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LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE DISPOSITIVOS FACTS EN SISTEMAS DE

TRANSMISIÓN USANDO ENJAMBRE DE PARTÍCULAS

Jose H. Vivas Nava Gina P. Solari Gerardo A. Figueira

Universidad Simón Bolívar, Departamento de Conversión y Transporte de Energía, Apartado Postal 89000, Caracas 1080, Venezuela

RESUMEN Los algoritmos basados en meta-heurísticas han sido ampliamente usados para resolver problemas de naturaleza combinatoria en todos los campos de la ingeniería. En los últimos años sus aplicaciones en Sistemas Eléctricos de Potencia han permitido el desarrollo de herramientas que permiten alternativas de solución distintas a aquellas obtenidas usando metodologías tradicionales. Este trabajo presenta la aplicación de la técnica de optimización basada en enjambre de partículas (EP) al problema de localización de dispositivos FACTS en derivación en sistemas de transmisión. De esta manera se puede obtener la localización y el dimensionamiento óptimo de los controladores FACTS, a través de una visión multi-objetivo del problema, donde se persigue suprimir las violaciones de los limites operacionales al menor costo posible. A modo de ilustración de su funcionamiento se trabajará con los sistemas de prueba de IEEE. También se presentará una detallada explicación del funcionamiento de este método, su correlación con el problema de optimización, y las distintas formas de abordar el algoritmo en cuanto a estructura y funcionamiento, evaluando convergencia, comportamiento y tiempo de simulación. Los resultados obtenidos muestran la factibilidad de la aplicación de esta técnica computacional en sistemas de potencia, puesto que permite obtener resultados importantes en tiempos relativamente cortos. PALABRAS-CLAVE Flexible Alternating Current Transmission System (FACTS), Optimización, Enjambre de Partículas.

Comité Nacional Venezolano

I CONGRESO VENEZOLANO DE REDES Y ENERGÍA ELÉCTRICA

Noviembre 2007

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1

INTRODUCCIÓN En la actualidad los sistemas de potencia, presentan condiciones de servicio que incurren en la violación de los límites operacionales, tales como bajas tensiones en las barras, sobrecarga en las líneas de transmisión, etc. Estas violaciones disminuyen la confiabilidad de la red eléctrica ante perturbaciones. Adicionalmente a estas situaciones operativas, el problema se ve agravado ante una creciente demanda, y la tendencia mundial de operar los sistemas de transmisión bajo condiciones de mercado abierto y no regulado. Esta situación puede ser solucionada a través de la implementación de compensadores estáticos y de nuevas líneas. Sin embargo se considera que el desempeño de los primeros dispositivos, está limitado debido a su dependencia con la tensión, su lentitud de respuesta y desgaste asociado. También se debe considerar que el costo de la construcción de nuevas líneas es elevado y originan impacto ambiental. Son por estas razones que se justifica el uso de dispositivos FACTS en los sistemas de transmisión, para solventar los problemas de confiabilidad y mejorar la calidad del servicio eléctrico. Estos son dispositivos basados en la electrónica de potencia que permiten controlar los parámetros que definen la red, sin verse limitado dicho control por las condiciones operativas en que se encuentre el sistema. [2] En el presente trabajo se describe el Enjambre de Partículas (EP), como algoritmo para la localización y dimensionamiento de los dispositivos FACTS en derivación. El estudio se realiza en régimen permanente, utilizando el mismo modelo para simular el comportamiento del STATCOM y SVC. Los criterios para definir la función a optimizar son los costos o capacidad de los reactivos instalados, cargabilidad en las líneas y voltaje en las barras. En el presente trabajo se describe el funcionamiento del EP, mostrando las distintas técnicas para abordar dicho algoritmo y su efecto en el desempeño del mismo. La localización óptima de FACTS a través del Enjambre de Partículas, se aplicará a los sistemas de prueba de 57 y 118 barras de IEEE. ENJAMBRE DE PARTÍCULAS (EP) El enjambre de partículas original fue creado en 1995 por Eberhart y Kennedy [3], y se basa en el comportamiento de bandadas de aves y banco de peces (partículas), donde se aprovecha la comunicación social y razonamiento cognitivo (memoria) de las partículas, para la obtención de soluciones que desde el punto de vista físico serían interpretadas, como lugares de comida o de refugio. Cada grupo de aves y banco de peces, es tratado como un enjambre, donde se incluye el comportamiento errático de los insectos. Las posiciones de cada partícula se inicializan aleatoriamente, obteniéndose un grupo de partículas exploradoras que definirán a través de la función objetivo cuan buena fue su solución, y compartirán dicha información entre sí, dependiendo de la forma o topología en que se comuniquen dichas partículas. A su vez cada una tendrá la capacidad de recordar sus mejores posiciones previas, este último aspecto marca la diferencia del EP con los algoritmos genéticos. Posteriormente a través de la transmisión de información se irán actualizando las partículas, cada vez que el enjambre vuele de nuevo hacía el espacio de búsqueda o en cada iteración. Las posiciones serán ajustadas de acuerdo a su historial de mejores soluciones y de la información transmitida de su vecindad, dichas actualizaciones son calculadas a través de las ecuaciones 1 y 2.

