotencial,usual-mente el geoide, denominada ortomtrica, la cual puede obtenerse en una primera aproximacin por medio de nivelacin geomtrica de precisin. Porestarazn,enlaRepblicaArgentina,conelusodelageo-desia clsica se han materializado sobre el territorio las siguientes redes: -Por un lado, la red de puntos trigonomtricos (con sus correspon-dientespilaresdeacimut)constituidaporunconjuntodepuntos monumentadosconlascoordenadasgeodsicasB(latitud)yL (longitud) correspondientes. -Por otro, las redes de nivelacin, referidas a las alturas de algunas estacionesmareogrficas(quedefinenelnivelmediodelmar), tambin materializadas por un conjunto de mojones de los cuales se determinaron las alturas ortomtricas aproximadas H. Nociones de GeodesiaII-13 2.5.1Levantamiento geodsico ParalageodesiaclsicahasidoimposibledefinirunSistemade Referencianicoparatodoelplaneta.Asesqueexistenmltiplesmar-cosde referencia geodsicosen los queel ajusteentreelipsoideygeoide se planteaba a nivel regional, con un origen que en general se encontraba desplazado respecto del geocentro. El procedimiento utilizado para definir este tipo de marcos de re-ferencia regionalesha sido el siguiente: En un punto elegido como origen del levantamiento a)SedeterminabalaalturaHsobreelnivelmediodemarme-diante nivelacin geomtrica de precisin. b)Sedeterminaban las coordenadas astronmicas: latitud m, y la longitud emediante Astronoma Geodsica. c)Sedeterminabaunacimutastronmicodeorientacinenel arranque mediante Astronoma Geodsica. d)Se realizaba la medicin de una longitud denominada base. 2.5.2 Asignacin de coordenadas del origen P (B, L, h) B = m aproximacin vlida en el orden de 200 m L = - eaproximacin vlida en el orden de 200 m El orden de las aproximaciones indicadas anteriormente se debe a quemientraslascoordenadasastronmicasestnreferidasaladireccin de la vertical, las coordenadas geodsicas estn referidas a la direccin de la normal, el nguloentre ambas direccioneses eldenominado desvo de la vertical. h = H aproximacin vlida en el orden de 50 m. Elordendelaaproximacinanteriorsedebeaquelaalturaor-tomtricaestreferidaalgeoidemientrasquelaalturaelipsidicaest referida al elipsoide. II-14Nociones de Geodesia En la Figura 9 se puedevisualizar el significado dela asignacin anterior,supuestoporcomodidadeldesvodelaverticalenelplanodel dibujo. Deella deducimos quelas coordenadas asignadas a P son en rea-lidad las coordenadas geodsicas de un punto P1 necesariamente prximo a P (para tener una idea, como ya se dijo, 100, 200 300 metros). Figura 9 Estoesequivalenteentonces,adesplazarenelarranque,elelip-soide terrestre centrado en el centro de masas de la Tierra, segn elvec-tor P1P, lo que significa que entre elelipsoide y el geoide existe un punto de contacto en el cual ambas superficies son tangentes. Enresumensepuededecirqueenlageodesiaclsicalasredes son calculadassobreunelipsoidepropiono centrado cuya ubicacin yorientacin depender del punto de arranque elegido. EnlaRepblicaArgentinadurantelasltimasdcadasyhasta mayode1997elmarcodereferenciaoficialfueeldenominadoCampo Inchauspe1969(CAI69),elquefueradefinidomediantelosprocedi-mientosindicadosyquesonpropiosdelageodesiaclsica.Elelipsoide asociado a dicho marco es el de Hayford. Su origen y orientacin espacial seajustaronparaquefueratangentealgeoideenelparajeCampoIn-chauspe ubicado en la provincia de Buenos Aires. P1normal n 1vElipsoide terrestreGeoidenormal n(B,L)Pvertical vHHNh(m.e)Nociones de GeodesiaII-15 Losparmetrosgeomtricoscorrespondientesalelipsoidede Hayford son: semieje mayora =6378388 m aplastamiento2971==ab a dondeb es el semieje menor CabesealarqueelmarcodereferenciaCAI69cuentacon, aproximadamente,18000 puntos. 2.6 Geodesia Satelital Apartirdelasobservacionessatelitalesesposibledeterminarla posicinespacialdepuntosterrestresatravsdetrescoordenadasque estarnreferidas a un sistema de referencia global. SegnladefinicinconvencionaladoptadaporlaAsociacin InternacionaldeGeodesiayporlaUninAstronmicaInternacional,el Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS) es una terna trirrec-tangulardemanoderecha,deejesx,y,z,cuyoorigencoincideconel centrodemasasdelaTierra,suejezpasaporelpoloconvencionalte-rrestredefinidoporelServicioInternacionaldeRotacindelaTierra (IERS).Losejesxeysonperpendicularesalejez,conelejexdefinido porlainterseccindelmeridianodeGreenwich,tambindefinidoporel IERS, y el plano del ecuador terrestre. ConelaportedelosservicioscientficosdelaAsociacinInter-nacionaldeGeodesia,hasidoposiblematerializarsobrelasuperficie terrestresistemasdereferenciageocntricosenloscualeselajusteentre elipsoideygeoideseplanteaanivelglobal.Cadaunodeestosservicios utiliza una tcnica de observacin distinta: -Servicio Internacional de GPS (International GPS Service. IGS) -ServicioInternacionalderastreolser(InternationalLaserRan-ging Service. ILRS) II-16Nociones de Geodesia -Servicio Internacional de Interferometra sobre lneas base muy largasparageodesiayastronoma(InternationalVLBIService for Geodesy and Astrometry. IVS). Figura 10 Red Posgar 94Puntos PosgarNociones de GeodesiaII-17 Cabe mencionar que a partir de mltiples recomendaciones, en la Repblica Argentina se decidi adoptar el Sistema de Referencia WGS84 (World Geodetic System 1984), de origen satelital. Para materializarlo se desarrollelproyectoPosgar(PosicionesGeodsicasArgentinas).Se trata de una red constituida por 127 puntos (Figura 10) distribuidos ms o menosregularmentesobreelterritorionacional(ladistanciapromedio entre puntos es de aproximadamente 200 Km.) y est basada en medicio-nesGPS.Enmayode1997,luegoderealizadaslasobservacionesyel clculo correspondiente, fue adoptado oficialmente a travs dela resolu-cin 13/97 del Instituto Geogrfico Militar, elnuevo marcode referencia geodsico en la Argentina que recibe el nombre POSGAR 94. Este marco usa el elipsoide denominado WGS84 definido por los siguientes parmetros: semieje mayora = 6378137 m aplastamientoo= 1/298.257223563. 2.7 Transformacin entre Marcos de Referencia Dado un punto P cuyas coordenadas cartesianas son conocidas en un marco de referencia, muchas veces es necesario calcular las coordena-das de dicho punto en otro marco. Dos marcos quedan vinculados a travs de siete parmetros: tres tras-laciones, tres rotaciones y un factor de escala. Conocidos los siete parmetros, existen expresiones que permiten realizar la transformacin sealada. LosprimerosparmetrosdetransformacinconocidosentreCampo Inchauspe 69 y WGS84 fueron las tres componentes del desplazamiento entre los orgenes de ambos sistemas, determinados por la Agencia Cartogrfica del DepartamentodeDefensa(DMA)delosEstadosUnidosdeAmrica(hoy denominado NIMA) en el ao 1991 a partir de observaciones realizadas por el Sistema Transit en Argentina. Estos valores son: x = -148 m y =136 m z =90 m II-18Nociones de Geodesia y fueron determinados con una incertidumbre del orden de los 5 metros. Las coordenadas en el nuevo marco se calculan con:

