Upload
rodrigo-cortez-chavez
View
29
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
LOGICA
1
2
Proposición
Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa
Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un
predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no
afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.
3
Ejemplos– 1 + 4 = 5 (Verdad)
– La Pampa es una nación. (Falso)– 8 + 23 (no es proposición)– María (ídem anterior)
Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?
4
Proposición Atómica
Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa.
Ejemplos:– La casa es grande. (es atómica)
– La casa no es grande. ( no es atómica)
– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
5
Proposición Molecular
Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.
Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.
6
Proposiciones Moleculares
Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.– No es cierto que Juan llegó temprano– Juan no llegó temprano– Luis es arquitecto y Martín es médico.– La medalla no es de plata y el diploma parece
falso.– Matías aprobó pero Lucas no.
7
Simbolización
Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas.
Ejemplo:– El Sr.Domínguez es el gerente.
Si se considera
p = “El Sr.Domínguez es el gerente”
esta proposición puede ser simbolizada como p.
8
Simbolización
Para simbolizar un proposición– Identificar las proposiciones simples o atómicas– Simbolizar las proposiciones simples o
atómicas encontradas.– Utilizar los conectivos lógicos para
relacionarlas.
9
Simbolización
Ejemplos– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q– No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización : p
10
Simbolización
Ejemplo– La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: p ^ q
11
Simbolización
Ejemplo– Matías aprobó el examen pero Lucas no.
r = “Matías aprobó el examen”.
s = “Lucas aprobó el examen”
Simbolización : r ^ s
12
La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve”
La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los
17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que
no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
13
Tabla de Verdad
La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
14
15
Negación
Indique el valor de verdad de:– El número 9 no es divisible por 3.– No es cierto que los perros vuelan.
p
p p
V F
F V
p
16
Conjunción
Indique el valor de verdad de :– 6 es un número par y divisible por 3.– ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
17
Disyunción
Indique el valor de verdad de :– 2 es primo o es impar.– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
18
Construcción de tablas de verdad
¿Cuántas filas tiene la tabla?– 1 proposición 2 valores (V o F)– 2 proposiciones 4 valores de verdad– 3 proposiciones 8 valores de verdad– .........– n proposiciones 2n valores de verdad.
19
Ejemplos
Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
p ^ q
( p v q ) ^ p
(p ^ r ) v ( p ^ q)
20
Ejercicio
Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes:
(p ^ q ) v (r ^ p ) v s
(q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )
21
Ejercicio
Sabiendo que
(p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera
indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen
22
Ejercicio
Sabiendo que
( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa
indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen
23
Proposiciones moleculares
Según su valor de verdad pueden ser
– Tautología
– Contradicción
– Contingencia
24
Tautología
Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Ejemplo: p v p
25
Contradicción
Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Ejemplo: p ^ p
26
Contingencia
Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos.
Ejemplo: p ^ q
27
¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología?
¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?
EjerciciosFormaliza las siguientes proposiciones:
No es cierto que no me guste bailarMe gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
28
Equivalencia Lógica
Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables)
Ejemplo: (p q) p q
29
Ejemplo:
p q p v q (p q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
p q p q p q
V V F F F
V F F V F
F V V F F
F F V V V
(p q) p q
30
Leyes de De Morgan
La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.
(p q) p q
La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.
(p q) p q
31
Proposición condicional
Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe
p q
donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.
32
Proposición condicional
Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos
entonces aprenderemos matemática
p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos "
q = "aprenderemos matemática"
Simbolizando: p q
33
Proposición condicional
Ejemplo:
Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano
p = "vamos a la fiesta"
q = "nos acostaremos temprano"
Simbolizando: p q
34
Tabla de verdad del condicional
p q p q
V V V
F V V
V F F
F F V
La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso
35
Proposición Condicional
Existen distintas formas de leer un condicional:– “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”.
36
Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo:
p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par
– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par
– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par
– Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.
37
Proposición condicional
La contra positiva de la proposición condicional p q es la proposición
q p
Muestre la equivalencia lógica:
p q q p
38
Proposición bicondicional
Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
39
p q (p q) ^ (q p)
p q p q q p (p q) ^ (q p)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
40
1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa.
a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas
2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que
( p q ) r ( s t ) sea falsa
3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones
a) ( p q ) q
b) ( p q ) ( p q )
c) q ( p q)