Lógica Proposicional_Lectura_M1

Módulo 1

Unidad 1

Lógica Proposicional

Materia: Lógica Simbólica

Profesor: Marcelo Smrekar

Lógica Simbólica – Marcelo Smrekar | 2

1.1- Introducción a la lógica

“-El siglo veinte es una nueva era -dijo Holmes-. Nuevas ideas

surgen de las mejores mentes de esta época y nuestros científicos y

filósofos de Cambridge están a la cabeza. ¿No ha oído usted hablar

de la escisión del átomo por un individuo llamado Rutherford? Y

Russell, junto con su compañero Whitehead, ha publicado

recientemente un trabajo en el que han escindido, por así decirlo,

algo mucho más difícil: nuestro sistema numérico en pequeñas

partículas de pura lógica. Han consumido unas doscientas páginas

antes de llegar al número uno.” (Randall Collins. DR. J.H. Watson.

El caso del anillo de los filósofos)

Un lenguaje que utiliza símbolos para representar conceptos complejos es, a juicio de muchos especialistas, la razón más importante de la supremacía del Homo Sapiens sobre el resto de las especies. El lenguaje utiliza símbolos auditivos, luego escritos, para la comunicación entre los sujetos y para construir también cadenas de conceptos (que llamamos razonamientos) donde se deducen conceptos más complejos. Es decir que el lenguaje nos proporciona las herramientas mentales para pensar, sintetizar y argumentar, entre otras cosas, lo que sabemos.

Introducción a la lógica.

Mientras la Semiótica estudia el lenguaje que utilizamos para comunicarnos como sistema de símbolos, la Lógica Formal o Lógica Matemática estudia el lenguaje que utilizamos para razonar. La Lógica, busca estructuras que fundamenten las conclusiones y respalden nuestra ciencia y conocimiento en general. Aunque a lo largo de la historia la sido considerado un saber filosófico, y se sigue enseñando en las facultades de Filosofía, hoy la Lógica es una ciencia formal, ligada a las Matemáticas y fundamentalmente a la Informática, y tendiente a constituirse en ciencia autónoma.

La Lógica se ocupa de los productos mentales considerados en sí mismos, de las correctas relaciones entre conceptos, juicios y razonamientos. Se interesa por la estructura o forma del pensamiento, sin tomar en cuenta su contenido, por ello es la lógica una ciencia formal. Además, como el pensamiento se expresa en un lenguaje, en este sentido también la Lógica estudia el lenguaje. Dentro de la Lógica Matemática, la Lógica Proposicional estudia las proposiciones y los razonamientos, y la Lógica de clases, los conceptos, términos o palabras.


El lenguaje formal y el lenguaje

corriente.

Distinguir entre Lógica y Semiótica supone una distinción entre el lenguaje formal y lenguaje corriente, objetos de ambas ciencias respectivamente. Se entiende por lenguaje corriente o coloquial al lenguaje que utilizamos para comunicarnos a diario. El lenguaje coloquial no requiere más formalismo que el necesario para que los demás entiendan qué es lo que queremos decir. De esta forma, el lenguaje corriente tiene construcciones que no resisten ningún nivel de análisis semántico pero que son útiles para comunicarnos.

Cualquier interlocutor del paciente Pedro entenderá que el mismo pretende decir que se encuentra en buen estado de salud. Pero si realizamos un análisis y entendemos a la palabra “nada” como un sustantivo entonces “no tener” nada, es equivalente a “tener” algo, con lo que se podría asumir que Pedro está enfermo. Dicho razonamiento nos expone a la justa ira de Pedro y a un sonoro “siempre buscándole la quinta pata al gato vos” como si hubiera un gato cerca a quien buscarle una pata más de la que normalmente tienen los cuadrúpedos. ¡Entonces no sería un cuadrúpedo! En fin... Pedro diría “vos me entendés” y lo mismo diría yo.

Sostienr Beinhauer haciendo distinción entre lenguaje coloquial y

“literario” lo siguiente (http://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca):

“Entendemos por lenguaje coloquial el habla tal como brota natural y espontáneamente en la convivencia diaria, a diferencia de las manifestaciones lingüísticas conscientemente formuladas, y por tanto más cerebrales, de oradores, predicadores, abogados, conferenciantes, etc., o las artísticamente moldeadas y engalanadas de escritores, periodistas o poetas. Casi todos los métodos, incluso los mejor hechos, que para el estudio del

En lenguaje coloquial, es frecuente escuchar un diálogo como el siguiente:

-- Pedro, ¿Fuiste al médico?

-- Sí, ¡no tenía nada!

El lenguaje coloquial requiere la formalidad necesaria para que los

demás interpreten correctamente lo que decimos.

En cambio, el lenguaje lógico, formal, matemático, no puede dar

lugar a dos interpretaciones diferentes. No hay lugar para la

ambigüedad en la ciencia. El lenguaje formal debe estar regulado por

estrictas normas y reglas de sintaxis.


español han venido publicándose en Alemania, aspiran poco menos que exclusivamente a enseñar la lengua literaria, en tanto que las particularidades del lenguaje hablado, salvo algunos estudios y artículos desperdigados por revistas y periódicos, quedan limitadas a esporádicas observaciones marginales o anotaciones a pie de página. Es error muy difundido confundir el lenguaje cotidiano que se habla, con la lengua también cotidiana, pero escrita o impresa, de comerciantes o periodistas, la utilidad de cuyo conocimiento no pretendemos negar. Sin embargo, al tratar de lenguaje coloquial nos referimos únicamente a la lengua viva conversacional. Por cuanto sus medios expresivos no constan tan sólo de elementos sintáctico-estilísticos por un lado, y de vocablos y giros, o sea de elementos lexicológicos, por el otro; a todos ellos se agregan los medios dinámicos de entonación, gesto y mímica.