Esta transformacin al realizarse con solo tres parmetros, supone que elfactor de escala es igual a la unidad y que las tres rotaciones son nulas (Figura 11). Figura 11 La transformacin de siete parmetros serealiza con la expresin: (II-1)

+

=

zyxzyxzyx'''

+

+ =

xyxzyxRx RyRx Rz -Ry Rz 1k) (1zyx'''11zyxabz'b'y'' ax'Desplazamiento ~ 220 m.oo'Nociones de GeodesiaII-19 donde: x, y, z : son las componentes del desplazamiento del origenRx, Ry, Rz: son las rotaciones de los ejes k: es el factor de escala La expresin (II-1) es vlida para Rx, Ry, y Rz pequeos, los que estn expresados en radianes. Enjuniode1996,C.Brunini,J.OlondrizyR.Rodrguez,en su trabajo Determinacindeparmetros de transformacin entre los sistemas de Campo Inchauspe1969y WGS84 en Argentina,determi-naronnuevosparmetrosutilizando50puntosconcoordenadasco-nocidasenambosmarcos.Secalcularonlosparmetrosconsideran-doslolas trescomponentesdeldesplazamientodelorigen; se reali-z tambin el clculo adicionando el factor de escala y las rotaciones delosejes(Figura12)yfinalmentesedeterminaronloscoeficientes correspondientesalasfrmulasderegresinmltipleparalalatitud y longitud (bidimensional). Figura 12 zyabz'b'y'' aoo'x x'AA A x, y, zRzRyRxII-20Nociones de Geodesia Los autores mencionados determinaron adems, a travs del ajus- tecorrespondiente,la desviacinestndar delos residuos correspondien-tes a las coordenadas horizontales. Respectodeladeterminacindeestosparmetrosesimportante recordar queenelmarco CAI69 no sedisponede alturas elipsidicas, es decir,tienecarcterbidimensional.Siademssetienenencuentalos errores propios de cada marco se puede decir que para la coordenada h, la transformacin,slopermiteobtenerunvaloraproximadocuyoerror sera difcilprecisar. 2.8 Elipsoide equipotencial As como se define un elipsoide de revolucin como superficie de referencia geomtrica, para modelizar el campo de gravedad externo de la Tierra,lageodesiaadoptaelmismoelipsoidealcualleasignalamasa totalylavelocidadangulardelaTierra requirindoseademsquelasu-perficie del elipsoide sea una superficie equipotencial de su propio campo degravedad.Alcampodegravedadgeneradoporestemodeloselode-nominacampodegravedadnormal.DeacuerdoalTeoremadeStokes-Poincar, el campo de gravedad normal queda unvocamente determinado en el espacio exterior del elipsoide. 2.9Modelos de geoide Nivelando con GPS? En la prctica la expresin h = H + N(Figura 13) se puede consi-derarcomovlidayaqueeldesvodelavertical(i)esunvalormuype-queo (nunca se encontr un valor que supere los 30). Como se ver en el Captulo III, con GPS se pueden determinar las coordenadas cartesianas x, y,zdeunpunto,luegoaplicandolasfrmulasdeconversincorrespon-dientes se podrn calcular inmediatamente las coordenadas geodsicas B, L y h. Posteriormente se podr calcular la cota ortomtrica H(la que interesa en nivelacin) si el valor de N en ese punto es conocido, donde N represen-ta la distancia geoide-elipsoide denominada ondulacin del geoide. Nociones de GeodesiaII-21 Figura 13 Sisetratadedeterminarladireccindelescurrimientodelagua entredos puntosesnecesariodeterminar la diferenciade alturas ortom-tricas(enprimeraaproximacin,yaquesololascotasdinmicasposeen estapropiedad). Ms precisamente, podremos decir que si se consideran los puntos P y Q, resulta: hQ = HQ+NQ hP = HP+NP HQ - HP = (hQ - hP) - (NQ - NP) es decir, que la diferencia de nivel ser igual a la diferencia de altura elip-sidicaslosiladiferenciadeondulacinesnula,delocontrariohabr que conocer la diferencia de ondulacin. Cabesealarqueenlaprcticaexistenmltiplesaplicaciones, fundamentalmentelasdeordentopogrfico,enlascuales,bajodetermi-nadas condiciones resulta vlido despreciar la diferencia de ondulacin. Elproblemainversoconsistirendeterminarondulaciones en Elipsoide de ReferenciaNPGeoideTerrenoII-22Nociones de Geodesia puntosdiscretos de una reginque permitan inferir (por interpolacin) la ondulacin en cualquier punto. Es lo que se llama Modelo de geoide. Una forma de modelizar el geoide consiste en determinar h sobre puntosdecotaortomtricaconocidaorecprocamentenivelarentrepun-tosdealtitudelipsidicaconocidas,entoncessepodrndeterminardife-rencias de ondulacin con: NQ - NP = (hQ - hP) - (HQ + HP) EnlaRepblicaArgentinasehanelaboradomodelosdegeoide regionalesenbaseamedicionesrealizadasconGPSsobrepuntosdeni-velacin. Estos trabajos permitiranobtener valoresde ondulaciones, con precisionescentimtricas,comoeselcasodemodelosobtenidosparala ProvinciadeBuenosAires(PerdomoR.yotros.Nuevosavancesenla determinacindeunmodelodetransformacindealturasparalapro-vincia de Buenos Aires. A.A.G.G. 2002). ExistentambinmodelosglobalesdegeoidecomoOSU91dela UniversidaddeOhioyEGM96(NasaGSFCyDMA)quepermitencal-cular las ondulacionesdelgeoidedesde undesarrolloen armnicosesf-ricos del potencial gravitacional terrestre. Estos modelos, aunque carecen deresolucinsuficienteparamuchasaplicacionesresultantilescomo referencia para modelos regionales. 2.10 Representacin Plana 2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representacin Comoyasevioeneldesarrollodeloscaptulosprecedenteslas coordenadasgeodsicasB,Lyh,esdecirlalatitud,longitudyaltura elipsidicas respectivamente,determinan unvocamentela posicinespa-cial de puntos respecto de un elipsoide de revolucin tomado como super-ficiegeodsicadereferencia.Aunquelautilizacindeestetipodecoor-denadasresultadegranutilidadengeodesia,suusoresultaincmodo para emplearlo en determinadas aplicaciones. En efecto, teniendo en cuenta que las coordenadas horizontales B Nociones de GeodesiaII-23 yLdelospuntosseexpresanenunidadesangulares(grados,minutosy segundos de latitud y longitud), cuando se pretende determinar distancias entre puntosodireccionesdefinidas porstos, se presentaninconvenien-testalescomoqueelvalorlinealequivalentealasunidadesangulares mencionadasdependedelaposicindelpunto,oquelasdireccionesde los meridianos no son paralelas. Se tiene entonces que aun para pequeas extensiones los clculos queserealizanapartirdecoordenadasgeodsicasrequieren,enmuchos casos, la intervencin de un profesional con conocimientos especializados enclculogeodsico.Enalgunasaplicacioneslosclculospuedenreali-zarse con software existente. Resultaparticularmentetil,medianteunaadecuadatransforma-cin,reemplazarlascoordenadaselipsidicasByLporcoordenadas planas rectangulares con las consecuentes ventajas que ello implica. Latransformacinanteriorimplicadefinirla relacin analticaentre las coordenadas geodsicas horizontales (B, L)delpuntogenrico Qylascorrespondientes(X,Y)desuimagenenelplano,esdecir,Q (Figura 14). Figura 14 normal al elipsoidezyxLBQQ'YX(B,L)(X,Y)ConversinII-24Nociones de Geodesia Estas relaciones analticas estnexpresadas genricamenteen las siguientes ecuaciones: X = f1 (B, L, a, b)Y = f2 (B, L, a, b) donde : B,L:sonlascoordenadasgeodsicasquedeterminanla posicin de un punto sobre el elipsoide X,Y:sonlascoordenadasrectangularesquedeterminan la posicin del punto imagen sobre el plano a : semieje mayor del elipsoide terrestre b : semieje menor del elipsoide terrestre. Definir el tipo de representacin es encontrar las funciones f1y

