Materia: Lógica

Cátedra: Oller

Teórico: N° 13

Tema: La justificación de la deducción

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

La cuestión que estábamos discutiendo es cómo las lógicas divergentes o

alternativas eliminan algunos patrones inferenciales de la lógica clásica que parecieran

inaceptables. Ahora nos podemos preguntar por algo que está relacionado con este tema

pero que, obviamente, es diferente: ¿cómo podemos justificar los esquemas que sí nos

resultan razonables? Por un lado, la lógica clásica, con su definición de consecuencia

lógica, nos lleva a aceptar esos esquemas que nos parecen pésimos, que son paradojas

de la relevancia. Por el otro, la lógica clásica, con su definición de consecuencia lógica,

nos lleva a aceptar esquemas que nos parecen fantásticos. Y la pregunta, respecto de

estos últimos esquemas, es cómo podemos justificarlos.

Aquí aparece el problema de la justificación de la deducción, que es uno de los

problemas que tienen tratados en el libro de Goldstein et al. En el primer capítulo

aparece este problema, que se suele llamar el problema de la justificación de la

deducción: tenemos esquemas que nos parecen fantásticos, con los cuales no tenemos

ningún problema. ¿Cómo los justificamos?

Esta cuestión de la justificación de la deducción tiene que ver con otros dos

grandes problemas que uno puede plantear respecto de la lógica y el razonamiento

deductivo. Una primera pregunta es cómo razona efectivamente la gente. Esta pregunta,

en la actualidad, se considera como una pregunta propia de una disciplina empírica, la

psicología del razonamiento. Se considera que las respuestas que uno pueda dar a esta

pregunta son, por lo menos en lo que respecta a la lógica deductiva, independientes de

la respuesta a la segunda pregunta, que es cómo debe razonar la gente.

Es decir, la primera pregunta es una pregunta empírica: cómo se razona

deductivamente. La segunda pregunta ya no es empírica, sino que es una pregunta

normativa: cómo se debe razonar.

En algún momento de la historia de la lógica, estas dos preguntas no se

consideraron independientes, porque hubo autores que sostuvieron posiciones que se

suelen llamar psicologistas, que justamente se caracterizan por afirmar que estas

preguntas no son independientes entre sí. El psicologismo en lógica sufrió un poderoso

ataque a fines del siglo XIX y principios del siglo XX, principalmente por parte de

Frege y de Husserl, de modo que pasó de moda. La posición estándar hoy en día es

sostener que estas dos preguntas son preguntas independientes: una pregunta descriptiva

o empírica, y una pregunta normativa.

Ahora, de acuerdo con la posición anti-psicologista, la psicología del

razonamiento no nos puede dar una respuesta a esta pregunta. Entonces, ¿quién se

ocupa de la segunda pregunta? Una posición tradicional, es que la lógica da esta

respuesta. Esto es, la lógica cuando se la entiende en un sentido amplio, no sólo como

un conjunto de teorías formales.

Hay una tercera pregunta, que es la que estábamos viendo. Es una pregunta que

podríamos llamar meta-normativa: cómo se justifican las normas del razonamiento

correcto.

Entonces, tenemos tres preguntas diferentes y, en principio, independientes:

1. Pregunta descriptiva: ¿cómo se razona deductivamente?

2. Pregunta normativa: ¿cómo se debe razonar deductivamente?

3. Pregunta meta-normativa: ¿cómo se justifican las normas del razonamiento

deductivo correcto?

Nosotros estamos tratando de contestar ahora esta tercera pregunta.

Al intentar contestar esta última pregunta, nos encontramos con el problema de la

justificación de la deducción. Lo que uno pensaría, prima facie, que es un problema

fácil, resulta no serlo.

Un ejemplo de esquema fantástico es el modus ponens:

¿Cómo justificamos el modus ponens? En realidad, tenemos que justificar todos

nuestros esquemas inferenciales, pero empecemos por justificar uno. Podemos empezar

por esta, que es el paradigma de regla deductiva.

¿Cómo se les ocurre que uno podría justificar la adopción de esta regla?