)()()( 2211

1 tii

tii

ti

ti XGbestrcXPbestrcVV −⋅⋅+−⋅⋅+⋅=+ ω (1)

11 ++ += t

it

it

i VXX (2)

2

Los parámetros V y X corresponde a la velocidad y a la posición respectivamente de la partícula, el subíndice i es el número de partícula, y el superíndice t representa el número de vuelo de la partícula o el número de iteración en el programa. La dimensión de X y V, es dos por el número de barras candidatas a instalación de FACTS, las cuales son aquellas donde no hay generación. El número de barras es visto como el número de dimensión que define a la posición en el espacio de búsqueda. Los demás términos de las ecuaciones 1 y 2 vienen definidos por: • ω es el coeficiente de inercia y determina la oposición de la partícula a cambiar su posición previa. • c1 y c2 son los coeficientes de aceleración, cuyo efecto es hacer que la partícula adquiera una

velocidad, para que vuele a sus mejores posiciones previas o a la posición transmitida por su vecindad. • r1 y r2 son valores aleatorios entre 0 y 1, que representan el comportamiento errático de las partículas • Pbest representa la mejor posición previa para la partícula i. • Gbest es la partícula encargada de transmitir la información proveniente de la población, como se verá

más adelante este Gbest es determinado por distintas topologías de comunicación entre partículas.

CONFIGURACIÓN DE PARTÍCULAS Y VELOCIDADES Cada partícula viene asociada con la información sobre la posición en que se encuentra. En la figura 1 se presenta un ejemplo de la configuración de la partícula.

00001010

2422 VVX t

i =

Figura 1. Representación de las posiciones de una partícula i en el tiempo t, para un número de 5 barras candidatas a la instalación

La primera fila de la matriz asociada a la partícula, representa las posiciones referidas a si hay o no instalación de FACTS. Sus componentes son un valor discreto, se fija en 0 cuando la componente de la fila 1 es menor que 0.5 e indica que no hay instalación, y se fija en 1 si la componente de la fila 1 es mayor o igual que 0.5 e indica que si hay instalación. En la segunda fila de la matriz de la figura 1 se representa, el valor de las tensiones (V) en por unidad cuando ocurre instalación. Estos valores son generados aleatoriamente en la población inicial, posteriormente son actualizados mediante la ecuación 2. Vale destacar que dichas posiciones referidas a las tensiones tienen un límite máximo y mínimo, y en el presente trabajo esos límites son 1.05 pu y 0.95 pu respectivamente. FUNCIÓN OBJETIVO

La función objetivo a implementar, está conformada por tres subfunciones que evalúan la sobrecarga, voltajes no permitidos y costos por instalación total de reactivos, dicha función viene definida por la ecuación 3. En general es una medida de la “adaptabilidad” del individuo.