f2 enbaseadeterminadascondicionesqueseimponenapriori.Existen numerososautoresquedesarrollanminuciosamenteestetemausando como criterio general minimizar la distorsin entre las figuras en la super-ficie origen y su representacin plana. 2.10.2Representacin conforme. Deformaciones Si alelementode arcodsdela curva Cdela superficie S, leco-rresponde en el plano un elemento de arco ds de la curva imagen C, a la razn se la denomina coeficiente de deformacin lineal. La representacin plana de la superficie S se llama conforme si la deformacin lineal m slo depende de la posicin del punto P, pero fijado ste, es la misma para todas las direcciones. El resultado de esa condicindeconformidadesqueunngulosobrelasuperficieespreservadoenel plano, es decir, la representacin es isogonal. dsdsm'=Nociones de GeodesiaII-25 Dos superficies sellamanisomtricas si puedeestablecerseentre sus puntos una correspondencia biunvoca que conserve las longitudes, es decir: ds = ds o sea m = 1 Planteado el problema en trminos matemticos se demuestra que engeneralserimposibleencontrardosfuncionesquecumplansimult-neamenteconlascondicionesdeconformidadeisometra,salvoquela superficiearepresentarverifiquecondicionesespeciales.Sepuedede-mostrarquelacondicinnecesariaquedebecumplirlasuperficie,para que su representacin planasea conformeeisomtrica esque sea desa-rrollable. Debidoaqueelelipsoidederevolucinnoesunasuperficiede-sarrollable,lasfigurasplanassernsiempreheteromorfasdelascorres-pondientes figuras que representan, esdecir, que al pasar dela superficie de referencia al plano la deformacin es inevitable (Figura 15). Figura 15 Conlafinalidadderealizarestetipodetransformacionessehan desarrolladomltiplessistemasderepresentacin(proyecciones).En geodesia se utilizan representaciones conformes. Cabe sealar que una de las caractersticas, que justifica el uso de este tipo de proyecciones es que elipsoideplanoDeformacionesII-26Nociones de Geodesia paraunafiguradeextensinlimitada,surepresentacinplanaresulta semejante. En general se puede decir que el tipo de proyeccin a utilizar de-pende de las caractersticas del rea a representar. Por ejemplo en territo-riosextendidospreferentementeenladireccinN-ScomolaRepblica Argentina,sonadecuadaslasproyeccionescilndricastransversales.En ellas se utiliza como superficie intermedia un cilindro tangente a la super-ficie de referencia terrestre a lo largo de un meridiano llamado meridiano de tangencia o meridiano central. Si se considera queel aplastamiento de laelipseesnulo, losme-ridianos sern circulares y estaremos en el caso de la proyeccin cilndri-ca transversal de Lambert, cuyo desarrollo es particularmente sencillo. En geodesia el cilindro ser elptico ya que los meridianos tambin lo son. Como ejemplo se brindan algunos detalles sobre el tipo de repre-sentacinutilizadaenlaRepblicaArgentina.Enestepasseadopten el ao 1925la proyeccin conforme Gauss Krger (cilndrica transversal conforme) como sistema de representacin plano. Fijadounmeridianocentral(meridianodetangencia),lasabsci-sas se miden sobre el meridiano central desde el polo sur hasta el pie de la proyeccinortogonaldelpunto.Lasordenadassemidendesdeelmeri-diano de tangencia creciendo de Oeste a Este (Figura 16). Figura 16 Q'YX=xxyQ(B,L)Meridianocentral (m.c.)m.c.Nociones de GeodesiaII-27 Ademsdelacondicindeconformidad,seestablecequelos puntosdelmeridianocentralseanrepresentadossindeformacin,esde-cir, que cadaelementodelejedelas abscisas enel planoes igual al arco elptico del meridiano que representa. Las deformaciones lineales crecen rpidamente con la distancia al meridianocentral,porloquerepresentarlospuntosdetodaunasuperfi-cie elipsidica muy extendida en direccin E-O no es aconsejable, ya que lasdeformaciones(aunquecalculables)serandemasiadograndesyesto distorsionara apreciablemente las figuras. Eneste sentido, y conla fina-lidaddelimitarlasdeformaciones,esrecomendableladivisindelasu-perficieenzonas,quetendrnunarepresentacinplanaindependiente una de otra. Comoresultadodeloanteriormentemencionadoelterritoriode laRepblicaArgentinasedivideen7fajasmeridianasde3deancho cadauna,conmeridianoscentralesenlaslongitudes72,69,66,63, 60, 57, 54 al oeste de Greenwich. Paradistinguir por sus ordenadas cada una de las fajas,empleandoademsslonmerospositivosseasignanalosmeridianos centrales las siguientes ordenadas. Al meridiano 72 de la 1a faja, la ordenada 1.500.000 metros Al meridiano 69 de la 2a faja, la ordenada 2.500.000 metros Al meridiano 66 de la 3a faja, la ordenada 3.500.000 metros Al meridiano 63 de la 4a faja, la ordenada 4.500.000 metros Al meridiano 60 de la 5a faja, la ordenada 5.500.000 metros Al meridiano 57 de la 6a faja, la ordenada 6.500.000 metros Al meridiano 54 de la 7a faja, la ordenada 7.500.000 metros Debe tenerseencuenta queen la representacin plana de una re-ginconmsde una faja meridiana se pierdela continuidadespacial por lo que carece de sentido integrar puntos cuyas coordenadas planas fueron calculadas con distintos meridianos centrales. En estos casos, ser necesa-riorecalcularlascoordenadasproyectivasdelospuntosmencionados utilizando un nico meridiano central. II-28Nociones de Geodesia Tngase en cuenta que las coordenadas Gauss Krger de un pun-toestarnsiempreasociadasaunmarcodereferenciageodsicoyaque son funcin de las coordenadas B y L del punto que dependern del mar-co de referencia en el que estn expresadas.