Alumno: …

Profesor: Está comprobado experimentalmente que los seres humanos, con o sin

instrucción lógica, en general, razonan muy mal en situaciones no especializadas. Pero

el modus ponens es una de las pocas reglas que la gente aplica sin problemas. Es decir,

no sólo tiene una venerable historia en la literatura, sino que también parece que está

“cableado” (hard-wired) en el cerebro humano (para utilizar la terminología de lxs

neuro-filósofxs). Pero, ¿cómo lo justificamos?

Este es el problema que, en un artículo clásico, se plantea Susan Haack, una

filósofa inglesa. Susan Haack escribió, en los años '70, un artículo famoso, que se llama

“La justificación de la deducción”.1 Ahí, Haack plantea que, tradicionalmente, se supuso

que lo que necesitaba justificación era la inducción, no la deducción. Esto es, cómo

podemos justificar, por ejemplo, el paso de “Todos los cisnes que vi hasta ahora son

blancos” a “Todos los cisnes son blancos”. Pero, para Haack, el problema (que se llamó

el escándalo de la inducción) se reproduce en el caso de la deducción (y esto sí es un

verdadero escándalo).

Haack dice lo siguiente. Queremos justificar la deducción. Entonces, tenemos dos

opciones: podemos dar una justificación inductiva o una justificación deductiva de la

deducción:

¿Cómo sería la justificación inductiva? Sería: hasta ahora, todas las veces que aplicamos

el modus ponens fueron situaciones en que pasamos de verdad a verdad, o situaciones

en las que nunca pasamos de verdad a falsedad. Es decir, el modus ponens nunca nos

1 Haack, S. (1976), “The Justification of Deduction”, Mind 85(337): 112-119.

llevó de verdad a falsedad. Y esto da lugar a una justificación inductiva: hasta ahora, el

modus ponens no nos llevó nunca de verdad a falsedad, por lo tanto, el modus ponens

no lleva nunca de verdad a falsedad.

¿Qué pasa con la justificación inductiva? Es demasiado débil porque lo que

queremos es demostrar que es imposible que el modus ponens nos lleve de verdad a

falsedad, y, además, no tenemos todavía una justificación para la inducción. Por eso,

esta es una justificación muy débil de la deducción:

Como la justificación de la deducción in toto es un proyecto demasiado ambicioso,

nosotros estamos planteando el problema más acotado de la justificación del modus

ponens. Vimos que una posible justificación es inductiva. Y el problema que tiene es

que es una justificación muy débil. Por eso, no nos conforma.

Si la justificación inductiva nos parece muy débil, entonces podemos intentar una

justificación deductiva de la deducción. Pero esta justificación tiene un problema aún

peor, porque la justificación deductiva de la deducción es circular:

Uno puede decir: a mí esto no me importa ni me conmueve, porque no entré en la

carrera de filosofía para estudiar lógica. Pero fíjense que esta situación es terrible.

Aceptemos la idea de que el conocimiento es creencia verdadera justificada (que, se

supone, ya se encuentra en Platón). Entonces, para tener conocimiento, debemos poseer

justificación para nuestras creencias. ¿Y cómo justificamos nuestras creencias? Por

ejemplo, ¿cómo justifica el matemático sus creencias matemáticas? Infiriendo

deductivamente. A su vez, el físico utiliza los resultados del matemático. Y el biólogo

utiliza los resultados del físico y del matemático. Y así podemos seguir. De manera que,

si no tenemos justificación para nuestros principios lógicos, no tenemos justificación

para nuestros supuestos conocimientos matemáticos, ni para nuestros supuestos

conocimientos físicos, biológicos, psicológicos, etc. Es decir, todo el edificio del

supuesto conocimiento humano está basado, porque lo presupone, en un pseudo-

conocimiento lógico para el cual no podemos proporcionar ninguna justificación.

Es decir que el problema de la falta de justificación de la deducción, que parece

un problema de filosofía de la lógica, si uno acepta la premisa de que el conocimiento es

creencia verdadera justificada, tiene consecuencias terribles porque, si no hay

conocimiento sin justificación, y todo conocimiento presupone, de una forma u otra, la

argumentación deductiva, entonces no hay justificación cabal para ninguno de nuestros

conocimientos. Es decir, que no podamos justificar la deducción es lo más terrible que

nos podría pasar, desde el punto de vista de la posibilidad de justificar el conocimiento.

