Lo que hay detrás de la demostración matemática de las ecuaciones de equilibrio [M. en I. David Ortiz (IPN)]

Figura 1. Estructura bajo determinadas cargas

Cuando una estructura está sometida a ciertas solicitaciones (cargas), figura 1, debe equilibrarse desde el punto de vista estático de dos formas: externamente e internamente. Ambas cosas se logran justamente aplicando las llamadas ecuaciones de la estática o de equilibrio; estas estriban en que la sumatoria de fuerzas es nula y que la suma de momentos alrededor de un punto es equivalente a cero.

Figura 2. Modelo del sistema estructural con las reacciones calculadas

Toda estructura debe tener condiciones de frontera, es decir puntos específicos en los que el desplazamiento está restringido (no permitido) de manera lineal y/o angular. Esto puede idealizarse a través de apoyos (soportes) en los cuales se generarán fuerzas, denominadas reacciones, que al ser calculadas son capaces de contrarrestar las fuerzas externas logrando que el sistema estructural quede equilibrado precisamente de forma externa.

No obstante, las solicitaciones inducen un desequilibrio interno también. La tercera ley de Newton que enuncia: "a toda acción corresponde una reacción de igual magnitud y dirección, pero sentido opuesto", está presente en cada punto a lo largo de nuestra estructura. Si de manera imaginaria seccionaramos una viga bidimensional que no soporta cargas torsionales, en la que el corte debe ser perpendicular a su eje longitudinal, nos encontraríamos con que tres fuerzas están trabajando por dentro, tal como se muestra en la figura 3; estas se conocen como acciones internas o elementos mecánicos y están actuando en el centroide de la sección transversal y son las resultantes de los esfuerzos: a) fuerza normal o axial (N), la cual es una fuerza cuya línea de acción se dirige a lo largo del eje longitudinal del elemento y le genera una elongación (alargamiento) si está actuando a tensión y un acortamiento (contracción)  si está actuando a compresión, b) fuerza cortante (V), que es una fuerza que rebana la cara de la sección transversal y actúa perpendicularmente a la fuerza normal, y c) el momento flexionante o flector (M) que por actuar en el plano x-y genera flexión.

Figura 3. Elementos mecánicos o acciones internas en una estructura

Por consiguiente, hablamos de equilibrio interno cuando determinamos los valores de los elementos mecánicos, figuras 4 y 5.

Figura 4. Acciones internas en la viga

Figura 5. Acciones internas en la columna

Durante nuestra formación académica como ingenieros civiles o carreras afines, nos impartieron cursos en los que nos enseñaron a aplicar las ecuaciones de equilibrio, pero...¿bajo que sustento físico y matemático es que las empleamos?, ¿qué consideraciones como ingenieros efectuamos? y ¿cómo demostramos  matemáticamente estas ecuaciones?...

De entrada, para realizar la demostración matemática de las ecuaciones de equilibrio, nos basamos en que nuestra estructura se comporta como un medio continuo, figura 6,  aunque realmente no es así. Esto se debe a que nosotros sólo tomamos en cuenta el nivel macroscópico y no el microscópico, considerando que no hay discontinuidades en el medio, aún cuando sabemos que en realidad sí hay pequeñas porosidades que pueden ser vistas microscópicamente.

Después, las tres leyes de Newton son indispensables aquí. Esto quiere decir que nosotros hacemos caso omiso a que la tierra gira sobre su propio eje y alrededor del sol, lo que en la literatura especializada se conoce como movimientos de rotación y traslación, y consideramos a nuestro cuerpo en reposo.

Podemos concluir que para demostrar matemáticamente que la sumatoria de fuerzas y momentos es nula, requerimos de los conceptos básicos de la mecánica del medio continuo y la física básica, en donde debemos conocer la forma en cómo están interactuando entre sí y sobre sí mismas cada unas de las infinitas partículas que componen nuestro medio continuo.

Figura 6. Características de un medio continuo

Por otra parte, los métodos del análisis lineal se fundamentan en las suposiciones básicas siguientes: los materiales utilizados para construir el sistema estructural poseen una relación esfuerzo deformación lineal, es decir, obedecen a la Ley de Hooke; el nivel de esfuerzo a que se somete un material nunca excede el valor de su límite de elasticidad. Esto implica que para la estructura existe una relación lineal carga-deformación. Además se supone que el cambio que experimenta la geometría de la estructura al actuar sobre ella cualquier carga o perturbación es despreciable comparado con la geometría inicial.

La explicación anterior y las demostraciones citadas (que aún no se comparten por estar en proceso de digitalización)  forman parte de los cursos de "Estructuras Isostáticas" y "Estática y Resistencia de Materiales ", que el profesor, con maestría en ingeniería estructural, David Ortiz Soto  dicta en la ESIA UZ IPN y en el ITI III, de forma respectiva, y serán incluidos en el libro que actualmente está editando en coautoría con su colega M. en I. Hugo Martínez y que llevará por título "Ecuaciones de equilibrio: demostración matemática y aplicaciones".

"La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran cambio que requerimos y no como tu competencia"- By M. en I. David Ortiz