LOGICA MATEMATICA

La lgica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y

tcnicas determina si un argumento es vlido. La lgica es ampliamente aplicada en la filosofa,

matemticas, computacin, fsica. En la filosofa para determinar si un razonamiento es vlido

o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lgica permite

saber el significado correcto. En las matemticos para demostrar teoremas e inferir resultados

matemticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin para revisar

programas. En general la lgica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se

realiza tiene un procedimiento lgico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una

ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lgico que permita realizar dicha tarea. Si

una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lgico, ya que no

puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes

no pint la parte alta porque se manchara lo que ya tiene pintado, tambin dependiendo si es

zurdo o derecho, l puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda segn el

caso, todo esto es la aplicacin de la lgica.

LOGICA PROPOSICIONAL

Clases de proposiciones

Hay dos clases de proposiciones:

Proposiciones simples y compuestas, tambin llamadas atmicas y moleculares

respectivamente.

a. Proposiciones Simples.- Tambin denominadas atmicas. Son aquellas proposiciones

que no se pueden dividir. Ejemplo:

b.

El cielo es azul. (verdadero)

Nomenclatura: p

b. Proposiciones Compuestas.- Tambin denominadas moleculares. Son aquellas que estn

formadas por dos o ms proposiciones simples unidas por los operadores lgicos. Ejemplo:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

Los lectores de este libro son jvenes o universitarios.

Si el mircoles prximo me saco la lotera entonces te regalar un auto.

Conectivas lgicas

Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada

proposicin molecular.

Conectivos lgicos ms empleados son:

Negacin

Es un elemento lgico que acta independientemente de la proposicin.

Se lee no p.

REGLA.- La negacin de una proposicin verdadera es falsa. La negacin de una proposicin

falsa es verdadera.

Ejemplo:

p.- Juan conversa

-p.- Juan no conversa

Conjuncin

Es la unin de dos o ms proposiciones mediante el conectivo lgico y, pero, tambin,

sin embargo, adems, etc.

Se lee p y q.

REGLA.- Es verdadera la proposicin conjuntiva nicamente cuando las dos proposiciones son

verdaderas (p y q), en cualquier otro caso es falsa.

Ejemplo:

P: La casa est sucia.

Q: La empleada la limpia maana

P Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia maana

Disyuncin

Une proposiciones mediante el conectivo lgico o.

Se lee p o q.

REGLA.- Una proposicin disyuntiva es verdadera cuando por lo menos uno de sus

componentes es verdadero. Es falsa slo cuando todos sus componentes son falsos (p o q).

P: Pedro juega bsquet

Q: Mara juega ftbol

PvQ: Pedro juega bsquet o Mara juega ftbol.

Conjuncin Negativa

Es la unin de dos o ms proposiciones por ni.

Se lee ni p ni q.

REGLA.- El resultado es verdadero nicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni

q), en cualquier otro caso es falsa

Disyuncin Exclusiva

Es la unin de dos o ms proposiciones mediante el conectivo lgico o.

Se lee o p o q, pero no ambos.

REGLA.- Es verdadera la proposicin cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda

es falsa o cuando la primera proposicin es falsa y la segunda verdadera.

Condicional

Viene a ser la combinacin de dos proposiciones con si entonces.

Se lee si p entonces q.

REGLA.- Una proposicin condicional es falsa cuando la primera proposicin es verdadera y la

segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas

Ejemplo:

P:Si me saco la loteria

Q: Te regalar un carro

P Q: Si me saco la lotera entonces te regalar el carro.

Bicondicional

Es la unin de dos proposiciones por si y slo si. Se lee p si y slo si q.

REGLA.- Una proposicin bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son

verdaderos o sus dos componentes son falsos.

Ejemplo

P: Simn Bolivar vive

Q: Montalvo est muerto

P Q: Simn Bolivar vive si y solo si Montalvo est muerto.

EVALUACION DE ESQUEMAS POR TABLAS DE VERDAD

Para evaluar una tabla de verdad de n variables proposicionales se aplica la siguiente formula

2^n (filas). Se aplica la regla a cada una de las variables proposicionales empezando por el

operador de de menor alcance hasta llegar al de mayor jerarqua.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplos

La lgica matemtica es una parte de la lgica y la matemtica, que consiste en el estudio

matemtico de la lgica, y en la aplicacin de dicho estudio a otras reas de la matemtica y

de las ciencias. La lgica matemtica tiene estrechas conexiones con las ciencias de la

computacin y la lgica filosfica.

La lgica matemtica estudia los sistemas formales en relacin con el modo en el que codifican

o definen nociones intuitivas de objetos matemticos como conjuntos, nmeros,

demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

La lgica matemtica suele dividirse en cuatro subcampos: teora de modelos, teora de la

demostracin, teora de conjuntos y teora de la recursin. La investigacin en lgica

matemtica ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las

matemticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinnimos las expresiones: lgica

simblica (o logstica), lgica matemtica, lgica teortica y lgica formal.1

La lgica matemtica no es la lgica de las matemticas sino la matemtica de la lgica.

Incluye aquellas partes de la lgica que pueden ser modeladas y estudiadas matemticamente.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lgicas formales de una

manera simblica por parte de algunos filsofos matemticos como Leibniz y Lambert, pero su

labor permaneci desconocida y aislada.

A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lgica sera revolucionada profundamente. En

1847, George Boole public un breve tratado titulado El anlisis matemtico de la lgica, y en

1854 otro ms importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a

la lgica como un clculo en el que los valores de verdad se representan mediante el 0

(falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones matemticas como la suma y la

multiplicacin.

Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lgica formal, donde

introduce las leyes de De Morgan e intenta generalizar la nocin de silogismo. Otro importante

contribuyente ingls fue John Venn, quien en 1881 public su libro Lgica Simblica, donde

introdujo los famosos diagramas de Venn.

Charles Sanders Peirce y Ernst Schrder tambin hicieron importantes contribuciones.

Sin embargo, la verdadera revolucin de la lgica vino de la mano de Gottlob Frege, quien

frecuentemente es considerado como el lgico ms importante de la historia, junto con

Aristteles. En su trabajo de 1879, la Conceptografa, Frege ofrece por primera vez un sistema

completo de lgica de predicados y clculo proposicional. Tambin desarrolla la idea de un

lenguaje formal y define la nocin de prueba. Estas ideas constituyeron una base terica

fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computacin, entre

otras cosas. Pese a esto, los contemporneos de Frege pasaron por alto sus contribuciones,

probablemente a causa de la complicada notacin que desarroll el autor. En 1893 y 1903,

Frege publica en dos volmenes Las leyes de la aritmtica, donde intenta deducir toda la

matemtica a partir de la lgica, en lo que se conoce como el proyecto logicista. Su sistema y

su aplicacin a la teora de conjuntos, sin embargo, contena una contradiccin (la paradoja de

Russell).

Lgica matemtica fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es

la lgica de Aristteles, pero desde el punto de vista de una nueva notacin, ms abstracta,

tomada del lgebra.

Siglo XX

El siglo XX sera uno de enormes desarrollos en lgica. A partir del siglo XX, la lgica pas a

estudiarse por su inters intrnseco, y no slo por sus virtudes como propedutica, por lo que

estudi a niveles mucho ms abstractos.

En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un

trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemtica a partir de la lgica,

evitando caer en las paradojas en las que cay Frege. Los autores reconocen el mrito de Frege

en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un xito

rotundo, y lleg a considerarse uno de los trabajos de no ficcin ms importantes e influyentes

de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notacin inspirada en la de Giuseppe

Peano, parte de la cual todava es muy utilizada hoy en da.

En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo despus de los Principia

Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde

propone un nuevo condicional ms adecuado para recoger el significado de la expresin "si...

entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicacin estricta. El nuevo condicional

requiere, para ser verdadero, una relacin ms fuerte entre el antecedente y el consecuente

que el condicional clsico.

En 1920 David Hilbert propuso de forma explcita un proyecto de investigacin (en

metamatemtica, como se llam entonces) que acab siendo conocido como programa de

Hilbert. Quera que la matemtica fuese formulada sobre unas bases slidas y completamente

lgicas.

El origen de los modelos abstractos de computacin se encuadra en los aos '30 (antes de que

existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lgicos Alonzo Church, Kurt Gdel,

Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido

una profunda influencia, tanto en el desarrollo terico como en abundantes aspectos de la

prctica de la computacin; previendo incluso la existencia de ordenadores de propsito

general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la

representacin de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de produccin.

La deduccin natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre

la inferencia lgica (Untersuchungen ber das logische Schliessen), publicado en 1934-1935.

En los aos 40 Alfred Tarski comenz a desarrollar junto a sus discpulos el lgebra relacional,

en la que pueden expresarse tanto la teora axiomtica de conjuntos como la aritmtica de

Peano. Tambin desarroll junto a sus discpulos las lgebras cilndricas, que son a la lgica de

primer orden lo que el lgebra booleana a la lgica proposicional. En 1941 public en ingls

uno de los manuales de lgica ms acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology

of Deductive Sciences.

Noam Chomsky en 1956 propone una clasificacin jerrquica de distintos tipos de gramticas

formales que generan lenguajes formales llamada jerarqua de Chomsky.

Si bien a la luz de los sistemas contemporneos la lgica aristotlica puede parecer equivocada

e incompleta, Jan ukasiewicz mostr que, a pesar de sus grandes dificultades, la lgica

aristotlica era consistente, si bien haba que interpretarse como lgica de clases, lo cual no es

pequea modificacin. Por ello la silogstica prcticamente no tiene uso actualmente.

Adems de la lgica proposicional y la lgica de predicados, el siglo XX vio el desarrollo de

muchos otros sistemas lgicos; entre los que destacan las muchas lgicas modales.

Concepto de lgica matemtica

La lgica matemtica estudia los sistemas formales en relacin con el modo en el que codifican

conceptos intuitivos de objetos matemticos como conjuntos, nmeros, demostraciones y

computacin. La lgica estudia las reglas de deduccin formales, las capacidades expresivas de

los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalgicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido

un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lgica

matemtica se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teoras matemticas, de clasificar su

capacidad expresiva, y desarrollar mtodos computacionales tiles en sistemas formales. La

teora de la demostracin y la matemtica inversa son dos de los razonamientos ms recientes

de la lgica matemtica abstracta. Debe sealarse que la lgica matemtica se ocupa de

sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lgica

matemtica no es mtodo de descubrir verdades del mundo fsico real, sino slo una fuente

posible de modelos lgicos aplicables a teoras cientficas, muy especialmente a la matemtica

convencional.

La lgica matemtica no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano

general o del proceso creativo de construccin de demostraciones matemticas mediante

argumentos rigurosos pero hechas usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas,

sino slo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en

todos sus aspectos.