Volvamos a nuestro problema: ¿cómo podríamos justificar la aceptación del

modus ponens? Dado que lo que queremos hacer es justificar una regla deductiva (es

decir, una regla de la que pretendemos que nunca nos lleve de verdad a falsedad), lo que

podríamos hacer es mostrar que, efectivamente, el modus ponens nunca nos va a poder

llevar de verdad a falsedad, suponiendo que el signo tiene el significado que le

damos en la semántica formal. El “si... entonces” en el lenguaje natural tiene varios

significados, y uno podría (puede) encontrar contraejemplos para cualquier regla que lo

incluya. Pero nos proponemos algo más sencillo: tratar de mostrar que el modus ponens

nunca nos puede llevar de verdad de las premisas a falsedad de la conclusión, dándole al

signo el significado que le da la semántica formal estándar.

Sin embargo, Haack nos señala algo que es más o menos evidente: que la

justificación del modus ponens, entendida en este sentido que hemos visto, es circular,

utiliza el modus ponens. Es decir, para justificar que el modus ponens es un esquema

inferencial deductivamente válido, tenemos que presuponer su validez. Es decir, es una

justificación circular de un tipo peculiar que ahora vamos a ver.

¿Cuál sería la justificación? Tenemos que mostrar que, si las premisas del modus

ponens son verdaderas, la conclusión lo va a ser. Supongamos esto como premisas:

1. Ver(φ ψ) Premisa

2. Ver(φ) Premisa

Es decir, nuestro argumento meta-lógico tiene dos premisas, que φ ψ es verdadero y

que φ es verdadero.

Ahora, vamos a utilizar la semántica estándar para , que la podemos dar bajo la

forma de una cláusula semántica o bajo la forma de una tabla de verdad. Hagámoslo

como una tabla de verdad:

Esta es la tabla común del condicional. De esta tabla del condicional podemos sacar,

como tercera línea de nuestra demostración, lo siguiente:

3. Si Ver(φ ψ), entonces, si Ver(φ), entonces Ver(ψ) Por Tabla de

Esto sale por la tabla de verdad:

La única fila donde se cumple que φ ψ es verdadero y que φ es verdadero es la

primera fila. Y, en ese caso, ψ también es verdadero. Entonces, la tercera línea de la

derivación está justificada por esta tabla de verdad.

Ahora bien, ¿cómo llegamos de esto a Ver(ψ), que es lo que queremos obtener?

Por aplicación reiterada del modus ponens:

4. Si Ver(φ), entonces Ver(ψ) 1,3 por MP

5. Ver(ψ) 2,4 por MP

Entonces, para llegar a la conclusión que queremos, tenemos que usar el modus ponens,

que es justamente la regla que queremos justificar:

1. Ver(φ ψ) Premisa

2. Ver(φ) Premisa

3. Si Ver(φ ψ), entonces, si Ver(φ), entonces Ver(ψ) Por Tabla de

4. Si Ver(φ), entonces Ver(ψ) 1,3 por MP

5. Ver(ψ) 2,4 por MP

Es decir, la justificación semántica de la regla, que dice que tenemos que aceptar el

modus ponens porque la semántica del condicional material nos asegura que si las

premisas de un modus ponens son verdaderas, la conclusión también es verdadera,

necesita, en su exposición, de la aplicación del modus ponens. Tenemos que confiar en

que el modus ponens no nos va a llevar de verdad a falsedad para probar que no nos va a

llevar de verdad a falsedad.

Esto, técnicamente, se llama circularidad. Pero es una circularidad especial, no es

la circularidad desenfadada de concluir “Llueve” a partir de “Llueve”, que se suele

llamar circularidad de las premisas (premise circularity). Es una circularidad diferente,

que se suele llama circularidad de las reglas. En inglés, rule circularity. No es la

circularidad patente de inferir “Llueve” de “Llueve”, sino que es una circularidad un

poco más “sofisticada”, que consiste en justificar una regla aplicando esa misma regla.

Este es el argumento básico de Susan Haack. Luego, su argumentación se sofistica

bastante, pero el argumento básico es: si uno pretende hacer esta justificación de las

reglas deductivas, que podemos llamar justificación semántica (es decir, que uno debe

aceptar una regla deductiva porque asegura que, de premisas verdaderas, uno nunca va a

llegar a una conclusión falsa), va a tener que caer en una especie de circularidad, que es

la circularidad de las reglas.