300)( cos ⋅⋅+⋅+⋅= OCOSVTGOVLFOB vtgovl ωωω (3) Donde: • OVL es la función de sobrecarga en las líneas. • VTG es la función que evalúa incumplimiento del rango de voltajes permitidos • OCOS es la función que evalúa costo asociado a la instalación de reactivos.

3

• ωovl es el peso dado a la función de sobrecarga y es igual a 1/3 • ωvtg es el peso dado a la función de violación de voltajes y es igual a 1/3 • ωcos es el peso dado a la función costos y es igual a 1/3

El factor multiplicativo de 300 en la ecuación 3 es para amplificar el valor obtenido en la función objetivo. Cada sub-función se presenta en la ecuación 4, 5 y 6.

∏=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=nl

iovl S

SiOVL1

max1exp λ (4)

Para Si > Smax, si está fuera de la desigualdad en vez de usar el término de la exponencial, se usa la constante 1.

∏=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

+⋅−=

nb

ivtg

VVViVVVTG1

2min)max(

2minmaxexp λ (5)

Para Vmin > Vi o Vi > Vmax, si está fuera de la desigualdad en vez de usar el término de la exponencial, se usa la constante 1.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

cosmaxcos

cos1

λto

tosOCOS (6)

Donde: • λovl es el coeficiente que permite ajustar la penalización por sobrecarga y es igual a 35. • λvtg es el coeficiente que permite el dominio de penalización por incumplimiento del rango de voltajes y

es igual a 35. • λcos permite modificar el grado de penalización por costos y es igual a 1.5. • Si es el valor de potencia aparente que hay en la línea i. • Smax es el valor máximo de potencia que puede haber en la línea i. • nl es el número de líneas. • Vi es el valor de voltaje en pu que hay en la barra i. • Vmax es el límite superior del rango de voltaje permitido. • Vmin es el límite inferior del rango de voltaje permitido • nb es el número de barras. • Costos es el precio asociado a la instalación total de reactivos en la partícula. • costomax es el máximo valor de costos encontrado en una iteración, a medida que avanzan las iteraciones

este valor es modificable por una partícula que tenga una mayor instalación de reactivos asociada. Los valores de los coeficientes en la función objetivo, provienen de un vasto estudio realizado, para la evaluación correcta de soluciones proporcionadas por los algoritmos metaheurísticos, donde se le da una importancia adecuada a cada subfunción de la función objetivo. Vale destacar que la función costos varía de iteración en iteración, debido a la influencia del costo máximo, esto permite a la función objetivo auto ajustarse de acuerdo al sistema de transmisión, en que se quiera realizar la localización óptima de FACTS.

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PARÁMETROS DEL ENJAMBRE DE PARTÍCULAS Una buena combinación de coeficientes y delimitación de la velocidad con que vuela la partícula, permite el mejoramiento del desempeño del EP. Los valores de coeficientes proporcionados en las referencias dan muy buenos resultados [6], sin embargo para la realización del presente trabajo se realizó un estudio del desempeño de los principales parámetros, mediante la simulación de distintas combinaciones de coeficientes y límites de velocidad. A través de los estudios se ha demostrado que un número de partículas grande permite dar capacidad al EP a abarcar un mayor número de soluciones, obteniéndose en consecuencia mejores resultados. Un número grande de iteraciones permite afinar las soluciones ya encontradas por las partículas. Se usa entonces como criterio para evitar el esfuerzo computacional, la parada de la simulación cuando el promedio de la adaptabilidad de todas las partículas no varíe de forma significativa en 3 iteraciones consecutivas.