Captulo IIIIII-1 La obtencin de coordenadas 3.1 El problema de la pirmide Para determinar la posicin de un punto en el espacio, es suficien-teconocerlasdistanciasatrespuntosde coordenadas conocidas. Se trata deunainterseccinespacialinversa.Esunproblemageomtricorelativa-mentesimple,msalldelas dificultades que su clculo suponga. Se tra-ta, en definitiva de una pirmide de base triangular. En la Figura 1, las letras S indican la posicin de los satlites y la letraPladelpuntocuyascoordenadassequiereconocer,esdecirlaubi-cacin del receptor GPS. S2PS1E1NO!S1S3S1E1121CS2PE2E22S2E3C!3S3E3pp ppp Figura 1 Desdeelpuntodevistageomtricoelproblema tiene dos solucio-nes, pero es fcil elegir la correcta, puesto que la otra est ubicada a unos 40.000 km. de la superficie terrestre. III-2La obtencin de coordenadas El punto P se corresponde con la interseccin entre las tres esferas que tienen por radios, respectivamente, las distancias PS1; PS2 y PS3. 3.1.1 Posicionamiento mediante cdigo C/A Cuando se dise GPS se estableci que el cdigo C/A (cdigo de adquisicincomn)fueradelibreadquisicin,esdecirnoreservadopara uso militar. ElproblemaaresolveresMEDIRLASDISTANCIASentre sa-tlites y receptor. Para ello vamos a utilizar el llamado cdigo C/A. Recordemoselmtodoaplicadoenlosdistancimetroselectrni-cos:el aparato emite una onda homognea de frecuencia conocida, la cual sereflejaenunprisma colocado en el otro extremo del segmento a medir; elreboteesrecibidoporelaparato,elcual mide el desfasaje, lo convierte entiempoyporlotantoendistancia equivalente. Dejamos de lado aspec-tos particulares de la distanciometra electrnica que no vienen al caso. EnGPSlamedicinesdevanica,esdecirnohayreflexin. Debemedirseeltiemponecesarioparaquelasealrecorraladistancia satlite - receptor. Puesto que se trata de medir tiempos es necesario contar con relojes adecuados tanto en los satlites como en el receptor. En realidad son instrumentos que distan mucho de la nocin usual dereloj.Setratadeosciladoresdefrecuenciasmuyestablescapacesde sealar medidas de tiempo del orden de 10-13 segundos (o 10-14) en los sat-lites y 10-8 segundos en los receptores. 3.1.2 La seal del satlite Hayunafrecuenciafundamental,generadaporelosciladordel satlite, de ella se derivan todas las dems frecuencias que el satlite utili-zaparaemitir.Seemitendos ondas portadoras, llamadas L1 y L2 ; sobre una de ellas, L1, se monta la modulacin correspondiente al cdigo C/A. EnlaFigura2seintentaesquematizar,dealgunamanera,eltipo de seal que emiten los satlites y los componentes de la misma. La obtencin de coordenadasIII-3 Cdigos (P y C/A), Portadoras (L1 y L2)Pseudo ruidoL2L1C/APMENSAJE(Efemrides, etc.)Longitud de onda 30 m.Longitud de onda 300 m.Longitud de onda 19 cm.Longitud de onda 24 cm. Figura 2 Porahoranosremitiremos casi exclusivamente al CDIGO C/A co-mo medio para efectuar la medicin de las distancias que nos interesan. Supongamos un satlite en particular:

Al cdigo lo podemos imaginar como una serie de ceros y unos, o biende(+1)y(-1),enunciertoorden.Almultiplicarlaondaportadora porelcdigo,aquellanosealteracuandoseencuentracon los (+1), pero se invierte donde aparecen los (-1). Todo ello da como resultado una onda deformada,unseudoruidoaparentementealeatorio,quees lo que llega al receptor. LoquegraficamosenlaFigura3esuncroquistotalmentefuera deescala,slovlidoconfinesdidcticos.Lasealemitidaesel resultado de multiplicar a la onda portadora por el cdigo. III-4La obtencin de coordenadas

