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CAPÍTULO II Los Ángulos.

Problema 1: Se tiene cuatro semi-rectas que parten de un mismo punto, se pide enunciar todos los ángulos que estas semi-rectas conforman entre sí.

SOLUCIÓN: Por semi-rectas entendemos todos los puntos “a la derecha” (o “a la izquierda”) de cierto punto 0 de una recta. La semi-recta no es más que la prolongación de uno de sus intervalos, digamos OA. Nos damos cuatro intervalos distintos con puntos iniciales 0, sean estos OA, OB, OC, OD. Por comodidad elegimos A, B, C, D colineales para encontrar las combinaciones AOB, AOC,… o bien las AB, AC,… OBSERVACIONES:

(i) Podemos considerar el ángulo AOB como el conjunto de todos los segmentos OX que pasa por su vértice O, con X entre A y B.

(ii) En la figura el ángulo AOX es menor que el ángulo AOB (AOX < AOB); El

ángulo AOB es la suma de los ángulos AOX y XOB, (AOB = AOX +XOB).

(iii) Si A, B, C, D yacen sobre una circunferencia de radio 1, decimos que los ángulos AOB, AOC, etc. tienen como medidas los arcos AB, AC, etc. Se suele indicar un ángulo con su medida. Si, por ejemplo, las medidas de los arcos AB y CD son iguales, decimos que los arcos correspondientes y por lo tanto los respectivos ángulos AOB y COD son también iguales.

Problema 2: Dado los ángulos iguales AOB y COD, muestren que AOC y BOD son iguales; muestre que AOD y BOC tienen una bisectriz común.

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OBSERVACIÓN (1): Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común. Si los ángulos son iguales, este lado común es la bisectriz de la suma. (Los “lados” del ángulo son las semi-rectas que lo conforman). Problema 3:

(1) Se sabe que la suma de dos ángulos es de 135º y que uno es cuádruple del otro. ¿Cuánto mide cada uno?

(2) Un ángulo mide 2/3 de otro, sabiendo que su diferencia alcanza a los 27º , se pide calcularlos.

OBSERVACION (2): Una vuelta completa a la circunferencia equivale a los 360 grados sexagesimales (360º), cada grado se descompone en 60 minutos (60’) y cada minuto en 60 segundos (60’’). Esto es todo lo que necesita el lector para plantear las ecuaciones y calcular los ángulos perdidos. Si AOB mide n grados (AOB = nº), el ángulo adyacente A1OB de medida igual a 180 – n grados es el ángulo suplementario de AOB.

Un ángulo igual a su suplementario se dice un ángulo recto. Dos ángulos que sumen 90º se dicen complementarios. En la figura la flecha significa que se considera los ángulos recorridos “en el sentido positivo” o sea “contrario al movimiento de las manecillas del reloj”.

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OBSERVACIÓN (3): Medimos los ángulos en fracciones de la circunferencia. Convendría dar una definición de este concepto con el objetivo de introducir enseguida ciertas construcciones fundamentales. Para definir la circunferencia nos valemos de una de sus propiedades. Decimos que la circunferencia es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia fija, el radio, de un punto fijo, el centro. Si llamamos O al centro y r al radio, con estos elementos tenemos una única circunferencia, el segmento AO prolongado hasta que corte la circunferencia en un punto B, es un diámetro y los ángulos iguales AOB y BOA miden 180 grados, o sea 2 ángulos rectos. Las construcciones siguientes se repiten una y otra vez en la resolución de los problemas geométricos. CONSTRUCCION 1 Se pide construir un ángulo igual a la mitad de un ángulo

SOLUCION: “Construir” significa aquí dibujar con ayuda de la regla del compás cierto ángulo que satisfaga la petición del problema. En lenguaje técnico, se quiere “bisectar” cierto ángulo Suponemos el ángulo comprendido entre dos semi-rectas, sus lados, que parten un punto 0, su vértice. Llamemos pues x0y al ángulo. La construcción va como sigue:

(i) El circulo (0,r), r arbitrario corta 0x en A y o y en B, así x0y = AOB (ii) si r1 es suficiente grande, (A, r1) y (B, r1) se cortan en dos puntos, C y D,

colineales con 0, la recta que definen, la bisectriz, conforman los ángulos iguales AOC y COB. Véase la figura a continuación.

AOC = AOD = AOB/2 = xOy/2

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CONSTRUCCION 2 Se pide construir un ángulo igual al doble de un ángulo dado.

SOLUCION: si x0y es el ángulo dado, (0,r) corta a 0x en A y a 0y en B. Todavía,(0,r) corta en C a la circunferencia de centro B y radio BA , AOC = 2AOB. Esta operación , la de duplicar un ángulo es la inversa de la anterior, la de bisectar un ángulo. Véase la figura.

AOC = 2AOB = 2xOy

A base de las construcciones anteriores efectuamos todavía las dos siguientes. CONSTRUCCION 3 Se pide dimidiar un segmento dado.

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CONSTRUCCIÓN 4 Se pide doblar un segmento dado.

SOLUCIÓN: La (3) es la primera construcción aplicada a un ángulo AOB de 180º. La (4) es la segunda aplicada a un ángulo AOB de 90 grados. Véase las figuras a continuación. NOTA: en las construcciones tomamos en cuenta el hecho de que dos circunferencias tienen (a lo sumo) dos puntos en común. OBSERVACIÓN: La CONSTRUCCIÓN 2 permite dibujar un ángulo igual a uno dado. Con las notaciones anteriores, sea s= AB, sea O1x1 una semi-recta. Si el círculo (O1 , r) corta a O1x1 en A1 y si (A1, s) corta a (O1, r) en B1 y en B2, A1 O1 B1 = AOB.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.