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inferencias
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EJERCICIOS DE DERIVACIÓNPRUEBA DIRECTA
Prof. Dr. Carlos Alvarado de Piérola
1. No es el caso que o estudias, o vas a la playa. Si tienes examen, estudias. Luego, no tienes examen.
Solución:
No es el caso que o estudias, o vas a la playa. Si tienes examen, estudias. Luego, no
P q r ptienes examen. r
{1} P1) ∼ ( p q ){2} P2) r → p / ∼ r{1} 3) ∼ p ∧ ∼ q ( 1 ), De M.{1} 4) ∼ p ( 3 ), Simp.{1,2} 5) ∼ r ( 2,4 ), M. T. T.
Respuesta: La inferencia es válida.
2.- Todo individuo es igual a otro, puesto que hay variabilidad, o todo individuo es igual a otro si y sólo si la variabilidad representa una ventaja. Pero no es el caso que si hay variabilidad, todo individuo es igual a otro. En consecuencia, todo individuo es igual a otro, si la variabilidad representa una ventaja.
Solución: FORMA LÓGICA:
Si hay variabilidad entonces todo individuo es igual a otro, o todo individuo es igual a
p q qotro si y sólo si la variabilidad representa una ventaja. Pero no es el caso que si
rhay variabilidad, entonces todo individuo es igual a otro. En consecuencia, si
p qla variabilidad representa una ventaja, entonces todo individuo es igual a otro. r q {1} P1) ( p → q ) v ( q ↔ r ){2} P2) ∼ ( p → q ) / r → q{1,2} 3) q ↔ r ( 1, 2 ), S. D.{1,2} 4) q → r . ∧ . r → q ( 3 ), Def. Equiv.{1,2} 5) r → q ( 4 ), Simp.Respuesta: La inferencia es válida.
3.- Hace sol, o si hace calor, vamos a la playa. No hace sol y no vamos a la playa. Por lo tanto, no hace calor.
Solución:
Hace sol, o si hace calor, vamos a la playa. No hace sol y no vamos a la playa.
P q r ∼ p ∼ rPor lo tanto, no hace calor.
∼ q
{1} P1) p ( q → r ){2} P2) ∼ p ∧ ∼ r / ∼ q{2} 3) ∼ p ( 2 ), Simp.{1,2} 4) q → r ( 1,3 ), S. D.{2} 5) ∼ r ( 2 ), Simp.{1,2} 6) ∼ q ( 4,5 ), M. T.
Respuesta: La inferencia es válida.
4.- Si hay respeto a la vida entonces hay respeto a los derechos humanos, por lo tanto si no hay respeto a los derechos humanos entonces no hay respeto a derechos fundamentales de la persona. No hay respeto a la vida, pues no hay respeto a los derechos humanos. En consecuencia, no hay respeto a los derechos humanos.
Solución: FORMA LÓGICA:
Si hay respeto a la vida entonces hay respeto a los derechos humanos, por lo p q
tanto si no hay respeto a los derechos humanos entonces no hay respeto a ∼ q
derechos fundamentales de la persona. Si no hay respeto a los derechos ∼ r ∼ q
humanos entonces no hay respeto a la vida. En consecuencia, no hay respeto a
∼ p∼ qlos derechos humanos.
{1} P1) ( p → q ) → ( ∼ q ∧ ∼ r ){2} P2) ∼ q → ∼ p / ∼ q{2} 3) p → q ( 2 ), Transp.{1, 2} 4) ∼ q ∧ ∼ r ( 1, 3 ), M. P. P. {1, 2} 5) ∼ q ( 4 ), Simp.
Respuesta: La inferencia es válida.
5.- La ciencia busca conocer las leyes naturales o el mundo es cognoscible. Puesto que hay leyes naturales y existe regularidad en la naturaleza, por lo tanto si hay leyes naturales entonces la ciencia busca conocerlas y prescinde de lo sobrenatural. Y lo cierto es que hay leyes naturales y existe regularidad en la naturaleza, y el mundo es cognoscible. Solución:
Hay leyes naturales y existe regularidad en la naturaleza, por lo tanto si hay leyes
p q pnaturales entonces la ciencia busca conocerlas y la ciencia prescinde de lo
r ssobrenatural. Hay leyes naturales y existe regularidad en la naturaleza, y
2
p qel mundo es cognoscible. En conclusión, la ciencia busca conocer las leyes t rnaturales o el mundo es cognoscible.
t
Si los animales en estado doméstico son susceptibles de variar entonces si es falso que hay variación en la naturaleza, hay dificultad para entender la evolución. No es el caso que si los animales en estado doméstico pueden variar, hay supervivencia de los menos aptos. Si no hay supervivencia de los menos aptos entonces no hay dificultad para entender la evolución. Luego, hay variación en la naturaleza.
