Lógica Matemática

1. TEORÍA DE CONJUNTOS

Elementos: La mínima parte de un objeto se denomina elemento, son elementos los integrantes de una familia, los días de la semana, los números de teléfonos de montería o las hojas de un árbol. Conjunto: Se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio telefónico, un árbol. Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C, etc. y los elementos con letras minúsculas: a; b; c, etc. Al representarlos para agrupar

los elementos se utilizan llaves también se pueden usar los diagramas de Venn. Ejemplo: Representa el conjunto de los números del 0 al 9.

D = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 o también.

Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento b y ocurre que b es un miembro de A, se dice, entonces, que b pertenece a A y se escribe

b A (b es un elemento de A).

Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A, se escribe c A (c no es un elemento de A).

2. CLASES DE CONJUNTOS

Los conjuntos se clasifican según el número de elementos que posean, entonces se dice que pueden catalogarse de la siguiente manera: Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa

vacía, se simboliza con el siguiente símbolo Ejemplo: El conjunto de los números pares que terminan en 3

P = {Los números pares que terminan en 3 = Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento Ejemplo: El conjunto compuesto por la capital de Colombia B = {Bogotá}

Conjunto finito: Es aquel que tiene un número finito de elementos. Ejemplo: El conjunto compuesto por los días de la semana. S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Conjunto infinito: Si tiene tantos elementos que es imposible contarlos se le llama conjunto infinito. Ejemplo: El conjunto compuesto por los números reales. N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; ….}

3. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Para determinar o identificar un conjunto existen dos maneras: Por extensión: Que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que lo conforman, así conociendo todos sus elementos se determina el conjunto. Por comprensión: Esta consiste en indicar una característica especial y común que tienen los elementos de un conjunto. Ejemplo: Por extensión

V = {a; e; i; o; u

F = {1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111;…

Y = Ejemplo: Por comprensión V = {Las vocales} F = {Los números naturales que terminan en 1} Y = {Los números impares que terminan en 0}

Subconjunto: Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que no estén en B. Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir. B está contenido en A.

Se representa con los símbolos: B A. Así que: (B A) (x B x A)

4. ALGEBRA DE CONJUNTOS

Unión de Conjuntos: Los conjuntos A = a; b; c; d; e y B = a; e; i; o; u se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar

repetido a; b; c; d; e; i; o; u, a este conjunto se le llama unión de A y B.

Simbólicamente la unión de A y B es: A B = x : x A x B Ejemplo:

M = 1; 2; 3; 4; 5 y J = 1; 3; 5; 7; 9 entonces M J = 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9. En forma gráfica la unión es la región resaltada.

Intersección de Conjuntos: En esta operación de conjuntos se trata de encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos. Ejemplo:

M = 1; 2; 3; 4; 5 y J = 1; 3; 5; 7; 9 entonces La intersección se representa por:

M J = 1; 3; 5 pues son los que se repiten. En forma gráfica la intersección es la región resaltada.

Simbólicamente la intercepción de M y J es: M J = x : x A x B

Diferencia de Conjuntos: En los conjuntos V = a; e; i; o; u y A = a; e; o La diferencia de V - A es el conjunto formado por los elementos de V que no están

en A así: V - A = i; u. Simbólicamente la diferencia de V y A es: V - A = x : x

V x A Complemento: Para esta operación se define primero un conjunto que sirva como base o referencia y se simboliza con la letra U, se llamará universal o referencial.

Si U = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y el conjunto A = 0; 1; 2; 3 se llamará complemento de A, al conjunto formado por todos los elementos de U que no

están en A, o sea 4; 5; 6; 7; 8; 9, a este conjunto se le denota con A’. Nótese

que A’ = U – A. Simbólicamente es: A’ = x : x U x A.

5. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores de conjuntos se pueden reducir a combinaciones de intercepciones y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los conectivos

(), o () y la negación ().

Leyes de Idempotencia: A A = A

A A = A

Leyes conmutativas: A B = B A

A B = B A

Leyes distributivas: A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Leyes de absorción: A (A B) = A

A (A B) = A

Leyes de Morgan: (A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’ Leyes de Involución: (A’)’ = A