No faltará quien me pregunte: el conocimiento del lenguaje coloquial, de evidente utilidad para la práctica del idioma hablado, ¿qué valor podrá tener para el teórico o el erudito interesado preferentemente en estudiar obras literarias? Y yo contesto: quien niegue la trascendental importancia de dicha materia precisamente también para el estudio de la literatura, olvida que la lengua – incluso de poetas y literatos y aun de eruditos, sobre todo los de habla española – arraiga profundamente en el subsuelo del lenguaje familiar y popular, del que se nutre a diario. Por tanto, sólo será capaz de sentir, captar y apreciar las últimas intenciones y exquisiteces incluso de un lenguaje artístico, quien conozca también la materia prima de que éste está amasado, o sea, la lengua del pueblo, del ambiente en que vive el artista, la que este mismo habla a diario. Es más: no me recato en afirmar que quien no está debidamente familiarizado con el lenguaje coloquial, tampoco puede dominar realmente la lengua escrita. Podrá si acaso, a fuerza de estudiar gramática, llegar a expresarse con alguna corrección, pero esto no equivale, ni mucho menos, a lo que yo entiendo por dominio verdadero del idioma.”1 (Beinhauer, Werner; 1930; pág. 9-10)

Acota Alonso al respecto: “Siempre me ha preocupado esta maravilla diaria, el lenguaje, enraizado en nuestras vidas, nuestra marca de hombres. Y, claro está, más que ninguna otra lengua la que hablo: no la castellana de tiempos antiguos o la de la literatura, sino la que hablamos todos los días. Y así casi no pasa uno en que por algunos momentos no me detenga a pensar sobre algunos de esos curiosos giros que oímos y empleamos, troquelaciones que a veces parecen del todo inexplicables. (...) Qué portentosa variedad, abundancia, fértil complicación, esto que hablamos u oímos todos los días: qué extraordinario mecanismo llevamos dentro, qué fino en la captación de los matices, qué rápido y certero en las reacciones, cómo y con qué facilidad refleja el carácter de los hombres de España. Y qué desconocido nos es. Por eso nos asombra encontrarlo – y casi encontrarnos – en el libro de Beinhauer: la lengua española viva, corriente y moliente, que en su mayor parte no está registrada en ningún sitio, y que en vano buscaremos en diccionarios y gramáticas. El autor la ha extraído de la vida misma, de su experiencia directa en medios españoles: y cuando no, de autores contemporáneos (de teatro o de novela) que usan abundantemente los modos coloquiales. Cierto que éstos algunas veces inventan, es decir, crean estilísticamente nuevos giros o frases: pero, cuando así ocurre, lo creado está en la línea del genio idiomático, y suele reducirse a mera variante intensificadora de una troquelación ya existente. Todos los

1 Beinhauer, Werner; El español coloquial; Madrid: Gredos; 1958.


ejemplos de Beinhauer pueden considerarse español vivo contemporáneo.” 2 (Dámaso Alonso; 1958; 1-2)

Y lo sintetiza muy bien Alcaraz Varó en Lengua estándar:

“Se llama lengua estándar, o lengua común, a la utilizada como modelo, por estar normalizada, de acuerdo con las normas prescritas, como correcta. Ésta es la lengua que usan los medios de comunicación, los profesores, los profesionales, etc. Por lo general, el concepto de „estándar‟ se aplica sólo al léxico y a la morfosintaxis, estando excluido del mismo las variedades fonológicas (cf acento, dialecto). Dicho con otras palabras, tan „estándar‟ es el español hablado con acento andaluz o valenciano como el de Castilla, siempre que el léxico y la sintaxis correspondan a la norma. La lengua estándar tiene variantes, que van desde la lengua coloquial, o lengua familiar, hasta la académica o solemne. La primera se caracteriza por el uso de palabras y enunciados que tienen más carga expresiva, afectiva o emotiva. El término culto lo mismo puede aplicarse al concepto de „lengua estándar‟ que al de registro académico, formal y solemne. La „lengua coloquial‟ se diferencia del llamado lenguaje convencional, caracterizado por una fraseología formulística, propia de la función fática del lenguaje (cf función del lenguaje), en la que abundan modismos, refranes, saludos, felicitaciones, expresiones eufemísticas (“¡Le llegó la hora!”) y de autoafirmación (“Te lo digo yo”, “¿Sabes?”, etc.).”3 (Alcaraz Varó y Martínez Linares, 1997, p. 323)

1.2- Proposiciones.

Para el estudio de la Lógica Formal, debemos definir el objeto fundador de la misma y sobre el cuál desarrollaremos todos los contenidos de la materia. Este objeto o entidad es lo que llamaremos proposición.

Definición de proposiciones.

Podemos plantear de distintas maneras el mismo concepto. Diremos, por ejemplo, que: una oración declarativa es una proposición si es susceptible de tener un valor de verdad. En otras palabras, una proposición es un enunciado lingüístico (generalmente en la forma gramatical de una oración enunciativa) que es susceptible de poder ser verdadero o falso. O en resumen: proposiciones son las entidades portadoras de los valores de verdad.

Existen diversos ejemplos de proposiciones pero todos ellos cumplen con el concepto expresado en el párrafo precedente. Por ejemplo si digo “No está lloviendo” o “It isn‟t raining”, estas oraciones expresarán la misma proposición por tener el mismo significado. El que esa proposición sea verdadera o falsa, dependerá de las circunstancias o estado de cosas de la realidad en las que ha sido dicha la oración aseverativa que la expresa. Si hoy llueve, pero mañana no, entonces decir “hoy no está lloviendo”,

2 Dámaso Alonso; Unas palabras; Prólogo a Beinhauer; Werner; El español coloquial;

Madrid; Gredos; 1958. 3 Alcaraz Varó, Enrique / Martínez Linares, María Antonia: Diccionario de lingüística

moderna. Barcelona: Editorial Ariel, 1997, p. 323


expresará una proposición falsa, y decir “mañana” lo mismo expresará una proposición verdadera.