Solución:
Si los animales en estado doméstico son susceptibles de variar entonces si p
es falso que hay variación en la naturaleza, hay dificultad para entender la ∼ q revolución. No es el caso que si los animales en estado doméstico pueden variar,
∼ phay supervivencia de los menos aptos. Si no hay supervivencia de los menos
s ∼ raptos entonces no hay dificultad para entender la evolución. Luego, hay variación ∼ r qen la naturaleza.
{ 1 } P1) p → (~ q → r ) { 2 } P2) ~ ( p → s ) { 3 } P3) ~ s → ~ r / q{ 2 } 4) ~ (~ p v s ) ( 2 ), Def. Cond.{ 2 } 5) ~ ~ p ∧~ s ( 4 ), De M.{ 2 } 6) ~ ~ p ( 5 ), Simp.{ 2 } 7) p ( 6 ), D. N.{1,2 } 8) ~ q → r ( 1, 7 ), M. P. P.{ 2 } 9) ~ s ( 5 ), Simp.{2,3 } 10) ~ r ( 3, 9 ), M. P. P.{1,2,3 } 11) ~ ~ q ( 8, 10 ), M. T. T.{1,2,3 } 12) q ( 11 ), D. N.
Respuesta: La inferencia es válida.
6.
{1} P1) ( p ∧ q ) → [ p → ( r ∧ s ) ]{2} P2) ( p ∧ q ) ∧ s / r t{2} 3) p ∧ q ( 2 ), Simp.{1,2} 4) p → ( r ∧ s ) ( 1,3 ), M. P. P.{2} 5) p ( 3 ), Simp.{1,2} 6) r ∧ s ( 4,5 ), M. P. P.{1,2} 7) r ( 6 ), Simp.
3
{1,2} 8) r t ( 7 ), Ad.
7.
{1} P1) F ( G H ){2} P2) ( G → I ) ∧ ( H → J ){3} P3) ( I J ) → ( F H ){4} P4) ∼ F / H{1,4} 5. G H 1,4, S. D.{1,2,4} 6. I J 2,5, D. C. C.{1,2,3,4} 7. F H 3,6, M. P. P.{1,2,3,4} 8. H 4,7, S. D.
7.-
{1} P1) ( A → B ){2} P2) ( B → C ){3} P3) ( C → D ){4} P4) ∼ D{5} P5) A E / E{1,2} 6. A → C 1,2, S. H. P.{1,2,3} 7. A → D 6,3, S. H. P.{1,2,3,4} 8. ∼ A 7,4, M. T. T.{1,2,3,4,5} 9. E 5,8, S. D.
D E R I V A C I O N E SEjercicios y solucionarioProfesor: Dr. Carlos Alvarado de Piérola
PRIMERA PARTE:E J E R C I C I O S
ABREVIATURAS
Ad. = Adición. M. P. P. = Modus Ponendo Ponens Def. Cond. = Definición del condicional. M. T. T. = Modus Tollendo TollensDef. Equiv. = Definición de la equivalencia. Simp. = Simplificación.De M. = De Morgan. S. D. = Silogismo disyuntivo. D. C. C. = Dilema constructivo compuesto. D. N. = Doble negación. Transp. = Transposición.
I. COMPLETE LAS SIGUIENTES DERIVACIONES COLOCANDO EN LAS
4
LÍNEAS PUNTEADAS LA CORRESPONDIENTE JUSTIFICACIÓN:
1.
{ } 1. p → q p.{ } 2. q → r p./ ~ p v r{ } 3. p → r …………….{ } 4. ~ p v r …………….
2.
{ } 1. ~ ( D E ) p.{ } 2. F → D p./ ~ F{ } 3. ~ D ⋀~E …………….{ } 4. ~ D …………….{ } 5. ~ F …………….
3.-
{ } 1. ( p → q ) v ( q ↔ r ) p.{ } 2. ~ ( p → q ) p./ r → q{ } 3. q ↔ r …………….{ } 4. q → r ⋀ r → q …………….{ } 5. r → q …………….
4.-
{ } 1. G ( H → I ) p.{ } 2. ~ G ⋀ ~ I p./ ~ H{ } 3. ~ G …………….{ } 4. H → I …………….{ } 5. ~ I …………….{ } 6. ~ H …………….