Ustedes podrían decir que hay una solución del siguiente estilo: no tengo por qué

justificar el modus ponens por medio del modus ponens, sino que puedo justificarlo por

medio de otra regla. Así, justifico el modus ponens en términos de otra regla, y esa otra

regla, en términos de otra más.

Pero esto sería una pseudo-solución. ¿Por qué? Aquí recurriremos al trilema de los

escépticos, un argumento clásico de los escépticos griegos. Si ustedes consideran que

sólo hay conocimiento cuando hay justificación de las creencias, tienen que concluir,

bajo ciertos supuestos, que no hay ningún conocimiento, porque necesariamente caen en

una de tres situaciones que constituyen los cuernos del trilema.

La primera situación es la circularidad. Supongamos que intentan justificar una

regla R1. Y no lo hacen usando R1, sino recurriendo a una regla R2, para no caer en la

circularidad de justificar R1 por medio de R1. Pero R2, a su vez, requiere justificación.

Entonces, recurren a una regla R3:

Ahora, a menos que tengan una cantidad infinita de reglas, en algún punto, se les va a

producir un círculo como este:

Es decir, la justificación de R1 va a requerir, en algún momento, el uso de una regla Rm

que va a ser justificada por referencia a R1. Si el número de reglas es finito, va a haber

un momento en que van a caer en un círculo justificatorio.

Entonces, una primera situación de este trilema es aquella en la que se cae en un

círculo justificatorio. Y, si caen en un círculo justificatorio, no justificaron cabalmente

nada. Este es el primer cuerno del trilema.

Otra posibilidad es que uno tenga infinitas reglas. Si es así, es posible no caer

nunca en un círculo justificatorio. Pero esta situación da lugar al segundo cuerno del

trilema. Porque uno cae en otro defecto, que ya identificaron los griegos, que es lo que

se llama una regresión al infinito.

Si yo tengo infinitas reglas, la justificación de la regla inicial puede diferirse

indefinidamente, pero, finalmente, no tengo ninguna justificación cabal:

Lo que tengo, entonces, es una postergación de la justificación: R1 se justifica por R2, R2

por R3, R3 por R4, y así al infinito. Este es el segundo cuerno del trilema.

Hasta ahora, tenemos: o bien (i) caigo en un círculo justificatorio, o bien (ii) caigo

en una regresión al infinito. El tercer cuerno del trilema, que es el elegido por los

aristotélicos, consiste en parar la cadena justificatoria en un punto determinado. Es

decir, justifico hasta un punto y, en ese punto, ya no continúo la justificación de unas

creencias en términos de otras.

La pregunta es por qué paro en ese punto. La respuesta puede ser que paro porque

tengo una intuición lógica que justifica esa creencia. Y aquí se presenta el problema de

la intuición, que es un gran problema para la teoría del conocimiento. Al respecto,

Klimovsky tenía un dictum: el camino del infierno está pavimentado de buenas

intuiciones. Entonces, el tercer cuerno del trilema consiste en (iii) detener en un punto,

que los escépticos consideran arbitrario, la cadena justificatoria.

Este es el trilema escéptico: o bien (i) caigo en un círculo, o bien (ii) caigo en una

regresión al infinito, o bien (iii) me detengo en un punto arbitrario. Los escépticos

griegos plantearon este trilema respecto de la justificación de cualquier conocimiento. Y

Susan Haack lo plantea respecto de la justificación de nuestras reglas lógicas.

Como ya vimos, esto es un gran problema, porque si no podemos justificar

nuestras reglas lógicas, estamos en una mala posición, dado que las reglas lógicas las

vamos a aplicar en una cantidad notable de razonamientos, tanto en filosofía como en

ciencia.

Supongamos que ustedes tienen intereses epistemológicos y les preocupa el

problema de la justificación del conocimiento. Lo primero que tienen que resolver es la

justificación del conocimiento lógico, porque está a la base de todo lo demás. Es decir

que esto no es una cuestión trivial, un juego de una filósofa inglesa, sino que es un

problema realmente grave.

Naturalmente, uno puede plantear ciertas objeciones a este argumento, aunque

nosotros no vamos a seguir con detalle el desarrollo del artículo de Susan Haack. En

otro artículo de la autora, “La justificación de la deducción de Dummett”2, Haack

contesta a Dummett, un filósofo británico que sostiene que, en realidad, la justificación

de la deducción no es un problema.