Ejemplos de proposiciones:

1) La respuesta fue inmediata.

2) Me invitó a cenar, pero me dio mal su dirección.

3) Me sorprendió también, que tuviera que preguntarle a Jorge, su

marido, si ellos tomaban vino cuando le dije que llevaría uno.

4) Esa fue mi primera sorpresa y decidí no darle importancia.

5) Ella pensaba que vivía en el 24 de Vallseca, cuando sobre su puerta

un enorme 14 la miraba intrigado, en pensamientos existencialistas.

6) La pretensión de que la vida puede pasar por el ojo de un cristal,

solamente me resulta tan inverosímil como estúpida.

7) Es en definitiva una caracterización del minuto a minuto, pero visto

desde la perspectiva de una vida.

8) No es casual que los generadores de ideas se revuelquen

recurrentemente en las mismas perspectivas, en los mismos temas y

en las diferentes maneras de ver las causas de los efectos

tediosamente repetidas.

9) Tomé mis llaves, los saludé y salí cuanto antes. Todavía tenía que

decidir dónde ir, pero lo de rápidamente, estaba clarísimo.

Valores de Verdad.

Dada una proposición se puede convenir que la misma puede tener distintos valores de verdad. Una convención podría ser que una proposición sea muy verdadera, medianamente verdadera o falsa. En ese caso, tendríamos tres valores de verdad para esa proposición. Si todas las proposiciones pudieran tener tres valores de verdad la lógica consecuente, construida con esas proposiciones, se llamaría Lógica trivalente. En general, aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquí consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad. Las lógicas polivalentes dan lugar a construcciones que amplían los alcances de esta materia y no se considerarán aquí. Dan lugar, entre otras, a la Lógica Difusa, muy difundida en cuestiones relacionadas con la Ingeniería Electrónica.

Tendremos entonces, que todas las proposiciones tendrán dos valores de verdad posible: Verdad (V) o Falsedad (F) y la ausencia de un valor de verdad indicará inmediatamente el otro valor de verdad. Este principio es lo que nos permitirá demostrar por el absurdo, herramienta inadmisible en las lógicas polivalentes.


Graficaremos en una tabla, todos los valores de verdad posibles de una proposición. Más adelante profundizaremos este concepto. Dada la proposición p sus valores de verdad pueden ser de acuerdo a la siguiente tabla.

p

V

F

Expresiones que no constituyen una

proposición.

Las oraciones no declarativas, no son proposiciones por no poder ser calificadas de verdaderas o falsas. Entre éstas tenemos: las interrogativas (¿Dónde está el libro de lógica?), las exclamativas (¡Genial!), las imperativas (Cerrá la puerta) y las desiderativas (Deseo que rindas bien).

Sin embargo, existen las llamadas proposiciones elípticas que son oraciones exclamativas susceptibles de una interpretación en términos de proposiciones. Por ejemplo: “¡Oro!” puede interpretarse como “En la mina hay oro”; “¡Gol!” se interpretará como “Ese equipo ha anotado en el arco contrario”. Salvo estas últimas, las exclamativas, no constituyen proposiciones. Tampoco lo hacen las que resultan de atribuirle un predicado a un sujeto incapaz de poseer tal predicado. Éstas son llamadas seudoproposiciones. Por ejemplo: “El ventilador es honrado”. Tampoco son proposiciones las descripciones definidas por frases reemplazables por un nombre, éstas no tienen la forma de una oración completa (de sujeto y predicado).

Ejemplos de proposiciones:

1) El autor del Quijote.

2) El cuadrado de dos.

3) “Evohé, evohé.”

4) ¿Ya juntó leña para el invierno?

5) ¿Y si se habían transformado?

6) ¡No podés ser así!

7) ¿Y la moto?

8) ¿Y Candela?


Proposiciones simples y compuestas.

Llamaremos proposición simple (o atómica) cuando la misma hace referencia a un único contenido de verdad o falsedad; vendría a ser equivalente a la oración enunciativa simple en la lengua.

En cambio llamaremos proposición compuesta (o molecular) cuando está constituida por varias proposiciones simples, unidas por ciertas partículas llamadas "nexos o conectivos", que establecen relaciones sintácticas como función de coordinación y subordinación determinadas, entre las proposiciones que la integran. Tal ocurre en la función de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua.

1.3- Conectivos Lógicos.

Los conectivos lógicos son elementos que sirven de nexo entre proposiciones. Estos elementos transforman las proposiciones. Pueden transformar una proposición simple en otra simple con opuesto valor de verdad (es el caso del conectivo de la negación), varias simples en una compuesta o varias compuestas en otra compuesta de mayor complejidad (los demás conectivos: conjunción, disyunción y condicionales). Entre los conectivos que estudiaremos se encuentran la negación, la conjunción, las disyunciones y las implicaciones.

Negación.

La negación, en el lenguaje coloquial, es la acción de asignar el valor de verdad contrario a una determinada proposición. Así cuando decimos “No es verdad que este vehículo sea de la empresa” estamos asignando el valor contrario de verdad a la proposición “Este vehículo es de la empresa”. El conectivo lógico negación, entonces, al que representaremos con el símbolo “¬”, es la entidad que determina el cambio en los valores de verdad de una proposición. De este modo, si p es una proposición, entonces ¬p es la proposición negada que toma exactamente el valor de verdad contrario a p. Su tabla de verdad se expresa de la siguiente manera:

P ¬p

V F

F V


Es decir que cuando es verdadero el valor de verdad de p, es falso el valor de

verdad de ¬p y cuando p es falso, ¬p es verdadero.

Ejemplos de proposiciones negadas:

1) Jorge no se equivocaba seguido.

Negación de:

Jorge se equivocaba seguido.

2) No podía permitir que se me fuera la cordura antes que el tren.

Negación de:

Podía permitir que se me fuera la cordura antes que el tren.