5.-{ } 1. ( p →q ) → ( ~ q ⋀ ~ r ) p.{ } 2. ~ q → ~p p. ./ ~ q { } 3. p → q …………….{ } 4. ~ q ⋀ ~ r …………….{ } 5. ~ q …………….
6.-
{ } 1. ( A ⋀ B ) → [ A → ( D ⋀ E ) ] p.{ } 2. ( A ⋀ B ) ⋀ C p./ D E{ } 3. A ⋀ B …………….{ } 4. A → ( D ⋀ E ) …………….{ } 5. A …………….{ } 6. D ⋀ E …………….
5
{ } 7. D …………….{ } 8. D E …………….
7.-
{ } 1. F ( G H ) p.{ } 2. ( G → I ) ⋀ ( H → J ) p.{ } 3. ( I J ) → ( F H ) p.{ } 4. ~ F P./ H{ } 5. G H …………….{ } 6. I J …………….{ } 7. F H …………….{ } 8. H …………….
8.-
{ } 1. A → B p.{ } 2. B → C p.{ } 3. C → D P.{ } 4. ~ D P.{ } 5. A E P./ E{ } 6. A → C …………….{ } 7. A → D …………….{ } 8. ~ A …………….{ } 9. E …………….
9.-
{ } 1. ~ ( p ↔ q ) p. / ( p ⋀ ~q ) v ( q ⋀ ~p ){ } 2. ~ ( p → q ⋀ q → p) …………….{ } 3. ~ (~p v q ⋀ ~q v p) …………….{ } 4. ~ (~p v q ) v ~ (~q v p) …………….{ } 5. (~~p ⋀ ~q ) v (~~q ⋀~p) …………….{ } 6. ( p ⋀ ~q ) v ( q ⋀ ~p ) …………….
CUANDO LA CONCLUSIÓN NO APARECE EN LAS PREMISAS :10.-
{ } 1. p → q p. { } 2. p ⋀ ~ q p. / r{ } 3. p …………….{ } 4. q …………….{ } 5. ~ q …………….{ } 6. q v r …………….{ } 7. r …………….
6
HAY MÁS DE UNA FORMA PARA LLEGAR A LA MISMA CONCLUSIÓN : VEAMOS LA DERIVACIÓN ANTERIOR HECHA DE OTRA MANERA.10.-
{ } 1. p → q p. { } 2. p ⋀~ q p. / r{ } 3. ~ q …………….{ } 4. ~ p …………….{ } 5. p …………….{ } 6. p v r …………….{ } 7. r …………….
EN UNA DERIVACIÓN SE PUEDE COMENZAR POR CUALQUIERA DE LAS PREMISAS (Comparar los ejercicios números 11 y 12):11.-{ } 1. ~ ( p ⋀~ q ) p.{ } 2. ~ r v s p.{ } 3. ~ p → r p. / ~ (~ q ⋀ ~ s ){ } 4. ~ ~ p v r …………….{ } 5. p v r …………….{ } 6. ~ p v ~ ~ q …………….{ } 7. ~ p v q …………….{ } 8. p → q …………….{ } 9. r → s …………….{ } 10. q v s …………….{ } 11. ~ (~ q ⋀ ~ s ) …………….12.{ } 1. ~( p ⋀~ q ) p.{ } 2. ~ r v s p.{ } 3. ~ p → r p. / ~ (~ q ⋀ ~ s ){ } 4. ~ p v ~ ~ q …………….{ } 5. ~ p v q …………….{ } 6. p → q …………….{ } 7. r → s …………….{ } 8. ~ ~ p v r …………….{ } 9. p v r …………….{ } 10. q v s …………….{ } 11. ~ (~ q ⋀ ~ s ) …………….
13.{ } 1. ~ A B p.{ } 2. ~ B C p.{ } 3. C → D p. ./ A → D{ } 4.{ } 5.{ } 6. …………….
7
{ } 7. …………….
{ } 8. …………….
{ } 9. …………….
{ } 10. …………….
{ } 11. …………….
{ } 12. …………….
{ } 13. …………….
SEGUNDA PARTE:S O L U C I O N A R I O
1.{1} 1. ~ ( D E ) p.{2} 2. F → D p./ ~ F{1} 3. ~ D ⋀ ~E 1, De M.{1} 4. ~ D 3, Simp.{1,2} 5. ~ F 2,4, M. T. T.