Dummett sostiene que hay argumentos de distinto tipo. Algunos argumentos son

persuasivos, buscan convencer a una audiencia de la aceptabilidad de la conclusión del

argumento en vista de las premisas. Es decir, la audiencia no está convencida de la

conclusión. Entonces, lo que tengo que hacer es persuadirla de que la premisas hacen

razonable aceptar la conclusión, o necesario aceptar la conclusión. Esto es lo que

Dummett llama un argumento persuasivo.

Lo que dice Dummett es que, aquí, el sentido epistémico y el sentido lógico van

en la misma dirección:

Argumentos persuasivos

Esto es, la conclusión se infiere de las premisas, y se busca que las premisas persuadan

al interlocutor, de modo que acepte la conclusión. De modo que, en ambos casos, la

dirección es de las premisas a la conclusión.

Por otra parte, hay otro tipo de argumentos, que son los argumentos explicativos o

explicaciones. En este caso, la audiencia ya está convencida de la aceptabilidad de la

conclusión. Por ejemplo, que la marea sube cuando hay luna llena. Supongamos que es

así. La gente ya está convencida de esto, no hay que convencerla de eso. Lo que hay que

encontrar en un argumento explicativo son premisas que me permitan obtener la

2 Haack, S. (1982), “Dummett's Justification of Deduction”, Mind 91(362): 216-239.

conclusión, de la cual el auditorio ya está convencido. Dummett dice que, en este caso,

el sentido lógico va de premisas a conclusión, pero el sentido epistémico tiene la

dirección inversa:

Argumentos explicativos

¿Por qué tiene la dirección inversa? Porque ya estoy convencido de la conclusión.

Entonces, lo que tengo que proporcionar es premisas adecuadas que permitan inferir la

conclusión.

Dummett dice que, en el caso de los argumentos persuasivos, el círculo es un

defecto, porque todavía no estamos convencidos de la conclusión. Entonces, suponer la

conclusión como premisa, o tener la conclusión como una de las premisas es

obviamente un defecto. Pero, en el caso del argumento explicativo, el círculo no es un

defecto, porque ya estamos convencidos de la conclusión. Entonces, que utilice la

conclusión entre las premisas no es ningún hecho reprobable.

Entonces, la contestación de Dummett es la siguiente. Hay, por lo menos, dos

tipos de argumentos, argumentos persuasivos y argumentos explicativos. En el

argumento persuasivo, quiero convencer a la audiencia o a mí mismo de la

razonabilidad o plausibilidad de una determinada conclusión en la cual yo todavía no

creo. Entonces, ¿cómo hago para creer? Proporciono determinadas premisas que

justifican mi creencia en la conclusión. El sentido epistémico va de las premisas a la

conclusión: acepto la conclusión porque acepto las premisas. En el argumento

explicativo, en cambio, la situación es diferente, porque ya estamos convencidos de la

conclusión, y lo que queremos encontrar son premisas que, razonablemente, expliquen

por qué se da eso que la conclusión enuncia.

Entonces, dada esta diferencia, el círculo justificatorio tiene distinta significación

en un argumento explicativo y en un argumento persuasivo. Como en el argumento

persuasivo todavía no estamos convencidos de la conclusión, poner la conclusión como

una de las premisas es hacer trampa. En cambio, en el argumento explicativo, usar la

conclusión como una de las premisas no es hacer trampa, porque ya estamos

convencidos de la conclusión: no necesitamos justificación para la conclusión, sino que

necesitamos una explicación de por qué se da lo que dice la conclusión. Y aquí, dice

Dummett, el círculo no es un defecto grave.

Para Dummett, la justificación de la deducción es un caso del segundo tipo, es un

argumento explicativo. Para Dummett, todos estamos convencidos de la bondad del

modus ponens. Entonces, lo que necesitamos es que me expliquen por qué es bueno. El

hecho de que, en esta explicación, se utilice el modus ponens en el meta-lenguaje no es

un defecto grave. La idea de Dummett es que tenemos que abrazar el círculo

justificatorio porque, en este caso, no tiene las connotaciones negativas que tendría en el

caso de que no estuviésemos convencidos de la bondad del modus ponens. Pero, como

estamos convencidos de la bondad del modus ponens, lo único que necesitamos es un

argumento explicativo que dé razones para esa bondad. Y si en ese argumento

explicativo tenemos que usar el modus ponens, no hay problema.