Tampoco iré a expresarle todo mi desasosiego con veintitrés

palabras y nada más.

Negación de:

Iré a expresarle todo mi desasosiego con veintitrés palabras y nada

más.

3) No es cierto que no me gusten las rimas de esas poesías o que no

disfrute de ellas cuando las leo.

Negación de:

Me gustan las rimas de esas poesías y disfruto de ellas cuando las

leo.

La negación de proposiciones compuestas puede ser más complicada y al final de la lectura se retomará el tema.

Conjunción.

La conjunción lógica es un nexo entre proposiciones, y determina que el valor de verdad de la proposición compuesta resultante es verdadera sólo cuando ambas proposiciones simples, que son relacionadas, son verdaderas. En cualquier otro caso la proposición compuesta es falsa. La denotaremos con el símbolo “^” y si se une a las proposiciones p y q entonces su tabla de verdad es:

p q p^q


V V V

V F F

F V F

F F F

De todos los tipos de conjunciones del lenguaje, la conjunción lógica hace referencia a las conjunciones propias del mismo. Éstas son las que unen oraciones o elementos del mismo nivel sintáctico, grupo nominal o adjetivo, que son llamadas conjunciones coordinantes o coordinativas: y, ni, pero.

La conjunción lógica dice que una oración es verdadera si la primera es verdadera “y” la segunda también lo es simultáneamente con la primera. Por ejemplo:

“No está lloviendo y no voy al cine”.

Será verdadera si no llueve y además no voy al cine simultáneamente.

Además las expresiones:

“No está lloviendo ni voy al cine”,

“No está lloviendo pero no voy al cine,”

Son equivalentes. En todos los casos, la conjunción propia del lenguaje une las proposiciones simples “p=No está lloviendo” y q=no voy al cine”. Para la lógica, las tres expresiones son equivalentes y la expresión compuesta se denota p^q que será verdadera sólo cuando p sea verdadera y q también. Incluso, la conjunción lógica puede estar presente en una oración coloquial sin que haya ningún conectivo del lenguaje de los explicados representándola. Por ejemplo: “Tengo jaqueca, es horrible”. En este caso “p=Tengo jaqueca” y “q=es horrible (tener jaqueca)” son las proposiciones unidas por la conjunción lógica en éste caso representada por la coma.

Ejemplos de conjunciones:

1) El frío comienza a invadirte desde la base y el agua descubrió que

puede colarse por el cuello de tu chaqueta que traicioneramente se

transforma en canal hacia tu espalda.


Es la conjunción de:

p= El frío comienza a invadirte desde la base.

q= el agua descubrió que puede colarse por el cuello de tu chaqueta

que traicioneramente se transforma en canal hacia tu espalda.

2) Sin decir palabra ni hacer ruido la llevé a mi cuarto y me dormí

placidamente


p= Sin decir palabra la llevé a mi cuarto.

q= Sin hacer ruido la llevé a mi cuarto.

r= Me dormí placidamente.

3) No es casual que los generadores de ideas se revuelquen

recurrentemente en las mismas perspectivas, en los mismos temas y

en las diferentes maneras de ver las causas de los efectos

tediosamente repetidas.


p= No es casual que los generadores de ideas se revuelquen

recurrentemente en las mismas perspectivas

q= No es casual que los generadores de ideas se revuelquen

recurrentemente en los mismos temas

r= No es casual que los generadores de ideas se revuelquen

recurrentemente en las diferentes maneras de ver las causas de los

efectos tediosamente repetidas.

4) Corría muy lentamente el año 97 en mi pequeño pueblo de la

provincia de Córdoba. Así, como todos sabemos que lo hace el

tiempo en los pequeños pueblos. Tampoco había gente que quisiera

ir más rápido, es un pueblo, es así.


p= Corría muy lentamente el año 97 en mi pequeño pueblo de la

provincia de Córdoba. (Así, como todos sabemos que lo hace el

tiempo en los pequeños pueblos.)

q= No había gente que quisiera ir más rápido (, es un pueblo, es así).


Disyunción inclusiva.

La disyunción v es la entidad lógica que oficia de nexo entre dos proposiciones p y q y genera una proposición compuesta p v q cuyo valor de verdad es falso si p y q son falsas, y verdadero en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

La disyunción hace referencia al conectivo “o” del lenguaje corriente. Así la proposición “No llueve o no voy al cine”, será verdad cuando al menos una de las dos aseveraciones sean ciertas. Si no llueve la proposición compuesta es verdadera. Si no voy al cine también provocará que la proposición compuesta sea verdadera. Si ambas proposiciones simples son ciertas, obviamente lo será la proposición compuesta. Y la única forma que la proposición compuesta sea falsa, es que ninguna de las dos condiciones p o q sea cierta.

La disyunción lógica está asociada con las conjunciones disyuntivas. En el lenguaje corriente indican alternancia exclusiva: o, u, se coloca entre los términos que indican la alternancia: Llamó Pablo o Carlos. Se emplea u cuando precede a una palabra iniciada por o u ho: Lo hará uno „u‟ otro. También para evitar la cacofonía.

Ejemplos de disyunciones inclusivas:

1) La literatura más interesante es la de los que no desean

comunicarla, o no lo saben, o no les interesa.

Es la disyunción de:

p= La literatura más interesante es la de los que no desean

comunicarla.


q= La literatura más interesante es la de los que no lo saben.

r= La literatura más interesante es la de los que no les interesa.

2) Es posible describir con frases, palabras o figuras literarias a la

contradicción.


p= Es posible describir con frases a la contradicción

q= Es posible describir con palabras a la contradicción.

r= Es posible describir con figuras literarias la contradicción.

3) Te cuestionás dónde termina tu ser, si en el cemento que te resulta

tan familiar o en la suela que en definitiva llevás con vos.


p= Te cuestionás si tu ser termina en el cemento que te resulta tan

familiar.

q= Te cuestionás si tu ser termina en la suela que en definitiva llevás

con vos.

