Logaritmos 1

Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático

1

Introducción El concepto del logaritmo de un número nace a partir de la necesidad de facilitar los cálculos que correspondían a distintas actividades económicas y científicas del siglo XV. Con la invención de las calculadoras, el uso de los logaritmos como herramienta de cálculo parece ya no ser relevante; sin embargo, la función logarítmica, en la actualidad, tiene mucha importancia, ya que es la función inversa de la función exponencial. La importancia del estudio de los logaritmos radica en que sus aplicaciones, lejos de estar distanciadas de nuestra vida diaria, son de uso cotidiano, como, por ejemplo, en el volumen de un equipo de

sonido, el color de las flores, los ahorros, prestamos y compras al crédito, la antigüedad de los restos fósiles, etc.

Algunas aplicaciones

1.- Aplicación en la Estadística: una de las

aplicaciones es para calcular el

crecimiento de la población.

2.- Aplicación en la Economía: Se puede

aplicar en la oferta y la demanda; que son

dos de las relaciones fundamentales en

cualquier análisis económico.

3.- Aplicación en la Banca: se utiliza los

logaritmos para

poder medir el

crecimiento de los

depósitos de

acuerdo al tiempo.

4.- Aplicación en la Publicidad: cuando las

campañas publicitarias van a lanzar un

producto o una promoción se toma en

cuenta ciertos aspectos de estadísticas

donde entran variados cálculos

matemáticos, y de eso depende el éxito o

fracaso de la misma.

5.- Aplicación en la Medicina: Al consumir

una droga, pasa a la

sangre, y

posteriormente se va

eliminando una

determinada fracción

en cada unidad de

tiempo. Esta forma de

eliminación, tan particular, hace que con el

tiempo, vaya disminuyendo la cantidad de

droga en la sangre, pero nunca se elimina

totalmente. Si queremos determinar el

tiempo necesario para que esa cantidad

alcance un nivel dado, utilizaremos la

función logarítmica.

6.- Aplicación en la Psicología: se utiliza la

ley de Weber - Fechner,

de estímulo - respuesta,

que dice que la respuesta

(R) se relaciona con el

estímulo (E). Ejemplo: a un

levantador de pesas se le

aplica un estímulo de electricidad (en


2

voltios) para alentarlo a levantar más

peso.

7.- Aplicación en la Física: En la física el

estudio resulta de mucho interés.

Ejemplo: la trayectoria que describe un

río al caer desde lo alto de una montaña,

la forma que toma una cuerda floja sobre

la cual se desplaza un equilibrista.

8.- Aplicación en Ingeniería Civil Se

pueden resolver problemas específicos

tomando en cuenta un punto de apoyo de

una ecuación de 2do grado Ejemplo: Al

construir un puente colgante que está

amarrado a 2 torres de sus cables.

9.- Aplicación en Topografía: Se puede

determinar la altura de un edificio,

teniendo la base y el

ángulo. Ejemplo, la

torre de Pisa, fue

construida sobre una

base de arena poco

consistente; por lo

tanto esta cada vez inclinada

verticalmente.

10.- Aplicación en la Geología: Como

ciencia las ecuaciones logarítmicas para la

geología sirven para el cálculo de la

intensidad de un evento. Ejemplo: el caso

de un sismo.

11.- Aplicación en la Biología: Los biólogos

lo utilizan para estudiar

los efectos

nutricionales de los

organismos. Se puede

mostrar que se aplica

en el cálculo del PH que

es el logaritmo de la inversa de la

concentración de iones de hidrogeno, y

mide la condición llamada acidez.

12.- Aplicación en la Astronomía: Los

astrónomos para determinar una magnitud

estelar de una estrella o planeta, utilizan

ciertos cálculos de carácter logarítmico.

La ecuación logarítmica les permite

determinar la brillantez y la magnitud.

13.- Aplicación en Química: El PH es la

concentración de H+, donde H+ una

sustancia se define como: H = -Log iones

de una sustancia expresada en moles por

litro. El PH del agua destilada es 7. Una

sustancia con un PH menor que 7, se dice

que es ácida, mientras que su PH es mayor

que 7, se dice que es base.

14.- Aplicaron en la Aviación: Si dos

aviones parten de una base aérea a la

misma velocidad formando un ángulo y

siguiendo en trayectorias rectas, se

puede determinar la distancia que se

encuentran entre los mismos.

15.- Aplicación en la Música: Un ejemplo

de escala logarítmica es el pentagrama

utilizado en occidente para escribir

música, la diferencia en la altura del

sonido es proporcional al logaritmo de la

frecuencia (de un

do grave al do

siguiente más

agudo la

frecuencia se

dobla. Es decir:

que la sucesión de frecuencias de las

notas do están en progresión geométrica).


3

LOGARITMOS

Notación:

LogaN, se lee: “logaritmo del número N en

base a”

Definición:

Sea N > 0, a > 0 a 1, existe un x R,

tal que ax = N, dicho número “x” es el

logaritmo de N en la base a.