Dummett afirma que la justificación de la deducción es muy simple, por estas

razones. Viene dada, principalmente, por lo que se llama, en meta-lógica, el meta-

teorema de corrección, que es la generalización de lo que hemos visto para el modus

ponens. Es decir, es un meta-teorema que me asegura que sucede lo siguiente:

Esto es, me dice que, si φ es derivable de Γ, entonces φ es una consecuencia semántica

de Γ.

Esto no es nada más que la generalización de la justificación semántica de las

reglas deductivas de un sistema que habíamos visto para el modus ponens. Nosotros lo

habíamos hecho solamente para el modus ponens. Entonces, teníamos el esquema

inferencial del modus ponens y lo que decíamos, que contaba como justificación de esta

regla, es que toda vez que las premisas del modus ponens fueran verdaderas, su

conclusión lo sería. Es decir, que todo modelo de las premisas del modus ponens es

modelo de la conclusión. Y esto es lo que dice “Γ |= φ”: todo modelo de Γ es modelo de

φ.

Entonces, el metateorema de corrección me dice que, si es posible inferir, usando

las reglas de inferencia de mi sistema, φ a partir de Γ, entonces φ es una consecuencia

semántica de Γ. Es decir, que todo modelo de Γ va a ser un modelo de φ. O, dicho de

otra manera, que la verdad de las premisas de ese esquema inferencial asegura la verdad

de la conclusión. Es decir, que esa regla es una regla deductivamente aceptable, porque

nos lleva de verdad a verdad, y no nos puede llevar de verdad a falsedad.

El metateorema de corrección (que, en inglés, se dice soundness) es la

generalización de la estrategia justificativa de las reglas de inferencia que habíamos

visto para el modus ponens. Pero, en vez de restringirla para el modus ponens, la

generalizamos para todas las reglas del sistema, para todos los esquemas de argumento

aceptables sintácticamente en nuestro sistema.

Dummett afirma que si uno puede probar un teorema de corrección para su

sistema, entonces ya justificó las reglas de su sistema. ¿Cómo las justificó? Mostrando

que son reglas encomiables, porque nunca nos van a llevar de premisas verdaderas a

conclusión falsa, que es todo lo que le pedimos a nuestras reglas deductivas. Este, dice

Dummett, es el significado filosófico del metateorema de corrección: nos proporciona

una justificación de nuestras reglas de inferencia. Entonces, habiendo probado el

metateorema de corrección, hemos justificado nuestras reglas de inferencia.

Y mejor aún, dice Dummett, si podemos probar el condicional converso, aunque

no es indispensable y, a veces, no es posible. Este es el metateorema de completud o

completitud:

Este metateorema es el enunciado converso del metateorema de corrección, y dice que,

si φ es una consecuencia semántica de Γ, entonces φ es derivable de Γ. Es decir, vamos a

tener, por lo menos, una derivación, usando las reglas de inferencia del sistema, de φ a

partir de Γ.

Hago una aclaración terminológica. Si ustedes tienen un condicional (φ ψ), el

condicional converso es el condicional (ψ φ). Es decir, es el condicional que tiene

como antecedente el consecuente del original, y como consecuente el antecedente del

original. En general, un condicional y su converso no son lógicamente equivalentes.

Si se fijan en estos metateoremas, uno es el converso del otro, y viceversa:

En este caso, no son lógicamente equivalentes. Si fuesen lógicamente equivalentes, la

prueba de uno valdría como prueba del otro.

Dummett dice que lo único que necesitamos para justificar nuestras reglas es

probar un metateorema de corrección. Lo que proporciona este teorema es una

justificación semántica de nuestras reglas. Que esta justificación sea circular no nos

importa, porque cuando queremos justificar nuestras reglas deductivas buscamos

construir un argumento explicativo. Ya estamos convencidos de que son buenas.

Entonces, no es un defecto que la explicación sea circular.

Además, dice Dummett, si uno puede probar además un metateorema de

completitud, mejor todavía. Pero a veces esto no es posible, dado que hay lógicas que

no son completas respecto de su semántica estándar.