2.-{1} 1. ( p → q ) v ( q ↔ r ) p.{2} 2. ~ ( p → q ) p./ r → q{1,2} 3. q ↔ r 1, 2, S. D.{1,2} 4. q → r ⋀ r → q 3, Def. Equiv.{1,2} 5. r → q 4, Simp.
3.-{1} 1. G ( H → I ) p.{2} 2. ~ G ⋀ ~ I p./ ~ H{2} 3. ~ G 2, Simp.{1,2} 4. H → I 1,3, S. D.{2} 5. ~ I 2, Simp.{1,2} 6. ~ H 4,5, M. T.
4.-{1} 1. ( p →q ) → ( ~ q ⋀ ~ r ) p.{2} 2. ~ q → ~p p. ./ ~ q {2} 3. p → q 2, Transp.{1, 2} 4. ~ q ⋀ ~ r 1, 3, M. P. P. {1, 2} 5. ~ q 4, Simp.
5.-{1} 1. ( A ⋀ B ) → [ A → ( D ⋀ E ) ] p.{2} 2. ( A ⋀ B ) ⋀ C p./ D E
8
{2} 3. A ⋀ B 2, Simp.{1,2} 4. A → ( D ⋀ E ) 1,3, M. P. P.{2} 5. A 3, Simp.{1,2} 6. D ⋀ E 4,5, M. P. P.{1,2} 7. D 6, Simp.{1,2} 8. D E 7, Ad.
6.-
{1} 1. F ( G H ) p.{2} 2. ( G → I ) ⋀ ( H → J ) p.{3} 3. ( I J ) → ( F H ) p.{4} 4. ~ F p./ H{1,4} 5. G H 1,4, S. D.{1,2,4} 6. I J 2,5, D. C. C.{1,2,3,4} 7. F H 3,6, M. P. P.{1,2,3,4} 8. H 4,7, S. D.
9
7.-
{1} 1. ( A → B ) p.{2} 2. ( B → C ) p.{3} 3. ( C → D ) p.{4} 4. ~ D p.{5} 5. A E p./ E{1,2} 6. A → C 1,2, S. H. P.{1,2,3} 7. A → D 6,3, S. H. P.{1,2,3,4} 8. ~ A 7,4, M. T. T.{1,2,3,4,5} 9. E 5,8, S. D.
8.-
{1} 1. ~ ( p ↔ q ) p. / ( p ⋀ ~q ) v ( q ⋀ ~p ){1} 2. ~ ( p → q ⋀ q → p) 1, Def. Equiv.{1} 3. ~ (~p v q ⋀ ~q v p) 2, Def. Cond.{1} 4. ~ (~p v q ) v ~ (~q v p) 3, De M.{1} 5. (~~p ⋀ ~q ) v (~~q ⋀~p) 4, De M.{1} 6. ( p ⋀ ~q ) v ( q ⋀ ~p ) 5, D. N.
CUANDO LA CONCLUSIÓN NO APARECE EN LAS PREMISAS :9.-
{1} 1. p → q p. {2} 2. p ⋀ ~ q p. / r{2} 3. p 2, Simp.{1,2} 4. q 1,3, M. P. P.{2} 5. ~ q 2, Simp.{1,2} 6. q v r 4, Ad.{1,2} 7. r 5,6, S. D.
HAY MÁS DE UNA FORMA PARA LLEGAR A LA MISMA CONCLUSIÓN : VEAMOS LA DERIVACIÓN ANTERIOR HECHA DE OTRA MANERA.10.-
{1} 1. p → q p. {2} 2. p ⋀~ q p. / r{2} 3. ~ q 2, Simp.{1,2} 4. ~ p 1,3, M. T. T.{2} 5. p 2, Simp.{2} 6. p v r 5, Ad.{1,2} 7. r 4,6, S. D
EN UNA DERIVACIÓN SE PUEDE COMENZAR POR CUALQUIERA DE LAS PREMISAS (Comparar los ejercicios números 11 y 12):11.-
10
10
{1} 1. ~ ( p ⋀~ q ) p.{2} 2. ~ r v s p.{3} 3. ~ p → r p. / ~ (~ q ⋀ ~ s ){3} 4. ~ ~ p v r 3, Def. Cond.{3} 5. p v r 4, D. N.{1} 6. ~ p v ~ ~ q 1, De M.{1} 7. ~ p v q 6, D. N.{1} 8. p → q 7, Def. Cond.{2} 9. r → s 2, Def. cond.{1,2,3} 10. q v s 8, 9 y 5, D. C. C.{1,2,3} 11. ~ (~ q ⋀ ~ s ) 10, De M.
