LOGARITMOS

Se define el logaritmo de un número, al exponente( ) al cual es

necesario elevar otro número llamado base(b) para encontrar el

número propuesto(N) inicialmente.

NOTACIÓN : bα = N = logb N

“ se lee ( ) es el logaritmo del número (N) en base (b) ”

Ejm.25 = 32 5 = log232

2-2 = -2 = log2

1

4

1

4

DEFINICIÓN:

RELACIONES FUNDAMENTALES

Si : bα = N --------- (1)

(2) en (1)

= logb N ----- (2)

IDENTIDAD

Ejm.64

644

log4

NN

blog

b

RELACIONES FUNDAMENTALES

Si : bα = N --------- (1)

(2) en (1)

= logb N ----- (2)

IDENTIDAD

Ejm.64

644

log4

NN

blog

b

RELACIONES FUNDAMENTALES

Si : bα = N --------- (1)

(2) en (1)

= logb N ----- (2)

IDENTIDAD

Ejm.64

644

log4

NN

blog

b

PROPIEDADES

1. La base de un sistema de logaritmos debe ser un número positivo y distinto de la unidad.

b > 1 ; 0 < b < 1

2. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo real , su valor es un número imaginario.

log5 (-7) |R

3. En todo sistema, el logaritmo de la base es igual a la unidad.

logb b = 1

4. En todo sistema el logaritmo de la unidad es cero.

logb 1 = 0

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

b > 1

0 < b < 1

N

logbN

0

(1,0)

PROPIEDADES OPERATIVAS

Logaritmo de un producto

Se desarrolla sumando los logaritmos de sus factores, si hubiese más factores

habría que poner más sumandos.

logb (A.B) = logb A + logb B

Ejm

log5 (4.16) = log5 4 + log5 16

Logaritmo de un cociente

Se desarrolla restando el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor.

logb = logb A – logb B

Ejm

log5 = log5 2 – log5 3

Logaritmo de una potencia

Se desarrolla multiplicando la potencia por el logaritmo del número.

logb An = n . logb A

Ejm

log7 45 = 5 . log7 4

B

A

2

3

Logaritmo de una raíz

Se desarrolla dividiendo el logaritmo del radicando entre el índice de la raíz.

logb =

Ejm

log2 = = 1

El valor de un logaritmo no se altera, si se efectúan con la base y el númeropropuesto las mismas operaciones de potenciación ó radicación.

logb N =

Ejm

n An

Alogb

42

4log2

r

b

p

bNlogNlog rp

3

2

2

22 10log10log10log 32

REGLA DE LA CADENA

logb a . loga c . logc d = logb d

Ejm

log3 5 . log5 8 . log8 27 = log3 27 = 3

CAMBIO DE BASE (teorema)

El siguiente teorema se puede aplicar para encontrar el logaritmo de cualquier número en cualquier base.

logb M =

Ejmlog5 7 =

a

a

log M

log b

3

3

log 7

log 5

NOTA

I. LOGARITMOS DECIMALES ó COMUNES

Son aquellos cuya base es el número 10 , siendo los más utilizados en razón

que la base coincide con el sistema de numeración que empleamos.

NOTACION : log N <> log10 N <> lg N (logaritmo decimal de N)

Ejm lg 2 , lg 7 , lg x

II. LOGARITMOS NEPERIANOS (ln)

Llamados también logaritmos naturales o hiperbólicos son aquellos cuya base

es el número “e” .

e = 2.718281828 . . .

ésta cantidad se ha obtenido calculando el siguiente límite.

e =

NOTACIÓN : loge N = ln N (logaritmo neperiano de N)

x

x x

11lím

ANTILOGARITMOEs aquella cantidad que acepta por logaritmo el número dado.

antilogbα = bα

Ejemplos: antilog24 = 24 = 16

antilog7(-2) = 7-2 = 1/49

PROPIEDADES:

1. logb antilogbα = logbbα = α

2. antilogb logbα = α

COLOGARITMOEs el logaritmo del inverso del número propuesto.

cologbN = logb(1/N) = - logbN

Ejemplo: colog35 = log3(1/5) = - log35