4) Me quedó la duda si cuidar el agua era una actitud solidaria con los

desamparados solamente o ella mandaría bolsitas a algunos

recónditos países africanos.


p= Me quedó la duda si cuidar el agua era una actitud solidaria con

los desamparados solamente.

q= Me quedó la duda si ella mandaría bolsitas a algunos recónditos

países africanos

Disyunción excluyente.

La disyunción excluyente se refiere al conectivo que oficia de nexo entre dos proposiciones, generando que el valor de verdad de la proposición compuesta sea verdadero, cuando los valores de verdad de las proposiciones unidas, sea diferente. Es decir que cuando ambas


proposiciones son verdaderas o ambas falsas, la disyunción es falsa. Y cuando una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa, entonces la disyunción es verdadera. Su tabla de verdad es:

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Como antes, la disyunción lógica excluyente está asociada con las conjunciones disyuntivas en el lenguaje corriente e indican alternancia excluyente: o, u, se coloca antepuesto a cada uno de los términos: O llamó Pablo o Carlos. Se emplea u cuando precede a una palabra iniciada por o u ho: O bien lo hará uno „u‟ otro, también para evitar la cacofonía. Corresponde a las expresiones del tipo “ó p ó q”.

Ejemplos de disyunciones excluyentes:

1) O Rigoberto está con nosotros, o mañana lo tenemos almorzando con la Chiqui.

Es la disyunción excluyente de:

p= Rigoberto está con nosotros.

q= Mañana lo tenemos almorzando con la Chiqui.

2) O bien nos tomamos vacaciones en enero o bien lo hacemos en febrero.


p= Nos tomamos vacaciones en enero.

q= Nos tomamos vacaciones en febrero.

3) Las políticas públicas se evalúan desde la mirada institucional o se evalúan desde la mirada opuesta.


p= Las políticas públicas se evalúan desde la mirada institucional.


q= Las políticas públicas se evalúan desde la mirada opuesta. A lo institucional.

Condicional.

El condicional lógico “=>” es un conectivo que conecta dos proposiciones (simples o compuestas) llamadas antecedente y consecuente. La proposición p =>q se lee “Si p, entonces q” y su tabla de verdad es:

p q p=>q

V V V

V F F

F V V

F F V

Es interesante notar, que en el condicional, el orden de las proposiciones cobra importancia. No era ésta una cuestión para la disyunción o la conjunción que eran simétricas, respecto al orden de las proposiciones que las componían. En este caso q =>p y p =>q, no son equivalentes ya que no tienen la misma tabla de verdad.

El condicional está asociado a los razonamientos. Este concepto se introduce más adelante por lo que no haremos énfasis en él por ahora. A su vez, el condicional puede confundirse con la implicación, pues a un condicional verdadero se le llama implicación (notar que esto excluye solamente a la situación donde el antecedente es verdadero y el consecuente falso). Retomaremos estos conceptos en unidades posteriores.

Ejemplos de Condicional:

1) Si compran el paquete turístico entero, visitan entonces esas

provincias ignotas.

Es el condicional de:

p= (Ellos) Compran el paquete turístico entero

q= (Ellos) Visitan esas provincias ignotas.


2) Un agnóstico entonces, les concede a los religiosos que es necesaria

esta operación imposible de demostrar la inexistencia.


p= Si esta persona es agnóstica.

q= Esta persona le concede a los religiosos que es necesaria esta

operación imposible de demostrar la inexistencia.

3) Si no funciona eso de la guardia baja, entonces es que no vale la

pena seguir la discusión.


p= No funciona eso de la guardia baja.

q= No vale la pena seguir la discusión.

4) Si nada de lo que decimos es por fanatismo, entonces estamos en

una posición mucho más fuerte para debatir.


p= nada de lo que decimos es por fanatismo.

q= estamos en una posición mucho más fuerte para debatir.

.

5) cuando tu zapato está roto y se te moja el calcetín entonces te

disocias de tu zapato izquierdo.


p= tu zapato está roto y se te moja el calcetín

q= te disocias de tu zapato izquierdo.

6) Ambos aspectos han hecho posible un tiempo de paz y de avance de

la justicia social hacia una sociedad más igualitaria como el que

afortunadamente nos toca vivir hoy a los argentinos. Es necesario

entonces el urgente esclarecimiento de los hechos y la actuación

imparcial de la Justicia de Formosa, además de la pacificación

inmediata del lugar y el irrestricto respeto de los derechos humanos

de los miembros de la comunidad qom.



p= Ambos aspectos han hecho posible un tiempo de paz y de avance

de la justicia social hacia una sociedad más igualitaria como el que

afortunadamente nos toca vivir hoy a los argentinos.

q= Es necesario el urgente esclarecimiento de los hechos y la

actuación imparcial de la Justicia de Formosa, además de la

pacificación inmediata del lugar y el irrestricto respeto de los

derechos humanos de los miembros de la comunidad qom.

7) Si el actual escenario político no es el mismo que nos convocó en el

2008, entonces es el momento de repensarnos y rever dónde

estamos, por qué y para qué estamos y qué lugar queremos ocupar.


p= El actual escenario político no es el mismo que nos convocó en el

2008.

q= Es el momento de repensarnos y rever dónde estamos, por qué y

para qué estamos y qué lugar queremos ocupar.

8) Si había cosas con las que yo no estaba de acuerdo y entonces

solamente podríamos coincidir llegada la noche.


p= Había cosas con las que yo no estaba de acuerdo.

q= solamente podríamos coincidir llegada la noche.

Bicondicional.