LÍMITES DE VELOCIDAD

La velocidad determina la posición a la cual viaja la partícula en su próximo vuelo. Asignar un valor máximo y mínimo para cada velocidad, es esencial para que las partículas vuelen a posiciones, que se encuentren dentro del subespacio de búsqueda deseado. Un límite de velocidad pequeño implica en la convergencia del EP en un máximo local. Un límite de velocidad grande, permite a las partículas volar a una mayor gama de soluciones. [6] Los límites puestos a prueba para definir la velocidad máxima y mínima referida a los voltajes fueron 1, 0.5 y 0.02. INERCIA

Un valor grande de inercia implica facilidades para la búsqueda global de soluciones, en cambio un valor pequeño implica una búsqueda local, es decir que la partícula vuela dentro del espacio de búsqueda en un área menor.

1max1

0 −−

⋅−=t

tmωω (7)

Donde:

• ω es el coeficiente de inercia • ωo es el coeficiente de inercia inicial para la primera iteración • m es el grado con que decae la inercia. • t es el número de iteración • tmax es el número de iteración máxima

Los valores considerados de inercia constante para encontrar la combinación de coeficientes óptima son 0.5, 0.729 y 1. Para una inercia decreciente la combinación (ωo,m) a considerar son (0.729,0.629) y (0.9,0.8). CONSTANTES DE ACELERACIÓN

El criterio usado para definir las constantes de aceleración, es aquel donde ambas constantes son iguales, dando por tanto una misma ponderación para el historial de soluciones de la partícula, y para la información transmitida de la vecindad. Los valores usados para la sintonización del EP de los coeficientes de aceleración son 1, 1.5 y 2.

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TOPOLOGÍAS DEL ENJAMBRE DE PARTÍCULAS

A continuación se describen 4 topologías empleadas para la implementación del programa [4]:

GLOBAL SINCRONIZADO

Para este caso se selecciona la mejor partícula de toda la población en una iteración, y ésta será la escogida como Gbest (ecuación 1), para la actualización de todas las partículas en la próxima iteración.

GLOBAL ASINCRONIZADO La diferencia con la anterior topología descrita, radica en que el Gbest varía a medida que se van actualizando las partículas. Es decir el Gbest no se asigna cuando termine el desarrollo de una iteración, sino cuando la actualización de la partícula implique en una adaptabilidad mayor que la del Gbest registrado, siendo asignada por tanto esta partícula como el nuevo Gbest.

PONDERADO

Se define a partir del hecho de que cada partícula tiene una probabilidad de ser escogida como Gbest, de acuerdo a su adaptabilidad asociada. Este tipo de topologías permite evitar el estancamiento hacía una solución, debido a que la comunicación entre partículas depende de la probabilidad asignada. LOCAL

Se puede representar esta topología por un anillo que enlaza todas las partículas. Cada partícula tendrá dos vecinos, y Gbest en este caso será llamado Ibest, que corresponde al vecino con mejor desempeño de la partícula. Esto ayuda al igual que la topología anterior a evitar el estancamiento en una solución, y usa la ubicación geográfica de la partícula como determinante para definir quienes serán sus posibles informantes [4]. FLUJO DE ALGORITMO En el diagrama figura 2. se muestra una simplificación del funcionamiento del algoritmo, debido a que el cálculo de Gbest varía de acuerdo a la topología escogida, por tanto también se modifica el diagrama de flujo del algoritmo.

Figura 2. Diagrama de flujo simplificado del EP.

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RESULTADOS DE SIMULACIONES SINTONIZACIÓN DEL EP Después de realizar muchas simulaciones para determinar la mejor combinación de topología y coeficientes, se llegó a la conclusión de que la topología que implicó un mejor desempeño en el algoritmo fue la ponderada con la siguiente combinación de coeficientes

ω cte c1 c2 vmax 0.729 1.5 1.5 0.02

Tabla 1 Combinación de coeficientes seleccionados.

SISTEMA DE PRUEBA DE IEEE DE 57 BARRAS En la tabla 2 se muestran las barras en que ocurrió instalación de FACTS, y los reactivos asociados. La instalación total fue suficiente para suprimir todas las violaciones de voltaje presentes en el sistema. Esta simulación fue hecha para un número de partículas igual a 100 y de iteraciones igual 50. La duración total correspondió a 10 minutos.