12.
{1} 1. ~( p ⋀~ q ) p.{2} 2. ~ r v s p.{3} 3. ~ p → r p. / ~ (~ q ⋀ ~ s ){1} 4. ~ p v ~ ~ q 1, De M.{1} 5. ~ p v q 4, D. N.{1} 6. p → q 5, Def. Cond.{2} 7. r → s 2, Def. Cond.{3} 8. ~ ~ p v r 3, Def. Cond.{3} 9. p v r 8, D. N.{1,2, 3} 10. q v s 6, 7 y 9, D. C. C.{1,2,3} 11. ~ (~ q ⋀ ~ s ) 10, De M.
II. REALICE LAS SIGUIENTES DERIVACIONES:
1.
{ } 1. ( p → q ) → (~ q ⋀ ~ r ) p.{ } 2. ~ q → ~ p p. / ~ q
{ } 3. …………….
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
2.
{ } 1. ~ (p ↔ q) p. / ( p ⋀~ q ) ⋀ ( q ⋀~ p )
{ } 2. …………….
{ } 3. …………….
11
11
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….3.
{ } 1. ( p ⋀~ q ) → [ ~ p → ( ~ r → s) ] p.{ } 2. p p. { } 3. ~ q p. { } 4. ~ p p. { } 5. ~ r p. / ~ r
{ } 6. …………….
{ } 7. …………….
{ } 8. …………….
{ } 9. …………….
4.
{ } 1. p p. { } 2. ~ r p. / ~ ( p → r )
{ } 3. …………….
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….
5.
{ } 1. ~ p → q p.
{ } 2. ~ q p.
{ } 3. s p. p ⋀s
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….
{ } 7. …………….
6.
{ } 1. p → q p. { } 2. r → s p.
12
12
{ } 3. p v r p. { } 4. ~ q p. / ~ q ⋀ s
{ } 5. ……………. …………….
{ } 6. ……………. …………….
{ } 7. ……………. …………….
{ } 8. ……………. …………….
7.
{ } 1. p → (~ q → r ) p. { } 2. ~ ( p → s ) p. { } 3. ~ s → ~ r p. / q{ } 5. ……………. …………….
{ } 6. ……………. …………….
{ } 7. ……………. …………….
{ } 8. ……………. …………….
{ } 9. ……………. …………….
{ } 10. ……………. …………….
{ } 11. ……………. …………….
{ } 12. ……………. …………….
8.
{ } 5. …………….
III. SOLUCIONARIO A LA PARTE III.
1.
{ } 1. ( p → q ) → (~ q ⋀ ~ r ) p.{ } 2. ~ q → ~ p p. / ~ q
{ } 3. …………….
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
2.
{ } 1. ~ (p ↔ q) p. / ( p ⋀~ q ) ⋀ ( q ⋀~ p )
13
13
{ } 2. …………….
{ } 3. …………….
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….
3.
{ } 1. ( p ⋀~ q ) → [ ~ p → ( ~ r → s) ] p.{ } 2. p p. { } 3. ~ q p. { } 4. ~ p p. { } 5. ~ r p. / ~ r
{ } 6. …………….
{ } 7. …………….
{ } 8. …………….
{ } 9. …………….
4.
{ } 1. p p. { } 2. ~ r p. / ~ ( p → r )
{ } 3. …………….
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….
5.
{ } 1. ~ p → q p.
{ } 2. ~ q p.
{ } 3. s p. p ⋀s
{ } 4. …………….
{ } 5. …………….
{ } 6. …………….
14
14
{ } 7. …………….
6.
{ } 1. p → q p. { } 2. r → s p. { } 3. p v r p. { } 4. ~ q p. / ~ q ⋀ s
{ } 5. q v s 1, 2, 3, D. C. C.
{ } 6. s 4, 5, S. D.
{ } 7. ~ q ⋀ s 4, 6, Conj.
7.
{ } 1. p → (~ q → r ) p. { } 2. ~ ( p → s ) p. { } 3. ~ s → ~ r p. / q{ } 4. ~ (~ p v s) 2, Def. Cond.{ } 5. ~ ~ p ∧~ s 4, De M.{ } 6. ~ ~ p 5, Simp.{ } 7. p 6, D. N.{ } 8. ~ q → r 1, 7, M. P. P.{ } 9. ~ s 5, Simp.{ } 10. ~ r 3, 9, M. P. P.{ } 11. ~ ~ q 8, 10, M. T. T.{ } 12. q 11, D. N.
…………….
15
15