El bicondicional “” representa (como su nombre lo indica) un condicional en doble sentido simultáneamente. Podemos pensar que cuando decimos p<=>q, estamos refiriéndonos a la expresión “q =>p ^ p =>q”. La tabla de verdad indica que el bicondicional es verdadero, cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

p Q pq

V V V

V F F

F V F

F F V


En el caso de estar en presencia de la proposición compuesta p<=>q diremos “p si y sólo si q” ó “p es necesario y suficiente para q” o de forma resumida “p sii q”, resumimos “si y sólo si” con un si con doble i “sii”.

El bicondicional es utilizado para comparar proposiciones y determinar equivalencias por ejemplo. Volveremos sobre el tema.

Ejemplos de Condicional:

9) Optaremos por un desarraigo violento si y sólo si se vieran afectados

los derechos de los usuarios

Es el bicondicional de:

p= Optaremos por un desarraigo violento.

q= Se ven afectados los derechos de los usuarios.

10) Reuniremos a nuestra tropa detrás del espigón, a resguardo de la

caballería enemiga siempre que, y sólo en ese caso, la falange de la

posición dominante sea derrotada.


p= Reuniremos a nuestra tropa detrás del espigón, a resguardo de la

caballería enemiga.

q= La falange de la posición dominante es derrotada.

11) Que tenga antecedentes genéticos es condición necesaria y suficiente

para desarrollar este tipo de enfermedades

Es el bicondicional de:

p= El tiene antecedentes genéticos

q= El desarrolla este tipo de enfermedades


1.4- Simbolización de

expresiones del lenguaje

corriente.

Una vez establecidas las proposiciones y sus nexos, es cuestión de aplicar las reglas que aprenderemos. Pero tal vez, la mayor dificultad que se presente, sea traducir los conceptos del lenguaje corriente al lenguaje de la Lógica. En Matemática, por ejemplo, se resuelven complicados problemas de la vida cotidiana a través de modelos matemáticos. Estos modelos son expresiones formales de los problemas. Es necesario entonces expresar los problemas cotidianos en un idioma formal. No es suficiente con “explicar” el problema como lo haríamos con un amigo. Necesitamos escribir el problema, en por ejemplo el idioma lógico, dado que Este lenguaje no deja lugar a dudas ni a ambigüedades.

Para poder resumir en lenguaje lógico, es necesario considerar si las proposiciones son del mismo nivel argumental, o si están determinando algún nivel de causa-consecuencia. En el primero de los casos estarán unidas por una disyunción o conjunción, en el último, por un condicional.

A continuación le presentaremos algunos ejemplos de traducción al lenguaje formal:

Ejemplo 1:

Se tiene la siguiente proposición compuesta:”Hoy es domingo y tengo que

estudiar Estadística o no aprobaré el curso”

Al separar la proposición en sus partes esenciales se tiene lo siguiente.

Sea:

p= Hoy es domingo,

q= tengo que estudiar Estadística,

r= aprobaré el curso,

¬r = no aprobaré el curso,


Lo que en lenguaje simbólico equivale a

p^q v ¬ r

Ejemplo 2:

Se tiene la siguiente frase: “Si no pago la luz, entonces me cortarán la

corriente eléctrica. Pero si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero y

pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y sólo si soy

desorganizado”

Donde:

p = pago la luz,

q = me contarán la corriente eléctrica,

r = me quedaré sin dinero,

s = pediré prestado,

t = pagar la deuda,

w = soy desorganizado.

Lo que en lenguaje simbólico equivale a:

(¬p =>q)^ (((p =>(r^s))=>t)w)

Ejemplo 3:

Se tiene la siguiente frase: “Tamm creía lo que oía porque ese problema

pertenece a una rama muy especial de las Mtemáticas superiores y el

conocimiento de tal problema está reservado para aquellas personas que

entienden un área muy sofisticada de la ciencia.”

Donde:

p = Tamm creía lo que oía porque ese problema

pertenece a una rama muy especial de las

Mtemáticas,


q = Tamm creía lo que oía porque el conocimiento

de tal problema está reservado para aquellas

personas que entienden un área muy sofisticada de

la ciencia,


p ^q

Ejemplo 4:

Se tiene la siguiente frase: “André Gallimard, miembro de la resistencia

francesa, sobreviviente de Struthof-Natzweiler, busca una mujer que amó.

No sabe su nombre, pero la llama Pauline. No conoce su tono de voz pero

lo imagina estridente y dulce. La conoció con el silencio reglado, el alambre

de púas, la separación por sexo. Inventaron un lenguaje de gestos

mínimos, movimientos de mano, guiños, miradas clandestinas.”

Donde:

p = André Gallimard es miembro de la resistencia

francesa.

q = André Gallimard es sobreviviente de Struthof-

Natzweiler.

r = André Gallimard busca una mujer que amó.

s =André Gallimard no sabe el nombre de la mujer.

t = André Gallimard llama a la mujer Pauline.

w =André Gallimard No conoce su tono de voz.

x= André Gallimard imagina el tono de voz de ella

estridente.

y= André Gallimard, imagina el tono de voz de ella

dulce.

u= él la conoció con el silencio reglado.

v=él la conoció con el alambre de púas.

z=él la conoció con la separación por sexo.

l=Ellos Inventaron un lenguaje de gestos mínimos.


m=Ellos Inventaron un lenguaje de movimientos

de mano.

n=Ellos Inventaron un lenguaje de guiños.

o=Ellos Inventaron un lenguaje de miradas

clandestinas.


p ^ q ^ r ^ s ^ t ^ w ^ x ^ y ^ u ^ v ^ z ^ l ^ m ^ n ^ o

Ejemplo 5:

Se tiene la siguiente frase: “Formspring es una red social de preguntas y

respuestas. Si querés hacerme alguna, podés enviarla directamente desde

este formulario.

Donde:

p = Formspring es una red social de preguntas y

respuestas.

q = Si querés hacerme alguna pregunta.

r = podés enviarla directamente desde este

formulario.


p ^ (q =>r)

Ejemplo 6: Ejercicio:

¿Se anima a traducir a Borges? El siguiente es un fragmento de “El impostor

inverosímil Tom Castro”:

“Agregó que era hijo de una planchadora del pueblo, María Clementina

Funes, y que algunos decían que su padre era un médico del saladero, un

inglés O’Connor, y otros un domador o rastreador del departamento del

Salto.”