¿Cuál es el significado intuitivo del metateorema de completitud? Supongamos

que tenemos estas dos proposiciones:

Entonces, podemos decir que la relación de consecuencia semántica y la relación de

consecuencia sintáctica coinciden en su extensión, porque φ es una consecuencia

semántica de Γ si y sólo si φ es una consecuencia sintáctica de Γ:

Γ |= φ si y sólo si Γ |- φ

Pero, enfocándonos en el metateorema de completitud, lo que nos dice este

metateorema es que, toda vez que tengamos una forma argumental válida (es decir, que

me asegure la transmisión de verdad de premisas a conclusión), vamos a tener una

derivación de esta forma argumental, a partir de sus premisas, usando las reglas

sintácticas del sistema.

Entonces, retomando la idea de Dummett, lo mejor es tener estos dos

metateoremas, y la prueba de estos dos metateoremas constituye una justificación de las

reglas inferenciales del sistema. Pero a veces no es posible, porque hay sistemas que no

son completos. De manera que lo esencial para justificar la deducción, dado que la

justificación de la deducción es un argumento explicativo, es probar un metateorema de

corrección, que es una generalización de lo que hicimos respecto del modus ponens. La

prueba no es mucho más complicada, aunque involucra alguna técnica demostrativa que

no vimos. Sin embargo, en su centro, es lo que hicimos para el modus ponens.

Alumno: La regla del modus ponens cumpliría con estos dos metateoremas.

Profesor: Más bien, yo diría que es posible probar, para la lógica clásica de

primer orden, un metateorema de corrección y un metateorema de compleción. Es decir

que todas las reglas que ustedes ven en el curso —y no sólo el modus ponens—

cumplen con este metateorema de corrección, es posible mostrar todas ellas preservan

verdad.

¿Cuál es la respuesta de Susan Haack a esto? Lo que le responde a Dummett es

que está presuponiendo que todo el mundo está convencido de la bondad de las mismas

reglas. Pero eso no es cierto, comenzando por el mismo Dummett. Distintos lógicos y

lógicas están convencidos de la bondad de distintos conjuntos de reglas. Los lógicos (y

las lógicas) relevantes no están convencidos de la bondad de las mismas reglas que los

lógicos clásicos. Y los lógicos paraconsistentes no están convencidos de la bondad del

mismo conjunto de reglas que los lógicos clásicos.

De manera que este presupuesto de Dummett, que está a la base de su argumento

(que consiste en sostener que la justificación de las reglas deductivas se zanja por medio

de un argumento explicativo) es cuestionable, porque no todo el mundo está convencido

de la conclusión. Es decir, no todo el mundo está convencido de la bondad de las

mismas reglas deductivas. Y ahí se caería el argumento de Dummett, porque depende de

que la audiencia esté de acuerdo en que el conjunto de las reglas aceptables es el mismo.

Y Susan Haack señala que es más o menos obvio que eso no es así, con lo cual el

argumento de Dummett cae y nos encontramos, de nuevo, en una posición difícil: o

reformamos el argumento de Dummett, o aceptamos que estamos nuevamente en una

encerrona, o encontramos otra manera de escapar al trilema, diciendo, por ejemplo, que

el tipo de justificación adecuada para las reglas lógicas no es la justificación semántica.

No vamos a entrar en las diferentes estrategias para justificar la deducción, que no son

del tipo de la justificación semántica.

Los grandes problemas de la filosofía de la lógica nos llevan a una encerrona.

Esto no es un gran descubrimiento, porque todos los problemas filosóficos terminan en

una encerrona. Si no, habría algún problema filosófico solucionado en la historia de la

filosofía, y nadie solucionó definitivamente ningún problema filosófico. Entonces, era

de esperar que los problemas de filosofía de la lógica también terminaran en una

encerrona.

La encerrona que nos plantea la pregunta meta-normativa por la justificación de

las normas del razonamiento es el trilema escéptico. Entonces, o bien tengo que aceptar

uno de los cuernos del trilema (y esto es lo que hace Dummett), o bien tengo que decir

que la justificación adecuada de los principios lógicos no es la semántica, sino que es

una justificación de algún otro tipo.

Los artículos mencionados, el de Dummett3 y el de Susan Haack, constituyen el

inicio de una discusión sobre la justificación de la deducción que todavía continúa.

3 Dummett, M. (1973), “The Justification of Deduction”, en Dummett, M., Truth and Other Enigmas,

Cambridge: Harvard University Press.