SEAL,PORTADORA,CDI GOseal emit idaonda port adoracdigo moduladorFigura 3 -cadasatlitecuentaconuncdigoC/Adiferente,loquegenerauna modulacin especfica de la seal, propia y exclusiva de ese satlite -detalmodoseobtieneunPRN(ruidoseudoaleatorio)distintivo de ese satlite -si queremos hacer una analoga grfica podramos decir que es un dibujo caracterstico de ese satlite. Peroadems,esedibujo,vaasociadoaltiempo;serepitecada milisegundo y le corresponde un instante determinado para comenzar cada repeticin;eseinstantenopuedesercualquiera,debesercomn atodo el sistema. 3.1.3Medicin de la distancia Cadareceptortienealmacenadasensumemorialasrplicasde todoslosPRN.Ascuandorecibelaemisinsatelitalpuedeefectuarel reconocimiento del satlite correspondiente. A continuacin, procesando la seal, recupera el cdigo con el que fue modulada y, a la vez, genera inte-La obtencin de coordenadasIII-5 riormenteunarplicadelcdigorecibido,peroobviamentedesfasado, puesto que el recibido debi viajar por el espacio, siendo recibido con un retardo (Figura 4). Incgnitas: x y z (Coordenadas de la antena)Retardo = Range (distancia)TUC o TGPSTiempoCdigo LocalCdigo RecibidoRetardoCdigo Transmitido Figura 4 Laoperacin siguiente consiste en correlacionar los cdigos (reci-bidoyautogeneradoolocal),loquepermitemedireltiempoyporlo tanto la distancia (considerando conocida la velocidad de la luz en el espa-cio). 3.1.4Relacin entre cdigo C/A, tiempo y distancia - cdigo completo1milisegundo = 10-3 segundos~300.000 m - un elemento (*) 1microsegundo = 10-6 segundos~300 m- apreciacin (**)10nanosegundos = 10-8 segundos~3 m (*) es la milsima parte del cdigo completo (**)enlacorrelacinentreelcdigorecibidoyelcdigolocal,sepuede apreciar una centsima parte de un elemento III-6La obtencin de coordenadas Pero se miden SEUDODISTANCIAS Y ello es lgico porque la sincronizacin de los relojes (el del sat-liteyeldelreceptor)nopuedeserperfecta.Paracomprenderlobastara tan slo tener en cuenta la diferencia existente entre la precisin que carac-teriza al reloj del satlite y la del reloj del receptor. Laconsecuenciaesqueladistanciaobservadanoeslareal,sino unvalorprximoquedifiereenunalongitudd=c.(-R)(dondec= velocidad de la luz).(Figura 5) Cdigo RecibidoCdigo TransmitidoCdigo LocalRetardo = Range + Error de relojIncgnitas: x y z (Coordenadas de la antena) Error del reloj del receptorRetardoRangeTiempoTUC o TGPSoRoR Figura 5 Surge as una incgnita imprevista: R es una incgnita que repre-senta el error del reloj del receptor respecto al sistema de tiempo GPS. La obtencin de coordenadasIII-7 Culeslasolucinaesteinconveniente?Muysencilla,como todas las soluciones geniales. El propio sistema nos la brinda. 3 de posicin(xp, yp, zp) Hay 4 incgnitas1 de reloj(R) Seresuelveobservando4satlitesenvezde3yresolviendoun sistemade4ecuaciones con 4 incgnitas. Eso simplifica enormemente las cosas porque permite utilizar en los receptores osciladores menos precisos que los de los satlites y obviamente con muchsimo menor costo. Comovemoseselpropiosistemaelquecontrola,ycorrige,el estado de los relojes de los receptores. 3.2 Ecuaciones de observacin De la Figura 6 surge inmediatamente la ecuacin posterior (posicin)PpsdS(satlite) Figura 6 Coordenadas de S (satlite): xs, ys, zs Coordenadas de P (posicin) xp, yp, zp III-8La obtencin de coordenadas 2 = (xs - xp)2 + (ys - yp)2 + (zs - zp)2 donde = sd + d y d = c . (-R)(donde c = velocidad de la luz) (III-1) tendremos una ecuacin de este tipo por cada satlite observado. Para efectuar el clculo debe efectuarse cierta manipulacin de esa ecuacin,cuestinquenopretendemosdesarrollaraqu;bastaconsaber queesposiblecalcular(xp,yp,zp, d),loqueconstituyelasolucindel sistema de ecuaciones antes mencionado - Observacin: Para trabajar en 3 dimensiones (basta con)sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas Para trabajar en 2 dimensiones(basta con) sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas Enocasionespuedeserconvenientetrabajarendosdimensiones, por ejemplo en casos que se tiene un valor aproximado de la altura o cuando exis-tendificultadesparaobservar4satlites(arboleda,edificios,etc.).Entales condicionesconslo3satlitessepuedeobtenerunbuenposicionamiento horizontal, es decir latitud y longitud. Probablementevalela pena recordar que cuando hablamos de altura, nosestamosrefiriendoalaquecorrespondesobreelgeoide(H)osobreel elipsoide (h). Recordemos que la coordenada geocntrica Z no indica altura. 3.3 Precisin del posicionamiento Analicemos la ecuacin (III-1) (sd + d)2 = (xs -xp)2 + (ys - yp)2 + (zs - zp)2 La obtencin de coordenadasIII-9 | n observaci sd datoszyxincgnitaszyxz z y y x x sdssspppdp s p s p s d

+ + = +2 2 2 2) - ( ) - ( ) - ( ) (

Si tenemos en cuenta que: a) la distancia que observa el aparato es en realidad la seudodistancia, pero afectada por una serie de errores (cuyas causas se analizarn de in-mediato) seudodistancia = distancia observada menos una sumatoria de errores sd = dobs - e b) los datos que tenemos sobre las coordenadas de los satlites (a travs de las efemrides) tambin estn afectados por errores, puesto que las rbitas surgen de mediciones y extrapolaciones. xs = xst - exsdonde xst significa coordenada transmitida yexsel error de la misma reemplazando en (III-1), podemos expresar (dobs - e + d)2 = (xst - exs - xp)2 + (yst - eys - yp)2 + (zst - ezs - zp)2 (III-2) 3.3.1Consideracin de los errores Enprimerlugardebedistinguirseclaramenteentreloserrores propios de la medicin y las equivocaciones o errores groseros. Estos lti-mos no dependen de la tcnica o el instrumental de medicin; son producto de la impericia, el cansancio, o incluso de una accin intencional. III-10La obtencin de coordenadas Ahora bien, entre los errores de medicin, debemos separar por un ladoalosllamadossistemticos,cuyacausarespondeaalgunaleyfsica msomenosconocida,ylosllamadosaccidentales,inevitablesentoda medicin, cuyocomportamientohasidocaracterizado mediante la famosa campana de Gauss. Vamos a intentar una esquematizacin de las principales causas de errorenGPSymencionaralgncriteriodetratamientodelosmismos, reducindonos exclusivamente a la medicin con cdigo C/A. En la Figura 7 tenemos una idea aproximada de la magnitud que el error puede llegar a alcanzar en cada caso. SA100mPosicinREALPosicinTRANSMI TI DArelojrbit a1m5m2 a100mdmsRUI DO . 3a3m" Er rores"de medicin( seudodist ancia)I ONOSFERATROPOSFERAFUENTE:G.Seeber -19945mNot a:en 1994,G.Seeber sealaba la " di sponibilidad select iva"( S. A. ),hoy inexist ent e,como principal causa de error en aquel ent onces. Figura 7 3.3.2 Errores sistemticos