Jorge Luis Borges Fragmento de El impostor inverosímil Tom Castro, Historia Universal de la infamia - Editorial

Alianza Editorial - Colección El libro de bolsillo - Quinta Reimpresión: Abril de 2001.


1.5- Tablas de verdad.

Como seguramente el lector estará intuyendo, las proposiciones en Lógica se evalúan a través de su valor de verdad. Por esta razón estamos interesados en ver cuáles son los valores de verdad posibles de las proposiciones, no sólo las simples sino de complejas proposiciones compuestas. Para ello es cómodo valerse (como lo venimos haciendo) de tablas donde expresar el valor de verdad de una proposición compuesta en función del valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Las tablas de verdad son tablas con tantas columnas como proposiciones más conectivos tenga la proposición compuesta y tantas filas como combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples haya.

Como ejemplo pensemos en la proposición p su tabla de verdad estará expresada por:

p

V

F

Y, como vimos, la tabla de verdad de p v q es:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

En la tabla de p hay dos filas porque p puede tener dos valores de verdad, en la de p v q hay 4 filas porque hay 4 posibilidades. Ambas verdaderas, ambas falsas, y dos veces verdadero y falso. Siempre tendremos 2n combinaciones cuando hay n proposiciones simples.

En el caso del Ejemplo 3 de la sección anterior, cuya respuesta es la proposición p^q^(r v s). Si realizamos la tabla de verdad de esta proposición compuesta tendremos:


p q r s r v s p^q^(r v s)

V V V V V V

V V V F V V

V V F V V V

V V F F F F

V F V V V F

V F V F V F

V F F V V F

V F F F F F

F V V V V F

F V V F V F

F V F V V F

F V F F F F

F F V V V F

F F V F V F

F F F V V F

F F F F F F

Y podremos notar que no es la misma tabla de verdad que la de la

proposición (p^q^r) v s que está dada por:

p q r s p^q^r (p^q^r) v s

V V V V V V

V V V F V V

V V F V V V

V V F F F F

V F V V F V

V F V F F F


V F F V F V

V F F F F F

F V V V F V

F V V F F F

F V F V F V

F V F F F F

F F V V F V

F F V F F F

F F F V F V

F F F F F F

Por lo tanto, vemos que la jerarquía de los conectivos es importante y que no resulta lo mismo asociar de diferente manera cuando hay más de un conectivo.

1.6- Tautología,

Contradicción y

Contingencia.

Podemos clasificar a las proposiciones compuestas de acuerdo a los valores de verdad posibles de las mismas.

Tautología.

Diremos que una proposición compuesta es una tautología si la proposición es verdadera independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples intervinientes. Por ejemplo, la proposición p v ¬p es una tautología dado que si p es verdadera entonces ¬p es falsa y la disyunción es verdadera y es similar para p falsa. Es lo mismo que decir que una proposición es Verdadera o de lo contrario es Falsa, sentencia que es siempre verdadera. La tabla de verdad es:


p ¬p pv¬p

V F V

F V V

Otro ejemplo de tautología es ((p =>q) ^ (q =>p))¬( p q) cuya tabla de verdad es:

p q (p =>q)^ (q =>p) ¬( pq) pq

V V V V V V V F

V F F F V V F V

F V V F F V F V

F F V V V V V F

Como vemos, la columna correspondiente al nexo de mayor jerarquía tiene todas las opciones verdaderas y por lo tanto la proposición compuesta es verdadera independientemente del valor de verdad de p y de q.


Las tautologías son en cierta manera leyes, puesto que son siempre verdaderas. Algunas de las leyes más conocidas son:

Contradicción.

Una contradicción es justamente lo contrario de una tautología. Es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Se puede decir que una contradicción es la negación de una tautología. Como ejemplos podemos ver que p^¬p es una contradicción ya que no es posible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez. La tabla de verdad es:

p ¬p p^¬p

V F F

F V F

Por otra parte ¬(((p=>q)^(q=>p))¬(pq)) es una contradicción porque es la negación de la tautología evaluada en el apartado anterior. Por

1) Principio de Identidad p p,

2) Principio de no contradicción ¬(p^¬p)

3) Principio del tercero excluido pv¬p

4) Doble negación ¬¬pp

5) Idempotencia de la conjunción pp^p

6) Idempotencia de la disyunción ppvp

7) Ley conmutativa para la conjunción p^qq^p

8) Ley conmutativa para la disyunción pvqqvp

9) Ley asociativa para la conjunción p^(q^r)(p^q)^r

10) Ley asociativa para la disyunción pv(qvr)(pvq)vr


lo tanto, para todas las posibilidades de valores de verdad de p y de q se tendrá que la proposición compuesta es falsa.

Contingencia.

Como se intuye, contingencia es una proposición compuesta, cuyo valor de verdad depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Casi todas las proposiciones compuestas son contingencias. También podríamos definirlas como las proposiciones que no son tautologías ni contradicciones.

Como ejemplos de contingencia podemos citar p^q, pvq, pq, p=>q, pq, y cualquiera de las proposiciones que tengan tablas de verdad con verdadero y falso como posibilidades.

1.7- Equivalencias Lógicas.

Diremos que dos proposiciones son equivalentes, si unidas por un bicondicional forman una tautología. Por ejemplo, la proposición

compuesta ¬( pq) es equivalente a pq, puesto que si unimos ambas con un bicondicional, tendremos una tautología:

p q (pq) ¬( pq) pq

V V V V V F

V F F V F V

F V F V F V

F F V V V F

Un ejemplo en el lenguaje cotidiano, indicaría que es lo mismo decir "no es verdad que o vayamos al cine o vayamos al parque" que decir "vamos al cine si y sólo si vamos al parque". Entonces estamos diciendo que o bien vamos a ambos lados y en ese caso cada proposición simple es verdadera, o bien no vamos a ninguno de los dos lados y en ese caso ambas proposiciones simples serían falsas. Como ambas proposiciones siempre van a tener el mismo valor de verdad en función de las proposiciones simples que componen sendas compuestas se tiene que son equivalentes.