Barra Qfact (MVAr)31 6.0 46 -15.4

Tabla 2. Capacidad reactiva de los FACTS en derivación instalados en las barras. En la tabla 3. se registra el valor de voltaje en pu de las barras en que ocurre violación previamente a la instalación de FACTS.

Barra V (pu) sin FACTS

V (pu) con FACTS

25 0.948 0.980 30 0.930 0.970 31 0.909 0.969 32 0.933 0.971 33 0.931 0.969 46 1.057 1.048

Tabla 3. Valores de voltajes en las barras pq donde existe violación de voltaje, antes y después de la instalación de FACTS

La demanda de reactivos total de este sistema de 57 barras es de 336.4MVAr, la instalación de reactivos representa un 5.6% justificándose la implementación de los dispositivos FACTS. Vale destacar la calidad de los resultados, en cuanto a perfil de tensiones se refiere. SISTEMA DE PRUEBA DE IEEE DE 118 BARRAS Se aplicó un número de partículas igual a 100 y de iteraciones igual a 50, sin implementación de convergencia, y la simulación duró un total de 30 minutos. La capacidad reactiva total instalada dada por el mejor resultado obtenido en el EP se muestra en la tabla 4.

7

Barra Qfact (MVAr)52 10,59

118 1,76 Tabla 4. Capacidad reactiva de los FACTS en derivación instalados en las barras.

En la tabla 5 se muestran los valores de voltaje en pu de las barras en que ocurre violación previamente a la instalación de FACTS.

Barra V (pu) sin FACTS

V (pu) con FACTS

53 0.944 0.95 118 0.947 0.95

Tabla 5. Valores de voltajes en las barras pq donde existe violación de voltaje, antes y después de la instalación de FACTS

CONCLUSIONES A través de los resultados se demuestra que este algoritmo es una herramienta poderosa y promisoria para la obtención de una buena localización y dimensionamiento de los dispositivos FACTS, sin embargo es necesario realizar un estudio más amplio sobre la influencia de los parámetros sobre el EP, sobre todo abordar el aspecto del número de partículas e iteraciones a implementar en el algoritmo para cada sistema. Es necesario aplicar el EP a Sistemas Eléctricos más grandes, pero para la realización de esto hay que hacer un estudio más profundo sobre el tamaño del subespacio de búsqueda, y de la probabilidad de instalación para la inicialización de las partículas. Para demostrar en definitivo el alcance del EP, se debe comparar el desempeño de éste con otros algoritmos metaheurísticos, en características tales como esfuerzo computacional usado para encontrar la solución y tiempo empleado para la sintonización del algoritmo. En el estudio también se puede incluir la localización óptima de los dispositivos FACTS híbrido y serie BIBLIOGRAFÍA [1] S. Gerbex, R. Cherkaoui, A. Germond, “Heuristical Methods applied to optimal location of FACTS

devices in transmission lines”, (IEEE Conferencia de postgraduación, Budapest, 2002). [2] N.G. Hingorani, L. Gyugi, “Understanding FACTS Concepts and Technology of Flexible AC

Transmission Systems”. (IEEE Press, Nueva York, 2000). [3] J. Kennedy, R. Eberhart, “Particle Swarm Optimization”, (Proceeding of IEEE International

Conference on Neural Networks (ICNN), Vol. IV, pp. 1942-1948, Australia, 1995 ). [4] J. Kennedy, R. Mendes, “Population Structure and Particle Swarm Performance”, (Proceeding of the

2002 Congress on Evolutionary Computation, Hawai, 2002.) [5] A. Neira, G. Matas, “Evaluación del uso de dispositivos FACTS en el Sistema de Transmisión

Venezolano”, (IV Congreso Venezolano de Ingeniería Eléctrica, 2004). [6] Y. Shi, “Particle Swarm Optimization”, (Neural Networks Society, USA 2004)