a)efemridesyrelojdesatlite:suinfluencianoesdemasiado significativaparacdigoC/A.Enotrosmtodosdemedicinsemejoran La obtencin de coordenadasIII-11 losresultadosutilizandolasefemridesprecisas,esdecircoordenadas de los satlites calculadas a posteriori con mayor precisin. b)influenciadelaatmsfera:esunafuentedeerrormuyimpor-tante;con un solo receptor es inevitable, no obstante existen mtodos, que abordaremos ms adelante, que reducen notoriamente su influencia. c)ondasreflejadasomulticamino:lasondasreflejadas,llamadas tambinefectomultipath,secontrolantratandodeevitar,enloposible,el estacionamiento del receptor prximo a superficies reflectantes. 3.3.3 Errores accidentales En este caso surgen al medir mediante la tcnica de correlacin de los cdigos. El ruido propio de la medicin es aquella medida por debajo delacualelinstrumentalnopuedeefectuardeterminacionescerteras,es decir expresa la incertidumbre propia de la medicin. Sutratamientorespondealoscnonesclsicos;apelaralaso-breabundanciadeobservacionesyalabsquedadelvalormsproba-ble, mediante el clculo llamado de compensaciones o ajustes. Lasumade(sisepermitelaexpresin)electrnica+informti-ca,facilitaefectuaryacumularungrannmerodeobservaciones.Ello explicalaconveniencia de prolongar la medicin por cierto lapso de tiem-po a los efectos de mejorar la precisin. Veremosqueeselapsodetiemposejustificatambinporotras consideraciones. 3.4 Factor de configuracin Recordemosqueestamostratandounainterseccinespacial.La precisindelamismadependetantodelacalidaddelamedicincomo tambin de la configuracin del sistema. III-12La obtencin de coordenadas Veamosunejemploeninterseccinplanadesdedospuntos.Mi-diendo las distancias a dos referencias (puntos de coordenadas conocidas), podemos calcular la posicin del punto P en el plano. A, B, C y D son puntos de coordenadas conocidas PDABC Figura 8 Pares de puntos a utilizar como referencias: ConvenientesInconvenientes B y C A y D A y B A y C B y D C y D Esfcilver,intuitivamente,quesegnseaelpardepuntoselegi-dosparareferenciarlainterseccin,obtendremosresultadosdediferente precisin.Esevidentequecuandolospuntosdereferenciaestnmuy prximosentres(enelejemploCyD)seobtieneunainterseccinenP pococonfiable;algosimilarpasacuandolasreferenciasadoptadasestn ubicadasaproximadamenteen una misma alineacin con el punto P (en el ejemplo A y C o A y D). EnGPS,paraefectuarlainterseccinespacialquenosbrindalas coordenadasde la antena del receptor, nos apoyamos en un grupo de satlites (en general 4 como mnimo), lo que llamamos la constelacin. Esos satlites La obtencin de coordenadasIII-13 estn distribuidos en el espacio, en el momento de la medicin, de una determi-nada forma, que es lo que llamamos la configuracin. Si apelamos a la analoga con las mediciones terrestres, los satli-tesjueganelpapeltradicionalmentedesempeadoporlospuntosfijos, lo que resulta paradojal, pues si algo caracteriza a los satlites es su movi-lidadpermanente,esdecirlaincesanteeinstantneavariacindesusco-ordenadas. Peroeso explica por qu es conveniente prolongar las observacio-nesduranteciertotiempo.Deesemodo,manteniendolaconstelacin, cambialaconfiguracin,esdecirnoestamostansolamentereiterandola medicinanterior,sinoefectuandounamedicindistinta,conotrospun-tos fijos, lo cual es muy importante para mejorar la precisin de los resul-tados. EnGPSlainfluenciadelaconfiguracinseexpresamatemtica-mente mediante un factor, del siguiente modo: p =d . DOP donde p : desvo standard en la posicin obtenida d : desvo standard en la medicin de las distancias DOP : factor de dilucin de la precisin ElsoftwaredisponibleentodoequipamientoGPS,permitecalcu-larrpidamenteelfactorde dilucin una vez fijada la configuracin. Esto valetantoparaprogramarunamedicin,esdecirdeterminar a priori, con granaproximacin,culserelfactordedilucin,comovaleparalas medicionesyarealizadas,dondeesefactorsurgedelospropiosdatosde medicin. En el caso que fuera necesario, la influencia del factor de configu-racinsepuedeexpresarmedianteloqueseransuscomponentes,ases posible obtener: HDOP para estimar el error en el posicionamiento horizontalIII-14La obtencin de coordenadas VDOP para estimar el error en el posicionamiento vertical PDOP para estimar el error en el posicionamiento tridimensional SeutilizaelPDOPparavalidarlasconstelaciones,esdecir acep-taronolamedicinefectuadaoaefectuarseenesas condiciones, para lo cual se establecen mximos admisibles o valores de tolerancia. Es bastante conocido que en GPS se obtiene siempre menor preci-sin en vertical que en horizontal (la relacin es del orden de 1,5 2). Elloseexplicajustamenteporelfactordeconfiguracin,puesto que es imposible obtener una adecuada configuracin para la altura. MientrastengamoslaTierradebajodenosotrosesimposibleob-servarsatlitesqueestnabajo,porloquedebemosconformarnoscon los de arriba. Dadoquepuedenpresentarsesituaciones,nomuycomunespero posibles, en que la visibilidad de satlites sea muy restringida, habr que cerciorarsequeelPDOPsea aceptable. De lo contrario debe programarse la medicin para el da y hora en que ello se produzca. En definitiva, se puede obtener una precisin del orden de los 15 me-tros, con un solo receptor, efectuando una sola observacin, con resul-tado instantneo y en el 95% de los casos. 3.5 Otros sistemas de posicionamiento satelital 3.5.1 Sistema GLONASS