1.8- El condicional.

Estudiaremos en detalle el condicional puesto que será de importancia en las unidades posteriores. Este conectivo, puede presentarse de diversas formas. La forma corriente que es la que vimos y refiere a las situaciones donde decimos:

Sea p=Voy al cine. y q=Llegaré tarde. Entonces la proposición enunciada se resume p=>q

Recíproca.

La recíproca de la proposición del ejemplo planteado para el condicional, es la proposición q=>p. Que sería "llegaré tarde, entonces voy al cine". Notemos que es claro que siendo p=>q verdadera, no siempre q=>p, puesto que eso pasaría solamente si ambas (p y q) fueran falsas o verdaderas. Pero si p es falsa y q verdadera, es decir que no fui al cine, pero llegué tarde de todos modos. En ese caso el condicional es verdadero puesto que no falté a la verdad al decir que llegaría tarde si iba al cine, no fui al cine, entonces no podemos comprobar si hubiera llegado tarde o no y en ese caso al no haber comprobado la falsedad, podemos aceptar la veracidad de la proposición.

Pero la recíproca no puede ser cierta ya que sería, "si llego tarde entonces voy al cine" y llegué tarde pero no fui al cine. En resumen, si un condicional es verdadero su recíproco puede no serlo. Es decir que el condicional y su recíproco no son equivalentes.

Contraria

Por el contrario decir "No llegaré tarde entonces no iré al cine” resumido en ¬q=>¬p es equivalente a la proposición inicial p=>q. Puesto que al decir que no llegar tarde implica necesariamente que no iré al cine significa que si hubiera ido al cine necesariamente tendría que llegar tarde. Esto se puede ver mejor en la tabla de verdad que se encuentra al final de la sección.

Si voy al cine entonces llegaré tarde.


Contrarrecíproca.

La contrarrecíproca de p=>q es ¬p=>¬q. Este condicional es equivalente a la recíproca pero no es equivalente ni a la proposición inicial ni a la contraria. En este caso estamos diciendo que " si no voy al cine entonces no llegaré tarde”. Eso no significa que de ir al cine vaya a llegar tarde como dice la proposición condicional original. Por lo tanto no es equivalente a ésta. Estas conclusiones se pueden corroborar viendo la tabla de verdad que se muestra a continuación con todas las opciones:

p q p=>q q=>p ¬q=>¬p ¬p=>¬q

V V V V V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

La tabla anterior muestra cómo el condicional es equivalente a la contraria, y la recíproca es equivalente a la contrarrecíproca. También se puede ver que los dos grupos no son equivalente entre sí.

1.9- Leyes de De Morgan.

Las leyes de De Morgan relacionan la disyunción y la conjunción a través de la negación. Podemos mencionar una ley de De Morgan para la disyunción y otra para la conjunción. A saber:

Ambas proposiciones (que se agregan a la lista de leyes) son tautologías. En lenguaje corriente sería lo mismo decir “voy al cine y llego tarde” que “No es cierto que no vaya al cine o que no llegue tarde”. Y las tablas de verdad indican que efectivamente las proposiciones señaladas forman una tautología:

p^q ¬(¬p v ¬q)

pvq ¬(¬p ^ ¬q)


p q p^q qvp ¬(¬qv¬p) (¬pv¬q)

V V V V V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

p q p=>q q=>p ¬q=>¬p ¬p=>¬q

V V V V V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Las leyes de De Morgan no representan un detalle menor. Indican que tanto la conjunción como la disyunción son “operaciones” entre proposiciones que se pueden definir una a través de la otra y en ese caso se podría prescindir de una de las dos.

Negación de proposiciones compuestas.

Negar proposiciones no debería presentar problemas. Si le ponemos un ¬ al principio de la proposición compuesta que queramos negar lo habremos conseguido. Claro que a eso no se refiere este apartado. Aunque la oración del principio del párrafo pareciera escrita por Perogrullo no es para pasarla por alto. Indica que la negación de proposiciones compuestas corresponde a que la nueva proposición tenga opuesta tabla de verdad. Por lo tanto la negación deberá hacerse de manera que el resultado final indique una proposición con tabla de verdad opuesta.

Por ejemplo, si negamos el condicional p=>q, la nueva proposición podría ser ¬p v q puesto que es equivalente a ¬ (p=>q) Veamos la tabla de verdad:


p q p=>q ¬ (p=>q) ¬p v q

V V V F V V

V F F V V F

F V V F V V

F F V F V V

Pero eso equivale a decir en vez de “No es cierto que si voy al cine entonces llegue tarde” la siguiente expresión: “No voy al cine y llego tarde”. A priori, no suena como que la segunda expresión sea la negación de la primera, al menos hay que pensar un momento en cómo están relacionadas. Pero de todas maneras la tabla de verdad nos asegura que la segunda es la negación de la primera.


Bibliografía Lectura

Grimaldi Ralph P., "Matemáticas Discretas y Combinatoria" - 1. - s/d - 2000 - s/d - Argentina.

Ross, K. A. y Wright Ch. R. "Matemáticas Discretas" - 2. - s/d - 2000 - s/d – Argentina

Copi, Irving M.. “Introducción a la Lógica”, Traduce Néstor Míguez. 7ma Ed. (1969) EUDEBA

Fernández López, Justo “Español coloquial” http://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca/Lexikon der Linguistik/c/COLOQUIAL Español.htm (enero de 2011)

www.uesiglo21.edu.ar

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