Es decir:

x

aLog N x a N

Donde: N R+

b R+ – {1}

x R

Identidades fundamentales

De la definición de logaritmos se tiene:

x

a(2)(1)

log N x a N

Reemplazando (1) en (2):

log Naa N

Primera identidad fundamental

Reemplazando (2) en (1):

x

alog a x

Segunda identidad fundamental

Leyes de los logarítmos

Sea a > 0 a 1. Sea A, B y n números

reales cualesquiera con A > 0 y B > 0

P1. El logaritmo de la unidad en cualquier

base es cero

alog 1 0

P2. El logaritmo de la base es igual a la

unidad

alog a 1

P3. Logaritmo de un producto

a a alog A.B log A log B

P4. Logaritmo de un cociente

a a aA

log log A log BB

P5. Logaritmo de una potencia

n

a alog A n.log A

P6. Logaritmo de una raíz

na a

1log A .log A

n

Auxiliares: n

a nan

a n a

log A log A

log A log A


4

… PARA LA CLASE

01. Calcula: 125log 5

02. Halla x, si: -3

2log 16 x 1

03. Resuelve: x9log 27 4

04. Halla x en: -2log x 15x 2

05. Efectúa: log 12 log 18log 5 7 132P 2 7 13

06. Halla x en: -log (2x 19)77 x 4

07. Resuelve: -log 8x 5 log 5x 162 32 3

08. Resuelve: 2

x xlog 9 4 4log 9

09. Resuelve: -logx 4logx logx 5

10. Resuelve: -x

3logx log64 2log2

11. Resuelve:

- -2log16 logx log x 1 log15 log x 4

12. Si log2 a y log3 b

Calcula log48

13. Si 2 4 8x log log log 64

Señala el valor de: -1 x 1 xE 3 3

14. Halla x en: 10

log(x 2)5

log 5x 10

15. Reducir: 2 log 5 log 147 7

log 27

2 5P

5

… PARA LA CASA

01. Halla x en: 0,255

log x2

A. 64 B. 1/64

C. 32 D. 1/32

02. Halla a en: alog 0,5 0,2

A. 1/5 B. 1/32

C. 5/2 D. 2/5

03. Resuelve: 5xlog 5 x

A. 25 B. 5

C. 5 5 D. 1/5

04. Si log2 a . Halla log25

A. 2(a-1) B. 2(a+1)

C. 2(2+a) D. 2(1-a)


5

05. Resuelve: log(3x 10)10 x 50

A. 10 B. 20

C. 30 D. 50

06. Si log2 = 0,30103. Calcula

5 3log 2 .5

A. 3,6 B. 3,8

C. 4,8 D.3,2

07. Calcula:

-8 2 5P log100 log 64 log 16 log 3125

A. 2 B.3

C. 4 D. 5

08. Halla el producto de las soluciones:

-logxlogx logx 6 0

A. 0,05 B. 0,01

C. 0,1 D. 0,5

09. Halla y en:

y5logy log288 3log

2

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

10. Halla x en: 2 3 2log log log x 1

A. 32 B. 64

C. 512 D. 1024

11. Resuelve:

2(x 4) (x 4)log x 10 log 7x

A. -5 B. -2

C. 3 D. Más de una

12. Resuelve: logx 3log2 1

A. 8 B. 80

C. 40 D. 1

13. Resuelve: 2

3 xlogx - log32 log

2

A. 4 B. 6

C. 7 D. 8

12. Halla x en: 33

2 4

xlog 4 2

10

A. 14 B. 16

C. 9 D. 8

14. Halla n en: -log n log3 0,5

A. 70 B. 80

C. 90 D. 100

15. Resolver:

-1 1

logx log16 log8 12 3

A. 10 B. 20

C. 30 D. 30

16. Si 3log a 0,5 . Halla b en:

3ab

log 1,59

A. 2 B. 1/3

C. 3 D. 2/3

17. Resuelve: -x

3logx log32 2log2

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

18. Halla x en:

1

logx 2 log18 log8 2log252

A. 48 B. 32

C. 16 D. 8


6

19. Si 2loga.b 1 y 3loga .b 1

Encuentra el valor de ab.

A. 10 B. 1/10

C. 0,01 D. 5 10

20. Halla x en: log 3 log 6logx2 2

x6 10 3 log x

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

21. Si: alog b 2 ; Encuentra el valor de

2blog a .b

A. 1/2 B. 1

C. 2 D. 4

22. Halla el mayor valor de x en:

- - 3log 5 x 35 x 3

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

23. Calcula x

blog

a

; sabiendo que:

3 x 5x x 5 3xa .b a .b A. loga B. logb

C. a + b D. ab

24. Si 4log y 2 , halla el valor que debe

tener x para que se cumpla: 2 3

4x y

log 516

A. 2 B. 4

C. 8 D. 16

25. Si log5 = k. Calcula el valor de:

16 1M log2 2log log

25 125

A. 9k – 10 B. 9k + 10

C. 10k - 9 D. 9 - 10k

www.issuu.com/sapini/docs/

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