(informacinextractadade:M.HolandayJ.Bermejo,G.P.S.y GLONASS,Madrid,1998-Actualizadaanoviembrede2004ITAR- TASS Agency reports) ElsistemarusoGLONASSfuedesarrolladodesdeprincipiosde los aos 70 por el entonces Ministerio de Defensa Sovitico. Es similar en muchos aspectos al GPS , tambin presenta diferencias. La obtencin de coordenadasIII-15 LosplanesdeGLONASSpermiten proporcionar dos servicios: el CSA (Channel of Standard Accuracy) disponible para uso civil, y el CHA (Channel of High Accuracy) para usos autorizados. El GLONASS CSA fue aceptado desde 1996 por la Organizacin Internacional de Aviacin Civil. 3.5.2 Descripcin y constitucin de GLONASS Sector de control: la central se encuentra en Mosc y tiene una red deestacionesdeseguimientoycontrolubicadasentodoelterritorio ruso. Las mismas, como en GPS, deben seguir y vigilar el estado de los satlites, determinar efemrides y errores de los relojes. GLONASSproporcionaalosusuarioscivilesunaprecisin,en tiemporealyposicionamientoabsoluto,midiendoconcdigo,deunos60 metros en horizontal y 75 metros en vertical (99,7% de los casos) segn el gobiernodelaFederacinRusa,noestandoprevistaninguna degradacin intencional. Sectorespacial:tienesemejanzas con el de GPS. Cuando se com-pleteestarcompuestoporunaconstelacinde24satlitesubicadosen tresplanosorbitalesinclinadosaproximadamente65respectodelEcua-dor. Cada plano contendr 8 satlites, a unos 19.100 Km de altura, asegu-rando una cobertura de adecuada geometra, con 5 satlites como mnimo, en cualquier instante y lugar de la Tierra. El primer satlite fue lanzado en 1982. A diferencia de GPS todos los satlites transmiten el mismo cdigo, pero se diferencian en la frecuen-cia de la portadora. Lainformacindelasefemridesnorenelascondicionesade-cuadaspara los trabajos de gran precisin. Esto y la cantidad de satlites, es la principal limitacin de este sistema respecto a GPS. Sector usuario: los receptores tienen caractersticas similares a los de GPS. En el mercado existen marcas y modelos con capacidad de recibir seales de ambos sistemas. As el usuario podr tener acceso a un sistema III-16La obtencin de coordenadas combinado con mayor cantidad de satlites. Para ello es necesario conocer susposicionesenelmismosistemadereferenciayestablecerlarelacin entre las dos escalas de tiempo. DatumPZ90:elDatumGeodsicoParametryZemli1990(o PZ90)eselsistemadereferencia terrestre adoptado por GLONASS. Hay diferencias en el origen, en la orientacin de los ejes y en la escala respecto al WGS84. Lareddeestacionesexistentes en diversos pases permite obtener losparmetrosdetransformacindelsistemadereferenciaPZ90alsiste-ma WGS84. Hastael ao 2004, el estado de la constelacin GLONASS, no se hamodificado,esdecir,tieneoperativos10satlitesenrbita,delos24 previstos. AesafechaelsistemaeraoperadoygestionadoporlasFuerzas EspacialesRusasdependientesdelministeriodeDefensa.Poseeunnivel de precisin de acceso abierto y una mejor precisin pero de uso restringi-do, tal como sucede en el sistema norteamericano. Durantesuvidaoperativasehanlanzado77satlites,aunque, desde1995hastalafecha,elprogramahasufridoretrasosycancelacio-nes. Por este motivo, su estado operacional es muy limitado. Con solamen-te10satlitesoperativos,GLONASSnogarantiza,afinesdel2004,nin-gn nivel aceptable de servicio. Para fines de 2005 tienen previsto tener en rbita entre 16 y 18 satlites. De todos modos, no se duda de su continuidad, ya que forma parte dediversosproyectosdenavegacinpor satlite, entre ellos GNSS-1. Por otraparte,estofuereafirmadoenuncomunicadooficialdelGobiernode la Federacin Rusa, de fecha 29 de marzo de 1999 y confirmado a princi-pios del 2004. 3.5.3 Sistemas europeos La obtencin de coordenadasIII-17 (Informacinextractadadel"ComunicadoOficialdela Comisin Euro-pea,DivisindeNavegacinporSatliteGNSS",publicadoporAENA, Espaa y de publicaciones especializadas, como la revista GPS World). SegnlaComisinEuropea,lossistemasGPSyGLONASS presentan una serie de limitaciones tcnicas e institucionales que se pueden resumir en: a)Nosatisfacentodoslosrequisitosdenavegacinexigidosporlaavia-cincivil,ycomoconsecuenciadeello,suusoadolecedeunaseriede restriccionesyenlaprcticaselimitaalasfasesdevuelomenosexigen-tes. b)Estnbajocontrolmilitarporloque,encasodeconflictoblico,la disponibilidad del serviciono est asegurada. c)Noexisteningn tipo de garanta legal o de seguridad sobre el funcio-namiento de los sistemas. d)Noexisteunmarcoderesponsabilidadlegalclaramentedefinidoen caso de accidentes provocados por estos sistemas. Comoconsecuenciadeestaslimitaciones,esnecesariocomple-mentar a GPS y/o GLONASS con sistemas adicionales. Estos sistemas se conocenenlaterminologadelaOACI(OrganizacindeAviacinCivil Internacional) como "aumentaciones", y tienen por objeto mejorar el servi-cio bsico ofrecido por GPS y GLONASS. Siguiendolasrecomendacionesemitidasen1992porelComit FANS(FutureAirNavigationSystems)delaOACI,laimplantacindel GNSS se aborda en dos etapas, que se denominan GNSS-1 y GNSS-2. LaspresentacionesdelossistemasGNSSseestablecensiguiendo cuatroparmetrosbsicos:Precisin-Integridad(Confianza) -Continui-dad -Disponibilidad. 3.5.3.1 GNSS-1 III-18La obtencin de coordenadas Estaetapasebasaenelmximoaprovechamientoposibledelas constelacionesGPSyGLONASS,lascualesnoobstantedebensercom-pletadascon"sistemasdeaumentacin".Las"aumentaciones"tienenun objetivodoble:enprimerlugar,mejorarlasprestacionesdeGPSy/o GLONASS y, en segundo lugar, posibilitar la definicin de un marco legal einstitucionaldeusodelquecarecenhoyda.Sehancontempladotres posibles tipos. Uno de stos es SBAS (Satellite Based Augmentation System), de-finidacomo"sistemadeaumentacinde cobertura amplia en los cuales el usuariorecibelainformacindeaumentacinatravsdeuntransmisor embarcado en un satlite", que proporciona importante servicios, por ejem-plo informacin relativa al estado de funcionamiento y calidad de las sea-lesemitidasportodoslossatlitesGNSS-1(incluyeGPSy/o GLONASS junto con los satlites adicionales SBAS). Medianteesteserviciosemejoranlasprestacionesdenavegacin desde el punto de vista de la integridad, pues se dota a GPS y GLONASS de una funcin de monitoreo de su funcionamiento de la que ahora carecen En la actualidad existen tres iniciativas a nivel mundial de implan-tacindesistemasSBAS:EGNOSen Europa, WAAS en Estados Unidos yMSASenJapn.Lostressistemas,aunquedembitoregionalydes-arrolladosdeformaindependiente,proporcionarnserviciossimilaresy compatiblesentres.Medianteelusoconjuntoeinter-operabledeestos sistemasyfuturasextensionesdelosmismos,seesperapoderllegara proporcionar un servicio uniforme de navegacin con cobertura mundial. 3.5.3.2 El programaEGNOS (EuropeanGeostationaryNavigationOverlayService-Contribucin europea al GNSS-1) EGNOSrespondeal esquema de aumentacin SBAS definido por laOACI.Sureadeservicioeslaregineuropea,yproporcionacomo satlitesadicionaleslosgeoestacionariosINMARSATAOR-E, INMARSATIORyARTEMIS.Paragenerarlosdiferentesservicios La obtencin de coordenadasIII-19 SBAS de aumentaciones utilizan, adems de estos tres satlites, una red de instalaciones terrestres distribuidas por toda Europa. La gestininstitucionalytcnicadelProgramaEGNOSest siendollevadaacaboporelllamadoComitTripartito,formadoporla Comisin Europea. EGNOSofrecermltiplesbeneficioseintroducirmejorascon-siderables en cuanto a calidad y seguridad en todos los modos de transpor-te: areo, martimo, terrestre por carretera o ferrocarril. Asimismo, abrir nuevos campos en toda una multitud de diferen-tesaplicacionestalescomoagricultura,pesca,geodesia,etc.Entreotras mejoras,permitirunagestinyseguimientomseficazyflexibledelos serviciosdetransportecomercialyprivadograciasalaposibilidadde localizarvehculosdeformaprecisayentiemporeal,monitoreandosu recorrido. Deacuerdoconlaplanificacininicial,eldesarrollodelsistema EGNOS debera haberfinalizado a principios del ao 2003. A noviembrede2004,continuabaenetapadeexperimentacinavanzada.LaAgencia EspacialEuropea,hacreadoapartirdelmesdejuliode2004,unsitio Web dedicado a especialistas del tema, para la colaboracin de los mismos enestainstancia,pudiendotener,porejemplo,accesoalainformacin tcnica detallada de la versin experimental . 3.5.3.3 GNSS-2 SeprevqueGNSS-1evolucionehacia un sistema de navegacin multimodal,quecontempleusuariosdetodotipo,demejores prestaciones y bajo control civil, denominado GNSS-2. 3.6 El programa GALILEO La componente principal del sistema es una constelacin de satli-tesconunacoberturaglobal.DirigidoporlaUninEuropeayporla III-20La obtencin de coordenadas AgenciaEspacialEuropea,lafasededefinicindelsistemaempezen 1999. El proyecto Galileo, que garantizar la autonoma europea en ma-teria de posicionamiento satelital, dar a las empresas de la regin grandes oportunidadescomercialeseincluireldesplieguedeunaconstelacinde 30 satlites de navegacin bajo control civil y cobertura mundial. La plani-ficacinsehaestablecidoenvariasfases:definicin,desarrolloyvalida-cin, despliegue y operacin. En la primera, que empez en junio de 1999 y finaliz en 2001, se defini el sistema, la organizacin para su gestin y la viabilidad econmica a largo plazo.

Duranteel2004,ESAfirmacuerdosparalanzardossatlites experimentalesdeGalileoabordodelanaveespacialSoyuz.El primero partir del cosmdromo de Baikonur antes de finesdel 2005. Mientrastanto,lainvestigacin,eldesarrolloylatecnologadel espacio de la Agencia Espacial Europea (ES) se centran en Nordwijk, en los Pases Bajos, en donde se est probando actualmente el modelo estruc-tural del primero de los dos satlites experimentales citados. La tercera fase de despliegue de la constelacin se extender desde 2006hasta2008yapartirde entonces est previsto el ltimo perodo. El plenofuncionamientodel programa, sin embargo, se alcanzar entre 2016 y2020,cuandofuncionelareddelos30satlitesylasestacionesterres-tres. Lneas principales de desarrollo del programa GALILEO : -Esindependiente de los sistemas GPS y GLONASS pero comple-mentario e interoperable. -Est abierto a la contribucin de capital privado internacional. -Explotar las nuevas capacidades en un sistema civil, permitiendo eldesarrollodenuevasaplicaciones,facilitandolarobustezdel GNSSyponiendoremedioa ciertas deficiencias que existen en la actualidad. La obtencin de coordenadasIII-21 -Tendrunacoberturaglobalparaproveerunmercadomundial paraelsistemaysusaplicaciones.Incluirunserviciodeacceso restringido. -El sistema permanecer bajo el control de autoridades civiles. 3.6.1 La constelacin GALILEO La constelacin del sistema Galileo estar formada por 30 sat-lites(27enoperaciny3derepuesto),ubicadosa23600kmdealtura sobrelasuperficiedelaTierra,en3planosorbitales,con56deinclina-cin respecto del plano ecuatorial. 3.6.2 Servicios GALILEO Seestdiseandoparaproporcionar3nivelesdistintosdeservi-cios: -Nivel1:Unsistema de acceso abierto similar a GPS standard ac-tual, principalmente dedicado al mercado masivo. -Nivel 2: Un servicio de acceso restringido dedicado a aplicaciones comercialesyprofesionalesquerequierenunniveldeprecisin ms elevado. -Nivel3:Unservicio de acceso restringido, con exigencias crticas deseguridad,quenopuedenadmitirinterrupcinoperturbacin (caso de aviacin civil). Adems de estos servicios de posicionamiento, GALILEO provee-runserviciode"TiempoPreciso"entodoelmundo,conunaescalade diferentes niveles de precisin y garantas. 3.6.3 Atractivo del sistema GALILEO Es un sistema complementario con GPS y GLONASS: III-22La obtencin de coordenadas No es un sistema de competencia con los sistemas satelitales exis-tentes. Las futuras aplicaciones se beneficiarn de la posibilidad de utilizar todos los sistemas de navegacin disponibles. Los criterios de diseo de la estructuradelasealdelsistemaGALILEOseestndesarrollandopara aadiruncostomnimoadicionalalosusuarios.Elusocombinadode GALILEOyotrossistemascomoEGNOS,proveerelevadasprestacio-nes,porejemploentrminosdedisponibilidaddenavegacinenreas urbanas. Es independiente de GPS y GLONASS: LasventajasresidentambinensuindependenciadeGPSy GLONASS, asegurando que las aplicaciones crticas en trminos de segu-ridadestnprotegidasdelosposibleserrores que puedan ocurrir en modo comn. Estados Unidos tiene prevista la sustitucin progresiva de la cons-telacindesatlitesGPSporunanuevageneracinconocidacomoGPS BLOQUEIIF.Segnlasprevisiones,dichasustitucinsecompletar hacia el ao 2010. Aprovechando esta circunstancia, Europa intentar que GALILEO entre en operacin con dos aos de adelanto, hacia 2008, con el objeto de capturar mercados potenciales previamente. AsEuropapodrdisponerdeunsistemapropiodesatlitesde ltimageneracinamedianoplazo,loquelepermitirsuperarladepen-dencia actual de la tecnologa norteamericana. Captulo IV IV-1 Posicionamiento con Cdigo C/A 4.1 Posicionamiento absoluto Cuandohablamosdeposicionamientoabsolutonosreferimosal casodeunsoloreceptoroperandoenmodoautnomo,esdecir,lafun-cin tpica de navegacin, calculando las coordenadas del receptor sobre la superficieterrestreenbasealasmedicionesdedistanciaquerealiza a los satlitesvisibles(oalosposiblesenfuncindelnmerodecanalesdel receptor) y mostrando estas coordenadas, sin ningn tipo de correccin, en eldisplaydelreceptor(conunintervalodeactualizacinquesepuede prefijar, por ejemplo 1 segundo). Podemos distinguir dos modos de opera-cin: esttico y mvil. 4.1.1 Modo esttico Elmodoestticosignificaqueelreceptorpermaneceestacionado sobre el punto del que se quieren conocer las coordenadas durante un lapso de tiempo, que puede ser de algunos minutos; si este receptor se encuentra calculandoposiciones(coordenadas)tendremos,paralasolucinen3 dimensiones, un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas por cada instan-tedeactualizacinenlatomadedatos,(si se observaran ms de 4 satli-tes, tendremos sobreabundancia de observaciones). Laposicinfinal,coordenadasdelpuntoestacin,correspondeal promedio de todas las posiciones calculadas. Dentro de las variables que podemos manejar en este tipo de posi-cionamientovalerecordarlaimportanciadeoperarconunvalorbajode PDOP (ver Captulo III, 3.4 Factor de configuracin). 4.1.2 Modo mvil Elmodomvilestrelacionadoconelusodelreceptorenmovi-miento, en este caso tendremos soluciones instantneas en tres dimensiones IV-2Posicionamiento con